【主要内容】介绍几种基本的插值方法(如Lagrange插值
python数据插值算法
python数据插值算法在Python中，有多种数据插值算法可以使用，以下是几种常见的数据插值算法：1. 线性插值（Linear Interpolation）：线性插值是最简单的插值方法，它假设数据点之间的变化是线性的。
线性插值算法根据已知的数据点，在两个数据点之间的位置上进行线性插值，求得插值点的数值。
可以使用NumPy库的interp函数实现线性插值。
2. 拉格朗日插值（Lagrange Interpolation）：拉格朗日插值是一种多项式插值方法，它假设数据点之间的变化可以用一个多项式函数来描述。
拉格朗日插值算法通过构造一个满足已知数据点的多项式函数，然后通过该多项式函数求得插值点的数值。
可以使用SciPy库的lagrange函数实现拉格朗日插值。
3. 样条插值（Spline Interpolation）：样条插值是一种光滑的插值方法，它假设数据点之间的变化可以用一组分段函数来描述。
样条插值算法将数据点之间的插值问题转化为一系列小区间上的插值问题，然后在每个小区间上构造一个光滑的插值函数，最后将这些插值函数拼接起来得到整个插值函数。
可以使用SciPy库的spline 函数实现样条插值。
4. K近邻插值（K-nearest Neighbor Interpolation）：K近邻插值是一种基于距离的插值方法，它假设数据点之间的变化可以通过最近的K个数据点来估计。
K近邻插值算法通过计算插值点与已知数据点之间的距离，然后选取最近的K个数据点，再根据这些数据点的数值进行插值。
可以使用SciPy库的NearestNDInterpolator函数实现K近邻插值。
以上是一些常见的数据插值算法，根据实际应用场景和数据特点，选择合适的插值算法进行数据插值操作。
数值计算方法 拉格朗日插值、分段插值 - 拉格朗日插值、分段插值
4!
(x x j ),
j0
[0.10, 0.30]
R3 (0.20)
e 24
(0.20
0.10)(0.20
0.15)(0.20
0.25)(0.20
0.30)
0.000001 e 106
插值多项式计算值 f (0.20) 0.818730 实际更精确的值为 f (0.20) 0.8187308 与上面讨论的余项表明6位的精度是相符的。
其截断误差为
R3( x)
M3 6
(x
x0 )( x
x1 )( x
x2 )
R2
其中 M3
(0.3367) sin 0.3367
max f ( x)
x0 x x2
1
L2(0.3367) 6
cos x0 0.828
(0.828)(0.0167)(0.033)(
0.0233)
0.178
10
用抛物插值计算sin 0.3367时，由公式（2.5）得
sin 0.3367
y0
(x ( x0
x1 )( x x2 ) x1 )( x0 x2 )
y1
(x ( x1
x0 x0
)( )(
x x2 ) x1 x2 )
y2
(x ( x2
x0 x0
)( )(
x x1 ) x2 x1 )
L2(0.3367) 30374
6
拉格朗日插值问题
课后练习
设函数 f (x) ex，已知下列数据点：
x0 y0
0.10 0.904837
,
x1 y1
0.15 ,
0.860708
x2 y2
插值法和拉格朗日插值法
算法：插值法和拉格朗日插值法 拉格朗日生平约瑟夫·拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange，1736~1813）全名为约瑟夫·路易斯·拉格朗日，法国著名数学家、物理学家。
1736年1月25日生于意大利都灵，1813年4月10日卒于巴黎。
他在数学、力学和天文学三个学科领域中都有历史性的贡献，其中尤以数学方面的成就最为突出。
拉格朗日父亲是法国陆军骑兵里的一名军官，后由于经商破产，家道中落。
据拉格朗日本人回忆，如果幼年时家境富裕，他也就不会作数学研究了，因为父亲一心想把他培养成为一名律师。
拉格朗日个人却对法律毫无兴趣。
拉格朗日科学研究所涉及的领域极其广泛。
他在数学上最突出的贡献是使数学分析与几何与力学脱离开来，使数学的独立性更为清楚，从此数学不再仅仅是其他学科的工具。
拉格朗日总结了18世纪的数学成果，同时又为19世纪的数学研究开辟了道路，堪称法国最杰出的数学大师。
同时，他的关于月球运动（三体问题）、行星运动、轨道计算、两个不动中心问题、流体力学等方面的成果，在使天文学力学化、力学分析化上，也起到了历史性的作用，促进了力学和天体力学的进一步发展，成为这些领域的开创性或奠基性研究。
在柏林工作的前十年，拉格朗日把大量时间花在代数方程和超越方程的解法上，作出了有价值的贡献，推动一代数学的发展。
他提交给柏林科学院两篇著名的论文：《关于解数值方程》和《关于方程的代数解法的研究》。
把前人解三、四次代数方程的各种解法，总结为一套标准方法，即把方程化为低一次的方程（称辅助方程或预解式）以求解。
拉格朗日也是分析力学的创立者。
拉格朗日在其名著《分析力学》中，在总结历史上各种力学基本原理的基础上，发展达朗贝尔、欧拉等人研究成果，引入了势和等势面的概念，进一步把数学分析应用于质点和刚体力学，提出了运用于静力学和动力学的普遍方程，引进广义坐标的概念，建立了拉格朗日方程，把力学体系的运动方程从以力为基本概念的牛顿形式，改变为以能量为基本概念的分析力学形式，奠定了分析力学的基础，为把力学理论推广应用到物理学其他领域开辟了道路。
(完整版)几种插值法比较与应用
