认识平面几何的61个著名定理

平面几何基本定理

.一．平面几何1．勾股定理（毕达哥拉斯定理）（广义勾股定理）(1)锐角对边的平方，等于其他两边之平方和，减去这两边中的一边和另一边在这边上的射影乘积的两倍． (2)钝角对边的平方等于其他两边的平方和，加上这两边中的一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍． 2．射影定理（欧几里得定理）3．中线定理（巴布斯定理）设△ABC 的边BC 的中点为P ，则有)(22222BP AP AC AB +=+；中线长：222222a c b m a -+=4．垂线定理：2222BD BC AD AC CD AB -=-⇔⊥高线长：C b B c A abcc p b p a p p a h a sin sin sin ))()((2===---=5．角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例．如△ABC 中，AD 平分∠BAC ，则AC AB DC BD =；（外角平分线定理）角平分线长：2cos 2)(2Ac b bc a p bcp c b t a +=-+=（其中p 为周长一半）6．正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin ===，（其中R 为三角形外接圆半径） 7．余弦定理：C ab b a ccos 2222-+=8．张角定理：AB DAC AC BAD AD BAC ∠+∠=∠sin sin sin9．斯特瓦尔特(Stewart )定理：设已知△ABC 及其底边上B 、C两点间的一点D ，则有AB 2·DC +AC 2·BD －AD 2·BC ＝BC ·DC ·BD 10．圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，等于圆心角的一半．（圆外角如何转化？）11．弦切角定理：弦切角等于夹弧所对的圆周角12．圆幂定理：（相交弦定理：垂径定理：切割线定理（割线定理）：切线长定理：）13．布拉美古塔（Brahmagupta ）定理：在圆内接四边形ABCD中，AC ⊥BD ，自对角线的交点P 向一边作垂线，其延长线必平分对边14．点到圆的幂：设P 为⊙O 所在平面上任意一点，PO =d ，⊙O 的半径为r ，则d 2－r 2就是点P 对于⊙O 的幂．过P 任作一直线与⊙O 交于点A 、B ，则PA ·PB = |d 2－r 2|．“到两圆等幂的点的轨迹是与此二圆的连心线垂直的一条直线，如果此二圆相交，则该轨迹是此二圆的公共弦所在直线”这个结论．这条直线称为两圆的“根轴”．三个圆两两的根轴如果不互相平行，则它们交于一点，这一点称为三圆的“根心”．三个圆的根心对于三个圆等幂．当三个圆两两相交时，三条公共弦(就是两两的根轴)所在直线交于一点．15．托勒密（Ptolemy ）定理：圆内接四边形对角线之积等于两组对边乘积之和，即AC ·BD =AB ·CD +AD ·BC ，(逆命题成立) ．（广义托勒密定理）AB ·CD +AD ·BC ≥AC ·BD16．蝴蝶定理：AB 是⊙O 的弦，M 是其中点，弦CD 、EF 经过点M ，CF 、DE 交AB 于P 、Q ，求证：MP =QM ． 17．费马点：定理1等边三角形外接圆上一点，到该三角形较近两顶点距离之和等于到另一顶点的距离；不在等边三角形外接圆上的点，到该三角形两顶点距离之和大于到另一点的距离．定理2 三角形每一内角都小于120°时，在三角形内必存在一点，它对三条边所张的角都是120°，该点到三顶点距离和达到最小，称为“费马点”，当三角形有一内角不小于120°时，此角的顶点即为费马点18．拿破仑三角形：在任意△ABC 的外侧，分别作等边△ABD 、△BCE 、△CAF ，则AE 、AB 、CD 三线共点，并且AE ＝BF ＝CD ，这个命题称为拿破仑定理．以△ABC 的三条边分别向外作等边△ABD 、△BCE 、△CAF ，它们的外接圆⊙C 1 、⊙A 1 、⊙B 1的圆心构成的△——外拿破仑的三角形，⊙C 1 、⊙A 1 、⊙B 1三圆共点，外拿破仑三角形是一个等边三角形；△ABC 的三条边分别向△ABC 的内侧作等边△ABD 、△BCE 、△CAF ，它们的外接圆⊙C 2 、⊙A 2 、⊙B 2的圆心构成的△——内拿破仑三角形，⊙C 2 、⊙A 2 、⊙B 2三圆共点，内拿破仑三角形也是一个等边三角形．这两个拿破仑三角形还具有相同的中心19．九点圆（Nine point round 或欧拉圆或费尔巴赫圆）：三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，九点圆具有许多有趣的性质,例如:（1）三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半（2）九点圆的圆心在欧拉线上,且恰为垂心与外心连线的中点（3）三角形的九点圆与三角形的内切圆,三个旁切圆均相切〔费尔巴哈定理〕20．欧拉（Euler ）线：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线（欧拉线）上．21．欧拉（Euler ）公式：设三角形的外接圆半径为R ，内切圆半径为r ，外心与内心的距离为d ，则d 2=R 2－2Rr ．22．锐角三角形的外接圆半径与内切圆半径的和等于外心到各边距离的和．23．重心：三角形的三条中线交于一点，并且各中线被这个点分成2：1的两部分；)3,3(C B A C B A y y y x x x G ++++重心性质：（1）设G 为△ABC 的重心，连结AG 并延长交BC.于D ，则D 为BC 的中点，则1:2:=GD AG ；（2）设G 为△ABC 的重心，则ABC ACG BCG ABG S S S S ∆∆∆∆===31（3）设G 为△ABC 的重心，过G 作DE ∥BC 交AB 于D ，交AC 于E ，过G 作PF ∥AC 交AB 于P ，交BC 于F ，过G 作HK ∥AB 交AC 于K ，交BC 于H ，则2;32=++===ABKHCA FP BC DE AB KH CA FP BC DE （4）设G 为△ABC 的重心，则222222333GC AB GB CA GA BC +=+=+)(31222222CA BC AB GC GB GA ++=++22222223PG GC GB GA PC PB PA +++=++（P 为△ABC 内任意一点）；④到三角形三顶点距离的平方和最小的点是重心，即222GC GB GA ++最小；⑤三角形内到三边距离之积最大的点是重心；反之亦然（即满足上述条件之一，则G 为△ABC 的重心）．24．垂心：三角形的三条高线的交点；)cos cos cos cos cos cos ,cos cos cos cos cos cos (Cc B b A a y C cy B b y A a C c B b A a x C c x B b x A a H C B A C B A ++++++++垂心性质：（1）三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍（2）垂心H 关于△ABC 的三边的对称点，均在△ABC 的外接圆上；（3）△ABC 的垂心为H ，则△ABC ，△ABH ，△BCH ，△ACH 的外接圆是等圆；（4）设O ，H 分别为△ABC 的外心和垂心，HCA BCO ABH CBO HAC BAO ∠=∠∠=∠∠=∠,,25．内心：三角形的三条角分线的交点—内接圆圆心，即内心到三角形各边距离相等),(cb a cy by ayc b a cx bx ax I CB AC B A ++++++++内心性质：（1）设I 为△ABC 的内心，则I 到△ABC 三边的距离相等，反之亦然（2）设I为△ABC的内心，则C AIB B AIC A BIC ∠+︒=∠∠+︒=∠∠+︒=∠2190,2190,2190（3）三角形一内角平分线与其外接圆的交点到另两顶点的距离与到内心的距离相等；反之，若A ∠平分线交△ABC 外接圆于点K ，I 为线段AK 上的点且满足KI=KB ，则I 为△ABC 的内心（4）设I 为△ABC 的内心，,,,c AB b AC a BC === A ∠平分线交BC于D ，交△ABC 外接圆于点K ，则acb KD IK KI AK ID AI +=== （5）设I 为△ABC 的内心，,,,c AB b AC a BC ===I在AB AC BC ,,上的射影分别为F E D ,,，内切圆半径为r ，令)(21c b a p ++=①pr S ABC =∆；②c p CD CE b p BF BD a p AF AE -==-==-==;;；③CI BI AI p abcr ⋅⋅⋅=．26．外心：三角形的三条中垂线的交点——外接圆圆心，即外心到三角形各顶点距离相等；2sin 2sin 2sin 2sin ,2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin (B A By AyC B A Cx Bx Ax O BA CB A +++++++外心性质：（1）外心到三角形各顶点距离相等（2）设O 为△ABC 的外心，则A BOC ∠=∠2或A BOC ∠-︒=∠2360（3）∆=S abc R 4；（4）锐角三角形的外心到三边的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和27．旁心：一内角平分线与两外角平分线交点——旁切圆圆心；设△ABC 的三边,,,c AB b AC a BC ===令)(21c b a p ++=，分别与AB AC BC ,,外侧相切的旁切圆圆心记为C B A I I I ,,，其半径分别记为C B A r r r ,,旁心性质：（1）,21,2190A C BI C BI A C BI C B A ∠=∠=∠∠-︒=∠（对于顶角B ，C 也有类似的式子）（2）)(21C A I I I C B A ∠+∠=∠ （3）设A AI 的连线交△ABC 的外接圆于D ，则DC DB DI A ==（对于C B CI BI ,有同样的结论）（4）△ABC 是△I A I B I C 的垂足三角形，且△I A I B I C 的外接圆半径'R 等于△ABC 的直径为2R ．28．三角形面积公式C B A R Rabc C ab ah S a ABC sin sin sin 24sin 21212====∆)cot cot (cot 4222C B A c b a ++++=))()((c p b p a p p pr ---==，其中a h 表示BC 边上的.高，R 为外接圆半径，r 为内切圆半径，)(21c b a p ++=29．三角形中内切圆，旁切圆和外接圆半径的相互关系;2sin 2cos 2cos 4,2cos 2sin 2cos 4,2cos 2cos 2sin 4;2sin 2sin 2sin 4CB A R rC B A R r C B A R r C B A R r c b a ====.1111;2tan2tan ,2tan 2tan ,2tan 2tan rr r r B A r r C A r r C B r r c b a c b a =++===30．梅涅劳斯（Menelaus ）定理：设△ABC 的三边BC 、CA 、AB或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别为P 、Q 、R 则有1=⋅⋅RBARQA CQ PC BP ．（逆定理也成立） 31．梅涅劳斯定理的应用定理1：设△ABC 的∠A 的外角平分线交边CA 于Q ，∠C 的平分线交边AB 于R ，∠B 的平分线交边CA 于Q ，则P 、Q 、R 三点共线32．梅涅劳斯定理的应用定理2：过任意△ABC 的三个顶点A 、B 、C 作它的外接圆的切线，分别和BC 、CA 、AB 的延长线交于点P 、Q 、R ，则P 、Q 、R 三点共线33．塞瓦(Ceva )定理：设X 、Y 、Z 分别为△ABC 的边BC 、CA 、AB 上的一点，则AX 、BY 、CZ 所在直线交于一点的充要条件是AZ ZB ·BX XC ·CYYA=1 34．塞瓦定理的应用定理：设平行于△ABC 的边BC 的直线与两边AB 、AC 的交点分别是D 、E ，又设BE 和CD 交于S ，则AS 一定过边BC 的中点M35．塞瓦定理的逆定理：（略）36．塞瓦定理的逆定理的应用定理1：三角形的三条中线交于一点，三角形的三条高线交于一点，三角形的三条角分线交于一点37．塞瓦定理的逆定理的应用定理2：设△ABC 的内切圆和边BC 、CA 、AB 分别相切于点R 、S 、T ，则AR 、BS 、CT 交于一点．38．西摩松（Simson ）定理：从△ABC 的外接圆上任意一点P向三边BC 、CA 、AB 或其延长线作垂线，设其垂足分别是D 、E 、R ，则D 、E 、R 共线，（这条直线叫西摩松线Simson line ）39．西摩松定理的逆定理：（略）40．关于西摩松线的定理1：△ABC 的外接圆的两个端点P 、Q关于该三角形的西摩松线互相垂直，其交点在九点圆上 41．关于西摩松线的定理2（安宁定理）：在一个圆周上有4点，以其中任三点作三角形，再作其余一点的关于该三角形的西摩松线，这些西摩松线交于一点42．史坦纳定理：设△ABC 的垂心为H ，其外接圆的任意点P ，这时关于△ABC 的点P 的西摩松线通过线段PH 的中心． 43．史坦纳定理的应用定理：△ABC 的外接圆上的一点P 的关于边BC 、CA 、AB 的对称点和△ABC 的垂心H 同在一条（与西摩松线平行的）直线上．这条直线被叫做点P 关于△ABC 的镜象线．44．牛顿定理1：四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点和两条对角线的中点，三点共线．这条直线叫做这个四边形的牛顿线．45．牛顿定理2：圆外切四边形的两条对角线的中点，及该圆的圆心，三点共线． 46．笛沙格定理1：平面上有两个三角形△ABC 、△DEF ，设它们的对应顶点（A 和D 、B 和E 、C 和F ）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线． 47．笛沙格定理2：相异平面上有两个三角形△ABC 、△DEF ，设它们的对应顶点（A 和D 、B 和E 、C 和F ）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线． 48．波朗杰、腾下定理：设△ABC 的外接圆上的三点为P 、Q 、R ，则P 、Q 、R 关于△ABC 交于一点的充要条件是：弧AP +弧BQ +弧CR =0(mod2π) ．49．波朗杰、腾下定理推论1：设P 、Q 、R 为△ABC 的外接圆上的三点，若P 、Q 、R 关于△ABC 的西摩松线交于一点，则A 、B 、C 三点关于△PQR 的的西摩松线交于与前相同的一点．50．波朗杰、腾下定理推论2：在推论1中，三条西摩松线的交点是A 、B 、C 、P 、Q 、R 六点任取三点所作的三角形的垂心和其余三点所作的三角形的垂心的连线段的中点． 51．波朗杰、腾下定理推论3：考查△ABC 的外接圆上的一点P的关于△ABC 的西摩松线，如设QR 为垂直于这条西摩松线该外接圆的弦，则三点P 、Q 、R 的关于△ABC 的西摩松线交于一点．52．波朗杰、腾下定理推论4：从△ABC 的顶点向边BC 、CA 、AB 引垂线，设垂足分别是D 、E 、F ，且设边BC 、CA 、AB的中点分别是L 、M 、N ，则D 、E 、F 、L 、M 、N 六点在同一个圆上，这时L 、M 、N 点关于关于△ABC 的西摩松线交于一点53．卡诺定理：通过△ABC 的外接圆的一点P ，引与△ABC 的三边BC 、CA 、AB 分别成同向的等角的直线PD 、PE 、PF ，与三边的交点分别是D 、E 、F ，则D 、E 、F 三点共线． 54．奥倍尔定理：通过△ABC 的三个顶点引互相平行的三条直线，设它们与△ABC 的外接圆的交点分别是L 、M 、N ，在△ABC 的外接圆上取一点P ，则PL 、PM 、PN 与△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线的交点分别是D 、E 、F ，则D 、E 、F 三点共线．55．清宫定理：设P 、Q 为△ABC 的外接圆的异于A 、B 、C 的两点，P 点的关于三边BC 、CA 、AB 的对称点分别是U 、V 、W ，这时，QU 、QV 、QW 和边BC 、CA 、AB 或其延长线的交点分别是D 、E 、F ，则D 、E 、F 三点共线．56．他拿定理：设P 、Q 为关于△ABC 的外接圆的一对反点，点P 的关于三边BC 、CA 、AB 的对称点分别是U 、V 、W ，这时，.如果QU 、QV 、QW 和边BC 、CA 、AB 或其延长线的交点分别是D 、E 、F ，则D 、E 、F 三点共线．（反点：P 、Q 分别为圆O 的半径OC 和其延长线的两点，如果OC 2=OQ ×OP 则称P 、Q 两点关于圆O 互为反点）57．朗古来定理：在同一圆周上有A 1、B 1、C 1、D 1四点，以其中任三点作三角形，在圆周取一点P ，作P 点的关于这4个三角形的西摩松线，再从P 向这4条西摩松线引垂线，则四个垂足在同一条直线上．58．从三角形各边的中点，向这条边所对的顶点处的外接圆的切线引垂线，这些垂线交于该三角形的九点圆的圆心 59．一个圆周上有n 个点，从其中任意n －1个点的重心，向该圆周的在其余一点处的切线所引的垂线都交于一点 60．康托尔定理1：一个圆周上有n 个点，从其中任意n －2个点的重心向余下两点的连线所引的垂线共点．61．康托尔定理2：一个圆周上有A 、B 、C 、D 四点及M 、N 两点，则M 和N 点关于四个三角形△BCD 、△CDA 、△DAB 、△ABC 中的每一个的两条西摩松线的交点在同一直线上．这条直线叫做M 、N 两点关于四边形ABCD 的康托尔线． 62．康托尔定理3：一个圆周上有A 、B 、C 、D 四点及M 、N 、L三点，则M 、N 两点的关于四边形ABCD 的康托尔线、L 、N 两点的关于四边形ABCD 的康托尔线、M 、L 两点的关于四边形ABCD 的康托尔线交于一点．这个点叫做M 、N 、L 三点关于四边形ABCD 的康托尔点．63．康托尔定理4：一个圆周上有A 、B 、C 、D 、E 五点及M 、N 、L 三点，则M 、N 、L 三点关于四边形BCDE 、CDEA 、DEAB 、EABC 中的每一个康托尔点在一条直线上．这条直线叫做M 、N 、L 三点关于五边形A 、B 、C 、D 、E 的康托尔线．64．费尔巴赫定理：三角形的九点圆与内切圆和旁切圆相切． 65．莫利定理：将三角形的三个内角三等分，靠近某边的两条三分角线相得到一个交点，则这样的三个交点可以构成一个正三角形．这个三角形常被称作莫利正三角形．66．布利安松定理：连结外切于圆的六边形ABCDEF 相对的顶点A 和D 、B 和E 、C 和F ，则这三线共点．67．帕斯卡（Paskal ）定理：圆内接六边形ABCDEF 相对的边AB和DE 、BC 和EF 、CD 和FA 的（或延长线的）交点共线． 68．阿波罗尼斯（Apollonius ）定理：到两定点A 、B 的距离之比为定比m ：n （值不为1）的点P ，位于将线段AB 分成m ：n 的内分点C 和外分点D 为直径两端点的定圆周上．这个圆称为阿波罗尼斯圆．69．库立奇*大上定理：（圆内接四边形的九点圆）圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆．70．密格尔（Miquel ）点：若AE 、AF 、ED 、FB 四条直线相交于A 、B 、C 、D 、E 、F 六点，构成四个三角形，它们是△ABF 、△AED 、△BCE 、△DCF ，则这四个三角形的外接圆共点，这个点称为密格尔点．71．葛尔刚（Gergonne ）点：△ABC 的内切圆分别切边AB 、BC 、CA 于点D 、E 、F ，则AE 、BF 、CD 三线共点，这个点称为葛尔刚点．72．欧拉关于垂足三角形的面积公式：O 是三角形的外心，M 是三角形中的任意一点，过M 向三边作垂线，三个垂足形成的三角形的面积，其公式： 222ABC D 4||R d R S S EF -=∆∆．二．集合1.元素与集合的关系U x A x C A ∈⇔∉,U x C A x A ∈⇔∉.2.德摩根公式();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B==3.包含关系A B A A B B=⇔=U U A B C B C A ⇔⊆⇔⊆U A C B ⇔=ΦU C A B R ⇔=4.集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n–1个；非空子集有2n–1个；非空的真子集有2n–2个. 5.集合A 中有M 个元素，集合B 中有N 个元素，则可以构造M*N 个从集合A 到集合B 的映射；6.容斥原理()()card A B cardA cardB card A B =+-()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++-()()()()card A B card B C card CA card ABC ---+.三．二次函数，二次方程1·二次函数的解析式的三种形式(1)一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠;(2)顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠;(3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 2·解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式()N f x M <<⇔[()][()]0f x M f x N --<⇔|()|22M N M Nf x +--<⇔()0()f x N M f x ->- ⇔11()f x N M N>--. 3·方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21<k f k f 不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条.件.特别地, 方程)0(02≠=++a c bx ax有且只有一个实根在),(21k k ,等价于0)()(21<k f k f ,或0)(1=k f 且22211k k a bk +<-<,或0)(2=k f 且22122k abk k <-<+. 4·闭区间上的二次函数的最值二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 在闭区间[]q p ,上的最值只能在abx 2-=处及区间的两端点处取得，具体如下：(1)当a>0时，若[]q p abx ,2∈-=，则{}min max max ()(),()(),()2bf x f f x f p f q a =-=；[]q p abx ,2∉-=，{}max max ()(),()f x f p f q =，{}min min ()(),()f x f p f q =.(2)当a<0时，若[]q p abx ,2∈-=，则{}min ()min (),()f x f p f q =，若[]q p abx ,2∉-=，则{}max ()max (),()f x f p f q =，{}min ()min (),()f x f p f q =.5·一元二次方程的实根分布依据：若()()0f m f n <，则方程0)(=x f 在区间(,)m n 内至少有一个实根 .设q px x x f ++=2)(，则（1）方程0)(=x f 在区间),(+∞m 内有根的充要条件为0)(=m f 或2402p q pm ⎧-≥⎪⎨->⎪⎩；（2）方程0)(=x f 在区间(,)m n 内有根的充要条件为()()0f m f n <或2()0()0402f m f n p q p m n >⎧⎪>⎪⎪⎨-≥⎪⎪<-<⎪⎩或()0()0f m af n =⎧⎨>⎩或()0()0f n af m =⎧⎨>⎩；（3）方程0)(=x f 在区间(,)n -∞内有根的充要条件为()0f m <或2402p q pm ⎧-≥⎪⎨-<⎪⎩ . 6·定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据 (1)在给定区间),(+∞-∞的子区间L （形如[]βα,，(]β,∞-，[)+∞,α不同）上含参数的二次不等式(,)0f x t ≥(t 为参数)恒成立的充要条件是min (,)0()f x t x L ≥∉.(2)在给定区间),(+∞-∞的子区间上含参数的二次不等式(,)0f x t ≥(t 为参数)恒成立的充要条件是(,)0()man f x t x L ≤∉.(3))(24>++=c bx ax x f 恒成立的充要条件是00a b c ≥⎧⎪≥⎨⎪>⎩或2040a b ac <⎧⎨-<⎩.四．简易逻辑1·真值表234·充要条件（1）充分条件：若p q ⇒，则p 是q 充分条件.（2）必要条件：若q p ⇒，则p 是q 必要条件.（3）充要条件：若p q ⇒，且q p ⇒，则p 是q 充要.条件.注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.五．函数1· 函数的单调性(1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔>--上是增函数；[]1212()()()0x x f x f x --<⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔<--上是减函数.