安徽省合肥市2020届高三高考数学(文科)三模试卷及答案解析

合集下载

2021届高考数学模拟试卷汇编：三角函数及解三角形(含答案解析)

第 1 页共 18 页 2021年高考数学模拟试卷汇编：三角函数及解三角形 1．（2020届安徽省“江南十校”高三综合素质检测）已知2π()12cos ()(0)3f x x ωω=-+>.给出下列判断：
①若12()1,()1f x f x ==-，且12min πx x -=，则2ω=；
②存在(0,2)ω∈使得()f x 的图象向右平移
6π个单位长度后得到的图象关于y 轴对称； ③若()f x 在[]0,2π上恰有7个零点，则ω的取值范围为4147,2424⎡⎫⎪⎢⎭⎣
； ④若()f x 在ππ,64⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
上单调递增，则ω的取值范围为20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦. 其中，判断正确的个数为（）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 2．（2020届百校联考高考考前冲刺）已知O 为坐标原点，角α的终边经过点(3,)(0)P m m <且10sin m α=
，则sin 2α=( ) A ．45 B ．35 C ．35- D ．45- 3．（2020届百校联考高考考前冲刺）已知函数()2tan()(0)f x x ωω=>的图象与直线2y =的相邻交点间的距离为π，若定义{},max ,,a a b a b b a b
⎧=⎨<⎩…，则函数()max{()h x f x =，()cos }f x x 在区间3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
内的图象是( ) A ． B ．。

专题03 命题形式变化及真假判定(解析版)

专题03 命题形式变化及真假判定【热点聚焦与扩展】（一）命题结构变换1、四类命题间的互化：设原命题为“若，则”的形式，则（1）否命题：“若，则” （2）逆命题：“若，则” （3）逆否命题：“若，则”2、，（1）用“或”字连接的两个命题（或条件），表示两个命题（或条件）中至少有一个成立即可，记为（2）用“且”字连接的两个命题（或条件），表示两个命题（或条件）要同时成立，记为3、命题的否定：命题的否定并不是简单地在某个地方加一个“不”字，对于不同形式的命题也有不同的方法（1）一些常用词的“否定”：是→不是全是→不全是至少一个→都没有至多个→至少个小于→大于等于（2）含有逻辑联结词的否定：逻辑联接词对应改变，同时均变为：或→且且→或（3）全称命题与存在性命题的否定全称命题：存在性命题：规律为：两变一不变① 两变：量词对应发生变化（），条件要进行否定 ② 一不变：所属的原集合的不变化（二）命题真假的判断：判断命题真假需要借助所学过的数学知识，但在一组有关系的命题中，真假性也存在一定的关联.1、四类命题：原命题与逆否命题真假性相同，同理，逆命题与否命题互为逆否命题，所以真假性也相同.而原命题与逆命题，原命题与否命题真假没有关联p q p ⌝q ⌝q p q ⌝p ⌝p q ∨p q ∧p q ∨p q ∧p ⌝n 1n +,p q ,p q ⌝⌝p q p ⌝q ⌝p q p ⌝q ⌝():,:,()p x M p x p x M p x ∀∈→⌝∃∈⌝():,:,()p x M p x p x M p x ∃∈→⌝∀∈⌝∀⇔∃()p x ()p x ⇒⌝x M2、，，如下列真值表所示：简而言之“一真则真” 简而言之“一假则假” 3、：与命题真假相反. 4、全称命题：真：要证明每一个中的元素均可使命题成立假：只需举出一个反例即可 5、存在性命题：真：只需在举出一个使命题成立的元素即可假：要证明中所有的元素均不能使命题成立【经典例题】例1、【2020年高考全国Ⅱ卷文理16】设有下列四个命题： 1p ：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．2p ：过空间中任意三点有且仅有一个平面． 3p ：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行． 4p ：若直线⊂l 平面α，直线⊥m 平面α，则l m ⊥．则下述命题中所有真命题的序号是． ①41p p ∧②21p p ∧③32p p ∨⌝④ 43p p ⌝∨⌝ 【答案】①③④【思路导引】利用两交线直线确定一个平面可判断命题1p 的真假；利用三点共线可判断命题2p 的真假；利用异面直线可判断命题3p 的真假，利用线面垂直的定义可判断命题4p 的真假．再利用复合命题的真假可得出结论．【解析】对于命题1p ，可设1l 与2l 相交，这两条直线确定的平面为α；若3l 与1l 相交，则交点A 在平面α内，p q ∨p q ∧p ⌝p M M M同理3l 与2l 的交点B 也在平面α内，∴AB α⊂，即3l α⊂，命题1p 为真命题；对于命题2p ，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，命题2p 为假命题；对于命题3p ，空间中两条直线相交、平行或异面，命题3p 为假命题；对于命题4p ，若直线m ⊥平面α，则m 垂直于平面α内所有直线，直线l ⊂平面α，∴直线m ⊥直线l ，命题4p 为真命题．综上可知，14p p ∧为真命题，12p p ∧为假命题，23p p ⌝∨为真命题，34p p ⌝∨⌝为真命题．故答案为：①③④．【专家解读】本题的特点是注重知识的灵活应用，本题考查了空间点、线、面位置关系的判断，考查复合命题真假的判断，考查数学运算、直观想象、逻辑推理等学科素养．解题关键是正确理解空间点线面的位置关系，理解或命题、且命题、非命题的含义及其真值表．例2．【四川省宜宾市2020届高三三模】下列命题是假命题的是（）A ．000sin cos x R x x ∃∈-，B ．00cos 1x R x ∃∈≥，C ．()01ln x x x ∀∈+∞-≥，，D ．(0)tan 2x x x π∀∈>，，【答案】A【解析】因为sin cos )4x x x π-=-，其值域为[，所以A 项错误；因为cos [1,1]x ∈-，所以B 项正确；令()1ln =--f x x x ，11'()1x f x x x-=-=，当01x <<时，'()0f x <，当1x >时，'()0f x >，所以函数()1ln =--f x x x 在(0,1)上单调减，在(1,)+∞上单调增，所以()1ln =--f x x x 在1x =处取得最小值，且(1)0f =，所以()0f x ≥在(0,)+∞上恒成立，所以C 项正确；借助于三角函数线，可知(0)tan 2x x x π∀∈>，，，所以D 项正确；故选：A.【专家解读】该题考查的是有关命题真假的判断，涉及到的知识点有三角函数的值域，导数的应用，属于简单题目.例3．【2020届陕西省西安中学高三四模】已知命题p ：x R ∃∈，20x ->；命题q ：0x ∀≥x <，则下列说法中正确的是 A ．p q ∨是假命题 B ．p q ∧是真命题 C ．()p q ∧⌝是真命题 D ．()p q ∨⌝是假命题【答案】C【解析】命题p ，003,20x x ∃=->，即命题p 为真，对命题q ，去111424x x ==>= ，所以命题q 为假，p ⌝为真所以()p q ∧⌝是真命题，故选：C.【专家解读】(1)对于一些简单命题，判断为真，许推理证明，若判断为假，只需找出一个反例即可； (2)对于复合命题的真假判断应利用真值表；(3)也可以利用“互为逆否命题”的等价性，通过判断其逆否命题的真假来判断原命题的真假.例4．【湖南省长沙市长郡中学2020届高三三模】已知命题:p x R ∃∈，2230x x ++<，则命题p 的否定是（）A ．x R ∃∈，2230x x ++>B ．x R ∀∈，2230x x ++≤C ．x R ∀∈，2230x x ++≥D ．x R ∀∈，2230x x ++>【答案】C【解析】命题p 为特称命题，其否定为:p x R ⌝∀∈，2230x x ++≥. 故选：C.【专家解读】本题考查特称命题的否定的改写，要注意量词和结论的变化，属于基础题. 例5．【河北省鸡泽县第一中学2020年高三三模】下列命题是真命题的为( ) A ．若＝，则x ＝y B ．若x 2＝1，则x ＝1 C ．若x ＝y ，则＝D ．若x <y ，则x 2<y 2【答案】A 【解析】由得x=y ，而由x 2=1得x=±1，由x=y ，不一定有意义，而x ＜y 得不到x 2＜y 2，故选A ．例6．【河南省名校联盟2020年高三三模】下列命题为真命题的个数是（） ①{x x x ∀∈是无理数}，2x 是无理数； ②若0a b ⋅=，则0a =或0b =；③命题“若220x y +=，x ∈R ，y ∈R ，则0x y ==”的逆否命题为真命题；④函数()x xe ef x x--=是偶函数.A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】对于①中，当x =22x =为有理数，故①错误；对于②中，若0a b ⋅=，可以有a b ⊥，不一定要0a =或0b =，故②错误；对于③中，命题“若220x y +=，x ∈R ，y ∈R ，则0x y ==”为真命题，其逆否命题为真命题，故③正确；对于④中，()()x x x xe e e ef x f x x x-----===-，且函数的定义域是(,0)(0,)-∞+∞，定义域关于原点对称，所以函数()x xe ef x x--=是偶函数，故④正确.综上，真命题的个数是2.故选：B.【专家解读】本题考查命题真假的判断，涉及全称命题的真假的判断、逆否命题真假的判断、向量垂直等价条件的应用以及函数奇偶性的判断，考查推理能力.例7．【安徽省六安市第一中学2020届高三三模】下列命题错误的是( )A ．命题“若0xy =，则x ，y 中至少有一个为零”的否定是：“若0xy ≠，则x ，y 都不为零”B ．对于命题0:p x R ∃∈，使得20010x x ++<，则:p x R ⌝∀∈，均有210x x ++≥C ．命题“若0m >，则方程20x x m +-=有实根”的逆否命题为“若方程20x x m +-=无实根，则0m ≤”D ．“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件【答案】A【解析】A 选项中命题的否定是：若0xy =，则x ，y 都不为零，故A 不正确；B 选项是一个特称命题的否定，变化正确；C 选项是写一个命题的逆否命题，需要原来的命题条件和结论都否定再交换位置，C 正确；D 选项由前者可以推出后者，而反过来不是只推出1x =，故D 正确，故选：A.【专家解读】本题考查了命题的否定，逆否命题，充分不必要条件，意在考查学生的推断能力.【精选精练】1．【2020届湖南长沙市第一中学高三三模】已知命题p ：x R ∀∈，23x x <；命题q ：x R ∃∈，321x x =-，则下列命题中为真命题的是：（） A ．p q ∧ B ．p q ⌝∧ C ．p q ∧⌝ D ．p q ⌝∧⌝【答案】B【解析】0x =可知: 命题p ：x R ∀∈，23x x <为假命题，由函数图象可知命题32:,1q x R x x ∃∈=-为真命题，所以p q ⌝∧为真命题．2．【河南省开封市2020届高三二模】已知:0p x ∀>，10x x-≥，则p ⌝为（） A ．00x ∃>，0010x x -，10x x -< D ．00x ∀≤，10x x-≥ 【答案】A【解析】因为1:0,0p x x x∀>-，是全称命题，故p ⌝为：00x ∃>，0010x x -<；故选：A ．【专家解读】本题考查含量词命题的否定，属于基础题．3．【黑龙江省大庆实验中学2020届高三三模】下列说法错误的是（）A ．命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为：“若1x ≠，则2320x x -+≠”B ．“1x >”是“||1x >”的充分而不必要条件C ．若p 且q 为假命题，则p 、q 均为假命题D ．命题:p “存在x ∈R ，使得210x x ++<”，则非:p “任意x ∈R ，均有210x x ++≥”【答案】C【解析】对于选项A ，命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为：“若1x ≠，则2320x x -+≠”，即原命题为真命题；对于选项B ，当1x >时，||1x >，当||1x >，1x >或1x <，即原命题为真命题；对于选项C ，若p 且q 为假命题，则p 、q 中至少有一个为假命题，即原命题为假命题；对于选项D ，命题:p “存在x ∈R ，使得210x x ++<”，则非:p “任意x ∈R ，均有210x x ++≥”，即原命题为真命题；故选C.【专家解读】本题考查了命题的逆否命题的真假、充分必要条件、复合命题的真假及特称命题的否定，重点考查了逻辑推理能力，属中档题.4．【吉林省长春市2020届高考数学二模】命题p ：存在实数0x ，对任意实数x ，使得()0sin sin x x x +=-恒成立；q ：0a ∀>，()ln a xf x a x+=-为奇函数，则下列命题是真命题的是（） A ．p q ∧ B ．()()p q ⌝∨⌝ C ．()p q ∧⌝ D ．()p q ⌝∧【答案】A【解析】对于命题p ，由于()sin sin x x π+=-，所以命题p 为真命题.对于命题q ，由于0a >，由0a xa x+>-解得a x a -<<，且()()1ln ln ln a x a x a x f x f x a x a x a x --++⎛⎫-===-=- ⎪+--⎝⎭，所以()f x 是奇函数，故q 为真命题.所以p q ∧为真命题. ()()p q ⌝∨⌝、()p q ∧⌝、()p q ⌝∧都是假命题.故选：A【专家解读】本小题主要考查诱导公式，考查函数的奇偶性，考查含有逻辑联结词命题真假性的判断，属于基础题.5．【四川省绵阳南山中学2020届高三高考仿真模拟】已知α、β是两个不同的平面，m 、n 是两条不重合的直线，命题p ：“若m α⊥，m n ⊥，则//n α”；命题q ：“若αβ⊥，n αβ=，m n ⊥，则m β⊥”，则下列命题为真命题的是（） A ．p q ∧ B ．p q ∨C ．()p q ∨⌝D ．()p q ⌝∧【答案】C【解析】命题p 中，若m α⊥，m n ⊥，则n 与α可能平行，也可能n ⊂α，故命题p 为假命题；命题q 中，若αβ⊥，n αβ=，m n ⊥，m 与β的位置关系可能是m β⊂，//m β，也可能m 与β相交，故命题q 为假命题.因此p q ∧，p q ∨，()p q ⌝∧都是假命题，()p q ∨⌝为真命题.故选：C.【专家解读】本题主要考查判断复合命题的真假，涉及线面位置关系，属于基础题型. 6．【辽宁省沈阳二中2020届高三五模试题】已知命题“x R ∃∈，使212(1)02x a x +-+≤”是假命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．(,1)-∞- B ．(1,3)- C ．(3,)-+∞ D ．(3,1)-【答案】B【解析】因为命题“x R ∃∈，使212(1)02x a x +-+≤”是假命题，所以212(1)02x a x +-+>恒成立，所以2()114202a ∆=--⨯⨯<，解得13a -<<，故实数a 的取值范围是(1,3)-．故选B ．【专家解读】对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数．而二次函数的恒成立问题，也可以采取以上方法，当二次不等式在R 上大于或者小于0恒成立时，可以直接采用判别式法.7．【2020届重庆市南开中学高三三模】已知,x y R ∈，命题“若220x y +=，则0x =或0y =”的原命题，逆命题，否命题和逆否命题这四个命题中，真命题个数为（） A ．0B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】由于220x y +=，则0x y ==，所以原命题为真命题，其逆否命题也是真命题.否命题为“若220x y +≠，则0x ≠且0y ≠”，如220,1,0x y x y ==+≠，所以否命题为假命题，故逆命题也是假命题.所以真命题的个数为2.故选：B【专家解读】本小题主要考查四种命题的真假性的判断，属于基础题. 8．【黑龙江省哈尔滨三中2020届四模试题】下列命题错误的是（） A ．若“p q ∧”为真命题，则p 与q 均为真命题 B ．命题“p q ∧为真”是“p q ∨为真”的必要不充分条件C ．若0:p x R ∃∈，2210x x +->，则:p x R ⌝∀∈，2210x x +-≤D ．“1x =”是“1x ≥”的充分不必要条件【答案】B【解析】若“p q ∧”为真命题，则p 与q 均为真命题，故A 正确；若“p q ∧为真，则p 真，q 真，此时“p q ∨为真成立，若“p q ∨为真，则有可能,p q 一真一假，此时“p q ∧为假，所以命题“p q ∧为真”是“p q ∨为真”的充分不必要条件，故B 错误；由特称命题的否定为全称命题可得若0:p x R ∃∈，2210x x +->，则:p x R ⌝∀∈，2210x x +-≤，故C 正确；若“1x =”，则“1x ≥”成立，反之不成立，所以“1x =”是“1x ≥”的充分不必要条件，故D 正确；故选：B.【专家解读】本小题主要考查复合命题的真假、全称命题与特称命题的相互转化以及充分条件，必要条件等基础知识，属于基础题.9．【黑龙江省哈尔滨市第一中学2020届高三三模】下列关于命题的说法错误的是（） A ．命题“若2320x x -+=，则2x =”的逆否命题为“若2x ≠，则2320x x -+≠” B ．“2a =”是“函数()log a f x x =在区间()0,∞+上为增函数”的充分不必要条件 C ．“若0x 为()y f x =的极值点，则()00f x '=”的逆命题为真 D ．命题p ：2x ∀>，230x ->的否定是02x ∃>，0230x -≤ 【答案】C【解析】对于A ，由逆否命题的概念可得命题“若2320x x -+=，则2x =”的逆否命题为“若2x ≠，则2320x x -+≠”，故A 正确；对于B ，若2a =，则函数()log a f x x =在区间()0,∞+上为增函数；若函数()log a f x x =在区间()0,∞+上为增函数，则只需满足1a >；所以“2a =”是“函数()log a f x x =在区间()0,∞+上为增函数”的充分不必要条件，故B 正确；对于C ，“若0x 为()y f x =的极值点，则()00f x '=” 的逆命题为“若()00f x '=，则0x 为()y f x =的极值点”，对函数()3f x x =，()00f '=，但0x =不是函数()f x 的极值点，所以原命题的逆命题为假命题，故C 错误；对于D ，由全称命题的否定可知命题p ：2x ∀>，230x ->的否定是02x ∃>，0230x -≤，故D 正确. 故选：C.【专家解读】本题考查了逆否命题、逆命题的改写、全称命题的否定，考查了充分条件、必要条件的判断及对数函数性质、极值点的概念，属于基础题.10．【黑龙江省哈尔滨市第一中学2020届高三6月模拟】已知命题p ：棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥；命题q ：棱柱的所有的侧面都是长方形或正方形，下列命题为真命题的是（） A ．p q ∧ B ．p q ⌝∧C ．p q ∧⌝D ．p q ⌝∧⌝【答案】D【解析】对于命题p ，因为棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，故棱锥的侧面为等边三角形，如果该棱锥是六棱锥，则六个侧面顶角的和为360︒，但六棱锥的侧面的顶角和小于360︒，矛盾，故p 为假命题.对于命题q ，斜棱柱有侧面不是长方形，故命题q 为假命题. 故p q ⌝∧⌝为真命题.故选：D.【专家解读】复合命题p q ∨的真假判断为“一真必真，全假才假”，p q ∧的真假判断为“全真才真，一假必假”，p ⌝的真假判断是“真假相反”．11．【广东省肇庆市2020届高中毕业班第三次统一检测】如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 为1AA 的中点，M 在侧面11AA B B 上，有下列四个命题：①若1D M CP ⊥，则BCM ∆ ②平面1A BD 内存在与11D C 平行的直线；③过A 作平面α，使得棱AD ，1AA ，11D C 在平面α的正投影的长度相等，则这样的平面α有4个；④过A 作面β与面1A BD 平行，则正方体1111ABCD A B C D -在面β．则上述四个命题中，真命题的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】对于①，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，如图1所示；过M 作MG ⊥平面ABCD ，G 是垂足，过G 作GH BC ⊥，交BC 于H ，连结MH ，则(0,0,0)D ，(0,1,0)C ，(1,0,0)A ，1(1,0,)2P ，(0,1,0)C ，1(0,0,1)D ，(1,1,0)B ，设(1,,)M a b ，则1(1,,1)D M a b =-，1(1,1,)2CP =-，∵1D M CP ⊥， ∴1111022D M CP a b ⋅=-+-=，解得21a b -=， ∴1CH a =-，21MG b a ==-，MH ==，∴11122BCM S BC MH ∆=⨯⨯=⋅112210=≥=，当35a =时，min ()BCM S ∆=，①正确；对于11//D C DC ，DC平面1A BD D =，所以11D C 也与平面1A BD 相交．故②错； ③过A 作平面α，使得棱AD ，1AA ，11D C 在平面α的正投影的长度相等，因为11//D C AB ，且11D C AB =，故11D C 在平面α的正投影的长度等于AB 在平面α的正投影的长度，使得棱AD ，1AA ，11D C 在平面α的正投影的长度相等，即使得使得棱AD ，1AA ，AB 面α的正投影的长度相等，若棱AD ，1AA ，AB 面α的同侧，则α为过A 且与平面1A BD 平行的平面，若棱AD ，1AA ，AB 中有一条棱和另外两条棱分别在平面α的异侧，则这样的平面α有3个，故满足使得棱AD ，1AA ，11D C 在平面α的正投影的长度相等的平面α有4个；③正确．④过A 作面β与面1A BD 平行，则正方体1111ABCD A B C D -在面β的正投影为一个正六边形，其中1AC ⊥平面β，而1AC 分别垂直于正三角形1A BD 和11CB D ，所以根据对称性，正方体的8个顶点中，1AC 在平面β内的投影点重合与正六边形的中心，其它六个顶点投影恰是正六边形的六个顶点，且正六边形的边长等于正三角形1A BD 的外接圆半径（投影线与正三角形1A BD 、11CB D 垂直），所以正六边形的边长为sin 6023a =÷︒=，所以投影的面积为2266a ==⎝⎭．④对．故选C ．【专家解读】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力．12．【黑龙江省哈尔滨市第三中学校2020届高三三模】已知a R ∈，命题“存在x ∈R ，使230x ax a --≤”为假命题，则a 的取值范围为______.【答案】()12,0-【解析】命题：“存在x ∈R ，使230x ax a --≤”为假命题即230x ax a -->恒成立，则∆<0，即：2120a a ∆=+<，解得120a -<<，故实数a 的取值范围为()12,0-故答案为：()12,0-【专家解读】本题考查由命题的真假求参数的范围，考查一元二次不等式的应用，体现了等价转化的思想，属于中等题.13．【2020届湖南省永州市祁阳县高三二模】已知：()2:,21p x R x m x ∀∈>+，0:,q x R ∃∈200210x x m +--=，（1）若q 是真命题，求实数m 的取值范围；（2）若()p q ∧⌝为真命题，求实数m 的取值范围.【答案】（1）2m ≥-；（2）2m <-.【解析】（1）因为0:R,q x ∃∈200210x x m +--=为真命题，所以方程2210x x m +--=有实根，所以判别式()4410m ∆=++≥，所以实数m 的取值范围为2m ≥-.（2）()221x m x >+可化为220mx x m -+<，若:R,p x ∀∈()221x m x >+为真命题，则220mx x m -+<对任意的x ∈R 恒成立，当0m =时，不等式可化为20x -<，显然不恒成立；当0m ≠时，有20440m m <⎧⎨-<⎩，1m ∴<-，由（1）知，若q ⌝为真命题，则2m <-，又()p q ∧⌝为真，故p 、q ⌝均为真命题，所以实数m 需满足12m m <-⎧⎨<-⎩，解得2m <-，所以实数m 的取值范围为2m <-.【专家解读】本题考查利用复合命题的真假求参数的取值范围；考查运算求解能力和逻辑思维能力；熟练掌握复合命题的真假判断是求解本题的关键；属于中档题.。

安徽省临泉第一中学2023届高三下学期模拟考试(三模)数学试题(含解析)

安徽省临泉第一中学2023届高三下学期模拟考试（三模）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、多选题四、解答题(1)求A ∠的大小；(2)22AB =，点D 在BC(1)求证：平面PAE ⊥平面PBC (2)判断在线段AP 上是否存在点在，求出AQ 的长；若不存在，请说明理由21．已知双曲线C ：(22221y x a b -=参考答案：故选：C.6．A【分析】画出图分析，将可.取BC ，BD 中点E 取BE 的中点O ，则故AB AD +的最大值为故选：A.【详解】2与球O 的截面图如图所示，设球，则母线长为3r ，由已知得228πr =，22π4S r =+244则(1)(2)(3)f f f ++++ 20221()(1)(2)(3)i f i f f f ==++∑2022()(2)(3)g i f f =+++∑【详解】如图所示，设PQ 的中点为B ，过P 、Q 、B 分别作由题意可知，抛物线C ：24x y =的焦点为4PM PF PM PA +=+≥，即最小值为点共线时等号成立，故A 正确；11对于B ，四面体11ABB C 的外接球，即为正三棱台设外接球半径为r ，由1263OO =2211113=+==OC OO O C OC ，可知球心即为故3r OC ==，所以外接球表面积对于C ，如图2，1OO ⊥平面ABCα截棱台所得截面为长方形1MNC B 对于D ，棱台111ABC A B C -体积V =1113262432AMN A B C V -=⨯=，AMN V -故选：ABC.12．ABD所以a 的取值范围是10,2e ⎛⎫⎪⎝⎭.故答案为：10,2e ⎛⎫⎪⎝⎭.16．332/332【分析】作圆M 关于y 轴对称的圆，根据对称性，把问题转化为转化为在半径为则NF OB ⊥，又NB NO =，所以由对称性可得OE OA =，1sin 2ABO S OA OB AOB =⨯⨯∠ 所以2ABO EBO EFO S S S == ，（2）选①：由上可知，在πsin sin 6AB BDADB =∠，所以sin（2）取BE的中点O，连接OP.由（1）知PE⊥平面PBC，故PE22．(1)答案见解析；(2)①()e 1,++∞；②证明见解析【分析】（1）先求()f x '，设()g x 数的单调性的关系求其单调区间；。

