人教版八年级下册数学第18章《平行四边形》易错题综合练习题(含答案)

人教版八年级下册数学第18章《平行四边形》易错题综合练习题
1．如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F 两点，垂足是点O．
（1）求证：△AOE≌△COF；
（2）问：四边形AFCE是什么特殊的四边形？（直接写出结论，不需要证明）．
2．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC 交BE的延长线与点F．
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）证明四边形ADCF是菱形；
（3）若AC＝6，AB＝8，求菱形ADCF的面积．
3．如图①，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，点E在BC的延长线上，且PE＝PB．
（1）求证：△BCP≌△DCP；
（2）求证：∠DPE＝∠ABC；
（3）把正方形ABCD改为菱形，其它条件不变（如图②），若∠ABC＝58°，则∠DPE ＝度．
4．如图，已知四边形ABCD是正方形，点E、F分别在AD、DC上，BE与AF相交于点G，且BE＝AF．
（1）求证：△ABE≌△DAF；
（2）求证：BE⊥AF；
（3）如果正方形ABCD的边长为5，AE＝2，点H为BF的中点，连接GH．求GH的长．
5．如图，点A、F、C、D在同一直线上，AB∥DE，AC＝DF，AB＝DE．
（1）求证：四边形BCEF是平行四边形；
（2）若∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，当AF为何值时，四边形BCEF是菱形．
6．已知：如图，四边形ABCD和四边形AECF都是矩形，AE与BC交于点M，CF与AD 交于点N．
（1）求证：△ABM≌△CDN；
（2）矩形ABCD和矩形AECF满足何种关系时，四边形AMCN是菱形，证明你的结论．
7．（1）已知：如图，E、F、G、H分别是菱形ABCD的各边上与顶点均不重合的点，且AE＝CF＝CG＝AH．
求证：四边形EFGH是矩形．
（2）已知：E、F、G、H分别是菱形ABCD的边AB、BC、CD、AD上与顶点均不重合的点，且四边形EFGH是矩形．AE与AH相等吗？如果相等，请说明理由；如果不相等，请举反例进行说明．
8．如图，△ABC中，∠BCA＝90°，CD是边AB上的中线，分别过点C，D作BA和BC 的平行线，两线交于点E，且DE交AC于点O，连接AE．
（1）求证：四边形ADCE是菱形；
（2）若∠B＝60°，BC＝6，求四边形ADCE的面积．
9．如图，E、F是四边形ABCD的对角线AC上两点，AE＝CF，DF∥BE，DF＝BE．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若AC平分∠BAD，求证：▱ABCD为菱形．
10．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD，连接BF．
（1）BD与CD有什么数量关系，并说明理由；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．
（3）在（2）的条件下，△ABC满足条件，矩形AFBD是正方形．
参考答案
1．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC（平行四边形的对边相互平行）．
∴∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO（两直线平行，内错角相等）；∵EF垂直平分AC，
∴OA＝OC．
在△AOE和△COF中，
∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO，OA＝OC．
∴△AOE≌△COF（AAS）；
（2）由（1）知，
△AOE≌△COF，则OE＝OF，
∴AC垂直平分EF，
又∵AC的垂直平分线是EF，
∴四边形AFCE是菱形．
2．（1）证明：∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
在△AEF和△DEB中，
，
∴△AEF≌△DEB（AAS）；
（2）证明：由（1）得：△AEF≌△DEB，
∴AF＝DB，
又∵AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，
∴AD＝BC＝CD，
∴四边形ADCF是菱形；
（3）解：∵D是BC的中点，
∴S菱形ADCF＝2S△ADC＝S△ABC＝AB•AC＝×8×6＝24．3．（1）证明：在正方形ABCD中，BC＝DC，∠BCP＝∠DCP＝45°，∵在△BCP和△DCP中，
，
∴△BCP≌△DCP（SAS）；
（2）证明：由（1）知，△BCP≌△DCP，
∴∠CBP＝∠CDP，
∵PE＝PB，
∴∠CBP＝∠E，
∵∠1＝∠2（对顶角相等），
∴180°﹣∠1﹣∠CDP＝180°﹣∠2﹣∠E，
即∠DPE＝∠DCE，
∵AB∥CD，
∴∠DCE＝∠ABC，