(2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数.2·如果函数)(x f 和)(x g 都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(x g x f +也是减函数; 如果函数)(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)]([x g f y =是增函数.3·奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;在对称区间上，奇函数的单调性相同，欧函数相反；，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数，如果一个奇函数的定义域包括0，则必有f(0)=0;4若函数)(x f y =是偶函数，则)()(a x f a x f --=+；若函数)(a x f y +=是偶函数，则)()(a x f a x f +-=+. 5· 对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是函数2ba x +=;两个函数)(a x f y +=与)(x b f y -= 的图象关于直线2ba x +=对称. 6·若)()(a x f x f +--=,则函数)(x f y =的图象关于点)0,2(a对称; 若)()(a x f x f +-=,则函数)(x f y =为周期为a 2的周期函数.7 多项式函数110()n n n n P x a x a xa --=+++的奇偶性多项式函数()P x 是奇函数⇔()P x 的偶次项(即奇数项)的系数全为零.多项式函数()P x 是偶函数⇔()P x 的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 8函数()y f x =的图象的对称性 (1)函数()y f x =的图象关于直线x a=对称()()f a x f a x ⇔+=- (2)()f a x f x ⇔-=.(2)函数()y f x =的图象关于直线2a b x +=对称()()f a mx f b mx ⇔+=- ()()f a b mx f mx ⇔+-=.9两个函数图象的对称性 (1)函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称.(2)函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a bx m+=对称.(3)函数)(x f y =和)(1x f y -=的图象关于直线y=x 对称.10 若将函数)(x f y =的图象右移a 、上移b 个单位，得到函数b a x f y +-=)(的图象；若将曲线0),(=y x f 的图象右移a 、上移b 个单位，得到曲线0),(=--b y a x f 的图象.11 互为反函数的两个函数的关系a b f b a f =⇔=-)()(1.12若函数)(b kx f y +=存在反函数,则其反函数为])([11b x f ky -=-,并不是)([1b kx f y +=-,而函数)([1b kx f y +=-是])([1b x f ky -=的反函数.13 几个常见的函数方程 (1)正比例函数()f x cx =,()()(),(1)f x y f x f y f c +=+=. (2)指数函数()x f x a =,()()(),(1)0f x y f x f y f a +==≠. (3)对数函数()log a f x x =,()()(),()1(0,1)f xy f x f y f a a a =+=>≠.(4)幂函数()f x x α=,'()()(),(1)f xy f x f y f α==. (5)余弦函数()cos f x x =,正弦函数()sin g x x =，()()()()()f x y f x f y g x g y -=+，0()(0)1,lim 1x g x f x→==.14 几个函数方程的周期(约定a>0)（1）)()(a x f x f +=，则)(x f 的周期T=a ；（2）0)()(=+=a x f x f ，或)0)(()(1)(≠=+x f x f a x f ，或1()()f x a f x +=-(()0)f x ≠,或[]1(),(()0,1)2f x a f x =+∈,则)(x f 的周期T=2a ；(3))0)(()(11)(≠+-=x f a x f x f ，则)(x f 的周期T=3a ；.(4))()(1)()()(212121x f x f x f x f x x f -+=+且1212()1(()()1,0||2)f a f x f x x x a =⋅≠<-<，则)(x f 的周期T=4a ；(5)()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a +++++++()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a =++++,则)(x f 的周期T=5a ；(6))()()(a x f x f a x f +-=+，则)(x f 的周期T=6a.六指数与对数1·分数指数幂(1)m na=（0,,am n N *>∈，且1n >）.(2)1mnm naa-=（0,,a m n N *>∈，且1n >）.2·根式的性质（1）n a =.（2）当na =；当n 为,0||,0a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩. 3·有理指数幂的运算性质(1) (0,,)r s r s a a a a r s Q +⋅=>∈.(2)()(0,,)r s rs a a a r s Q =>∈.(3)()(0,0,)rr r ab a b a b r Q =>>∈.注：若a ＞0，p 是一个无理数，则a p表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用. 4·指数式与对数式的互化式log b a N b a N =⇔=(0,1,0)a a N >≠>.5·对数的换底公式log log log m a m N N a=(0a >,且1a ≠,0m >,且1m ≠,0N >).推论log log m n a a nb b m=(0a >,且1a >,,0m n >,且1m ≠,1n ≠,0N >).6·对数的四则运算法则若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则(1)log ()log log a a a MN M N=+;(2)log log log aa a MM N N=-; (3)log log ()na a M n M n R =∈. 7·设函数)0)((log )(2≠++=a c bx ax x f m ,记ac b 42-=∆.若)(x f 的定义域为R ,则0>a ，且0<∆;若)(x f 的值域为R ,则0>a ，且0≥∆.对于0=a 的情形,需要单独检验.8·对数换底不等式及其推广若0a>,0b >,0x >,1x a ≠,则函数log ()ax y bx = (1)当a b >时,在1(0,)a 和1(,)a+∞上log ()ax y bx =为增函数.，(2)当a b <时,在1(0,)a 和1(,)a +∞上log ()ax y bx =为减函数.推论:设1n m >>，0p >，0a >，且1a ≠，则（1）log ()log m p m n p n++<.（2）2log log log 2a a a m nm n +<. 9·平均增长率的问题如果原来产值的基础数为N ，平均增长率为p ，则对于时间x 的总产值y ，有(1)x y N p =+.39.数列的同项公式与前n 项的和的关系11,1,2n n n s n a s s n -=⎧=⎨-≥⎩( 数列{}n a 的前n 项的和为12n n s a a a =+++).七数列1·等差数列的通项公式*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈；其前n项和公式为1()2n n n a a s +=1(1)2n n na d -=+211()22d n a d n =+-. 2·等比数列的通项公式1*11()n nna a a q q n N q-==⋅∈；其前n 项的和公式为11(1),11,1n n a q q s q na q ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩或11,11,1n n a a qq q s na q -⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩.3·等比差数列{}n a :11,(0)n n a qa d a b q +=+=≠的通项公式为1(1),1(),11n n n b n d q a bq d b q d q q -+-=⎧⎪=+--⎨≠⎪-⎩；其前n 项和公式为(1),(1)1(),(1)111n n nb n n d q s d q db n q q q q +-=⎧⎪=-⎨-+≠⎪---⎩..八三角函数1·常见三角不等式（1）若(0,)2x π∈，则sin tan x x x <<. (2) 若(0,)2x π∈，则1sin cos x x <+≤(3) |sin ||cos |1x x +≥.2·同角三角函数的基本关系式22sin cos 1θθ+=，tan θ=θθcos sin ，tan 1cot θθ⋅=.3·正弦、余弦的诱导公式212(1)sin ,sin()2(1)s ,nn n co απαα-⎧-⎪+=⎨⎪-⎩212(1)s ,s()2(1)sin ,nn co n co απαα+⎧-⎪+=⎨⎪-⎩;tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=.22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-=-(平方正弦公式);22cos()cos()cos sin αβαβαβ+-=-.sin cos a b αα+=)αϕ+(辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 的象限决定,tan baϕ= ).5·半角正余切公式：sin sin tan ,cot 21cos 1cos αααααα==+- 6·二倍角公式sin 2sin cos ααα=.2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-.22tan tan 21tan ααα=-. 7·最简单的三角不等式及其解集sin (||1)(2arcsin ,2arcsin ),x a a x k a k a k Z πππ>≤⇔∈++-∈sin (||1)(2arcsin ,2arcsin ),x a a x k a k a k Z πππ<≤⇔∈--+∈cos (||1)(2arccos ,2arccos ),x a a x k a k a k Zππ>≤⇔∈-+∈cos (||1)(2arccos ,22arccos ),x a a x k a k a k Zπππ<≤⇔∈++-∈tan ()(arctan ,),2x a a R x k a k k Zπππ>∈⇒∈++∈tan ()(,arctan ),2x a a R x k k a k Z πππ<∈⇒∈-+∈角的变形：2()()2()()()ααβαββαβαβααββ=-++=+--=+-8·三倍角公式3sin 33sin 4sin 4sin sin()sin()33ππθθθθθθ=-=-+3cos34cos 3cos 4cos cos()cos()33ππθθθθθθ=-=-+323tan tan tan 3tan tan()tan()13tan 33θθππθθθθθ-==-+-9·三角函数的周期公式函数sin()y x ωϕ=+，x ∈R 及函数cos()y x ωϕ=+，x ∈R(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期2T πω=；函数tan()y x ωϕ=+，,2x k k Z ππ≠+∈(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期T πω=.10·正弦定理 2sin sin sin a b cR A B C===.11余弦定理2222cos a b c bc A =+-;2222cos b c a ca B =+-;2222cos c a b ab C =+-.12·面积定理（1）111222a b c Sah bh ch ===（a b c h h h 、、分别表示a 、b 、c 边上的高）.（2）111sin sin sin 222Sab C bc A ca B ===. (3)OABS ∆=.13·在三角形中有下列恒等式：①sin()sin A B C +=② tan tan tan tan .tan .tan A B C A B C ++=.14·简单的三角方程的通解sin (1)arcsin (,||1)kx a x k a k Z a π=⇔=+-∈≤. s 2arccos (,||1)co x a x k a k Z a π=⇔=±∈≤.tan arctan (,)x a x k a k Z a R π=⇒=+∈∈.特别地,有sin sin (1)()k k k Z αβαπβ=⇔=+-∈. s cos 2()co k k Z αβαπβ=⇔=±∈.tan tan ()k k Z αβαπβ=⇒=+∈.15·三角形内角和定理在△ABC 中，有()A B CC A B ππ++=⇔=-+222C A Bπ+⇔=-222()C A B π⇔=-+八向量1·实数与向量的积的运算律设λ、μ为实数，那么 (1) 结合律：λ(μa )=(λμ)a ;(2)第一分配律：(λ+μ)a =λa +μa;(3)第二分配律：λ(a +b )=λa +λb .2·向量的数量积的运算律：(1) a ·b= b ·a （交换律）;(2)（λa ）·b=λ（a ·b ）=λa ·b =a ·（λb ）;(3)（a +b ）·c= a ·c +b ·c.3·平面向量基本定理如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e 1+λ2e 2．不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 4·向量平行的坐标表示设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b≠0，则a b(b ≠0)12210x y x y ⇔-=.5·a 与b 的数量积(或内积)a ·b =|a ||b |cos θ．6·a ·b 的几何意义数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积．7·平面向量的坐标运算(1)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a+b=1212(,)x x y y ++. (2)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a-b=1212(,)x x y y --. (3)设A11(,)x y ，B22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--.(4)设a =(,),x y R λ∈，则λa=(,)x y λλ.(5)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a ·b=1212()x x y y +.8·两向量的夹角公式cos θ=(a =11(,)x y ,b =22(,)x y ).9·平面两点间的距离公式,A Bd =||AB AB AB =⋅=11(,)x y ，B 22(,)x y ).10·向量的平行与垂直设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则A ||b ⇔b =λa12210x y x y ⇔-=.a ⊥b(a ≠0)⇔a ·b=012120x x y y ⇔+=.11·线段的定比分公式设111(,)P x y ，222(,)P x y ，(,)P x y 是线段12PP 的分点,λ是实数，且12PP PP λ=，则121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩⇔121OP OP OP λλ+=+ ⇔12(1)OP tOP t OP =+-（11t λ=+）. 12·三角形的重心坐标公式△ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC 的重心的坐标是123123(,)33x x x y y y G ++++.13·点的平移公式''''x x h x x h y y k y y k⎧⎧=+=-⎪⎪⇔⎨⎨=+=-⎪⎪⎩⎩''OP OP PP ⇔=+ . 注:图形F 上的任意一点P(x ，y)在平移后图形'F 上的对应点为'''(,)Px y ，且'PP 的坐标为(,)h k .14·“按向量平移”的几个结论（1）点(,)P x y 按向量a =(,)h k 平移后得到点'(,)P x h y k ++.(2) 函数()y f x =的图象C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的函数解析式为()y f x h k =-+.(3) 图象'C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象C ,若C 的解析式()y f x =,则'C 的函数解析式为()y f x h k =+-. (4)曲线C :(,)0f x y =按向量a =(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的方程为(,)0f x h y k --=.(5) 向量m =(,)x y 按向量a =(,)h k 平移后得到的向量仍然为m =(,)x y .15·三角形五“心”向量形式的充要条件设O 为ABC ∆所在平面上一点，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，则（1）O 为ABC ∆的外心222OA OB OC ⇔==.（2）O 为ABC ∆的重心0OA OB OC ⇔++=. （3）O 为ABC ∆的垂心.OA OB OB OC OC OA ⇔⋅=⋅=⋅.（4）O 为ABC ∆的内心0aOA bOB cOC ⇔++=. （5）O 为ABC ∆的A ∠的旁心aOAbOB cOC ⇔=+.九不等式1·常用不等式：（1）,a b R ∈⇒222a b ab +≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)．（2）,a b R +∈⇒2a b+≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)．（3）3333(0,0,0).ab c abc a b c ++≥>>>（4）柯西不等式22222()()(),,,,.a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈（5）b a b a b a +≤+≤-.2·极值定理已知y x ,都是正数，则有（1）若积xy 是定值p ，则当y x =时和y x +有最小值p 2；（2）若和y x +是定值s ，则当y x =时积xy 有最大值241s . 推广已知R y x ∈,，则有xy y x y x 2)()(22+-=+（1）若积xy 是定值,则当||y x -最大时,||y x +最大；当||y x -最小时,||y x +最小.（2）若和||y x +是定值,则当||y x -最大时, ||xy 最小；当||y x -最小时, ||xy 最大.3·一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或2(0,40)a b ac ≠∆=->，如果a 与2axbx c ++同号，则其解集在两根之外；如果a 与2ax bx c ++异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.121212()()0()x x x x x x x x x <<⇔--<<； 121212,()()0()x x x x x x x x x x <>⇔--><或.4·含有绝对值的不等式当a> 0时，有22x a x a a x a <⇔<⇔-<<.22x a x a x a >⇔>⇔>或x a <-.75.无理不等式（1()0()0()()f x g x f x g x ≥⎧⎪>⇔≥⎨⎪>⎩. （2）2()0()0()()0()0()[()]f x f x g x g x g x f x g x ≥⎧≥⎧⎪>⇔≥⎨⎨<⎩⎪>⎩或. （32()0()()0()[()]f x g x g x f x g x ≥⎧⎪<⇔>⎨⎪<⎩.5·指数不等式与对数不等式(1)当1a >时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔>;()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪>⎩.(2)当01a <<时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔<;()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪<⎩十直线方程1·斜率公式①2121y y kx x -=-（111(,)P x y 、222(,)P x y ）.② k=tan α(α为直线倾斜角）2·直线的五种方程（1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )．（2）斜截式y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式 112121y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)).(4)截距式 1x ya b+=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、)（5）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0).5·两条直线的平行和垂直(1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+ ①121212||,l l k k b b ⇔=≠;②12121l l k k ⊥⇔=-.(2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零,①11112222||A B C l l A B C ⇔=≠；②两直线垂直的充要条件是12120A A B B +=；即：12l l ⊥⇔12120A A B B +=.6·夹角公式(1)2121tan ||1k k k k α-=+.(111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-)(2)12211212tan ||A B A B A A B B α-=+. (1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠).直线12l l ⊥时，直线l 1与l 2的夹角是2π. 7·1l 到2l 的角公式(1)2121tan 1k k k k α-=+.(111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-)(2)12211212tan A B A B A A B B α-=+.(1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠).直线12l l ⊥时，直线l 1到l 2的角是2π.8·四种常用直线系方程(1)定点直线系方程：经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()y y k x x -=-(除直线0x x =),其中k 是待定的系数; 经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()()0A x x B y y -+-=,其中,A B 是待定的系数．(2)共点直线系方程：经过两直线1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=的交点的直线系方程为111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=(除2l )，其中λ是待定的系数．(3)平行直线系方程：直线y kx b =+中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程．与直线0Ax By C ++=平行的直线系方程是0Ax By λ++=(0λ≠)，λ是参变量．(4)垂直直线系方程：与直线0Ax By C ++= (A ≠0，B ≠0)垂直的直线系方程是0Bx Ay λ-+=,λ是参变量．9·点到直线的距离d =(点00(,)P x y ,直线l：0Ax By C ++=).10·0Ax By C ++>或0<所表示的平面区域设直线:0l Ax By C ++=，若A>0,则在坐标平面内从左至右的区域依次表示Ax By C ++<，0Ax By C ++>，若A<0,则在坐标平面内从左至右的区域依次表示 0Ax By C ++>，0Ax By C ++<，可记为“x 为正开口对，X 为负背靠背“。