多种插值法比较与应用（一）Lagrange 插值 1． Lagrange 插值基函数 n+1个n 次多项式∏≠=--=nkj j j kjk x xx x x l 0)( n k ,,1,0 =称为Lagrange 插值基函数 2． Lagrange 插值多项式设给定n+1个互异点))(,(k k x f x ，n k ,,1,0 =，j i x x ≠，j i ≠，满足插值条件)()(k k n x f x L =，n k ,,1,0 =的n 次多项式∏∏∏=≠==--==nk nkj j jk j k k nk k n x x x x x f x l x f x L 000))(()()()(为Lagrange 插值多项式，称∏=+-+=-=nj j x n n x x n f x L x f x E 0)1()()!1()()()()(ξ 为插值余项，其中),()(b a x x ∈=ξξ （二）Newton 插值 1．差商的定义 )(x f 关于i x 的零阶差商)(][i i x f x f = )(x f 关于i x ，j x 的一阶差商ij i j j i x x x f x f x x f --=][][],[依次类推，)(x f 关于i x ，1+i x ，……，k i x +的k 阶差商ik i k i i k i i k i i i x x x x f x x f x x x f --=+-+++++],,[],,[],,,[1112． Newton 插值多项式设给定的n+1个互异点))(,(k k x f x ，n k ,,1,0 =，j i x x ≠，j i ≠， 称满足条件)()(k k n x f x N =，n k ,,1,0 =的n 次多项式)()](,,,[)](,[][)(10100100---++-+=n n n x x x x x x x f x x x x f x f x N为Newton 插值多项式，称],[,)(],,,[)()()(010b a x x x x x x f x N x f x E nj j n n ∈-=-=∏=为插值余项。
几种插值法简介[整理版]
![几种插值法简介[整理版]](https://img.taocdn.com/s3/m/4e1c5f93ed3a87c24028915f804d2b160b4e8679.png)
举例来看：可以认为某水文要素T随时间t的变化是连续的，某一个测点的水文要素T可以看作时间的函数T=f(t)，这样在实际水文观测中，对测得的（n+1）个有序值进行插值计算来获取任意时间上的要素值。
①平均值法：若求Ti 和Ti+1之间任一点T，则直接取T为Ti和Ti+1的平均值。
插值公式为：T=Ti+Ti+1 2②拉格朗日（Lagrange）插值法：若求Ti 和Ti+1之间任一点T，则可用T i-1、T1、T i+1三个点来求得，也可用T i、T i+1、T i+2这三个点来求得。
前三点内插公式为：T=(t-t i)(t-t i+1)(t i-1-t i)(t i-1-t i+1)T i-1+(t-t i-1)(t-t i+1)(t-t i-1)(t-t i+1)T i+(t-t i)(t-t i-1)(t i+1-t i)(t i+1-t i-1)T i+1后三点内插公式为：T=(t-t i+1)(t-t i+2)(t i-t i+1)(t i-t i+2)T i+(t-t i)(t-t i+2)(ti-t i)(t i-t i+2)T i+1+(t-t i)(t-t i+1)(t i+2-t i)(t i+2-t i+1)T i+2为提高插值结果可靠性，可将前后3点内插值再进一步平均。
③阿基玛（Akima）插值法：对函数T=f(t)的n+1个有序型值中任意两点T i和T i+1满足：f(t i)=T i dfdt|t-ti=k i f’(t i+1)=T’idfdt|t-ti+1=k i+1式中k i，k i+1为曲线f(t)在这两点的斜率，而每点的斜率和周围4个点有关，插值公式为：T=P0+P1(t-t i)+P2(t-t i)2+P3(t-t i)3，来对T i和T i+1之间的一点T进行内差。
④牛顿（Newton）插值法：若求Ti 和Ti+1之间任一点T，插值公式为：T=f(x0)+(x-x0)f(x0,x1)+ (x-x0)(x-x1)f(x0,x1,x2)+…+(x-x0)(x-x1)…(x-x n-2)f(x0,x1,…,x n-1)式中，f(x0,x1)，f(x0,x1,x2)，…f(x0,x1,…,x n-1)是函数f(x)的1到第n-1阶差商。
拉格朗日插值法知识讲解
拉格朗日插值法5.2 拉格朗日（Lagrange）插值可对插值函数选择多种不同的函数类型，由于代数多项式具有简单和一些良好的特性，例如，多项式是无穷光滑的，容易计算它的导数和积分，故常选用代数多项式作为插值函数。
5.2.1 线性插值问题5.1给定两个插值点其中，怎样做通过这两点的一次插值函数？过两点作一条直线，这条直线就是通过这两点的一次多项式插值函数，简称线性插值。
如图5.1所示。
图5.1 线性插值函数在初等数学中，可用两点式、点斜式或截距式构造通过两点的一条直线。
下面先用待定系数法构造插值直线。
设直线方程为，将分别代入直线方程得：当时，因，所以方程组有解，而且解是唯一的。
这也表明，平面上两个点，有且仅有一条直线通过。
用待定系数法构造插值多项式的方法简单直观，容易看到解的存在性和惟一性，但要解一个方程组才能得到插值函数的系数，因工作量较大和不便向高阶推广，故这种构造方法通常不宜采用。
当时，若用两点式表示这条直线，则有：（5.1）这种形式称为拉格朗日插值多项式。
，，称为插值基函数，计算，的值，易见（5.2）在拉格朗日插值多项式中可将看做两条直线，的叠加，并可看到两个插值点的作用和地位都是平等的。
拉格朗日插值多项式型式免除了解方程组的计算，易于向高次插值多项式型式推广。
