《超级画板》第二篇 平面几何

《超级画板》第二篇平面几何平面几何作为一门系统的学科，已有两千多年的历史，其魅力经久不衰。

计算机科技的发展，推出了动态几何作图软件，使这门古老的科学焕发青春，变得更加丰富多彩，更有吸引力和挑战性。

《超级画板》是由动态几何作图软件发展而来，平面几何动态作图当然是它的基本功能。

基本功能熟练了，就有了登堂入室的基础。

这一篇里，我们将通过一些实例，学习动态几何作图，图形的旋转、平移和缩放的操作机制，图形的测量以及制作控制图形运动和变化的按钮方法。

看了这些例子你会看到，优秀的作品源于对知识的创造性地运用。

再好的软件也不过是你手中的工具，不过是圆规直尺铅笔这些古老的工具的发展。

创意永远是最重要的。

首先我们来看看动态几何作图与平时我们在纸上、黑板上作图有什么区别。

（一）共点的三个圆大家一起来试一试，画出过同一点的三个圆。

合上书本，自己动手。

完成后，看看你的制作结果是不是与图中的图形相似？有三个圆，六个点。

请大家随意拉动几个点试试，看这三个圆是否还能“过同一点”？拖动结果可能如图2-1所示：图2-1为什么图形会“散架”，可能作图过程是这样的（图5-2列出了最典型的初学者“画共点的三个圆”的步骤，受到了传统作图方式如黑板上的绘图或一般绘图软件的影响）。

图2-2在拖动过程中，动态几何作图能够保持所有给定的几何关系，因为它就是根据几何关系来设计的！那么，你思考一下，上述方法在画圆时，到底给定了什么样的几何关系？我们知道，圆是由两个点来决定的，双击鼠标按下去的点即为圆心，松开鼠标的点即为圆上的一点。

改变这两个点中的任意一点都可以改变圆。

而在我们刚才的操作中，我们所给的几何关系是：每个圆都是由两个完全自由的点来决定的（请大家观察一下，图中共三个圆，六个自由点）。

根据这样的几何关系，每个圆都可以随意地改变。

这就表明：在超级画板中，不能再象在黑板上那样，随手画出图来，而每时每刻都得考虑几何关系。

那么怎么能保证它们过同一个点呢？你按下面的步骤做做看？，，现在来试试随便拖动其中的任意一个圆。

很显然，在这种做法中，由于在作图过程中已经规定了三个圆圆上的点都为点B，因此不管如何拖动这三个圆，它们都会经过点B。

参看配套资源文件“2-1共点的三圆”。

这就是在动态中保持几何关系！（二）动态几何实例例1：圆幂定理任意作圆，点A为圆心，AB为半径；在圆上任取C、D、E、F四点，连接CD，EF，作出交点G（有两种情况，图2-3和图2-4）；测量线段EG、GF、CG、GD的长度，计算EG*GF和CG*GD；拖动C、D、E、F四点，寻找其中规律，特别是C、D两点（或E、F 两点）比较靠近时。

参看配套资源文件“2-2圆幂定理”。

图2-3 图2-4例2：平行四边形对角线三等分作平行四边形ABCD；连接AC，作出AD的中点E，DC的中点F；连接BE交AC于点G，连接BF交AC于点H；测量线段AG，GH，HC的长度（图2-5）；拖动A，B，C三点，寻找其中规律。

参看配套资源文件“2-3平行四边形对角线三等分”。

图2-5例3：等腰三角形问题作出等腰△ABC ，其中AC=BC ；在线段AB 上取点D ，作DE 垂直AC ，作DF 垂直BC ；测量线段DE ，DF 的长度，计算两者之和与两者之差（图2-6）；拖动点D ，寻找其中规律。

参看配套资源文件“2-4等腰三角形问题”。

图2-6例4：等边三角形中的一点作出等边△ABC ；在三角形内部作出点D ，过点D 作DE 垂直于BC ，过点D 作DF 垂直于AB ，过点D 作DG 垂直于AC ；测量线段DE ，DF ，DG 长度，并相加（图2-7）；在△ABC 内部拖动点D ，寻找其中规律。