高中数学联赛平面几何常用定理

（高中）平面几何常用基本定理1．勾股定理（毕达哥拉斯定理）（广义勾股定理）(1)锐角对边的平方，等于其他两边之平方和，减去这两边中的一边和另一边在这边上的射影乘积的两倍． (2)钝角对边的平方等于其他两边的平方和，加上这两边中的一边及另一边在这边上的射影乘积的两倍．2．射影定理（欧几里得定理）3．中线定理（巴布斯定理）设△ABC 的边BC 的中点为P ，则有)(22222BP AP AC AB +=+；中线长：222222a c b m a -+=．4．垂线定理：2222BD BC AD AC CD AB -=-⇔⊥．高线长：C b B c A abc c p b p a p p a h a sin sin sin ))()((2===---=． 5．角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段及这个角的两边对应成比例．如△ABC 中，AD 平分∠BAC ，则ACAB DC BD =；（外角平分线定理）．角平分线长：2cos 2)(2A c b bc a p bcp c b t a +=-+=（其中p 为周长一半）． 6．张角定理：AB DAC AC BAD AD BAC ∠+∠=∠sin sin sin ．7．斯特瓦尔特(Stewart )定理：设已知△ABC 及其底边上B 、C 两点间的一点D ，则有AB 2·DC +AC 2·BD －AD 2·BC ＝BC ·DC ·BD ．8．圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，等于圆心角的一半．（圆外角如何转化？）9．弦切角定理：弦切角等于夹弧所对的圆周角．10．圆幂定理：（相交弦定理：垂径定理：切割线定理（割线定理）：切线长定理：）11．布拉美古塔（Brahmagupta）定理：在圆内接四边形ABCD中，AC ⊥BD，自对角线的交点P向一边作垂线，其延长线必平分对边．12．点到圆的幂：设P为⊙O所在平面上任意一点，PO=d，⊙O的半径为r，则d2－r2就是点P对于⊙O的幂．过P任作一直线及⊙O交于点A、B，则PA·PB= |d2－r2|．“到两圆等幂的点的轨迹是及此二圆的连心线垂直的一条直线，如果此二圆相交，则该轨迹是此二圆的公共弦所在直线”这个结论．这条直线称为两圆的“根轴”．三个圆两两的根轴如果不互相平行，则它们交于一点，这一点称为三圆的“根心”．三个圆的根心对于三个圆等幂．当三个圆两两相交时，三条公共弦(就是两两的根轴)所在直线交于一点．13．托勒密（Ptolemy）定理：圆内接四边形对角线之积等于两组对边乘积之和，即AC·BD=AB·CD+AD·BC，(逆命题成立) ．（广义托勒密定理）AB·CD+AD·BC≥AC·BD．14．蝴蝶定理：AB是⊙O的弦，M是其中点，弦CD、EF经过点M，CF、DE交AB于P、Q，求证：MP=QM．15．费马点：定理1等边三角形外接圆上一点，到该三角形较近两顶点距离之和等于到另一顶点的距离；不在等边三角形外接圆上的点，到该三角形两顶点距离之和大于到另一点的距离．定理2三角形每一内角都小于120°时，在三角形内必存在一点，它对三条边所张的角都是120°，该点到三顶点距离和达到最小，称为“费马点”，当三角形有一内角不小于120°时，此角的顶点即为费马点．16．拿破仑三角形：在任意△ABC的外侧，分别作等边△ABD、△BCE、△CAF，则AE、AB、CD三线共点，并且AE＝BF＝CD，这个命题称为拿破仑定理．以△ABC的三条边分别向外作等边△ABD、△BCE、△CAF，它们的外接圆⊙C1 、⊙A1 、⊙B1的圆心构成的△——外拿破仑的三角形，⊙C1 、⊙A1 、⊙B1三圆共点，外拿破仑三角形是一个等边三角形；△ABC的三条边分别向△ABC的内侧作等边△ABD、△BCE、△CAF，它们的外接圆⊙C2 、⊙A2 、⊙B2的圆心构成的△——内拿破仑三角形，⊙C2 、⊙A2 、⊙B2三圆共点，内拿破仑三角形也是一个等边三角形．这两个拿破仑三角形还具有相同的中心．17．九点圆（Ninepointround或欧拉圆或费尔巴赫圆）：三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心及各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，九点圆具有许多有趣的性质,例如:（1）三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半;18．（2）九点圆的圆心在欧拉线上,且恰为垂心及外心连线的中点;（3）三角形的九点圆及三角形的内切圆,三个旁切圆均相切〔费尔巴哈定理〕．19．欧拉（Euler）线：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线（欧拉线）上．20．欧拉（Euler）公式：设三角形的外接圆半径为R，内切圆半径为r，外心及内心的距离为d，则d2=R2－2Rr．21．锐角三角形的外接圆半径及内切圆半径的和等于外心到各边距离的和．22．重心：三角形的三条中线交于一点，并且各中线被这个点分成2：1的两部分；)3,3(C B A C B A y y y x x x G ++++ 23．重心性质：（1）设G 为△ABC 的重心，连结AG 并延长交BC 于D ，则D 为BC 的中点，则1:2:=GD AG ；24．（2）设G 为△ABC 的重心，则ABC ACG BCG ABG S S S S ∆∆∆∆===31； 25．（3）设G 为△ABC 的重心，过G 作DE ∥BC 交AB 于D ，交AC 于E ，过G 作PF ∥AC 交AB 于P ，交BC 于F ，过G 作HK ∥AB 交AC 于K ，交BC 于H ，则2;32=++===AB KH CA FP BC DE AB KH CA FP BC DE ； 26．（4）设G 为△ABC 的重心，则 27．③22222223PG GC GB GA PC PB PA +++=++（P 为△ABC 内任意一点）； 28． ④到三角形三顶点距离的平方和最小的点是重心，即222GC GB GA ++最小；29． ⑤三角形内到三边距离之积最大的点是重心；反之亦然（即满足上述条件之一，则G 为△ABC 的重心）．30．垂心：三角形的三条高线的交点；)cos cos cos cos cos cos ,cos cos cos cos cos cos (C c B b A a y C c y B b y A a C c B b A a x C c x B b x A a H C B A C B A ++++++++31．垂心性质：（1）三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍；32．（2）垂心H 关于△ABC 的三边的对称点，均在△ABC 的外接圆上； 33．（3）△ABC 的垂心为H ，则△ABC ，△ABH ，△BCH ，△ACH 的外接圆是等圆；34．（4）设O ，H 分别为△ABC 的外心和垂心，则HCA BCO ABH CBO HAC BAO ∠=∠∠=∠∠=∠,,．35．内心：三角形的三条角分线的交点—内接圆圆心，即内心到三角形各边距离相等；36．内心性质：（1）设I 为△ABC 的内心，则I 到△ABC 三边的距离相等，反之亦然；37．（2）设I 为△ABC 的内心，则C AIB B AIC A BIC ∠+︒=∠∠+︒=∠∠+︒=∠2190,2190,2190；38．（3）三角形一内角平分线及其外接圆的交点到另两顶点的距离及到内心的距离相等；反之，若A ∠平分线交△ABC 外接圆于点K ，I 为线段AK 上的点且满足KI=KB ，则I 为△ABC 的内心；39．（4）设I 为△ABC 的内心，,,,c AB b AC a BC ===A ∠平分线交BC 于D ，交△ABC 外接圆于点K ，则a c b KD IK KI AK ID AI +===； 40．（5）设I 为△ABC 的内心，,,,c AB b AC a BC ===I 在AB AC BC ,,上的射影分别为F E D ,,，内切圆半径为r ，令)(21c b a p ++=，则①pr S ABC =∆；②c p CD CE b p BF BD a p AF AE -==-==-==;;；③CI BI AI p abcr ⋅⋅⋅=．41．外心：三角形的三条中垂线的交点——外接圆圆心，即外心到三角形各顶点距离相等；42．外心性质：（1）外心到三角形各顶点距离相等； 43．（2）设O 为△ABC 的外心，则A BOC ∠=∠2或A BOC ∠-︒=∠2360；44．（3）∆=S abcR 4；（4）锐角三角形的外心到三边的距离之和等于其内切圆及外接圆半径之和．45．旁心：一内角平分线及两外角平分线交点——旁切圆圆心；设△ABC的三边,,,c AB b AC a BC ===令)(21c b a p ++=，分别及AB AC BC ,,外侧相切的旁切圆圆心记为C B A I I I ,,，其半径分别记为C B A r r r ,,．旁心性质：（1）,21,2190A C BI C BI A C BI C B A ∠=∠=∠∠-︒=∠（对于顶角B ，C 也有类似的式子）；（2）)(21C A I I I C B A ∠+∠=∠；（3）设A AI 的连线交△ABC 的外接圆于D ，则DC DB DI A ==（对于C B CI BI ,有同样的结论）；（4）△ABC 是△I A I B I C 的垂足三角形，且△I A I B I C 的外接圆半径'R 等于△ABC 的直径为2R ．46．三角形面积公式：C B A R R abc C ab ah S a ABC sin sin sin 24sin 21212====∆)cot cot (cot 4222C B A c b a ++++= ))()((c p b p a p p pr ---==，其中a h 表示BC 边上的高，R 为外接圆半径，r 为内切圆半径，)(21c b a p ++=． 47．三角形中内切圆，旁切圆和外接圆半径的相互关系： 48．梅涅劳斯（Menelaus ）定理：设△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别为P 、Q 、R 则有 1=⋅⋅RBAR QA CQ PC BP ．（逆定理也成立） 49．梅涅劳斯定理的应用定理1：设△ABC 的∠A 的外角平分线交边CA 于Q ，∠C 的平分线交边AB 于R ，∠B 的平分线交边CA 于Q ，则P 、Q 、R 三点共线．50．梅涅劳斯定理的应用定理2：过任意△ABC 的三个顶点A 、B 、C 作它的外接圆的切线，分别和BC 、CA 、AB 的延长线交于点P 、Q 、R ，则P 、Q 、R 三点共线．51．塞瓦(Ceva )定理：设X 、Y 、Z 分别为△ABC 的边BC 、CA 、AB 上的一点，则AX 、BY 、CZ 所在直线交于一点的充要条件是AZ ZB ·BX XC ·CY YA =1． 52．塞瓦定理的应用定理：设平行于△ABC 的边BC 的直线及两边AB 、AC 的交点分别是D 、E ，又设BE 和CD 交于S ，则AS 一定过边BC 的中点M ． 53．塞瓦定理的逆定理：（略） 54．塞瓦定理的逆定理的应用定理1：三角形的三条中线交于一点，三角形的三条高线交于一点，三角形的三条角分线交于一点．55．塞瓦定理的逆定理的应用定理2：设△ABC 的内切圆和边BC 、CA 、AB 分别相切于点R 、S 、T ，则AR 、BS 、CT 交于一点．56．西摩松（Simson）定理：从△ABC的外接圆上任意一点P向三边BC、CA、AB或其延长线作垂线，设其垂足分别是D、E、R，则D、E、R共线，（这条直线叫西摩松线Simson line）．57．西摩松定理的逆定理：（略）58．关于西摩松线的定理1：△ABC的外接圆的两个端点P、Q关于该三角形的西摩松线互相垂直，其交点在九点圆上．59．关于西摩松线的定理2（安宁定理）：在一个圆周上有4点，以其中任三点作三角形，再作其余一点的关于该三角形的西摩松线，这些西摩松线交于一点．60．史坦纳定理：设△ABC的垂心为H，其外接圆的任意点P，这时关于△ABC 的点P的西摩松线通过线段PH的中心．61．史坦纳定理的应用定理：△ABC的外接圆上的一点P的关于边BC、CA、AB的对称点和△ABC的垂心H同在一条（及西摩松线平行的）直线上．这条直线被叫做点P关于△ABC的镜象线．62．牛顿定理1：四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点和两条对角线的中点，三点共线．这条直线叫做这个四边形的牛顿线．63．牛顿定理2：圆外切四边形的两条对角线的中点，及该圆的圆心，三点共线．64．笛沙格定理1：平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们的对应顶点（A和D、B和E、C和F）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线．65．笛沙格定理2：相异平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们的对应顶点（A和D、B和E、C和F）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线．66．波朗杰、腾下定理：设△ABC的外接圆上的三点为P、Q、R，则P、Q、R关于△ABC交于一点的充要条件是：弧AP+弧BQ+弧CR=0(mod2 ) ．67．波朗杰、腾下定理推论1：设P、Q、R为△ABC的外接圆上的三点，若P、Q、R关于△ABC的西摩松线交于一点，则A、B、C三点关于△PQR 的的西摩松线交于及前相同的一点．68．波朗杰、腾下定理推论2：在推论1中，三条西摩松线的交点是A、B、C、P、Q、R六点任取三点所作的三角形的垂心和其余三点所作的三角形的垂心的连线段的中点．69．波朗杰、腾下定理推论3：考查△ABC的外接圆上的一点P的关于△ABC 的西摩松线，如设QR为垂直于这条西摩松线该外接圆的弦，则三点P、Q、R的关于△ABC的西摩松线交于一点．70．波朗杰、腾下定理推论4：从△ABC的顶点向边BC、CA、AB引垂线，设垂足分别是D、E、F，且设边BC、CA、AB的中点分别是L、M、N，则D、E、F、L、M、N六点在同一个圆上，这时L、M、N点关于关于△ABC 的西摩松线交于一点．71．卡诺定理：通过△ABC的外接圆的一点P，引及△ABC的三边BC、CA、AB分别成同向的等角的直线PD、PE、PF，及三边的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线．72．奥倍尔定理：通过△ABC的三个顶点引互相平行的三条直线，设它们及△ABC的外接圆的交点分别是L、M、N，在△ABC的外接圆上取一点P，则PL、PM、PN及△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线．73．清宫定理：设P、Q为△ABC的外接圆的异于A、B、C的两点，P点的关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W，这时，QU、QV、QW和边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F，则D、E、F 三点共线．74．他拿定理：设P、Q为关于△ABC的外接圆的一对反点，点P的关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W，这时，如果QU、QV、QW 和边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线．（反点：P、Q分别为圆O的半径OC和其延长线的两点，如果OC2=OQ×OP则称P、Q两点关于圆O互为反点）75．朗古来定理：在同一圆周上有A1、B1、C1、D1四点，以其中任三点作三角形，在圆周取一点P，作P点的关于这4个三角形的西摩松线，再从P向这4条西摩松线引垂线，则四个垂足在同一条直线上．76．从三角形各边的中点，向这条边所对的顶点处的外接圆的切线引垂线，这些垂线交于该三角形的九点圆的圆心．77．一个圆周上有n个点，从其中任意n－1个点的重心，向该圆周的在其余一点处的切线所引的垂线都交于一点．78．康托尔定理1：一个圆周上有n个点，从其中任意n－2个点的重心向余下两点的连线所引的垂线共点．79．康托尔定理2：一个圆周上有A、B、C、D四点及M、N两点，则M 和N点关于四个三角形△BCD、△CDA、△DAB、△ABC中的每一个的两条西摩松线的交点在同一直线上．这条直线叫做M、N两点关于四边形ABCD 的康托尔线．80．康托尔定理3：一个圆周上有A、B、C、D四点及M、N、L三点，则M、N两点的关于四边形ABCD的康托尔线、L、N两点的关于四边形ABCD 的康托尔线、M、L两点的关于四边形ABCD的康托尔线交于一点．这个点叫做M、N、L三点关于四边形ABCD的康托尔点．81．康托尔定理4：一个圆周上有A、B、C、D、E五点及M、N、L三点，则M、N、L三点关于四边形BCDE、CDEA、DEAB、EABC中的每一个康托尔点在一条直线上．这条直线叫做M、N、L三点关于五边形A、B、C、D、E的康托尔线．82．费尔巴赫定理：三角形的九点圆及内切圆和旁切圆相切．83．莫利定理：将三角形的三个内角三等分，靠近某边的两条三分角线相得到一个交点，则这样的三个交点可以构成一个正三角形．这个三角形常被称作莫利正三角形．84．布利安松定理：连结外切于圆的六边形ABCDEF相对的顶点A和D、B和E、C和F，则这三线共点．85．帕斯卡（Paskal）定理：圆内接六边形ABCDEF相对的边AB和DE、BC和EF、CD和FA的（或延长线的）交点共线．86．阿波罗尼斯（Apollonius ）定理：到两定点A 、B 的距离之比为定比m ：n （值不为1）的点P ，位于将线段AB 分成m ：n 的内分点C 和外分点D 为直径两端点的定圆周上．这个圆称为阿波罗尼斯圆．87．库立奇*大上定理：（圆内接四边形的九点圆）圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆．88．密格尔（Miquel ）点：若AE 、AF 、ED 、FB 四条直线相交于A 、B 、C 、D 、E 、F 六点，构成四个三角形，它们是△ABF 、△AED 、△BCE 、△DCF ，则这四个三角形的外接圆共点，这个点称为密格尔点．89．葛尔刚（Gergonne ）点：△ABC 的内切圆分别切边AB 、BC 、CA 于点D 、E 、F ，则AE 、BF 、CD 三线共点，这个点称为葛尔刚点．90．欧拉关于垂足三角形的面积公式：O 是三角形的外心，M 是三角形中的任意一点，过M 向三边作垂线，三个垂足形成的三角形的面积，其公式：222ABC D 4||R d R S S EF -=∆∆．斯特瓦尔特定理斯特瓦尔特(stewart)定理设已知△ABC 及其底边上B 、C 两点间的一点D ，则有AB^2·DC+AC^2·BD -AD^2·BC＝BC·DC·BD。

认识平面几何的61个著名定理

【认识平面几何的61个著名定理，自行画出图形来学习，★部分要求证明出来】★1、勾股定理（毕达哥拉斯定理）★2、射影定理（欧几里得定理）★3、三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成2：1的两部分4、四边形两边中心的连线和两条对角线中心的连线交于一点5、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。

★6、三角形各边的垂直平分线交于一点。

★7、从三角形的各顶点向其对边所作的三条垂线交于一点8、设三角形ABC 的外心为O ，垂心为H ，从O 向BC 边引垂线，设垂足不L ，则AH=2OL9、三角形的外心，垂心，重心在同一条直线上。

10、（九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆）三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，11、欧拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线（欧拉线）上12、库立奇大上定理：（圆内接四边形的九点圆）圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。

★13、（内心）三角形的三条内角平分线交于一点，内切圆的半径公式： ()()()sc s b s a s r ---=，s 为三角形周长的一半★14、（旁心）三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的外角平分线交于一点15、中线定理：（巴布斯定理）设三角形ABC 的边BC 的中点为P ，则有AB 2+AC 2=2(AP 2+BP 2)16、斯图尔特定理：P 将三角形ABC 的边BC 分成m 和n 两段，则有n ×AB 2+m ×AC 2=BC ×（AP 2+mn ）17、波罗摩及多定理：圆内接四边形ABCD 的对角线互相垂直时，连接AB 中点M 和对角线交点E 的直线垂直于CD18、阿波罗尼斯定理：到两定点A 、B 的距离之比为定比m:n （值不为1）的点P ，位于将线段AB 分成m:n 的内分点C 和外分点D 为直径两端点的定圆周上★19、托勒密定理：设四边形ABCD内接于圆，则有AB×CD+AD×BC=AC×BD★20、以任意三角形ABC的边BC、CA、AB为底边，分别向外作底角都是30度的等腰△BDC、△CEA、△AFB，则△DEF是正三角形，21、爱尔可斯定理1：若△ABC和△DEF都是正三角形，则由线段AD、BE、CF的重心构成的三角形也是正三角形。

平面几何的著名定理

平面几何的著名定理一、毕达格拉斯定理（即勾股定理）在任何一个直角三角形中，两条直角边的长的平方和等于斜边长的平方，这就叫做勾股定理。

即勾的平方加股的平方等于弦的平方二、帕普斯定理帕普斯(Pappus)定理:如图，直线l1上依次有点A,B,C，直线l2上依次有点D,E,F，设AE,BD 交于P，AF,DC交于Q，BF,EC交于R，则P,Q,R共线。