线性插值误差定理5.1记为以为插值点的插值函数，。
这里，设一阶连续可导，在上存在，则对任意给定的，至少存在一点，使（5.3）证明令，因是的根，所以可设对任何一个固定的点，引进辅助函数：则。
由定义可得，这样至少有3个零点，不失一般性，假定，分别在和上应用洛尔定理，可知在每个区间至少存在一个零点，不妨记为和，即和，对在上应用洛尔定理，得到在上至少有一个零点，。
现在对求二次导数，其中的线性函数)，故有代入，得所以即5.2.2 二次插值问题5.2给定三个插值点，,其中互不相等，怎样构造函数的二次的（抛物线）插值多项式？平面上的三个点能确定一条次曲线，如图5.2所示。
Matlab插值方法学习Hermite,lagrange,Newton
大家都知道插值在数学建模中很重要，现在介绍几种常用插值下面介绍几种基本的、常用的插值：拉格朗日多项式插值、牛顿插值、分段线性插值、Hermite插值和三次样条插值。
1.拉格朗日多项式插值拉格朗日插值就是给定n个数，让你用不超过n-1次的多项式你逼近它，当然这n个点要能满足多项式。
这是一种最基本的思想，计算很简单，先计算n个基函数，基函数可以自己上网搜一下，因为这里打出公式有点麻烦。
然后就是把每个点的y值乘以他的基函数，把这n个式子相加，最后化简就ok了。
下面我把代码写出来，我这些代码全是自己写的，注释比较详细，这里只以lagrange为例，其余都放在附件里了。
%定义myLagrange函数，参数为向量x，y，由用户调用该函数时输入function L=myLagrange (x,y)%n 插值结点的个数n=length(x);%L myLagrange函数计算的多项式系数行列式L=zeros(1,n);%%使用双重for循环，第一个for循环是fori=1:n%aa=1;%ww=1;%for循环for j=1:n%如果i不等于jif j~=i%累加法计算aa=a*(x(i)-x(j));%用向量乘法函数conv计算ww=conv(w,[1,-x(j)]);%if语句结束符end%第二个for循环结束符end%递归法计算L，其中y(i)/a*w表示第i个元素L=y(i)/a*w+L;%第一个for结束符end没错，就这么几句代码，所以很简单的。
2.牛顿插值牛顿插值其实是为了解决拉格朗日插值不能增加新的点来说的。
拉格朗日插值只能接受给定的那么多点，了然后插值。
如果你想再加一个点，它会重新开始计算，这个很费时间和内存。
因此牛顿插值就诞生了。
了解牛顿插值前要学习下差商和差分两个简单的概念。
Newton 插值的优点是：每增加一个节点，插值多项式只增加一项，即因而便于递推运算。
而且Newton 插值的计算量小于Lagrange 插值。
Lagrange插值
10
线性插值函数
f(x)
(x0 ，y0) (x1，y1) ，
P1(x)
x0
x1
可见
是过
和
两点的直线。 两点的直线。
11
抛物插值函数
p2(x) ≈ f(x)
f(x)
x0
x1
x2
因过三点的二次曲线为抛物线，故称为抛物插值。 因过三点的二次曲线为抛物线，故称为抛物插值。
12
N次插值函数
b]上对给定 1个不同结点 个不同结点： 设连续函数 y = f ( x ) 在[a, b]上对给定n + 1个不同结点： 分别取函数值 其中 试构造一个次数不超过n的插值多项式
n n
27
N次插值多项式7 次插值多项式7
n 设节点 a ≤ x0 < x1 < < xn ≤ b ，且 f 满足条件 f ∈C [a, b] ,
内存在, 内存在 f ( n + 1 )在[a , b]内存在 考察截断误差
Rn (x) = f (x) Ln (x)
罗尔定理 : 若 ( x ) 在［x0 ,
线性插值基函数 l0 ( x), l1 ( x) 满足下述条件
xi
l0 ( x) l1 ( x)
x0
1 0
x1
0 1
并且他们都是一次函数。 并且他们都是一次函数。 注意他们的特点对下面的推广很重要
18
一次Lagrange插值多项式(6) 一次Lagrange插值多项式(6)
我们称 l0 ( x ) 为点 x0 的一次插值基函数，( x ) 为点 的一次插值基函数， l1
P ( x) = a0 + a1x + a2 x2 ++ an xn n
拉格朗日(Lagrange)插值
p2(7) =
(1–4)(1–9)
*1 + (4–1)(4–9)
*2
(7–1)(7–4)
+ (9–1)(9–4) * 3
= 2.7
例5.4 已知函数y=f(x)在节点上满足
x x0 x1 x2
y y0 y1 y2
求二次多项式 p(x) = a0 + a1x + a2x2
使之满足 p(xi) = yi
li (x的) 插值
lk (x0 ) 0,,lk (xk1) 0,lk (xk ) 1,lk (xk1 ) 0,,lk (xn ) 0
即
lk
(xi )
ki
1 0
(i k) (i k)
由条件 lk (xi ) 0 ( i k)知, x0 , x1,, xk1, xk1,, xn
都是n次 lk (x) 的零点,故可设
l0 (x)
再由另一条件 l0 (x0
c(x
) 1
x1 )( x x2
确定系数
)
c
(x0
1 x1)( x0
x2
)
从而导出
l0 (x)
(x (x0
x1)( x x2 ) x1 )( x0 x2 )
类似地可以构造出满足条件： l1(x1) 1, l1(x0 ) 0,
的插值多项式
l1 ( x)
lk (x)
j0 jk
n
x xj
n
(xk x j )
j0 xk x j
jk
j0 jk
称 lk (x) 为关于基点 xi 的n次插值基函数(i=0,1,…,n)
