复化求积公式
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复化求积公式
则
称求积公式 是P阶收敛的。
显然，复化梯形公式是2 阶收敛的。
第三章 数值积分与数值微分
用复化梯形求积公式时，如果 不够精确，那么我们可以将每个子
区间
对分，得到2n个子区间，再用复化
梯形公式计算。此时，计算 的分点也是计算 的分点。
因此，我们可以将复化梯形公式递推化，即有
（3.2.3）
其中
。这样，计算 时，只须把新分点上的函数值算
可以看出，误差（3.2.2）是 阶的。而且，当
时，
，即复化梯形公式收敛到
值得
指出的是，收敛的结论，只要f（x）在[a，b]上可积即可成立。
事实上，由定积分的定义可知，对[a，b]的任意分划 黎曼和的极限
所作
存在。该积分对于等距分划和特殊的 当然成立，于是对复化梯 形公式有
定义3.2 如果一种公式 有
(2) f (x) ex2 cos20x,0 x 2。
1
3.4 设计自适应的Simpson方法求积分0 x xdx( 0.4) 的
近似值，即对不同的子区间分别按精度标准确定各自适当的步长， 计算各子区间上的积分近似值，然后将各个近似值相加，要求近似 值的绝对误差限为 0.5107 。
f (x)dx
xk1 f (x)dx
a
x k 0 k
x
h 6
n1 k 0
f
x 4
f
x
1 2
f
k1
称Sn为复化Simpson公式 。
= S h
n1
n1
[ 6
f
பைடு நூலகம்
(a) 4
k 0
f
(
xk
1 2
)
2
复化求积公式
h[ 2
f ( x0 )
n1
2
k 1
f ( xk )
f ( xn )]
复化梯形公式
Tn
h 2
[
f
(
x0
)
n1
2
k 1
f ( xk )
f ( xn )]
复化梯形公式
计算方法
2.复化辛浦生公式
计算方法
在每个小区间[xk1, xk ]上应用辛浦生公式得：
xk
xk 1
则
f
b
( x)dx h[ f 6
计算方法
在 每 个 小 区 间[ xk1, xk ]上 应 用 梯 形 公 式 得 ：
xk xk 1
f ( x)dx
h 2
[
f
(
xk1
)
f ( xk )]
则
b
n
f (x)dx =
xk f (x)dx
a
k 1 xk1
n k 1
h[ f 2
(xk1)
f
(xk )]
计算方法
x0 x1 x2 x3
2
三、区间逐次分半求积法
计算方法
复化求积公式可有效提高计算精度，但对给定 的误差限，如何确定节点的个数，即[a,b]应多少等 份？由截断误差可以估计步长的取值情况，但需要 给出各阶导数的最大值，这往往是比较困难的，且 估计值往往偏大.
接下来，我们将考虑步长的更为实用的选取方 法.
计算方法
若用Tn及T2n分别表示将[a, b]n等分及2n等分的复化 梯形公式，则
f(x) 1 0.997 0.9896 0.976 0.95 0.936 0.908 0.877 0.841 3978 158 7267 8851 1556 8516 1925 4709
数值分析(18)复化求积法
1 2
h2
b
4
a
,
直到 T2n Tn 为止,将T2n作为积分的近似值。
数值分析
数值分析
下面推导由n到2n的复化梯形公式
给出误差限，将[a,b]n等分，步长hn
b
a n
,
用复化梯形公式：
在[xk , xk1 ]上，T1k
hn 2
(
f
( xk )
f ( xk1 ))
在[a, b]上，
T (hn ) Tn
理查逊外推算法流程 1,0
1,1 2,0
1,2 2,1 3,0
M
M
MO
1,n 2,n1 3,n2 L n1,0
数值分析
数值分析
二、龙贝格(Romberg)方法
龙贝格(Romberg)算法是将理查逊(Richardson)外推法应 用于数值积分，由低精度求积公式推出高精度求积公式的算法。
h
ba 2k
数值分析
数值分析
变步长复化梯形公式的递推公式： （由n到2n）
T2n
1 2 Tn
Hn 2
其中Tn
hn 2
(
f (a)
n1
f (b)) hn
k 1
f ( xk )
n1
H n
hn
k0
f
(
x
k
1
)
2
实际计算中的递推公式为
ba
T1
[ f (a) f (b)] 2
1
b a n1
ba
T2n 2 Tn
复 化 梯 形 公 式 的 截 断 误差 有 展 开 式
b a
f ( x)dx Tn
C2h2
chap4第2节 复化求积公式
Rn [ f ]
h (b a )
2