2020届高考数学(文)总复习：创新思维课时规范练(含答案)第九章第二节古典概型

课时规范练A组基础对点练1．抛掷两枚质地均匀的骰子，向上的点数之差的绝对值为3的概率是()A.19 B.16C.118 D.112解析：抛掷两枚质地均匀的骰子，向上的点数之差的绝对值为3的情况有：1,4；4,1；2,5；5,2；3,6；6,3共6种，而抛掷两枚质地均匀的骰子的情况有36种，所以所求概率P＝636＝16，故选B.答案：B2．某同学先后投掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次向上的点数记为x，第二次向上的点数记为y，在直角坐标系xOy中，以(x，y)为坐标的点落在直线2x －y＝1上的概率为()A.112 B.19C.536 D.16解析：先后投掷两次骰子的结果共有6×6＝36种，而以(x，y)为坐标的点落在直线2x－y＝1上的结果有(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3种，故所求概率为336＝1 12.答案：A3．若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为()A.23 B.25C.35 D.910解析：由题意知，从五位大学毕业生中录用三人，所有不同的可能结果有(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)，共10种，其中“甲与乙均未被录用”的所有不同的可能结果只有(丙，丁，戌)这1种，故其对立事件“甲或乙被录用”的可能结果有9种，所求概率P＝910.答案：D4．从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是()A.12 B.13C.14 D.16解析：从1,2,3,4中任取2个不同的数有以下六种情况：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，满足取出的2个数之差的绝对值为2的有(1,3)，(2,4)，故所求概率是26＝1 3.答案：B5．从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为()A.15 B.25C.35 D.45解析：取两个点的所有情况有10种，两个点的距离小于正方形边长的情况有4种，所以所求概率为410＝25.答案：B6．从字母a，b，c，d，e中任取两个不同字母，则取到字母a的概率为________．解析：总的取法有：ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de共10种，其中含有a的有ab，ac，ad，ae共4种，故所求概率为410＝2 5.答案：2 57．如图的茎叶图是甲、乙两人在4次模拟测试中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为________.解析：依题意，记题中的被污损数字为x，若甲的平均成绩不超过乙的平均成绩，则有(8＋9＋2＋1)－(5＋3＋x＋5)≤0，x≥7，即此时x的可能取值是7,8,9，因此甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率P＝310＝0.3.答案：0.38．设连续掷两次骰子得到的点数分别为m，n，令平面向量a＝(m，n)，b＝(1，－3)．(1)求使得事件“a⊥b”发生的概率；(2)求使得事件“|a|≤|b|”发生的概率．解析：(1)由题意知，m∈{1,2,3,4,5,6}，n∈{1,2,3,4,5,6}，故(m，n)所有可能的取法共36种．a⊥b，即m－3n＝0，即m＝3n，共有2种：(3,1)、(6,2)，所以事件a⊥b的概率为236＝1 18.(2)|a|≤|b|，即m2＋n2≤10，共有(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,2)、(3,1)6种，其概率为636＝1 6.9．某校高三学生体检后，为了解高三学生的视力情况，该校从高三六个班的300名学生中以班为单位(每班学生50人)，每班按随机抽样方法抽取了8名学生的视力数据．其中高三(1)班抽取的8名学生的视力数据与人数见下表：视力数据4.0 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.95.0 5.1 5.2 5.3人数2221 1(1)用上述样本数据估计高三(1)班学生视力的平均值；(2)已知其余五个班学生视力的平均值分别为4.3、4.4、4.5、4.6、4.8.若从这六个班中任意抽取两个班学生视力的平均值作比较，求抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的概率．解析：(1)高三(1)班学生视力的平均值为4.4×2＋4.6×2＋4.8×2＋4.9＋5.18＝4.7，故估计高三(1)班学生视力的平均值为4.7.(2)从这六个班中任意抽取两个班学生视力的平均值作比较，所有的取法共有15种，而满足抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的取法有：(4.3,4.5)，(4.3,4.6)，(4.3,4.7)，(4.3,4.8)，(4.4,4.6)，(4.4,4.7)，(4.4,4.8)，(4.5,4.7)，(4.5,4.8)，(4.6,4.8)，共有10种，故抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的概率为P＝1015＝2 3.B组能力提升练10．(2019·河北三市联考)袋子中装有大小相同的5个小球，分别有2个红球、3个白球．现从中随机抽取2个小球，则这2个小球中既有红球也有白球的概率为()A.34 B.710C.45 D.35解析：设2个红球分别为a、b,3个白球分别为A、B、C，从中随机抽取2个，则有(a，b)，(a，A)，(a，B)，(a，C)，(b，A)，(b，B)，(b，C)，(A，B)，(A，C)，(B，C)，共10个基本事件，其中既有红球也有白球的基本事件有6个，则所求概率为P＝610＝3 5.答案：D11．在2,0,1,5这组数据中，随机取出三个不同的数，则数字2是取出的三个不同数的中位数的概率为()A.34 B.58C.12 D.14解析：分析题意可知，共有(0,1,2)，(0,2,5)，(1,2,5)，(0,1,5)4种取法，符合题意的取法有2种，故所求概率P＝12.答案：C12．(2018·商丘模拟)已知函数f(x)＝13x3＋ax2＋b2x＋1，若a是从1,2,3三个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为()A.79 B.13C.59 D.23解析：f′(x)＝x2＋2ax＋b2，要使函数f(x)有两个极值点，则有Δ＝(2a)2－4b2>0，即a2>b2.由题意知所有的基本事件有9个，即(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．满足a2>b2的共有6个，P＝69＝2 3.答案：D13．将一颗骰子投掷两次分别得到点数a，b，则直线ax－by＝0与圆(x－2)2＋y2＝2相交的概率为________．解析：圆心(2,0)到直线ax－by＝0的距离d＝|2a|a2＋b2，当d<2时，直线与圆相交，则有d＝|2a|a2＋b2<2，得b>a，满足b>a的共有15种情况，因此直线ax－by＝0与圆(x－2)2＋y2＝2相交的概率为1536＝5 12.答案：5 1214．(2019·长沙长郡中学检测)在所有的两位数10～99中，任取一个数，则这个数能被2或3整除的概率是________．解析：所有两位数共有90个，其中2的倍数有45个，3的倍数有30个，6的倍数有15个，所以能被2或3整除的共有45＋30－15＝60(个)，所以所求概率是6090＝2 3.答案：2 315．设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18.现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛．(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；(2)将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6，现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛．①用所给编号列出所有可能的结果；②设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”，求事件A发生的概率．解析：(1)应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3,1,2.(2)①从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共15种．②编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到的所有可能结果为{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共9种．因此，事件A发生的概率P(A)＝915＝3 5.。

高考数学复习热点02 数学传统文化和实际民生为载体的创新题(解析版)

热点02 数学传统文化和实际民生为载体的创新题【命题形式】1、考查题型主要是选择题和填空题，计算题和证明题比较少，涉及到的知识点主要集中在函数、数列、立体几何证明与计算、复数、组合、三角函数、概率、推理、圆锥曲线。

2、数学文化考查背景总结如下:①以数学名著为考查背景，以中国数学典籍史料中优秀成果为背景。

②以数学猜想和定理为命题背景。

③以数学名家的故事为命题背景，以数学家的故事，为考查背景，正是对创新精神数学精神的一种传承。

④以数学的应用为命题背景。

⑤历史名人。

⑥历史发展。

3、文化背景的考查在突出所要考查的数学知识的同时，培养学生的数学素养，不仅可以让学生理解数学文化形成数学素养，同时也让学生感受我们古代数学的伟大成就，增强爱国情怀，引导学生了解数学文化体现数学文化以数化人的本质内涵。

这是新高考考察的目的，从而这类问题也是新高考必考题型。

4、数学高考题渗透了大量的数学文化，尤其是渗透到中国古代独特的数学题目。

但这些题目考查的知识点有限，很多内容并未涉及到。

我们现在的社会在飞速发展，无论是科技还是人的思想都不断地变化。

为了让学生能够更好地适应未来社会的发展，我们的教育需要及时更新，不仅仅要反映在教材，考试也应该与时俱进，而不再是摸小球，投骰子，算水费这些老古董的模型背景，更应该与时俱进。

比如以科技为背景文化材料都可以作为激发学生学习兴趣的新材料。

像2020年12月2日嫦娥五号成功降落在月球上，它里面所涉及的轨道、运动都能成为很好的考查背景材料，而这些发射卫星的基地名称也可以作为命题背景的一大亮眼之处。

除次以外，同样可以结合其他学科知识和实际民生，比如新冠肺炎这些热点问题也可以成为出题的背景，进入数学高考题。

【满分技巧】1、多掌握数学文化知识通过对数学文化知识了解使学生对文化素养的提升，做题时能够做到有的放矢，减少对这类问题的恐惧心理。

2、注意数学文化的译文很多数学文化的题型都是选用的是中国传统数学文化，题目前面都是以文言文的形式出现，而后面都会对给出译文，译文才是本题的关键题意，所以这类题的关键地方是在译文上理解。

年高考真题+高考模拟题专项版解析汇编文科数学——02 函数的概念与基本初等函数I(教师

专题02 函数的概念与基本初等函数I1．【2020年高考全国Ⅰ卷文数】设3log 42a =，则4a -= A ．116B ．19C ．18D ．16【答案】B【解析】由3log 42a =可得3log 42a=，所以49a =，所以有149a-=，故选：B.【点睛】本题考查的是有关指对式的运算的问题，涉及到的知识点有对数的运算法则，指数的运算法则，属于基础题目. 2．【2020年高考天津】函数241xy x =+的图象大致为A BC D【答案】A【解析】由函数的解析式可得：()()241xf x f x x --==-+，则函数()f x 为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD 错误；当1x =时，42011y ==>+，选项B 错误.故选：A.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．3．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05．志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者 A ．10名 B ．18名C ．24名D ．32名【答案】B【解析】由题意，第二天新增订单数为50016001200900+-=，设需要志愿者x 名，500.95900x≥，17.1x ≥,故需要志愿者18名. 故选：B【点晴】本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题.4．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：0.23(53)()=1et I K t --+，其中K 为最大确诊病例数．当I (*t )=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为（ln19≈3） A ．60B ．63C ．66D ．69【答案】C 【解析】()()0.23531t K I t e--=+，所以()()0.23530.951t K I t K e**--==+，则()0.235319t e*-=，所以，()0.2353ln193t *-=≈，解得353660.23t *≈+≈. 故选：C.【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.5．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】设a =log 32，b =log 53，c =23，则 A ．a <c <bB ．a ==，所以a c b <<. 故选A .【点晴】本题考查对数式大小的比较，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题. 6．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】设函数f (x )=x 3－31x ，则f (x ) A ．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B ．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减 C ．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增D ．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减【答案】A【解析】因为函数()331f x x x =-定义域为{}0x x ≠，其关于原点对称，而()()f x f x -=-，所以函数()f x 为奇函数．又因为函数3y x =在0,上单调递增，在,0上单调递增，而331y x x-==在0,上单调递减，在,0上单调递减，所以函数()331f x x x=-在0,上单调递增，在,0上单调递增．故选：A ．【点睛】本题主要考查利用函数的解析式研究函数的性质，属于基础题． 7．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】若2x −2y <3−x −3−y ，则A ．ln(y −x +1)>0B ．ln(y −x +1)<0C ．ln|x −y |>0D ．ln|x −y |<0【答案】A【解析】由2233x y x y ---<-得：2323x x y y ---<-，令()23ttf t -=-，2x y =为R 上的增函数，3x y -=为R 上的减函数，()f t ∴为R 上的增函数，x y ∴<，0y x ->，11y x ∴-+>，()ln 10y x ∴-+>，则A 正确，B 错误；x y -与1的大小不确定，故CD 无法确定.故选：A.【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到,x y 的大小关系，考查了转化与化归的数学思想. 8．【2020年高考天津】设0.70.80.713,(),log 0.83a b c -===，则,,a b c 的大小关系为A ．a b c <，0.80.80.71333b a -⎛⎫==>= ⎪⎝⎭，0.70.7log 0.8log 0.71c =<=，所以1c a b <<<. 故选：D.【点睛】本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围. 比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：（1）利用指数函数的单调性：xy a =，当1a >时，函数递增；当01a <<时，函数递减；（2）利用对数函数的单调性：log a y x =，当1a >时，函数递增；当01a <<时，函数递减；（3）借助于中间值，例如：0或1等.9．【2020年新高考全国Ⅰ卷】基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e )rtI t =描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0 =1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28，T =6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) A ．1.2天 B ．1.8天 C ．2.5天 D ．3.5天【答案】B【解析】因为0 3.28R =，6T =，01R rT =+，所以 3.2810.386r -==，所以()0.38rt t I t e e ==，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为1t 天，则10.38()0.382t t t e e +=，所以10.382t e =，所以10.38ln 2t =，所以1ln 20.691.80.380.38t =≈≈天. 故选：B.【点睛】本题考查了指数型函数模型的应用，考查了指数式化对数式，属于基础题. 10．【2020年新高考全国Ⅰ卷】若定义在R 的奇函数f (x )在(0),-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是 A ．[)1,1][3,-+∞ B ．3,1][,[01]-- C ．[)1,0][1,-+∞ ．1,0]3][[1,-【答案】D【解析】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =，所以()f x 在(0,)+∞上也是单调递减，且(2)0f -=，(0)0f =，所以当(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃时，()0f x >，当(2,0)(2,)x ∈-+∞时，()0f x <，所以由(10)xf x -≥可得：021012x x x <⎧⎨-≤-≤-≥⎩或或001212x x x >⎧⎨≤-≤-≤-⎩或或0x =解得10x -≤≤或13x ≤≤，所以满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是[1,0][1,3]-⋃，故选：D.【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题.11．【2020年新高考全国Ⅰ卷】信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X 所有可能的取值为1,2,,n ，且1()0(1,2,,),1ni i i P X i p i n p ===>==∑，定义X 的信息熵21()log ni i i H X p p ==-∑.A ．若n =1，则H (X )=0B ．若n =2，则H (X )随着1p 的增大而增大C ．若1(1,2,,)i p i n n==，则H (X )随着n 的增大而增大D ．若n =2m ，随机变量Y 所有可能的取值为1,2,,m ，且21()(1,2,,)j m j P Y j p p j m +-==+=，则H (X )≤H (Y )【答案】AC【解析】对于A 选项，若1n =，则11,1i p ==，所以()()21log 10H X =-⨯=，所以A 选项正确.对于B 选项，若2n =，则1,2i =，211p p =-，所以()()()121121X log 1log 1H p p p p =-⋅+-⋅-⎡⎤⎣⎦，当114p =时，()221133log log 4444H X ⎛⎫=-⋅+⋅ ⎪⎝⎭，当13p 4=时，()223311log log 4444H X ⎛⎫=-⋅+⋅ ⎪⎝⎭，两者相等，所以B 选项错误. 对于C 选项，若()11,2,,i p i n n==，则()222111log log log H X n n nn n ⎛⎫=-⋅⨯=-= ⎪⎝⎭，则()H X 随着n 的增大而增大，所以C 选项正确.对于D 选项，若2n m =，随机变量Y 的所有可能的取值为1,2,,m ，且()21j m j P Y j p p +-==+（1,2,,j m =）.()2222111log log mmi i i i i iH X p p p p ===-⋅=⋅∑∑ 122221222122121111log log log log m m m mp p p p p p p p --=⋅+⋅++⋅+⋅. ()H Y =()()()122221212122211111log log log m m m m m m m m p p p p p p p p p p p p -+-++⋅++⋅+++⋅+++12222122212221221121111log log log log m m m m m mp p p p p p p p p p p p ---=⋅+⋅++⋅+⋅++++.由于()01,2,,2i p i m >=，所以2111i i m ip p p +->+，所以222111log log i i m ip p p +->+，所以222111log log i i i i m ip p p p p +-⋅>⋅+，所以()()H X H Y >，所以D 选项错误. 故选：AC【点睛】本小题主要考查对新定义“信息熵”的理解和运用，考查分析、思考和解决问题的能力，涉及对数运算和对数函数及不等式的基本性质的运用，属于难题.12．【2020年高考天津】已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx x k =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是 A ．1(,)(22,)2-∞-+∞B ．1(,)(0,22)2-∞-C ．(,0)(0,22)-∞D ．(,0)(22,)-∞+∞【答案】D【解析】注意到(0)0g =，所以要使()g x 恰有4个零点，只需方程()|2|||f x kx x -=恰有3个实根即可，令()h x =()||f x x ，即|2|y kx =-与()()||f x h x x =的图象有3个不同交点.因为2,0()()1,0x x f x h x x x ⎧>==⎨<⎩，当0k =时，此时2y =，如图1，2y =与()()||f x h x x =有2个不同交点，不满足题意；当k 0<时，如图2，此时|2|y kx =-与()()||f x h x x =恒有3个不同交点，满足题意；当0k >时，如图3，当2y kx =-与2yx 相切时，联立方程得220x kx -+=，令0∆=得280k -=，解得22k =（负值舍去），所以22k >. 综上，k 的取值范围为(,0)(22,)-∞+∞.故选：D.【点晴】本题主要考查函数与方程的应用，考查数形结合思想，转化与化归思想，是一道中档题.13．【2020年高考北京】已知函数()21xf x x =--，则不等式()0f x >的解集是A. (1,1)-B. (,1)(1,)-∞-+∞C. (0,1)D. (,0)(1,)-∞⋃+∞【答案】D【解析】因为()21xf x x =--，所以()0f x >等价于21x x >+，在同一直角坐标系中作出2xy =和1y x =+的图象如图：两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2)，不等式21x x >+的解为0x <或1x >.所以不等式()0f x >的解集为：()(),01,-∞⋃+∞. 故选：D.【点睛】本题考查了图象法解不等式，属于基础题.14．【2020年高考浙江】函数y =x cos x +sin x 在区间[–π，π]上的图象可能是【答案】A【解析】因为()cos sin f x x x x =+，则()()cos sin f x x x x f x -=--=-，即题中所给的函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称，据此可知选项CD 错误；且x π=时，cos sin 0y ππππ=+=-<，据此可知选项B 错误. 故选：A.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．15．【2020年高考浙江】已知a ，b ∈R 且ab ≠0，对于任意x ≥0均有(x –a )(x –b )(x –2a –b )≥0，则 A ．a <0 B ．a >0 C ．b <0 D ．b >0【答案】C【解析】因为0ab ≠，所以0a ≠且0b ≠，设()()()(2)f x x a x b x a b =----，则()f x 零点为123,,2x a x b x a b ===+ 当0a >时，则23x x <，1>0x ，要使()0f x ≥，必有2a b a +=，且0b <，即=-b a ，且0b <，所以0b <；当0a <时，则23x x >，10x <，要使()0f x ≥，必有0b <.综上一定有0b <. 故选：C【点晴】本题主要考查三次函数在给定区间上恒成立问题，考查学生分类讨论思想，是一道中档题.16．【2020年高考江苏】已知y =f (x )是奇函数，当x ≥0时，()23f x x =，则()8f -的值是 ▲ ．【答案】4-【解析】23(8)84f ==，因为()f x 为奇函数，所以(8)(8)4f f -=-=- 故答案为：4-【点睛】本题考查根据奇函数性质求函数值，考查基本分析求解能力，属基础题. 17．【2020年高考北京】函数1()ln 1f x x x =++的定义域是____________．【答案】(0,)+∞【解析】由题意得010x x >⎧⎨+≠⎩，0x ∴>故答案为：(0,)+∞【点睛】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.1．【2020·北京高三月考】已知函数()y f x =满足(1)2()f x f x +=，且(5)3(3)4f f =+，则(4)f = A ．16 B ．8C ．4D ．2【答案】B【解析】因为(1)2()f x f x +=,且(5)3(3)4f f =+,故()()324442f f =+,解得()48f =.故选B.【点睛】本题主要考查了根据函数性质求解函数值的问题,属于基础题.2．【2020·宜宾市叙州区第二中学校高三一模（文）】已知函数()32,0log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则=3f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A．2B ．12C ．3log 2-D ．3log 2【答案】A【解析】依题意12331log log 32f -===-⎝⎭，12122f f f -⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选A.【点睛】本小题主要考查根据分段函数解析式求函数值，属于基础题.3．【安徽省2020届高三名校高考冲刺模拟卷数学（文科）试题】已知10.23121log 3,(),23a b c ===，则A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <a <c【答案】A【解析】∵1122log 3log 10a =<=，0.20110()()133b <=<=，1131222c <=<=，∴a 的解集为A ．(),2-∞-B ．2,C ．()(),11,-∞-⋃+∞D ．()(),22,-∞-⋃+∞【答案】B【解析】设()()1F x f x x =--，则()()11F x f x x -=--，()()11110F f =--=，对任意的1x ，2x 且12x x <，()()1212f x f x x x -<-，得()()112211f x x f x x --<--，即()()12F x F x <，所以()F x 在R 上是增函数，不等式()1f x x ->即为()()11F x F ->，所以11x ->，2x >. 故选B.【点睛】本题考查函数的单调性解不等式，属于中档题．5．【2020届广东省惠州市高三6月模拟数学（文）试题】已知函数||()e ||x f x x =+，则满足1(21)3f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭的x 取值范围是A ．12,33⎛⎫⎪⎝⎭B ．12,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．12,23⎛⎫⎪⎝⎭D ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】A【解析】由||()e ||()x f x x f x --=+-=，知()f x 是偶函数，∴不等式1(21)3f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭等价为1(|21|)()3f x f -<，当0x >时，()e xf x x =+，()f x 在区间[0,)+∞上单调递增，1|21|,3x ∴-<解得1233x <<.故选A.【点睛】本题考查根据函数的奇偶性和单调性求解函数不等式的问题，关键是能够利用单调性将不等式转化为自变量大小关系，从而解出不等式，属于中档题. 6．【2020届广东省惠州市高三6月模拟数学（文）试题】函数πx x y x=的图象大致形状是A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】当0x <时，ππx xx y x -==-；当0x >时，ππx x x y x ==，πx y =为R 上的增函数，πx x y x∴=在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增，可知B 正确.故选B. 【点睛】本题考查函数图象的识别，解题关键是能够通过分类讨论的方式得到函数在不同区间内的解析式，进而根据指数函数单调性判断出结果.7．【2020·重庆市育才中学高三开学考试（文）】若函数()23,121,1x ax a x f x ax x ⎧--≥=⎨-<⎩是R 上的增函数，则实数a 的取值范围是A ．103⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，B ．103⎛⎤ ⎥⎝⎦，C ．1,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦D ．13⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，【答案】B【解析】由函数()23,121,1x ax a x f x ax x ⎧--≥=⎨-<⎩是R 上的增函数，则1202113a a a a a⎧≤⎪⎪>⎨⎪-≤--⎪⎩，解得103a <≤，即实数a 的取值范围是103⎛⎤ ⎥⎝⎦，. 故选B.【点睛】本题考查了分段函数的性质，重点考查了运算能力，属基础题.8．【贵州省黔东南州2019-2020学年高三高考模拟考试卷数学（文科)试题】已知函数()f x 的图象关于点()1,0对称，当1x >时，2()5f x x mx =-+，且()f x 在(,0)-∞上单调递增，则m 的取值范围为 A ．[4,)+∞ B ．[2,)+∞C ．(,4]-∞D ．(,2]-∞【答案】C【解析】函数()f x 的图象关于点()1,0对称且在(,0)-∞上单调递增，所以()f x 在(2,)+∞上单调递增，所以对称轴22m≤，即4m ≤. 故选C.【点睛】本题考查函数的性质，涉及到单调性、对称性等知识，考查学生数形结合的思想，是一道容易题.9．【2020·北京市八一中学高三月考】函数()()213f x ax a x =---在区间[)1,-+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是 A ．1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．(],0-∞C ．10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】若0a =，则()3f x x =-，()f x 在区间[)1,-+∞上是增函数，符合.若0a ≠，因为()f x 在区间[)1,-+∞上是增函数，故0112a a a>⎧⎪-⎨≤-⎪⎩，解得103a <≤.综上，1 03a≤≤.故选D.【点睛】本题考查含参数的函数的单调性，注意根据解析式的特点合理分类，比如解析式是二次三项式，则需讨论二次项系数的正负以及对称轴的位置，本题属于基础题.10．【2020·四川省成都外国语学校高三月考（文）】若函数,1()42,12xa xf x ax x⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤⎪⎪⎝⎭⎩是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围是A．()1,+∞B．（1,8）C．（4,8）D．[4,8)【答案】D【解析】因为函数,1()42,12xa xf x ax x⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤⎪⎪⎝⎭⎩是R上的单调递增函数，所以140482422aaaaa⎧⎪>⎪⎪->∴≤<⎨⎪⎪-+≤⎪⎩故选D.【点睛】本题考查根据分段函数单调性求参数，考查基本分析判断能力，属中档题.11．【2020届山西省太原五中高三3月模拟数学（文）试题】函数ln||cos ()sinx xf xx x⋅=+在[π,0)(0,π]-的图像大致为A．B．C．D．【答案】D【解析】因为ln ||cos ()()sin x xf x f x x x⋅-=-=-+，所以()f x 为奇函数，关于原点对称，故排除A ，又因为()10f ±=，π()02f ±=，π()03f >，()0f π<，故排除B ，C.故选D.【点睛】本题考查函数图象的识别，根据函数的性质以及特殊值法灵活判断，属于基础题.12．【2020·宜宾市叙州区第二中学校高三一模（文）】已知()f x 是定义在R 上的偶函数，在区间[0,)+∞上为增函数，且1()03f =，则不等式18(log )0f x >的解集为A ．1(,2)2B ．(2,)+∞C ．1(0,)(2,)2+∞ D ．1(,1)(2,)2+∞【答案】C【解析】∵118811(log )0()(log )()33f x f f x f >=⇔>，又()f x 在区间[0,)+∞上为增函数，∴181log 3x >，∴118811log log 33x x 或><-，∴1022x x <或，∴不等式18(log )0f x >的解集为1(0,)(2,)2+∞，故选C.13．【2020·宜宾市叙州区第一中学校高三一模（文）】已知函数()()()1f x x ax b =-+为偶函数，且在0,上单调递减，则()30f x -<的解集为A ．()2,4 B ．()(),24,-∞+∞C ．()1,1-D ．()(),11,-∞-⋃+∞【答案】B【解析】因为()()2f x ax b a x b =+--为偶函数，所以0b a -=，即b a =， ∴()2f x ax a =-，因为()f x 在()0,∞+上单调递减，所以0a <，∴()()2330f x a x a -=--<，可化为()2310x -->，即2680x x -+>，解得2x <或4x >. 故选B .【点睛】本题主要考查奇偶性与单调性的应用以及一元二次不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.14．【天津市十二区县重点学校2020届高三下学期毕业班联考（一）数学试题】已知函数(2)y f x =-的图象关于直线2x =对称，在(0,)x ∈+∞时，()f x 单调递增．若()ln34a f =，e (2)b f -=，1ln πc f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（其中e 为自然对数的底数，π为圆周率），则,,a b c 的大小关系为 A ．a c b >> B ．a b c >> C ．c a b >> D ．c b a >>【答案】A【解析】因为函数(2)y f x =-的图象关于直线2x =对称，所以()f x 的图象关于y 轴对称，因为(0,)x ∈+∞时，()f x 单调递增，所以(,0)x ∈-∞时，()f x 单调递减；因为ln3ln e e 01444,0221,lnln ln e 1->=<<==π>=π，所以a c b >>. 故选A.【点睛】本题主要考查函数的性质，根据条件判断出函数的单调性和奇偶性是求解的关键，侧重考查数学抽象的核心素养.15．【2020·山东省高三期末】函数()y f x =是R 上的奇函数，当0x <时，()2xf x =，则当0x >时，()f x =A ．2x -B ．2x -C ．2x --D ．2x【答案】C 【解析】0x <时，()2xf x =.当0x >时，0x -<，()2xf x --=，由于函数()y f x =是奇函数，()()2xf x f x -∴=--=-，因此，当0x >时，()2xf x -=-，故选C.【点睛】本题考查奇偶函数解析式的求解，一般利用对称转移法求解，即先求出()f x -的表达式，再利用奇偶性得出()f x 的表达式，考查分析问题和运算求解能力，属于中等题.16．【2020·山东省高三期末】函数()y f x =与()y g x =的图象如图所示，则()()y f x g x =⋅的部分图象可能是A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由图象可知()y f x =的图象关于y 轴对称，是偶函数，()y g x =的图象关于原点对称，是奇函数，并且定义域{}0x x ≠，()()y f x g x ∴=⋅的定义域是{}0x x ≠，并且是奇函数，排除B ，又π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x >，()0g x <，()()0f x g x ∴⋅<，排除C,D. 满足条件的只有A. 故选A.【点睛】本题考查函数图象的识别，意在考查函数的基本性质，属于基础题型. 17．【2020届广东省化州市高三第四次模拟数学（文）试题】已知函数()()2,0,ln 1,0,x x f x x x ⎧⎪=⎨+>⎪⎩若不等式()10f x kx k -++<的解集为空集，则实数k 的取值范围为A ．(222,0⎤-⎦B ．(232,0⎤-⎦C ．222,0⎡⎤-⎣⎦D ．[]1,0-【答案】C【解析】因为不等式()10f x kx k -++<的解集为空集，所以不等式()10f x kx k -++恒成立.()10f x kx k -++可变形为()(1)1f x k x --.在同一坐标系中作出函数(),(1)1y f x y k x ==--的图象，如图：直线(1)1y k x =--过定点(1,1)A -，当直线(1)1y k x =--与2(0)y x x =相切时，方程()10f x kx k -++=有一个实数解，可得2(1)1x k x =--，即210x kx k -++=，由24(1)0k k ∆=-+=，可得2k =-2k =+（舍去），故由函数图象可知使不等式恒成立的实数k的取值范围为2⎡⎤-⎣⎦.故选C.【点睛】本题考查了函数图象、根据函数的图象求参数的取值范围，考查了数形结合思想，属于中档题.18．【2020·山东省青岛第五十八中学高三一模】已知函数229,1()4,1x ax x f x x a x x ⎧-+≤⎪=⎨++>⎪⎩，若()f x 的最小值为(1)f ，则实数a 的值可以是A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】BCD 【解析】当1x >,4()4f x x a a x=++≥+, 当且仅当2x =时,等号成立；当1x ≤时,2()29f x x ax =-+为二次函数,要想在1x =处取最小,则对称轴要满足1x a =≥,且(1)4f a ≤+,即1294a a -+≤+,解得2a ≥,故选BCD.【点睛】本题考查分段函数的最值问题,处理时应对每段函数进行分类讨论,找到每段的最小值.19．【2020·山东省高三零模】已知定义在R 上的函数()y f x =满足条件()()2f x f x +=-，且函数()1y f x =-为奇函数，则A ．函数()y f x =是周期函数B ．函数()y f x =的图象关于点()1,0-对称C ．函数()y f x =为R 上的偶函数D ．函数()y f x =为R 上的单调函数【答案】ABC【解析】因为()()2f x f x +=-，所以()()()42f x f x f x +=-+=，即4T=，故A 正确；因为函数()1y f x =-为奇函数，所以函数()1y f x =-的图像关于原点成中心对称，所以B 正确；又函数()1y f x =-为奇函数，所以()()11f x f x --=--，根据()()2f x f x +=-，令1x -代x 有()()11f x f x +=--，所以()()11f x f x +=--，令1x -代x 有()()f x f x -=，即函数()f x 为R 上的偶函数，C 正确；因为函数()1y f x =-为奇函数，所以()10f -=，又函数()f x 为R 上的偶函数，()10f =，所以函数不单调，D 不正确.故选ABC.【点睛】本题考查了函数的周期性和奇偶性以及对称性，属于基础题.20．【2020届上海市高三高考压轴卷数学试题】已知函数()223f x x ax =-++在区间(),4-∞上是增函数，则实数a 的取值范围是______.【答案】[)4,+∞【解析】()223f x x ax =-++对称轴方程为x a =， ()f x 在区间(),4-∞上是增函数，所以4a ≥.故答案为[)4,+∞.【点睛】本题考查函数的单调性求参数，熟练掌握初等简单函数的性质是解题的关键，属于基础题.21．【福建省厦门外国语学校2020届高三下学期高考最后一次模拟数学（文）试题】已知函数2,0()(2),0x x f x f x x ⎧>=⎨+≤⎩，则(1)f -=_____________【答案】2【解析】函数2,0()(2),0x x f x f x x ⎧>=⎨+≤⎩，则()1(1)122f f -===. 故答案为：2【点睛】本题考查了分段函数求值，考查了基本运算求解能力，属于基础题.22．【2020·陕西省交大附中高三三模（文）】设函数23(0)()(2)(0)x x x f x f x x ⎧+≥=⎨+<⎩，则()–3f =_____【答案】4【解析】函数23(0)()(2)(0)x x x f x f x x ⎧+≥=⎨+<⎩，2(3)(1)(1)1314f f f -=-==+⨯=．【点睛】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数求值，难度不大，属于基础题． 23．【2020·宜宾市叙州区第二中学校高三一模（文）】奇函数()f x 满足()()11f x f x +=-，当01x <≤时，()()2log 4f x x a =+，若1522f ⎛⎫=-⎪⎝⎭，则()a f a +=___________. 【答案】2【解析】由于函数()y f x =为奇函数，且()()()111f x f x f x +=-=--，即()()2f x f x +=-，()()()42f x f x f x ∴+=-+=，所以，函数()y f x =是以4为周期的奇函数，()21511log 22222f f f a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-=-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得2a =. ()()()222f f f =-=-，()20f ∴=.因此，()()222a f a f +=+=.故答案为2.【点睛】本题考查函数值的计算，推导出函数的周期性是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.24．【2020届上海市高三高考压轴卷数学试题】函数()lg 2cos 21y x =-的定义域是______. 【答案】5πππ5π3,,,36666⎡⎫⎛⎫⎛⎤---⎪ ⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎭⎝⎦【解析】因为()lg 2cos 21y x =-，所以2902cos 210x x ⎧-≥⎨->⎩，所以331cos 22x x -≤≤⎧⎪⎨>⎪⎩，所以33ππππ,66x k x k k -≤≤⎧⎪⎨-<<+∈⎪⎩Z ，解得5π36x -≤<-或ππ66x -<<或5π36x <≤. 故答案为5πππ5π3,,,36666⎡⎫⎛⎫⎛⎤---⎪ ⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎭⎝⎦. 【点睛】本题主要考查函数定义域的求法以及一元二次不等式，三角不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.25．【江苏省南京市金陵中学、南通市海安高级中学、南京市外国语学校2020届高三下学期第四次模拟数学试题】已知函数()02,2,2x f x f x x ≤<=-≥⎪⎩若对于正数()*n k n ∈N ，直线n y k x =与函数()y f x =的图象恰有21n 个不同的交点，则数列{}2nk 的前n 项和为________. 【答案】()41n n + 【解析】当02x ≤<时，()y f x ==()2211x y -+=，0y ≥；当2x ≥时()()2f x f x =-，函数周期为2，画出函数图象，如图所示：n y k x =与函数恰有21n 个不同的交点，根据图象知，直线n y k x =与第1n +个半圆相切，故()2244211n k n n n ==++-，故2211114441n k n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，数列{}2n k 的前n 项和为()11111114223141n n n n ⎛⎫-+-+⋅⋅⋅+-= ⎪++⎝⎭. 故答案为：()41n n +. 【点睛】本题考查了数列求和，直线和圆的位置关系，意在考查学生的计算能力和转化能力，综合应用能力，画出图象是解题的关键.。

