一元二次方程求根公式讲解学习
一元二次方程的求根公式推导过程
一元二次方程的求根公式推导过程《初中生看过来：一元二次方程求根公式推导》同学们，咱们今天来聊聊一元二次方程的求根公式是咋来的。
比如说有个一元二次方程：$x^2 + 3x 4 = 0$。
咱们想把这个方程的解找出来，就得推导求根公式。
咱们先假设方程$ax^2 + bx + c = 0$，其中$a$不等于 0。
然后呢，我们用配方法来搞一搞。
先把方程两边同时除以$a$，得到$x^2 + \frac{b}{a}x +\frac{c}{a} = 0$。
\[\begin{align}x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{b^2}{4a^2}=\frac{b^2}{4a^2} \frac{c}{a}\\(x + \frac{b}{2a})^2=\frac{b^2 4ac}{4a^2}\end{align}\]然后开平方，就得到了求根公式：$x = \frac{b \pm \sqrt{b^2 4ac}}{2a}$。
是不是挺神奇的？以后遇到一元二次方程，就可以用这个公式轻松求解啦！《高中生朋友，一起探索一元二次方程求根公式》嘿，高中生们！咱们来深入探究一下一元二次方程的求根公式是怎么推导出来的。
我们都知道一般形式是$ax^2 + bx + c = 0$，（$a≠0$）。
咱们开始动手推导。
先把方程两边同除以$a$，变成$x^2 +\frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0$。
然后，我们想办法把左边凑成一个完全平方式。
给方程两边加上$\frac{b^2}{4a^2}$，就得到了$(x + \frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2 4ac}{4a^2}$。
以后解题的时候，这个公式可是大有用处，能让咱们快速求出方程的根。
《大学生，重温一元二次方程求根公式推导》亲爱的大学生们，今天咱们来重温一下一元二次方程求根公式的推导过程。
比如说有个方程$3x^2 + 2x 5 = 0$。
一般式是$ax^2 + bx + c = 0$，且$a≠0$。
一元二次方程的公式法讲解
一元二次方程的公式法讲解一元二次方程是高中数学中经常遇到的一种形式，它的一般形式为ax²+bx+c=0，其中a、b、c分别为已知系数。
为了求解这种类型的方程，人们发展出了一元二次方程的公式法。
一元二次方程的公式法是一种通过一元二次方程的一般形式，利用特定的公式来求解方程的方法。
这个公式被称为二次方程的求根公式，它可以帮助我们快速地计算出方程的根。
二次方程的求根公式如下：x = (-b ± √(b²-4ac)) / 2a其中，±表示两个解，√表示平方根。
这个公式中的√(b²-4ac)被称为判别式，它的值决定了方程的根的性质。
当判别式大于0时，方程有两个不相等的实根。
当判别式等于0时，方程有两个相等的实根。
当判别式小于0时，方程没有实根，但有两个共轭复根。
通过这个公式，我们可以很方便地求解一元二次方程。
首先，我们需要确定方程中的系数a、b、c的值。
然后，我们将这些值代入到求根公式中，计算出方程的根。
例如，考虑方程2x²+5x-3=0。
根据公式法，我们可以得到：x = (-5 ± √(5²-4*2*(-3))) / 2*2= (-5 ± √(25+24)) / 4= (-5 ± √49) / 4根据公式，我们可以得到两个根：x₁ = (-5 + 7) / 4 = 2/4 = 1/2x₂ = (-5 - 7) / 4 = -12/4 = -3因此，方程2x²+5x-3=0的根为x=1/2和x=-3。
公式法是求解一元二次方程的一种常用方法，它的优点是计算简单、快速。
通过这个公式，我们可以直接求解方程的根，无需进行其他繁琐的计算步骤。
需要注意的是，使用公式法求解一元二次方程时，我们需要注意判别式的值。
判别式的正负与方程的根的性质有关，可以帮助我们判断方程有几个实根或复根。
一元二次方程的公式法是一种简洁高效的求解方法。
一元二次方程的求根公式是啥
一元二次方程的求根公式是啥求根公式分为两个部分：计算判别式和计算根的表达式。
首先，计算判别式，判别式是Δ = b^2 - 4ac。
判别式Δ 可以帮助我们判断方程有多少个实根，根的类型以及相应的解。
如果Δ>0，方程有两个实根（不相等），公式为x=(-b±√Δ)/(2a)。
如果Δ=0，方程有一个实根（重根），公式为x=-b/(2a)。