f ( ), (a , b)
12
如果记 M 2 max f ( x )
a xb
则有 Rn [ f ]
b
a
f ( x )dx Tn
( b a )h 12
2
M2
(b a ) 12n
2
3
M2
上式说明复化梯形公式是收敛的。
这时由
xk x k 1
得到
h h f f ( x )dx f ( xk 1 ) 4 f ( x 1 ) f ( xk ) k 2880 6 2 n
5
(4)
( k )
b
a
f ( x )dx
i 1
xk
f ( x )dx
x k 1
5 n h h (4) f ( k ) f ( x k 1 ) 4 f ( x 1 ) f ( x k ) 2880 k 1 k k 1 6 2
1
1 4 4 4 2 2 2 1 4 6 1 1 9 9
3.1230
4 )3
而梯形公式的结果为
1 x
0
1
4
2
dx
1 0 2
(
4
1 0 11
例 4.4 用复化梯形公式计算积分 I 0 e dx ，应将区间 [0,1]多少等分，才可以使其截断误差不超过 1 10 4
x
1
2
解：复化梯形公式的误差为
Rn [ f ] f ( x )dx Tn
a b
(b a ) 12n
复化求积公式
数值计算方法
复化求积公式 由梯形、辛卜生和柯特斯求积公式余项可知，
随着求积节点数的增多，对应公式的精度也会相应 提高。但由于n≥8时的牛顿—柯特斯求积公式开始 出现负值的柯特斯系数。根据误差理论的分析研究， 当积分公式出现负系数时，可能导致舍入误差增大， 并且往往难以估计。因此不能用增加求积节点数的 方法来提高计算精度。在实际应用中，通常将积分 区间分成若干个小区间，在每个小区间上采用低阶 求积公式，然后把所有小区间上的计算结果加起来 得到整个区间上的求积公式，这就是复化求积公式 的基本思想。常用的复化求积公式有复化梯形公式 和复化辛卜生公式。
(b)
记
Tn
h 2
f
n1
(a) 2
k 1
f
(xk ) f
(b)
(6.5)
(6.5)式称为复化梯形公式。
当f(x)在[a,b]上有连续的二阶导数,在子区间
xk , xk1 上梯形公式的余项已知为
RTk
h3 12
f (k )
在[a,b]上的余项
k xk ,x k1
RT
n1
RTk
k 0
1.4 复化辛卜生求积算法实现 （1）复化辛卜生公式计算步骤
① 确定步长h=(b-a)/N,S1=f (a+h/2) , S2=0 ( N 为等分数 )
② 对k=1,2,…,N-1，计算
S1= S1+f (a+kh+h/2) , S2= S2+f (a+kh) ③ S = h f (a) +4S1+ 2 S2+ f (b)/6
n1 k 0
h3 12
f
(k
)
设 f (x)在[a,b]上连续，根据连续函数的介值定理知，
复化求积公式 由梯形、辛卜生和柯特斯求积公式余项可知，
随着求积节点数的增多，对应公式的精度也会相应 提高。但由于n≥8时的牛顿—柯特斯求积公式开始 出现负值的柯特斯系数。根据误差理论的分析研究， 当积分公式出现负系数时，可能导致舍入误差增大， 并且往往难以估计。因此不能用增加求积节点数的 方法来提高计算精度。在实际应用中，通常将积分 区间分成若干个小区间，在每个小区间上采用低阶 求积公式，然后把所有小区间上的计算结果加起来 得到整个区间上的求积公式，这就是复化求积公式 的基本思想。常用的复化求积公式有复化梯形公式 和复化辛卜生公式。
(b)
记
Tn
h 2
f
n1
(a) 2
k 1
f
(xk ) f
(b)
(6.5)
(6.5)式称为复化梯形公式。
当f(x)在[a,b]上有连续的二阶导数,在子区间
xk , xk1 上梯形公式的余项已知为
RTk
h3 12
f (k )
在[a,b]上的余项
k xk ,x k1
RT
n1
RTk
k 0
1.4 复化辛卜生求积算法实现 （1）复化辛卜生公式计算步骤
① 确定步长h=(b-a)/N,S1=f (a+h/2) , S2=0 ( N 为等分数 )
② 对k=1,2,…,N-1，计算
S1= S1+f (a+kh+h/2) , S2= S2+f (a+kh) ③ S = h f (a) +4S1+ 2 S2+ f (b)/6
n1 k 0
h3 12
f
(k
)
设 f (x)在[a,b]上连续，根据连续函数的介值定理知，
复化求积公式
b
2 定理7 定理 若 f ( x ) ∈ C [a , b ] , 则复化梯形公式的余项为