以n+1个n次基本插值多项式 lk (x)(k 0,1,, n) 为基础,就能直接写出满足插值条件
曲线插值方法
曲线插值方法
曲线插值是指通过给定的一组离散的数据点，找到一条光滑的曲线来逼近这些点的过程。
常见的曲线插值方法包括：
1. 线性插值（Linear Interpolation）：通过两个相邻的数据点之间的直线来逼近其他点。
这种方法简单，但是不能很好地逼近复杂的曲线。
2. 拉格朗日插值（Lagrange Interpolation）：通过多项式来逼近数据点，具体地，通过构建一个经过所有数据点的多项式来逼近。
这种方法可以精确地逼近所有数据点，但是当数据点很多时，多项式的阶数会相应增加，计算复杂度较高。
3. 牛顿插值（Newton Interpolation）：与拉格朗日插值类似，牛顿插值也通过多项式来逼近数据点，但是通过不断增加多项式的阶数来逼近数据点，而不是重新构建一个多项式。
这样可以避免重复计算，提高计算效率。
4. 三次样条插值（Cubic Spline Interpolation）：将插值区间划分为多个小段，每个小段内部使用三次多项式来逼近，保证相邻多项式之间的一阶、二阶导数连续，从而得到一条光滑的曲线。
除了上述方法，还有其他一些特定的插值方法，如Hermite插值、Bezier曲线等，它们适用于不同的插值问题和数据特征。
在实际应用中，常常根据具体问题选择合适的曲线插值方法。
插值法(lagrange插值,牛顿插值)概要
对n=1及n=2时的情况前面已经讨论，用类
似的推导方法，可得到n次插值基函数为：
( x x0 )(x x1 ) ( x xk 1 )(x xk 1 ) ( x xn ) lk ( x ) ( xk x0 )(xk x1 ) ( xk xk 1 )(xk xk 1 ) ( xk xn )
拉格朗日（ Lagrange ）插值公式 ( 以下统称 • 此插值问题可表述为如下： n 多项式 Lagrange 插值公式 ) 的基本思想是，把 Ln ( x) ，使满足条件 • 为 问题 求作次数 Ln xi yi , (i 0,1,, n) pn(x) 的构造问题转化为 n+1 个插值基函数
且满足
Pn ( xi ) yi
i 0,1,2 ,, n
其中 a i为实数，就称P(x)为插值多项式，相应的插值法 称为多项式插值；若P(x)为分段的多项式，就称为分段 插值；若P(x)为三角多项式，就称为三角插值。
本章只讨论多项式插值与分段插值
2018/10/23 10
§ 2.2
拉格朗日插值
本章主要介绍有关插值法的一些基本概念， 及多项式插值的基础理论和几个常用的插 值方法：拉格朗日插值、分段线性插值、 牛顿插值、埃尔米特插值和三次样条插值.
2018/10/23
3
§ 2.1 引言
一、插值问题
对函数f ( x),其函数形式可能很复杂 , 且不利于在计算机上
运算, 假如可以通过实验或测 量, 可以获得f ( x)在区间 [ a , b] 上的一组n 1个不同的点
--------(2) --------(3)
7
且满足
2018/10/23
插值方法介绍
1 ( n +1) Rn ( x) = f ( x) − Pn ( x) = f (ξ ) Ω( x) (n + 1)!
a<ξ<b 且依赖于 ξ 且依赖于x
n
（2-8） ）
i =0
其中
Ω( x) = ( x − x0 )(x − x1 )L( x − xn ) = ∏( x − xi ), ξ ∈ (a, b)
n = k 时有 P[x, x0 , x1 , L , xn ] = 1
P(x)是n次多项式，则P [x, x0 ]是 n-1次多项式 是 次多项式 次多项式， 次多项式, 是 次多项式 P [x, x0, x1 ]是 n-2 次多项式 依此类推 次多项式, 是 … …， ， 是零次多项式， P [x, x0, x1 , …, xn-1 ] 是零次多项式，
2.4 .1 差商
自变量之差和因变量之差之比叫差商 自变量之差和因变量之差之比叫差商 函数y= 在区间[x 定义 函数 f(x)在区间 0 ,x1]上的平均变化率 在区间 上的平均变化率
f [ x 0 , x1 ] =
f ( x 0 ) − f ( x1 ) x 0 − x1
称为f (x)关于 i , xi+1 的一阶差商 并记为 [x0 ,x1] 关于x 一阶差商,并记为 并记为f 称为 关于 二阶差商
对于线性插值， 对于线性插值，其误差为 线性插值
1 R1(x) = f (x) − P(x) = f ′′(ξ)(x − x0 )(x − x1) 1 2
对于抛物插值（二次插值），其误差为 对于抛物插值（二次插值） 抛物插值
ξ ∈(a, b)
1 R2 (x) = f (x) − P (x) = f ′′′(ξ )(x − x0 )(x − x1) (x − x2 ) ξ ∈(a, b) 2 6
数值分析中常用的插值方法
数值分析中常用的插值方法在数值计算中，许多问题都可以用插值方法来近似求解，比如曲线拟合、函数逼近和图像重建等。
插值方法是指在已知数据点的情况下，通过一些数值计算技巧，在每个数据点处构造一个多项式函数，使得该函数在每个数据点处都能通过数据点。
在数据点之间计算函数值时，就可以使用这个多项式函数进行估算。
接下来，我们就来详细介绍一些常见的插值方法。
一、拉格朗日插值法拉格朗日插值法是一个经典的插值方法，它的思想是通过给定的数据点，构造一个经过这些点的多项式函数进行逼近。
具体来讲，拉格朗日插值法会首先构造一个基函数，该函数满足只在其对应的数据点处等于1，其余的数据点处等于0。
然后，根据基函数和数据点，构造一个多项式函数，使得该函数在每个数据点处都能通过数据点。
最终得到的多项式函数就是插值函数。