三、影射定理（与相似三角形和比例有关）直角三角形射影定理（又叫欧几里德(Euclid)定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。

每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

公式Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD是斜边BC上的高,则有射影定理如下:(1)(AD)^2;=BD·DC,(2)(AB)^2;=BD·BC ,(3)(AC)^2;=CD·BC 。

等积式 (4)ABXAC=BCXAD(可用面积来证明)四、梅涅劳斯定理梅涅劳斯（Menelaus）定理（简称梅氏定理）是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。

它指出：如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1。

或：设X、Y、Z分别在△ABC的BC、CA、AB所在直线上，则X、Y、Z共线的充要条件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1 。

证明一过点A作AG∥BC交DF的延长线于G，则AF/FB=AG/BD , CE/EA=DC/AG。

三式相乘得：(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=(AG/BD)×(BD/DC)×(DC/AG)=1证明二过点C作CP∥DF交AB于P，则BD/DC=FB/PF，CE/EA=PF/AF所以有AF/FB×BD/DC×CE/EA=AF/FB×FB/PF×PF/AF=1它的逆定理也成立：若有三点F、D、E分别在△ABC的边AB、BC、CA或其延长线上，且满足(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1，则F、D、E三点共线。

十大高中平面几何几何定理汇总及证明

高中平面几何定理汇总及证明1.共边比例定理有公共边AB的两个三角形的顶点分别是P、Q,AB与PQ的连线交于点M,则有以下比例式成立：△ PAB的面积：△ QAB的面积＝PM：QM.证明：分如下四种情况,分别作三角形高,由相似三角形可证S△PAB=S△PAM-S△PMB=S△PAM/S△PMB-1×S△PMB=AM/BM-1×S△PMB等高底共线,面积比=底长比同理,S△QAB=AM/BM-1×S△QMB所以,S△PAB/S△QAB=S△PMB/S△QMB=PM/QM等高底共线,面积比=底长比定理得证特殊情况：当PB∥AQ时,易知△PAB与△QAB的高相等,从而S△PAB=S△QAB,反之,S△PAB=S△QAB,则PB∥AQ;2.正弦定理在任意一个平面三角形中,各边和它所对角的正弦值的比相等且等于外接圆半径的2倍”,即a/sinA = b/sinB =c/sinC = 2r=Rr为外接圆半径,R为直径证明：现将△ABC,做其外接圆,设圆心为O;我们考虑∠C及其对边AB;设AB长度为c;若∠C为直角,则AB就是⊙O的直径,即c= 2r;∵特殊角正弦函数值∴若∠C为锐角或钝角,过B作直径BC`交⊙O于C`,连接C'A,显然BC'= 2r=R; 若∠C为锐角,则C'与C落于AB的同侧,此时∠C'=∠C同弧所对的圆周角相等∴在Rt△ABC'中有若∠C为钝角,则C'与C落于AB的异侧,BC的对边为a,此时∠C'=∠A,亦可推出;考虑同一个三角形内的三个角及三条边,同理,分别列式可得;3.分角定理在△ABC中,D是边BC上异于B,C或其延长线上的一点,连结AD,则有BD/CD=sin∠BAD/sin∠CADAB/AC;证明：S△ABD/S△ACD=BD/CD………… 1.1S△ABD/S△ACD=1/2×AB×AD×sin∠BAD/1/2 ×AC×AD×sin∠CAD= sin∠BAD/sin∠CAD ×AB/AC…………1.2由1.1式和1.2式得BD/CD=sin∠BAD/sin∠CAD ×AB/A C4.张角定理在△ABC中,D是BC上的一点,连结AD;那么;证明：设∠1=∠BAD,∠2=∠CAD由分角定理,S△ABD/S△ABC=BD/BC=AD/ACsin∠1/sin∠BAC→ BD/BCsin∠BAC/AD=sin∠1/AC 1.1S△ACD/S△ABC=CD/BC=AD/ABsin∠2/sin∠BAC→ CD/BCsin∠BAC/AD=sin∠2/AB 1.21.1式+1.2式即得 sin∠1/AC+sin∠2/AB=sin∠BAC/AD5.帕普斯定理直线l1上依次有点A,B,C,直线l2上依次有点D,E,F,设AE,BD交于G,AF,DC交于I,BF,EC交于H,则G,I,H共线;6.蝴蝶定理设S为圆内弦AB的中点,过S作弦CF和DE;设CF和DE各相交AB于点M和N,则S 是MN的中点;证明：过O作OL⊥ED,OT⊥CF,垂足为L、T,连接ON,OM,OS,SL,ST,易明△ESD∽△CSF∴ES/CS=ED/FC根据垂径定理得：LD=ED/2,FT=FC/2∴ES/CS=EL/CT又∵∠E=∠C∴△ESL∽△CST∴∠SLN=∠STM∵S是AB的中点所以OS⊥AB∴∠OSN=∠OLN=90°∴O,S,N,L四点共圆,一中同长同理,O,T,M,S四点共圆∴∠STM=∠SOM,∠SLN=∠SON∴∠SON=∠SOM∵OS⊥AB∴MS=NS7.西姆松定理过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边或其延长线上的垂线,则三垂足共线;此线常称为西姆松线;证明：若L、M、N三点共线,连结BP,CP,则因PL⊥BC,PM⊥AC,PN⊥AB,有B、L、P、N和P、M、C、L分别四点共圆,有∠NBP = ∠NLP = ∠MLP= ∠MCP.故A、B、P、C四点共圆;若A、P、B、C四点共圆,则∠NBP= ∠MCP;因PL⊥BC,PM⊥AC,PN⊥AB,有B、L、P、N和P、M、C、L四点共圆,有∠NBP = ∠NLP= ∠MCP= ∠MLP.故L、M、N三点共线;西姆松逆定理：若一点在三角形三边所在直线上的射影共线,则该点在此三角形的外接圆上;证明：PM⊥AC,PN⊥AB ,所以A,M,N,P共圆8.清宫定理设P、Q为△ABC的外接圆上异于A、B、C的两点,P关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W,且QU、QV、QW分别交三边BC、CA、AB或其延长线于D、E、F,则D、E、F在同一直线上.证明：A、B、P、C四点共圆,因此∠PCE=∠ABP点P和V关于CA对称所以∠PCV=2∠PCE又因为P和W关于AB对称,所以∠PBW=2∠ABP从这三个式子,有∠PCV=∠PBW另一方面,因为∠PCQ和∠PBQ都是弦PQ所对的圆周角,所以∠PCQ=∠PBQ两式相加,有∠PCV+∠PCQ=∠PBW+∠PBQ即∠QCV=∠QBW即△QCV和△QBW有一个顶角相等,因此但是,,所以同理,于是根据梅涅劳斯定理的逆定理,D、E、F三点在同一直线上;9.密克定理三圆定理：设三个圆C1, C2, C3交于一点O,而M, N, P分别是C1 和C2, C2和C3, C3和C1的另一交点;设A为C1的点,直线MA交C2于B,直线PA交C3于C;那么B, N, C这三点共线;逆定理：如果是三角形,M, N, P三点分别在边AB, BC, CA上,那么△AMP、△BMN、△CPN 的外接圆交于一点O;完全四线形定理如果ABCDEF是完全四线形,那么三角形的外接圆交于一点O,称为密克点;四圆定理设C1, C2,C3, C4为四个圆,A1和B1是C1和C2的交点,A2和B2是C2 和C3的交点,A3和B3是C3和C4的交点,A4和B4是C1和C4的交点;那么A1, A2, A3, A4四点共圆当且仅当B1, B2, B3, B4四点共圆;证明：在△ABC的BC,AC,AB边上分别取点W,M,N,对AMN,△BWN和△CWM分别作其外接圆,则这三个外接圆共点;该定理的证明很简单,利用“圆内接四边形对角和为180度”及其逆定理;现在已知U是和的公共点;连接UM和UN,∵四边形BNUW和四边形CMUW分别是和的内接四边形,∴∠UWB+∠UNB=∠UNB+∠UNA=180度∴∠UWB=∠UNA;同理∠UWB+∠UWC=∠UWC+∠UMC=180度∴∠UWB=∠UMC;∵∠UMC+∠UMA=180度∴∠UNA+∠UMA=180度,这正说明四边形ANUM是一个圆内接四边形,而该圆必是,U必在上;10.婆罗摩笈多定理圆内接四边形ABCD的对角线AC⊥BD,垂足为M;EF⊥BC,且M在EF上;那么F是A D 的中点;证明：∵AC⊥BD,ME⊥BC∴∠CBD=∠CME∵∠CBD=∠CAD,∠CME=∠AMF∴∠CAD=∠AMF∴AF=MF∵∠AMD=90°,同时∠MAD+∠MDA=90°∴∠FMD=∠FDM∴MF=DF,即F是AD中点逆定理：若圆内接四边形的对角线相互垂直,则一边中点与对角线交点的连线垂直于对边;证明：∵MA⊥MD,F是AD中点∴AF=MF∴∠CAD=∠AMF∵∠CAD=∠CBD,∠AMF=∠CME∴∠CBD=∠CME∵∠CME+∠BME=∠BMC=90°∴∠CBD+∠BME=90°∴EF⊥BC11.托勒密定理圆内接四边形中,两条对角线的乘积两对角线所包矩形的面积等于两组对边乘积之和一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和．圆内接四边形ABCD,求证：AC·BD=AB·CD+AD·BC．证明：过C作CP交BD于P,使∠1=∠2,又∠3=∠4,∴△ACD∽△BCP．得AC：BC=AD：BP,AC·BP=AD·BC ①;又∠ACB=∠DCP,∠5=∠6,∴△ACB∽△DCP．得AC：CD=AB：DP,AC·DP=AB·CD ②;①+②得ACBP+DP=AB·CD+AD·BC．即AC·BD=AB·CD+AD·BC．12.梅涅劳斯定理当直线交三边所在直线于点时,;证明：过点C作CP∥DF交AB于P,则两式相乘得梅涅劳斯逆定理：若有三点F、D、E分别在边三角形的三边AB、BC、CA或其延长线上,且满足AF/FB×BD/DC×CE/EA=1,则F、D、E三点共线;证明：先假设E、F、D三点不共线,直线DE与AB交于P;由梅涅劳斯定理的定理证明如利用平行线分线段成比例的证明方法得：AP/PBBD/DCCE/EA=1;∵ AF/FBBD/DCCE/EA=1;∴ AP/PB=AF/FB ；∴ AP+PB/PB=AF+FB/FB ；∴ AB/PB=AB/FB ；∴ PB=FB；即P与F重合;∴ D、E、F三点共线;13.塞瓦定理在△ABC内任取一点O,延长AO、BO、CO分别交对边于D、E、F,则BD/DC×CE/EA×AF/FB=1;∵△ADC被直线BOE所截,∴CB/BDDO/OAAE/EC=1①∵△ABD被直线COF所截,∴BC/CDDO/OAAF/FB=1②②/①约分得：DB/CD×CE/EA×AF/FB=114.圆幂定理相交弦定理：如图Ⅰ,AB、CD为圆O的两条任意弦;相交于点P,连接AD、BC,由于∠B与∠D同为弧AC所对的圆周角,因此由圆周角定理知：∠B=∠D,同理∠A=∠C,所以;所以有：,即：;割线定理：如图Ⅱ,连接AD、BC;可知∠B=∠D,又因为∠P为公共角,所以有,同上证得;切割线定理：如图Ⅲ,连接AC、AD;∠PAC为切线PA与弦AC组成的弦切角,因此有∠PBC=∠D,又因为∠P为公共角,所以有,易证图Ⅳ,PA、PC均为切线,则∠PAO=∠PCO=90°,在直角三角形中：OC=OA=R,PO为公共边,因此;所以PA=PC,所以;综上可知,是普遍成立的;弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半,等于它所夹的弧所对的圆周角度数;点对圆的幂P点对圆O的幂定义为点P在圆O内→P对圆O的幂为负数；点P在圆O外→P对圆O的幂为正数；点P在圆O上→P对圆O的幂为0;三角形五心：内心：三角形三条内角平分线的交点外心：三角形三条边的垂直平分线中垂线的相交点重心：三角形三边中线的交点垂心：三角形的三条高线的交点旁心：三角形的旁切圆与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆的圆心九点圆心：三角形三边的中点,三高的垂足和三个欧拉点〔连结三角形各顶点与垂心所得三线段的中点〕九点共圆的圆心15.根心定理三个两两不同心的圆,形成三条根轴,则必有下列三种情况之一：1 三根轴两两平行；2 三根轴完全重合；3 三根轴两两相交,此时三根轴必汇于一点,该点称为三圆的根心;平面上任意三个圆,若这三个圆圆心不共线,则三条根轴相交于一点,这个点叫它们的根心；若三圆圆心共线,则三条根轴互相平行;根轴定义：A与B的根轴L1：到A与B的切线相等的点;B与C的根轴L2：到B与C的切线相等的点;证明设A、B、C三个圆,圆心不重合也不共线;考察L1与L2的交点P;因为P在L1上,所以：P到A的切线距离=P到B的切线距离;因为P在L2上,所以：P到B的切线距离=P到C的切线距离;所以：P到A的切线距离=P到B的切线距离=P到C的切线距离;也就是：P到A的切线距离=P到C的切线距离;所以：P在A与C的根轴上; 所以：三个根轴交于一点;16.鸡爪定理设△ABC的内心为I,∠A内的旁心为J,AI的延长线交三角形外接圆于K,则KI=KJ=KB=KC;证明：由内心和旁心的定义可知∠IBC=∠ABC/2,∠JBC=180°-∠ABC/2∴∠IBC+∠JBC=∠ABC/2+90°-∠ABC/2=90°=∠IBJ同理,∠ICJ=90°∵∠IBJ+∠ICJ=180°∴IBJC四点共圆,且IJ为圆的直径∵AK平分∠BAC∴KB=KC相等的圆周角所对的弦相等又∵∠IBK=∠IBC+∠KBC=∠ABC/2+∠KAC=∠ABI+∠BAK=∠KIB∴KB=KI由直角三角形斜边中线定理逆定理可知K是IJ的中点∴KB=KI=KJ=KC逆定理：设△ABC中∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于K;在AK及延长线上截取KI=KB=KJ,其中I在△ABC的内部,J在△ABC的外部;则I是△ABC的内心,J是△ABC 的旁心;证明：利用同一法可轻松证明该定理的逆定理;取△ABC的内心I'和旁心J’,根据定理有KB=KC=KI'=KJ'又∵KB=KI=KJ∴I和I'重合,J和J’重合即I和J分别是内心和旁心17.费尔巴哈定理三角形的九点圆与其内切圆以及三个旁切圆相切设△ABC的内心为I,九点圆的圆心为V;三边中点分别为L,M,N,内切圆与三边的切点分别是P,Q,R,三边上的垂足分别为D,E,F;不妨设AB>AC;假设⊙I与⊙V相切于点T,那么LT与⊙I相交,设另一个交点为S;过点S作⊙I的切线,分别交AB和BC于V,U,连接AU;又作两圆的公切线TX,使其与边AB位于LT的同侧;由假设知∠XTL=∠LDT而TX和SV都是⊙I的切线,且与弦ST所夹的圆弧相同,于是∠XTL=∠VST因此∠LDT=∠VST则∠UDT+∠UST=180°这就是说,S,T,D,U共圆;而这等价于：LU×LD=LS×LT又LP²=LS×LT故有LP²=LU×LD另一方面,T是公共的切点,自然在⊙V上,因此 L,D,T,N共圆,进而有∠LTD=∠LND由已导出的S,T,D,U共圆,得∠LTD=∠STD=180°-∠SUD=∠VUB=∠AVU-∠B而∠LND=∠NLB-∠NDB=∠ACB-∠NBD=∠C-∠B这里用了LN∥AC,以及直角三角形斜边上中线等于斜边的一半所以,就得到∠AVU=∠C注意到AV,AC,CU,UV均与⊙I相切,于是有∠AIR=∠AIQ∠UIS=∠UIP∠RIS=∠QIS三式相加,即知∠AIU=180°也即是说,A,I,U三点共线;另外,AV=AC,这可由△AIV≌△AIC得到;这说明,公切点T可如下得到：连接AI,并延长交BC于点U,过点U作⊙I的切线,切点为S,交AB于V,最后连接LS,其延长线与⊙I的交点即是所谓的公切点T;连接CV,与AU交于点K,则K是VC的中点;前面已得到：LP²=LU×LD而2LP=BL+LP-CL-LP=BP-CP=BR-CQ=BR+AR-CQ+AQ=AB-AC=AB-AV=BV即 LP=BV然而LK是△CBV的中位线于是 LK=BV因之 LP=LK故LK²=LU×LD由于以上推导均可逆转,因此我们只需证明：LK²=LU×LD;往证之这等价于：LK与圆KUD相切于是只需证：∠LKU=∠KDU再注意到 LK∥ABLK是△CBV的中位线,即有∠LKU=∠BAU又AU是角平分线,于是∠LKU=∠CAU=∠CAK于是又只需证：∠CAK=∠KDU即证：∠CAK+∠CDK=180°这即是证：A,C,D,K四点共圆由于 AK⊥KC易得,AD⊥DC所以 A,C,D,K确实共圆;这就证明了⊙I与⊙V内切;旁切圆的情形是类似的;证毕另略证：OI2=R2-2RrIH2=2r2-2Rr'OH2=R2-4Rr'其中r‘是垂心H的垂足三角形的内切圆半径,R、r是三角形ABC外接圆和内切圆半径FI2=1/2OI2+IH2-1/4OH2=1/2R-r2FI=1/2R-r这就证明了九点圆与内切圆内切九点圆半径为外接圆半径一半;F是九点圆圆心,I为内心18.莫利定理将三角形的三个内角三等分,靠近某边的两条三分角线相交得到一个交点,则这样的三个交点可以构成一个正三角形证明：设△ABC中,AQ,AR,BR,BP,CP,CQ为各角的三等分线,三边长为a,b,c,三内角为3α,3β,3γ,则α+β+γ=60°;在△ABC中,由正弦定理,得AF=csinβ/sinα+β;不失一般性,△ABC外接圆直径为1,则由正弦定理,知c=sin3γ,所以AF=sin3γsinβ/sin60°-γ= sinβsinγ3-4sin²γ/1/2√3cosγ-sinγ= 2sinβsinγ√3cosγ+sinγ= 4sinβsinγsin60°+γ.同理,AE=4sinβsinγsin60°+β∴AF:AE=4sinβsinγsin60°+γ：4sinβsinγsin60°+β=sin60°+γ:sin60°+β=sin∠AEF:sin∠AFE∴∠AEF=60°+γ,∠AFE=60°+β.同理得,∠CED=60°+α∠FED=180°-CED-AEF-α-γ=180°-60°-α-60°+α=60°∴△FED为正三角形19.拿破仑定理若以任意三角形的各边为底边向形外作底角为60°的等腰三角形,则它们的中心构成一个等边三角形;在△ABC的各边上向外各作等边△ABF,等边△ACD,等边△BCE;。

平面几何常考定理总结(八大定理)

lmβααba立体几何的八大定理一、线面平行的判定定理：线线平行⇒线面平行文字语言：如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则这条直线与平面平行.符号语言：//a b a b αα⊄⎫⎪⊂⎬⎪⎭⇒//a α关键点：在平面内找一条与平面外的直线平行的线二、线面平行的性质定理：线面平行⇒线线平行文字语言：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行.符号语言：//l l m αβαβ⎫⎪⊂⎬⎪⋂=⎭⇒//l m关键点：需要借助一个经过已知直线的平面，接着找交线。