2024届高考数学专项练习压轴题型03 函数与导数经典常考压轴小题(解析版)

压轴题型03 函数与导数经典常考压轴小题命题预测有关函数与导数常见经典压轴小题的高考试题，考查重点是零点、不等式、恒成立等问题，通常与函数性质、解析式、图像等均相关，需要考生具有逻辑推理、直观想象和数学运算核心素养. 同时，对于实际问题，需要考生具有数据分析、数学建模核心素养.预计预测2024年高考，多以小题形式出现，也有可能会将其渗透在解答题的表达之中，相对独立．具体估计为：（1）导数的计算和几何意义是高考命题的热点，多以选择题、填空题形式考查，难度较小．（2）应用导数研究函数的单调性、极值、最值多在选择题、填空题靠后的位置考查，难度中等偏上，属综合性问题．高频考法（1）函数嵌套、零点嵌套问题（2）零点问题（3）导数的同构思想（4）双重最值问题（5）构造函数解不等式01函数嵌套、零点嵌套问题解决嵌套函数零点个数的一般步骤(1)换元解套,转化为()t g x =与()y f t =的零点.(2)依次解方程,令()0f t =,求t ,代入()t g x =求出x 的值或判断图象交点个数.【典例1-1】（上海市浦东新区上海市实验学校2024届高三学期第三次月考数学试题）已知函数()f x 是2024届高考数学专项练习定义在R 的偶函数，当0x ≥时，()()3πcos 1,012211,12xx x f x x ⎧⎡⎤−≤≤⎪⎢⎥⎣⎦⎪=⎨⎛⎫⎪+> ⎪⎪⎝⎭⎩，若函数()()()()()25566g x f x a f x a a ⎡⎤=−++∈⎣⎦R 有且仅有6个不同的零点，则实数a 取值范围 .【答案】(]30,12⎧⎫⎨⎬⎩⎭【解析】因为()()()()()()25566560g x f x a f x a f x f x a =−++=−⋅−=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦，由()0g x =，可得()65f x =或()f x a =，由函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()3πsin ,012211,12xx x f x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪+> ⎪⎪⎝⎭⎩，当01x ≤≤时，ππ022x ≤≤，如下图所示：因为1112x⎛⎫+> ⎪⎝⎭，由图可知，直线65y =与函数()f x 的图象有4个交点，所以，直线y a =与函数()f x 的图象有2个交点，由图可得(]30,12a ⎧⎫∈⋃⎨⎬⎩⎭.综上所述，实数a 的取值范围是(]30,12⎧⎫⎨⎬⎩⎭.故答案为：(]30,12⎧⎫⎨⎬⎩⎭.【典例1-2】（安徽省合肥市六校联盟2023-2024学年高三学期期中联考数学试题）已知函数()42,13,1x x f x x x ⎧−<⎪=⎨−≥⎪⎩，()22g x x ax =++，若函数()()y g f x =有6个零点，则实数a 的取值范围为 .【答案】(3,2−−【解析】画出()42,13,1x x f x x x ⎧−<⎪=⎨−≥⎪⎩的图象如下：因为()22g x x ax =++最多两个零点，即当280a ∆=−>，2a >22a <−时，()22g x x ax =++有两个不等零点12,t t ，要想()()y g f x =有六个零点，结合函数图象，要()1f x t =和()2f x t =分别有3个零点，则()12,0,2t t ∈且12t t ≠，即()22g x x ax =++的两个不等零点()12,0,2t t ∈，则要满足()()2Δ800222000a a g g ⎧=−>⎪⎪<−<⎪⎨⎪>⎪>⎪⎩，解得322a −<<− 故实数a 的取值范围为(3,2−− 故答案为：(3,22−−【变式1-1】（海南省琼中黎族苗族自治县琼中中学2024届高三高考全真模拟卷（二）数学试题）已知函数()23,369,3x x f x x x x ⎧−≤=⎨−+−>⎩，若函数()()()22g x f x af x ⎡⎤=−+⎣⎦有6个零点，则a 的值可能为（） A ．1− B ．2−C ．3−D ．4−【答案】C【解析】由题可得，()()330f f =−=，()f x 在()(),0,3,−∞+∞上单调递减，在()0,3上单调递增，则据此可作出函数()f x 大致图象如图所示，令()f x t =，则由题意可得220t at −+=有2个不同的实数解1t ，2t ，且()12,3,0t t ∈−，则()()2121212Δ80601122203331130a t t a a t t t t a ⎧=−>⎪−<+=<⎪⇒−<<−⎨=>⎪⎪++=+>⎩3a =−满足题意. 故选：C ．【变式1-2】（河南省部分重点高中2023-2024学年高三阶段性考试（四）数学试题）已知函数()2ln ,0,43,0,x x f x x x x ⎧>=⎨++≤⎩若函数()()()241g x f x f x m =−++⎡⎤⎣⎦恰有8个零点，则m 的最小值是（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【解析】设()f x t =，因为()g x 有8个零点，所以方程()f x t =有4个不同的实根，结合()f x 的图像可得2410t t m −++=在(]0,3内有4个不同的实根，即214m t t +=−+在(]0,3内有2个不同的实根，可知314m ≤+<，即可求得结果．画出函数()2ln ,043,0x x f x x x x ⎧>=⎨++≤⎩，，的图像如图所示，设()f x t =，由()()()2410g x f x f x m =−++=⎡⎤⎣⎦，得2410t t m −++=.因为()g x 有8个零点，所以方程()f x t =有4个不同的实根，结合()f x 的图像可得在(]03t ∈,内有4个不同的实根.所以方程2410t t m −++=必有两个不等的实数根，即214m t t +=−+在(]03t ∈,内有2个不同的实根，结合图像由图可知，314m ≤+<，故23m ≤<，即m 的最小值是2. 故选：B02 零点问题（1）直接法：直接根据题设条件构造关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成球函数值域的问题加以解决；（3）数形结合法：先将解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．【典例2-1】（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数()()()lg ,011,022,2x x f x x x f x x ⎧−<⎪=−−≤<⎨⎪−≥⎩的图象在区间(),(0)t t t −>内恰好有5对关于y 轴对称的点，则t 的值可以是（）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】C【解析】令()()11,022,2x x g x g x x ⎧−−≤<⎪=⎨−≥⎪⎩，()lg m x x =，因为()lg m x x =与()lg y x =−的图象关于y 轴对称，因为函数()()()lg ,011,022,2x x f x x x f x x ⎧−<⎪=−−≤<⎨⎪−≥⎩的图象在区间(),(0)t t t −>内恰好有5对关于y 轴对称的点，所以问题转化为()lg m x x =与()()11,022,2x x g x g x x ⎧−−≤<⎪=⎨−≥⎪⎩的图象在()0,(0)t t >内有5个不同的交点，在同一平面直角坐标系中画出()lg m x x =与()()11,022,2x x g x g x x ⎧−−≤<⎪=⎨−≥⎪⎩的图象如下所示：因为()10lg101m ==，当10x >时()1m x >，()()()()()()13579111g g g g g g ======，结合图象及选项可得t 的值可以是6，其他值均不符合要求,. 故选：C【典例2-2】（2024·四川成都·三模）若函数()2e xf x kx =−大于0的零点有且只有一个，则实数k 的值为（） A ．4 B ．2e C ．e 2D ．2e 4【答案】D【解析】函数()f x 有且仅有一个正零点，即方程2ex k x=有且仅有一个正根，令()2e xg x x =，则()()3e 2x x g x x ='−，当0x <时，()0g x '>，当02x <<时，()0g x '<，当2x >时，()0g x '>，即函数()g x 在(),0∞−和()2,∞+上单调递增，在()0,2上单调递减，且()2e24g =，0x →时，()g x ∞→+，x →−∞时，()0g x →，x →+∞时，()g x ∞→+，可作出图象如下，方程2e x k x =有且仅有一个正根，所以2e 4k =.故选：D.【变式2-1】（2024·北京海淀·一模）已知()()3,0lg 1,0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩，函数()f x 的零点个数为m ，过点(0,2)与曲线()y f x =相切的直线的条数为n ，则,m n 的值分别为（） A ．1,1 B ．1,2 C ．2,1 D ．2,2【答案】B【解析】令()0f x =，即0x ≤时，30x =，解得0x =， 0x >时，()lg 10x +=，无解，故1m =，设过点(0,2)与曲线()y f x =相切的直线的切点为()00,x y ，当0x <时，()23f x x '=，则有()320003y x x x x −=−，有()3200023x x x −=−，整理可得301x =−，即01x =−，即当00x <时，有一条切线，当0x >时，()lg e1f x x '=+，则有()()000lg 1e lg 1y x x x x −=−++，有()()000l 2g elg 11x x x −+=−+，整理可得()()()000221lg 10lg e x x x ++−++=，令()()()()()2l 0g 2l 1e 1g g x x x x x =++−++>，则()()2lg 1g x x '=−+，令()0g x '=，可得99x =，故当()0,99x ∈时，()0g x '>，即()g x 在()0,99上单调递增，当()99,x ∈+∞时，()0g x '<，即()g x 在()99,∞+上单调递减，由()()992lg e 99220099lg e 0g =+⨯+−=>，()02020g =−=>，故()g x 在()0,99x ∈上没有零点，又()()9992lg e 999210003999lg e 10000g =+⨯+−⨯=−<，故()g x 在()99,999上必有唯一零点，即当00x >时，亦可有一条切线符合要求，故2n =.故选：B.【变式2-2】（2024·甘肃武威·模拟预测）已知函数()4ln 12f x ax a x ⎛⎫=−−+ ⎪⎝⎭有3个零点，则实数a 的取值范围是（）A ．()1,+∞B ．()2,+∞C ．(),1−∞−D ．(),2−∞−【答案】C【解析】将()y f x =的图象向左平移2个单位长度，可得函数()()22ln 2xg x f x ax x−=+=−+的图象，所以原题转化为“函数()2ln2xg x ax x−=−+有3个零点”，即研究直线y ax =与函数()2ln2xh x x−=+图象交点的个数问题．因为()h x 的定义域为()2,2−，且()()22ln ln ln1022x xh x h x x x+−−+=+==−+，所以()h x 为奇函数．因为()22222440222(2)4x x x h x x x x x x '+−+−⎛⎫=⋅=⨯=< ⎪−+−+−⎝⎭'，所以()h x 在区间()2,2−上为减函数，且曲线()y h x =在点()0,0处的切线方程为y x =−．当0x =时，2112xx x−+⨯=−+；当02x <<时，2ln2xx x−<−+；当20x −<<的，2ln2xx x−>−+，作出()h x 的图象．如图：由图知：当1a <−时，直线y ax =与函数()2ln2xh x x−=+的图象有3个交点．故实数a 的取值范围是(),1∞−−．故选：C.03 导数的同构思想同构式的应用：（1）在方程中的应用：如果方程()0f a =和()0f b =呈现同构特征，则,a b 可视为方程()0f x =的两个根（2）在不等式中的应用：如果不等式的两侧呈现同构特征，则可将相同的结构构造为一个函数，进而和函数的单调性找到联系。

2020年高考数学(文)一轮复习专题6.2 等差数列及其前n项和(练)(解析版)

专题6.2 等差数列及其前n 项和1．（江西师范大学附属中学2019届高三三模）已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，5632a a a +=+，则7S =（）A ．2B ．7C ．14D ．28【答案】C 【解析】5632a a a +=+ 44422a d a d a d ∴++=++-，解得：42a =()177477142a a S a +∴===，本题选C 。

2．（安徽省1号卷A10联盟2019届模拟）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2163S =，则31119a a a ++=（）A ．12B ．9C ．6D ．3【答案】B【解析】由等差数列性质可知：21112163S a ==，解得：113a =311191139a a a a ∴++==本题选B 。

3．（贵州省贵阳市2019届高三模拟）已知{a n }为递增的等差数列，a 4+a 7=2，a 5•a 6=-8，则公差d=（） A ．6 B ．6-C ．2-D ．4【答案】A【解析】∵{a n }为递增的等差数列，且a 4+a 7=2，a 5•a 6=-8， ∴a 5+a 6=2，∴a 5，a 6是方程22x 80x --=的两个根，且a 5＜a 6， ∴a 5=-2，a 6=4， ∴d=a 6-a 5=6，故选A 。

4．（河北衡水中学2019届高三调研）已知等比数列{}n a 中，若12a =，且1324,,2a a a 成等差数列，则5a =（）A ．2B ．2或32C ．2或-32D ．-1【答案】B【解析】设等比数列{}n a 的公比为q （q 0≠），1324,,2a a a 成等差数列， 321224a a a ∴=+，10a ≠， 220q q ∴--=，解得：q=2q=-1或，451a =a q ∴，5a =232或，故选B.5．（浙江省金华十校2019届高三模拟）等差数列{}n a ，等比数列{}n b ，满足111a b ==，53a b =，则9a 能取到的最小整数是（）A ．1-B ．0C ．2D ．3【答案】B【解析】等差数列{}n a 的公差设为d ，等比数列{}n b 的公比设为q ，0q ≠，由111a b ==，53a b =，可得214d q +=，则2291812(1)211a d q q =+=+-=->-，可得9a 能取到的最小整数是0，故选B 。