如果Δ<0，方程没有实根，存在复数解，公式为x=(-b±i√，Δ，)/(2a)，其中i是虚数单位。
接下来，我们将详细解释三种情况的求根公式。
1.当Δ>0时，方程有两个实根（不相等），根的公式为x=(-b±√Δ)/(2a)。
在这种情况下，我们需要计算两个不同的实根。
例如，给定方程2x^2+5x-3=0，则有a=2，b=5，c=-3由判别式Δ = b^2 - 4ac = 5^2 - 4(2)(-3) = 49，显然Δ > 0。
根据一元二次方程的求根公式，我们计算两个实根：x1=(-5+√49)/(2*2)=(-5+7)/4=2/4=0.5x2=(-5-√49)/(2*2)=(-5-7)/4=-12/4=-3因此，方程2x^2+5x-3=0的两个实根分别为0.5和-32.当Δ=0时，方程有一个实根（重根），根的公式为x=-b/(2a)。
在这种情况下，方程只有一个解，解是重根。
例如，给定方程x^2+6x+9=0，则有a=1，b=6，c=9根据判别式Δ = b^2 - 4ac = 6^2 - 4(1)(9) = 0，显然Δ = 0。
根据一元二次方程的求根公式，我们计算重根：x=-6/(2*1)=-6/2=-3因此，方程x^2+6x+9=0的一个实根是-33.当Δ<0时，方程没有实根，存在复数解，根的公式为x=(-b±i√，Δ，)/(2a)。
在这种情况下，方程没有实数解，但可以使用复数单位i表示解。
例如，给定方程x^2+2x+5=0，则有a=1，b=2，c=5根据判别式Δ = b^2 - 4ac = 2^2 - 4(1)(5) = -16，显然Δ < 0。
求根公式解一元二次方程过程
求根公式解一元二次方程过程在我们学习数学的漫长旅程中，一元二次方程可是个重要的“小伙伴”。
而求根公式就像是打开一元二次方程神秘大门的一把神奇钥匙。
先来说说啥是一元二次方程。
简单讲，就是形如 ax² + bx + c = 0 （a ≠ 0）这样的式子。
那求根公式又是啥呢？它就是 x = [-b ± √(b² - 4ac)] / （2a）。
咱们来一步步拆解这个公式，搞清楚它到底是咋用的。
比如说有个方程 x² + 2x - 3 = 0 ，这里 a = 1，b = 2，c = -3 。
先算 b² - 4ac ，也就是2² - 4×1×(-3) = 16 。
然后把数字代入求根公式，x = [-2 ± √16] / （2×1），算出来就是 x₁ = 1 ，x₂ = -3 。
我记得我以前教过一个学生小明，他一开始对这个求根公式那叫一个头疼。
每次做题，不是这里记错符号，就是那里算错数字。
有一次做作业，他碰到一个方程 2x² - 5x + 2 = 0 ，算来算去就是算不对。
我就坐在他旁边，看着他愁眉苦脸的样子，问他：“小明，你先跟老师说说，你第一步算的啥？”小明抓抓脑袋说：“老师，我先算的 b² - 4ac ，可是我好像算错了。
”我让他重新算一遍，这才发现他把符号弄错了。
我就耐心地跟他说：“小明啊，这符号可不能马虎，一步错步步错呀。
”在我的指导下，小明终于算出了正确答案，那开心的样子，就像解开了一个超级大难题。
其实啊，用求根公式解一元二次方程，就像是走迷宫，只要每一步都走对，就能顺利找到出口。
在计算 b² - 4ac 的时候，要特别小心符号。
如果 b² - 4ac 大于 0 ，方程就有两个不同的实数根；等于 0 呢，就有两个相同的实数根；小于 0 ，那就是没有实数根，只有复数根啦。
一元二次方程求根公式和常见解法
一元二次方程求根公式和常见解
法
一、一元二次方程的概述
1、定义：等号两边都是等式，只含有一个未知数，未知数的最高次数是2且最高次项的系数不为0，这样的整式方程叫做一元二次方程.
2、求根公式：$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}(b^2-4ac \ge 0)$。
3、一元二次方程的一般形式：
一元二次方程的一般形式是$ax^2+bx+c=0(a\not=0)$.其中$ax^2$是二次项，$a$ 是二次项系数；$bx$ 是一次项，
$b$ 是一次项系数；$c$ 是常数项.
4、一元二次方程的根：
使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.
5、一元二次方程的常见解法：
（1）直接开平方法（2）配方法（3）公式法（4）因式分解法（5）利用根与系数的关系
二、一元二次方程的例题
例：如果方程$(m-\sqrt{2})x^{m^2}+3mx-1=0$ 是关于$x$ 的一元二次方程，那么 $m$ 的值是____.