说明： ） （ 式说明复化梯形公式的余项收敛于零的速度与 说明： 1）(3.3)式说明复化梯形公式的余项收敛于零的速度与 h2收敛于零的速度相同，即余项等 于O(h2)。 收敛于零的速度相同， 。 导数值)确定 （2）余项可由端点的函数值 导数值 确定。 ）余项可由端点的函数值(导数值 确定。 3、复化中矩求积公式 （推导类似复化梯形公式） 、 推导类似复化梯形公式） x 1 x 1 x3 上采用中矩形公式， 在 [ x i −1 , x i ]上采用中矩形公式， n− 2 2 2 b − a xi xi −1 + xi , 记h = xn =b x = ∫xi−1 f ( x)dx ≈ h ⋅ f ( 2 )， a=x0 x1 x2 n i = 1,2,L, n 所以
即
∫
b
a
n −1 x i ) + f (b) 2 i =1 2
记
= Tn
( 3 .1)
下面考虑余项，先从每个小区间上考虑余项， 下面考虑余项，先从每个小区间上考虑余项，因为每个小区 间上是N－ 公式中当 公式中当n=1时的梯形公式。 时的梯形公式。 间上是 －C公式中当 时的梯形公式
n n
所以 − h∑ f ′′(ξ i ) = −∑ O( h2 ) + f ′(a ) − f ′(b) → f ′(a) − f ′(b), (h → 0)，
n
i =1 i =1
即 − h∑ f ′′(ξi ) → f ′(a) − f ′(b) (h →0)。
i=1
#
− (b − a)h2 ∫a f ( x)dxb − Tn = 12 f ′′(ξ ), a < ξ < b， ( 3 . 2 ) ∫a f ( x)dx − Tn → 1 ( f ′(a) − f ′(b)), h → 0。 及渐近估计式 ( 3 .3 ) 2 12 h
2 定理7 定理 若 f ( x ) ∈ C [a , b ] , 则复化梯形公式的余项为
说明： ） （ 式说明复化梯形公式的余项收敛于零的速度与 说明： 1）(3.3)式说明复化梯形公式的余项收敛于零的速度与 h2收敛于零的速度相同，即余项等 于O(h2)。 收敛于零的速度相同， 。 导数值)确定 （2）余项可由端点的函数值 导数值 确定。 ）余项可由端点的函数值(导数值 确定。 3、复化中矩求积公式 （推导类似复化梯形公式） 、 推导类似复化梯形公式） x 1 x 1 x3 上采用中矩形公式， 在 [ x i −1 , x i ]上采用中矩形公式， n− 2 2 2 b − a xi xi −1 + xi , 记h = xn =b x = ∫xi−1 f ( x)dx ≈ h ⋅ f ( 2 )， a=x0 x1 x2 n i = 1,2,L, n 所以
即
∫
b
a
n −1 x i ) + f (b) 2 i =1 2
记
= Tn
( 3 .1)
下面考虑余项，先从每个小区间上考虑余项， 下面考虑余项，先从每个小区间上考虑余项，因为每个小区 间上是N－ 公式中当 公式中当n=1时的梯形公式。 时的梯形公式。 间上是 －C公式中当 时的梯形公式
n n
所以 − h∑ f ′′(ξ i ) = −∑ O( h2 ) + f ′(a ) − f ′(b) → f ′(a) − f ′(b), (h → 0)，
n
i =1 i =1
即 − h∑ f ′′(ξi ) → f ′(a) − f ′(b) (h →0)。
i=1
#
− (b − a)h2 ∫a f ( x)dxb − Tn = 12 f ′′(ξ ), a < ξ < b， ( 3 . 2 ) ∫a f ( x)dx − Tn → 1 ( f ′(a) − f ′(b)), h → 0。 及渐近估计式 ( 3 .3 ) 2 12 h
4-3复化求积公式
1 n1 min f ( x ) f ( k ) max f ( x ) a xb a xb n k 0
故存在 [a , b] 使
1 n1 f ( ) f ( k ) n k 0
所以复化梯形公式的积分余项为
h3 RTn I Tn nf ( ) 12 ba 2 h f ( ) 12 3 b a [a , b] f ( ) 2 12n
由此解得
n 6616.67
2
所以
n 79
即至少要把区间[1，2]分为79等份。
对本例题的进一步思考：h是否越小越好？
前面介绍的复化求积公式对提高精度是行之 有效的，但使用前必须给出合适的步长h。
h太小则计算量增加
误差有积累，更需计算稳定
h太大则精度不满足
（收敛性）
计算方案：事先估计法 变步长（事后估计） 自适应步长法
2.系数Ak >0,满足 Ak b a ,故方法是稳定的.