2020届高三文科数学总复习习题：6.2 等差数列及其前n项和 Word版含答案

§6.2等差数列及其前n项和【考点集训】考点一等差数列的定义及通项公式1.(2018陕西咸阳12月模拟,7)《张丘建算经》卷上一题大意为今有女善织,日益功疾,且从第二天起,每天比前一天多织相同量的布,现在一月(按30天计)共织布390尺,最后一天织布21尺,则该女第一天共织多少布?()A.3尺B.4尺C.5尺D.6尺答案C2.(2017安徽淮南一模,15)已知数列{a n}满足递推关系式a n+1=2a n+2n-1(n∈N*),且为等差数列,则λ的值是.答案-13.(2018河南开封定位考试,17)已知数列{a n}满足a1=,且a n+1=.(1)求证:数列是等差数列;(2)若b n=a n a n+1,求数列{b n}的前n项和S n.解析(1)证明:∵a=,∴=,n+1∴-=.∴数列是以2为首项,为公差的等差数列.(2)由(1)知a n=,∴b n==4-,∴S n=4--…-=4-=.考点二等差数列的性质(2019届湖北宜昌模拟,6)已知数列{a}满足=25·,且a2+a4+a6=9,则lo(a5+a7+a9)=()nA.-3B.3C.-D.答案A考点三等差数列的前n项和1.(2018安徽安庆调研,5)等差数列{a n}中,已知S15=90,那么a8=()A.12B.4C.3D.6答案D2.(2017河南部分重点中学二联,6)设S n是公差不为零的等差数列{a n}的前n项和,且a1>0,若S5=S9,则当S n最大时,n=()A.6B.7C.10D.9答案B3.(2019届福建龙岩永定区模拟,10)已知等差数列{a n},{b n}的前n项和分别为S n和T n,且=,则=()A.B.C.D.答案 D炼技法【方法集训】方法1 等差数列的判定与证明的方法(2019届福建三明模拟,17)已知数列{a n }中,a n =2n-1. (1)证明:数列{a n }是等差数列;(2)若数列{a n }的前n 项和S n =25,求n.解析 (1)证明:∵a n+1-a n =2(n+1)-1-(2n-1)=2,a 1=1, ∴数列{a n }是等差数列,首项为1,公差为2. (2)由(1)得数列{a n }的前n 项和S n =n+ -×2=n 2,由S n =25得n 2=25,又n>0,解得n=5.方法2 等差数列前n 项和的最值问题的解决方法1.(2019届江西高安模拟,11)已知数列{a n }是等差数列,其前n 项和为S n ,满足a 1+3a 2=S 6,给出下列结论:(1)a 7=0;(2)S 13=0;(3)S 7最小;(4)S 5=S 8.其中正确结论的个数是( )A.1B.2C.3D.4答案 C2.(2019届福建龙岩新罗区模拟,12)已知等差数列{a n }的公差为-2,前n 项和为S n ,a 3,a 4,a 5为某三角形的三边长,且该三角形有一个内角为120°,若S n ≤S m 对任意的n ∈N *恒成立,则实数m=( ) A.7 B.6 C.5D.4答案 B3.(2019届福建龙岩新罗区模拟,16)等差数列{a n }中,S n 是它的前n 项和,且S 6<S 7,S 6>S 8,给出下列结论: ①数列{a n }的公差d<0;②S 9<S 6;③S 14<0;④S 7一定是S n 中的最大值. 其中正确的是 (填序号). 答案 ①②③④过专题【五年高考】A 组统一命题·课标卷题组考点一等差数列的定义及通项公式(2016课标全国Ⅱ,17,12分)等差数列{a n }中,a 3+a 4=4,a 5+a 7=6.(1)求{a n }的通项公式;(2)设b n =[a n ],求数列{b n }的前10项和,其中[x]表示不超过x 的最大整数,如[0.9]=0,[2.6]=2. 解析 (1)设数列{a n }的公差为d,由题意有2a 1+5d=4,a 1+5d=3. 解得a 1=1,d=.(3分) 所以{a n }的通项公式为a n =.(5分) (2)由(1)知,b n =.(6分) 当n=1,2,3时,1≤<2,b n =1; 当n=4,5时,2<<3,b n =2;当n=6,7,8时,3≤<4,bn=3;当n=9,10时,4<<5,bn=4.(10分)所以数列{bn}的前10项和为1×3+2×2+3×3+4×2=24.(12分)考点二等差数列的性质(2015课标Ⅱ,5,5分)设Sn 是等差数列{an}的前n项和.若a1+a3+a5=3,则S5=()A.5B.7C.9D.11答案A考点三等差数列的前n项和1.(2015课标Ⅰ,7,5分)已知{a n}是公差为1的等差数列,S n为{a n}的前n项和.若S8=4S4,则a10=()A. B. C.10 D.12答案B2.(2014课标Ⅱ,5,5分)等差数列{a n}的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,则{a n}的前n项和S n=()A.n(n+1)B.n(n-1)C. D.-答案A3.(2018课标全国Ⅱ,17,12分)记S n为等差数列{a n}的前n项和,已知a1=-7,S3=-15.(1)求{a n}的通项公式;(2)求S n,并求S n的最小值.解析(1)设{an}的公差为d,由题意得3a1+3d=-15.由a1=-7得d=2.所以{an}的通项公式为a n=2n-9.(2)由(1)得S n=n2-8n=(n-4)2-16.所以当n=4时,Sn取得最小值,最小值为-16.B组自主命题·省(区、市)卷题组考点一等差数列的定义及通项公式1.(2016浙江,8,5分)如图,点列{A n},{B n}分别在某锐角的两边上,且|A n A n+1|=|A n+1A n+2|,A n≠A n+2,n∈N*,|B n B n+1|=|B n+1B n+2|,B n≠B n+2,n∈N*.(P≠Q表示点P与Q不重合)若d n=|A n B n|,S n为△A n B n B n+1的面积,则()A.{S n}是等差数列B.{}是等差数列C.{d n}是等差数列D.{}是等差数列答案A2.(2014辽宁,9,5分)设等差数列{a n}的公差为d.若数列{}为递减数列,则()A.d>0B.d<0C.a1d>0D.a1d<0答案D3.(2015北京,16,13分)已知等差数列{a n}满足a1+a2=10,a4-a3=2.(1)求{a n}的通项公式;(2)设等比数列{b n}满足b2=a3,b3=a7.问:b6与数列{a n}的第几项相等?解析(1)设等差数列{an}的公差为d.因为a4-a3=2,所以d=2.又因为a1+a2=10,所以2a1+d=10,故a1=4.所以an=4+2(n-1)=2n+2(n=1,2,…).(2)设等比数列{b n}的公比为q.因为b2=a3=8,b3=a7=16,所以q=2,b1=4.所以b6=4×26-1=128.由128=2n+2得n=63.所以b6与数列{an}的第63项相等.4.(2014浙江,19,14分)已知等差数列{a n}的公差d>0.设{a n}的前n项和为S n,a1=1,S2·S3=36.(1)求d及S n;(2)求m,k(m,k∈N*)的值,使得a m+a m+1+a m+2+…+a m+k=65.解析(1)由题意知(2a1+d)(3a1+3d)=36,将a1=1代入上式解得d=2或d=-5.因为d>0,所以d=2.从而an=2n-1,S n=n2(n∈N*).(2)由(1)得a m+a m+1+a m+2+…+a m+k=(2m+k-1)(k+1),所以(2m+k-1)(k+1)=65.由m,k∈N*知2m+k-1≥k+1>1,故-所以考点二等差数列的性质1.(2014重庆,2,5分)在等差数列{a n}中,a1=2,a3+a5=10,则a7=()A.5B.8C.10D.14答案B2.(2015陕西,13,5分)中位数为1010的一组数构成等差数列,其末项为2015,则该数列的首项为. 答案5考点三等差数列的前n项和1.(2017浙江,6,4分)已知等差数列{a n}的公差为d,前n项和为S n,则“d>0”是“S4+S6>2S5”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案C2.(2015安徽,13,5分)已知数列{a n}中,a1=1,a n=a n-1+(n≥2),则数列{a n}的前9项和等于.答案27C组教师专用题组考点一等差数列的定义及通项公式1.(2013安徽,7,5分)设S n为等差数列{a n}的前n项和,S8=4a3,a7=-2,则a9=()A.-6B.-4C.-2D.2答案A2.(2014陕西,14,5分)已知f(x)=,x≥0,若f1(x)=f(x),f n+1(x)=f(f n(x)),n∈N+,则f2014(x)的表达式为.答案f2014(x)=3.(2015福建,17,12分)等差数列{a n}中,a2=4,a4+a7=15.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=-+n,求b1+b2+b3+…+b10的值.解析(1)设等差数列{an}的公差为d.由已知得解得所以an=a1+(n-1)d=n+2.(2)由(1)可得b n=2n+n.所以b1+b2+b3+…+b10=(2+1)+(22+2)+(23+3)+…+(210+10)=(2+22+23+...+210)+(1+2+3+ (10)=--+=(211-2)+55=211+53=2101.4.(2013课标Ⅰ,17,12分)已知等差数列{a n}的前n项和S n满足S3=0,S5=-5.(1)求{a n}的通项公式;(2)求数列-的前n项和.解析(1)设{an}的公差为d,则S n=na1+- d.由已知可得-解得a1=1,d=-1.故{an}的通项公式为a n=2-n.(2)由(1)知-=--=---,从而数列-的前n项和为--+-+…+---=-.5.(2013江西,17,12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin Asin B+sin Bsin C+cos2B=1.(1)求证:a,b,c成等差数列;(2)若C=,求的值.解析(1)证明:由已知得sin Asin B+sin Bsin C=2sin2B,因为sin B≠0,所以sin A+sin C=2sin B,由正弦定理,有a+c=2b,即a,b,c成等差数列.(2)由C=,c=2b-a及余弦定理得(2b-a)2=a2+b2+ab,即有5ab-3b2=0,所以=.考点二等差数列的性质(2013辽宁,4,5分)下面是关于公差d>0的等差数列{a n }的四个命题: p 1:数列{a n }是递增数列; p 2:数列{na n }是递增数列; p 3:数列是递增数列; p 4:数列{a n +3nd}是递增数列.其中的真命题为( ) A.p 1,p 2 B.p 3,p 4 C.p 2,p 3 D.p 1,p 4 答案 D考点三等差数列的前n 项和1.(2014天津,5,5分)设{a n }是首项为a 1,公差为-1的等差数列,S n 为其前n 项和.若S 1,S 2,S 4成等比数列,则a 1=( ) A.2B.-2C.D.-答案 D2.(2014重庆,16,13分)已知{a n }是首项为1,公差为2的等差数列,S n 表示{a n }的前n 项和.(1)求a n 及S n ;(2)设{b n }是首项为2的等比数列,公比q 满足q 2-(a 4+1)q+S 4=0.求{b n }的通项公式及其前n 项和T n . 解析 (1)因为{a n }是首项a 1=1,公差d=2的等差数列,所以a n =a 1+(n-1)d=2n-1. 故S n =1+3+…+(2n-1)== -=n 2. (2)由(1)得a 4=7,S 4=16.因为q 2-(a 4+1)q+S 4=0,即q 2-8q+16=0,所以(q-4)2=0,从而q=4. 又因为b 1=2,{b n }是公比q=4的等比数列,所以b n =b 1q n-1=2×4n-1=22n-1. 从而{b n }的前n 项和T n =- -= (4n-1). 3.(2013浙江,19,14分)在公差为d 的等差数列{a n }中,已知a 1=10,且a 1,2a 2+2,5a 3成等比数列.(1)求d,a n ;(2)若d<0,求|a 1|+|a 2|+|a 3|+…+|a n |.解析 (1)由题意得5a 3·a 1=(2a 2+2)2,即d 2-3d-4=0.故d=-1或d=4.所以a n =-n+11,n ∈N *或a n =4n+6,n ∈N *.(2)设数列{a n }的前n 项和为S n .因为d<0,由(1)得d=-1,a n =-n+11,所以当n ≤11时, |a 1|+|a 2|+|a 3|+…+|a n |=S n =-n 2+n.当n ≥12时,|a 1|+|a 2|+|a 3|+…+|a n |=-S n +2S 11=n 2-n+110. 综上所述,|a 1|+|a 2|+|a 3|+…+|a n | = --【三年模拟】时间:45分钟分值:60分一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2018河南开封定位考试,5)等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 1+a 5=10,S 4=16,则数列{a n }的公差为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 B2.(2017辽宁六校协作体期中,8)已知等差数列{a n},{b n}的前n项和分别为S n,T n,若对于任意的正整数n,都有=-,则-+=()A. B. C. D.答案A3.(2018云南玉溪模拟,9)若{a n}是等差数列,公差d<0,a1>0,且a2013(a2012+a2013)<0,则使数列{a n}的前n项和S n>0成立的最大正整数n是()A.4027B.4026C.4025D.4024答案D4.(2017广东惠州二调,7)设S n是等差数列{a n}的前n项和,若=,则=()A.1B.-1C.2D.答案A5.(2019届河北唐山模拟,8)已知数列{a n}的前n项和S n=2+λa n,且a1=1,则S5=()A.27B.C.D.31答案C6.(2019届浙江温州模拟,9)已知{a n},{b n}均为等差数列,且a2=4,a4=6,b3=3,b7=9,由{a n},{b n}的公共项组成新数列{c n},则c10=()A.18B.24C.30D.36答案C7.(2019届河北唐山模拟,6)设{a n}是任意等差数列,它的前n项和、前2n项和与前4n项和分别为X,Y,Z,则下列等式中恒成立的是()A.2X+Z=3YB.4X+Z=4YC.2X+3Z=7YD.8X+Z=6Y答案D二、填空题(共5分)8.(2018四川德阳一模,7)我国古代数学名著《张邱建算经》中有“分钱问题”:今有与人钱,初一人与三钱,次一人与四钱,次一人与五钱,以次与之,转多一钱,与讫,还敛聚与均分之,人得一百钱,问人几何?意思是:将钱分给若干人,第一人给3钱,第二人给4钱,第三人给5钱,以此类推,每人比前一人多给1钱,分完后,再把钱收回平均分给各人,结果每人分得100钱,问有多少人?则题中的人数是.答案195三、解答题(共20分)9.(2018广东惠州一调,17)已知等差数列{a n}的公差不为0,前n项和为S n(n∈N*),S5=25,且S1,S2,S4成等比数列.(1)求a n与S n;(2)设b n=,求证:b1+b2+b3+…+b n<1.解析(1)设等差数列{a}的公差为d(d≠0),n则由S=25可得a3=5,即a1+2d=5①,5又S,S2,S4成等比数列,且S1=a1,S2=2a1+d,S4=4a1+6d,1所以(2a+d)2=a1(4a1+6d),整理得2a1d=d2,1因为d≠0,所以d=2a②,1联立①②,解得a=1,d=2,1所以a=1+2(n-1)=2n-1,S n=-=n2.n(2)证明:由(1)得b n==-,所以b1+b2+b3+…+b n=-+-+…+-=1-.又∵n∈N*,∴1-<1.∴b1+b2+b3+…+b n<1.10.(2019届河北曲周模拟,17)等差数列{a n}中,公差d<0,a2+a6=-8,a3a5=7.(1)求{a n}的通项公式;(2)记T n为数列{b n}前n项的和,其中b n=|a n|,n∈N*,若T n≥1464,求n的最小值.解析(1)∵等差数列{an}中,公差d<0,a2+a6=-8,∴a2+a6=a3+a5=-8,又∵a3a5=7,∴a3,a5是一元二次方程x2+8x+7=0的两个根,且a3>a5,解方程x2+8x+7=0,得a3=-1,a5=-7,∴--解得a1=5,d=-3.∴a n=5+(n-1)×(-3)=-3n+8.(2)由(1)知{a n}的前n项和S n=5n+-×(-3)=-n2+n.∵b n=|a n|,∴b1=5,b2=2,b3=|-1|=1,b4=|-4|=4,当n≥3时,bn=|a n|=3n-8.当n<3时,T1=5,T2=7;当n≥3时,Tn=-S n+2S2=-+14.∵T n≥1464,∴T n=-+14≥1464,即(3n-100)(n+29)≥0,解得n≥,∴n的最小值为34.。

2020届高考数学(文)总复习：创新思维课时规范练(含答案)第三章第八节解三角形的应用举例

课时规范练A组基础对点练1．已知A，B两地间的距离为10 km，B，C两地间的距离为20 km ，现测得∠AB＝120°，则A，C两地间的距离为()A．10 km B．10 3 kmC．10 5 km D．107 km解析：如图所示，由余弦定理可得：AC2＝100＋400－2×10×20×cos 120°＝700，∴AC＝107(km)．答案：D2.(2019·银川一中月考)如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为()A．50 2 m B．50 3 mC．25 2 m D.2522m解析：由正弦定理得ABsin∠ACB＝ACsin B，∴AB＝AC·sin∠ACBsin B＝50×2212＝502，故A，B两点的距离为50 2 m.答案：A3．某位居民站在离地20 m高的阳台上观测到对面小高层房顶的仰角为60°，小高层底部的俯角为45°，那么这栋小高层的高度为()A．20(1＋33)m B．20(1＋3)mC．10(2＋6)m D．20(2＋6)m解析：如图，设AB 为阳台的高度，CD 为小高层的高度，AE 为水平线．由题意知AB ＝20 m ，∠DAE ＝45°，∠CAE ＝60°，故DE ＝20 m ，CE ＝20 3 m ．所以CD ＝20(1＋3)m.故选B. 答案：B4．某船开始看见灯塔在南偏东30°方向，后来船沿南偏东60°的方向航行15 km 后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是( ) A ．5 km B ．10 km C ．5 3 kmD ．5 2 km解析：作出示意图(如图)，点A 为该船开始的位置，点B 为灯塔的位置，点C 为该船后来的位置，所以在△ABC 中，有∠BAC ＝60°－30°＝30°，B ＝120°，AC ＝15，由正弦定理，得15sin 120°＝BC sin 30°，即BC ＝15×1232＝53，即这时船与灯塔的距离是5 3km. 答案：C5．为绘制海底地貌图，测量海底两点C ，D 之间的距离，海底探测仪沿水平方向在A ，B 两点进行测量，A ，B ， C ，D 在同一个铅垂平面内，海底探测仪测得∠BAC ＝30°，∠DAC ＝45°，∠ABD ＝45°，∠DBC ＝75°， A ，B 两点的距离为 3 海里，则C ，D 之间的距离为( ) A. 5 海里 B ．2 海里 C.⎝⎛⎭⎪⎫6＋22 海里 D ．(2＋1) 海里解析：∠ADB ＝180°－30°－45°－45°＝60°，在△ABD 中，由正弦定理，得BD ＝ 3 sin 75°sin 60°＝6＋22，在△ABC 中，∠ACB ＝180°－30°－45°－75°＝30°，所以BC ＝BA ＝3，在△BCD 中，由余弦定理，得CD 2＝BC 2＋BD 2－2BC ·BD cos ∠ DBC ＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋222－2×3×6＋22×6－24＝5，所以CD ＝ 5.答案：A6．台风中心从A 地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40千米处，B 城市处于危险区内的持续时间为( ) A ．0.5小时 B ．1小时 C ．1.5小时D ．2小时解析：根据题意画出相应的图形，如图所示．BE ＝BF ＝30 km ，△ABD 为等腰直角三角形且AB ＝40 km ，由勾股定理得AD ＝BD ＝20 2 km ，由BD ⊥AD ，可得ED ＝DF ，在Rt △BED 中，由勾股定理得ED ＝BE 2－BD 2＝10 km ，所以EF ＝2ED ＝20 km ，因此B 市处于危险区内的时间为20÷20＝1(h)．答案：B7．如图，一艘船上午9：30在A 处测得灯塔S 在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B 处，此时又测得灯塔S 在它的北偏东75°处，且与它相距8 2 n mile.此船的航速是________ n mile/h. 解析：设航速为v n mile/h ，在△ABS 中，AB ＝12v ，BS ＝8 2 n mile ，∠BSA ＝45°，由正弦定理，得82sin 30°＝12v sin 45°，所以v ＝32. 答案：328.(2019·西安模拟)游客从某旅游景区的景点A 处至景点C 处有两条线路．线路1是从A 沿直线步行到C ，线路2是先从A 沿直线步行到景点B 处，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处同时出发匀速步行，甲的速度是乙的速度的119倍，甲走线路2，乙走线路1，最后他们同时到达C 处．经测量，AB ＝1 040 m ，BC ＝500 m ，则sin ∠BAC 等于__________．解析：依题意，设乙的速度为x m/s ，则甲的速度为119x m/s ，因为AB ＝1 040，BC ＝500，所以AC x ＝1 040＋500119x ，解得：AC ＝1 260，在△ABC 中由余弦定理可知 cos ∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC＝1 0402＋1 2602－50022×1 040×1 260＝8491＝1213，所以sin ∠BAC ＝1－cos 2∠BAC ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12132＝513. 答案：5139.如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°.(1)若PB ＝12，求P A ；(2)若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA .解析：(1)由已知得∠PBC ＝60°，所以∠PBA ＝30°.在△PBA 中，由余弦定理得P A 2＝3＋14－2×3×12cos 30°＝74.故P A ＝72.(2)设∠PBA ＝α，由已知得PB ＝sin α. 在△PBA 中，由正弦定理得，3sin 150°＝sin αsin (30°－α)，化简得3cos α＝4sin α. 所以tan α＝34，即tan ∠PBA ＝34.10．(2019·宜宾模拟)一艘海轮从A 出发，沿北偏东75°的方向航行(23－2)n mil到达海岛B ，然后从B 出发，沿北偏东15°的方向航行4 n mile 到达海岛C .(1)求AC 的长；(2)如果下次航行直接从A 出发到达C ，求∠CAB 的大小．解析：(1)由题意，在△ABC 中，∠ABC ＝180°－75°＋15°＝120°，AB ＝23－2，BC ＝4，根据余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ×BC ×cos ∠ABC ＝(23－2)2＋42＋(23－2)×4＝24，所以AC ＝2 6. (2)根据正弦定理得， sin ∠BAC ＝4×3226＝22，所以∠CAB＝45°.B组能力提升练11．如图，某海上缉私小分队驾驶缉私艇以40 km/h的速度由A处出发，沿北偏东60°方向进行海上巡逻，当航行半小时到达B处时，发现北偏西45°方向有一艘船C，若船C位于A的北偏东30°方向上，则缉私艇所在的B处与船C的距离是()A．5(6＋2) km B．5(6－2) kmC．10(6－2) km D．10(6＋2) km解析：由题意知∠BAC＝60°－30°＝30°，∠CBA＝30°＋45°＝75°，所以∠ACB＝180°－30°－75°＝75°，故AC＝AB，因为AB＝40×12＝20，所以AC＝AB＝20.在△ABC中，由余弦定理得：BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB cos∠CAB＝400＋400－2×20×20cos 30°＝400(2－3)，故BC＝400(2－3)＝200(3－1)2＝10(6－2)．答案：C12．(2019·广州模拟)如图，在海岸线上相距26千米的A，C两地分别测得小岛B在A的北偏西α方向，在C的北偏西π2－α方向，且cos α＝63，则B，C之间的距离是()A．303千米B．30千米C．123千米D．12千米解析：依题意得，AC ＝26，sin ∠BAC ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α＝63， sin B ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝cos 2α＝2cos 2α－1＝13，在△ABC 中，由正弦定理得，BC ＝AC sin ∠BAC sin B ＝26×6313＝12，则B 与C 之间的距离是12千米．答案：D13．(2019·长沙模拟)地面上有两座塔AB ，CD ，相距120米，一人分别在两塔底测得一塔顶的仰角是另一塔顶仰角的2倍，在两塔底连线的中点O 处测得塔顶的仰角互为余角，则两塔的高度分别为( ) A ．50米，100米 B ．40米，90米 C ．40米，50米D ．30米，40米解析：设高塔高H ，矮塔高h ，在矮塔下望高塔仰角为α，在 O 点望高塔仰角为β.分别在两塔底部测得一塔顶仰角是另一塔顶仰角的两倍，所以在高塔下望矮塔仰角为α2，即tan α＝H 120，tan α2＝h120，根据倍角公式有H120＝2×h 1201－⎝ ⎛⎭⎪⎫h 1202①，在塔底连线的中点O 测得两塔顶的仰角互为余角，所以在O 点望矮塔仰角为π2－β，即tan β＝H 60，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β＝h60，根据诱导公式有H 60＝60h ②，联立①②得H ＝90，h ＝40. 即两座塔的高度为40米，90米．答案：B14.(2019·衡水模拟)如图，为了测量河对岸电视塔CD的高度，小王在点A处测得塔顶D的仰角为30°，塔底C与A的连线同河岸成15°角，小王向前走了1 200 m到达M处，测得塔底C与M的连线同河岸成60°角，则电视塔CD的高度为__________．解析：在△ACM中，∠MCA＝60°－15°＝45°，∠AMC＝180°－60°＝120°，由正弦定理得AMsin∠MCA ＝ACsin∠AMC，即1 20022＝AC32，解得AC＝600 6.在Rt△ACD中，因为tan∠DAC＝DCAC ＝33，所以DC＝AC tan∠DAC＝6006×33＝6002(m)．答案：600 2 m15．(2019·遂宁模拟)海轮“和谐号”从A处以每小时21海里的速度出发，海轮“奋斗号”在A处北偏东45°的方向，且与A 相距10海里的C处，沿北偏东105°的方向以每小时9海里的速度行驶，则海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为__________小时．解析：设海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为x小时，如图，则由已知得△ABC中，AC＝10，AB＝21x，BC＝9x，∠ACB＝120°，由余弦定理得：(21x)2＝100＋(9x)2－2×10×9x×cos 120°，整理，得36x2－9x－10＝0，解得x＝23或x＝－512(舍)．所以海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为23小时．答案：2 316．如图，现要在一块半径为1 m ，圆心角为π3的扇形白铁片AOB 上剪出一个平行四边形MNPQ ，使点P 在弧AB 上，点Q 在OA 上，点M ，N 在OB 上，设∠BOP ＝θ，平行四边形MNPQ 的面积为S .(1)求S 关于θ的函数关系式． (2)求S 的最大值及相应的θ角．解析：(1)分别过P ，Q 作PD ⊥OB 于点D ，QE ⊥OB 于点E ，则四边形QEDP 为矩形．由扇形半径为1 m ，得PD ＝sin θ，OD ＝cos θ. 在Rt △OEQ 中， OE ＝33QE ＝33PD ，MN ＝QP ＝DE ＝OD －OE ＝cos θ－33sin θ，S ＝MN ·PD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θ－33sin θ·sin θ＝sin θcos θ－33sin 2θ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3.(2)S ＝12sin 2θ－36(1－cos 2θ)＝12sin 2θ＋36cos 2θ－36＝33sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π6－36，因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，所以2θ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π6∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1. 当θ＝π6时，S max ＝36(m 2)．。