答案：$-\sqrt{2}$解析：由一元二次方程的定义知
$m^2=2$，即 $m=\pm\sqrt{2}$，又 $\because m-
\sqrt{2}\not=0，\therefore m \not=\sqrt{2}，\therefore m=-\sqrt{2}$.。
一元二次方程的解法求根公式的使用技巧
一元二次方程的解法求根公式的使用技巧一元二次方程的解法是数学中的基础知识，在解决实际问题时起到了重要的作用。
其中，求根公式是一种常见的解法，它可以帮助我们快速求解一元二次方程的根。
本文将介绍一元二次方程的求根公式的使用技巧。
一、一元二次方程的形式一元二次方程通常具有以下形式：ax^2 + bx + c = 0其中，a、b、c为实数，并且a ≠ 0。
根据这个方程的形式，我们可以使用求根公式来求解方程的根。
二、一元二次方程的求根公式一元二次方程的求根公式如下：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)其中，±表示两个根，√表示开方运算。
这个公式中的分子部分可以分为两个部分，分别是-b和√(b^2 - 4ac)。
根据这个公式，我们可以通过将方程中的系数代入公式中，快速求得方程的根。
三、使用技巧在使用一元二次方程的求根公式时，有一些技巧可以帮助我们更加高效地求解方程的根。
1. 化简方程在应用求根公式之前，我们可以先对方程进行化简。
例如，如果方程的系数存在公因子，我们可以将其提取出来，以简化计算过程。
2. 辨别方程的根的性质根据一元二次方程的判别式Δ=b^2-4ac的值，我们可以判断方程的根的性质。
- 当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；- 当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；- 当Δ<0时，方程没有实数根，但存在两个共轭复数根。
通过辨别方程的根的性质，我们可以在求根过程中有所侧重，提高求解的效率。
3. 使用解根公式的步骤使用一元二次方程的求根公式时，可以按照以下步骤进行：Step 1: 计算判别式Δ的值。
Δ = b^2 - 4acStep 2: 根据Δ的值进行分类讨论。
- 当Δ>0时，应用求根公式计算两个不相等的实数根；- 当Δ=0时，应用求根公式计算两个相等的实数根；- 当Δ<0时，应用求根公式计算两个共轭复数根。
Step 3: 将方程系数代入求根公式，计算出根的近似值。
一元二次方程求根公式及讲解
主讲：黄冈中学高级教师一、一周知识概述1、一元二次方程的求根公式将一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)进行配方，当b2－4ac≥0时的根为．该式称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为求根公式法，简称公式法．说明：(1)一元二次方程的公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)；(2)由求根公式可知，一元二次方程的根是由系数a、b、c的值决定的；(3)应用求根公式可解任何一个有解的一元二次方程，但应用时必须先将其化为一般形式.2、一元二次方程的根的判别式（1）当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）当b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根；（3）当b2－4ac＜0时，方程没有实数根．二、重难点知识总结1、对于一元二次方程的各种解法是重点，难点是对各种方法的选择，突破这一难点的关键是在对四种方法都会使用的基础上，熟悉各种方法的优缺点。
(1) “开平方法”一般解形如“”类型的题目，如果用“公式法”就显得多余的了。
(2)“因式分解法”是一种常用的方法，一般是首先考虑的方法。
(3) “配方法”是一种非常重要的方法，一般不使用，但若能恰当地使用，往往能起到简化作用，思考于“因式分解法”之后，“公式法”之前。
如方程；用因式分解，则6391这个数太大，不易分解；用公式法，也太繁；若配方，则方程化为，就易解，若一次项系数中有偶因数，一般也应考虑运用。
(4)“公式法”是一般方法，只要明确了二次项系数、一次项系数及常数项，若方程有实根，就一定可以用求根公式求出根，但因为要代入(≥0)求值，所以对某些特殊方程，解法又显得复杂了。
2、在运用b2－4ac的符号判断方程的根的情况时，应注意以下三点：（1）b2－4ac是一元二次方程的判别式，即只有确认方程为一元二次方程时，才能确定a、b、c，求出b2－4ac；（2）在运用上述结论时，必须先将方程化为一般形式，以便确认a、b、c；（3）根的判别式是指b2－4ac，而不是三、典型例题讲解例1、解下列方程：(1)；(2)；(3).分析：用求根公式法解一元二次方程的关键是找出a、b、c的值，再代入公式计算，解：(1)因为a=1，，c=10所以所以(2)原方程可化为因为a=1，，c=2所以所以.(3)原方程可化为因为a=1，，c=－1所以所以；所以．总结：(1)用求根公式法解一元二次方程首先将方程化为一般形式；如果二次项系数为负数，通常将其化为正数；如果方程的系数含有分母，通常先将其化为整数，求出的根要化为最简形式；(2)用求根公式法解方程按步骤进行．例2、用适当方法解下列方程：① ②③ ④⑤ ⑥⑦分析：要合理地选用适当的方法解一元二次方程，就必须熟悉各种方法的优缺点，处理好特殊方法和一般方法的关系。
一元二次方程的求根公式
教学目标：
1、会用配方法解方程ax2+bx+c=0 （a≠0）
2、理解方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式
复习： 用配方法解方程2x -5x+2=0
2
5 解：两边都除以2，得 x x 1 0 2
2
系数化为1 移项 配方
