4.3 复化求积公式

（4）复化梯形的递推化（变步长梯形公式）
上面介绍的步长变化的计算方案，虽然提供了估计误差 与选取步长的简便方法，但是还没有考虑到避免在同一节点 上重复计算函数值的问题，故有进一步改进的余地。
先看复化梯形公式, 计算Tn时，需计算n+1个点 （它们是积分区间[a,b]的n等分的分点）上的函数值, 当Tn不 满足精度要求时，根据上面提供的方案，就应将各小区间分半，
f
( xn1

h) 2
f
(b)]
b
h
n1
n1
a
f (x)dx
[ f (a) 4
6
j0
f
(x
j1 2
)

2
j 1
f (xj)
f (b)]
0
1/4
例4.14 对于函数 f (x) sin x x
试用数据表，应用复化Simpson求积公
式计算积分
1 sin x
Tn

h 2

f
n1
(a) 2
k 1
f
(xk )
f
(b)
复化梯形公式积分法的 几何意义是曲边梯形面积近 似地用许多小的细条梯形来 代替．（如右图）
从图中可以看出，n 越大，则h 越小，实际面积与近似面 积的差，即求积误差也就越小．
这与分段插值相类似，问题所不同的是分段插值函数是不 光滑的，而数值积分公式是对一个数的近似，不存在光滑和不 光滑的问题．

h[ 6
f
n1
(a) 4
k 0
f
n1
(
x
k

1 2
)

2
k
1
f
(xk )
f
(b)], h

ba n
=
Sn
(4.3.4)
复化Simpson积分公式的几何意义
Sn (
f
)

h[ 6
f
(a)

4
f
(a

h) 2

2
f
(x2 )

4
f
( x2

h) 2


2
f
(xn1) 4

0.9456909
与例4.14直接计算T8的结果一致。
2 复化Simpson求积公式
将积分区间[a,b]划分为n等份， h=(b-a)/n,
在每个子区间
上用 Simpson公式可
得
x
k

1
2

xk

1h 2
xk1 xk
f
(x) dx

xk 1 xk 6
[ f (xk ) 4 f
(
1
[
f
(
xk
1
)

f (xk )],
k 1, ..., n
b
n
f (x)dx
a k 1
xk xk 1
f
(x)dx

n k 1
h[ 2
f
(xk1)
f
(xk )]
h
n1


2

f
(a)
2
k 1
f
(xk )
f
(b)
=Tn
称 Tn为复化梯形公式 (4.3.1)
n
(b a)h4 j1 f (4) ( j )
90 25
n
由闭区间上连续函数的介值性质可知在[a,b]上至少存在一点，
使
f (4) ( ) 1
n
n j 1
f (4) ( j )
I(
f
)

Sn (
f
)


ba 2880
h4
f
(4) ( ), a



b
f
( xk 1
2
)
h ba n
1
h n1

2 Tn

2
k 0
f
(
x
k

1
)
2
(4.3.3)
由递推复化梯形公式 (也称为变步长梯形公式）可见，在 已计算出Tn 基础上再计算T2n时，只要计算n个新分点上的函 数值就行了，这与直接利用复化梯形公式相比，计算工作量 几乎节省一半。
补例：用复化梯形法的递推公式计算求积分值 到T8
h6
f
(6) ( )
当 h 充分小时又有：
Rc (
f
)


2 945
h6[
f
(5) (b)

f
(5) (a)]
(4.3.7)
由此可知，复化Cotes公式是6阶收敛的；
0
例4.14 对于函数 f (x) sin x x
试用数据表，应用复化Cotes求积公式
计算积分
1 sin x
I ( f ) 0 x dx
点，将新增加的分点处的函数值从求和记号中分离出来，就有:
b a
n1
n1

T2n
4n

f
(a)

2
k 1
f
(xk )

2
k 0
f
( xk 1
2
)
f
(b)