优点：简单易懂，使用较为广泛。
缺点：多项式次数较高时造成的误差会较大，且在数据点密集的区域可以出现龙格现象，使得插值函数在某些区间内呈现大幅度振荡。
二、牛顿插值法牛顿插值法是一种递推式的插值方法，它通过利用已知的数据点和前面已经计算出来的差商，得到一个逐步逼近的插值函数。
具体来讲，牛顿插值法会先将已知的数据点连成一条曲线，然后逐个向这条曲线添加新的数据点，每次添加一个新的数据点后，将差商计算出来并加入到之前的差商序列中，最终得到一个多项式函数，它在每个数据点处都能通过数据点。
牛顿插值法的优缺点与拉格朗日插值法相似，但是由于牛顿插值法是递推式的，可以方便的添加新的数据点，因此在数据点多变的情况下，牛顿插值法具有很大的优势。
三、分段插值法分段插值法是一种将插值区间划分为多个子区间的插值方法，在每个子区间内使用插值方法进行插值，然后将所有子区间内的插值函数拼接起来，得到最终的插值函数。
分段插值法主要分为两种：线性分段插值和三次样条插值。
1.线性分段插值线性分段插值的思路很简单，即在每个数据点处构造两条直线，在数据点之间的区间内使用一条直线作为插值函数。
工程常用算法04插值方法
工程常用算法04插值方法插值是指根据已知的数据点，通过一定的方法来估计数据点之间的未知数据点的数值。
在工程领域，插值方法常用于数据处理、图像处理、信号处理、计算机图形学等方面。
下面介绍一些常用的插值方法。
1.线性插值法：线性插值法是最简单的插值方法之一，它假设两个相邻数据点之间的数值变化是线性的。
线性插值法的计算公式为：y=y1+(x-x1)*(y2-y1)/(x2-x1)其中，y1和y2为已知数据点的数值，x1和x2为已知数据点的横坐标，x为待估计数据点的横坐标，y为待估计数据点的纵坐标。
2.拉格朗日插值法：拉格朗日插值法是一种常用的插值方法，它通过一个多项式来逼近已知数据点的取值。
拉格朗日插值法的计算公式为：L(x) = Σ(yi * li(x))其中，yi为已知数据点的数值，li(x)为拉格朗日插值基函数，计算公式为：li(x) = Π((x - xj) / (xi - xj))，其中i ≠ j拉格朗日插值法的优点是简单易实现，但在数据点较多时计算量较大。
3.牛顿插值法：牛顿插值法是一种递推的插值方法，通过不断增加新的数据点来逼近已有的数据点。
牛顿插值法的计算公式为：P(x) = f[x0] + f[x0, x1](x - x0) + f[x0, x1, x2](x - x0)(x - x1) + ⋯ + f[x0, x1, ⋯, xn](x - x0)⋯(x - xn)其中，f[x0]为已知数据点的数值，f[x0,x1]为已知数据点间的差商，计算公式为：f[x0,x1]=(f[x1]-f[x0])/(x1-x0)牛顿插值法的优点是计算效率高，但在增加新的数据点时需要重新计算差商。
4.样条插值法：样条插值法是一种光滑的插值方法，通过拟合一个或多个插值函数来逼近已有的数据点。
S(x) = Si(x)，其中xi ≤ x ≤ xi+1Si(x) = ai + bi(x - xi) + ci(x - xi)2 + di(x - xi)3样条插值法的优点是插值函数的曲线平滑，可以更好地逼近原始数据，但需要寻找合适的节点和插值函数。
数值分析中的插值方法
数值分析中的插值方法在数值分析中，插值是一种通过在已知数据点之间估计未知数据点的方法。
它是一种常见的数据处理技术，用于填补数据间的空白，揭示数据间的关联性，或者建立数据模型。
在本文中，我们将讨论数值分析中的几种常见的插值方法。
一、拉格朗日插值拉格朗日插值是一种基于多项式的插值方法。
假设有n个离散数据点，我们想要在这些点之间插值得到未知数据点的值。
拉格朗日插值可以通过构建一个n次多项式来实现。
例如，给定三个数据点(x0, y0)，(x1, y1)，(x2, y2)，我们可以假定插值多项式为：P(x) = y0 * L0(x) + y1 * L1(x) + y2 * L2(x)其中，L0(x)，L1(x)，L2(x)是拉格朗日插值多项式的基函数，由以下公式得到：L0(x) = (x - x1) * (x - x2) / ((x0 - x1) * (x0 - x2))L1(x) = (x - x0) * (x - x2) / ((x1 - x0) * (x1 - x2))L2(x) = (x - x0) * (x - x1) / ((x2 - x0) * (x2 - x1))利用这些基函数，我们可以得到插值多项式P(x)，从而计算出未知点的值。
二、牛顿插值牛顿插值是另一种常见的插值方法，也是基于多项式的。
与拉格朗日插值不同的是，牛顿插值使用了差商的概念来构建插值多项式。
差商是一种表示数据间差异的指标，它可以用于计算插值多项式的系数。
对于n个数据点，差商可以由以下递归公式计算得到：f[x0] = f(x0)f[x0, x1] = (f[x1] - f[x0]) / (x1 - x0)f[x0, x1, ..., xn] = (f[x1, x2, ..., xn] - f[x0, x1, ..., xn-1]) / (xn - x0)基于差商，我们可以得到牛顿插值多项式的表达式：P(x) = f[x0] + f[x0, x1] * (x - x0) + f[x0, x1, x2] * (x - x0) * (x - x1) + ...利用牛顿插值，我们可以通过已知数据点构建插值多项式，进而估计未知点的值。
曲面插值算法
曲面插值算法
曲面插值算法（surface interpolation algorithm）是指根据给定的一组离散点数据，通过某种数学方法来拟合出一个连续的曲面模型的算法。