_数学丨2023届高考全国甲卷乙卷全真模拟(三)数学试卷及答案

2023年高考数学全真模拟卷三（全国卷）理科数学（考试时间：120分钟；试卷满分：150分）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、单选题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．已知集合{}31A x x =-<，{B y y ==，则A B = （）A ．∅B ．[)4,+∞C ．()2,+∞D ．[)0,22．某班40人一次外语测试的成绩如下表：分数727375767880838791人数1234108642其中中位数为（）A ．78B ．80C ．79D ．78和893．若复数z 满足()()1i i 4z -+=，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为（）A ．2B ．2-C ．1D ．1-4．双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>，焦点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为（）A ．2214y x -=B ．2214x y -=C ．22123x y -=D ．22132x y -=5．“天圆地方”观反映了中国古代科学对宇宙的认识，后来发展成为中国传统文化的重要思想.中国古人将琮、璧、圭、璋、璜、琥六种玉制礼器谓之“六瑞”，玉琮内圆外方，表示天和地，中间的穿孔表示天地之间的沟通，可以说是中国古代世界观很好的象征物.下面是一玉琮图及其三视图，设规格如图所示（单位：cm ），则三视图中A ，B 两点在实物中对应的两点在实物玉璧上的最小距离约为（）（3π≈ 1.4≈）A ．8.4B ．9.8C ．10.4D ．11.26．已知定义在R 上的函数()21x mf x -=-（m 为实数）是偶函数，记0.5log 3a =，()2log 5b f =，()c f m =，则a 、b 、c 的大小关系为（）A ．a b c<<B ．a c b<<C ．c<a<bD ．c b a<<7．若某一几何体的三视图如图所示，则该几何体是（）A ．三棱柱B ．四棱柱C ．五棱柱D ．六棱柱8．已知,a b ∈R ，则“1ab ≥”是“222a b +≥”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．已知△ABC 满足22AB BA CA =⋅，则△ABC 的形状为（）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形10．在新型冠状病毒肺炎疫情联防联控期间，社区有5名医务人员到某学校的高一、高二、高三3个年级协助防控和宣传工作.若每个年级至少分配1名医务人员，则不同的分配方法有（）A ．25种B ．50种C ．300种D ．150种11．已知函数()2tan sin tan 1xf x x x =++，则下列结论正确的是（）A ．()f x 在区间ππ,33⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减B ．()f x 在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上有极小值C ．设()()2g x f x =-在区间ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上的最大值为M ，最小值为m ，则4M m +=D ．()f x 在区间ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭内有且只有一个零点12．已知函数()f x 的定义域为R ，且满足()()110f x f x -+-=，()()8f x f x +=，()11f =，()31f =-，()()21,021,24x a x f x x b x ⎧-++<≤⎪=⎨+-<≤⎪⎩，给出下列结论：①1a =-，3b =-；②()20231f =；③当[]4,6x ∈-时，()0f x <的解集为()()2,02,4- ；④若函数()f x 的图象与直线y mx m =-在y 轴右侧有3个交点，则实数m 的取值范围是111,16264⎛⎫⎛⎫--⋂- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.其中正确结论的个数为（）A ．4B ．3C ．2D ．1第II 卷（非选择题）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．函数()12f x x x=+在1x =处切线的倾斜角为_______.14．已知平面向量(2,)a x =-，b = ，且()a b b -⊥，实数x 的值为_____．15．设1F 、2F 分别为椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右焦点，与直线y b =相切的圆2F 交椭圆于点E ，且E 是直线1EF 与圆2F 相切的切点，则椭圆焦距与长轴长之比为________．16．已知函数()ln f x ax x x =-与函数()e 1xg x =-的图象上恰有两对关于x 轴对称的点,则实数a 的取值范围为__________.三、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共60分17．已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，2S 、4S 、55S +成等差数列，且2a 、7a 、22a 成等比数列．(1)求{}n a 的通项公式；(2)若11n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：16n T <．18．为促进新能源汽车的推广，某市逐渐加大充电基础设施的建设，该市统计了近五年新能源汽车充电站的数量（单位：个），得到如下表格：年份编号x 12345年份20162017201820192020新能源汽车充电站数量y /个37104147196226（1）已知可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，请用相关系数加以说明；（2）求y 关于x 的线性回归方程，并预测2024年该市新能源汽车充电站的数量．参考数据：51710i i y ==∑，512600i i i x y ==∑，()521149.89i i yy =-=∑ 3.16≈．参考公式：相关系数()()niix x yyr --=∑回归方程ˆˆˆybx a =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为；()()()121ˆniii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-．19．如图，在四棱锥P －ABCD 中，AB CD ∥，AB ⊥BC ，122BC CD PA PD AB =====，PC =E 为AB 的中点．(1)证明：BD ⊥平面APD ；(2)求平面APD 和平面CEP 的夹角的余弦值．20．已知抛物线()2:20C x pyp =>的焦点为F ，准线为l ，点P 是直线1:2l y x =-上一动点，直线l 与直线1l 交于点Q ，QF =(1)求抛物线C 的方程；(2)过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ，切点为,A B ，且95FA FB -≤⋅≤，求PAB 面积的取值范围.21．已知01a <<，函数()1x f x x a -=+，()1log a g x x x =++.(1)若()e e g =，求函数()f x 的极小值；(2)若函数()()y f x g x =-存在唯一的零点，求a 的取值范围.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为cos sin x t y t αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C 的极坐标方程为2853cos 2ρθ=-，直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，)M ．(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)若2AM MB =，求直线l 的斜率．[选修4-5：不等式选讲]23．已知：()1f x x x m =+--，0m >．(1)若2m =，求不等式()2f x >的解集；(2)()()g x f x x m =--，若()g x 的图象与x 轴围成的三角形面积不大于54，求m 的取值范围．2023年高考数学全真模拟卷三（全国卷）理科数学（考试时间：120分钟；试卷满分：150分）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、单选题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．已知集合{}31A x x =-<，{B y y ==，则A B = （）A ．∅B ．[)4,+∞C ．()2,+∞D ．[)0,2【答案】C【分析】根据一元一次不等式可解得集合A ，再根据函数值域求法可求得集合B ，由交集运算即可得出结果.【详解】由题意可得{}2A x x =>，由函数值域可得{}0B y y =≥，所以{}2A B x x ⋂=>．故选：C 2．某班40人一次外语测试的成绩如下表：分数727375767880838791人数1234108642其中中位数为（）A ．78B ．80C ．79D ．78和89【答案】C【分析】根据中位数的概念即可求得.【详解】解：由题意得：所有成绩从小到大排列，第二十位是78，第二十一位是80，则中位数为7880792+=.故选：C 3．若复数z 满足()()1i i 4z -+=，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为（）A ．2B ．2-C ．1D ．1-【答案】C【分析】根据复数的除法运算与减法运算得2i z =+，进而根据复数的概念求解即可.【详解】解：由题意可知()()()41i 4i i 2i 1i 1i 1i z +=-=-=+--+，所以，z 的虚部为1.故选：C.4．双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>，焦点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为（）A ．2214y x -=B ．2214x y -=C ．22123x y -=D ．22132x y -=【答案】B【分析】由离心率可得12b a =，从而可得渐近线方程，根据焦点到渐近线的距离为1可得c ，从而可求a ，故可得双曲线的方程.【详解】由题可知c a =，222514b e a =+=，得12b a =，则渐近线方程为20x y ±=，焦点到渐近线的距离为1，1=，可解得c =，所以2a =，由222c a b =+得1b =.所以双曲线方程为2214x y -=.故选:B.5．“天圆地方”观反映了中国古代科学对宇宙的认识，后来发展成为中国传统文化的重要思想.中国古人将琮、璧、圭、璋、璜、琥六种玉制礼器谓之“六瑞”，玉琮内圆外方，表示天和地，中间的穿孔表示天地之间的沟通，可以说是中国古代世界观很好的象征物.下面是一玉琮图及其三视图，设规格如图所示（单位：cm ），则三视图中A ，B 两点在实物中对应的两点在实物玉璧上的最小距离约为（）（3π≈ 1.4≈）A ．8.4B ．9.8C ．10.4D ．11.2【答案】A【分析】玉琮的中空部分看成一圆柱，A ，B 两点可看成是圆柱轴截面所对应矩形的对角线的端点，将圆柱侧面展开，线段AB 的长就是沿该圆柱表面由A 到B 的最短距离．【详解】本题考查传统文化与圆柱的侧面展开图.由题意，将玉琮的中空部分看成一圆柱，A ，B 两点可看成是圆柱轴截面所对应矩形的对角线的端点，现沿该圆柱表面由A到B ，如图，将圆柱侧面展开，可知()min 8.4AB =≈.故选：A ．6．已知定义在R 上的函数()21x mf x -=-（m 为实数）是偶函数，记0.5log 3a =，()2log 5b f =，()c f m =，则a 、b 、c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．a c b<<C ．c<a<bD ．c b a<<【答案】B【分析】由偶函数的性质可得m 的值，即可得函数()f x 的解析式，分析函数单调性，结合对数的运算性质比较大小.【详解】()21x mf x -=-（m 为实数）是R 上的偶函数，∴()()f x f x -=，即2121x m x m ----=-，∴--=-x m x m ，即()()22x m x m --=-，∴0mx =，则0m =，此时()21xf x =-，0.5log 30a =<，()2log 540b f ==>，()(0)0c f m f ===，则a c b <<．故选：B7．若某一几何体的三视图如图所示，则该几何体是（）A ．三棱柱B ．四棱柱C ．五棱柱D ．六棱柱【答案】C【分析】根据三视图还原出立体图形即可得到答案.【详解】根据其三视图还原出其立体图形如下图所示，易得其为五棱柱，故选：C.8．已知,a b ∈R ，则“1ab ≥”是“222a b +≥”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据充分条件、必要条件及不等式的性质可得解.【详解】由22||12||||2ab a b a b ≥⇒+≥≥，而222a b +≥不一定能得到1ab ≥，例如，0,2a b ==，所以“1ab ≥”是“222a b +≥”的充分而不必要条件.故选：A 9．已知△ABC 满足22AB BA CA =⋅，则△ABC 的形状为（）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形【答案】D【分析】根据已知得到22cos c bc A =，利用正弦定理可求得sin 2sin cos =C B A ，结合三角形内角和为π以及两角和的正弦公式可求得in 0()s A B -=，即可确定三角形形状.【详解】解：根据22AB BA CA =⋅得到：22cos c bc A =，由正弦定理2sin sin b cR B C==，可得2sin 2sin sin cos C B C A =，又C 为三角形的内角，得到sin 0C ≠，可得sin 2sin cos =C B A ，又[]sin sin ()sin()C A B A B π=-+=+，∴sin()sin cos cos sin 2sin cos A B A B A B B A +=+=，即sin cos cos sin 0A B A B -=，∴in 0()s A B -=，且A 和B 都为三角形的内角，∴A B =，则ABC 的形状为等腰三角形．故选：D ．10．在新型冠状病毒肺炎疫情联防联控期间，社区有5名医务人员到某学校的高一、高二、高三3个年级协助防控和宣传工作.若每个年级至少分配1名医务人员，则不同的分配方法有（）A ．25种B ．50种C ．300种D ．150种【答案】D【分析】首先分析将5个人分为三小组且每小组至少有一人，则可能分法有：(2,2,1),(3,1,1)两种情况，每种情况利用分步计数原理计算情况数，最后相加即可.【详解】当5个人分为2，2，1三小组，分别来自3个年级，共有2213531322C C C A 90A ⋅=种；②当5个人分为3，1，1三小组时，分别来自3个年级，共有3113521322C C C A 60A ⋅=种.综上，选法共有9060150+=.故选:D.11．已知函数()2tan sin tan 1xf x x x =++，则下列结论正确的是（）A ．()f x 在区间ππ,33⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减B ．()f x 在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上有极小值C ．设()()2g x f x =-在区间ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上的最大值为M ，最小值为m ，则4M m +=D ．()f x 在区间ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭内有且只有一个零点【答案】D【分析】由商数关系化简函数，结合导数法可得函数性质及图象，即可逐个判断.【详解】因为()22sin tan cos sin sin tan 1sin 1cos xx x f x x x x x x =+=++⎛⎫+ ⎪⎝⎭πsin sin cos π,2x x x x k k ⎛⎫=+≠+∈ ⎪⎝⎭Z ，所以()()()22cos cos 12cos 1cos 1f x x x x x '=+-=-⋅+．当ππ,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，令()0f x '=，解得π3x =±，则当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表所示．x ππ,23⎛⎫-- ⎪⎝⎭π3-ππ,33⎛⎫- ⎪⎝⎭π3ππ,32⎛⎫ ⎪⎝⎭()f x '－0＋0－所以()f x 在区间ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上的图象如图所示．对A ，()f x 在区间ππ,33⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，A 错；对B ，()f x 在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上有极大值，无极小值，B 错；对C ，()()2g x f x =-在区间ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上的最大值为24M =-，最小值为24m =--，4M m +=-，C 错；对D ，()f x 在区间ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭内有且只有一个零点，D 对.故选：D.12．已知函数()f x 的定义域为R ，且满足()()110f x f x -+-=，()()8f x f x +=，()11f =，()31f =-，()()21,021,24x a x f x x b x ⎧-++<≤⎪=⎨+-<≤⎪⎩，给出下列结论：①1a =-，3b =-；②()20231f =；③当[]4,6x ∈-时，()0f x <的解集为()()2,02,4- ；④若函数()f x 的图象与直线y mx m =-在y 轴右侧有3个交点，则实数m 的取值范围是111,16264⎛⎫⎛⎫--⋂- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.其中正确结论的个数为（）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】C【分析】由()11f =，()31f =-解出,a b 的值可判断①；由周期和奇偶函数的性质计算()20231f =-可判断②；作出函数()f x 在[]0,4上的图象，根据图象可判断③；讨论当0m >和0m <，方程()mx m f x -=的解的个数可判断④.【详解】因为()()110f x f x -+-=，所以()()f x f x -=-，所以函数()f x 为奇函数，()00f =.因为()()8f x f x +=，所以()f x 的周期为8.又()()21111f a =-++=，所以10a +=，所以1a =-，()3311f b =+-=-，所以3b =-，故①正确.因为，()()()()202325381111f f f f =⨯-=-=-=-，故②错误.易知()()211,0231,24x x f x x x ⎧--+<≤⎪=⎨--<≤⎪⎩，作出函数()f x 在[]0,4上的图象，根据函数()f x 为奇函数，及其周期为8，得到函数()f x 在R 上的图象，如图所示，由()f x 的图象知，当[]4,6x ∈-时，()0f x <的解集为()()2,02,4- ，故③正确.由题意，知直线()1y mx m m x =-=-恒过点()1,0，与函数()f x 的图象在y 轴右侧有3个交点根据图象可知当0m >时，应有51m m ⨯-<，即14m <，且同时满足()mx m f x -=，[]8,10x ∈无解，即当[]8,10x ∈时，()()()108f x x x =--，()()108x x mx m --=-无解，所以Δ0<，解得1616m -<<+所以1164m -<<.当0m <时，应有31m m ⨯->-，即12m >-，且同时满足()mx m f x -=，[]6,8x ∈无解，即当[]6,8x ∈时，()()()68f x x x =--，()()58x x mx m --=-无解，所以Δ0<，解得1212m --<<-+1122m -<<-+综上，1164m -<或1122m -<<-+.故选：C.第II 卷（非选择题）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．函数()12f x x x=+在1x =处切线的倾斜角为_______.【答案】45【分析】求导，求出斜率，进而可得倾斜角.【详解】()212f x x '=-+,则()11211f '=-+=，即函数()12f x x x=+在1x =处切线的斜率为1，则倾斜角为45 故答案为：45 14．已知平面向量(2,)a x =-，b = ，且()a b b -⊥，实数x 的值为_____．【答案】【分析】表示出(3,a b x -=- ，其与b =数量积为0，可算得出x .【详解】解：因为(2,)a x =-，b = ，所以(3,a b x -=-又()a b b -⊥，则()30a b b x -⋅=-= 故x =故答案为：15．设1F 、2F 分别为椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右焦点，与直线y b =相切的圆2F 交椭圆于点E ，且E 是直线1EF 与圆2F 相切的切点，则椭圆焦距与长轴长之比为________．【答案】3【分析】根据题意可得12EF EF ⊥，利用椭圆性质可得()()22222a b b c -+=，结合222a b c =+，即可求得22c a .【详解】如图所示，连接2EF ，易得12EF EF ⊥，圆2F 的半径r b =，所以2EF b =，而122EF EF a +=，所以12EF a b =-，122F F c =，所以()()22222a b b c -+=，且有222a b c =+，化简可得23a b =，所以()22249a a c =-，所以2259a c =，可得22c a =．故答案为：16．已知函数()ln f x ax x x =-与函数()e 1xg x =-的图象上恰有两对关于x 轴对称的点,则实数a 的取值范围为__________.【答案】(),1e -∞-【分析】图象恰有两对关于x 轴对称的点,即0x ∃>,使得()()f x g x -=,即ln e 1xax x x -+=-有两解,对等式全分离,构造()ln e 1x x x h x x-+=,求导求单调性,求出值域,对图象进行判断,即可得出a 的取值范围.【详解】因为函数()f x 与()g x 的图象上恰有两对关于x 轴对称的点,所以0x >时()()f x g x -=有两解,即ln e 1x ax x x -+=-有两解,所以ln e 1x x x a x-+=有两解,令()ln e 1x x x h x x -+=,则()()()2e 11x x h x x --'=,所以当()0,1x ∈时,()0h x '>,函数()h x 单调递增;当()1,x ∈+∞时,()0h x '<,函数()h x 单调递减,所以()h x 在1x =处取得极大值,()11e h =-,且()0,1x ∈时,()h x 的值域为(),1e -∞-;()1,x ∈+∞时,()h x 的值域为(),1e -∞-,因此ln e 1x x x a x-+=有两解时,实数a 的取值范围为(),1e -∞-.故答案为:(),1e -∞-三、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共60分17．已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，2S 、4S 、55S +成等差数列，且2a 、7a 、22a 成等比数列．(1)求{}n a 的通项公式；(2)若11n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：16n T <．【答案】(1)21n a n =+(2)证明见解析【分析】（1）公式法列方程组解决即可；（2）运用裂项相消解决即可.【详解】（1）由题知，设{}n a 的公差为d ，由题意得42527222250S S S a a a d =++⎧⎪=⎨⎪≠⎩，即11121112(46)(2)(510)5(6)()(21)0a d a d a d a d a d a d d +=++++⎧⎪+=++⎨⎪≠⎩，解得132a d =⎧⎨=⎩，所以1(1)3(1)221n a a n d n n =+-=+-⨯=+，所以{}n a 的通项公式为21n a n =+.（2）证明：由（1）得21n a n =+，所以111111(21)(23)22123n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪++++⎝⎭，所以1111111111123557212323236n T n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=-<⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭．18．为促进新能源汽车的推广，某市逐渐加大充电基础设施的建设，该市统计了近五年新能源汽车充电站的数量（单位：个），得到如下表格：年份编号x 12345年份20162017201820192020新能源汽车充电站数量y /个37104147196226（1）已知可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，请用相关系数加以说明；（2）求y 关于x 的线性回归方程，并预测2024年该市新能源汽车充电站的数量．参考数据：51710i i y ==∑，512600i i i x y ==∑，()521149.89i iy y =-=∑ 3.16≈．参考公式：相关系数()()niix x yyr --=∑回归方程ˆˆˆybx a =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为；()()()121ˆniii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-．【答案】（1）答案见解析；（2）ˆ471yx =+；预测2024年该市新能源汽车充电站的数量为424个．【分析】（1）利用相关系数的计算公式即可得解；（2）先利用已知数据和公式得到y 关于x 的线性回归方程，再将2024年所对应的年份编号代入线性回归方程即可得解．【详解】解：（1）由已知数据得()11234535x =⨯++++=，17101425y =⨯=，()()()2222152101210i i x x=-=-+-+++=∑，()()55115260053142470iii i i i x x yy x y x y ==--=-=-⨯⨯=∑∑，所以4700.993.16149.89r ≈≈⨯．因为y 与x 的相关系数近似为0.9，接近1，说明y 与x 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y 与x 的关系．（2）由（1）得()()()51215470ˆ4710iii ii x x y y bx x ==--===-∑∑，ˆˆ1424731ay bx =-=-⨯=，放所求线性回归方程为ˆ471yx =+．将2024年对应的年份编号9x =代人回归方程得ˆ4791424y=⨯+=，故预测2024年该市新能源汽车充电站的数量为424个．19．如图，在四棱锥P －ABCD 中，AB CD ∥，AB ⊥BC ，122BC CD PA PD AB =====，PC =E 为AB的中点．(1)证明：BD ⊥平面APD ；(2)求平面APD 和平面CEP 的夹角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)22【分析】（1）已知条件求出AB ，BD ，AD 的长度，勾股定理证得BD AD ⊥，取AD 的中点O ，连接OP ，OC ，有PO AD ⊥，得PO ，勾股定理证得PO OC ⊥，从而PO ⊥平面ABCD ，有BD OP ⊥，所以BD ⊥平面APD .（2）建立空间直角坐标系，求相关点的坐标，求相关向量的坐标，求平面APD 和平面CEP 的一个法向量，利用向量夹角公式求平面APD 和平面CEP 的夹角的余弦值【详解】（1）在直角梯形ABCD 中，易得AB ＝4，BD =AD =，∴222AD BD AB +=，∴BD ⊥AD ．取AD 的中点O ，连接OP ，OC ，易得PO ⊥AD ，PO =，如图所示，在△CDO 中，易得OC ==，又PC =，∴222OC PO PC +=，∴PO ⊥OC ，又PO ⊥AD ，AD OC O = ，,AD OC ⊂平面ABCD ，∴PO ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴BD ⊥OP ，又BD ⊥AD ，AD OP O ⋂=，,AD OP ⊂平面APD ，∴BD ⊥平面APD ．（2）如图，以D 为坐标原点，DA ，DB 所在直线分别为x ，y 轴，过点D 且与PO 平行的直线为z 轴建立空间直角坐标系，则D （0，0，0），()A ，()0,B ，)E，P，()C ，∴(CP =，()CE = ，∵BD ⊥平面APD ，∴平面APD 的一个法向量为()10,1,0n =．设平面CEP 的法向量为()2,,n x y z =u u r，则2200n CP n CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得00⎧+=⎪⎨=⎪⎩，取y ＝1，得()20,1,1n = ，∴122cos ,2n n =，∴平面APD 和平面CEP 的夹角的余弦值为22．20．已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，准线为l ，点P 是直线1:2l y x =-上一动点，直线l 与直线1l 交于点Q，QF =(1)求抛物线C 的方程；(2)过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ，切点为,A B ，且95FA FB -≤⋅≤，求PAB 面积的取值范围.【答案】(1)24x y=(2)⎡⎣【分析】（1）计算2,22p p Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，0,2p F⎛⎫⎪⎝⎭，根据距离公式计算得到2p =，得到抛物线方程.（2）求导得到导函数，计算切线方程得到AB 的直线方程为()002y y xx +=，联立方程，根据韦达定理得到根与系数的关系，根据向量运算得到034y -≤≤，再计算PAB S =△.【详解】（1）直线1:2l y x =-，当2p y =-时，22p x =-，即2,22p p Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，0,2p F⎛⎫⎪⎝⎭，则QF ==，解得2p =或25p =-（舍去），故抛物线C 的方程为24x y =.（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,P x y ，24x y =，2x y '=，PA 的直线方程为：()1112x y x x y =-+，整理得到()112y y xx +=，同理可得：PB 方程为()222y y xx +=，故()()010*******y y x x y y x x ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，故AB 的直线方程为()002y y xx +=，()00224y y xx x y ⎧+=⎨=⎩，整理得到200240x x x y -+=，12012024 x x x x x y +=⎧⎨=⎩，()()()1122121212,1,11FA FB x y x y x x y y y y ⋅=-⋅-=+-++()02221212221212000216123164x x x x x x x x y x y y +-=+-+=-++=-，09235y -≤-≤，解得034y -≤≤，设P 到AB 的距离为d ，12PABS AB d =⋅=△，034y -≤≤，故[]2044,20y +∈，4,PAB S ⎡∈⎣△21．已知01a <<，函数()1x f x x a -=+，()1log a g x x x =++.(1)若()e e g =，求函数()f x 的极小值；(2)若函数()()y f x g x =-存在唯一的零点，求a 的取值范围.【答案】(1)2(2)1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】（1）由()e e g =可求出1ea =，则()1e xf x x -=+，然后对函数求导，由导数的正负可求出函数的单调区间，从而可求出函数的极小值；（2）令()1log 1x a F x ax -=--（0x >），则()111ln ln x F x xa a x a -⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，令()11ln ln x x xaa a ϕ-=-，利用导数可求出其单调区间和最小值，然后分11ln 10ln a a a----≥和10ea <<讨论函数的零点即可.【详解】（1）由()1e e e 1log e e ea g a =⇒++=⇒=，所以()1e x f x x -=+，()11e xf x -'=-，令()01f x x '=⇒=，当1x <时，()0f x '<，当1x >时，()0f x ¢>，所以()f x 在(,1)-∞上递减，在(1,)+∞上递增，所以()f x 的极小值为()12f =；（2）()()1log 1x a f x g x a x --=--，令()1log 1x a F x a x -=--（0x >），()F x 存在唯—的零点，()11111ln ln ln ln x x F x a a xa a x a x a --⎛⎫'=-=- ⎪⎝⎭，令()11ln ln x x xaa a ϕ-=-，()()11ln ln x x a x a a ϕ-'=+，令()10ln x x aϕ'=⇒=-，当10ln x a<<-时，()0x ϕ'<；当1ln x a>-时，()0x ϕ'>，所以()x ϕ在10,ln a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上递减，在1,ln a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上递增，所以()11ln min 11ln ln ax a a a ϕϕ--⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，①若11ln 10ln aa a----≥，即111ln ln ln ln a a a ⎛⎫⎛⎫--≤- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令1ln t a-=，所以()111ln ln 10t t t t t ⎛⎫--≤⇒-+≥ ⎪⎝⎭，所以1t ≥，所以11ln a -≥，即11ea <时，()()min 00x F x ϕ'≥⇒≥，所以()F x 在()0,∞+上递增，注意到()10F =，所以()F x 存在唯一的零点，符合题意②当10e a <<时，()100ln aϕ=->，()min 0x ϕ<，()22213(ln )133ln ln ln a a a a a aϕ-=-=，令22()3(ln )1t a a a =-，10ea <<，则221()3[2(ln )2ln ]6ln (ln 1)t a a a a a a a a a'=+⋅⋅=+，因为10ea <<，所以ln 1a <-，所以()6ln (ln 1)0t a a a a '=+>，所以22()3(ln )1t a a a =-在10,e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以2221113()3(ln 110e e e e t a t ⎛⎫⎛⎫<=-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()22213(ln )133ln 0ln ln a a a a a aϕ-=-=>所以()x ϕ即()F x '在10,ln a ⎛⎫- ⎪⎝⎭和1,ln a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上各有一个零点1x ，2x ，()F x 在()10,x 上递增，()12,x x 上递减，()2,0x 上递增，而()11ln 0ln F a a'=-<，所以121x x <<，()1log 1x a F x a x -=--，当110a x a -<<时，()111log 11(1)0a F a a x a x -------<-=<；当1x a >时，()10log 10a F x a>--=，而()()110F x F >=，()()210F x F <=，所以()F x 在()10,x ，()12,x x 和()2,x +∞上各有一个零点，共3个零点了，舍去.综上，a 的取值范围为1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为cos sin x t y t αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C 的极坐标方程为2853cos 2ρθ=-，直线l 与曲线C 相交于A ，B两点，)M．(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)若2AM MB = ，求直线l 的斜率．【答案】(1)2214x y +=(2)【分析】（1）根据极坐标与直角坐标直角的转化222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪=+⎩，运算求解；（2）联立直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程，根据参数的几何意义结合韦达定理运算求解.【详解】（1）∵()()222222288453cos 2cos 4sin 5cos sin 3cos sin ρθθθθθθθ===-++--，则2222cos 4sin 4ρθρθ+=，∴2244x y +=，即2214x y +=，故曲线C 的直角坐标方程为2214x y +=.（2）将直线l的参数方程为cos sin x t y t αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）代入曲线C 的直角坐标方程为2214x y +=，得)()22cos sin 14t t αα+=，整理得()()222cos 4sin 10t t ααα++-=，设A ，B 两点所对应的参数为12,t t ，则121222221,cos 4sin cos 4sin t t t t ααααα+=-=-++，∵2AM MB = ，则122t t =-，联立1212222cos 4sin t t t t ααα=-⎧⎪⎨+=-⎪+⎩，解得122222cos 4sin cos 4sin t t αααααα⎧=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，将12,t t 代入12221cos 4sin t t αα=-+得2222221cos 4sin cos 4sin cos 4sin αααααααα⎛⎫⎛⎫-=- ⎪⎪ ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭，解得2223tan 4k α==，故直线l的斜率为2±.[选修4-5：不等式选讲]23．已知：()1f x x x m =+--，0m >．(1)若2m =，求不等式()2f x >的解集；(2)()()g x f x x m =--，若()g x 的图象与x 轴围成的三角形面积不大于54，求m 的取值范围．【答案】(1)3,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭；(2)(]0,8.【分析】（1）利用零点分段法求解出绝对值不等式；（2）先求出()21,312,121,1x m x m g x x m x m x m x -++>⎧⎪=+--≤≤⎨⎪--<-⎩，由()0g x =，解得：122121,3m x m x -=+=，则()21444133m x x m ---==+，由函数单调性得到()()max 1g x g m m ==+，根据函数图象与x 轴围成的三角形面积不大于54，列出方程，求出m 的取值范围.【详解】（1）当2m =时，()3,21221,123,1x f x x x x x x >⎧⎪=+--=--≤≤⎨⎪-<-⎩，当2x >时，()32f x =>成立；当12x -≤≤时，()212f x x =->，则322x <≤；当1x <-时，()32f x =-<不合题意，综上，()2f x >的解集为3,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭；（2）因为0m >，所以()21,12312,121,1x m x m g x x x m x m x m x m x -++>⎧⎪=+--=+--≤≤⎨⎪--<-⎩，由()0g x =，解得：122121,3m x m x -=+=，则()21444133m x x m ---==+，当1x <-时，()g x 单调递增，当1x m -≤≤时，()g x 单调递增，当x >m 时，()g x 单调递减，所以当x m =时，()g x 取得最大值，()()max 1g x g m m ==+，∴图象与x 轴围成的三角形面积为()()221421154233S m m =⨯+=+≤，解得：108m -≤≤，又0m >，则08m <≤，∴m 的取值范围是(]0,8.。