k 0
n
三、例题
x
0
f(x)
1 0.9973978
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
sin x 举例 对于函数 f ( x ) x ， 1/8
试利用下表计算积分
I
1 sin
1/4
3/8 1/2 5/8 3/4 7/8
0.9896158
0.9767267 0.9588510 0.9361556 0.9088516 0.8771925
3*. 复化柯特斯公式 如果将每个小区间[xk，xk+1]四等分，内分点 依次记为 xk 1 , xk 1 , xk 3 ,
4 2 4
则相应地可得复化柯特斯公式。
数值计算方法 复化求积公式 - 复化求积公式
nn
(t
0 j0
j )dt
jk
柯
特点： 插值型的、节点等距
特 斯
存在问题： 节点较多时，高次插值的不稳定导致高阶N-
公
K
式
解决办法公：式的复不化稳求定积。
复化求积法：区间分成若干子区间,在每个子区间上用低 阶求积公式。
N=1时的牛-柯公式
1
梯 形 公 式 T b a f a f b
牛 顿 －
xk1 xk
f
( x )dx
h[ 2
f
(xk )
f
(
xk
1
)]
h3 12
f ''(k )
k [ xk , xk1]
求和可得
I
b
n1
f (x)dx
xk1 f ( x )dx
a
k0 xk
h 2
n1
[
k0
f
(
xk
)
f ( xk1)]
Rn ( f )
2
记
Tn
h 2
n1 k0
[
f
(
xk
)
f ( xk1)]
b
lim
n
T
n
a
f ( x)dx,
复 化
事实上
h n1
Tn
2
[
k0
f
(
xk
)
Hale Waihona Puke f ( xk1 )]梯 形 公
1 b a n1
ba n
2 n
f (xk )
k0
n
f ( xk ).
k 1
式 的 收
lim
复化求积公式
数值分析
第 二 节 复化求积公式
一、复化求积公式 复化求积公式的基本思想： 将区间[a , b] 分为若干个小子区间，在每个 小子区间上使用低阶的Newton-Cotes公式。然后
把它们加起来，作为整个区间上的求积公式。
数值分析
数值分析
1、复化梯形公式
将区间 a , b n等分, ba h , xk a kh, ( k 0,1, , n), n 在每个小区间 xk , xk 1 ,（k 0,1, , n 1） 上用梯形公式:
数值分析
数值分析
数值试验
复化Simpson公式Matlab程序
function rs= simpson(s,a,b,n) h = (b-a)/n; r= feval(s,a)+feval(s,b); for j = 1:2:n-1 x=a+j*h ; r= r+ 4*feval(s,x); end for j = 2:2:n-2 x=a+j*h ; r= r+ 2*feval(s,x); end 将此程序存于work目录中 rs = r*h/3;
n 1
复化Simpson公式的截断误差为
(b a ) 4 (4) 4 R( Sn ) h f ( ) O(h ) a, b 2880
数值分析
数值分析
数值分析
数值分析
Example 1
Approximate the integral
1 0.9 0.8 f(x)=sin(x)/x 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2
s in x dx x 0
Using the Composite Trapezoidal rule and Composite Simpson’s rule
第 二 节 复化求积公式
一、复化求积公式 复化求积公式的基本思想： 将区间[a , b] 分为若干个小子区间，在每个 小子区间上使用低阶的Newton-Cotes公式。然后
把它们加起来，作为整个区间上的求积公式。
数值分析
数值分析
1、复化梯形公式
将区间 a , b n等分, ba h , xk a kh, ( k 0,1, , n), n 在每个小区间 xk , xk 1 ,（k 0,1, , n 1） 上用梯形公式:
数值分析
数值分析
数值试验
复化Simpson公式Matlab程序
function rs= simpson(s,a,b,n) h = (b-a)/n; r= feval(s,a)+feval(s,b); for j = 1:2:n-1 x=a+j*h ; r= r+ 4*feval(s,x); end for j = 2:2:n-2 x=a+j*h ; r= r+ 2*feval(s,x); end 将此程序存于work目录中 rs = r*h/3;
n 1
复化Simpson公式的截断误差为
(b a ) 4 (4) 4 R( Sn ) h f ( ) O(h ) a, b 2880