5 移项，得 x x 1 2 2
2
2
5 25 5 配方，得 x x 1 2 16 4
5 9 x 即 4 16
2
5 3 开方，得 x 4 4
，x2=2
开方
1 x2 2
∴ x1 2
定解
概括总结
1.对于二次项系数不为1的一元二次方程， 用配方法求解时首先要怎样做 ？
首先要把二次项系数化为1
2.用配方法解一元二次方程的一般步骤：
（1）系数化为1 （2）移项 （3）配方 （4）开方 （5）求解 （6）定根
=
用配方法解一般形式的一元二次方程 ax2+bx+c=0
(a≠0)
∵a≠0 4a2＞0 ∴当b2-4ac≥0 时
用配方法解一般形式的一元二次方程 ax2+bx+c=0
(a≠0)
∵a≠0 当b2-4ac≥0 时
一元二次方程的求根公式： 一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)的求根公式为：
利用这个求根公式可 以求出所有一元二次 方程的根。
总结：
1、配方法解方程：ax2+bx+c=0 (a≠0)
2、一元二次方程的求根公式的推导。
一元二次方程的解法求根公式
一元二次方程的解法求根公式一元二次方程求根公式是奥朗德-费马定理：一、定义：1、令一元二次方程ax²＋bx＋c=0，其中a≠0；2、则此方程的根为：二、定理：x=(-b±√(b²-4ac))/(2a)三、证明：A.左端的a、b、c可以用任意实数进行替换：ax²+bx+c=0B.用公式求根：设此方程的根分别为：x₁理为X1和x₂，令x₁和x₂分别代入一元二次方程，则ax²+bx+c=ax₁²+bx₁+c=ax₂²+bx₂+c=0C.合并项：根据基本思想，设分子和分母都不等于零，则分子式与分母式分别等于零，可得：ax₁x₂ + bx₁ + bx₂ + c = 0ax₁ + ax₂ + b = 0D. 分别令等号两边各项等于零：由上式可知，方程的解法为：x₁x₂=-c/a (1)x₁+x₂=-b/a (2)E. 由(1)和(2)式相减：x₁-x₂= (b²-4ac)/(2a)F. 将此式两边同乘以数a：a(x₁-x₂)= (b²-4ac)G．令上式两边各项等于零，可得：a(x₁+x₂)= -b (3)H.将 (1)和(3)式代入：x₁(x₂+b/a)= -c/aI. 令等号两边各项相除：x₁= (-b±√(b²-4ac))/(2a)J. 令等号右边各项相除：x₂= (-b±√(b²-4ac))/(2a)K. 则该一元二次方程的解法为：x=(-b±√(b²-4ac))/(2a)四、总结：由上述证明，一元二次方程的求根公式便是奥朗德 - 费马定理：x=(-b±√(b²-4ac))/(2a)。
2.3用公式法求解一元二次方程-一元二次方程的根的判别式(教案)
在今天的教学中，我发现学生们对一元二次方程的根的判别式的理解程度各有不同。有的学生能够迅速掌握判别式的计算和应用，而有的学生在理解判别式与方程根的关系上存在一些困难。这让我意识到，在今后的教学中，我需要更加关注学生的个别差异，采取更为灵活多样的教学方法。
在讲授新课的过程中，我尽量用简单的语言解释判别式的概念，并通过具体的案例进行分析，让学生能够直观地感受到判别式在实际问题中的应用。然而，我也注意到，对于一些学生来说，理论知识的掌握仍然需要更多的实际操作和练习。因此，在实践活动中，我安排了分组讨论和实验操作，让学生亲自动手解决问题，以提高他们的实际操作能力。
针对实际问题的应用，教师应设计不同难度层次的例题和练习，如求解几何图形的面积、物体的运动轨迹等，引导学生将判别式应用于实际问题中，培养学生将数学知识应用于解决实际问题的能力。
注意：由于字数限制，上述内容并未达到2000字，但已尽量详细列出教学难点与重点的每个细节。在实际教案撰写中，可以根据需要进一步拓展和深化每个部分的讲解和举例。
2.提高学生的逻辑推理能力，通过推导一元二次方程求根公式，理解判别式的意义及其在求解过程中的作用。
3.培养学生的数学运算能力，使其能够运用判别式快速判断一元二次方程的根的性质，并进行有效求解。
4.增强学生的数据分析观念，通过分析判别式的值对不同根的情况进行分类讨论，培养学生对数学问题深入探究的精神。
2.教学难点
-理解判别式Δ与方程根之间的数量关系。
-掌握在不同Δ值情况下，方程根的性质和求解方法。
-解决实际问题时，能够正确应用判别式进行分析。
举例：难点在于帮助学生理解判别式Δ与方程根的对应关系。教师需要通过图示、表格或动画等教学辅助手段，直观展示Δ值的增减如何影响方程根的数量和性质。例如，当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根；当Δ < 0时，方程没有实数根。通过对比不同Δ值下的解题过程，让学生深刻理解判别式在解题中的作用。
一元二次方程的根的公式
一元二次方程的根的公式一元二次方程是数学中常见的一类方程，它的一般形式为ax²+bx+c=0，其中a、b、c是已知的实数，且a≠0。
解一元二次方程的关键是求出方程的根，而求根的公式被称为一元二次方程的根的公式。
一元二次方程的根的公式如下：x = (-b ± √(b²-4ac))/(2a)在这个公式中，x表示方程的根，±表示两个根的取值可能性，b²-4ac表示判别式，√表示平方根，a、b、c分别表示方程的系数。
根据这个公式，我们可以通过代入方程的系数，计算出方程的根。
但在计算之前，我们需要先判断方程的根的情况，即判别式的值。
当判别式大于0时，方程有两个不相等的实根；当判别式等于0时，方程有两个相等的实根；当判别式小于0时，方程没有实根，而是有两个共轭的复根。
在解一元二次方程时，我们需要注意以下几点：1. 判别式的值决定了方程的根的情况：大于0时有两个不相等的实根，等于0时有两个相等的实根，小于0时没有实根；2. 当判别式大于0时，我们可以使用根的公式直接计算出方程的两个实根；3. 当判别式等于0时，我们可以使用根的公式计算出方程的两个相等的实根；4. 当判别式小于0时，我们无法直接计算出方程的实根，而是得到两个共轭的复根，其中实部为-b/(2a)，虚部为√(4ac-b²)/(2a)。