安徽省合肥市第一中学2024届高三下学期三模数学试题含答案

安徽省合肥市第一中学2024届高三下学期三模数学试题注意事项：1．本试卷满分150分，考试时间120分钟。

2．答题前，考生务必将姓名、考生号等个人信息填写在答题卡指定位置。

3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。

选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答。

超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合}{}{22,R ,230x M y y x N x x x ==∈=--≤，则M N ⋂=（）A ．()0,3B ．(]0,3C ．()3,+∞D ．[)3,+∞2．已知1e ，2e 是单位向量，且它们的夹角是60︒，若122a e e =+ ，12b e e λ=- ，且a b ⊥，则λ=（）A ．25B ．45C ．1D ．23．拋掷一枚质地均匀的硬币()2n n ≥次，记事件A =“n 次中至多有一次反面朝上”，事件B =“n 次中全部正面朝上或全部反面朝上”，若A 与B 独立，则n 的值为（）A ．2B ．3C ．4D ．54．在三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，3AB =，2BC BD CD ===，E ，F 分别为AC ，CD 的中点，则下列结论正确的是（）A ．AF ，BE 是异面直线，AF BE⊥B ．AF ，BE 是相交直线，AF BE⊥C ．AF ，BE 是异面直线，AF 与BE 不垂直D ．AF ，BE 是相交直线，AF 与BE 不垂直5．波斯诗人奥马尔•海亚姆于十一世纪发现了一元三次方程32(0,0)x a x b a b +=≠>的几何求解方法.在直角坐标系xOy 中，,P Q 两点在x 轴上，以OP 为直径的圆与抛物线C ：2x ay =交于点R ，RQ OQ ⊥.已知x OQ =是方程32x a x b +=的一个解，则点P 的坐标为（）A ．2,0b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,0b a ⎛⎫⎪⎝⎭C ．2,0a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．,0a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭6．已知数列{}n a 满足12a =，12n n a a +=，若10114n n a ==-∑，则13579a a a a a ++++=（）A ．512B ．678C ．1010D ．10227．已知函数()()π2sin 22f x x ϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭，若关于x 的方程()1f x =在()0,π上恰有一个实数根m ，则(2)f m （）A ．2-B ．CD ．28．已知函数()()sin (0,0,π2π)f x A x A ωϕωϕ=+>><<的部分图象如图所示，其图象上最高点的纵坐标为2，且图象经过点()π0,1,,13⎛⎫- ⎪⎝⎭，则5π6f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）AB ．1C ．－1D ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列说法正确的是（）A ．某校高一年级共有男女学生500人，现按性别采用分层抽样的方法抽取容量为50人的样本，若样本中男生有30人，则该校高一年级女生人数是200B ．数据1，3，4，5，7，9，11，16的第75百分位数为10C ．线性回归方程中，若线性相关系数r 越大，则两个变量的线性相关性越强D ．根据分类变量x 与y 的成对样本数据，计算得到2 3.937χ=，根据小概率值0.05α=的独立性检验()0.05 3.841=x ，可判断x 与y 有关联，此推断犯错误的概率不大于0.0510．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是侧面11ADD A 内的一点，点E 是线段1CC 上的一点，则下列说法正确的是（）A ．当点P 是线段1A D 的中点时，存在点E ，使得1A E ⊥平面11PB D B ．当点E 为线段1CC 的中点时，过点A ，E ，1D 的平面截该正方体所得的截面的面积为94C ．点E 到直线1BD 2D ．当点E 为棱1CC 的中点且22PE =时，则点P 的轨迹长度为2π311．我们把方程1x xe =的实数解称为欧米加常数，记为Ω.Ω和e 一样，都是无理数，Ω还被称为在指数函数中的“黄金比例”.下列有关Ω的结论正确的是（）A ．()Ω0.5,1∈B ．1lnΩΩ=C ．Ωu u u =，其中1eu =D ．函数()1e ln 1xx x f x x +=+的最小值为(Ω)f 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知向量(2,3),(1,2)a t b t =--=-+ ，若a b ⊥，则t =.13．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，半径为6的圆C 过坐标原点O 以及F ，且与该抛物线的准线l 相切，则p =.14．欧拉函数()n ϕ表示不大于正整数n 且与n 互素（互素：公约数只有1）的正整数的个数.已知()12111111r n n p p p ϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅⋅⋅-- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其中1p ，2p ，…，r p 是n 的所有不重复的质因数（质因数：因数中的质数）.例如()11100100114025ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯--= ⎪⎝⎭⎝⎭.若数列{}n a 是首项为3，公比为2的等比数列，则()()()()123100a a a a ϕϕϕϕ+++⋅⋅⋅+=.四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．在ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知)tan tan 1C B C +-，(1)求角A .(2)若a =ABC 所在平面内有一点D 满足2π3BDC ∠=，且BC 平分ABD ∠，求ACD 面积的取值范围.16．已知某科技公司的某型号芯片的各项指标经过全面检测后，分为Ⅰ级和Ⅱ级，两种品级芯片的某项指标的频率分布直方图如图所示：若只利用该指标制定一个标准，需要确定临界值K ，按规定须将该指标大于K 的产品应用于A 型手机，小于或等于K 的产品应用于B 型手机．若将Ⅰ级品中该指标小于或等于临界值K 的芯片错误应用于A 型手机会导致芯片生产商每部手机损失800元；若将Ⅱ级品中该指标大于临界值K 的芯片错误应用于B 型手机会导致芯片生产商每部手机损失400元；假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．(1)设临界值60K =时，将1个Ⅰ级品芯片和1个Ⅱ级品芯片分别应用于A 型手机和B 型手机．求两部手机有损失的概率（计算结果用小数表示）；(2)设K x =且[]50,55x ∈，现有足够多的芯片Ⅰ级品、Ⅱ级品，分别应用于A 型手机、B 型手机各1万部的生产，试估计芯片生产商损失费用的最小值．17．如图，四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是菱形，π3ABC ∠=，ABP 是正三角形，G 是BCD △的重心，点F 满足3AP FP =.(1)求证：//FG 平面BCP ；(2)若32CP AB =，求直线BG 与平面BCP 所成角的正弦值.18．若正实数数列{}n c 满足()2*12n n n c c c n ++≤∈N ，则称{}n c 是一个对数凸数列；若实数列{}n d 满足122n n n d d d ++≤+，则称{}n d 是一个凸数列.已知{}n a 是一个对数凸数列，ln n n b a =．(1)证明：11056a a a a ≥；(2)若1220241a a a ⋅⋅⋅=，证明：101210131a a ≤；(3)若11b =，20242024b =，求10b 的最大值．19．已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的离心率为3，且过点()3,1M ．若斜率为1k 的直线1l 与椭圆E 相切于点T ，过直线1l 上异于点T 的一点P ，作斜率为2k 的直线2l 与椭圆E 交于,A B 两点，定义2PTPA PB⋅为点P 处的切割比，记为P λ．(1)求E 的方程；(2)证明：P λ与点P 的坐标无关；(3)若35P λ=，且2l OT ∥（O 为坐标原点），则当20k <时，求直线1l 的方程．参考答案：1．B【分析】利用指数函数的性质及一元二次不等式的解法，结合交集的定义即可求解.【详解】由x ∈R ，得20x y =>，所以()0,M =+∞，由2230x x --≤，得()()130x x +-≤，解得[]1,3N =-，所以()[](]0,30,1,3M N +∞-== .故选：B.2．B【分析】由a b ⊥ 得0a b ⋅=，列出方程求解即可．【详解】由a b ⊥ 得，()2212121122(2)()220a b e e e e e e e e λλλ⋅=+⋅-=+-⋅-=，即22102λλ-+-=，解得4=5λ，故选：B ．3．B【分析】分别求出11C ()2nnP A +=，2()2n P B =，1()2n P AB =，根据相互独立事件概率乘法公式即可求解.【详解】抛掷一枚质地均匀的硬币()2n n ≥次，则基本事件总数为2n ，事件A =“n 次中至多有一次反面朝上”，则n 次全部正面朝上或n 次中恰有1次反面朝上，则11C ()2nnP A +=，事件B =“n 次中全部正面朝上或全部反面朝上”，则2()2n P B =，于是1()2n P AB =，因为A 与B 独立，所以()()()P AB P A P B =，即121n n -=+，分别代入2n =，3，4，5，验证，可得3n =符合题意.故选：B 4．A【分析】先用定理判断AF ，BE 是异面直线，再证明BE 与AF 垂直，连接BF ，即可得到CD ⊥平面ABF ，取AF 的中点Q ，连接BQ ，EQ ，从而得到EQ AF ⊥、BQ AF ⊥，即可证明AF ⊥平面BEQ ，从而得解．【详解】显然根据异面直线判定方法：经过平面ACD 外一点B 与平面ACD 内一点E 的直线BE 与平面ACD 内不经过E 点的直线AF 是异面直线．下面证明BE 与AF 垂直：证明：因为AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，所以AB CD ⊥，因为BC BD CD ==，F 分别为CD 的中点，连接BF ，所以BF CD ⊥，因为AB BF B = ，,AB BF ⊂平面ABF ，所以CD ⊥平面ABF ，如图：取AF 的中点Q ，连接BQ ，EQ ，因为AF ⊂平面ABF ，所以CD AF ⊥，又因为//EQ CD ，所以EQ AF ⊥，因为2BC BD CD ===，所以2BF AB =，又因为Q 为AF 的中点，所以BQ AF ⊥，因为BQ EQ Q ⋂=，,BQ EQ ⊂平面BEQ ，所以AF ⊥平面BEQ ，又因为BE ⊂平面BEQ ，所以AF BE ⊥．故选：A ．5．A【分析】求得以OP 为直径的圆的方程，与抛物线的方程联立，消去y ，可得x 的方程，由题意考虑两个三次方程有相同的解，可得所求点的坐标．【详解】设(,0)P t ，OP 的中点为,02t ⎛⎫⎪⎝⎭，则以OP 为直径的圆的方程为22224t t x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，与抛物线2:C x ay =联立，可得2242124t t x x a ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，化简可得4220x x tx a-+=，由于RQ OQ ⊥，可得R ，Q 的横坐标相等，则方程32x a x b +=和方程320x x t a -+=有相同的解，即有2b a t =，解得2bt a =，则2,0b P a ⎛⎫⎪⎝⎭．故选：A ．6．B【分析】由12a =，12n n a a +=计算出前10项，利用分析分类讨论进行计算【详解】由题意知12a =，222a =，⋅⋅⋅，101021024a ==，因为11014n n a =∑=-，所以110,,a a ⋅⋅⋅中至少有一项是负数．①若101024a =-，则111010910141010n n n n a a a a ==∑=∑-=--=，若129,,,a a a ⋅⋅⋅均为正数，则()919212102212n n a =⨯-∑==-，比1010多12，所以前9项中必有负项，且其和为6-．易得当122,4a a =-=-，且其他项为正项时满足题意，故135792832128512678a a a a a ++++=-++++=．②若101024a =，当129,,,a a a ⋅⋅⋅均为负数时，数列{}n a 的前9项和最小，此时()919212102212n n a =⨯-∑=-=--，11010221024214n na=∑=-+=>-，不符合题意．综上，13579678a a a a a ++++=故选：B 7．A【分析】直接利用三角函数的图象和性质求出结果.【详解】若关于x 的方程()1f x =在()0,π上恰有一个实数根m ，则()2sin 21x ϕ+=，即()1sin 22x ϕ+=在()0,π上恰有一个实数根m ，因为π恰为()sin 2y x ϕ=+的最小正周期，且当()0,πx ∈时，2(,2π)x ϕϕϕ+∈+，所以1sin 2ϕ=，若1sin 2ϕ≠，则关于x 的方程()1f x =在()0,π上有两个实数根，因为π2ϕ<，所以π6ϕ=，此时π()2sin(2)16f m m =+=，即π5π266m +=，解得π3m =，所以2π4ππ(2)()2sin(2336f m f ==+=-．故选：A 8．A【分析】先通过图象经过点()π0,1,,13⎛⎫- ⎪⎝⎭列方程求出,ωϕ，进而可得()f x 的解析式，再代入5π6x =-计算即可.【详解】由已知得2A =，所以()()2sin f x x ωϕ=+，又图象经过点()π0,1,,13⎛⎫- ⎪⎝⎭，则()02sin 1ππ2sin 133f f ϕωϕ⎧==-⎪⎨⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，即1sin 2π1sin 32ϕωϕ⎧=-⎪⎪⎨⎛⎫⎪+=⎪⎪⎝⎭⎩，又()0,1-为单调减区间上的点，π,13⎛⎫⎪⎝⎭为单调增区间上的点，且在一个周期内，所以5π2π6,Z ππ2π36k k k ϕωϕ⎧=-+⎪⎪∈⎨⎪+=+⎪⎩，两式相减得π3πω=，所以3ω=，又π2πϕ<<，所以π67ϕ=，所以()7π2sin 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以5π5π7π4π2π2sin 2sin 2sin 62633f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选：A.9．ABD【分析】利用分层抽样计算判断A ；求出第75百分位数判断B ；利用线性相关系数的意义判断C ；利用独立性检验的思想判断D.【详解】对于A ，该校高一年级女生人数是503020050500-=，A 正确；对于B ，由875%6⨯=，得第75百分位数为911102+=，B 正确；对于C ，线性回归方程中，线性相关系数r 绝对值越大，两个变量的线性相关性越强，C 错误；对于D ，由20.053.937 3.841x χ=>=，可判断x 与y 有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05，D 正确.故选：ABD 10．ACD【分析】由题意分别画出图形，再逐项解决线面垂直、截面面积、距离最值和轨迹问题即可.【详解】对于A ，如下图所示，连接11,A C AB，因为点P 是线段1A D 的中点，所以点P 也是线段1AD 的中点，所以平面11PB D 即为平面11AB D .根据正方体的性质，1AD ⊥平面1A DC ，1AB ⊥平面1A BC ，所以1111,AD A C AB A C ⊥⊥，又因为11AD AB A ⋂=，1AD ⊂平面11AB D ，1AB ⊂平面11AB D ，所以1A C ⊥平面11AB D ，所以E 与C 重合时，1A E ⊥平面11PB D ，故A 正确；对于B ，如下图所示，取BC 的中点M ，根据,E M 分别为1,CC BC 的中点，易得1EM AD ∥，所以1,,,A M E D 四点共面，所以截面为四边形1AMED ，且该四边形为等腰梯形.又因为11ME AD AM ED ====所以等腰梯形1AMED 2，所以截面面积为1922=，故B 错误；对于C ，如图建立空间直角坐标系，由图可得，1(2,2,0),(0,0,2)B D ，所以1(2,2,2)BD =--，设(0,2,)(02)E m m ≤≤，所以(2,0,)BE m =-，所以点E 到直线1BD的距离d =所以1m=C 正确；对于D ，如图所示，取1DD 的中点G ，连接,,EG GP PE ，易得GE ⊥平面11AA D D ，又因为GP ⊂平面11AA D D ，所以GE GP ⊥，所以2GP ==，则点P 在侧面11AA D D 内的运动轨迹为以G 为圆心，半径为2的劣弧，圆心角为π3，所以点P 的轨迹长度为π2π2=33⨯，故D 正确.故选：ACD.11．ABC【分析】对于A ：构建()e 1xg x x =-，利用导数判断其单调性，结合零点存在性定理分析判断；对于B ：对e 1ΩΩ=，()Ω0.5,1∈，取对数整理即可；对于C ：设u uu a =N，整理得1e aa ⎛⎫= ⎪⎝⎭，结合选项A 分析判断；对于D ：结合不等式e 1x x ≥+分析可知()1f x ≥，当且仅当1ln 0x x-=时，等号成立，结合()1ln m x x x=-的零点分析判断.【详解】对于选项A ：构建()e 1xg x x =-，则Ω为()g x 的零点，因为()()1e xg x x +'=，若1x <-，则()0g x '<，可知()g x 在(),1∞--内单调递减，且()0g x <，所以()g x 在(),1∞--内无零点；若1x >-，则()0g x '>，可知()g x 在()1,∞-+内单调递增，()0.510g =<且()1e 10g =->，所以()g x 在()1,∞-+内存在唯一零点()Ω0.5,1∈；综上所述：()Ω0.5,1∈，故A 正确；对于选项B ：因为e 1ΩΩ=，()Ω0.5,1∈，即1e Ω=Ω，两边取对数可得：1lnlne Ω==ΩΩ，故B 正确；对于选项C ：设u uu a =N，则a u a =，整理得au a =，即1e aa ⎛⎫= ⎪⎝⎭，可得e 1a a =，所以a =Ω，即Ωu u u =，故C 正确；对于选项D ：构建()e 1xh x x =--，则()e 1x h x '=-，令()0h x '>，解得0x >；令()0h x '<，解得0x <；可知()h x 在(),0∞-内单调递减，在()0,∞+内单调递增，则()()00h x h ≥=，可得e 1x x ≥+，当且仅当0x =时，等号成立，则()1111ln 111e ln ln 1ln e ln e ln 11111111x xx xx x x x x x x x f x x x x x+++++++===≥=++++，当且仅当11ln 0x x+=，即1ln 0x x -=时，等号成立，因为1,ln y y x x==-在()0,∞+内单调递减，可知()1ln m x x x =-在()0,∞+内单调递减，且()()1110,e 10em m =>=-<，可知()m x 在()0,∞+内存在唯一零点()01,e x ∈，即0>Ωx ，所以()f x 的最小值为()01f x =，不为(Ω)f ，故D 错误；故选：ABC.【点睛】方法点睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是：（1）构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域；（2）求导数，得单调区间和极值点；（3）数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x 轴的交点情况进而求解．12．4-【分析】根据题意，利用空间向量的坐标表示，列出方程，即可求解.【详解】由向量(2,3),(1,2)a t b t =--=-+，因为a b ⊥，可得(2,3)(1,2)2630a b t t t t ⋅=--⋅-+=-+--= ，解得4t =-.故答案为：4-.13．8【分析】首先得到抛物线的焦点坐标与准线方程，依题意可知圆心C 在直线4px =上，且642p p+=，解得即可.【详解】抛物线22(0)y px p =>的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线为2p x =-，因为圆C 过坐标原点O 以及F ，所以圆心C 在直线4px =上，因为圆C 的半径为6且与该抛物线的准线l 相切，所以642p p+=，解得8p =.故答案为：814．1002【分析】计算出等比数列的通项公式后，结合欧拉函数()n ϕ计算即可得解.【详解】由题意可得132n n a -=⨯，则()()1133123a ϕϕ⎛⎫==⨯-= ⎪⎝⎭，当2n ≥时，()11113211223n n n a ϕ--⎛⎫⎛⎫=⋅⨯--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则()()()()()99129910012310021222222212a a a a ϕϕϕϕ-+++⋅⋅⋅+=++++=+=- .故答案为：1002.【点睛】关键点点睛：本题关键点在于分1n =及2n ≥进行讨论，结合题中公式求(){}n a ϕ的通项公式.15．(1)π3(2)⎛ ⎝⎭【分析】（1）由两角和的正切公式结合题意化简得tan A =（2）设ABC CBD x ∠=∠=，由正弦定理把边化成角，再用三角形面积公式得34sin cos ACD S x x = ，结合导数求解即可.【详解】（1）由题)tan tan 1C BC =-，即)tan tan 1tan tan B C B C +=-，即tan tan 1tan tan B CB C+=-所以()tan B C +=()tan πA -=，所以tan A =，又(0,π)A ∈，所以π3A =.（2）由题（1）知π3BAC ∠=，又2π3BDC ∠=，设ABC CBD x ∠=∠=，由BCD △中，2π3BDC ∠=，故π0,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则π2π2π2π233ACD x x ∠=---=-，由正弦定理有sin sin BC AC BAC x =∠，sin sin BC DCBDC x=∠，则2sin AC CD x ==，故ACD 面积()()2312sin sin π24sin cos 2ACD S x x x x =⋅-= ，令()34sin cos x x x ϕ=，则())224212sin cos 4sin 4sin sin sin x x x x xx xx x ϕ=-=+-'，又π0,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()0x ϕ'>，知函数()34sin cos x x x ϕ=在π0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，又()00ϕ=，π3ϕ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故ACD 面积的取值范围为⎛ ⎝⎭.16．(1)0.007(2)136万元【分析】（1）根据频率分布直方图，I 级品中该指标小于或等于60的频率和II 级品中该指标大于60的频率，即可求解；（2）由题意分别计算A 、B 型手机的损失费用可得()5768f x x =-，结合一次函数的性质即可求解.【详解】（1）临界值60K =时，I 级品中该指标小于或等于60的频率为()0.0020.005100.07+⨯=，II 级品中该指标大于60的频率为0.1，故将1个I 级品芯片和1个II 级芯片分别应用于A 型手机和B 型手机，两部手机均有损失的概率为：0.070.10.007⨯=；（2）当临界值K x =时，I 级品中该指标小于或等于临界值K 的概率为()0.002100.005500.0050.23x x ⨯+⨯-=-，可以估计10000部A 型手机中有()100000.0050.23502300x x -=-部手机芯片应用错误；II 级品中该指标大于临界值K 的概率为()0.01100.03600.03 1.9x x ⨯+⨯-=-+，可以估计10000部B 型手机中有()100000.03 1.919000300x x -+=-部手机芯片应用错误；故可以估计芯片生产商的损失费用()()()0.085023000.0419000300f x x x =⨯-+⨯-5768x=-又[]50,55x ∈，所以()[]136,176f x ∈，即芯片生产商损失费用的最小值为136万元.17．(1)证明见解析【分析】（1）根据重心的性质可得FG PC ∥，即可根据线线平行求证，（2）根据线线垂直可得线面垂直，进而可得平面COP ⊥平面ABP ，根据余弦定理以及勾股定理求解长度，即可利用等体积法求解长度，利用线面角的几何法求解，或者建立空间直角坐标系，利用法向量与直线方向向量的夹角求解即可.【详解】（1）如图，连接AC BD 、，交点为M ，则M 是BD 的中点.因为G 是BCD △的重心，所以2CG GM =.又M 是AC 的中点，所以3AC GC =.由3AP FP =知F 在线段AP 上，且3AP FP =，所以FG PC ∥，而FG ⊄平面BCP ，PC ⊂平面BCP ，所以//FG 平面BCP .（2）方法1：设2AB =，则3CP =.取AB 中点O ，连接CO PO 、，则AB CO ⊥，AB PO ⊥，,,CO PO O CO PO ⋂⊂=平面COP ,故AB ⊥平面COP ，又AB ⊂平面ABP ，所以平面COP ⊥平面ABP ，交线为PO .由3CO PO ==3PC =，则2221cos 22CO PO PC COP CO PO +-∠==-⋅,得2π3COP ∠=.所以C 到平面ABP 的距离1h 等于C 到直线OP 的距离2π33sin32==.设G 到平面BCP 的距离为2h ，由//FG 平面BCP 知F 到平面BCP 的距离也是2h .由F BCP C BPF V V --=得211133BCP BPF S h S h ⋅=⋅△△，22221113373222224BCPS PC BC PC ⎛⎫⎛⎫=⋅-⨯⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，113331222332BPF BPA S S =⨯⨯⨯=△△从而221h =在CGB △中，2CB =，23CG =，π3BCG ∠=，由余弦定理得2211272333BG BC CA BC CA ⎛⎫=+-⋅=⎪⎝⎭所以直线BG 与平面BCP 所成角的正弦值是223372127h BG ==方法2：如图，以AB 中点O 为原点，OC 所在直线为x 轴，OB 所在直线为y 轴建立空间直角坐标系.设2AB =，则3CP =，()0,1,0A -，()0,1,0B ，332P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，)3,0,0C ，()3,2,0D-，31,033G ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以234,,033BG ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭,333,0,22CP ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭ ,()3,1,0BC =-,设平面PBC 的法向量是()000,,m x y z =，由()()())()0000000000000000,,1,0000,,033,,000,,,0,0222x y z y x y z BC x y z CP z x y z ⎧⋅-=-+=⎪⎧⋅=⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨⎛⎫⋅=++=⋅-=⎪⎪⎪ ⎪⎩ ⎪⎩⎪⎝⎭⎩.令01x =，则00y z =，(m =.所以，cos<,m BG =>= ，从而直线BG 与平面BCP18．(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)10.【分析】（1）法一：由212n n n a a a ++≤得到10695a a a a ≥，9584a a a a ≥，8473a a a a ≥，7362a a a a ≥，6251a aa a ≥，累乘法得到11056a a a a ≥；法二：由109329821a a a aa a a a ≥≥⋅⋅⋅≥≥得到11029384756a a a a a a a a a a ≥≥≥≥；（2）法一：由题意得()111n k n k n k n k a a a a k n +-++--⋅≤⋅≤<，从而得到()1012101210131220241a a a a a ⋅≤⋅⋅⋅=，证明出101210131a a ⋅≤；法二：考虑反证法，假设101210131a a >，得到101110141a a >，进而推出1220241a a a ⋅⋅⋅>，假设不成立；法三：得到1220240b b b ++⋅⋅⋅+=，且121n n n n b b b b +++-≤-，利用累加法得到()101210131210120n b b b b b +≤++⋅⋅⋅+=，证明出结论；（3）由222n n n a a a ++≤可得()()222ln ln n n n a a a ++≤，即121n n n n b b b b +++-≤-，累加得()20241011102014b b b b -≥-，另外()11101019b b b b -≥-，故202410101111020149b b b bb b --≥-≥，故10102024120149b b --≥，化简得：1010b ≤，显然n b n =符合题意，此时1010b =，综上，10b 的最大值为10．【详解】（1）法一：由题意得：212n n n a a a ++≤，∴21121121n n n n n n n n a a a a aa a a a a ++-+--≥≥≥≥⋅⋅⋅，∴10695a a a a ≥，9584a a a a ≥，8473a a a a ≥，7362a a a a ≥，6251a aa a ≥，将以上式子累乘得：10651a a a a ≥，也即11056a a a a ≥成立．法二：由题意得：109329821a a a a a a a a ≥≥⋅⋅⋅≥≥，∴11029384756a a a a a a a a a a ≥≥≥≥，∴11056a a a a ≥成立．（2）法一：∵121n n n n a a a a +++≤，∴112111n k n k n n n k n k n k n n n k a a a a aa a a a a --+++++---++≤≤⋅⋅⋅≤≤≤⋅⋅⋅≤，∴()111n k n k n k n k a a a a k n +-++--⋅≤⋅≤<，则10121013101110141010101512024a a a a a a a a ⋅≤⋅≤⋅≤⋅⋅⋅≤⋅，∴()1012101210131220241a a a a a ⋅≤⋅⋅⋅=，∴101210131a a ⋅≤．法二：考虑反证法，假设101210131a a >，由121n n n n a a a a +++≤得101210131014101110121013a a a a a a ≤≤，∴1012101310111014a a a a ≤，∴101110141a a >，同理：101210121011101410151015101010111010101310141013a a a a a a a a a a a a =⋅≤⋅=，∴1010101510121013a a a a >，∴101010151a a >，同理可证：100910161a a >，100810171a a >，…，120241a a >，综上可得：1220241a a a ⋅⋅⋅>，与条件矛盾，∴假设不成立，∴101210131a a ≤成立．法三：∵1220241a a a ⋅⋅⋅=，∴122024()ln 0a a a ⋅⋅⋅=，也即1220240b b b ++⋅⋅⋅+=，同时，由212n n n a a a ++≤可得：()()212ln ln n n n a a a ++≤，∴122n n n b b b ++≤+，也即121n n n n b b b b +++-≤-，∴1013101220242023b b b b -≤-，1012101120232022b b b b -≤-，…，2110131012b b b b -≤-，将以上式子累加得：1013120241012b b b b -≤-，也即1012101312024b b b b +≤+，同理可得：1012101322023b b b b +≤+，1012101332022b b b b +≤+，……1012101310121013b b b b +≤+，将以上式子累加得：()101210131210120n b b b b b +≤++⋅⋅⋅+=，∴101210130b b +≤，∴10121013ln ln 0a a +≤，∴101210131a a ≤成立．（3）由222n n n a a a ++≤可得：()()222ln ln n n n a a a ++≤，∴122n n n b b b ++≤+，也即121n n n n b b b b +++-≤-，∴202420231110b b b b -≥-，202320221110b b b b -≥-，…，11101110b b b b -≥-，将以上式子累加得：()20241011102014b b b b -≥-，①另外，1110109b b b b -≥-，111098b b b b -≥-，…，111021b b b b -≥-，将以上式子累加得：()11101019b b b b -≥-，②结合①②式可得：202410101111020149b b b b b b --≥-≥，∴10102024120149b b --≥，化简得：1010b ≤，另外，显然有n b n =符合题意，此时1010b =，综上，10b 的最大值为10．【点睛】思路点睛：数列{}n b 的性质可参考2y x =这类下凸函数进行理解，不等式2024101110101201419b b b b b b ---≥≥相当于函数图象上三条直线的斜率大小关系．19．(1)221124x y +=(2)证明见解析(3)4y x =-或4y x =+．【分析】（1）根据椭圆离心率得223a b =，又()3,1M 在椭圆上得22911a b +=，联立可得结果；（2）设点(),P m n ，直线1l 的方程为()1y n k x m -=-，联立椭圆方程，由直线1l 与椭圆E 相切，得()2211124n k m k -=+，并求2PT ，设直线2l 的方程为()2y n k x m -=-，联立椭圆方程结合韦达定理，求出PA PB ⋅，利用()2211124n k m k -=+化简2PT PA PB ⋅可得结果；（3）由（2）可知切点()00,T x y ，得00113OT y k x k ==-，结合已知进而可得直线OT 的方程，联立椭圆方程求T 点坐标，从而求出直线1l 的方程.【详解】（1）设椭圆E 的半焦距为c，由题意知，c a =22223a b a -=，解得223a b =．又椭圆E 过点()3,1M ，所以22911a b+=，结合223a b =，解得2212,4a b ==，所以E 的方程为221124x y +=．（2）设点(),P m n ，直线1l 的方程为()1y n k x m -=-，由()2211124x y y n k x m ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩，消去y ，得()()()22211111363120k x k n k m x n k m ++-+--=，()()()()22222111111Δ641331212124k n k m k n k m k n k m ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=--+--=--+⎣⎦⎣⎦⎣⎦，由直线1l 与椭圆E 相切，得()2211124n k m k -=+．设切点()00,T x y ，则()11021313k n k m x k -=-+，101012113n k m y k x n k m k -=+-=+，所以()()()()()22221111212221113311313k m nk k n k m PT k m k k ++⎡⎤-=+--=⎢⎥++⎣⎦，设直线2l 的方程为()2y n k x m -=-，联立由()2221124x y y n k x m ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩，消去y ，得()()()22222221363120k x k n k m x n k m ++-+--=，设()()1122,,,A x y B x y ，则()221222613k n k m x x k -+=-+，()22122231213n k m x x k --=+，所以12PA PB m m ⋅=--()()22212121k x x m x x m =+-++()()()22222222222312611313n k m k n k m k m m k k ⎡⎤---=+--+⎢⎥++⎣⎦222222131213k n m k +=+-+，易知，点(),P m n 在椭圆E 外，所以221124m n +>，所以223120n m +->，()222222131213k PA PB n m k +⋅=+-+．由()2211124n k m k -=+，得22221112124n k m mnk k +-=+，即()222112412mnk n k m -+=-．因为()()212221331213m nk n m k +-+-+()()()2222112131331213m nk k n m k +-++-=+()222222221112196312331213m k n mnk n m k n m k ++--+-+-=+()()222222111219324331213k n mnk n k n m k +-+-+-=+()()2222222111219312331213k n k m k n m k +--+-=+()()22222211213312331213k n m k n m k +--+-=+0=．所以()212221331213m nk n m k+=+-+，所以()2222121131213k PT n m k +=+-+．所以()()()()222122212113131P k k PT PA PB k k λ++==⋅++，与点P的坐标无关．（3）由（2）得()11021313k n k m x k -=-+，102113n k m y k -=+，所以00113OT y k x k ==-，因为2l OT ∥，所以2113k k =-①，又35P λ=，所以()()()()2212221211335131k k k k ++=++②，由①②解得12113k k =⎧⎪⎨=-⎪⎩或12113k k =-⎧⎪⎨=⎪⎩（舍去）．所以直线OT 的方程为13y x =-，由22112413x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得3,1x y =⎧⎨=-⎩或3,1,x y =-⎧⎨=⎩故切点T 的坐标为()3,1-或()3,1-．所以直线1l 的方程为4y x =-或4y x =+．【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题，往往需联立直线与圆锥曲线方程，消元并结合韦达定理，运用弦长公式、点到直线距离公式、斜率公式、向量数量积公式进行转化变形，结合已知条件得出结果.。