1 2
h 2

f
(a)

n1
2
k 1
f
(xk )

f
(b)
h 2
n k 0
计算出新近似值T2n 。若仍用复化梯形公式计算T2n ，就需求出 2n+1个点（[a,b]的2n等分点）上的函数值。
Tn

h 2

f
(a)
n1
2
k 1
f
(xk )
f
(b)
而实际上，在这2n+1个分点中，包含有n+1个n分点，对应 的函数值在计算Tn时已算出，现重新来计算这些点上的函数值 ，显然是极不合理的。
T2

1 2 T1

1 2
f ( 1 ) 0.9397933 2
T4

1 2
T2

1 4

f

1 4


f

3 4


0.9445135
T8

1 2
T4

1 8

f

1 8


f

3 8


f

5 8


f

7 8
4

24

f
(0)

4
k 1
f

2Fra Baidu bibliotek 1 8

3
2
k 1
f

2k 8


f (1)
6/8
0.9460832
7/8
3/4
1
f (x) 1
0.9973978 0.9896158 0.9767267 0.9588510 0.9361556 0.9088516 0.8771925
x
k

1
)

2
f
( xk 1)]
xk
x k1
x k 1
2
b
n1
f (x)dx
xk1 f (x)dx
a
x k 0 k
4 4

xk 1 xk 6
m1 f
k0
xk

4f
(
x
k

1
)

2
f
( xk 1 )
4
4
4
称Sn为复化 Simpson公式
典型的复化求积公式包括复化梯形求积公式和复化 辛普生求积公式.
1 复化梯形求积公式
（1） 复化梯形求积公式的构造
将积分区间[a,b]划分为n等份，h

b
n
a
,
xk
akh
(k 0, ..., n)
在每个 [ xk1, xk ] 上用梯形公式：
xk xk1
f ( x)dx
xk
xk 2
定义
若一个积分公式的误差满足
lim
h0
R[ f hp
]

C


且C 0，
则称该公式是 p 阶收敛的。
显然，复化梯形公式是2 阶收敛的；

lim RTn h n 2


1 12
(b

a)
f
()

Tn

h 2

f
(a)
n1
2
k 1
f
(xk )
f
(b)
I
1 sin x
0 x dx.，计算
解 我们先对整个区间[0,1]使用梯形公式。对于函数 f x sin x
x
它在 x 0的值定义为 f 0 1 , 而 f 1 =0.8414709，据梯形公式计
算得
T1

1 [ f (0) 2
f
(1)]
0.9207355
然后用梯形公式的递推化公式
(4.3.5)
可见,当f(x)有四阶导数时,复化Simpson公式具有4阶收敛.
3. 复化Cotes求积公式（n 等分, 在宽度为h的区间 上运用Cotes 公式）
b
a f (x)dx Cn
h
n 1
n 1

[7 f (a) 32
90
k 0
f
(
x
k

1
4
)
12
k 0
f
(
min
1k n
f (k )

1 n
n k 1
f
(k )

max
1k n
f (k )
由中值定理知, (a,b),使得
f
( )

1 n
n k 1
f
(k )
RTn
h2 (b a) f
12
( )
(4.3.2)
（3）收敛性
从复化梯形求积公式的余项可知,与相应的NewtonCotes求积公式相比,复化求积公式一般不能提高代数精 度,但它们均具有收敛性.
使误差不超过
，问各取多少个节点？
解：由复化梯形公式的误差公式，令
时，要
由此解得 由复化辛普森公式的误差公式，令
f
(b)
4/8 5/8

1
8

2

f
7
(0) 2
k 1
f
k 8
f
(1)
6/8
0.9456909
7/8
1
3/4
1
f (x) 1
0.9973978 0.9896158 0.9767267 0.9588510 0.9361556 0.9088516 0.8771925 0.8414709
I ( f ) 0 x dx
解：将区间[0,1] 4 等分, h=1/4, 应用复化
Simpson求积公式计算,
2/4
x 0 1/8 2/8 3/8
S4

h 6

f
(a) 4
3 j 1
f
(xj1 ) 2 2
3 j 1
f
(xj)
f
(b)