参看配套资源文件“2-5等边三角形中的一点”。

图2-7例5：三角形中位线定理作△ABC ；作出线段AB 的中点D ，作出线段AC 的中点E ，连接DE ；测量线段DE ，BC ，计算DEBC ；测量∠ADE 和∠ABC ，∠AED 和∠ACB （图2-8）；拖动点A 、B 、C ，寻找其中规律。

参看配套资源文件“2-6三角形中位线定理”。

图 2-8例6：井田问题如图2-9，作四边形ABCD ，点E 、F 、G 、H 、I 、J 、K 、L 分别是四条边上的三等分点。

计算ABCD S MNPQS ，看看有什么发现。

这里需要用到点绕点旋转缩放命令：PointFlexRotate(P, A,Times,Angle[,Text])，其作用是将点P 绕点A 逆时针方向旋转角Angle ，并将P 到A 的距离缩放Times 倍后所生成的点。

这里旋转的角度是度，旋转的方向是逆时针方向。

如果要求顺时针方向旋转，可将Angle 的值反号。

参看配套资源文件“2-7井田问题”。

图2-9 例7：五点共圆如图2-10，作出五角星ABCDE ，再过D 、F 、J 三点作圆，如果不想一步一步地用尺规构图，就可以用文本命令：CircleOf3Point(A,B,C)。

同样地再分别以点AGF ，点CHG ，点EHI ，点BIJ 作外接圆；这5个圆又产生了5个交点K ，L ，M ，N ，P ，有趣的是这5个点共圆（图2-11）。

检验方法：可以过点K ，L ，M 三点作圆，任意拖动五角星发现P ，N 两点也在圆上。

参看配套资源文件“2-8五点共圆”。

（注：如果用的是《超级画板》的完全版，执行“推理|自动推理”命令,在几秒后可以给出这条定理的传统风格的可读证明。

）图2-10 图2-11现在你该明白什么是智能化的动态几何了吧：1：软件要具有智能化，能主动去识别人的意图，减轻人的负担，并帮助人来完成所要作的事情；2：不管你怎么样拖动，所作的图始终保持几何不变性。

运用《超级画板》研究数学问题,能使抽象的数学问题具体化、模型化、直观化，让人先从感观上得出相关结论,这对进一步学习与探索无疑有很大的帮助,能激发想象，驱使人们在变化中寻找不变，发现数学规律，印证数学猜想，诱发直觉思维,揭示数学本质。

所以,《超级画板》被认为是“做数学”的虚拟实验室，是培养创新能力的优秀认知平台。

运用动态几何软件探索数学的几条原则注意事项就是类似于数学通报发表的那几条规律习题2-1：据说数学家牛顿曾经考虑过这样一个趣题：有九棵树,要栽十行,每行三棵,请你帮忙。

有人设计了一份答案，就是图2-12。

你认为这份答案对么？我们可以用《超级画板》来验证，看看I、G、F三点是不是总保持共线。

参看配套资源文件“2-9九树十行”。

图2-12（三）模拟尺规作图尺规作图历史悠久，影响深远，看似简单，其实奥妙无穷，极具挑战性，能够培养数学思维和数学能力，特别是古希腊三大几何难题更是吸引了无数数学爱好者。

用《超级画板》很容易作出尺规作图难以作出的图形，但所用方法已经不是真正意义上的尺规作图了。

当然，我们也可以限制超级画板的功能，譬如不用“测量”功能，因为尺规作图中的圆规和直尺都是没有测量功能。

由于“智能画笔”功能太强，我们在用超级画板模拟尺规作图时，需要去掉其智能性，具体操作是在“查看”菜单中选择“智能画笔的类型”。

尺规作图经典范例很多，仅举几例说明，中间简化了少数步骤。

例1：过圆外一点作圆的切线法1：（1）任意作圆，圆心为Ａ，AB为半径；在圆外任作点C；（2）连接AC，作出中点D；以点D为圆心，DA为半径作圆；（3）两圆相交于E、F两点，CE，CF即为所求作切线段（图2-13）。