数值分析
数值分析
数值分析
数值分析
Example 1
Approximate the integral
1 0.9 0.8 f(x)=sin(x)/x 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2
s in x dx x 0
Using the Composite Trapezoidal rule and Composite Simpson’s rule
复化求积公式
补例：用复化梯形法的递推公式计算求积分值 I 到T8
1
0
sin x dx. ，计算 x
解 我们先对整个区间[0,1]使用梯形公式。对于函数
sin x f x x
它在 x 0的值定义为 f 0 1 , 而 f 1 =0.8414709，据梯形公式计
算得
T1
1 [ f ( 0) f (1)] 0.9207355 2
5/8 0.9361556
0.9088516
0.9460832
7/8 0.8771925 1 0.8414709
比较上面例题分别用复化梯形公式和复化 Simpson公式得到的两个结果T8和S4,它们都在只提供 相同的9个点上的函数值上进行的，工作量基本相同, 然而精度却差别很大. 同积分的准确值I(f)=0.9460831比较,复化梯形法 的结果T8=0.9456909只有两位有效数字, 而复化 Simpson法的结果S4=0.9460832却有六位有效数字.
ba h n
1 h n 1 Tn f ( x 1 ) k 2 2 k 0 2
(4.3.3)
由递推复化梯形公式 (也称为变步长梯形公式）可见，在 已计算出 Tn 基础上再计算 T2 n 时，只要计算n个新分点上的函 数值就行了，这与直接利用复化梯形公式相比，计算工作量 几乎节省一半。
然后用梯形公式的递推化公式
T2
1 1 1 T1 f ( ) 0.9397933 2 2 2
1 1 1 3 T4 T2 f f 0.9445135 2 4 4 4
1 1 T8 T4 f 2 8
1 8
4
j 1
6.3 复化求积公式
§3 复化求积公式● 复化求积法的基本思想：将积分区间],[b a n 等分，可得到1+n 个求积节点：kh a x k +=，),,1,0(n k Λ=，其中nab h -=，对积分111()()k kn n bx k axk k I f x dx f x dx I +--=====∑∑⎰⎰在每一个小区间1[,]k k x x +上利用n 阶牛顿-柯特斯公式计算，然后对每个区间的近似积分值求和，用所得的值近似代替原积分值。
如此得到的求积公式称为复化求积公式。
● 复化梯形公式：（每个小区间上利用梯形公式求积）111110()()(()())2k kn bx ax k n k kk k k I f x dx f x dxx x f x f x +-=-++===-≈+∑⎰⎰∑求和展开得：0112111(()())(()())2(()())(()2()())2n n n n k k hT f x f x f x f x f x f x hf a f x f b --==++++++=++∑L其中，na b h -=复化辛甫生公式: （每个小区间上用辛甫生公式求积） 1、公式：112101110()()(()4()())6k kn bxax k n k kk k k k I f x dx f x dxx x f x f x f x +-=-+++===-≈++∑⎰⎰∑ 12k x +表示为区间1[,]k k x x +的中点。
求和展开得：13221201121((()4()())(()4()6())(()4()())n n n n hS f x f x f x f x f x f x f x f x f x --=+++++++++L121101(()4()2()())6n n k k k k hf a f x f x f b --+===+++∑∑ 其中：na b h -=。
复化柯特斯公式：（每个小区间上用柯特斯公式求积）1141324101101()()(7()32()9012()32()7())k kn bxax k n k kk k k k k k I f x dx f x dxx x f x f x f x f x f x +-=-++=+++==-≈++++∑⎰⎰∑ 12k x +为1[,]k k x x +的中点，14k x +，34k x +为1[,]k k x x +的四分之一分点。
4.3复化求积公式
4.3 复合求积公式
当积分区间 [ a , b ]的长度较大 , 而节点个数 n 1固定时
直接使用Newton-Cotes公式的余项将会较大
而如果增加节点个数 , 即 n 1 增加时
公式的舍入误差又很难得到控制
为了提高公式的精度,又使算法简单易行,往往使用复合方法