常用的曲面插值算法有以下几种：1. 三次样条插值算法（Cubic spline interpolation）：该算法基于三次多项式形式的曲线来实现曲面的插值。
它通过满足一些额外的条件（如节点间的光滑要求）来获得平滑的插值曲线。
2. Lagrange插值算法：该算法使用Lagrange插值多项式来拟合曲面。
Lagrange插值多项式是通过使用给定数据点上的拉格朗日插值基函数的线性组合来定义的。
3. 三角网格插值算法（Triangulated surface interpolation）：该算法使用一组三角形来构建曲面模型。
它通常通过将给定的离散点数据连接起来形成一个三角网格，并在每个三角形中使用线性插值来计算曲面上的其他点。
4. 回归分析算法（Regression analysis）：该算法使用回归分析方法来建立一个曲面模型。
它通过拟合某种确定性回归方程，使曲面与给定的离散点数据最符合。
这些算法在实际应用中都有各自的优缺点，并且适用于不同类型的曲面插值问题。
在选择曲面插值算法时需要根据实际问题的特点和要求，综合考虑各种因素来进行选择。
插值函数构造
插值函数构造插值函数是一种数学函数，它可以通过已知的一些数据点来构造出一个函数，使得这个函数在这些数据点上的取值与已知数据点的取值相同。
插值函数在数学、物理、工程等领域中都有广泛的应用，例如在数值计算中，插值函数可以用来近似计算某些函数的值；在图像处理中，插值函数可以用来对图像进行放缩、旋转等操作。
插值函数的构造方法有很多种，其中比较常用的有拉格朗日插值法、牛顿插值法、分段线性插值法等。
下面我们将分别介绍这些方法的原理和应用。
1. 拉格朗日插值法拉格朗日插值法是一种基于拉格朗日多项式的插值方法。
它的基本思想是，通过已知的n个数据点(x1,y1),(x2,y2),...,(xn,yn)，构造一个n次多项式P(x)，使得P(xi)=yi(i=1,2,...,n)。
具体地，P(x)可以表示为：P(x)=Σ(yi*li(x))其中，li(x)是拉格朗日基函数，它的表达式为：li(x)=Π((x-xj)/(xi-xj))(i≠j)通过这个公式，我们可以得到一个n次多项式P(x)，使得P(xi)=yi(i=1,2,...,n)。
这个多项式就是拉格朗日插值函数。
拉格朗日插值法的优点是简单易懂，计算量小，但是当数据点数量较多时，多项式的次数会很高，导致插值函数的精度下降。
2. 牛顿插值法牛顿插值法是一种基于差商的插值方法。
它的基本思想是，通过已知的n个数据点(x1,y1),(x2,y2),...,(xn,yn)，构造一个n次多项式P(x)，使得P(xi)=yi(i=1,2,...,n)。
具体地，P(x)可以表示为：P(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...+f[x0,x1,...,xn](x-x0)(x-x1)...(x-xn-1)其中，f[xi]表示xi对应的函数值，f[xi,xj]表示xi和xj对应的函数值的差商，f[xi,xj,xk]表示xi、xj和xk对应的函数值的三阶差商，以此类推。
常见的插值方法及其原理
常见的插值方法及其原理插值是指在已知数据点的情况下，根据其中一种规则或算法，在这些数据点之间进行预测或估计。
常见的插值方法有：拉格朗日插值、牛顿插值、分段线性插值、样条插值和Kriging插值等。
1.拉格朗日插值方法：拉格朗日插值是一种基于多项式的插值方法。
它假设已知数据点的函数曲线可以由一个多项式来表示。
拉格朗日插值的原理是，通过确定多项式的系数，使多项式在已知数据点上满足给定的函数值。
具体地说，对于给定的一组已知数据点和对应的函数值，拉格朗日插值方法通过构造一个多项式，使得该多项式在每个数据点上的函数值等于给定的函数值。
然后，通过该多项式在插值点上的函数值来估计未知数据点的函数值。
2.牛顿插值方法：牛顿插值也是一种基于多项式的插值方法，其原理类似于拉格朗日插值。
它也是通过确定多项式的系数，使多项式在已知数据点上满足给定的函数值。
不同的是，牛顿插值使用了差商的概念，将插值多项式表示为一个累次求和的形式。
具体地说，对于给定的一组已知数据点和对应的函数值，牛顿插值方法通过差商的计算，得到一个多项式表达式。
然后，通过该多项式在插值点上的函数值来估计未知数据点的函数值。
3.分段线性插值方法：分段线性插值是一种简单而常用的插值方法。
它假设在两个相邻已知数据点之间的曲线是一条直线。
分段线性插值的原理是，通过连接相邻数据点之间的线段，构造一个连续的曲线。
具体地说，对于给定的一组已知数据点和对应的函数值，分段线性插值方法将曲线划分为若干小段，每一小段都是一条直线。
然后，在每个数据点之间的区域上，通过线性插值来估计未知数据点的函数值。
4.样条插值方法：样条插值是一种基于插值条件和光滑条件的插值方法。
它假设在两个相邻已知数据点之间的曲线是一个低次数的多项式。
样条插值的原理是，通过确定各个数据点之间的插值多项式系数，使得整个曲线在插值点上的各阶导数连续。
具体地说，对于给定的一组已知数据点和对应的函数值，样条插值方法将曲线划分为若干小段，每一小段都是一个低次数的多项式。
数值分析常用的插值方法
数值分析常用的插值方法数值分析中常用的插值方法有线性插值、拉格朗日插值、分段线性插值、Newton插值、Hermite插值、样条插值等。
下面将对这些插值方法进行详细介绍。
一、线性插值（linear interpolation）线性插值是最简单的插值方法之一、假设已知函数在两个点上的函数值，通过这两个点之间的直线来估计中间点的函数值。
线性插值公式为：f(x)=f(x0)+(x-x0)*(f(x1)-f(x0))/(x1-x0)其中，f(x)表示要求的插值点的函数值，f(x0)和f(x1)是已知的两个点上的函数值，x0和x1是已知的两个点的横坐标。
