2020年中学生数学竞赛模拟试题及答案(一)

2020年中学生数学竞赛模拟试题及答案（一）
一、填空题（每题7分，满分70分，将答案填在答题纸上）
1. ____________．
【答案】
【解析】
2. 已知，，映射满足．则这样的映射有____________个．
【答案】35
【解析】对应同一个数:有5种;
对应不同两个数:有种；
对应不同三个数：有种，所以共35种
3. 设函数，（其中表示不超过的最大整数），则函数的值域为____________．
【答案】
【解析】当时，=
当时，=
所以值域为
4. 已知，是实系数一元二次方程的两个虚根，且
，则____________．
【答案】
【解析】由题意可设，由得
所以
5. 已知数列满足,，则的最小值为
____________．
【答案】
【解析】
点睛：在利用叠加法求项时，一定要注意使用转化思想.在求和时要分析清楚哪些项构成等差数列，哪些项构成等比数列，清晰正确地求解.在利用基本不等式求最值时注意数列定义域，明确等于号是否取到.
6. 从椭圆外一点作椭圆的两条切线和，若，则点轨迹方程为____________．
【答案】
【解析】设点为，则方程为，与联立方程组得，所以
，由题意得
的两根乘积为-1，所以，当的斜率不存在时也满足，因此点轨迹方程为
7. 已知圆，抛物线，设直线与抛物线
相交于、两点，与圆相切于线段的中点，如果这样的直线恰有4条，则的取值范围是____________．
【答案】
【解析】设直线方程,与抛物线方程联立得
中点
当时,显然有两条直线满足题意,因此时,还有两条直线满足题意,即
点睛：解析几何范围问题，一般解决方法为设参数，运用推理，将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，然后直接推理、计算，并在计算推理的过程中列不等关系，从而得到取值范围．
8. 函数的定义域和值域为，的导函数为，且满足
，则的范围是____________．
【答案】
【解析】令，则
即的范围是
点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造，构造，构造
，构造等
9. 已知函数，若存在非零实数使得
，则的最小值为____________．
【答案】
【解析】由题意得即
因此
学￥科￥网...学￥科￥网...学￥科￥网...
10. 集合中有____________对相邻的自然数，它们相加时将不出现进位的情形．
【答案】167
二、解答题（本大题共4小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
11. 求的值．
【答案】
【解析】解：
12. 如图，圆和圆相交于点，半径、半径所在直线分别与圆、圆相交于点，过点作的平行线分别与圆、圆相交于点．证明：．
【答案】见解析
【解析】试题分析:根据平角得三点共线，根据同弦所对角相等得四点共圆．根据四点共圆性质得，即得，同理可得，根据等量性质得．
试题解析:解：延长、分别与圆、圆相交于点，连结
．则，所以三点共线．又，于是四点共圆．
故，从而，因此，同理
．所以．
13. 设点，是正三角形，且点在曲线上．（1）证明：点关于直线对称；
（2）求的周长．
【答案】（1）见解析（2）的周长为．
【解析】试题分析：（1）即证，由，可化简得证（2）设，则．由化简得，其中，解得，反代即得，的周长为．
试题解析:（1）证明：设上一点为，
则其与点的距离满足．
由，知，化简得，所以，，点关于直线对称．
（2）解：设，则．则，而
，
令，由是正三角形有得，
解得或（舍去），
所以，的周长为．
14. 设是正数数列，，且．求证：
．
【答案】见解析
【解析】试题分析：放缩证明：先证，再证．前面用数学归纳法证明，后面用导数求证，再令，则有
．由裂项相消法求和可得结论
试题解析:下面用数学归纳法证明：当，时，，
①当时，，上述结论成立；
②设时，成立，则当时
所以当时，结论也成立．
综合①②得，对任意的，都有．
当时，；
当时，．
下面证明：，即证明．设函数，则
，
所以在上是增函数，所以恒成立，即
．
令，则有．
故
所以．
综上可得．。