新高考数学二轮课时：层级二 专题六 第3讲 概率、随机变量及其分布

层级二 专题六 第3讲

限时50分钟 满分76分

一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)

1.(2019·江西九江统考)洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图像，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足， 以五居中，五方白圈皆阳数，四隅黑点为阴数，其各行各列及对角线点数之和皆为15.如图，若从4个阴数中随机抽取2个数，则能使这两数与居中阳数之和等于15的概率是( )

A.12

B.23

C.14

D.13

解析：D [从4个阴数中随机抽取2个数，共有6种取法，其中满足题意的取法有两种：4,6和2,8，∴能使这2个数与居中阳数之和等于15的概率P ＝26＝1

3

.故选D.]

2．(2020·石家庄模拟)《中华好诗词》是由河北电视台创办的令广大观众喜闻乐见的节目，旨在弘扬中国古代诗词文化，观众可以选择从A ，B ，C 和河北卫视这四家视听媒体的播放平台中观看，若甲乙两人各自随机选择一家播放平台观看此节目，则甲乙二人中恰有一人选择在河北卫视观看的概率是( )

A.12

B.38

C.14

D.3

16

解析：B [甲、乙两人从A ，B ，C 和河北卫视这四家播放平台随机选择一家有4×4＝16(种)等可能情况，其中甲、乙两人恰有一人选择在河北卫视观看的情况有C 12×3＝6(种)，∴所求概率为616＝38

.]

3．某班举行了一次“心有灵犀”的活动，教师把一张写有成语的纸条出示给A 组的某个同学，这个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学．若小组内同学甲猜对成语的概率是0.4，同学乙猜对成语的概率是0.5，且规定猜对得1分，猜不对得0分，则这两个同学各猜1次，得分之和X (单位：分)的数学期望为( )

A ．0.9

B ．0.8

C ．1.2

D ．1.1 解析：A [由题意得X ＝0,1,2，

则P (X ＝0)＝0.6×0.5＝0.3，P (X ＝1)＝0.4×0.5＋0.6×0.5＝0.5，P (X ＝2)＝0.4×0.5＝0.2，

所以E (X )＝1×0.5＋2×0.2＝0.9.]

4．(2019·四省联考二诊)某徒步运动会有来自全世界的4 000名女性和6 000名男性徒步爱好者参与徒步运动，其中抵达终点的女性与男性徒步爱好者分别为1 000名和2 000名，抵达终点的徒步爱好者可获得纪念品一份．若记者随机电话采访参与本次徒步运动的1名女性和1名男性徒步爱好者，其中恰好有1名徒步爱好者获得纪念品的概率是( )

A.112

B.14

C.512

D.712

解析：C [本题考查古典概型．“男性获得纪念品，女性没有获得纪念品”的概率为

2 0006 000×

3 000

4 000＝14，“男性没有获得纪念品，女性获得纪念品”的概率为4 0006 000×1 0004 000＝1

6

，故“恰好有1名徒步爱好者获得纪念品”的概率为14＋16＝5

12

.故选C.]

5．(2019·大连三模)某篮球队对队员进行考核，规则是：①每人进行3个轮次的投篮；②每个轮次每人投篮2次，若至少投中1次，则本轮通过，否则不通过．已知队员甲投篮1次投中的概率为2

3，如果甲各次投篮投中与否互不影响，那么甲3个轮次通过的次数X 的期望是

( )

A ．3 B.83 C ．2 D.5

3

解析：B [每个轮次甲不能通过的概率为13×13＝19，通过的概率为1－19＝8

9，因为甲3个

轮次通过的次数X 服从二项分布B ⎝⎛⎭⎫3，89，所以X 的数学期望为3×89＝8

3

.] 6．(2020·衡水模拟)某公司为了准确把握市场，做好产品计划，特对某产品做了市场调查：先销售该产品50天，统计发现每天的销量x (单位：件)分布在[50,100)内，且销量x 的分布频

率f (x )＝⎩⎨⎧

n

10－0.5，10n ≤x ＜10(n ＋1)，n 为偶数，

n

20－a ，10n ≤x ＜10(n ＋1)，n 为奇数.

若销量大于或等于70件，则称该日畅销，

其余为滞销．在畅销日中用分层抽样的方法随机抽取8天，再从这8天中随机抽取3天进行统计，设这3天来自X 个组，将频率视为概率，则随机变量X 的数学期望为( )

A.137

B.67

C.167

D.8

7

解析：C [由题意知⎩⎪⎨⎪⎧

10n ≥50，10(n ＋1)≤100，

解得5≤n ≤9，故n 可取5,6,7,8,9，代入f (x )，得

610－0.5＋810－0.5＋520－a ＋720－a ＋9

20－a ＝1，得a ＝0.15.故销量在[70,80)，[80,90)，[90,100)内

的频率分别是0.2,0.3,0.3，频率之比为2∶3∶3，所以各组抽取的天数分别为2,3,3，X 的所有

可能取值为1,2,3，P (X ＝1)＝2C 38＝256＝128，P (X ＝3)＝2×3×3C 38＝1856＝928，P (X ＝2)＝1－128－9

28

＝914

. X 的分布列为

数学期望E (X )＝1×128＋2×914＋3×928＝16

7.故选C.]

二、填空题(本大题共2小题，每小题5分，共10分)

7．(2019·全国Ⅰ卷)甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束)．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____________．

解析：甲队以4∶1获胜的概率为[C 120.6×0.4×0.52＋0.62×C 120.5×0.5]×0.6＝0.18.

答案：0.18

8．(2019·宁波三模)某保险公司针对企业职工推出一款意外险产品，每年每人只要交少量保费，发生意外后可一次性获赔50万元．保险公司把职工从事的工作共分为A ，B ，C 三类工种，根据历史数据统计出这三类工种的每年赔付频率如表所示，并以此估计赔付概率.

A ，

B ，

C 三类工种每份保单保费的上限之和为________元．

解析：设工种A 的每份保单保费为a 元，保险公司每份保单的利润为随机变量X ，则X 的分布列为

保险公司期望利润E (X )＝a ⎝⎛⎭⎫1－1105＋(a －5×105)×1

105＝(a －5)(元)， 根据规定知a －5≤0.2a ， 解得a ≤6.25.

设工种B 的每份保单保费为b 元，同理可得保险公司期望利润为(b －10)元，根据规定知，b －10≤0.2b ，解得b ≤12.5，

设工种C 的每份保单保费为c 元，同理可得保险公司期望利润为(c －50)元，根据规定知，