∴∠DPE＝∠ABC；
（3）解：与（2）同理可得：∠DPE＝∠ABC，
∵∠ABC＝58°，
∴∠DPE＝58°．
故答案为：58．
4．解：（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAE＝∠D＝90°，AB＝AD，
在Rt△ABE和Rt△DAF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△DAF（HL）；
（2）证明：∵Rt△ABE≌Rt△DAF，
∴∠ABE＝∠DAF，
∵∠ABE+∠BEA＝90°，
∴∠DAF+∠BEA＝90°，
∴∠AGE＝∠BGF＝90°，
∴BE⊥AF；
（3）∵BE⊥AF，
∵点H为BF的中点，
∴GH＝BF，
∵在Rt△BCF中，BC＝5，CF＝CD﹣DF＝5﹣2＝3，根据勾股定理，得∴BF＝＝，
∴GH＝．
5．（1）证明：∵AB∥DE，
∴∠A＝∠D，
在△BAC和△EDF中，
∴△BAC≌△EDF（SAS），
∴BC＝EF，∠BCA＝∠EFD，
∴BC∥EF，
∴四边形BCEF是平行四边形；
（2）解：连接BE，交CF于点G，
∵四边形BCEF是菱形，
∴CG＝FG，BE⊥AC，
∵∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，
∴AC＝＝10，
∵∠BGC＝∠ABC＝90°，∠ACB＝∠BCG，∴△ABC∽△BGC，
∴＝，
即＝，
∴CG＝3.6，
∵FG＝CG，
∴FC＝2CG＝7.2，
∴AF＝AC﹣FC＝10﹣7.2＝2.8．
6．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠D＝90°，AB＝CD，AD∥BC，
∵四边形AECF是矩形，∴AE∥CF，
∴四边形AMCN是平行四边形，
∴AM＝CN，
在Rt△ABM和Rt△CDN中，
∵，
∴Rt△ABM≌Rt△CDN（HL）；
（2）解：当AB＝AF时，四边形AMCN是菱形，
理由：∵四边形ABCD、AECF是矩形，
∴∠B＝∠BAD＝∠EAF＝∠F＝90°，
∴∠BAD﹣∠NAM＝∠EAF﹣∠NAM，即∠BAM＝∠FAN，在△ABM和△AFN中∠BAM＝∠FAN，AB＝AF，∠B＝∠F
∵，
∴△ABM≌△AFN（ASA），
∴AM＝AN，
由（1）知四边形AMCN是平行四边形，
∴平行四边形AMCN是菱形．
7．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠A＝∠C，∠B＝∠D，AB＝BC＝CD＝DA
∵AE＝AH＝CF＝CG，
∴BE＝BF＝DH＝DG，
在△AEH与△CGF中，
．
∴△AEH≌△CGF，
同理△BEF≌△DGH，
∴EH＝FG，EF＝GH，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵∠A+∠D＝180°，
∴∠AHE+∠DHG＝90°，
∴∠EHG＝90°，
∴四边形EFGH是矩形；
（2）如图，m、n是经过菱形对角线交点且与对边垂直的2条直线，交AB于P，交AD 于Q，
由（1）知，△AEH≌△CGF，△BEF≌△DGH，显然，AE与AH不相等．
故AE和AH不一定相等．
8．（1）证明：∵DE∥BC，EC∥AB，
∴四边形DBCE是平行四边形．
∴EC∥DB，且EC＝DB．
在Rt△ABC中，CD为AB边上的中线，
∴AD＝DB＝CD．
∴EC＝AD．
∴四边形ADCE是平行四边形．
∴ED∥BC．
∴∠AOD＝∠ACB．
∵∠ACB＝90°，
∴∠AOD＝∠ACB＝90°．
∴平行四边形ADCE是菱形；
（2）解：Rt△ABC中，CD为AB边上的中线，∠B＝60°，BC＝6，
∴AD＝DB＝CD＝6．
∴AB＝12，由勾股定理得．
∵四边形DBCE是平行四边形，
∴DE＝BC＝6．
∴．9．证明：（1）∵DF∥BE，
∴∠DFA＝∠CEB，
∵AE＝CF，
∴AE+EF＝CF+EF，
即AF＝CE，
在△ADF和△CBE中，
∴△ADF≌△CBE（SAS），
∴AD＝CB，∠DAC＝∠ACB，
∴AD∥CB，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC＝∠BAC，
∴∠BAC＝∠ACB，
∴AB＝BC，
∴▱ABCD为菱形．
10．解：（1）BD＝CD，
理由：∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DCE，
∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
在△AEF和△DEC中，，
∴△AEF≌△DEC（AAS），
∴AF＝CD，
∴AF＝BD，
∴DB＝CD；
（2）当△ABC满足：AB＝AC时，四边形AFBD是矩形．理由如下：∵AF∥BD，AF＝BD，
∴四边形AFBD是平行四边形，
∵AB＝AC，BD＝CD（三线合一），
∴∠ADB＝90°，
∴▱AFBD是矩形．
（3）△ABC满足∠BAC＝90°，矩形AFBD是正方形；∵BD＝CD，∠BAC＝90°，
∴AD＝BD，
∴矩形AFBD是正方形．。