三、面面平行的判定定理：线面平行⇒ 面面平行文字语言：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．符号语言：//a b a b A a b αααβββ⊂⎫⎪⊂⎪⎪=⇒⎬⎪⎪⎪⎭∥∥ 关键点：在要证明面面平行的其中一个面内找两条相交直线和另一面线面平行。

四、面面平行的性质定理: 面面平行⇒线线平行、面面平行⇒线面平行文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么所得的两条交线平行. 符号语言:////a a b b αβαγβγ⎫⎪⋂=⇒⎬⎪⋂=⎭关键点：找第三个平面与已知平面都相交，则交线平行文字语言：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面.符号语言://,//a a αβαβ⊂⇒ 关键：只要是其中一个平面内的直线就行nmAαaBA l βαaβα五、线面垂直的判定定理：线线垂直⇒线面垂直文字语言：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面.符号语言：,a ma n a m n A m n ααα⊥⎫⎪⊥⎪⇒⊥⎬⋂=⎪⎪⊂⊂⎭关键点：在平面内找两条相交直线与所要证的直线垂直六、线面垂直的性质定理：线面垂直⇒线线垂直文字语言：若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直平面内的任意一条直线.符号语言：l l a a αα⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭关键点：往往线面垂直中的线线垂直需要用这个定理推出七、平面与平面垂直的判定定理：线面垂直⇒面面垂直文字语言：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直.（如果一条直线垂直于一个平面，并且有另一个平面经过这条直线，那么这两个平面垂直）符号表示：a a ααββ⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭关键点：在需要证明的两个平面中找线面垂直八、平面与平面垂直的性质定理：面面垂直⇒线面垂直文字语言：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面.符号语言：l AB AB AB lαβαββα⊥⎫⎪=⎪⇒⊥⎬⊂⎪⎪⊥⎭关键点：先找交线，再在其中一个面内找与交线垂直的线。

平面几何中的著名定理

平面几何中的著名定理1. 欧拉(Euler 线:同一三角形的垂心、重心、外心三点共线,这条直线称为三角形的欧拉线;且外心与重心的距离等于垂心与重心距离的一半。

2. 九点圆:任意三角形三边的中点,三高的垂足及三顶点与垂心间线段的中点,共九个点共圆,这个圆称为三角形的九点圆;其圆心为三角形外心与垂心所连线段的中点,其半径等于三角形外接圆半径的一半。

3. 费尔马点:已知 P 为锐角△ ABC 内一点,当∠ APB =∠ BPC =∠ CPA =120°时, PA +PB +PC 的值最小,这个点P 称为△ ABC 的费尔马点。

4. 海伦(Heron 公式:在△ ABC 中,边 BC 、 CA 、 AB 的长分别为 a 、 b 、 c ,若 p =(1/2(a + b +c ,则△ ABC 的面积S =√ (p(p -a (p -b (p -c塞瓦(Ceva 定理:在△ ABC 中,过△ ABC 的顶点作相交于一点 P 的直线,分别交边 BC 、 CA 、 AB 与点 D 、 E 、 F ,则 (BD/DC〃 (CE/EA〃 (AF/FB=1; 其逆亦真。

5. 西摩松(Simson 线:已知 P 为△ ABC 外接圆周上任意一点, PD ⊥ BC , PE ⊥ ACPF ⊥ AB , D 、 E 、 F 为垂足,则 D 、 E 、 F 三点共线,这条直线叫做西摩松线。

6. 托勒密(Ptolemy 定理:在圆内接四边形中, AB 〃 CD +AD 〃 BC =AC 〃BD梅内劳斯定理:在△ ABC 中,若在 BC 、 CA 、 AB 或其延长线上被同一条直线截于点 X 、Y 、 Z ,则 (BX/XC〃 (CY/YA〃 (AZ/ZB=1。

平面几何著名定理

平面几何著名定理1、欧拉（Euler）线：同一三角形的垂心、重心、外心三点共线，这条直线称为三角形的欧拉线；且外心与重心的距离等于垂心与重心距离的一半2、九点圆：任意三角形三边的中点，三高的垂足及三顶点与垂心间线段的中点，共九个点共圆，这个圆称为三角形的九点圆；其圆心为三角形外心与垂心所连线段的中点，其半径等于三角形外接圆半径的一半。

3、费尔马点：已知P为锐角△ABC内一点，当∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°时，PA＋PB＋PC的值最小，这个点P称为△ABC的费尔马点。

4、海伦（Heron）公式：在△ABC 中，边BC 、CA 、AB 的长分别为a 、b 、c ，若p ＝21（a ＋b ＋c ），则△ABC 的面积S ＝))()((c p b p a p p ---5、塞瓦（Ceva ）定理：在△ABC 中，过△ABC 的顶点作相交于一点P 的直线，分别交边BC 、CA 、AB 与点D 、E 、F ，则1=⋅⋅FBAFEA CE DC BD ；其逆亦真6、密格尔（Miquel ）点：若AE 、AF 、ED 、FB 四条直线相交于A 、B 、C 、D 、E 、F 六点，构成四个三角形，它们是△ABF 、△AED 、△BCE 、△DCF ，则这四个三角形的外接圆共点，这个点称为密格尔点。

7、葛尔刚（Gergonne ）点:△ABC 的内切圆分别切边AB 、BC 、CA 于点D 、E 、F ，则AE 、BF 、CD 三线共点，这个点称为葛尔刚点。

8、西摩松（Simson ）线：已知P 为△ABC 外接圆周上任意一点，PD ⊥BC ，PE ⊥ACPF ⊥AB ，D 、E 、F 为垂足，则D 、E 、F 三点共线，这条直线叫做西摩松线。

9、黄金分割：把一条线段(AB)分成两条线段,使其中较大的线段(AC)是原线段(AB)与较小线段(BC)的比例中项,这样的分割称为黄金分割11、笛沙格（Desargues）定理：已知在△ABC与△A'B'C'中，AA'、BB'、CC'三线相交于点O，BC与B'C'、CA与C'A'、AB与A'B'分别相交于点X、Y、Z，则X、Y、Z三点共线；其逆亦真。

平面几何基础知识基本定理基本性质

平面几何基础知识（基本定理、基本性质）1．勾股定理（毕达哥拉斯定理）（广义勾股定理）(1)锐角对边的平方，等于其他两边之平方和，减去这两边中的一边和另一边在这边上的射影乘积的两倍． (2)钝角对边的平方等于其他两边的平方和，加上这两边中的一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍．2．射影定理（欧几里得定理）3．中线定理（巴布斯定理）设△ABC 的边BC 的中点为P ，则有)(22222BP AP AC AB +=+；中线长：222222a c b m a -+=． 4．垂线定理：2222BD BC AD AC CD AB -=-⇔⊥．高线长：C b B c A abc c p b p a p p a h a sin sin sin ))()((2===---=． 5．角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例．如△ABC 中，AD 平分∠BAC ，则ACAB DC BD =；（外角平分线定理）．角平分线长：2cos 2)(2A c b bc a p bcp c b t a +=-+=（其中p 为周长一半）． 6．正弦定理：R Cc B b A a 2sin sin sin ===，（其中R 为三角形外接圆半径）． 7．余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=．8．张角定理：ABDAC AC BAD AD BAC ∠+∠=∠sin sin sin ．9．斯特瓦尔特(Stewart )定理：设已知△ABC 及其底边上B 、C 两点间的一点D ，则有AB 2·DC +AC 2·BD －AD 2·BC ＝BC ·DC ·BD ．10．圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，等于圆心角的一半．（圆外角如何转化？）11．弦切角定理：弦切角等于夹弧所对的圆周角．12．圆幂定理：（相交弦定理：垂径定理：切割线定理（割线定理）：切线长定理：）13．布拉美古塔（Brahmagupta ）定理：在圆内接四边形ABCD 中，AC ⊥BD ，自对角线的交点P 向一边作垂线，其延长线必平分对边．14．点到圆的幂：设P 为⊙O 所在平面上任意一点，PO =d ，⊙O 的半径为r ，则d 2－r 2就是点P 对于⊙O 的幂．过P 任作一直线与⊙O 交于点A 、B ，则P A·PB = |d 2－r 2|．“到两圆等幂的点的轨迹是与此二圆的连心线垂直的一条直线，如果此二圆相交，则该轨迹是此二圆的公共弦所在直线”这个结论．这条直线称为两圆的“根轴”．三个圆两两的根轴如果不互相平行，则它们交于一点，这一点称为三圆的“根心”．三个圆的根心对于三个圆等幂．当三个圆两两相交时，三条公共弦(就是两两的根轴)所在直线交于一点．15．托勒密（Ptolemy ）定理：圆内接四边形对角线之积等于两组对边乘积之和，即AC ·BD =AB ·CD +AD ·BC ，(逆命题成立) ．（广义托勒密定理）AB ·CD +AD ·BC ≥AC ·BD ．16．蝴蝶定理：AB 是⊙O 的弦，M 是其中点，弦CD 、EF 经过点M ，CF 、DE 交AB 于P 、Q ，求证：MP =QM ．17．费马点：定理1等边三角形外接圆上一点，到该三角形较近两顶点距离之和等于到另一顶点的距离；不在等边三角形外接圆上的点，到该三角形两顶点距离之和大于到另一点的距离．定理2 三角形每一内角都小于120°时，在三角形内必存在一点，它对三条边所张的角都是120°，该点到三顶点距离和达到最小，称为“费马点”，当三角形有一内角不小于120°时，此角的顶点即为费马点．18．拿破仑三角形：在任意△ABC 的外侧，分别作等边△ABD 、△BCE 、△CAF ，则AE 、AB 、CD 三线共点，并且AE＝BF ＝CD ，这个命题称为拿破仑定理．以△ABC 的三条边分别向外作等边△ABD 、△BCE 、△CAF ，它们的外接圆⊙C 1 、⊙A 1 、⊙B 1的圆心构成的△——外拿破仑的三角形，⊙C 1 、⊙A 1 、⊙B 1三圆共点，外拿破仑三角形是一个等边三角形；△ABC 的三条边分别向△ABC 的内侧作等边△ABD 、△BCE 、△CAF ，它们的外接圆⊙C 2 、⊙A 2 、⊙B 2的圆心构成的△——内拿破仑三角形，⊙C 2 、⊙A 2 、⊙B 2三圆共点，内拿破仑三角形也是一个等边三角形．这两个拿破仑三角形还具有相同的中心．19．九点圆（Nine point round 或欧拉圆或费尔巴赫圆）：三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，九点圆具有许多有趣的性质,例如:（1）三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半;（2）九点圆的圆心在欧拉线上,且恰为垂心与外心连线的中点;（3）三角形的九点圆与三角形的内切圆,三个旁切圆均相切〔费尔巴哈定理〕．20．欧拉（Euler ）线：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线（欧拉线）上．21．欧拉（Euler ）公式：设三角形的外接圆半径为R ，内切圆半径为r ，外心与内心的距离为d ，则d 2=R 2－2Rr ．22．锐角三角形的外接圆半径与内切圆半径的和等于外心到各边距离的和．23．重心：三角形的三条中线交于一点，并且各中线被这个点分成2：1的两部分；)3,3(C B A C B A y y y x x x G ++++ 重心性质：（1）设G 为△ABC 的重心，连结AG 并延长交BC 于D ，则D 为BC 的中点，则1:2:=GD AG ；（2）设G 为△ABC 的重心，则ABC AC G BC G ABG S S S S ∆∆∆∆===31；（3）设G 为△ABC 的重心，过G 作DE ∥BC 交AB 于D ，交AC 于E ，过G 作PF ∥AC 交AB 于P ，交BC 于F ，过G 作HK ∥AB 交AC 于K ，交BC 于H ，则2;32=++===AB KH CA FP BC DE AB KH CA FP BC DE ；（4）设G 为△ABC 的重心，则①222222333GC AB GB CA GA BC+=+=+； ②)(31222222CA BC AB GC GB GA ++=++； ③22222223PG GC GB GA PC PB PA +++=++（P 为△ABC 内任意一点）；④到三角形三顶点距离的平方和最小的点是重心，即222GC GB GA ++最小； ⑤三角形内到三边距离之积最大的点是重心；反之亦然（即满足上述条件之一，则G 为△ABC 的重心）． 24．垂心：三角形的三条高线的交点；)cos cos cos cos cos cos ,cos cos cos cos cos cos (CB A yC c y B b y A a C B A x C c x B b x A a H C B A C B A ++++++++ 垂心性质：（1）三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍；（2）垂心H 关于△ABC 的三边的对称点，均在△ABC 的外接圆上；（3）△ABC 的垂心为H ，则△ABC ，△ABH ，△BCH ，△ACH 的外接圆是等圆；（4）设O ，H 分别为△ABC 的外心和垂心，则HCA BCO ABH CBO HAC BAO ∠=∠∠=∠∠=∠,,．25．内心：三角形的三条角分线的交点—内接圆圆心，即内心到三角形各边距离相等；),(cb a cy by ayc b a cx bx ax I C B A C B A ++++++++ 内心性质：（1）设I 为△ABC 的内心，则I 到△ABC 三边的距离相等，反之亦然；（2）设I 为△ABC 的内心，则C AIB B AIC A BIC∠+︒=∠∠+︒=∠∠+︒=∠2190,2190,2190；（3）三角形一内角平分线与其外接圆的交点到另两顶点的距离与到内心的距离相等；反之，若A ∠平分线交△ABC 外接圆于点K ，I 为线段AK 上的点且满足KI=KB ，则I 为△ABC 的内心；（4）设I 为△ABC 的内心，,,,c AB b AC a BC === A ∠平分线交BC 于D ，交△ABC 外接圆于点K ，则ac b KD IK KI AK ID AI +===；（5）设I 为△ABC 的内心，,,,c AB b AC a BC ===I 在AB AC BC ,,上的射影分别为F E D ,,，内切圆半径为r ，令)(21c b a p ++=，则①pr S ABC =∆；②c p CD CE b p BF BD a p AF AE -==-==-==;;；③CI BI AI p abcr ⋅⋅⋅=．26．外心：三角形的三条中垂线的交点——外接圆圆心，即外心到三角形各顶点距离相等； )2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin ,2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin (C B A Cy By Ay C B A Cx Bx Ax O C B A C B A ++++++++ 外心性质：（1）外心到三角形各顶点距离相等；（2）设O 为△ABC 的外心，则A BOC ∠=∠2或A BOC ∠-︒=∠2360；（3）∆=S abc R 4；（4）锐角三角形的外心到三边的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和． 27．旁心：一内角平分线与两外角平分线交点——旁切圆圆心；设△ABC 的三边,,,c AB b AC a BC ===令)(21c b a p ++=，分别与AB AC BC ,,外侧相切的旁切圆圆心记为C B A I I I ,,，其半径分别记为C B A r r r ,,．旁心性质：（1）,21,2190A C BI C BI A C BI C B A ∠=∠=∠∠-︒=∠（对于顶角B ，C 也有类似的式子）；（2）)(21C A I I I C B A ∠+∠=∠；（3）设A AI 的连线交△ABC 的外接圆于D ，则DC DB DI A ==（对于C B CI BI ,有同样的结论）；（4）△ABC 是△I A I B I C 的垂足三角形，且△I A I B I C 的外接圆半径'R 等于△ABC 的直径为2R ．28．三角形面积公式：C B A R R abc C ab ah S a ABC sin sin sin 24sin 21212====∆)cot cot (cot 4222C B A c b a ++++= ))()((c p b p a p p pr ---==，其中a h 表示BC 边上的高，R 为外接圆半径，r 为内切圆半径，)(21c b a p ++=． 29．三角形中内切圆，旁切圆和外接圆半径的相互关系：;2sin 2cos 2cos 4,2cos 2sin 2cos 4,2cos 2cos 2sin 4;2sin 2sin 2sin4C B A R r C B A R r C B A R r C B A R r c b a ==== .1111;2tan 2tan ,2tan 2tan ,2tan 2tan r r r r B A r r C A r r C B r r c b a c b a =++=== 30．梅涅劳斯（Menelaus ）定理：设△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别为P 、Q 、R 则有 1=⋅⋅RBAR QA CQ PC BP ．（逆定理也成立）31．梅涅劳斯定理的应用定理1：设△ABC的∠A的外角平分线交边CA于Q，∠C的平分线交边AB于R，∠B的平分线交边CA于Q，则P、Q、R三点共线．32．梅涅劳斯定理的应用定理2：过任意△ABC的三个顶点A、B、C作它的外接圆的切线，分别和BC、CA、AB的延长线交于点P、Q、R，则P、Q、R三点共线．33．塞瓦(Ceva)定理：设X、Y、Z分别为△ABC的边BC、CA、AB上的一点，则AX、BY、CZ所在直线交于一点的充要条件是AZZB·BXXC·CYYA=1．34．塞瓦定理的应用定理：设平行于△ABC的边BC的直线与两边AB、AC的交点分别是D、E，又设BE和CD交于S，则AS一定过边BC的中点M．35．塞瓦定理的逆定理：（略）36．塞瓦定理的逆定理的应用定理1：三角形的三条中线交于一点，三角形的三条高线交于一点，三角形的三条角分线交于一点．37．塞瓦定理的逆定理的应用定理2：设△ABC的内切圆和边BC、CA、AB分别相切于点R、S、T，则AR、BS、CT 交于一点．38．西摩松（Simson）定理：从△ABC的外接圆上任意一点P向三边BC、CA、AB或其延长线作垂线，设其垂足分别是D、E、R，则D、E、R共线，（这条直线叫西摩松线Simson line）．39．西摩松定理的逆定理：（略）40．关于西摩松线的定理1：△ABC的外接圆的两个端点P、Q关于该三角形的西摩松线互相垂直，其交点在九点圆上．41．关于西摩松线的定理2（安宁定理）：在一个圆周上有4点，以其中任三点作三角形，再作其余一点的关于该三角形的西摩松线，这些西摩松线交于一点．42．史坦纳定理：设△ABC的垂心为H，其外接圆的任意点P，这时关于△ABC的点P的西摩松线通过线段PH的中心．43．史坦纳定理的应用定理：△ABC的外接圆上的一点P的关于边BC、CA、AB的对称点和△ABC的垂心H同在一条（与西摩松线平行的）直线上．这条直线被叫做点P关于△ABC的镜象线．44．牛顿定理1：四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点和两条对角线的中点，三点共线．这条直线叫做这个四边形的牛顿线．45．牛顿定理2：圆外切四边形的两条对角线的中点，及该圆的圆心，三点共线．46．笛沙格定理1：平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们的对应顶点（A和D、B和E、C和F）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线．47．笛沙格定理2：相异平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们的对应顶点（A和D、B和E、C和F）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线．48．波朗杰、腾下定理：设△ABC的外接圆上的三点为P、Q、R，则P、Q、R关于△ABC交于一点的充要条件是：弧AP+弧BQ+弧CR=0(mod2 ) ．49．波朗杰、腾下定理推论1：设P、Q、R为△ABC的外接圆上的三点，若P、Q、R关于△ABC的西摩松线交于一点，则A、B、C三点关于△PQR的的西摩松线交于与前相同的一点．50．波朗杰、腾下定理推论2：在推论1中，三条西摩松线的交点是A、B、C、P、Q、R六点任取三点所作的三角形的垂心和其余三点所作的三角形的垂心的连线段的中点．51．波朗杰、腾下定理推论3：考查△ABC的外接圆上的一点P的关于△ABC的西摩松线，如设QR为垂直于这条西摩松线该外接圆的弦，则三点P、Q、R的关于△ABC的西摩松线交于一点．52．波朗杰、腾下定理推论4：从△ABC的顶点向边BC、CA、AB引垂线，设垂足分别是D、E、F，且设边BC、CA、AB的中点分别是L、M、N，则D、E、F、L、M、N六点在同一个圆上，这时L、M、N点关于关于△ABC的西摩松线交于一点．53．卡诺定理：通过△ABC 的外接圆的一点P ，引与△ABC 的三边BC 、CA 、AB 分别成同向的等角的直线PD 、PE 、PF ，与三边的交点分别是D 、E 、F ，则D 、E 、F 三点共线．54．奥倍尔定理：通过△ABC 的三个顶点引互相平行的三条直线，设它们与△ABC 的外接圆的交点分别是L 、M 、N ，在△ABC 的外接圆上取一点P ，则PL 、PM 、PN 与△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线的交点分别是D 、E 、F ，则D 、E 、F 三点共线．55．清宫定理：设P 、Q 为△ABC 的外接圆的异于A 、B 、C 的两点，P 点的关于三边BC 、CA 、AB 的对称点分别是U 、V 、W ，这时，QU 、QV 、QW 和边BC 、CA 、AB 或其延长线的交点分别是D 、E 、F ，则D 、E 、F 三点共线．56．他拿定理：设P 、Q 为关于△ABC 的外接圆的一对反点，点P 的关于三边BC 、CA 、AB 的对称点分别是U 、V 、W ，这时，如果QU 、QV 、QW 和边BC 、CA 、AB 或其延长线的交点分别是D 、E 、F ，则D 、E 、F 三点共线．（反点：P 、Q 分别为圆O 的半径OC 和其延长线的两点，如果OC 2=OQ ×OP 则称P 、Q 两点关于圆O 互为反点）57．朗古来定理：在同一圆周上有A 1、B 1、C 1、D 1四点，以其中任三点作三角形，在圆周取一点P ，作P 点的关于这4个三角形的西摩松线，再从P 向这4条西摩松线引垂线，则四个垂足在同一条直线上．58．从三角形各边的中点，向这条边所对的顶点处的外接圆的切线引垂线，这些垂线交于该三角形的九点圆的圆心．59．一个圆周上有n 个点，从其中任意n －1个点的重心，向该圆周的在其余一点处的切线所引的垂线都交于一点．60．康托尔定理1：一个圆周上有n 个点，从其中任意n －2个点的重心向余下两点的连线所引的垂线共点．61．康托尔定理2：一个圆周上有A 、B 、C 、D 四点及M 、N 两点，则M 和N 点关于四个三角形△BCD 、△CDA 、△DAB 、△ABC 中的每一个的两条西摩松线的交点在同一直线上．这条直线叫做M 、N 两点关于四边形ABCD 的康托尔线．62．康托尔定理3：一个圆周上有A 、B 、C 、D 四点及M 、N 、L 三点，则M 、N 两点的关于四边形ABCD 的康托尔线、L 、N 两点的关于四边形ABCD 的康托尔线、M 、L 两点的关于四边形ABCD 的康托尔线交于一点．这个点叫做M 、N 、L 三点关于四边形ABCD 的康托尔点．63．康托尔定理4：一个圆周上有A 、B 、C 、D 、E 五点及M 、N 、L 三点，则M 、N 、L 三点关于四边形BCDE 、CDEA 、DEAB 、EABC 中的每一个康托尔点在一条直线上．这条直线叫做M 、N 、L 三点关于五边形A 、B 、C 、D 、E 的康托尔线．64．费尔巴赫定理：三角形的九点圆与内切圆和旁切圆相切．65．莫利定理：将三角形的三个内角三等分，靠近某边的两条三分角线相得到一个交点，则这样的三个交点可以构成一个正三角形．这个三角形常被称作莫利正三角形．66．布利安松定理：连结外切于圆的六边形ABCDEF 相对的顶点A 和D 、B 和E 、C 和F ，则这三线共点．67．帕斯卡（Paskal ）定理：圆内接六边形ABCDEF 相对的边AB 和DE 、BC 和EF 、CD 和FA 的（或延长线的）交点共线．68．阿波罗尼斯（Apollonius ）定理：到两定点A 、B 的距离之比为定比m ：n （值不为1）的点P ，位于将线段AB 分成m ：n 的内分点C 和外分点D 为直径两端点的定圆周上．这个圆称为阿波罗尼斯圆．69．库立奇*大上定理：（圆内接四边形的九点圆）圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆．70．密格尔（Miquel ）点：若AE 、AF 、ED 、FB 四条直线相交于A 、B 、C 、D 、E 、F 六点，构成四个三角形，它们是△ABF 、△AED 、△BCE 、△DCF ，则这四个三角形的外接圆共点，这个点称为密格尔点．71．葛尔刚（Gergonne ）点：△ABC 的内切圆分别切边AB 、BC 、CA 于点D 、E 、F ，则AE 、BF 、CD 三线共点，这个点称为葛尔刚点．72．欧拉关于垂足三角形的面积公式：O 是三角形的外心，M 是三角形中的任意一点，过M 向三边作垂线，三个垂足形成的三角形的面积，其公式： 222AB C D 4||R d R S S EF -=∆∆．平面几何的意义就个人经验而言，我相信人的智力懵懂的大门获得开悟往往缘于一些不经意的偶然事件．罗素说过：“一个人越是研究几何学，就越能看出它们是多么值得赞赏．”我想罗素之所以这么说，是因为平面几何曾经救了他一命的缘故．天知道是什么缘故，这个养尊处优的贵族子弟鬼迷心窍，想要自杀来结束自己那份下层社会人家的孩子巴望一辈子都够不到的幸福生活．在上吊或者抹脖子之前，头戴假发的小子想到做最后一件事情，那就是了解一下平面几何到底有多大迷人的魅力．而这个魅力是之前他的哥哥向他吹嘘的．估计他的哥哥将平面几何与人生的意义搅和在一起向他做了推介，不然万念俱灰的的头脑怎么会在离开之前想到去做最后的光顾？而罗素真的一下被迷住了，厌世的念头因为沉湎于平面几何而被淡化，最后竟被遗忘了．罗素毕竟是罗素．平面几何对于我的意义只是发掘了一个成绩本来不错的中学生的潜力，为我解开了智力上的扭结；而在罗素那里，这门知识从一开始就使这个未来的伟大的怀疑论者显露了执拗的本性．他反对不加考察就接受平面几何的公理，在与哥哥的反复争论之后，只是他的哥哥使他确信不可能用其他的方法一步步由这样的公理来构建庞大的平面几何的体系的以后，他才同意接受这些公理．公元前334年，年轻的亚历山大从马其顿麾师东进，短短的时间就建立了一个从尼罗河到印度河的庞大帝国．随着他的征服，希腊文明传播到了东方，开始了一个新的文明时代即“希腊化时代”，这时希腊文明的中心也从希腊本土转移到了东方，准确地说，是从雅典转移到了埃及的亚历山大城．正是在这个城市，诞生了“希腊化时代”最为杰出的科学成就，其中就包括欧几里德的几何学．因为他的成就，平面几何也被叫作“欧氏几何”．“欧氏几何”以它无与伦比的完美体系一直被视为演绎知识的典范，哲学史家更愿意把它看作是古代希腊文化的结晶．它由人类理性不可辩驳的几个极其简单的“自明性公理”出发，通过严密的逻辑推理，演绎出一连串的定理，这些在结构上紧密依存的定理和作为基础的几个公理一起构筑了一个庞大的知识体系．世间事物的简洁之美无出其右．★费马点：法国著名数学家费尔马曾提出关于三角形的一个有趣问题：在三角形所在平面上，求一点，使该点到三角形三个顶点距离之和最小．人们称这个点为“费马点”．这是一个历史名题，近几年仍有不少文献对此介绍．★拿破仑三角形：读了这个题目，你一定觉得很奇怪．还有三角形用拿破仑这个名子来命名的呢！拿破仑与我们的几何图形三角形有什么关系？少年朋友知道拿破仑是法国著名的军事家、政治家、大革命的领导者、法兰西共和国的缔造者，但对他任过炮兵军官，对与射击、测量有关的几何等知识素有研究，却知道得就不多了吧！史料记载，拿破仑攻占意大利之后，把意大利图书馆中有价值的文献，包括欧几里德的名著《几何原本》都送回了巴黎，他还对法国数学家提出了“如何用圆规将圆周四等分”的问题，被法国数学家曼彻罗尼所解决．据说拿破仑在统治法国之前，曾与法国大数学家拉格朗日及拉普拉斯一起讨论过数学问题．拿破仑在数学上的真知灼见竟使他们惊服，以至于他们向拿破仑提出了这样一个要求：“将军，我们最后有个请求，你来给大家上一次几何课吧！”你大概不会想到拿破仑还是这样一位有相当造诣的数学爱好者吧！不少几何史上有名的题目还和拿破仑有着关联，他曾经研究过的三角形称为“拿破仑三角形”，而且还是一个很有趣的三角形．在任意△ABC的外侧，分别作等边△ABD、△BCE、△CAF，则AE、AB、CD三线共点，并且AE＝BF＝CD，如下图．这个命题称为拿破仑定理．以△ABC的三条边分别向外作等边△ABD、△BCE、△CAF，它们的外接圆⊙、⊙、⊙、的圆心构成的△——外拿破仑的三角形．⊙、⊙、⊙三圆共点，外拿破仑三角形是一个等边三角形，如下图．△ABC的三条边分别向△ABC的内侧作等边△ABD、△BCE、△CAF，它们的外接圆⊙、⊙、⊙的圆心构成的△——内拿破仑三角形⊙、⊙、⊙三圆共点，内拿破仑三角形也是一个等边三角形．如下图．由于外拿破仑三角形和内拿破仑三角形都是正三角形，这两个三角形还具有相同的中心．少年朋友，你是否惊讶拿破仑是一位军事家、政治家，同时还是一位受异书籍、热爱知识的数学家呢？拿破仑定理、拿破仑三角形及其性质是否更让你非常惊讶、有趣呢？★欧拉圆：三角形三边的中点,三高的垂足和三个欧拉点〔连结三角形各顶点与垂心所得三线段的中点〕九点共圆〔通常称这个圆为九点圆〔nine－point circle〕,或欧拉圆,费尔巴哈圆.九点圆是几何学史上的一个著名问题,最早提出九点圆的是英国的培亚敏.俾几〔Benjamin Beven〕,问题发表在1804年的一本英国杂志上.第一个完全证明此定理的是法国数学家彭赛列〔1788－1867〕.也有说是1820－1821年间由法国数学家热而工〔1771－1859〕与彭赛列首先发表的.一位高中教师费尔巴哈〔1800－1834〕也曾研究了九点圆,他的证明发表在1822年的《直边三角形的一些特殊点的性质》一文里,文中费尔巴哈还获得了九点圆的一些重要性质〔如下列的性质3〕,故有人称九点圆为费尔巴哈圆.九点圆具有许多有趣的性质,例如:1.三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半;2.九点圆的圆心在欧拉线上,且恰为垂心与外心连线的中点;3.三角形的九点圆与三角形的内切圆,三个旁切圆均相切〔费尔巴哈定理〕.。

