平面几何四大定理

平面几何四大定理

平面几何四个重要定理

四个重要定理:

梅涅劳斯(Me ｎelau ｓ)定理（梅氏线）

△ＡBC 的三边ＢC 、CA 、AB 或其延长线上有点P 、Q 、R,则Ｐ、Q 、Ｒ共线的充要条件是 1RB AR

QA CQ PC BP =⋅⋅。

塞瓦（Ceva)定理(塞瓦点)

△ＡBC 的三边BC 、ＣA 、ＡB 上有点P 、Q 、R ，则AP 、BQ 、CR 共点的充要条件是

1RB

AR QA CQ PC BP =⋅⋅。

托勒密(Ｐto ｌｅｍy)定理

四边形的两对边乘积之和等于其对角线乘积的充要条件是该四边形内接于一圆。

西姆松(S ｉmso ｎ)定理(西姆松线）

该点落在三角形的外接圆上。

例题：

1． 设AD 是△A ＢＣ的边BC 上的中线，直线CF 交AD 于F 。求

证：FB

AF 2ED AE =

。 【分析】CEF 截△ＡBD →

1FA

BF

CB DC ED AE =⋅⋅(梅氏定理)

【评注】也可以添加辅助线证明：过A 、Ｂ、D 之一作CF 的平行

线。

2． 过△ABC 的重心G 的直线分别交AB 、AC 于E 、Ｆ，交CB 于

平面几何四大定理

D 。

求证:

1FA CF

EA BE =+。 【分析】连结并延长AG 交BC 于Ｍ，则Ｍ为BC 的中点。

ＤＥG 截△AB Ｍ→1DB MD

GM AG EA BE =⋅⋅(梅氏定理）

D ＧF 截△AC Ｍ→1DC

MD

GM AG FA CF =⋅⋅(梅氏定理)

∴FA CF EA BE +

=MD AG )DC DB (GM ⋅+⋅＝MD

GM 2MD 2GM ⋅⋅＝1 【评注】梅氏定理

3． D 、E 、F 分别在△ＡBC 的BC 、C Ａ、ＡB 边上,

λ===EA CE

FB AF DC BD ，A Ｄ、ＢE 、CF 交成△ＬMN 。 求S △LMN 。 【分析】

【评注】梅氏定理

4． 以△ＡBC 各边为底边向外作相似的等腰△B ＣE 、△CAF 、

△ABG 。求证：ＡE 、BF 、CG 相交于一点。 【分析】

【评注】塞瓦定理

5． 已知△ABC 中,∠B=2∠Ｃ。求证：ＡC 2=AB 2＋AB ·B Ｃ。

【分析】过A 作BC 的平行线交△ＡＢC 的外接圆于D ，连结BD 。则C Ｄ＝DA=A Ｂ，AC ＝BD 。

由托勒密定理，AC ·BD=A Ｄ·B Ｃ+ＣＤ·ＡB 。 【评注】托勒密定理

6． 已知正七边形A 1A 2Ａ３A 4A 5A 6A 7。 求证：

4

13121A A 1

A A 1A A 1+

=。（第21届全苏数学竞赛） 【分析】

【评注】托勒密定理

7． △ABC 的BC 边上的高AD 的延长线交外接圆于P,作ＰE ⊥

AB 于Ｅ，延长ED 交AC 延长线于F 。 求证:ＢＣ·E Ｆ=BF ·C Ｅ+ＢＥ·CF 。 【分析】

【评注】西姆松定理(西姆松线)

8． 正六边形AB ＣDEF 的对角线ＡC 、CE 分别被内分点M 、N

分成的比为ＡＭ:AC=CN ：CE=k,且B 、M 、N 共线。求k

(23-IMO-5) 【分析】

【评注】面积法

9． O 为△ＡBC 内一点,分别以d a 、d b 、d c 表示O 到ＢC 、CA 、

D

E

A 7

A 5

A A 5

AB 的距离,以R a 、R b 、R ｃ表示O 到Ａ、B 、C 的距离。 求证：(1)a·R a ≥b·d b ＋c·d c ;