4/8 5/8
1
x
k

2
)
4
n 1
n 1
32 k 0
f
(
x
k

3
4
)
14
k 1
f (xk ) 7 f (b)]
xk
x k2
x k 1
4
x
k

i
4

xk

ih 4
（4.3.6）
复化Cotes公式的余项分别为：其中ξ∈[a,b]
Rc ( f )
b a
f
(x)dx
Cn


2(b a) 945
解：将区间[0,1] 2等分, h=1/2, 应用复化 Cotes求积公式计算,
1/2
1
x f (x)
0
1
1/8 0.9973978
2/8 0.9896158
3/8 0.9767267
C2

h 90
7
f
(0) 32( f
(1) 8
f
(5)) 12( 8
f
(2) 8
f
( 6)) 8
0
1/4
例4.14 对于函数 f (x) sin x x
试用数据表应用复化梯形法计算积分
1 sin x
I ( f ) 0 x dx
2/4
x 0 1/8
解 将区间[0,1]划分为n=8等分,h=1/8, 应 2/8
用复化梯形法求得
3/8
T8

h 2

f
7
(a) 2
k 1
f
(xk )
误差估计
每个子区间上的误差估计式为
Rj
( h)5 2
90
f
(4)
(
j
), h

b
n
a
,
xj
j
xj1 2
将每个子区间的误差相加得
I
(
f
)

Sn
(
f
)


h5 90
25
n j 1
f (4) ( j )
h4 b a 90 25 n
n j 1
f (4) ( j )
4.3 复化求积公式
4.3. 1 复化梯形求积公式 4.3.2复化Simpson求积公式 4.3.3复化Cotes求积公式 4.3.4 收敛性
4.3.5误差的事后估计与步长的自动选择
由上面Newton-Cotes公式易见，当n 较大时不稳定． 因此，在实际应用中，为避免高次求积公式，往往采取复 化求积的方法，即：先将积分区间分成几个小区间，并在 每个小区间上利用低阶Newton-Cotes公式计算积分近似值 。然后对这些近似值求和，从而得所求积分的近似值。由 此得到一些具有更大实用价值的数值求积公式，统称为复 化求积公式。
（2）误差估计 每个子区间上的误差估计式为
将n个子区间的误差相加得
n
R[ f
]
n [ h3 k 1 12
f
(
k
)]


h2 12
(b

a)
k 1
f (k )
n
R[ f
]
h3 12
f (k )
k (xk1, xk )
由于f (x) C2[a,b],且
32(
f
(3) 8
f
( 7)) 14 f 8
(1) 7 2
f
(1)

1 [...] .... 180
4/8 0.9588510 5/8 0.9361556 6/8 0.9088516 7/8 0.8771925 1 0.8414709
例4.15分别用复化梯形公式和复化Simpson公式计算
为避免这种重复计算，我们来分析新近似值T2n与原有近 似值Tn之间的关系。由复化梯形公式知：
T2n

h2n 2
[f
2n1
(a) 2
k 1
f
(xk )
f
(b)],
ba h2n 2n
注意到在2n分点
当k取偶数时，xk
即xk 为na分点k，b2k为na奇（数k时=1，,2x,…k 才…是2n新-1)增中加，的分
1 0.8414709
比较上面例题分别用复化梯形公式和复化 Simpson公式得到的两个结果T8和S4,它们都在只提供 相同的9个点上的函数值上进行的，工作量基本相同, 然而精度却差别很大.
同积分的准确值I(f)=0.9460831比较,复化梯形法 的结果T8=0.9456909只有两位有效数字, 而复化 Simpson法的结果S4=0.9460832却有六位有效数字.