认识平面几何的61个著名定理

【认识平面几何的61个著名定理，自行画出图形来学习，★部分要求证明出来】★1、勾股定理（毕达哥拉斯定理）★2、射影定理（欧几里得定理）★3、三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成2：1的两部分4、四边形两边中心的连线和两条对角线中心的连线交于一点5、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。

★6、三角形各边的垂直平分线交于一点。

★7、从三角形的各顶点向其对边所作的三条垂线交于一点8、设三角形ABC 的外心为O ，垂心为H ，从O 向BC 边引垂线，设垂足不L ，则AH=2OL9、三角形的外心，垂心，重心在同一条直线上。

10、（九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆）三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，11、欧拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线（欧拉线）上12、库立奇大上定理：（圆内接四边形的九点圆）圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。

★13、（内心）三角形的三条内角平分线交于一点，内切圆的半径公式： ()()()s c s b s a s r ---=，s 为三角形周长的一半★14、（旁心）三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的外角平分线交于一点15、中线定理：（巴布斯定理）设三角形ABC的边BC的中点为P，则有AB2+AC2=2(AP2+BP2)16、斯图尔特定理：P将三角形ABC的边BC分成m和n两段，则有n×AB2+m×AC2=BC×（AP2+mn）17、波罗摩及多定理：圆内接四边形ABCD的对角线互相垂直时，连接AB中点M和对角线交点E 的直线垂直于CD18、阿波罗尼斯定理：到两定点A、B的距离之比为定比m:n（值不为1）的点P，位于将线段AB分成m:n的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周上★19、托勒密定理：设四边形ABCD内接于圆，则有AB×CD+AD×BC=AC×BD★20、以任意三角形ABC的边BC、CA、AB为底边，分别向外作底角都是30度的等腰△BDC、△CEA、△AFB，则△DEF是正三角形，21、爱尔可斯定理1：若△ABC和△DEF都是正三角形，则由线段AD、BE、CF的重心构成的三角形也是正三角形。

几何的著名定理

平面几何著名定理1、五圆定理：如果你随手画一个五角星（不一定是正五角星），再作出这个五角星的五个角上的三角形的外接圆，这五个圆除了在五角星上的那五个交点外，在五角星外面还有另五个交点。

有趣的是，不管五角星是什么样，后五个交点一定在同一个圆上。

这就是五圆定理。

2、蝴蝶定理：3、欧拉（Euler）定理：4、欧拉（Euler）线：同一三角形的垂心、重心、外心三点共线，这条直线称为三角形的欧拉线；且外心与重心的距离等于垂心与重心距离的一半5、九点圆：任意三角形三边的中点，三高的垂足及三顶点与垂心间线段的中点，共九个点共圆，这个圆称为三角形的九点圆；其圆心为三角形外心与垂心所连线段的中点，其半径等于三角形外接圆半径的一半。

6、费尔马点：已知P 为锐角△ABC 内一点，当∠APB ＝∠BPC ＝∠CPA ＝120°时，PA ＋PB ＋PC 的值最小，这个点P 称为△ABC 的费尔马点。

7、海伦（Heron ）公式：在△ABC 中，边BC 、CA 、AB 的长分别为a 、b 、c ，若p ＝21（a ＋b ＋c ），则△ABC 的面积S ＝))()((c p b p a p p ---8、塞瓦（Ceva ）定理：在△ABC 中，过△ABC 的顶点作相交于一点P 的直线，分别交边BC 、CA 、AB 与点D 、E 、F ，则1=⋅⋅FBAFEA CE DC BD ；其逆亦真9、密格尔（Miquel ）点：若AE 、AF 、ED 、FB 四条直线相交于A 、B 、C 、D 、E 、F 六点，构成四个三角形，它们是△ABF 、△AED 、△BCE 、△DCF ，则这四个三角形的外接圆共点，这个点称为密格尔点。

10、葛尔刚（Gergonne ）点:△ABC 的内切圆分别切边AB 、BC 、CA 于点D 、E 、F ，则AE 、BF 、CD 三线共点，这个点称为葛尔刚点。

葛尔刚点Q 1P 1O 1L 1M 1N 111、西摩松（Simson ）线：已知P 为△ABC 外接圆周上任意一点，PD ⊥BC ，PE ⊥ACPF ⊥AB ，D 、E 、F 为垂足，则D 、E 、F 三点共线，这条直线叫做西摩松线。

关于平面几何的60条著名定理

关于平面几何的 60 条著名定理些平面几何的著名定理1、勾股定理（毕达哥拉斯定理）2、射影定理（欧几里得定理）3、三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成2：1 的两部分4、四边形两边中心的连线的两条对角线中心的连线交于5、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。

6、三角形各边的垂直一平分线交于一点。

7、三角形的三条高线交于一点&设三角形ABC的外心为0,垂心为H 从0向BC边引垂线，设垂足为L,则AH=20L9、三角形的外心，垂心，重心在同一条直线（欧拉线）上。

10、（九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆）三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，11、欧拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线（欧拉线）上12、库立奇*大上定理：（圆内接四边形的九点圆）圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。

13、（内心）三角形的三条内角平分线交于一点，内切圆的半径公式：r=（s-a）（s-b）（s-c）s , s 为三角形周长的一半14、（旁心）三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的外角平分线交于一点中线定理：（巴布斯定理）设三角形ABC的边BC的中点15、为P,则有AB2+AC2=2(AP2+BP2) 16、斯图尔特定理：P将三角形ABC的边BC内分成m:n，贝U有n×AB2+m×AC2=(m+n)AP2+mnm+nBC217、波罗摩及多定理：圆内接四边形ABCD勺对角线互相垂直时，连接AB中点M和对角线交点E的直线垂直于CD18、阿波罗尼斯定理：到两定点A、B 的距离之比为定比m:n （值不为1）的点P,位于将线段AB分成m:n的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周上19、托勒密定理：设四边形ABCD内接于圆，则有AB×CD+AD×BC=AC×BD 20、以任意三角形ABC 的边BC CA AB为底边，分别向外作底角都是30度的等腰^ BDC △ CEA △ AFB则^ DEF是正三角形,21、爱尔可斯定理1:若^ ABC和^ DEF都是正三角形，则由线段AD BE、CF的中心构成的三角形也是正三角形。

