11 关系 习题答案

练习 11.1
1. 设A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}，B = {1, 2, 3}，A 到B 的关系R = {<a,b> | a = b 2}，则Dom(R)和Ram(R)分别为（ C ）（P178 1(1)）
A. {<1, 2>}, {1, 4}
B. {<1, 4>}, {2, 1}
C. {1, 4}, {1, 2}
D. {1, 2}, {1, 4}
2. 集合A = {1, 2, …, 10}上的关系R = {<x, y> | x + y = 10}，则R 的性质为（ B ）（P178 1(2)）
A. 自反的
B. 对称的
C. 传递的、对称的
D. 反自反的、传递的 3. 设A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}上的关系为R = {<i, z> | i > z}，则R 的性质是（ C ）（P178 1(4)） A. 对称的 B. 自反的的 C. 反自反的、反对称的、传递的 D. 反对称的 4. 设A,B 为集合，|A |= n, |B |=m 。

（P179 3） （1）问A 到B 的二元关系共多少个？ （2）问A 上二元关系共多少个？ 解： （1）A 到B 的二元关系共2n ⨯m 个
（2）A 上二元关系共2
2n 个
5. 设A ＝{0,1,2,3,4,5}，B={1,2,3}，用列举法描述下列关系，并作出它们的关系图及关系矩阵：（P179 4(2)(3)）
（1）R 2={<x,y>|x ∈A ∧y ∈B ∧x=y 2} （2）R 3={<x,y>|x ∈A ∧y ∈A ∧x+y=5} 解：
（1）R 2={<1,1>,<4,2>}
2
R
M =⎥⎥
⎥⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡000010000000001000
（2）R 3={<0,5>,<1,4>,<2,3>,<3,2>,<4,1>,<5,0>}
3R M =⎥
⎥
⎥⎥⎥
⎥
⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎣⎡000001000010000100001000010000100000
6. 设A ＝{a,b,c,d}，A 上二元关系R 1，R 2分别为 R 1={<b,b>,<b,c>,<c,a>}
R 2={<b,a>,<c,a>,<c,d>,<d,c>}
计算R 1◦R 2，R 2◦R 1，R 2
1，R 22。

（P180 7） 解： R 1◦R 2 = {<b,a>,<b,d>} R 2◦R 1 = {<d,a>}
R 21= {<b,b>,<b,c>,<b,a>} R 22= {<d,d>,<d,a>,<c,c>}
7. 设{1,2,3}{,,}{,,}A B a b c C αβγ===，，，
R 是A 到B 的关系，S 是B 到C 的关系，且 。

，},,,,,,,{},2,,2,,1{><><><><=><><><=γβαβc c b a S c a b R （1） 求复合关系S R 。

（2） 用矩阵的逻辑乘求S R 的关系矩阵。

（3） 画出R 、S 和S R 的关系图。

解：
（1）},2,,2,,1{><><><=γβαS R
（2）⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡000110001 （3）
*8. 证明：当关系R 传递且自反时，R 2＝R 。

（P181 14） 证明： 当R 传递时，由定理已知R 2 ⊆ R ；
设xRy 。

因为R 自反，所以有yRy ，于是有xR 2y ，因此R ⊆ R 2。

综上R 2＝R 。

*9. 证明：若集合A 上关系R 1，R 2，满足R 1 ⊆ R 2，那么对任一A 上关系R 3有
R 1 ◦ R 3 ⊆ R 2 ◦ R 3
R 3 ◦ R 1 ⊆ R 3 ◦ R 2 （P181 15）
证明：（1）设任意x ，y ∈A ， x R 1 ◦ R 3y ⇒ ∃u(xR 1u ∧ uR 3y)
⇒ ∃u(xR 2u ∧ uR 3y) ⇒ x R 2 ◦ R 3y 所以R 1 ◦ R 3 ⊆ R 2 ◦ R 3
（2）设任意x ，y ∈A ，若x R 3 ◦ R 1y ，则存在u ∈A 使xR 3u ∧ uR 1y 成立；因为R 1 ⊆ R 2
且uR 1y ，所以uR 2y 成立，则xR 3u ∧ uR 2y 成立，所以x R 3 ◦ R 2y 。

证明完毕。

*10. 称A 上关系R 是反传递的，如果
∀x ∀y ∀z(xRy ∧ yRz → ┐xRz)
证明：R 是反传递的当且仅当R 2
⋂ R = ∅ （P181 17）
证明：设R 2 ⋂ R = ∅。

若xRy 且yRz ，则xR 2z ，由于R 2 ⋂ R = ∅，所以<x ,z >∉R ，所以R 是反传递的。

设R 是反传递的，反设R 2 ⋂ R ≠ ∅，则必存在xR 2z 且xRz 。

由xR 2z ，则存在y ∈A 使得xRy 并且yRz ，它们与xRz 一起同R 反传递相矛盾，所以R 2 ⋂ R = ∅。

R 是反传递的当且仅当R 2 ⋂ R = ∅得证。

练习 11.2
1. 集合A 上的等价关系R ，决定了A 的一个划分，该划分就是（ D ）（P188 1(5)） A. 并集A ∪R B. 交集A ∩R C. 差集A – R D. 商集A/R
2. 集合A 上的一个划分，确定A 的元素间的关系为（ B ）（P188 1(6)）
A. 全序关系
B. 等价关系
C. 序关系
D. 半序关系
*3. 设R 1，R 2，…，R n 均为A 上等价关系，证明
n
i 1
=R i
也是A 上等价关系。

（P188 4） 证明： R 1，R 2，…，R n 均为A 上等价关系，则R 1，R 2，…，R n 均满足自反、对称、传递性，而交运算对自反、对称、传递性都封闭，所以 n i 1=R i
也满足自反、对称、传递性，故 n
i 1
=R
i
也是A 上等价关系。

补充：求集合{a,b}上有几个等价关系，并写出这些等价关系。

解：集合{a,b}上有两个划分{{a}，{b}}和{{a ，b}}，分别对应两个等价关系 {<a,a>,<b,b>} 和{<a,a>, <a,b>, <b,a>, <b,b>}
练习 11.3
1. 集合A 上的关系R 是序关系的必要条件是（ A ）
A. 自反的，反对称的和传递的
B. 自反的和对称的
C. 传递的和自反的
D. 传递的和反对称的
2. 设有两个集合{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}和{3, 9, 27, 54}，定义偏序关系为整除关系，分别画出它们的哈斯图，并求两个集合的最大、最小、极大、极小元。

解：哈斯图如下图所示。

第一个集合，最大元24， 最小元1，极大元24，极小元1。

第二个集合，最大元54， 最小元3，极大元54，极小元3。

3. 右图为一有序集<A, R>的哈斯图。

（l ）下列命题哪些为真？ aRb ，dRa ， cRd ， cRb ， bRe ， aRa ， eRa ； （2）恢复R 的关系图。

（3）指出A 的最大、最小元（如果有的话），极大、极小元。

（4）求出子集B 1 = {c,d,e}，B 2 = {b,c,d }，B 3 = {b,c,d,e}的上界、下界，上确界、下确界（如果有的话）。

解：
（1）为真的命题有：dRa, aRa ，eRa ， （2）见下图。

（3）A 的最大元素为a ，A 的最小元素不存在；极大元为a ，极小元为d ，e 。

（4）子集B 1 = {c,d,e}的上界为a 和c ，下界不存在，上确界为c, 下确界不存在；
子集B 2 = {b,c,d }的上界为a ，下界为d ，上确界为a ，下确界为d ；
子集B 3 = {b,c,d,e}的上界为a ，下界不存在，上确界为a, 下确界不存在.。