二、拉格朗日插值（Lagrange interpolation）拉格朗日插值是一种基于多项式的插值方法。
它通过多个已知点的函数值构造一个多项式，并利用这个多项式来估计其他点的函数值。
拉格朗日插值多项式的一般形式为：f(x) = Σ[f(xi) * Li(x)] (i=0,1,2,...,n)其中，f(x)表示要求的插值点的函数值，f(xi)是已知的多个点的函数值，Li(x)是拉格朗日基函数。
拉格朗日基函数的表达式为：Li(x) = Π[(x-xj)/(xi-xj)] (i≠j，i,j=0,1,2,...,n)三、分段线性插值（piecewise linear interpolation）分段线性插值是一种逐段线性近似函数的方法。
通过将整个插值区间分成多个小段，在每个小段上使用线性插值来估计函数的值。
分段线性插值的过程分为两步：首先确定要插值的点所在的小段，在小段上进行线性插值来估计函数值。
四、Newton插值（Newton interpolation）Newton插值也是一种基于多项式的插值方法。
利用差商的概念来构造插值多项式。
Newton插值多项式的一般形式为：f(x)=f(x0)+(x-x0)*f[x0,x1]+(x-x0)*(x-x1)*f[x0,x1,x2]+...其中，f(x)表示要求的插值点的函数值，f(x0)是已知的一个点的函数值，f[xi,xi+1,...,xi+k]是k阶差商。
数值分析 第五章插值法
当 n =2时, 抛物线插值余项为
f ''' ( ) R( x ) ( x x 0 )( x x1 )( x x2 ), ( x0 , x2 ). 6
11
Lagrange方法求插值多项式 当用Lagrange方法求插值多项式时, 其n次插 值多项式记为Ln(x). n=1的情形
F (t )在(a, b)内至少有 (n+1)个零点.
对F (t )再应用Rolle 定理， 可知F (t )在(a, b)内
至少有 n 个零点. 依此类推, F(n+1) (t )在(a, b)内至少
有一个零点, 记之为(a, b), 使得
F ( n1) ( ) f ( n1) ( ) 0 (n 1)! K ( x ) 0,
n=1
x x1 x x0 y0 y1 x0 x1 x1 x0
x0 x1
xi x0
1
l0 ( x ) y0 l1 ( x ) y1
l1 ( x )
xi x0
0
l0 ( x )
1次多项式
x1
0
x1
1
13
1次多项式
二次插值多项式
xi x0
x1
y1
已知
x2 y2
yi f ( xi ) y0
( n 1 )
max f ( n1) ( x ) M n1 , 则 若
x[ a , b ]
M n 1 | Rn ( x ) | | ( x x 0 )( x x1 )( x xn ) | ( n 1)!
10
当 n =1时, 线性插值余项为
f '' ( ) R( x ) ( x x 0 )( x x1 ), ( x0 , x1 ). 2
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假定海底经过海水冲刷，充分光滑，也没有礁石和洞穴。试用 插值方法得到此海域深度数据并绘制海底地形图和等高线图。
X Table 20 i, i, 0, 5 ; Y Table 40 i, i, 0, 5 ; Z 8.73, 8.32, 8.00, 7.97, 7.77, 7.99 ,
8.94, 8.78, 6.87, 7.22, 7.92, 7.99 , 8.88, 8.91, 4.21, 6.38, 7.37, 7.95 , 8.79, 8.79, 8.54, 5.82, 4.88, 7.97 , 8.75, 8.80, 7.91, 5.80, 4.77, 7.85 , 8.52, 8.31, 6.61, 6.06, 6.49, 7.97 ; data Table X i , Y j , Z i, j , i, 6 , j, 6 ; data Flatten data, 1 ; f Interpolation data Plot3D f x, y , x, 0, 100 , y, 0, 200 ContourPlot f x, y , x, 0, 100 , y, 0, 200
用三次样条插值选取11个基点计算插值.
f x_ 1 1 x ^2 ;
n Input "n "
d Table 5 10 i 1 n, f 5 10 i 1
i, 1, n 1
N;
g Interpolation d, InterpolationOrder 3
Plot f x , g x , x, 5, 5 ,
g Interpolation data, InterpolationOrder 3 Plot g x , x, 0, 190
17.5
15
12.5
10
7.5
5
2.5 25 50 75 100 125 150 175
程序5 Mathematic
4、用Mathematic做二维网格节点数据的插值 Interpolation [date ]
度，测得的温度依次为： 5，8，9，15，25，29，31，30， 22，
25，27，24。 试估计每隔1/10小时的温度值。
d1 Table 1, 5 , 2, 8 , 3, 9 , 4, 15 , 5, 25 , 6, 29 , 7, 31 , 8, 30 , 9, 22 , 10, 25 , 11, 27 , 12, 24 ;
已知sin 35010' 0.5760,sin 35020' 0.5783，
如何求sin35016' ?