下面我们通过几个例子来说明一元二次方程的根的公式的应用。
例1：解方程x²-4x+3=0。
根据方程的系数，我们得到a=1，b=-4，c=3。
将这些值代入根的公式，我们可以计算出方程的根。
判别式为b²-4ac=(-4)²-4(1)(3)=16-12=4，大于0，说明方程有两个不相等的实根。
根的公式为x = (-b ± √(b²-4ac))/(2a)，代入系数得到x = (4 ± √4)/(2)。
化简得到x = (4 ± 2)/(2)，即x = 3或x = 1。
正确使用“求根公式法”解一元二次方程步骤
正确使用“求根公式法”解一元二次方程的五个步骤资中县球溪中心校 教师：杨长英一般地，对于一元二次方程ax 2+bx +c ＝0(a ≠0)，当b 2－4ac ≥0时，方程有两个实数根：x 1,2b 2－4ac ＜0时，方程没有实数根。
在运用该公式时，有的学生会出现盲目套公式现象。
正确使用 “求根公式法”解一元二次方程的 应注意以下五个步骤 。
第一步：注意化方程为一般形式 ax 2+bx +c ＝0(a ≠0)例1 把下列方程化为一般式（1）3x 2＝5x －4.（2）6x 2+3x ＝(1+2x )(2+x ).（3） x (x －＝0.解：（1）3x 2＝5x －4.移项：3x 2—5x +4. =0即为一般式解：（2）6x 2+3x ＝(1+2x )(2+x ).多项式乘以多项式：6x 2+3x ＝2+x+4x+2x 2整理得： 24220x x --=化简为一般式：2210x x --=解： （3） x (x －＝0.乘法分配律：230x -+=即为一般式 第二步：注意a 、b 、c 的确定应包括各自的符号。
例如： 上面第（1）题结果：3x 2—5x +4. =0中3,5,4a b c ==-=上面第（2）题结果：2210x x --=中1,1,1a b c ==-=-上面第（3）题结果：230x -+=中1,3a b c ==-=第三步：注意方程有实数根的前提条件是判别式 b 2－4ac ≥0上面第（1）题结果：=b 2－4ac ＝(－5)2－4×3×4＝-23＜0上面第（2）题结果：=b 2－4ac ＝(－1)2－4×1×（-1）＝5＞0上面第（3）题结果：=b 2－4ac ＝(－2－4×1×3＝12－12=0 。
第四步：由判别式 的值决定，灵活选用解题方法和技巧。
比如：上面第（1）题结果： ＝-23＜0，则方程无解，就不用代入求根公式了。
一元二次方程求根公式推导
一元二次方程求根公式推导一元二次方程求根公式推导：1.介绍一元二次方程指的是常数都为某个实数的二次函数，可以用$ax^2 +bx + c = 0$的形式表达，其中的$a,\ b,\ c$均为实数，但是$a$不能为零。
求解一元二次方程在数学中是十分重要的，它可以用一元二次方程求根公式进行求解。
2.一元二次方程的公式一元二次方程有两个解，可以用下面的公式求解：$$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}} {2a}$$其中，$a,\ b,\ c$分别为二次项系数，一次项系数和常数项，$\pm$表示有两个解，$\sqrt{b^2-4ac}$表示二次式的判别式。
3.判别式的性质$$b^2-4ac=0$$如果判别式$b^2-4ac$等于零，则一元二次方程有一个重根，它的解为： $$x=-\frac{b}{2a}$$如果判别式$b^2-4ac$大于零，则一元二次方程有两个不同实数解，它们的解可以用上面的公式求出。
如果判别式$b^2-4ac$小于零，则一元二次方程没有实数解。
4.推导过程已知：一元二次方程可以表示为：$ax^2 + bx + c = 0$。
要求：求出它的解$x$把方程两边同时乘以$2a$得：$2ax^2 + 2bx + 2c = 0$再把方程两边同时同中间项抵消，就有：$2ax^2 - 2bx + 2c = 0$，可以看到这个方程是一元二次方程 ax² + (2c-2b)x + 2c = 0，可以发现X= $-\frac{2c-2b}{2a}$，把它代入到原方程，有：$a(2c-2b)^2 + b(2c-2b) + c = 0$，化简得：$4ac^2-4abc+b^2 = 0$，而$b^2-4ac=0$就是我们需要的判别式，而上述的解$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}} {2a}$就是我们的一元二次方程的求根公式。
5.总结回顾一元二次方程求根公式的推导：我们分别通过把两边乘以2a，以及把中间项抵消来把原方程化简，得出$b^2-4ac=0$即一元二次方程的判别式，依据这个解法，就可以求得一元二次方程的求根公式：$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}} {2a}$。
一元二次方程求根
一元二次方程求根在代数学中，一元二次方程是指具有如下形式的方程：ax^2 + bx + c = 0其中，a、b、c分别为已知数，且a ≠ 0。
一元二次方程的求解是数学中的基本问题之一，本文将详细介绍一元二次方程的求根方法。
求根公式对于一元二次方程，我们可以借助求根公式来求解其根的值。
求根公式如下：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a在计算过程中，我们需要先判断方程的判别式Δ 的大小，即Δ =b^2 - 4ac。
以判别式为依据，一元二次方程的根可以分为以下三种情况：1. Δ > 0：方程有两个实根。
2. Δ = 0：方程有且仅有一个实根。
3. Δ < 0：方程没有实根，但有两个复数根。
根据以上的判别式的性质，我们可以编写一个求解一元二次方程的程序，来实现方程的根的计算和输出。