即将积分区间 [ a , b ]分成若干个子区间
h ba n , xk a k h ( k 0 , ... , n )
x k 1 xk
f ( x ) dx
Haven’t forget Why can’t Oh come on, you simply Don’t youwe had enough 上用梯形公式： formulae? What’s up youoscillatory nature of you don’t seriously consider the refine the partition ifhigh-have to Uh-oh benow? so picky? h=(ba)/2polynomials! degree acceptable, x k 1 x k do fyou? f ( x k 1 )] , k 0 , ... , n 1 [ ( xk )
k 1
0 . 94608331
C2
1 180 [7 f (0 )
[ 32
k 0
1
f (x
k
1 4
) 12 f ( x
k
2 4
) 32 f ( x
k
3 4
)] 14 f ( x k ) 7 f ( 1 )]
k 1
1
0 . 94608307
当积分区间 [ a , b ]的长度较大 , 而节点个数 n 1固定时
直接使用Newton-Cotes公式的余项将会较大
而如果增加节点个数 , 即 n 1 增加时
公式的舍入误差又很难得到控制
为了提高公式的精度,又使算法简单易行,往往使用复合方法
即将积分区间 [ a , b ]分成若干个子区间
h ba n , xk a k h ( k 0 , ... , n )
x k 1 xk
f ( x ) dx
Haven’t forget Why can’t Oh come on, you simply Don’t youwe had enough 上用梯形公式： formulae? What’s up youoscillatory nature of you don’t seriously consider the refine the partition ifhigh-have to Uh-oh benow? so picky? h=(ba)/2polynomials! degree acceptable, x k 1 x k do fyou? f ( x k 1 )] , k 0 , ... , n 1 [ ( xk )
k 1
0 . 94608331
C2
1 180 [7 f (0 )
[ 32
k 0
1
f (x
k
1 4
) 12 f ( x
k
2 4
) 32 f ( x
k
3 4
)] 14 f ( x k ) 7 f ( 1 )]
k 1
1
0 . 94608307
复化求积公式
复化求积公式复化求积复化求积是数值计算中一种常用的数值积分方法，用于近似计算函数的定积分。
1. 方法介绍复化求积的基本思想是将要求解的定积分区间划分为若干个小区间，并对每个小区间采用数值积分方法进行近似计算，最后将各小区间的积分结果相加得到整个定积分的近似值。
2. 公式列表以下是复化求积的常用公式：矩形公式矩形公式是最简单的复化求积公式，将每个小区间近似为一个矩形，并取矩形的高度为该小区间上函数值的平均值。
矩形公式的表达式如下：∫[a, b] f(x) dx ≈ (b - a) * (f(a) + f(b)) / 2其中，a和b为积分区间的上下限。
梯形公式梯形公式是复化求积中常用的公式，将每个小区间近似为一个梯形，并取梯形的高度为该小区间上函数值的平均值。
梯形公式的表达式如下：∫[a, b] f(x) dx ≈ (b - a) * (f(a) + f(b)) / 2其中，a和b为积分区间的上下限。
辛普森公式辛普森公式是复化求积中精度更高的公式，将每个小区间近似为一个二次曲线，并取二次曲线的高度为该小区间上函数值的平均值。
辛普森公式的表达式如下：∫[a, b] f(x) dx ≈ (b - a) * (f(a) + 4 * f((a + b) / 2) + f(b)) / 6其中，a和b为积分区间的上下限。
3. 示例说明以求解函数f(x) = x^2在区间[0, 1]上的定积分为例，通过复化求积方法进行近似计算。
矩形公式计算将区间[0, 1]划分为n个小区间，每个小区间的宽度为h = (1 - 0) / n。
利用矩形公式计算每个小区间的积分值，然后将所得结果相加。
∫[0, 1] x^2 dx ≈ (1 - 0) * (f(0) + f(1)) / 2= (1 - 0) * (0^2 + 1^2) / 2= 1/2梯形公式计算同样将区间[0, 1]划分为n个小区间，每个小区间的宽度为h = (1 - 0) / n。
计算方法 3335 复化求积公式
第4节 变步长复化求积法 复化求积公式存在的问题 .