平面几何的几个重要的定理

证：在 EBC 中，作 B 的平分线BH贝U: EBCACKHBCACE HBC HCB ACEHCB 90即：BH CE作BC 上的高EP ，贝U: CK EP对于ACK 和三点D 、 E 、 F 依梅涅劳斯定理有: CD 胆 KF i DA EKFCKF__ EK CK FC — AE AC EP BP BK AC BC BE即KF _ BK FC _ BE依分比定理有: KF _ BKKC _ KE平面几何的几个重要的定理一、梅涅劳斯定理:定理1若直线I 不经过 ABC 的顶点，并且与的延长线分别交于 P 、Q 、R ，贝VBP CQ AR 1PC QA RB证：设h A 、h B 、h C 分别是A 、B 、C 到直线I 的垂线的长度，贝y ： BP CQ AR h B h e h A , 1PC QA RB h C h A h B注：此定理常运用求证三角形相似的过程中的线段成比例的条件;在AK 上, D 是AC 的中点， F 是DE 与CK 的交点，证明： BF // CE例1：若直角 ABC 中，CK 是斜边上的高, CE 是 ACK 的平分线， E 点ABC 的三边BC 、CA 、AB 或它们EBC 为等腰三角形FKB CKE BF //CEA 1 C 1 A 1 D 1B 1C 1 B 1D 1【练习1从点K 引四条直线，另两条直 AC 和 A 1 > B 1> C 1> D 1，试证： --BC线分别交这四条直线于 A 、B 、C 、DAD BD依梅涅劳斯定理可知 A 1> B 1> 6三点共线; .下载可编辑.CA 、AB 上或它们的延长线上的P 、Q 、R 三点中，位于 ABC 边上的点的个数为 0或2,这时若聖PC 定理2：设P 、Q 、R 分别是 ABC 的三边BC 、三点，并且CQ AR QA RB1,求证：P 、Q 、R 三点共线;证：设直线PQ 与直线AB 交于R '，于是由定理BP CQ AR ' PC QA R ' B又 BP CQ AR PC QA RB由于在同一直线上的 ABC 边上的点的个数也为 0或2,AR AR 1,贝 U : - L =R B RBP 、Q 、R '三点中，位于因此R 与R '或者同在AB 线段上，或者同在 AB 的延长线上；若R 与R '同在AB 线段上，则R 与R '必定重合，不然的话，设AR AR ',AR AR 'BR BR '这时AB AR AB AR '，即卩BR BR ',于是可得AR AR 这与 =——T 矛盾BR BR 类似地可证得当 R 与R'同在AB 的延长线上时, 综上可得：P 、Q 、R 三点共线；注：此定理常用于证明三点共线的问题，且常需要多次使用R 与R 也重合再相乘;例2点P 位于 ABC 的外接圆上；A 1>C 1是从点P 向BC 、CA 、AB 引的垂线的垂足,证明点A 1> B 1> BA 1 BP cos PBC CA 1 CP cos PCB CB 1 CP cos PCA AB 1 AP cos PAC AC 1 AP cos PABC i 共线;证：易得:PB cos PBABC 1将上面三条式子相乘，且 PAC PBC , PAB PCB , BA 1 CB 1 AC 1—1 , CA [ AB 1 BC 1PCAPBA 180可得【练习4在一条直线上取点E 、C 、B 、F 、D ，记直线AB 和ED ，【练习2】设不等腰 ABC 的内切圆在三边 BC 、CA 、AB 上的切点分别为 D 、E 、F ，则EF 与BC , FD 与CA ，DE与AB 的交点 X 、Y 、Z 在同一条直线上；【练习3】已知直线 AA i ，BB 1，CC i 相交于0,直线AB 和 A 1B 1的交点为 C 2，直线 BC 与B 1C 1的交点是 A 2，直线AC 与A i C i 的交点是B 2，试证：A 2、B 2、C 2三点共线;CD 和AF ，CD 和AF ，EF 和BC 的交点依次为 L 、M 、N ，证明：L 、M 、N 共线练习1的证明证：若AD // A 1D 1,结论显然成立; 若AD 与A 1 D 1相交与点AD LD LD BDLD j A 1K A 1D 1 AK BKBQ B 1K LD 1 将上面四条式子相乘可即:也：如 BC BD A 1C 1B 1C 1L ,则把梅涅劳斯定理分 LC AK A 1C 1 AC A 1K 得.AD 得： -ACA 1 D 1B 1 D 1LC 1别用于 A 1AL 和B 1BL 可得: BCLC L B 1KB 1C 1 LC BK 1BC A 1C 1 BD A 1D 1B 1D 1 B 1C 1证：ABC 被直线 XFE 所截，由定理 1可得：BXCE XCEA 又 AE AF 代人上式可得： BX FB XC CECY DC AZ EA同理可得： -YA AF ZBBD将上面三条式子相乘可得：BX 得： CY AZ d1XC YA ZB又 X 、 Y 、 Z 都不在 ABC 的边上 .，由定理 2可得练习2的证明 X 、YAF FBZ 三点共线练习3的证明证：设A 2、B 2、C 2分别是直线 BC 和B 1C 1,对所得的三角形和在它 C 1 ,A 2 ),OAC 和(A 1, AA 1 OB 1 BC 2 1 AC? AC 和 A 1C 1, 们边上的点：OAB 和(A" C 1,B 2)应用梅涅劳斯定理有： OC 1 BB 1 CA 2 . OA CC 1 OB 1 BA 2 可得：B C 2 A B 2AC 2 CB 2 由梅涅劳斯定理可知 A 2 , B 2 ,C 2共线 AB 和A 1B 1的交点， B 1 ,C 2 ),OBC 和(B“ i OA 1 BB 1 BB 1 CA 2 将上面的二条式子相乘 1 AA 1 CA 2BA 2 1练习4的证明 CC 1 AB 2 i OC 1 CB 2 证：记直线 EF 和CD ，EF 和AB ，AB 和CD 的交点分别为 U 、V 、W ，对 UVW ，应用梅涅劳斯定理于五组三元点(L,D,E ),( A,M ,F ),(B,C,N ),( A,C,E ),( B,D,F )，则有UE VL WD VE WL UD WA UC VE VA WC UE,VA UF WM 1WA VF YM ,WB UD VF 1VB WD UF,UN WC VB1VN UC WB将上面五条式子相乘可得益晋赭1, 点L,M ,N 共线平面几何的几个重要定理塞瓦定理：设P 、Q 、R 分别是 ABC 的 BC 的充要条件是：聖3塑1PC QA RB------ 塞瓦定理CA 、AB 边上的点，则AP 、BQ 、CR 三线共点BMPACP SCMPSBCMSABMSACMSBCM以上三式相乘，得：C2竺=iPC QA RB证：先证必要性：设AP、BQ、CR相交于点M，贝BP S ABP S BMP S ABM PC S ACP S CMP S ACM同理：BQAARRBBP CQ AR再证充分性：若 ------------ 1,设AP与BQ相交于M，且直线CM交AB于R，PC QA RB由塞瓦定理有：圧竺翌1,PC QA R B于是：竺=纯R B RB因为R和R都在线段AB上，所以R必与R重合，故AP、BQ、CR相交于一点点M; 例1:证明：三角形的中线交于一点；证明：记ABC的中线AA,, BB,, CC,，我们只须证明型-BA1 1C, B A,C B, A而显然有：AC, C, B, BA, A1C,CB1B, AAC, BA, CB,即 1 1 1 1成立，ABC父于一点;C, B A,C B, A【练习1】证明：三角形的角平分线交于一点;【练习2】证明：锐角三角形的高交于一点；例2:在锐角ABC中，角C的平分线交于AB于L，从L作边AC和BC的垂线，垂足分别是M和N，设AN和BM的交点是P，证明：CP AB又 MC 即要证AMLAKCAM AL A K ACBNLBKCBK BC NB BL即要证AC 匹1BL 证：作CK AB下证CK 、BM 、AN 三线共点，且为P 点，要证CK 、BM 、AN 三线共点，依塞瓦定理AM CN BK ,即要证：-1MC NB AK CN AM BK A K NBBBC BL FDA ,AD BC 故MN //BC ，可得 AME AM CDAD 、 CDE ， Af ，于是AMBDFANF AE CD “ ,AN CECF 共点于P ,根据塞瓦定理可得：-BDDCAE AN CE ，BDBE、 AF BD BF CE AF , 1EA FBAE CD CE AM AN EDAAF BD BF FDA【练习创已知 CAN BCMABC 外有三点M 、N 、R ,且BAR ,CBM ABR , ACN ，证明：AM 、BN 、CR 三线共点；依三角形的角平分线定理可知：昱ACCK 、BM 、AN 三线共点，且为P 点 CP AB例3.设AD 是 ABC 的高，且D 在BC 边上，若P 是AD 上任一点，BP 、CP 分别与AC 、 AB 交于 E 和 F ，贝U EDA = FDA证：过A 作AD 的垂线，与DE 、DF 的延长线分别交于M 、N 。

平面几何的重要定理

2、塞瓦(Ceva)定理：塞瓦(Ceva)定理 (Ceva)定理
A B C 别 ∆ B 的设 ′、 ′、 ′分是 A C 三 B 、A A 上点边C C 、B 的 . 则 A ′、 B、 C′交，A B ′ C 于点充条是一的要件
A ′ B′ C ′ C A B ⋅ ⋅ =1. ′ ′ C′B AC BA
N
C
5、欧拉(Euler)定理：欧拉(Euler)定理 (Euler)定理
1
(1)欧定： ∆ B 的心重、拉理设A C 外、心垂分为、、， O G H 心别 O G H 则、、 1 H 三共， O = O . 点线且G 3
(2)欧公： ∆ B 的接半拉式设A C 外圆径为，切半为两心间 R 内圆径 r，圆之的离 d 则 r 距为， d = R −2R .
C′
M
B′
C
3、托勒密(Ptolemy)定理：托勒密(Ptolemy)定理 (Ptolemy)定理
(1)定： A C 为内四形理设B D 圆接边，则 B⋅ C + B ⋅ A = A ⋅ B . A D C D C D (2)逆理若边 A C 满：定：四形B D 足 A ⋅C + B ⋅ A = A ⋅ B ， B D C D C D A A B C D 点圆则、、、四共 .
11、莫莱定理 11、莫莱定理：
课后思考：课后思考：
1 已 ∆ B 中 ∠ = 2∠ = 4∠ ，A 、知A C ， C B 1 1 1 1 1 . = 求： + 证 A B A C B D

平面几何定理公理总结

平面几何定理公理总结一、线与角1.两点之间，线段最短。

线段的长叫两点间的距离。

直线外一点到直线，垂线段最短，垂线段的长叫该点到直线的距离。

一组平行线中，一条直线上一点到另一条直线的距离,叫两条平行线间的距离。

2.经过两点有且只有一条直线,即两点确定一条直线。

不在同一直线上的三点确定一个角。

3.两直线相交，对顶角相等。

4.同角（或等角)的余角相等;同角(或等角）的补角相等。

5.经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。

经过直线外或直线上一点，有且只有一条直线与已知直线垂直。

6.如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边,那么这两个角相等或互补。

如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补。

7.平行线(1)平行线的判定公理:两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等，那么这两条直线平行。

(2)平行线的判定方法:①两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等，那么这两条直线平行。

②两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。

③如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行。

④如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行。

(3)平行线的性质：ﻫ①两条平行线被第三条直线所截,同位角相等。

②两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。

③两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补。

④如果一条直线和两条平行线中的一条平行,那么这条直线也和另一条平行。

⑤如果一条直线和两条平行线中的一条垂直,那么这条直线也和另一条垂直。

⑥平行线间的距离处处相等；夹在两条平行线间的平行线段相等。

8.平行线等分线段定理：(1)定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上截得的线段也相等。

(2)推论1:经过三角形一边的中点,且与另一边平行的直线必等分第三边。

(3)推论２：经过梯形一腰的中点,且与底边平行的直线必等分另一腰。

9.平行线分线段成比例定理:(1)定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

平面几何的著名定理

平面几何的著名定理一、毕达格拉斯定理（即勾股定理）在任何一个直角三角形中，两条直角边的长的平方和等于斜边长的平方，这就叫做勾股定理。

即勾的平方加股的平方等于弦的平方二、帕普斯定理帕普斯(Pappus)定理:如图，直线l1上依次有点A,B,C，直线l2上依次有点D,E,F，设AE,BD 交于P，AF,DC交于Q，BF,EC交于R，则P,Q,R共线。

三、影射定理（与相似三角形和比例有关）直角三角形射影定理（又叫欧几里德(Euclid)定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。

每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

公式Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD是斜边BC上的高,则有射影定理如下:(1)(AD)^2;=BD·DC,(2)(AB)^2;=BD·BC ,(3)(AC)^2;=CD·BC 。

等积式 (4)ABXAC=BCXAD(可用面积来证明)四、梅涅劳斯定理梅涅劳斯（Menelaus）定理（简称梅氏定理）是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。

它指出：如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1。

或：设X、Y、Z分别在△ABC的BC、CA、AB所在直线上，则X、Y、Z共线的充要条件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1 。

证明一过点A作AG∥BC交DF的延长线于G，则AF/FB=AG/BD , CE/EA=DC/AG。

三式相乘得：(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=(AG/BD)×(BD/DC)×(DC/AG)=1证明二过点C作CP∥DF交AB于P，则BD/DC=FB/PF，CE/EA=PF/AF所以有AF/FB×BD/DC×CE/EA=AF/FB×FB/PF×PF/AF=1它的逆定理也成立：若有三点F、D、E分别在△ABC的边AB、BC、CA或其延长线上，且满足(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1，则F、D、E三点共线。