下面是一个示例程序：```pythonimport mathdef solve_quadratic_equation(a, b, c):# 计算判别式delta = b**2 - 4*a*cif delta > 0:# 方程有两个实根x1 = (-b + math.sqrt(delta)) / (2*a)x2 = (-b - math.sqrt(delta)) / (2*a)return x1, x2elif delta == 0:# 方程有且仅有一个实根x = -b / (2*a)return xelse:# 方程没有实根，但有两个复数根real_part = -b / (2*a)imaginary_part = math.sqrt(-delta) / (2*a) x1 = complex(real_part, imaginary_part) x2 = complex(real_part, -imaginary_part) return x1, x2# 输入方程的系数a = float(input("请输入方程的a系数："))b = float(input("请输入方程的b系数："))c = float(input("请输入方程的c系数："))# 调用函数求解result = solve_quadratic_equation(a, b, c)# 输出结果print("方程的根为：", result)```这段代码是使用Python编写的，通过输入方程的系数 a、b、c，即可得到一元二次方程的根。
一元二次方程求根公式推导过程(完整)
一元二次方程求根公式推导过程（完整）一元二次方程求根公式推导过程一元二次方程的根公式是由配方法推导来的，那么由ax^2+bx+c(一元二次方程的基本形式)推导根公式的详细过程如下，1、ax^2+bx+c=0(a≠0,^2表示平方)，等式两边都除以a，得x^2+bx/a+c/a=0，2、移项得x^2+bx/a=-c/a，方程两边都加上一次项系数b/a的一半的平方，即方程两边都加上b^2/4a^2，3、配方得x^2+bx/a+b^2/4a^2=b^2/4a^2-c/a，即(x+b/2a)^2=(b^2-4ac)/4a，4、开根后得x+b/2a=±[√(b^2-4ac)]/2a (√表示根号)，最终可得x=[-b ±√(b^2-4ac)]/2a一元二次方程求根公式一元二次方程介绍含义及特点(1)一元二次方程的解(根)的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解。
一般情况下，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根(只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根)。
(2)由代数基本定理，一元二次方程有且仅有两个根(重根按重数计算)，根的情况由判别式(△=b?-4ac)决定。
判别式利用一元二次方程根的判别式(△=b?-4ac)可以判断方程的根的情况。
一元二次方程ax?+bx+c=0(a≠0)的根与根的判别式有如下关系：△=b?-4ac①当△0时，方程有两个不相等的实数根;②当△=0时，方程有两个相等的实数根;③当△0时，方程无实数根，但有2个共轭复根。
上述结论反过来也成立。
如何才能学好数学想要学好数学，认真听课是必须的，课后及时复习也是很重要的。
要知道数学新知识的接受，数学能力的培养主要都要在课堂上进行，所以，要重视课内的学习效率，寻求正确的学习方法。
上课的时候要紧跟着老师的思路，积极思考。
课后要及时复习不要留下疑点。
在课后复习的时候，首先要把各种习题和老师讲过的知识点都回忆一遍，然后正确的掌握各类公式的推理过程，尽量采用回忆的方式，回忆一遍后，再去翻书，看自己是否有遗漏。
一元二次函数求根公式推导过程
一元二次函数求根公式推导过程一元二次函数，这可是咱们数学学习中的一个重要“角色”。
那今天咱们就来好好聊聊一元二次函数求根公式的推导过程。
还记得我上高中的时候，有一次数学课，老师在黑板上写下了一个一元二次方程：ax² + bx + c = 0 （a ≠ 0），然后神秘兮兮地说：“同学们，今天咱们要来揭开它的求根秘密！”咱们先假设这个方程有两个根，分别是 x₁和 x₂。
根据韦达定理，x₁ + x₂ = -b/a ，x₁ · x₂ = c/a 。
那咱们怎么从这一步步推导出求根公式呢？咱们先把方程 ax² + bx + c = 0 移项，变成 ax² + bx = -c 。
然后方程两边同时除以 a ，得到 x² + (b/a)x = -c/a 。
这时候，咱们要给左边凑个完全平方。
在 x² + (b/a)x 里加上 (b/2a)²，同时为了等式平衡，在右边也要加上 (b/2a)²。
于是，左边就变成了 (x + b/2a)²，右边变成了 (b² - 4ac)/4a²。
接下来，开平方，得到x + b/2a = ±√(b² - 4ac)/2a 。
最后，移项，就得出了求根公式 x = [-b ± √(b² - 4ac)] / 2a 。
当时我在课堂上，跟着老师的节奏，一步一步推导，心里那个激动啊！感觉就像在黑暗中摸索，突然找到了光明的出口。
咱们再回过头来仔细瞅瞅这个求根公式。
这里面的 a、b、c 可都有着重要的作用。
比如说，判别式Δ = b² - 4ac ，它能告诉咱们方程根的情况。
当Δ > 0 时，方程有两个不相等的实数根；当Δ = 0 时，方程有两个相等的实数根；当Δ < 0 时，方程没有实数根，但有两个共轭复数根。
在实际解题的时候，这个求根公式可太好用啦！就拿一个简单的例子来说，比如方程 x² - 5x + 6 = 0 ，这里 a = 1 ，b = -5 ，c = 6 ，判别式Δ = (-5)² - 4×1×6 = 1 ，因为Δ > 0 ，所以方程有两个不相等的实数根。
一元二次方程的根与系数的关系讲解
一元二次方程的根与系数的关系讲解一元二次方程是数学中常见的一种方程形式，它可以用来描述一条抛物线的轨迹。
一元二次方程的一般形式为:ax^2 + bx + c = 0其中，a、b、c是实数系数，且a ≠ 0。
