第十九讲平面几何中的几个著名定理

第十九讲平面几何中的几个著名定理

几何学起源于土地测量，几千年来，人们对几何学进行了深入的研究，现已发展成为一门具有严密的逻辑体系的数学分支．人们从少量的公理出发，经过演绎推理得到不少结论，这些结论一般就称为定理．平面几何中有不少定理，除了教科书中所阐述的一些定理外，还有许多著名的定理，以这些定理为基础，可以推出不少几何事实，得到完美的结论，以至巧妙而简捷地解决不少问题．而这些定理的证明本身，给我们许多有价值的数学思想方法，对开阔眼界、活跃思维都颇为有益．有些定理的证明方法及其引伸出的结论体现了数学的美，使人们感到对这些定理的理解也可以看作是一种享受．下面我们来介绍一些著名的定理．

1．梅内劳斯定理

亚历山大里亚的梅内劳斯(Menelaus，约公元100年，他和斯巴达的Menelaus是两个人)曾著《球面论》，着重讨论球面三角形的几何性质．以他的名子命名的“梅内劳斯定理”现载在初等几何和射影几何的书中，是证明点共线的重要定理．

定理一直线与△ABC的三边AB，BC，CA或延长线分别相交于X，Y，Z，则

证过A，B，C分别作直线XZY的垂线，设垂足分别为Q，P，S，见图3－98．由△AXQ∽△BXP得

同理

将这三式相乘，得

说明(1)如果直线与△ABC的边都不相交，而相交在延长线上，同样可证得上述结论，但一定要有交点，且交点不在顶点上，否则定理的结论中的分母出现零，分子也出现零，这时定理的结论应改为

AX×BY×CZ=XB×YC×ZA，

仍然成立．

(2)梅内劳斯定理的逆定理也成立，即“在△ABC 的边AB和AC上分别取点X，Z，在BC的延长线上取点Y，如果

那么X，Y，Z共线”．梅内劳斯定理的逆定理常被用来证明三点共线．

例1 已知△ABC的内角∠B和∠C的平分线分别为BE和CF，∠A的外角平分线与BC的延长线相交于D，求证：D，E，F共线．

证如图3－99有

相乘后得

由梅内劳斯定理的逆定理得F，D，E共线．

例2(戴沙格定理)在△ABC和△A′B′C′中，若AA′，BB′，CC′相交于一点S，则AB与A′B′，BC与B′C′，AC与A′C′的交点F，D，E共线．

证如图3－100，直线FA′B′截△SAB，由梅内劳斯定理有

同理，直线EC′A′和DC′B′分别截△SAC和△SBC，得

将这三式相乘得

所以D，E，F共线．

2．塞瓦定理

意大利数学家塞瓦(G．Ceva)在1678年发表了下面的十分有用的定理，它是证明共点线的重要定理．定理在△ABC内任取一点P，直线AP，BP，CP 分别与边BC，CA，AB相交于D，E，F，则

证如图3－101，过B，C分别作直线AP的垂线，设垂足为H和K，则

由于△BHD∽△CKD，所以

同理可证

将这三式相乘得

说明(1)如果P点在△ABC外，同样可证得上述结论，但P点不能在直线AB，BC，CA上，否则，定理的结论中的分母出现零，分子也出现零，这时，定理的结论应改为

BD×CE×AF=DC×EA×FB，

仍然成立．

(2)塞瓦定理的逆定理也成立，即“在△ABC的边BC，CA，AB上分别取点D，E，F，如果

那么直线AD，BE，CF相交于同一点．”

证如图3－102，设AD和BE相交于P，作直线CP，交直线AB于F′，由塞瓦定理得

所以F′B=FB，

即F′与F重合，所以AD，BE，CF相交于同一点．塞瓦定理的逆定理常被用来证明三线共点．

例3 求证：三角形的三条中线、三条内角平分线和三条高所在的直线分别相交于同一点．

证(1)如果D，E，F分别是△ABC的边BC，CA，AB的中点，则

由塞瓦定理的逆定理得中线AD，BE，CF共点．

(2)如果D，E，F分别是△ABC的内角平分线AD，BE，CF与边BC，CA，AB的交点，则

由塞瓦定理的逆定理得角平分线AD，BE，CF共点．

(3)设D，E，F分别是△ABC的高AD，BE，CF的垂足．

(i)当△ABC是锐角三角形时(如图3－103)，D，E，F分别在BC，CA，AB上，有

BD=ccosB，DC=bcosC，CE=acosc，

EA=ccosA，AF=bcosA，FB=acosB，

所以

由塞瓦定理的逆定理得高AD，BE，CF共点．(ii)当△ABC是钝角三角形时，有

BD=ccosB，DC=bcosC，CE=acosC，

EA=ccos(180°-A)=-ccosA，

AF=bcos(180°-A)=-bcosA,

FB=acosB，

所以

由塞瓦定理的逆定理，得高AD，BE，CF共点．(iii)当△ABC是直角三角形时，高AD，BE，CF都经过直角顶点，所以它们共点．

例4 在三角形ABC的边上向外作正方形，A

1

，

B1，C1是正方形的边BC，CA，AB的对边的中点，证

明：直线AA

1，BB

1

，CC

1

相交于一点．

证如图3－104．设直线AA

1，BB

1

，CC

1

与边BC，

CA，AB的交点分别为A2，B2，C2，那么BA2：A2C等

于从点B和C到边AA

1

的垂线的长度之比，即

其中∠θ=∠CBA

1

=∠BCA1．同理

将上述三式相乘得

根据塞瓦定理的逆定理，得AA

1，BB

1

，CC

1

共点．

3．斯台沃特定理

定理△ABC的边BC上任取一点D，若BD=u，DC=v，AD=t，则

证过A作AE⊥BC，E为垂足(如图3－105)，设DE=x，则有

AE2=b2-(v-x)2=c2-(u+x)2=t2-x2，

(若E在BC的延长线上，则v-x换成x-v．)于是得

消去x得

(u+v)2=b2u+c2v-uv(u+v)，