函数与相似三角形

函数与相似三角形

一、（2013陕西）在平面直角坐标系中，一个二次函数的图像经过A （1,0）B （3,0）两点.

（1）写出这个二次函数图像的对称轴；

（2）设这个二次函数图像的顶点为D,与y 轴交与点C ，它的对称轴与x 轴交与点E ，连接AC 、DE 和DB.当△AOC 与△DEB 相似时，求这个二次函数的表达式.

[提示：如果一个二次函数的图像与x 轴的交点为A 1(,0)x B 2(,0)x ，那么它的表达式可表示为

12()()y a x x x x =-- .]

二、（2013上海）如图9，在平面直角坐标系xoy 中，顶点为M 的抛物线2

(0y ax bx a =+>）经过点A

和x 轴正半轴上的点B ，AO OB == 2，0

120AOB ∠=．

（1）求这条抛物线的表达式； （2）联结OM ，求AOM ∠的大小；

（3）如果点C 在x 轴上，且△ABC 与△AOM 相似，求点C 的坐标．

M

A

B O

x

y

图9

三、（2013凉山州）如图，抛物线22y ax ax c =-+（0a ≠）交x 轴于A 、B 两点，A 点坐标为（3，0），与y 轴交于点C （0，4），以OC 、OA 为边作矩形OADC 交抛物线于点G 。 （1）求抛物线的解析式；

（2）抛物线的对称轴l 在边OA （不包括O 、A 两点）上平行移动，分别交x 轴于点E ，交CD 于点F ，交AC 于点M ，交抛物线于点P ，若点M 的横坐标为m ，请用含m 的代数式表示PM 的长。

（3）在（2）的条件下，连结PC ，则在CD 上方的抛物线部分是否存在这样的点P ，使得以P 、C 、

F 为顶点的三角形和AEM △相似？若存在，求出此时m 的值，并直接判断PCM △的形状；若不存在，

请说明理由。

A

B C

l P M

F G D

O E

x

y

（第28题图）

四、（2013•乌鲁木齐）如图．在平面直角坐标系中，边长为的正方形ABCD的顶点A、B在x轴上，连接OD、BD、△BOD的外心I在中线BF上，BF与AD交于点E．

（1）求证：△OAD≌△EAB；

（2）求过点O、E、B的抛物线所表示的二次函数解析式；

（3）在（2）中的抛物线上是否存在点P，其关于直线BF的对称点在x轴上？若有，求出点P的坐标；（4）连接OE，若点M是直线BF上的一动点，且△BMD与△OED相似，求点M的坐标．