安徽省部分高中(皖南八校)2021届高三第三次联考数学(文)试题 Word版含答案

安徽省部分高中（皖南八校）2021届高三第三次联考数学（文）试题一、选择题：每小题5分，共50分．在四个选项中只有一项是正确的．1．若复数z满足z+2=（z﹣2）•i，则复数z 的共轭复数=（）A．﹣2i B．2i C．2+I D．2﹣i2．已知全集U=R，集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x|0＜x＜3}，则（）A．A∪B=B B．A∩∁U B=∅C．B⊆A D．A⊆B3．计算（log32﹣log318）÷81﹣=（）A．﹣B．﹣6 C．D．64．如图所示的程序框图的输出结果是（）A．2B．C．﹣D．﹣15．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（）A．B．C．D ．6．已知命题p：∀x∈R，2x＞x2；命题q：∃x（﹣2，+∞），使得（x+1）•e x≤1，则下列命题中为真命题的是（）A．p∧q B．p∨（￢q）C．（￢p）∧q D．（￢p）∧（￢q）7．在边长为1的正三角形ABC中任取一点M，则AM ＜的概率为（）A．B．C．D ．8．等比数列{a n}满足a3=16，a15=，则a6=（）A．±2 B．2C．4D．±49．已知函数y=2sin（ωx+φ）（ω＞0）与直线y=a（a＞0）相切，且y=a与x轴及函数的对称轴围成的图形面积为π，则ω的值不行能是（）A．1B．2C．4D．810．在平面直角坐标系中xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣4y+3=0，若直线x﹣ty+2=0上至多存在一点使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C相切，则t的范围为（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，0]C．（0，+∞）D．[0，+∞）二、填空题：每小题5分．11．已知平面对量，满足||=||=|﹣|=1，则|+|=．12．若x，y 满足约束条件，则z=8x﹣4y的最小值为．13．若函数f（x）=2x+在[1，+∞）上为增函数，则实数a的取值范围是．14．已知F是抛物线x2=2py的焦点，A、B是该抛物线上的两点，且满足|AF|+|BF|=3p，则线段AB的中点到x轴的距离为．15．下列命题：①已知函数f（x）=，则f[f（﹣2）]=4；②已知O为平面内任意一点，A、B、C 是平面内互不相同的三点，且满足=x +y．x+y=1，则A、B、C三点共线；③已知平面α∩平面β=l，直线a⊂α且a⊥直线l，直线b⊂β，则a⊥b是α⊥β的充要条件；④若△ABC是锐角三角形，则cosA＜sinB；⑤若f（x）=sin（2x+φ）﹣cos（2x﹣φ）的最大值为1，且φ∈（0，），则f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）．其中真命题的序号为（填写全部真命题的序号）．三、解答题：共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．16．（12分）△ABC中，角A、B、C所对额定边分别为a，b，c，且b＜c；（Ⅰ）若a=c•cosB，求角C；（Ⅱ）若cosA=sin（B﹣C），求角C．17．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为平行四边形，且满足：BD=BA，BD⊥BA，AD=2，又PA=PD=，M、N分别为AD、PC的中点．（Ⅰ）求证：MN∥平面PAB．（Ⅱ）连接PM、BM，若∠PMB=45°，（i）证明：平面PBC⊥平面ABCD；（ii）求四周体N﹣ABD的体积．18．（12分）某校2021届高三班级有1200人，在期末统考中，某学科得分的频率分布直方图如图所示；已知频率分布直方图的前四个小长方形上端的中点都在曲线y=•2上，且题干频率分布直方图中各组中间值估量总体的平均分为72.5分．（Ⅰ）分别求分数在[80，90），[90，100]范围内的人数；（Ⅱ）从分数在[40，50）和[90，100]内的同学中，按分层抽样抽取6人，再从这6人中任取两人，求这两人平均分不超过60分的概率．19．（13分）已知函数f（x）=x3﹣2ax2+3a2x﹣2．（1）若的单调递减区间为（﹣3，﹣1），求a的值；（2）若f（x）在（0，2a）上有两个零点，求a3的取值范围．20．（13分）下列数表中各数均为正数，且各行依次成等差数列，各列依次成等比数列，公比均相等，已知a11=1，a23=14，a32=16；a11a12a13 (1)a21a22a23 (2)…a n1 a n2 a n3…a nm（1）求数列{a n1}的通项公式；（2）设b n =，T n为数列{b n}的前n项和，若T n＜m2﹣7m对一切nN*都成立，求最小的正整数m的值．21．（13分）已知椭圆C ：+=1（a＞b＞0）的焦距为2c，离心率为e，左焦点为F，点M （c ，ce）在椭圆C上，O是坐标原点．（Ⅰ）求e的大小；（Ⅱ）若C上存在点N满足|FN|等于C 的长轴长的，求直线ON的方程．安徽省皖南八校联考2021届高考数学三模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：每小题5分，共50分．在四个选项中只有一项是正确的．1．若复数z满足z+2=（z﹣2）•i，则复数z 的共轭复数=（）A．﹣2i B．2i C．2+I D．2﹣i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．解答：解：∵z+2=（z﹣2）•i，∴z+2=zi﹣2i，化为z（1﹣i）=﹣2（1+i），∴z（1﹣i）（1+i）=﹣2（1+i）2，化为2z=﹣2（2i），∴z=﹣2i．则复数z 的共轭复数=2i．故选：B．点评：本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题．2．已知全集U=R，集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x|0＜x＜3}，则（）A．A∪B=B B．A∩∁U B=∅C．B⊆A D．A⊆B考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：求出集合A，B的等价条件，依据集合的基本运算进行求解即可．解答：解：A={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，B={x|0＜x＜3}，则B⊆A，故选：C点评：本题主要考查集合的基本运算和集合关系的推断，比较基础．3．计算（log32﹣log318）÷81﹣=（）A．﹣B．﹣6 C．D．6考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：依据对数的运算性质和幂的运算性质化简计算即可．解答：解：（log32﹣log318）÷81﹣=log 3÷=﹣2÷=﹣6，故选：B．点评：本题考查了对数的运算性质和幂的运算性质，属于基础题．4．如图所示的程序框图的输出结果是（）A．2B．C．﹣D．﹣1考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的s，i的值，当i=6时，不满足条件i＜6，退出循环，输出s的值为﹣1．解答：解：模拟执行程序框图，可得i=1，s=2满足条件i＜6，s=，i=2满足条件i＜6，s=﹣1，i=3满足条件i＜6，s=2，i=4满足条件i＜6，s=，i=5满足条件i＜6，s=﹣1，i=6不满足条件i＜6，退出循环，输出s的值为﹣1．故选：D．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，依次正确写出每次循环得到的s，i的值是解题的关键，属于基础题．5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（）A．B．C．D ．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：首先依据三视图把平面图复原成立体图形，进一步利用几何体的体积公式求出结果．解答：解：依据三视图得知：该几何体是有一个棱长为2的正方体，在每个角上的三条棱的中点处截去一个三棱锥体，共截去8个小三棱锥．则：该几何体的体积为：V==故选：A点评：本题考查的学问要点：三视图与立体图之间的转换，几何体的体积公式的应用．主要考查同学的空间想象力量和应用力量．6．已知命题p：∀x∈R，2x＞x2；命题q：∃x（﹣2，+∞），使得（x+1）•e x≤1，则下列命题中为真命题的是（）A．p∧q B．p∨（￢q）C．（￢p）∧q D．（￢p）∧（￢q）考点：复合命题的真假．专题：简易规律．分析：先推断命题p，q的真假，再依据真值表进行推断即可．解答：解：命题p：∀x∈R，2x＞x2；当x=﹣1时，2﹣1＜（﹣1）2，故命题p为假命题，则￢p为真命题，命题q：∃x（﹣2，+∞），使得（x+1）•e x≤1，当x=﹣1时，0＜1，故命题q为真命题，则￢q为假命题，故p∧q为假命题，p∨￢q为假命题，￢p∧q为真命题，￢p∧￢q为假命题，故选：C．点评：本题借助考查复合命题的真假推断，解题的关键是娴熟把握复合命题的真假规律．7．在边长为1的正三角形ABC中任取一点M，则AM ＜的概率为（）A．B．C．D ．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：由题意可得三角形的面积和扇形的面积，由几何概型的概率公式可儿的．解答：解：由题意该几何概型的总的基本大事的区域为边长为1的正三角形的面积S==，而满足AM ＜的区域为扇形的面积S′==，∴所求概率P==故选：D点评：本题考查几何概型，涉及正三角形的面积和扇形的面积，属中档题．8．等比数列{a n}满足a3=16，a15=，则a6=（）A．±2 B．2C．4D．±4考点：等比数列的通项公式．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：依据等比数列的通项公式，求出q的值，再求a6的值．解答：解：等比数列{a n}中，a3=16，a15=，∴=q12==，∴q3=±；∴a6=a3•q3=16×（±）=±4．故答案为：D．点评：本题考查了等比数列的通项公式的应用问题，也考查了同学机敏的计算力量，是基础题目．9．已知函数y=2sin（ωx+φ）（ω＞0）与直线y=a（a＞0）相切，且y=a与x轴及函数的对称轴围成的图形面积为π，则ω的值不行能是（）A．1B．2C．4D．8考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：由题可得a=2，且a•k ==π，k∈N*，求得ω=2k，从而得出结论．解答：解：依据函数y=2sin（ωx+φ）（ω＞0）与直线y=a（a＞0）相切，可得a=2，而函数的相邻的2条对称轴之间的距离为=，故由y=a与x轴及函数的对称轴围成的图形面积为π，可得a•k ==π，k∈N*，求得ω=2k，是偶数，故选：A．点评：本题主要考查正弦函数的图象的对称性、正弦函数的最值，属于中档题．10．在平面直角坐标系中xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣4y+3=0，若直线x﹣ty+2=0上至多存在一点使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C相切，则t的范围为（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，0]C．（0，+∞）D．[0，+∞）考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：圆C化成标准方程，得圆心为C（0，2），半径r=1，依据题意可得点C到直线x﹣ty+2=0的距离大于或等于2，利用点到直线的距离公式建立关于t的不等式，解之得t的范围．解答：解：∵圆C的方程为x2+y2﹣4y+3=0，∴整理得：x2+（y﹣2）2=1，可得圆心为C（0，2），半径r=1．又∵直线x﹣ty+2=0上至多存在一点使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C相切，∴点C到直线x﹣ty+2=0的距离大于或等于2，可得≥2，解之得t≤0．故选：B．点评：本题给出定圆与经过定点的直线，当直线与圆有公共点时求参数k的取值范围，着重考查了圆的标准方程、点到直线的距离公式和直线与圆的位置关系等学问，属于中档题．二、填空题：每小题5分．11．已知平面对量，满足||=||=|﹣|=1，则|+|=．考点：平面对量数量积的运算．专题：平面对量及应用．分析：依据已知条件简洁求出2，从而可以求出，从而求得||．解答：解：=；∴；∴；∴．故答案为：．点评：考查向量数量积的运算，把握这种要求先求的方法，也可写成．12．若x，y 满足约束条件，则z=8x﹣4y 的最小值为3．考点：简洁线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义进行求解即可．解答：解：作作出不等式组对应的平面区域如图：由z=8x﹣4y ，得y=2x﹣表示，平移直线y=2x﹣，当直线y=2x﹣经过点A时，此时直线y=x﹣z截距最大，z最小．由，解得，即A（，），此时z min=8×﹣4×=3．故答案为：3．点评：本题主要考查线性规划的基本应用，利用z的几何意义是解决线性规划问题的关键，留意利用数形结合来解决．13．若函数f（x）=2x+在[1，+∞）上为增函数，则实数a的取值范围是（﹣∞，2]．考点：利用导数争辩函数的单调性．专题：导数的概念及应用．分析：先求出函数的导数，问题转化为∴a≤（2x2）min，求出函数y=2x2的最小值即可．解答：解：若函数f（x）=2x+在[1，+∞）上为增函数，则f′（x）=2﹣≥0在[1，+∞）恒成立，∴a≤（2x2）min=2，故答案为：（﹣∞，2]．点评：本题考查了导数的应用，考查了转化思想，考查函数的最值问题，是一道基础题．14．已知F是抛物线x2=2py的焦点，A、B是该抛物线上的两点，且满足|AF|+|BF|=3p，则线段AB的中点到x轴的距离为p．考点：抛物线的简洁性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：依据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出A，B的中点纵坐标，求出线段AB的中点到x轴的距离．解答：解：抛物线x2=2py的焦点F（0，）准线方程y=﹣，设A（x1，y1），B（x2，y2）∴|AF|+|BF|=y1++y2+=3p解得y1+y2=2p，∴线段AB的中点纵坐标为p∴线段AB的中点到x轴的距离为p．故答案为：p．点评：本题考查解决抛物线上的点到焦点的距离问题，利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离．15．下列命题：①已知函数f（x）=，则f[f（﹣2）]=4；②已知O为平面内任意一点，A、B、C是平面内互不相同的三点，且满足=x+y．x+y=1，则A、B、C三点共线；③已知平面α∩平面β=l，直线a⊂α且a⊥直线l，直线b⊂β，则a⊥b是α⊥β的充要条件；④若△ABC是锐角三角形，则cosA＜sinB；⑤若f（x）=sin（2x+φ）﹣cos（2x﹣φ）的最大值为1，且φ∈（0，），则f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）．其中真命题的序号为①②④（填写全部真命题的序号）．考点：命题的真假推断与应用．专题：函数的性质及应用；简易规律．分析：①利用已知可得f（﹣2）=22=4，f（4）=22=4，即可推断出正误；②利用向量共线定理即可推断出正误；③由面面垂直的判定与性质定理即可推断出正误；④若△ABC 是锐角三角形，则，可得，即可推断出正误；⑤f（x）=（cosφ﹣sinφ）的最大值为1，可得cosφ﹣sinφ=，cos（φ+）=，且φ∈（0，），解得φ=或．可得f（x）=±，分类争辩利用正弦函数的单调性即可推断出正误．解答：解：①已知函数f（x）=，则f[f（﹣2）]=f（4）=22=4，因此正确；②由O为平面内任意一点，A、B、C 是平面内互不相同的三点，且满足=x +y．x+y=1，由共线定理可知：A、B、C三点共线，正确；③由平面α∩平面β=l，直线a⊂α且a⊥直线l，直线b⊂β，则a⊥b是α⊥β的必要不充分条件，因此不正确；④若△ABC 是锐角三角形，则，∴，∴cosA＜sinB，因此正确；⑤f（x）=sin（2x+φ）﹣cos（2x﹣φ）=（cosφ﹣sinφ）（sin2x﹣cos2x）=（cosφ﹣sinφ）的最大值为1，∴cosφ﹣sinφ=，∴cos（φ+）=，且φ∈（0，），∴φ=或．∴f（x）=±，由或≤，解得kπ﹣≤x≤kπ+，或≤x≤kπ+（k∈Z），则f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]（k∈Z ）或（k∈Z），因此不正确．综上可得：真命题为①②④．故答案为：①②④．点评：本题考查了简易规律的判定方法、分段函数的性质、向量共线定理、面面垂直的判定与性质定理、三角函数的单调性、两角和差的正弦公式等基础学问，考查了推理力量与计算力量，属于中档题．三、解答题：共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．16．（12分）△ABC中，角A、B、C所对额定边分别为a，b，c，且b＜c；（Ⅰ）若a=c•cosB，求角C；（Ⅱ）若cosA=sin（B﹣C），求角C．考点：正弦定理；余弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：（Ⅰ）由正弦定理化简已知等式得sinA=sinCcosB，整理可得sinBcosC=0，结合B为内角，可求cosC=0，即可求得C的值．（Ⅱ）由cosA=sin（B﹣C）利用三角形内角和定理和两角和的余弦函数公式化简可得（sinB+cosB）（sinC﹣cosC）=0，结合b＜c，由（sinB+cosB）≠0，可解得sinC﹣cosC=0，即可求得C的值．解答：解：（Ⅰ）由a=c•cosB及正弦定理，可得sinA=sinCcosB，既有：sinBcosC+cosBsinC=sinCcosB，故：sinBcosC=0，而在△ABC中，sinB≠0，所以cosC=0，既得C=90°．…6分（Ⅱ）由cosA=sin（B﹣C）得﹣cos（B+C）=sinBcosC﹣cosBsinC，即有：sinBsinC﹣cosBcosC=sinBcosC﹣cosBsinC，从而：（sinB+cosB）（sinC﹣cosC）=0，又由于b＜c，所以B＜C，所以（sinB+cosB）≠0，既有sinC﹣cosC=0，故解得：C=45°．…12分点评：本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形内角和定理和两角和的余弦函数公式的应用，属于基本学问的考查．17．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为平行四边形，且满足：BD=BA，BD⊥BA，AD=2，又PA=PD=，M、N分别为AD、PC的中点．（Ⅰ）求证：MN∥平面PAB．（Ⅱ）连接PM、BM，若∠PMB=45°，（i）证明：平面PBC⊥平面ABCD；（ii）求四周体N﹣ABD的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（I）取PB的中点E，连接AE，NE．又M、N分别为AD、PC的中点．利用三角形中位线定理、平行四边形的性质可得：NE AM，可得四边形AMNE是平行四边形，MN∥AE，即可证明MN∥平面PAB．（II）（i）由PA=PD，AM=MD，可得PM⊥AD，PM=．在△PMB中，由余弦定理可得：PB2，利用PB2+BM2=PM2，可得PB⊥AB．同理可得PB⊥DB，即可证明PB⊥平面ABCD，得到平面PBC⊥平面ABCD；（ii）利用V N﹣ABD =••S△ABD即可得出．解答：（I）证明：取PB的中点E，连接AE，NE．又M、N分别为AD、PC的中点．∴AM，∴四边形AMNE是平行四边形，∴MN∥AE，又MN⊄平面PAB，∴AE⊂平面PAB．∴MN∥平面PAB．（II）（i）证明：∵PA=PD，AM=MD，∴PM⊥AD，∴PM==2．在△PMB中，由余弦定理可得：PB2=PM2+BM2﹣2PM•BMcos45°=2，∴PB2+BM2=PM2，∴PB⊥AB．同理可得PB⊥DB，BD∩BM=B，∴PB⊥平面ABCD，∴平面PBC⊥平面ABCD；（ii）解：∵N是PC的中点，PB⊥平面ABCD，∴点N到平面ABCD的距离h=PB．∴V N﹣ABD =••S△ABD =×=．点评：本题考查了线面面面平行与垂直的判定定理与性质定理、三棱锥的体积计算公式、三角形中位线定理、余弦定理、勾股定理的逆定理、平行四边形的判定与性质定理，考查了推理力量与计算力量，属于中档题．18．（12分）某校2021届高三班级有1200人，在期末统考中，某学科得分的频率分布直方图如图所示；已知频率分布直方图的前四个小长方形上端的中点都在曲线y=•2上，且题干频率分布直方图中各组中间值估量总体的平均分为72.5分．（Ⅰ）分别求分数在[80，90），[90，100]范围内的人数；（Ⅱ）从分数在[40，50）和[90，100]内的同学中，按分层抽样抽取6人，再从这6人中任取两人，求这两人平均分不超过60分的概率．考点：列举法计算基本大事数及大事发生的概率；频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）由题意可得各组的频率，可得要求的人数；（Ⅱ）由（Ⅰ）知抽出的分数在[40，50）和[90，100]内的同学人数均为3人，分别记为a、b、c和1、2、3，列举由概率公式可得．解答：解：（Ⅰ）由题意可知前四组的频率分别为，，，，∴分数在[80，90），[90，100]两组的频率是和，∴分数在[80，90）内的人数是×1200=240，分数在[90，100）内的人数是×1200=60；（Ⅱ）由（Ⅰ）知抽出的分数在[40，50）和[90，100]内的同学人数均为3人，分别记为a、b、c和1、2、3，从中抽取2人的情形为（a，b），（a，c），（a，1），（a，2），（a，3），（b，c），（b，1），（b，2），（b，3），（c，1），（c，2），（c，3），（1，2），（1，3），（2，3）共15种，其中两人平均分不超过60分的有（a，b），（a，c），（b，c）共3种，∴所求概率为P==．点评：本题考查列举法计算基本大事数及大事发生的概率，涉及频率分布直方图，属基础题．19．（13分）已知函数f（x）=x3﹣2ax2+3a2x﹣2．（1）若的单调递减区间为（﹣3，﹣1），求a的值；（2）若f（x）在（0，2a）上有两个零点，求a3的取值范围．考点：利用导数争辩函数的单调性；函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用；导数的概念及应用．分析：（1）先求导，再依据函数的单调区间，即可求出a的值；（2）依据函数的零点判定定理，即可求出a的值范围．解答：解：（1）∵f（x）=x3﹣2ax2+3a2x﹣2，∴f′（x）=x2﹣4ax+3a2=（x﹣3a）（x﹣a），∵函数f（x）的单调递减区间为（﹣3，﹣1），∴，即a=﹣1；（2）∵f（x）在（0，2a）上有两个零点，∴a＞0，且，解得故a3的取值范围为（，3）点评：本题考查了应用导数争辩函数的单调性、零点以及函数在闭区间上的最值问题，同时考查分析问题、解决问题的力量以及分类争辩的数学思想．20．（13分）下列数表中各数均为正数，且各行依次成等差数列，各列依次成等比数列，公比均相等，已知a11=1，a23=14，a32=16；a11a12a13 (1)a21a22a23 (2)…a n1 a n2 a n3…a nm（1）求数列{a n1}的通项公式；（2）设b n =，T n为数列{b n}的前n项和，若T n＜m2﹣7m对一切nN*都成立，求最小的正整数m的值．考点：数列的求和；归纳推理．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由题意可设第一行的等差数列的公差为d，各列依次成等比数列，公比相等设为q＞0．由a11=1，a23=14，a32=16，可得，解得d，q．即可得出a n1．（2）由（1）可得a1n=a11+3（n ﹣1）=3n﹣2．可得b n ==，利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式可得T n．由T n＜m2﹣7m对一切n∈N*都成立，可得m2﹣7m＞（T n）max，解出即可．解答：解：（1）由题意可设第一行的等差数列的公差为d，各列依次成等比数列，公比相等设为q＞0．∵a11=1，a23=14，a32=16，∴，解得d=3，q=2．∴a n1=2n﹣1．（2）由（1）可得a1n=a11+3（n﹣1）=3n﹣2．∴b n ==，∴T n =1++…+，=…+，∴=1+﹣=﹣﹣2=，∴T n=8﹣．∵T n＜m2﹣7m对一切n∈N*都成立，∴m2﹣7m＞（T n）max，∴m2﹣7m≥8，m＞0，解得m≥8，∴最小的正整数m的值是8．点评：本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”、不等式的性质、恒成立问题的等价转化方法，考查了推理力量与计算力量，属于中档题21．（13分）已知椭圆C ：+=1（a＞b＞0）的焦距为2c，离心率为e，左焦点为F，点M （c ，ce）在椭圆C上，O是坐标原点．（Ⅰ）求e的大小；（Ⅱ）若C上存在点N满足|FN|等于C 的长轴长的，求直线ON的方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）利用点M （c ，ce）在椭圆C上，建立方程，即可求e的大小；（Ⅱ）利用|FN|等于C 的长轴长的，求出N的坐标，即可求直线ON的方程．解答：解：（Ⅰ）∵点M （c ，ce）在椭圆C上，∴，∴b2=2c2，∴a2=3c2，∴e==；（Ⅱ）由（Ⅰ）C 的方程可化为，设N（x1，y1），则∵|FN|等于C 的长轴长的，∴|FN|2=（x1+c）2+y12=，∴4x12+24cx1﹣45c2=0，∴x1=c，∴y1=±c，∴直线ON的方程为．点评：本题考查椭圆的方程与性质，考查直线方程，考查同学的计算力量，属于中档题．。