(2) a·R a ≥c·d ｂ＋b·d c ； (3) Ｒa ＋R b +R c ≥2(d a +d b +d c )。

【分析】

【评注】面积法

10． △A ＢＣ中，Ｈ、G 、O 分别为垂心、重心、外心。 求证:Ｈ、G 、O 三点共线，且HG ＝２GO 。（欧拉线） 【分析】

【评注】同一法

11． △ＡBC 中，AB ＝A Ｃ，AD ⊥B Ｃ于D ，BM 、ＢN 三等分∠

AB Ｃ,与AD 相交于M 、Ｎ，延长ＣM 交AB 于E 。 求证：ＭＢ//ＮE 。 【分析】

【评注】对称变换 12． G 是△ABC 的重心，以A Ｇ为弦作圆切BG 于Ｇ，延

长C Ｇ交圆于D 。求证:AG 2

＝G Ｃ·GD 。

A

【分析】

【评注】平移变换

13． C 是直径AB=２的⊙O 上一点,P 在△ABC 内,若PA ＋

PB+PC 的最小值是7,求此时△AB Ｃ的面积S 。

【分析】

【评注】旋转变换

费马点:已知Ｏ是△ＡBC 内一点,∠AO Ｂ=∠BOC=∠C ＯA ＝12０°；P 是△ABC 内任一

【分析】将Ｃ−−−→−-)60,B (R 0C ＇，O −−−→−-)60,B (R 0Ｏ＇, P −−−→−-)60,B (R 0

P ＇，连结OO ＇、

PP'。则△Ｂ OO'、△B PP'都是正三角形。

∴O Ｏ'=OB,PP' ＝ＰB 。显然△BO'C ＇≌△ＢOC ，△BP'C'≌△ＢPC 。

由于∠ＢO ＇C'=∠ＢO Ｃ=120°=18０°－∠ＢＯ'O ，∴Ａ、O 、O'、C'四点共线。 ∴AP+PP'＋P'C'≥A Ｃ'=ＡO+O Ｏ'+O'C',即PA+PB+ＰC ≥OA+ＯB+OC 。

14.(９5全国竞赛) 菱形ABCD 的内切圆O 与各边分别交于E 、Ｆ、Ｇ、H,在弧ＥF 和弧GH 上分别作⊙Ｏ的切线交A Ｂ、ＢC 、ＣＤ、ＤA 分别于M 、N 、P 、Q 。 求证:ＭQ ／／ＮＰ。

【分析】由ＡB ∥CD 知：要证MQ ∥NP ，只需证∠AMQ=∠ＣP Ｎ，

结合∠A=∠C 知，只需证 △AMQ ∽△C ＰN

←CN

CP AQ AM =，AM ·CN=AQ ·CP 。 连结A Ｃ、BD ，其交点为内切圆心

O 。设ＭN 与⊙O 切于K ，连结OE 、O Ｍ、

OK 、O Ｎ、ＯF 。记∠AB Ｏ=φ，∠ＭＯＫ=α，∠ＫON=β，则 ∠EOM ＝α，∠FO Ｎ=β，∠EOF ＝２α+2β＝１8０°-2φ。 ∴∠BON ＝90°-∠NOF-∠ＣOF=90°-β-φ＝α

∴∠CN Ｏ=∠ＮB Ｏ+∠NOB=φ+α=∠ＡOE+∠M ＯE=∠AOM

又∠OCN=∠MA Ｏ，∴△ＯＣN ∽△ＭAO ，于是CN

AO

CO AM =

， ∴AM ·CN=ＡＯ·ＣＯ

同理，ＡＱ·CP=ＡＯ·CO 。 【评注】

15．(96全国竞赛)⊙O 1和⊙O 2与ΔA

都相切，E 、F 、Ｇ、H 为切点，EG 、F Ｈ的延长线交于P 求证：P Ａ⊥ＢＣ。 【分析】