变步长积分法
复化求积法是提高精度的有效方法，但是由于f ( x )表达式往往 未知或高阶导难于计算，在给定精度条件下，步长h难以确定！
. h太大，会导致较大的截断误差，精度达不到； . h太小，必增加计算次数，造成舍入误差的积累.计算量大！
. 变步长复化求积法的基本思想
逐次分半算法
先选择一个较大的步长，对结果进行精度估计，若不满足精度 则步长减半，直到满足精度要求。方法称为变步长积分法。
. 需要考虑的问题
. 如何判断结果的精度？
. 在h减半的情况下，如何节省计算量？
.计算结果精度的如何判定？
2 h ETn ( f ) I Tn (b a ) f ( ) 12 ba 其中，h= . n
2( b a ) b a 6 (6) EC ( f ) ( ) f ( ) 945 4
[ xk 1 , xk ]上的求积余项
h E Tk ( f ) h2 f (k ) 12
4
复化公式的余项
h2 E ( f ) ( b a) f ( ) 12
C2
0.94569086 精度最低
x0 x0 x01/2 x01/4 x1 x2 x01/2 x1 x11/2 x0 3/4 x21/2 x11/4 x3 x11/2 x31/2 x1 3/4 x4 x2
x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8
复化Simpson公式：n 4, h
e | E ( f ) | . 2 12 n 1 若使求积误差不超过 10 -4 ，只需取 n使满足 2 e 1 4 2 4 10 6 n 10 e, 2 2 12 n ln n 1.8266 n 68
95-4-3复化求积公式
ba n
lim
n
Tn
2 lnim
n
k0
f
(xk
)
lim
n
n
f ( xk )
k 1
敛
1b
b
b
2 [a f ( x)dx a f ( x)dx] a f ( x)dx
说 明 复 化 梯 形 公 式 是 收敛 的 。
4
设 计 算f ( xk )时 产 生 的 误 差 为 k , 则 按 上 述 公 式
( 1) n k k!(n0
j )dt
jk
柯
特点： 插值型的、节点等距
特 斯
存在问题： 节点较多时，高次插值的不稳定导致高阶N-
公
K
式
解决办法公：式的复不化稳求定积。
复化求积法：区间分成若干子区间,在每个子区间上用低 阶求积公式。
N=1时的牛-柯公式
1
梯 形 公 式 T b a f a f b
)
f ( xk1)]
复
则 Tn
h 2
[
f
(
x
0
)
n1 k 1
f (xk )
n2 k0
f ( xk1)
f (xn)]
化 梯
注意到:
f ( x0 ) f (a), f ( xn ) f (b)
形 公 式
h[ f (a) 2
n1 k 1
f (xk )
n1 k 1
f (xk )
f (b)]
第 四
数值微积分
章
第四章 数值微积分
1 数值积分方法 2 求积公式的代数精度 3 复化求积方法 4 龙贝格方法 5 高斯求积方法 6 数值微分
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xk xk 1 xk1 f ( x)dx 2 [ f ( xk 1 ) f ( xk )] , k 1, ... , n n n 1 b h h f ( x )dx [ f ( xk 1 ) f ( xk )] f (a ) 2 f ( xk ) f (b) a 2 2 k 1 k 1
R[ f ] 1 b '' 1 2 f ( x)dx [ f ' (b) f ' (a)] h 12 a 12
2阶收敛
4阶收敛
6阶收敛
例1：计算
4 2 0 1 x
1
dx 用8等分的梯形公式和4等分的Simpson公式计算
运算量基本 相同，都用 了9个点
7 1 解： T8 f (0) 2 f ( xk ) f (1) 16 k 1
§4 龙贝格积分 /* Romberg Integration */
复化梯形公式算法简单，但精度较差，收敛速度（2阶收敛） 较慢，如何提高收敛速度？
4m 1 , m 注：按上面规律，可以构造线性组合系数为 m 4 1 4 1 的新的积分公式，但当m>4时，前一个系数接近于1，后一个 系数接近于0，这样构造出的新公式与前一个公式结果差别不 大，反而增加计算量，因此实际上常做到Romberg公式为止。
n
2
收敛速度与误差估计：
定义
若一个复化积分公式的误差满足
lim
h 0
则称该公式是 p 阶收敛的。 复化梯形公式：
R[ f ] 且C C p h
0，
h2 h 2 b '' R[ f ] (b a) f '' ( ) f ( x)dx /*中值定理*/ 12 12 a
sin x 例：分别用复化梯形和复化Simpson求积公式计算积分I dx, 0 x 1 要求误差不超过＝ 10 6 2 1 解：利用max | f ( k ) ( x) | 0 x 1 k 1 1.复化梯形公式
1
I C4 0.946083004
事后误差估 计式，可用 来判断迭代 是否停止。
xk
= Tn
h h ( k )] (b a ) k 1 R[ f ] [ f 12 12 n k 1 h2 (b a ) f ( ), (a , b ) 12
n
3
2
f (
n
k
)
/*中值定理*/
ba 复化 Simpson 公式： h n , xk a k h
§3 复合求积 /* Composite Quadrature */
高次插值有Runge 现象，故采用分段低次插值 分段低次合成的 Newton-Cotes 复合求积公式。 复合梯形公式： h
ba , xk a k h n ( k 0, ... , n)
在每个 [ xk 1 , xk ] 上用梯形公式：
其中 x k
k 8
= 3.138988494
S4 1 f (0) 4 f ( x k ) 2 f ( x k ) f (1) 其中 x k k 24 odd even 8
= 3.141592502
Q: 给定精度 ，如何取 n ?