sin 35016'
0.578
0.5760
0.5775
(0.5783 0.5760)
0.577
0.5765
0.6
0.6145 0.615 0.6155 0.616 0.6165
0.5774
第七讲 插值与拟合实验
【主要内容】 介绍几种基本的插值方法（如 Lagrange插值、分段线性插值、三次样条插值 等）和数据的最小二乘拟合方法。
【主要目的】了解Mathematica提供的插值函数 和拟合函数的使用方法，通过实例学习如何用 插值和拟合解决实际问题,注意两者的联系与区 别。
插值
【引例1】
n
Ln (x) li (x) yi i0
其中li(x)为n次多项式：
li
(x)
(x x0 )L (xi x0 )L
(x ( xi
xi1)(x xi1)L xi1)(xi xi1)L
(x xn ) (xi xn
)
i 0,1,L , n
称为Lagrange插值基函数。容易证明
li (x j )
再用f (x)计算插值，即 y*=f (x*).
y* y1
y0 •
• •
x0 x1 x*
• •
xn
2、插值方法：
（1）拉格朗日(Lagrange)插值法 已知函数 f (x) 在n+1个点x0 , x1, …, xn处的函数值
为y0 ,y1, ,…,yn.求一n次多项式函数Pn(x)，使其满足：
Pn (xi)=y i , i=0,1,…,n. 则拉格朗日插值多项式公式为：
PlotStyle RGBColor 1, 0, 0 ,
n,
程序3 Mathematic
1 0.8 0.6 0.4 0.2
-4
-2
2
4
3、用Mathematic做一维插值 Interpolation [date , InterpolationOrder->n]
实例1 在1-12的11小时内，每隔1小时测量一次温
采用拉格朗日多项式插值：选取不同插值节
点个数n+1，其中n为插值多项式的次数，当 n分别取2,4,6,8,10时，绘出插值结果图形.
f x_ 1 1 x ^2 ;
n Input "n "
d Table 5 10 i 1 n, f 5 10 i 1 n ,
i, 1, n 1
N;
L
Table
Product x d k, 1 , k, 1, i 1
则称S (为x)三次样条插值函数。
三次样条插值问题的提法如下：
给定函数 f (x)在 n 1个节点 x0 , x1, , xn
处的函数值为 y0 , y1, , yn，求一个三次样条
函数 S (x) ，使其满足：
S(xi ) yi ,i 0,1, , n
例3
1 f (x) 1 x2 , 5 x 5
g1 Interpolation d1, InterpolationOrder 3 ; Plot g1 x , x, 1, 12 n Input "n " g1 n
程序4 Mathematic
30 25 20 15 10
5
2
4
6
8
10
12
实例2 机翼加工问题
已知机翼上缘轮线数据如下：
x
0.00 4.74 9.50 19.00 38.00 57.00 76.00
实例3 海底地形图的绘制
为了在一新的海域建立新的航道，需要知道海底深度，并绘制 海底地形图。现使用一艘勘测船，对一矩形区域内均匀网格上 海底深度进行勘测，得到以下数据（x和y为点的坐标）：
x=0
y=0
8.73
y=40
8.94
y=80
8.88
y=120 8.79
y=160 8.75
y=200 8.52
y
0.00 5.32 8.10 11.97 16.15 17.10 16.34
x 95.00 114.00 133.00 152.00 171.00 190.00
y 14.63 12.16 9.69 7.03 3.99 0.00
用三次样条函数画出机翼曲线。
机翼上 轮廓线
data 0.00, 0.00 , 4.74, 5.32 , 9.50, 8.10 , 19.00, 11.97 , 38.00, 16.15 , 57.00, 17.10 , 76.00, 16.34 , 95.00, 14.63 , 114.00, 12.16 , 133.00, 9.69 , 152.00, 7.03 , 171.00, 3.99 , 190.00, 0.00 ;
个很好的例子。
定义 设在区间[a,b]上给定一组节点
a x0 x1 xn b
上的函数值 y0 , y1, , yn，函数S (x)满足
1）S (x)在每个小区间 [xi1, xi ]上都是
次数不超过3的多项式；
2） S(xi ) yi ,i 0,1, , n 3）S (x) 在[a,b]上有连续的二阶导数。
程序6 Mathematic
10
8 6
0 20 40 60
200
150
200
100
50
150
80 0
100
100
海底地形图
50
0
0
20
40
60
80
100
等高线图
【引例2】
拟合
有一只对温度敏感的电阻，已经测得 一组温度t和电阻R的数据： t(0C) 20.5 32.7 51.0 73.0 95.7 R() 765 826 873 942 1032 现在想知道600 C时的电阻有多大。
y1
x x2
x0 x0
x x1 x2 x1
y2
n
Ln (x) li (x) yi i0
用Lagrange插值多项式Ln(x)近似,虽然随着节点 个数的增加, Ln(x)次数n变大,多数情况下误差 会变小,但是n增加时, Ln(x)光滑性变坏,有时会 出现很大的振荡.
例1 f (x) 1 , x [5,5] 1 x2
1、基本原理: 知n+1个节点( xj , yj ) (j = 0, 1, ...,n), 其中xj 互不相同， 不妨设a=x0<x1<…<xn=b，求任意插值点x*处的插值 y*.
y*
y1
•
y0 •
• • •
x0 x1 x* xn
具体的构造一个(相对简单的)函数 y=f (x)，通过全部节点，即 f ( xj )=yj (j=0,1,…,n)
0,
其它
例2 对例1中的函数和节点，画出 n 2,4,6,8,10
情形下的分段线性插值的图形，研究分段线性 插值的收敛性。
f x_ 1 1 x ^2 ;
n Input "n "
d Table 5 10 i 1 n, f 5 10 i 1
i, 1, n 1
N;
g Interpolation d, InterpolationOrder 1