此作法所用数学原理：圆内直径所对的角为直角。

当我们拖动点C至圆内时，两圆无交点，自然切线也不存在（图2-14）。

图2-13 图2-14 图2-15法2：（1）任意作圆，以圆心为Ａ，AB为半径；在圆外任作点C；（2）连接AC，作出AC与圆的交点D；过点D作圆AC的垂线；（3）以点A为圆心，AC为半径作圆，交垂线于点E；（4）连接AE交圆于点F，AF即为所求切线段（图2-15）。

此作法用到全等三角形的知识，其巧妙之处就在于将作切线问题转化为作垂线问题。

参看配套资源文件“2-10过圆外一点向圆作切线”。

例2：作两圆的公切线作法：（1）任意作两圆，一个是以圆心为Ａ，AB为半径，另一个以圆心为C，CD为半径；（2）以点C为圆心，AB CD+为半径作圆；（3）连接AC，作出中点E；以点E为圆心，EC为半径作圆，交A（较大者）于点F；（4）连接FC交A（较小者）于点G；过点G作CF的垂线即为所求（图2-16）。

根据对称关系，这样的公切线还有一条。

与此类似，我们可以作出两圆的外公切线（图2-17），稍有不同的是第（2）步时将AB CD+改成CD AB-（假设此时CD AB>）。

参看配套资源文件“2-11两圆的公切线”。

图2-16 图2-17例3：单尺作图等分线段随着人们数学水平的提高，从最开始的尺规作图，又引发出了单规作图（仅用圆规作图），单尺作图（仅用直尺作图）等更高难度的作图。

下面将给出单尺作图的经典实例——等分线段，并用面积法给出严格证明。

首先引入面积法的一个基本定理。

我们任作两条不平行线段AB和PQ，设交点为M，通过超级画板的测量工具，容易发现不管如何拖动A、B、P、Q四点，总有PABQABS=SPMQM成立。

共边定理若直线AB和PQ相交于点M（如图2-18，有四种情形）,则有PABQABS=SPMQM。

图2-18证明：在直线AB 上取一点N ，使得MN=AB ，则PMN 与QMN 共高， 即有PMN PAB QAB QMN S S ==S S PM QM。

从本质上讲，共边定理是“等底等高的三角形面积相等”这一性质的推论，看起来很简单，但它的用途相当广泛，详见《新概念几何》（张景中著）。

参看配套资源文件“ 2-12共边定理”。

例4：已知线段AB 和平行于AB 的直线CD ，仅用直尺求作AB 的2等分点（即中点）。

作法：如图2-191：作出线段AB 和直线CD ；2：在线段AB 和直线CD 外任取点E ，连接AE ，BE 分别交直线CD 于F ，G 两点； 3：连接AG ，BF ，交点为H ；4：延长EH 交AB 于点I ，点I 即为所求。

证明：1AI S AEH S AEH S AHB EG AF S EFG S AFG BI S BEH S AHB S BEH BG EF S BFG S EFG=====图2-19 图2-20最后一步用到直线CD 平行线段AB 。

类似可证EH 平分FG 。

这也就是梯形中一个很有用的结论：延长梯形两腰的交点和梯形两对角线的交点的连线平分梯形的上底和下底！下面我们将在此基础上进一步等分线段。

例5：已知线段AB 和平行于AB 的直线CD ，仅用直尺求作AB 的n 等分点。

作法：如图2-201：按例4所讲方法作出AB 中点I ；2：连接IG 交BF 于J ，延长EJ 交AB 于K ，则点K 为AB 的3等分点；3：类似操作即可得到4等分点，5等分点……；证明：数学归纳法1：当n ＝2时，已证；2：假设点I 为AB 的n-1 (n 3)≥等分点，那么连接IG 交BF 于J ，延长EJ 交AB 于K ，则点K 为AB 的n 等分点。