一元二次方程的根是方程的解，即使得方程成立的x的值。
根据一元二次方程的求根公式，如果判别式D = b^2 - 4ac大于0，则方程有两个不相等的实根；如果D = 0，则方程有两个相等的实根；如果D 小于0，则方程没有实根，但可以有两个共轭复根。
这些根与方程的系数之间有一定的关系。
首先，通过一元二次方程的求根公式可以得出方程的根与系数之间的关系。
对于方程ax^2 + bx + c = 0，求根公式为：x1 = (-b + √D) / (2a)x2 = (-b - √D) / (2a)其中，D = b^2 - 4ac。
从上述求根公式可以看出，方程的根与系数a、b、c之间是存在一定的关系的。
1. 根与系数a的关系：- 当系数a增大时，方程的抛物线变得更陡峭，根的取值范围也会相应变大。
- 当系数a减小时，方程的抛物线变得更平缓，根的取值范围也会相应变小。
- 如果系数a为负数，则方程的抛物线开口朝下，根的取值范围相反。
2. 根与系数b的关系：- 系数b影响方程的根的位置，但不会改变根的取值范围。
- 如果系数b为正数，则方程的两个根都向左平移；如果系数b 为负数，则方程的两个根都向右平移。
3. 根与系数c的关系：- 系数c影响方程的根的位置，但不会改变根的取值范围。
- 如果系数c为正数，则方程的两个根都向上平移；如果系数c 为负数，则方程的两个根都向下平移。
综上所述，一元二次方程的根与系数之间存在一定的关系。
不同的系数会对方程的根造成不同的影响，通过调整系数的值，我们可以改变方程的根的位置和取值范围，从而使方程与具体问题相适应。
一元二次方程求根公式过程
一元二次方程求根公式过程一元二次方程，这可是中学数学里的“常客”，要说其中最重要的部分，那求根公式肯定得算一个。
咱们先来说说啥是一元二次方程。
就像这个样子：ax² + bx + c = 0 （a ≠ 0），这里的 a、b、c 都是常数，x 是未知数。
那求根公式是咋来的呢？咱们一步一步来捣鼓。
先把方程 ax² + bx + c = 0 两边都除以 a，就得到了 x² + (b/a)x + (c/a) = 0 。
接下来咱们要给它凑个完全平方。
先在等式两边加上 (b/2a)²，左边就变成了 (x + b/2a)²。
这时候等式变成了 (x + b/2a)² = (b² - 4ac) / 4a²。
然后开平方，就得到了x + b/2a = ± √(b² - 4ac) / 2a 。
最后把 b/2a 移到右边去，求根公式就出来啦：x = [-b ± √(b² - 4ac)] / 2a 。
说到这一元二次方程求根公式，我想起之前给一个学生辅导功课的事儿。
那孩子叫小明，特别聪明，就是有时候有点粗心。
那天我给他讲这个求根公式，他一开始听得云里雾里的。
我就给他举例子，比如说 x² - 5x + 6 = 0 ，这里 a = 1，b = -5，c = 6 ，代入求根公式算一算。
他算的时候，一会儿忘了开根号，一会儿符号又弄错了。
我就耐心地在旁边给他一点点纠正，告诉他每一步该怎么做。
后来他终于算对了，脸上那高兴劲儿啊，就好像解开了一个超级大难题一样。
我也跟着乐，心里想着，这孩子，只要用心，啥都能学会。
咱们再回到这求根公式啊。
有了它，很多一元二次方程的根就能轻松算出来啦。
比如说 2x² + 3x - 5 = 0 ，代入公式，a = 2 ，b = 3 ，c = -5 ，算出来根是 1 和 -5/2 。
一元二次方程的求根公式名师公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
即
x 5 2 9 4 16
开方，得 x 5 3 44
，x2=2
∴ x1 2
x2
1 2
系数化为1 移项 配方
开方 定解
概括总结
1.对于二次项系数不为1旳一元二次方程， 用配措施求解时首先要怎样做 ？
首先要把二次项系数化为1
2.用配措施解一元二次方程旳一般环节：
（1）系数化为1 （2）移项 （3）配方 （4）开方 （5）求解 （6）定根
=
用配措施解一般形式旳一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)
∵a≠0 4a2＞0 ∴当b2-4ac≥0 时
用配措施解一般形式旳一元二次方程 ax2+bx+c=0 a≠0
一元二次方程旳求根公式：
一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)旳求根公式为：
一元二次方程旳求根公式
教学目的： 1、会用配措施解方程ax2+bx+c=0 （a≠0） 2、了解方程ax2+bx+c=0（a≠0）旳求根公式
复习：用配措施解方程2x2-5x+2=0
解：两边都除以2，得 x2 5 x 1 0
2
移项，得 x2 5 x 1
2
配方，得
x2
5
x
5
2
1
25
2 4
16
利用这个求根公式能 够求出全部一元二次 方程旳根。
总结：
1、配措施解方程：ax2+bx+c=0 (a≠0)
2、一元二次方程旳求根公式旳推导。
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一元二次方程求根公
式
一元二次方程求解
一、一周知识概述
1、一元二次方程的求根公式
将一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)进行配方，当b2－4ac≥0时的根为
．
该式称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为求根公式法，简称公式法．
说明：(1)一元二次方程的公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)；
(2)由求根公式可知，一元二次方程的根是由系数a、b、c的值决定的；
(3)应用求根公式可解任何一个有解的一元二次方程，但应用时必须先将其化为一般形式.