平面几何基础知识基本定理基本性质

平面几何基础知识（基本定理、基本性质）1．勾股定理（毕达哥拉斯定理）（广义勾股定理）(1)锐角对边的平方，等于其他两边之平方和，减去这两边中的一边和另一边在这边上的射影乘积的两倍． (2)钝角对边的平方等于其他两边的平方和，加上这两边中的一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍．2．射影定理（欧几里得定理）3．中线定理（巴布斯定理）设△ABC 的边BC 的中点为P ，则有)(22222BP AP AC AB +=+；中线长：222222a c b m a -+=． 4．垂线定理：2222BD BC AD AC CD AB -=-⇔⊥．高线长：C b B c A abc c p b p a p p a h a sin sin sin ))()((2===---=． 5．角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例．如△ABC 中，AD 平分∠BAC ，则ACAB DC BD =；（外角平分线定理）．角平分线长：2cos 2)(2A c b bc a p bcp c b t a +=-+=（其中p 为周长一半）． 6．正弦定理：R Cc B b A a 2sin sin sin ===，（其中R 为三角形外接圆半径）． 7．余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=．8．张角定理：ABDAC AC BAD AD BAC ∠+∠=∠sin sin sin ．9．斯特瓦尔特(Stewart )定理：设已知△ABC 及其底边上B 、C 两点间的一点D ，则有AB 2·DC +AC 2·BD －AD 2·BC ＝BC ·DC ·BD ．10．圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，等于圆心角的一半．（圆外角如何转化？）11．弦切角定理：弦切角等于夹弧所对的圆周角．12．圆幂定理：（相交弦定理：垂径定理：切割线定理（割线定理）：切线长定理：）13．布拉美古塔（Brahmagupta ）定理：在圆内接四边形ABCD 中，AC ⊥BD ，自对角线的交点P 向一边作垂线，其延长线必平分对边．14．点到圆的幂：设P 为⊙O 所在平面上任意一点，PO =d ，⊙O 的半径为r ，则d 2－r 2就是点P 对于⊙O 的幂．过P 任作一直线与⊙O 交于点A 、B ，则P A·PB = |d 2－r 2|．“到两圆等幂的点的轨迹是与此二圆的连心线垂直的一条直线，如果此二圆相交，则该轨迹是此二圆的公共弦所在直线”这个结论．这条直线称为两圆的“根轴”．三个圆两两的根轴如果不互相平行，则它们交于一点，这一点称为三圆的“根心”．三个圆的根心对于三个圆等幂．当三个圆两两相交时，三条公共弦(就是两两的根轴)所在直线交于一点．15．托勒密（Ptolemy ）定理：圆内接四边形对角线之积等于两组对边乘积之和，即AC ·BD =AB ·CD +AD ·BC ，(逆命题成立) ．（广义托勒密定理）AB ·CD +AD ·BC ≥AC ·BD ．16．蝴蝶定理：AB 是⊙O 的弦，M 是其中点，弦CD 、EF 经过点M ，CF 、DE 交AB 于P 、Q ，求证：MP =QM ．17．费马点：定理1等边三角形外接圆上一点，到该三角形较近两顶点距离之和等于到另一顶点的距离；不在等边三角形外接圆上的点，到该三角形两顶点距离之和大于到另一点的距离．定理2 三角形每一内角都小于120°时，在三角形内必存在一点，它对三条边所张的角都是120°，该点到三顶点距离和达到最小，称为“费马点”，当三角形有一内角不小于120°时，此角的顶点即为费马点．18．拿破仑三角形：在任意△ABC 的外侧，分别作等边△ABD 、△BCE 、△CAF ，则AE 、AB 、CD 三线共点，并且AE＝BF ＝CD ，这个命题称为拿破仑定理．以△ABC 的三条边分别向外作等边△ABD 、△BCE 、△CAF ，它们的外接圆⊙C 1 、⊙A 1 、⊙B 1的圆心构成的△——外拿破仑的三角形，⊙C 1 、⊙A 1 、⊙B 1三圆共点，外拿破仑三角形是一个等边三角形；△ABC 的三条边分别向△ABC 的内侧作等边△ABD 、△BCE 、△CAF ，它们的外接圆⊙C 2 、⊙A 2 、⊙B 2的圆心构成的△——内拿破仑三角形，⊙C 2 、⊙A 2 、⊙B 2三圆共点，内拿破仑三角形也是一个等边三角形．这两个拿破仑三角形还具有相同的中心．19．九点圆（Nine point round 或欧拉圆或费尔巴赫圆）：三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，九点圆具有许多有趣的性质,例如:（1）三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半;（2）九点圆的圆心在欧拉线上,且恰为垂心与外心连线的中点;（3）三角形的九点圆与三角形的内切圆,三个旁切圆均相切〔费尔巴哈定理〕．20．欧拉（Euler ）线：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线（欧拉线）上．21．欧拉（Euler ）公式：设三角形的外接圆半径为R ，内切圆半径为r ，外心与内心的距离为d ，则d 2=R 2－2Rr ．22．锐角三角形的外接圆半径与内切圆半径的和等于外心到各边距离的和．23．重心：三角形的三条中线交于一点，并且各中线被这个点分成2：1的两部分；)3,3(C B A C B A y y y x x x G ++++ 重心性质：（1）设G 为△ABC 的重心，连结AG 并延长交BC 于D ，则D 为BC 的中点，则1:2:=GD AG ；（2）设G 为△ABC 的重心，则ABC AC G BC G ABG S S S S ∆∆∆∆===31；（3）设G 为△ABC 的重心，过G 作DE ∥BC 交AB 于D ，交AC 于E ，过G 作PF ∥AC 交AB 于P ，交BC 于F ，过G 作HK ∥AB 交AC 于K ，交BC 于H ，则2;32=++===AB KH CA FP BC DE AB KH CA FP BC DE ；（4）设G 为△ABC 的重心，则①222222333GC AB GB CA GA BC+=+=+； ②)(31222222CA BC AB GC GB GA ++=++； ③22222223PG GC GB GA PC PB PA +++=++（P 为△ABC 内任意一点）；④到三角形三顶点距离的平方和最小的点是重心，即222GC GB GA ++最小； ⑤三角形内到三边距离之积最大的点是重心；反之亦然（即满足上述条件之一，则G 为△ABC 的重心）． 24．垂心：三角形的三条高线的交点；)cos cos cos cos cos cos ,cos cos cos cos cos cos (CB A yC c y B b y A a C B A x C c x B b x A a H C B A C B A ++++++++ 垂心性质：（1）三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍；（2）垂心H 关于△ABC 的三边的对称点，均在△ABC 的外接圆上；（3）△ABC 的垂心为H ，则△ABC ，△ABH ，△BCH ，△ACH 的外接圆是等圆；（4）设O ，H 分别为△ABC 的外心和垂心，则HCA BCO ABH CBO HAC BAO ∠=∠∠=∠∠=∠,,．25．内心：三角形的三条角分线的交点—内接圆圆心，即内心到三角形各边距离相等；),(cb a cy by ayc b a cx bx ax I C B A C B A ++++++++ 内心性质：（1）设I 为△ABC 的内心，则I 到△ABC 三边的距离相等，反之亦然；（2）设I 为△ABC 的内心，则C AIB B AIC A BIC∠+︒=∠∠+︒=∠∠+︒=∠2190,2190,2190；（3）三角形一内角平分线与其外接圆的交点到另两顶点的距离与到内心的距离相等；反之，若A ∠平分线交△ABC 外接圆于点K ，I 为线段AK 上的点且满足KI=KB ，则I 为△ABC 的内心；（4）设I 为△ABC 的内心，,,,c AB b AC a BC === A ∠平分线交BC 于D ，交△ABC 外接圆于点K ，则ac b KD IK KI AK ID AI +===；（5）设I 为△ABC 的内心，,,,c AB b AC a BC ===I 在AB AC BC ,,上的射影分别为F E D ,,，内切圆半径为r ，令)(21c b a p ++=，则①pr S ABC =∆；②c p CD CE b p BF BD a p AF AE -==-==-==;;；③CI BI AI p abcr ⋅⋅⋅=．26．外心：三角形的三条中垂线的交点——外接圆圆心，即外心到三角形各顶点距离相等； )2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin ,2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin (C B A Cy By Ay C B A Cx Bx Ax O C B A C B A ++++++++ 外心性质：（1）外心到三角形各顶点距离相等；（2）设O 为△ABC 的外心，则A BOC ∠=∠2或A BOC ∠-︒=∠2360；（3）∆=S abc R 4；（4）锐角三角形的外心到三边的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和． 27．旁心：一内角平分线与两外角平分线交点——旁切圆圆心；设△ABC 的三边,,,c AB b AC a BC ===令)(21c b a p ++=，分别与AB AC BC ,,外侧相切的旁切圆圆心记为C B A I I I ,,，其半径分别记为C B A r r r ,,．旁心性质：（1）,21,2190A C BI C BI A C BI C B A ∠=∠=∠∠-︒=∠（对于顶角B ，C 也有类似的式子）；（2）)(21C A I I I C B A ∠+∠=∠；（3）设A AI 的连线交△ABC 的外接圆于D ，则DC DB DI A ==（对于C B CI BI ,有同样的结论）；（4）△ABC 是△I A I B I C 的垂足三角形，且△I A I B I C 的外接圆半径'R 等于△ABC 的直径为2R ．28．三角形面积公式：C B A R R abc C ab ah S a ABC sin sin sin 24sin 21212====∆)cot cot (cot 4222C B A c b a ++++= ))()((c p b p a p p pr ---==，其中a h 表示BC 边上的高，R 为外接圆半径，r 为内切圆半径，)(21c b a p ++=． 29．三角形中内切圆，旁切圆和外接圆半径的相互关系：;2sin 2cos 2cos 4,2cos 2sin 2cos 4,2cos 2cos 2sin 4;2sin 2sin 2sin4C B A R r C B A R r C B A R r C B A R r c b a ==== .1111;2tan 2tan ,2tan 2tan ,2tan 2tan r r r r B A r r C A r r C B r r c b a c b a =++=== 30．梅涅劳斯（Menelaus ）定理：设△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别为P 、Q 、R 则有 1=⋅⋅RBAR QA CQ PC BP ．（逆定理也成立）31．梅涅劳斯定理的应用定理1：设△ABC的∠A的外角平分线交边CA于Q，∠C的平分线交边AB于R，∠B的平分线交边CA于Q，则P、Q、R三点共线．32．梅涅劳斯定理的应用定理2：过任意△ABC的三个顶点A、B、C作它的外接圆的切线，分别和BC、CA、AB的延长线交于点P、Q、R，则P、Q、R三点共线．33．塞瓦(Ceva)定理：设X、Y、Z分别为△ABC的边BC、CA、AB上的一点，则AX、BY、CZ所在直线交于一点的充要条件是AZZB·BXXC·CYYA=1．34．塞瓦定理的应用定理：设平行于△ABC的边BC的直线与两边AB、AC的交点分别是D、E，又设BE和CD交于S，则AS一定过边BC的中点M．35．塞瓦定理的逆定理：（略）36．塞瓦定理的逆定理的应用定理1：三角形的三条中线交于一点，三角形的三条高线交于一点，三角形的三条角分线交于一点．37．塞瓦定理的逆定理的应用定理2：设△ABC的内切圆和边BC、CA、AB分别相切于点R、S、T，则AR、BS、CT 交于一点．38．西摩松（Simson）定理：从△ABC的外接圆上任意一点P向三边BC、CA、AB或其延长线作垂线，设其垂足分别是D、E、R，则D、E、R共线，（这条直线叫西摩松线Simson line）．39．西摩松定理的逆定理：（略）40．关于西摩松线的定理1：△ABC的外接圆的两个端点P、Q关于该三角形的西摩松线互相垂直，其交点在九点圆上．41．关于西摩松线的定理2（安宁定理）：在一个圆周上有4点，以其中任三点作三角形，再作其余一点的关于该三角形的西摩松线，这些西摩松线交于一点．42．史坦纳定理：设△ABC的垂心为H，其外接圆的任意点P，这时关于△ABC的点P的西摩松线通过线段PH的中心．43．史坦纳定理的应用定理：△ABC的外接圆上的一点P的关于边BC、CA、AB的对称点和△ABC的垂心H同在一条（与西摩松线平行的）直线上．这条直线被叫做点P关于△ABC的镜象线．44．牛顿定理1：四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点和两条对角线的中点，三点共线．这条直线叫做这个四边形的牛顿线．45．牛顿定理2：圆外切四边形的两条对角线的中点，及该圆的圆心，三点共线．46．笛沙格定理1：平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们的对应顶点（A和D、B和E、C和F）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线．47．笛沙格定理2：相异平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们的对应顶点（A和D、B和E、C和F）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线．48．波朗杰、腾下定理：设△ABC的外接圆上的三点为P、Q、R，则P、Q、R关于△ABC交于一点的充要条件是：弧AP+弧BQ+弧CR=0(mod2 ) ．49．波朗杰、腾下定理推论1：设P、Q、R为△ABC的外接圆上的三点，若P、Q、R关于△ABC的西摩松线交于一点，则A、B、C三点关于△PQR的的西摩松线交于与前相同的一点．50．波朗杰、腾下定理推论2：在推论1中，三条西摩松线的交点是A、B、C、P、Q、R六点任取三点所作的三角形的垂心和其余三点所作的三角形的垂心的连线段的中点．51．波朗杰、腾下定理推论3：考查△ABC的外接圆上的一点P的关于△ABC的西摩松线，如设QR为垂直于这条西摩松线该外接圆的弦，则三点P、Q、R的关于△ABC的西摩松线交于一点．52．波朗杰、腾下定理推论4：从△ABC的顶点向边BC、CA、AB引垂线，设垂足分别是D、E、F，且设边BC、CA、AB的中点分别是L、M、N，则D、E、F、L、M、N六点在同一个圆上，这时L、M、N点关于关于△ABC的西摩松线交于一点．53．卡诺定理：通过△ABC 的外接圆的一点P ，引与△ABC 的三边BC 、CA 、AB 分别成同向的等角的直线PD 、PE 、PF ，与三边的交点分别是D 、E 、F ，则D 、E 、F 三点共线．54．奥倍尔定理：通过△ABC 的三个顶点引互相平行的三条直线，设它们与△ABC 的外接圆的交点分别是L 、M 、N ，在△ABC 的外接圆上取一点P ，则PL 、PM 、PN 与△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线的交点分别是D 、E 、F ，则D 、E 、F 三点共线．55．清宫定理：设P 、Q 为△ABC 的外接圆的异于A 、B 、C 的两点，P 点的关于三边BC 、CA 、AB 的对称点分别是U 、V 、W ，这时，QU 、QV 、QW 和边BC 、CA 、AB 或其延长线的交点分别是D 、E 、F ，则D 、E 、F 三点共线．56．他拿定理：设P 、Q 为关于△ABC 的外接圆的一对反点，点P 的关于三边BC 、CA 、AB 的对称点分别是U 、V 、W ，这时，如果QU 、QV 、QW 和边BC 、CA 、AB 或其延长线的交点分别是D 、E 、F ，则D 、E 、F 三点共线．（反点：P 、Q 分别为圆O 的半径OC 和其延长线的两点，如果OC 2=OQ ×OP 则称P 、Q 两点关于圆O 互为反点）57．朗古来定理：在同一圆周上有A 1、B 1、C 1、D 1四点，以其中任三点作三角形，在圆周取一点P ，作P 点的关于这4个三角形的西摩松线，再从P 向这4条西摩松线引垂线，则四个垂足在同一条直线上．58．从三角形各边的中点，向这条边所对的顶点处的外接圆的切线引垂线，这些垂线交于该三角形的九点圆的圆心．59．一个圆周上有n 个点，从其中任意n －1个点的重心，向该圆周的在其余一点处的切线所引的垂线都交于一点．60．康托尔定理1：一个圆周上有n 个点，从其中任意n －2个点的重心向余下两点的连线所引的垂线共点．61．康托尔定理2：一个圆周上有A 、B 、C 、D 四点及M 、N 两点，则M 和N 点关于四个三角形△BCD 、△CDA 、△DAB 、△ABC 中的每一个的两条西摩松线的交点在同一直线上．这条直线叫做M 、N 两点关于四边形ABCD 的康托尔线．62．康托尔定理3：一个圆周上有A 、B 、C 、D 四点及M 、N 、L 三点，则M 、N 两点的关于四边形ABCD 的康托尔线、L 、N 两点的关于四边形ABCD 的康托尔线、M 、L 两点的关于四边形ABCD 的康托尔线交于一点．这个点叫做M 、N 、L 三点关于四边形ABCD 的康托尔点．63．康托尔定理4：一个圆周上有A 、B 、C 、D 、E 五点及M 、N 、L 三点，则M 、N 、L 三点关于四边形BCDE 、CDEA 、DEAB 、EABC 中的每一个康托尔点在一条直线上．这条直线叫做M 、N 、L 三点关于五边形A 、B 、C 、D 、E 的康托尔线．64．费尔巴赫定理：三角形的九点圆与内切圆和旁切圆相切．65．莫利定理：将三角形的三个内角三等分，靠近某边的两条三分角线相得到一个交点，则这样的三个交点可以构成一个正三角形．这个三角形常被称作莫利正三角形．66．布利安松定理：连结外切于圆的六边形ABCDEF 相对的顶点A 和D 、B 和E 、C 和F ，则这三线共点．67．帕斯卡（Paskal ）定理：圆内接六边形ABCDEF 相对的边AB 和DE 、BC 和EF 、CD 和FA 的（或延长线的）交点共线．68．阿波罗尼斯（Apollonius ）定理：到两定点A 、B 的距离之比为定比m ：n （值不为1）的点P ，位于将线段AB 分成m ：n 的内分点C 和外分点D 为直径两端点的定圆周上．这个圆称为阿波罗尼斯圆．69．库立奇*大上定理：（圆内接四边形的九点圆）圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆．70．密格尔（Miquel ）点：若AE 、AF 、ED 、FB 四条直线相交于A 、B 、C 、D 、E 、F 六点，构成四个三角形，它们是△ABF 、△AED 、△BCE 、△DCF ，则这四个三角形的外接圆共点，这个点称为密格尔点．71．葛尔刚（Gergonne ）点：△ABC 的内切圆分别切边AB 、BC 、CA 于点D 、E 、F ，则AE 、BF 、CD 三线共点，这个点称为葛尔刚点．72．欧拉关于垂足三角形的面积公式：O 是三角形的外心，M 是三角形中的任意一点，过M 向三边作垂线，三个垂足形成的三角形的面积，其公式： 222AB C D 4||R d R S S EF -=∆∆．平面几何的意义就个人经验而言，我相信人的智力懵懂的大门获得开悟往往缘于一些不经意的偶然事件．罗素说过：“一个人越是研究几何学，就越能看出它们是多么值得赞赏．”我想罗素之所以这么说，是因为平面几何曾经救了他一命的缘故．天知道是什么缘故，这个养尊处优的贵族子弟鬼迷心窍，想要自杀来结束自己那份下层社会人家的孩子巴望一辈子都够不到的幸福生活．在上吊或者抹脖子之前，头戴假发的小子想到做最后一件事情，那就是了解一下平面几何到底有多大迷人的魅力．而这个魅力是之前他的哥哥向他吹嘘的．估计他的哥哥将平面几何与人生的意义搅和在一起向他做了推介，不然万念俱灰的的头脑怎么会在离开之前想到去做最后的光顾？而罗素真的一下被迷住了，厌世的念头因为沉湎于平面几何而被淡化，最后竟被遗忘了．罗素毕竟是罗素．平面几何对于我的意义只是发掘了一个成绩本来不错的中学生的潜力，为我解开了智力上的扭结；而在罗素那里，这门知识从一开始就使这个未来的伟大的怀疑论者显露了执拗的本性．他反对不加考察就接受平面几何的公理，在与哥哥的反复争论之后，只是他的哥哥使他确信不可能用其他的方法一步步由这样的公理来构建庞大的平面几何的体系的以后，他才同意接受这些公理．公元前334年，年轻的亚历山大从马其顿麾师东进，短短的时间就建立了一个从尼罗河到印度河的庞大帝国．随着他的征服，希腊文明传播到了东方，开始了一个新的文明时代即“希腊化时代”，这时希腊文明的中心也从希腊本土转移到了东方，准确地说，是从雅典转移到了埃及的亚历山大城．正是在这个城市，诞生了“希腊化时代”最为杰出的科学成就，其中就包括欧几里德的几何学．因为他的成就，平面几何也被叫作“欧氏几何”．“欧氏几何”以它无与伦比的完美体系一直被视为演绎知识的典范，哲学史家更愿意把它看作是古代希腊文化的结晶．它由人类理性不可辩驳的几个极其简单的“自明性公理”出发，通过严密的逻辑推理，演绎出一连串的定理，这些在结构上紧密依存的定理和作为基础的几个公理一起构筑了一个庞大的知识体系．世间事物的简洁之美无出其右．★费马点：法国著名数学家费尔马曾提出关于三角形的一个有趣问题：在三角形所在平面上，求一点，使该点到三角形三个顶点距离之和最小．人们称这个点为“费马点”．这是一个历史名题，近几年仍有不少文献对此介绍．★拿破仑三角形：读了这个题目，你一定觉得很奇怪．还有三角形用拿破仑这个名子来命名的呢！拿破仑与我们的几何图形三角形有什么关系？少年朋友知道拿破仑是法国著名的军事家、政治家、大革命的领导者、法兰西共和国的缔造者，但对他任过炮兵军官，对与射击、测量有关的几何等知识素有研究，却知道得就不多了吧！史料记载，拿破仑攻占意大利之后，把意大利图书馆中有价值的文献，包括欧几里德的名著《几何原本》都送回了巴黎，他还对法国数学家提出了“如何用圆规将圆周四等分”的问题，被法国数学家曼彻罗尼所解决．据说拿破仑在统治法国之前，曾与法国大数学家拉格朗日及拉普拉斯一起讨论过数学问题．拿破仑在数学上的真知灼见竟使他们惊服，以至于他们向拿破仑提出了这样一个要求：“将军，我们最后有个请求，你来给大家上一次几何课吧！”你大概不会想到拿破仑还是这样一位有相当造诣的数学爱好者吧！不少几何史上有名的题目还和拿破仑有着关联，他曾经研究过的三角形称为“拿破仑三角形”，而且还是一个很有趣的三角形．在任意△ABC的外侧，分别作等边△ABD、△BCE、△CAF，则AE、AB、CD三线共点，并且AE＝BF＝CD，如下图．这个命题称为拿破仑定理．以△ABC的三条边分别向外作等边△ABD、△BCE、△CAF，它们的外接圆⊙、⊙、⊙、的圆心构成的△——外拿破仑的三角形．⊙、⊙、⊙三圆共点，外拿破仑三角形是一个等边三角形，如下图．△ABC的三条边分别向△ABC的内侧作等边△ABD、△BCE、△CAF，它们的外接圆⊙、⊙、⊙的圆心构成的△——内拿破仑三角形⊙、⊙、⊙三圆共点，内拿破仑三角形也是一个等边三角形．如下图．由于外拿破仑三角形和内拿破仑三角形都是正三角形，这两个三角形还具有相同的中心．少年朋友，你是否惊讶拿破仑是一位军事家、政治家，同时还是一位受异书籍、热爱知识的数学家呢？拿破仑定理、拿破仑三角形及其性质是否更让你非常惊讶、有趣呢？★欧拉圆：三角形三边的中点,三高的垂足和三个欧拉点〔连结三角形各顶点与垂心所得三线段的中点〕九点共圆〔通常称这个圆为九点圆〔nine－point circle〕,或欧拉圆,费尔巴哈圆.九点圆是几何学史上的一个著名问题,最早提出九点圆的是英国的培亚敏.俾几〔Benjamin Beven〕,问题发表在1804年的一本英国杂志上.第一个完全证明此定理的是法国数学家彭赛列〔1788－1867〕.也有说是1820－1821年间由法国数学家热而工〔1771－1859〕与彭赛列首先发表的.一位高中教师费尔巴哈〔1800－1834〕也曾研究了九点圆,他的证明发表在1822年的《直边三角形的一些特殊点的性质》一文里,文中费尔巴哈还获得了九点圆的一些重要性质〔如下列的性质3〕,故有人称九点圆为费尔巴哈圆.九点圆具有许多有趣的性质,例如:1.三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半;2.九点圆的圆心在欧拉线上,且恰为垂心与外心连线的中点;3.三角形的九点圆与三角形的内切圆,三个旁切圆均相切〔费尔巴哈定理〕.。

2019精选教育关于平面几何的60条著名定理.doc

关于平面几何的60条著名定理一些平面几何的著名定理1、勾股定理（毕达哥拉斯定理）2、射影定理（欧几里得定理）3、三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成2：1的两部分4、四边形两边中心的连线的两条对角线中心的连线交于一点5、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。

6、三角形各边的垂直一平分线交于一点。

7、三角形的三条高线交于一点8、设三角形ABC的外心为O，垂心为H，从O向BC边引垂线，设垂足为L，则AH=2OL9、三角形的外心，垂心，重心在同一条直线（欧拉线）上。

10、（九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆）三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，11、欧拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线（欧拉线）上12、库立奇*大上定理：（圆内接四边形的九点圆）圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。

13、（内心）三角形的三条内角平分线交于一点，内切圆的半径公式：r=(s-a)(s-b)(s-c)s，s为三角形周长的一半14、（旁心）三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的外角平分线交于一点15、中线定理：（巴布斯定理）设三角形ABC的边BC的中点为P，则有AB2+AC2=2(AP2+BP2)16、斯图尔特定理：P将三角形ABC的边BC内分成m:n，则有n×AB2+m×AC2=(m+n)AP2+mnm+nBC217、波罗摩及多定理：圆内接四边形ABCD的对角线互相垂直时，连接AB中点M和对角线交点E的直线垂直于CD 18、阿波罗尼斯定理：到两定点A、B的距离之比为定比m:n （值不为1）的点P，位于将线段AB分成m:n的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周上19、托勒密定理：设四边形ABCD内接于圆，则有AB×CD+AD×BC=AC×BD20、以任意三角形ABC的边BC、CA、AB为底边，分别向外作底角都是30度的等腰△BDC、△CEA、△AFB，则△DEF是正三角形，21、爱尔可斯定理1：若△ABC和△DEF都是正三角形，则由线段AD、BE、CF的中心构成的三角形也是正三角形。

平面几何著名定理(含证明过程)

平面几何著名定理(含证明过程)嘿，朋友们！今天咱们来聊聊平面几何那些著名的定理，还有它们神奇的证明过程。

先来说说勾股定理吧。

这可是平面几何中的大明星！你看，一个直角三角形，两条直角边的平方和等于斜边的平方。

这就好比是搭积木，直角边就是那两块小积木，斜边就是拼起来的大积木，它们的面积关系那是稳稳当当的。

想象一下，要是没有勾股定理，我们怎么去测量那些高楼大厦的高度，怎么去规划那些规整的田地呢？再讲讲射影定理。

这定理就像是一把神奇的钥匙，能打开很多几何难题的大门。

它说的是在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影比例中项。

这是不是有点绕？其实不难理解，就好比灯光照在墙上，物体的影子长度和物体本身的长度有着固定的比例关系。

还有梅涅劳斯定理。

这个定理就像是一个神秘的密码，能帮我们解开很多线段比例的谜团。

如果一条直线与三角形的三边或其延长线交于一点，那么这条直线所截得的三条线段的长度比，相乘起来等于1 。

这是不是很奇妙？咱们来说说证明这些定理的过程。

那可真是一场思维的冒险！就像在迷宫里找出口，每一步都需要细心和智慧。

比如说证明勾股定理，有各种各样巧妙的方法。

有人用拼图的方法，把几个图形巧妙地组合在一起，一下子就证明出来了。

这难道不像是变魔术吗？证明射影定理的时候，那各种相似三角形的运用，角度的计算，就像是在编织一张精细的网，每一个细节都不能出错。

梅涅劳斯定理的证明过程更是充满了智慧的火花。

各种线段的比例关系，需要我们有一双敏锐的眼睛去发现，去推导。

朋友们，平面几何的世界是不是超级有趣？这些著名定理就像是一颗颗璀璨的星星，照亮了我们探索数学的道路。

它们不仅让我们看到了数学的美妙，还锻炼了我们的思维能力。

难道我们不应该好好珍惜这些宝贵的财富吗？总之，平面几何的著名定理和它们的证明过程是数学领域中无比珍贵的宝藏，值得我们深入学习和探索。

让我们一起在这个神奇的世界里畅游吧！。