例如：要求 | I Tn | ，如何判断 n = ？
4
= Sn
b a h (4) R[ f ] f ( ) 180 2
注：为方便编程，可采用另一记法：令 n’ = 2n 为偶数，
这时 h b a h , xk a k，有 h
h S n [ f (a ) 4 f ( xk ) 2 f ( xk ) f (b)] 3 odd k even k
( k 0, ... , n)
xk 1 xk
h f ( x ) dx [ f ( xk ) 4 f ( xk 1 ) f ( xk 1 )] 2 6
xk
xk1
2
x k 1
4 4 4
4 4
b
a
n 1 n 1 h f ( x)dx [ f (a) 4 f ( xk 1 ) 2 f ( xk ) f (b)] 2 6 k 0 k 1
R[ f ] 1 b '' 1 2 f ( x)dx [ f ' (b) f ' (a)] h 12 a 12
2阶收敛
4阶收敛
6阶收敛
例1：计算
4 2 0 1 x
1
dx 用8等分的梯形公式和4等分的Simpson公式计算
运算量基本 相同，都用 了9个点
7 1 解： T8 f (0) 2 f ( xk ) f (1) 16 k 1
§4 龙贝格积分 /* Romberg Integration */
复化梯形公式算法简单，但精度较差，收敛速度（2阶收敛） 较慢，如何提高收敛速度？
4m 1 , m 注：按上面规律，可以构造线性组合系数为 m 4 1 4 1 的新的积分公式，但当m>4时，前一个系数接近于1，后一个 系数接近于0，这样构造出的新公式与前一个公式结果差别不 大，反而增加计算量，因此实际上常做到Romberg公式为止。
n
2
收敛速度与误差估计：
定义
若一个复化积分公式的误差满足
lim
h 0
则称该公式是 p 阶收敛的。 复化梯形公式：
R[ f ] 且C C p h
0，
h2 h 2 b '' R[ f ] (b a) f '' ( ) f ( x)dx /*中值定理*/ 12 12 a
sin x 例：分别用复化梯形和复化Simpson求积公式计算积分I dx, 0 x 1 要求误差不超过＝ 10 6 2 1 解：利用max | f ( k ) ( x) | 0 x 1 k 1 1.复化梯形公式
1
I C4 0.946083004
事后误差估 计式，可用 来判断迭代 是否停止。
xk
= Tn
h h ( k )] (b a ) k 1 R[ f ] [ f 12 12 n k 1 h2 (b a ) f ( ), (a , b ) 12
n
3
2
f (
n
k
)
/*中值定理*/
ba 复化 Simpson 公式： h n , xk a k h
§3 复合求积 /* Composite Quadrature */
高次插值有Runge 现象，故采用分段低次插值 分段低次合成的 Newton-Cotes 复合求积公式。 复合梯形公式： h
ba , xk a k h n ( k 0, ... , n)
在每个 [ xk 1 , xk ] 上用梯形公式：
其中 x k
k 8
= 3.138988494
S4 1 f (0) 4 f ( x k ) 2 f ( x k ) f (1) 其中 x k k 24 odd even 8
= 3.141592502
Q: 给定精度 ，如何取 n ?
例如：要求 | I Tn | ，如何判断 n = ？
4
= Sn
b a h (4) R[ f ] f ( ) 180 2
注：为方便编程，可采用另一记法：令 n’ = 2n 为偶数，
这时 h b a h , xk a k，有 h
h S n [ f (a ) 4 f ( xk ) 2 f ( xk ) f (b)] 3 odd k even k
( k 0, ... , n)
xk 1 xk
h f ( x ) dx [ f ( xk ) 4 f ( xk 1 ) f ( xk 1 )] 2 6
xk
xk1
2
x k 1
4 4 4
4 4
b
a
n 1 n 1 h f ( x)dx [ f (a) 4 f ( xk 1 ) 2 f ( xk ) f (b)] 2 6 k 0 k 1