2014年天津高考理科数学试题及答案(Word版)

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2014年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）

数学（理工类）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！

第Ⅰ卷

注意事项：

1.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2本卷共8小题，每小题5分，共40分。 参考公式：

•如果事件A ，B 互斥，那么 •如果事件A ，B 相互独立，那么

()()()P A B P A P B =+U

()()()P AB P A P B =.

•圆柱的体积公式V Sh =. •圆锥的体积公式1

3

V Sh =

. 其中S 表示圆柱的底面面积， 其中S 表示圆锥的底面面积，

h 表示圆柱的高. h 表示圆锥的高.

一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.

（1）i 是虚数单位，复数

734i

i

+=+（ ）

（A ）1i - （B ）1i -+ （C ）

17312525i + （D ）172577

i -+ （2）设变量x ，y 满足约束条件0,

20,12,y x y y x +-⎧≥--≤≥⎪

⎨⎪⎩

则目标函数2z x y =+的最小值为（ ）

（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5

（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的S 的值为（ ）

（A ）15 （B ）105

E

D C

B

A （C ）245 （D ）945

（4）函数()()

212

log 4f x x =-的单调递增区间是（ ）

（A ）()0,+¥ （B ）(),0-¥ （C ）()2,+¥

（D ）(),2-?

（5）已知双曲线22

221x y a b

-=()0,0a b >>的一条渐近线平行于直线l ：210y x =+，双曲线的一

个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（ ）

（A ）

22

1520x y -= （B ）221205x y -= （C ）

2233125100x y -= （D ）22

33110025

x y -= （6）如图，ABC D 是圆的内接三角形，BAC Ð的平分线交圆于点D ，交BC 于点E ，过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F .在上述条件下，给出下列四个结论：①BD 平分CBF Ð；②2

FB FD FA =?；③AE CE

BE DE ??；④AF BD AB BF ??.

则所有正确结论的序号是（ ）

（A ）①② （B ）③④ （C ）①②③ （D ）①②④ （7）设,a b R Î，则|“a b >”是“a a b b >”的（ ） （A ）充要不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充要也不必要条件 （8）已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD

?o ，点,E F 分别在边,BC DC 上，BE BC l =，

DF DC m =.若1AE AF

?u u u r u u u r ，2

3

CE CF

?-

u u u r u u u r ，则l m +=（ ） （A ）

12 （B ）23 （C ）56 （D ）712

第Ⅱ卷

注意事项： 1．用黑色墨水钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。

2．本卷共12小题，共110分。

二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.）

（9）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，

拟采

俯视图

侧视图

正视图

用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取_______名学生.

（10）已知一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为_______3

m .

（11）设{}n a 是首项为1a ，公差为-1的等差数列，n S 为其前n 项和.若124,,S S S 成等比数列，则1a 的值为__________.

（12）在ABC D 中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c .已知1

4

b c a -=，2sin 3sin B C =，

则cos A 的值为_______.

（13）在以O 为极点的极坐标系中，圆4sin r q =和直线sin a r q =相交于,A B 两点.若AOB D 是等边三角形，则a 的值为___________.

（14）已知函数()23f x x x =+，x R Î.若方程()10f x a x --=恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为__________.

三、解答题（本题共6道大题，满分80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） （15）（本小题满分13分） 已知函数()2

3cos sin 3cos 34

f x x x x π⎛⎫

=⋅+-+ ⎪

⎝

⎭，x R ∈. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在闭区间,44ππ⎡⎤

-

⎢⎥⎣⎦

上的最大值和最小值. （16）（本小题满分13分）

某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学. 在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院. 现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）. （Ⅰ）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；

（Ⅱ）设X 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望. （17）（本小题满分13分）

如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ^底面ABCD ，AD AB ^，//AB DC ，2AD DC AP ===，

1AB =，点E 为棱PC 的中点.

（Ⅰ）证明 BE DC ^；

（Ⅱ）求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值； （Ⅲ）若F 为棱PC 上一点，满足BF AC ^，