2、一元二次方程的根的判别式
（1）当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；
（2）当b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根；
（3）当b2－4ac＜0时，方程没有实数根．
二、重难点知识
1、对于一元二次方程的各种解法是重点，难点是对各种方法的选择，突破这一难点的关键是在对四种方法都会使用的基础上，熟悉各种方法的优缺点。
(1) “开平方法”一般解形如“”类型的题目，如果用“公式法”就显得多余的了。
(2)“因式分解法”是一种常用的方法，一般是首先考虑的方法。
(3) “配方法”是一种非常重要的方法，一般不使用，但若能恰当地使用，往往
能起到简化作用，思考于“因式分解法”之后，“公式法”之前。
如方程
；用因式分解，则6391这个数太大，不易分解；用公式法，也太繁；若
配方，则方程化为，就易解，若一次项系数中有偶因数，一般也应考虑
运用。
(4)“公式法”是一般方法，只要明确了二次项系数、一次项系数及常数项，若方
程有实根，就一定可以用求根公式求出根，但因为要代入(≥0)求值，所以对某些特殊方程，解法又显得复杂了。
2、在运用b2－4ac的符号判断方程的根的情况时，应注意以下三点：
（1）b2－4ac是一元二次方程的判别式，即只有确认方程为一元二次方程时，才
能确定a、b、c，求出b2－4ac；
（2）在运用上述结论时，必须先将方程化为一般形式，以便确认a、b、c；
（3）根的判别式是指b2－4ac，而不是
三、典型例题讲解
例1、解下列方程：
(1)；
(2)；
(3).
分析：用求根公式法解一元二次方程的关键是找出a、b、c的值，再代入公式计算，解：(1)因为a=1，，c=10
所以
所以
(2)原方程可化为
因为a=1，，c=2
所以
所以.
(3)原方程可化为
因为a=1，，c=－1
所以
所以；
所以．
总结：
(1)用求根公式法解一元二次方程首先将方程化为一般形式；如果二次项系数为负数，通常将其化为正数；如果方程的系数含有分母，通常先将其化为整数，求出的根要化为最简形式；
(2)用求根公式法解方程按步骤进行．
例2、用适当方法解下列方程：
① ②
③ ④
⑤ ⑥
⑦
分析：
要合理地选用适当的方法解一元二次方程，就必须熟悉各种方法的优缺点，处理好特殊方法和一般方法的关系。
就直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法这四种方法而言，配方法、公式法是一般方法，而开平方法、因式分解法是特殊方法。
⑴ 公式法是最一般的方法，只要明确了二次项系数、一次项系数和常数项，若方程有实根，就一定可以用求根公式求出根，但因为要代入一元二次方程的求根公式
求值，所以对某些方程，解法又显得复杂了。
如①，可以直接开平方，就能马上得出解；若此时还用求根公式就显得繁琐了。
⑵ 配方法是一种非常重要的方法，在解一元二次方程时，一般不使用，但并不是一定不用，若能合理地使用，也能起到简便的作用。
若方程中的一次项系数有因数是
偶数，则可使用，计算量也不大。
如②，因为224比较大，分解时较繁，此题中一次项系数是-2。
可以利用用配方法来解，经过配方之后得到
，显得很简单。
⑶ 直接开平方法一般解符合型的方程，如第①小题。
⑷ 因式分解法是一种常用的方法，它的特点是解法简单，故它是解题中首先考虑的方法，若一元二次方程的一般式的左边不能分解为整数系数因式或系数较大难以分解时，应考虑变换方法。
解：①
两边开平方，得
所以
②
配方，得
所以
所以
③
配方，得
所以
所以
④
因为
所以 =4＋20=24 所以
所以
⑤
配方：
所以
所以
⑥
整理，得
所以
⑦
移项，提公因式，得
所以
小结：
以上各题请同学们用其他方法做一做，再比较各种方法的优缺点，体会如何选用合适的方法，下面给出常规思考方法，仅作参考。
例3、已知关于x的方程ax2－3x＋1=0有实根，求a的取值范围.
解：当a=0时，原方程有实根为
若a≠0时，当原方程有两个实根.
故，综上所述a的取值范围是.
小结：
此题要分方程ax2－3x＋1=0为一元一次方程和一元二次方程时讨论，即分当a=0与a≠0两种情况．
例4、已知一元二次方程x2－4x＋k=0有两个不相等的实数根.
(1)求k的取值范围；
(2)如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2－4x＋k=0与x2＋mx－1=0有一个相同的根，求此时m的值.
解：(1)因为方程x2－4x＋k=0有两个不相等的实数根，
所以b2－4ac=16－4k>0，得k<4.
(2)满足k<4的最大整数，即k=3.
此时方程为x2－4x＋3=0，解得x1=1，x2=3.
①当相同的根为x=1时，则1＋m－1=0，得m=0；
②当相同的根为x=3时，则9＋3m－1=0，得
所以m的值为0或
例5、设m为自然数，且3<m<40，方程有两个整数根求m的值及方程的根。
解：，
∵方程有整数根，
∴4（2m＋1）是完全平方数。
∵3<m<40∴7<2m＋1<81
∴2m＋1值可以为9，25，49
∴m的值可以为4，12，24。
当m=4时方程为解得x=2或x=8
当m=12时方程为解得x=26或x=16
当m=24时方程为解得x=52或x=38
总结：
本题先由整数根确定2m＋1是完全平方数，再由3<m<40中m为整数确定m的值，再分别试验求x，是本题特点。