全国卷Ⅲ2020届高三高考压轴卷数学试题(理科)(含解析)

是符合题目要求的。
1.已知集合 A = {x (x +1)(x − 4) ≤ 0}， B = {x log2 x ≤ 2} ，则 A ∩ B = （）
A. [− 2 , 4 ]
B. [1,+∞)
C. (0,4]
D.[−2, +∞)
2.若复数 z 满足 z(1−i)2 = i （i 是虚数单位），则 z 为（）
b = 2×1 = 2
成 a < b 不立
n =1+1= 2
a = 9 + 1 × 9 = 27 2 22 4
b = 2×2 = 4
成 a 0)
椭圆
x2 a2
+
y2 b2
= 1(a
>b
>
0)
相同焦点 F
P
曲
线的公共点，若
PF
=
5
，则此的为 . p
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

2020年合肥市第三次高考模拟考试数学文答案

1 1 2 2
3 2
3. 2
在菱形 A1ACC1 中，∵ A1C 3AC1 ，
∴ACC1 60 ， S A1ACC1 2 2
3 2 2
3.
∵平面 ABC ⊥平面 ACC1 ，取 AC 的中点为M ，连接 BM，C1M ，
∴ BM ⊥平面 ACC1 ，C1M ⊥平面 ABC .
由(1)知，平面 ABC ∥平面 A1B1C1 ，
按题意有， f
xn
g
xn1
，即 e xn
exn
2xn1 ，∴ xn1
exn
exn 2
.
②由①知 xn1 exn
exn 2
e xn
2
.
注意到 x1 1，
∴ xn1 xn
x2 xn1 xn
e e xn
xn1
x2 x1
2
2
ex1
，
2
∴ xn1 xn
x2
x1
直线m 的极坐标方程为 ( R ).
(2)设点 A ，C 的极坐标分别为1，，2， .
由
=
2
+2
cos
3
0
得,
2
+2
cos
3
0
，
∴ 1 2 2cos ， 12 3 ，
∴ AC 1 2 2 cos2 3 .
同理得 BD 2 sin2 3 .
………………………………5 分
19.(本小题满分 12 分)
解：(1)由已知得
2k 4
2k 8
2
(
k
Z
)，解得
2
4
，
∴ f x
2

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

安徽省合肥市2020届高三高考数学（文科）三模试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题3}，集合B ＝{x |﹣2＜x ＜2}，则A ∩B ＝（） A.（﹣2，2）B.（﹣1，2）C.（﹣2，3）D.（﹣1，3）2.已知i 是虚数单位，则复数121iz i-=+在复平面上所对应的点位于（） A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.在新冠肺炎疫情联防联控期间，某居委会从辖区内A ，B ，C 三个小区志愿者中各选取1人，随机安排到这三个小区，协助小区保安做好封闭管理和防控宣传工作．若每个小区安排1人，则每位志愿者不安排在自己居住小区的概率为（） A.16B.13C.12D.234.若,x y R ∈，则22x y >是1xy>成立的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件5.已知函数()11()xxa a f x a =->，则不等式()()2210f x f x +->的解集是（） A.1(,1),2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭B.1,(1,)2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭C.1,12⎛⎫-⎪⎝⎭D.11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭6.已知向量a →，b →满足|||2|a b a b →→→→+=-，其中b →是单位向量，则a →在b →方向上的投影是（） A.1B.34C.12D.147.公元前1650年的埃及莱因德纸草书上载有如下问题：“十人分十斗玉米，从第二人开始，各人所得依次比前人少八分之一，问每人各得玉米多少斗？”在上述问题中，第一人分得玉米（）A.10101010887⨯-斗 B.9101010887⨯-斗 C.8101010887⨯-斗 D.91070881⨯-斗 8.在△ABC 中，若11112sin sin tan tan ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭A B A B ，则（） A.C 的最大值为3π B.C 的最大值为23π C.C 的最小值为3π D.C 的最小值为6π 9.某校高一年级研究性学习小组利用激光多普勒测速仪实地测量复兴号高铁在某时刻的速度，其工作原理是：激光器发出的光平均分成两束射出，在被测物体表面汇聚，探测器接收反射光．当被测物体横向速度为零时，反射光与探测光频率相同．当横向速度不为零时，反射光相对探测光会发生频移p 2sin f νϕλ=，其中v 为测速仪测得被测物体的横向速度，λ为激光波长，φ为两束探测光线夹角的一半，如图，若激光测速仪安装在距离高铁1m 处，发出的激光波长为1550nm （1nm ＝10﹣9m ），测得某时刻频移为9.030×109（1/h ），则该时刻高铁的速度约等于（）A.320km/hB.330km/hC.340km/hD.350km/h10.已知过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于()11,A x y ，()22,B x y 两点，则4AF BF +的最小值为（）A.4B.8C.9D.1211.点P 是正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的侧面DCC 1D 1内的一个动点，若△APD 与△BCP 的面积之比等于2，则点P 的轨迹是（） A.圆的一部分B.椭圆的一部分C.双曲线的一部分D.抛物线的一部分12.若关于x 的不等式（a +2）x ≤x 2+a ln x 在区间[1e，e ]（e 为自然对数的底数）上有实数解，则实数a 的最大值是（） A.﹣1B.12(1)-+e e e C.(3)1--e e e D.(2)1--e e e 第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）13.设函数()()222,5,x e x ef x log x x e ⎧<⎪=⎨-⎪⎩（其中e 为自然对数的底数），则f （f （3））的值等于_____．14.某高中各年级男、女生人数统计如表：按年级分层抽样，若抽取该校学生80人中，高二学生有27人，则表中a ＝_____．15.已知数列{}n a 中n a n =，数列{}n b 的前n 项和21nn S =-．若数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T M <对于n N *∀∈都成立，则实数M 的最小值等于_____．16.已知长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱AA 1＝2，AD ＝3，点E ，F 分别为棱BC ，CC 1上的动点．若四面体A 1B 1EF 的四个面都是直角三角形，则下列命题正确的是_____．（写出所有正确命题的编号）①存在点E ，使得1EF A F ⊥； ②不存在点E ，使得11B E A F ⊥；③当点E 为BC 中点时，满足条件的点F 有3个； ④当点F 为CC 1中点时，满足条件的点E 有3个；⑤四面体A1B1EF四个面所在平面，有4对相互垂直．三、解答题（题型注释）“十三五”节能减排综合工作方案》，空气质量明显改善．该市生态环境局统计了某月（30天）空气质量指数，绘制成如图频率分布直方图．已知空气质量等级与空气质量指数对照如表：（1）在这30天中随机抽取一天，试估计这一天空气质量等级是优或良的概率；（2）根据体质检查情况，医生建议：当空气质量指数高于90时，某市民不宜进行户外体育运动．试问：该市民在这30天内，有多少天适宜进行户外体育运动？ 18.如图，边长为2的等边ABC 所在平面与菱形11A ACC 所在平面互相垂直，且11//BC B C ，112BC B C =,11AC =．（1）求证：11//A B 平面ABC ；（2）求多面体111ABC A B C -的体积V ．19.已知函数())0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.（1）求函数()f x 的解析式；（2）将函数()f x 的图象向左平移4π个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数()g x 的图象，求函数()g x 在区间[]0,π上的值域.20.在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 是椭圆E ：24x +y 2＝1上的动点，不经过点P 的直线l 交椭圆E 于A ，B 两点．（1）若直线l 经过坐标原点，证明：直线P A 与直线PB 的斜率之积为定值；（2）若0OA OB OP ++=，证明：△ABP 三边的中点在同一个椭圆上，并求出这个椭圆的方程．21.已知函数f （x ）＝e x ﹣e ﹣x ，g （x ）＝ax （e 为自然对数的底数），其中a ∈R ．（1）试讨论函数F （x ）＝f （x ）﹣g （x ）的单调性；（2）当a ＝2时，记函数f （x ），g （x ）的图象分别为曲线C 1，C 2．在C 2上取点P n （x n ，y n ）作x 轴的垂线交C 1于Q n ，再过点Q n 作y 轴的垂线交C 2于P n +1（x n +1，y n +1）（n ∈N *），且x 1＝1． ①用x n 表示x n +1；②设数列{x n }和{ln x n }的前n 项和分别为S n ，T n ，求证：S n ﹣T n +1＞n ln2．22.在平面直角坐标系中，直线m 的参数方程为 cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，0≤α＜π）．以坐标原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．曲线E 的极坐标方程为ρ2+2ρcos θ﹣3＝0，直线m 与曲线E 交于A ，C 两点．（1）求曲线E 的直角坐标方程和直线m 的极坐标方程；（2）过原点且与直线m 垂直的直线n ，交曲线E 于B ，D 两点，求四边形ABCD 面积的最大值．23.已知函数()|22||1|f x x x =--+的最小值为m ．（1）求m 的值；（2）若0a b c m +++=，证明：2222420a b c b c ++-++．参考答案1.B【解析】1.直接用交集运算求解.作示意图如图所示：则(1,2)A B=-.故选：B.2.C【解析】2.利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数z，从而可得结果.由于复数()()()()12112131112i ii izi i i-----===++-，在复平面的对应点坐标为13,22⎛⎫--⎪⎝⎭.∴在第三象限. 故选：C.3.B【解析】3.基本事件总数336n A==，每位志愿者不安排在自己居住小区包含的基本事件个数111 2112m C C C==,由此能求出每位志愿者不安排在自己居住小区的概率.由题意，基本事件总数336n A==，每位志愿者不安排在自己居住小区包含的基本事件个数1112112m C C C==，∴每位志愿者不安排在自己居住小区的概率为2163mPn===,故选：B 4.B【解析】4. 根据()100x x y y x y y y->⇔>⇔->，解出不等式可得：22x y >成立；反之，举例可知不成立．由于()0,1000y x x y y x y x y y y >⎧->⇔>⇔->⇔⎨->⎩或00y x y <⎧⎨-<⎩，所以22x y >，反之不成立，例如2,1x y ==-，满足22x y >，而1xy >不成立．所以22x y >是1xy>成立的必要不充分条件．故选：B ． 5.D【解析】5.首先判断()f x 的单调性和奇偶性，由此化简不等式，求得不等式的解集.()f x 的定义域为R ，且()()1x xf x a f x a -=-=-，所以()f x 为奇函数，由于1a >，所以()f x 在R 上递减. 由()()2210f xf x +->，得()()()2211f x f x f x >--=-，所以221x x <-，()()2212110x x x x +-=-+<，解得112x -<<.所以不等式的解集为11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：D 6.C【解析】6.由条件|||2|a b a b →→→→+=-平方求出a b →→⋅，利用向量在向量上的投影公式计算即可.|||2|a b a b →→→→+=-，222a b a b →→→→⎛⎫⎛⎫∴= ⎪ ⎭⎝-⎪⎝⎭+，2222244a a b b a a b b ∴+⋅+=-⋅+，b →是单位向量，12a b →→∴⋅=， a →∴在b →方向上的投影为12||a bb →→→⋅=，故选：C 7.B【解析】7.直接根据等比数列的求和公式求解即可．由题意可知，每人所得玉米数构成公比为78的等比数列；且数列的前10 项和为10；设首项为a ；则1071810718a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝=-⎭-； ∴910101010110108878718a ⨯⨯==--. 故选：B ． 8.A【解析】8. 由商数关系，可得11cos cos 2 sin sin sin sin A B A B A B ⎛⎫⎪⎝++⎭=，结合辅助角公式，化简整理为sin sin 2sin B A C +=，于是2b a c +=，由均值不等式可知，()224a b ab c +≤=，由余弦定理知，222cos 2a b c C ab+-=，将所得结论代入进行运算可得1cos 2C ≥，结合三角形内角关系，即可求解．由题可知，1111cos cos 22sin sin tan tan sin sin A B A B A B A B ⎛⎫+=+=⎛⎫⎪⎝+ ⎪⎝⎭⎭，所以()()sin sin 2sin cos cos sin 2sin 2sin B A B A B A A B C +=+=+=，由正弦定理知，sin sin sin a b cA B C==，所以2b a c +=，由均值不等式可知，()224a b ab c +≤=，由余弦定理知，222222232331cos 1122222a b c c ab c c C ab ab ab c +--===-≥-=，因为()0,C π∈，所以03C π<≤，即C 的最大值为3π．故选：A ． 9.D【解析】9.先计算sin ϕ，再根据所给公式计算v 即可.3sin ϕ-==故99.03010⨯=即9.03=故9.03349982.480.04v ⨯=≈米/小时350km /h ≈，故选：D 10.C【解析】10.当直线AB 的斜率不存在时，可得1x =，从而可得121x x ==，利用焦点弦公式求出4AF BF +；当直线AB 的斜率存在时，设出直线AB 方程：()1y k x =-，将直线方程与抛物线方程联立，可得121=x x ，根据焦点弦公式借助基本不等式即可求解. 由题意可知1212444522p p AF BF x x x x ⎛⎫+=+++=++ ⎪⎝⎭，当直线AB 的斜率不存在时，可得1x =，所以121x x ==，即410AF BF +=；当直线AB 的斜率存在时，设斜率为k ，则直线AB 方程：()1y k x =-，则()214y k x y x⎧=-⎨=⎩，整理可得()222240k x k x k -++=，所以121=x x ，所以122214454559AF BF x x x x +=++=++≥=，当且仅当211,22x x ==时，取等号，故4AF BF +的最小值为9. 故选：C 11.A【解析】11.根据题意得，动点P 到侧棱BC 的距离实际上是P 点到点C 的距离，点P 到侧棱AD 的距离就是P 到点D 的距离；根据面积比转化为高的比，建立平面直角坐标系求解即可得到结论．由题意得，若APD △与BCP 的面积之比等于2，因为两个三角形的底相等；故对应的高之比为2:1；动点P 到侧棱BC 的距离实际上是P 点到点C 的距离，点P 到侧棱AD 的距离就是P 到点D 的距离．即2PD PC =；建立如图所示的坐标系，则()()0,0,,0C D a ，设(),P x y ，故()222PD PC =；()()22224x a y x y ∴-+=+；2223230x ax y a ∴++-=；故点P 的轨迹是圆的一部分．故选：A ． 12.D【解析】12.先对2(2)ln a x x a x +≤+化简，2(ln )2a x x x x -≤-，用导数判断ln x x -在x ∈1[,]e e的符号为正，可转化为22ln -≤-x x a x x，在x ∈1[,]e e 有解，设()f x = 22ln x xx x --，利用导数求函数()f x 的最大值max ()f x ，则a max ()f x ≤，即实数a 的最大值为max ()f x .由2(2)ln a x x a x +≤+，得2(ln )2a x x x x -≤-，令()g x = ln x x -，x ∈1[,]e e ，则1()1g x x '=-，则()g x 在1[,1)e递减，在(1,]e 递增，则()(1)10g x g ≥=>，即由2(ln )2a x x x x -≤-，得22ln -≤-x x a x x ，x ∈1[,]e e 有解，设()f x = 22ln x x x x--，x ∈1[,]e e ，则()f x '=221(22)(ln )(1)(2)(ln )x x x x x xx x ------2(1)(22ln )(ln )x x x x x -+-=-，令()22ln u x x x =+-，x ∈1[,]e e ，则2()1u x x'=-，故()u x 在1[,2)e递减，在(2,]e 递增，故()(2)42ln 20u x u ≥=->，故()f x 在1[,1)e 递减，在(1,]e 递增，又1()f e =2120e e e -<+，22()1e ef e e -=-0>，故2max2()()1e e f x f e e -==-，故a ≤221e ee --，即实数a 的最大值为221e ee --. 故选：D. 13.2e 2【解析】13.直接根据分段函数解析式计算可得；解：因为()222,()105,x e x ef xg x x e⎧<⎪=⎨-⎪⎩ 所以()()223log 352f =-=，所以()()()2322ff f e==故答案为：22e 14.480；【解析】14.根据分层抽样满足每个个体被抽到的概率是相等的，建立等量关系式，求得结果. 根据题意，由分层抽样方法得8027592528563517520563517a =++++++，解得480a =，故答案为：480. 15.4【解析】15.由数列{}n b 的前n 项和21nn S =-得，12n n b -=，则112n n n a n b -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，利用错位相减法得到12442n n n T -+=-<，即可得出结论. 由数列{}n b 的前n 项和21nn S =-得，当2n ≥时，有()()11121212nn n n n n b S S ---=-=---=，当1n =时，有11211S b =-==也适合上式，故12n nb -=，n a n =，112n n n a n b -⎛⎫∴=⋅ ⎪⎝⎭，()0121111112312222n n T n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=⨯+⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()12311111123222222nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由()()12-得：1231111111111211222222212nn n nn T n n -⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+++++-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-()1222nn ⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭，即12442n n n T -+=-<. 又n T M <对于n N *∀∈都成立，所以4M ≥,故实数M 的最小值等于4. 故答案为：4. 16.①②④【解析】16.①②利用假设存在，推出条件正确，推出矛盾，则不存在；③④建立空间坐标系，利用已知条件设1,BE m C F n ==，写坐标，利用垂直关系，求出,m n 的值，即可得出结论；⑤利用线面垂直推面面垂直关系即可得出结论.由题意知11A B ⊥面1B EF ，则11111111,,A B B E A B B F A B EF ⊥⊥⊥，则1111,A B E A B F 为直角三角形，在1B EF 中，由题意知1B E 不能垂直1B F ，又1B EF 为直角三角形，则190B EF ∠=︒或190B FE ∠=︒； ①假设存在点E ，使得1EF A F ⊥，又111111,A B EF A B A F A ⊥=，则EF ⊥面11A B F ，即EF ⊥1B F ，满足题意，①正确； ②假设存在点E ，使得11B E A F ⊥，又111A B B E ⊥，1111A B A F A =，则1B E ⊥面11A B F ，则11B E B F ⊥这与1B E 不能垂直1B F 矛盾，所以不存在点E ，使得11B E A F ⊥，②正确；③建立如图所示的空间坐标系，设1,BE m C F n ==，则03m <<，02n <<，由题意得()()130,0,0,2,,0,,3,02B E F n ⎛⎫⎪⎝⎭，()132,,0,,3,02EF n B F n ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭,若EF ⊥1B F ，则10EF B F =，即()9202n n -+=，整理得：22490n n -+=， ∆<0，所以方程无实根；③不正确.④()()()10,0,0,2,,0,1,3,0B E m F ，()()()111,3,0,1,3,0,2,,0EF m B F B E m =--==，若EF ⊥1B F ，则10EF B F =，则()81330,3m m -+-==，若EF ⊥1B E ，则10EF B E =，则()230,1m m m -+-==或2m =，故④正确；⑤由题意知11A B ⊥面1B EF ，若EF ⊥面11A B E ，由图形观察可知：有3对相互垂直，分别为面11A B E ⊥面1B EF ，面11A B F ⊥面1B EF ，面11A B E ⊥面1A EF .则⑤不正确. 故答案为：①②④. 17.（1）1415；（2）27【解析】17.（1）先根据频率分布直方图求出各组的频率，列表表示，再由空气质量等级是优或良，则空气质量指数为(0,100]，求出概率；（2）由（1）中频率表，计算空气质量指数高于90的频率，求出频数. （1）由频率分布直方图，列出分组和对应的频率：由130151030m ++++=，得15m =，空气质量等级是优或良，则空气质量分数为(0,100]，故P =114130215m --=，即估计一天空气质量等级是优或良的概率为1415. （2）由空气质量指数高于90时，某市民不宜进行户外体育运动，则适宜进行户外体育运动的天数为130(1)2730m ⨯--=天. 18.（1）证明见详解；（2）52.【解析】18.（1）先利用已知条件得到线面平行，再证面//ABC 面111A B C ，即可得出结论；（2）利用已知条件分别求出三棱锥111B A B C -和四棱锥11B A ACC -的体积，相加即为多面体111ABC A B C -的体积.（1）四边形11A ACC 是菱形，∴11//AC A C ，又AC ⊂面ABC ,11A C ⊄面ABC ，11//A C 面ABC ,同理得，11//B C 面ABC ，1111,AC B C ⊂面111A B C ，且11111AC B C C =，∴面//ABC 面111A B C ，又11A B ⊂面111A B C ，11//A B ∴平面ABC ；（2）1111111//,//,60AC AC BC B C AC B ACB ∴∠=∠=︒，11112,22AC AC B C BC ====，1111122A B C S=⨯⨯=在菱形11A ACC 中，113AC =，160ACC ∴∠=︒，11222A ACC S=⨯⨯=面ABC ⊥面1ACC ，取AC 的中点M ，连接1,BM C M ，∴BM ⊥面1ACC ，1C M ⊥面ABC ，由（1）知，面//ABC 面111A B C ，∴ 点B 到面111A B C 的距离为1C M =又点B 到面11A ACC 的距离为BM =，连接1BC ，则111111532B A B C B A ACC V V V --=+=⨯=⎝.19.（1）()24f x x π⎛⎫- ⎝=⎪⎭；（2）⎡-⎣.【解析】19.（1）由五点法作图以及特殊点的坐标求出ω、ϕ的值，可得()f x 得解析式．（2）利用函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，求得()g x 的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求出函数()g x 在区间[0，]π上的值域．解：（1）由图象可得()01f =-可得sin 2ϕ=-，又||2ϕπ<，故4πϕ=-，又08f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，故84k ωπππ⨯-=即82k ω=+，其中k ∈N . 因为()f x 在0,8π⎛⎫⎪⎝⎭为增函数，故82T π≤即4T π≥，所以08ω<≤，所以2ω=，故()24f x x π⎛⎫- ⎝=⎪⎭.（2）将函数()f x 的图象向左平移4π个单位，所得图象对应的解析式为24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数()g x 的图象，则()4g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当[]0,x π∈时，5,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，故sin 42x π⎡⎤⎛⎫+∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，故()g x 的值域为⎡-⎣.20.（1）证明见解析；（2）证明见解析，椭圆的方程为2241x y +=.【解析】20.（1）设11(,)A x y ，22(,)P x y ，则11(,)B x y --，再将PA PB k k ⋅表示出来，根据,A B 在椭圆上化简，证得直线P A 与直线PB 的斜率之积为定值；（2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)P x y ，由0OA OB OP ++=，得1230x x x ++=，1230y y y ++=，再得到AB 的中点1212(,)22x x y y D ++，化简得33(,)22x y D --，又223314x y +=，则2233()4()122x y -+-=，知D 在椭圆2241x y +=上，同理可得,AP BP 的中点都在椭圆2241x y +=，得证.（1）设11(,)A x y ，22(,)P x y ，则11(,)B x y --，则PA PBk k ⋅2212122122121221y y y y y y x x x x x x ----=⋅=----，又222214x y +=，221114x y +=，相减得222221211()4y y x x -=--，得PA PB k k ⋅14=-，即直线P A 与直线PB 的斜率之积为定值，定值为14-. （2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)P x y ，由0OA OB OP ++=，得1230x x x ++=，1230y y y ++=， AB 的中点1212(,)22x x y y D ++，化简得33(,)22x y D --，又223314x y +=，则2233()4()122x y -+-=，知D 在椭圆2241x y +=上，同理可得,AP BP 的中点都在椭圆2241x y +=，即△ABP 三边的中点在同一个椭圆上，这个椭圆的方程为2241x y +=.21.（1）当2a ≤时，()F x 在R 上递增；当2a >时，()F x在(,ln -∞，)+∞上递增，在(ln 上递减.（2）①11()2nn x x n x e e -+=-；②证明见解析.【解析】21.（1）求出21()1()x x xx xe ae F x e a e e-+'=+-=，先讨论当0a ≤时，()0F x '>，得到单调性，令x t e =(0)t >，2()1u t t at =-+，则24(2)(2)a a a ∆=-=-+，再分02a <≤和2a >判断导函数()F x '的符号，得到单调性，综合并下结论；（2）①根据点n P ，求得点n Q ，再得到1n P +，从而得到n x 与1n x +的关系；②可用数学归纳法证明，递推时，用到数列前n 项和和通项公式的关系，并分析两边从*,n k k N =∈到1n k =+时，分析左右的特点，证得不等式.（1）()xxF x e eax -=--，则21()1()x x xx xe ae F x e a e e -+'=+-=，令x t e =(0)t >，2()1u t t at =-+，则24(2)(2)a a a ∆=-=-+，当0a ≤时，()0F x '>，()F x 在R 上递增；当02a <≤时，0∆≤，则()0u t ≥，则()0F x '≥，()F x 在R 上递增；当2a >时，当2(0,(,)22a a a t -+∈+∞时，()0u t >，即24ln2aa x 或24ln2aa x 时，()0F x '>；()F x 在(,ln 2a --∞，(ln ,)2a ++∞上递增；当(22a a t -+∈时，()0u t <，即x ∈(ln ,(ln 22a a -+时，'()0F x <；()F x 在(ln )22a a -+上递减；综上可得，当2a ≤时，()F x 在R 上递增；当2a >时，()F x 在(,ln -∞，)+∞上递增，在(ln 上递减.（2）①由题(,2)n n n P x x ，又n x xx x y e e-=⎧⎨=-⎩，得(,)n nx x n n Q x e e --，又过点Q n 作y 轴的垂线交C 2于P n +1（x n +1，y n +1），则1nn x x n y ee -+=-12n x +=，得11()2nn x x n x e e -+=-. ②可用数学归纳法证明如下(i)当1n =时，111S x ==，2121ln ln ln 2e e T x x -=+=，则左边12121ln ln ln 212e e e S T e e --=-=>-，即1n =时，不等式成立； (ii)假设n k =，*k N ∈时，不等式成立，即1ln 2k k S T k +->，则当1n k =+时，12k k S T ++-112()(ln )k n k k S x T x +++=+-+12ln 2ln k k k x x ++>+-，又12ln k k x x ++-1112ln ln 2k k k x x x e e e+++-=>- 即12k k S T ++-12ln 2ln k k k x x ++>+-(1)ln 2k >+，即当1n k =+时，不等式也成立.综合(i) (ii)可知，证式成立.22.（1）()2214x y ++=，()R θαρ=∈；（2）7【解析】22.（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用极径的应用和三角函数关系式的恒等变换求出结果．（1）曲线E 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=，所以曲线E 的直角坐标方程为()2214x y ++=，因为直线m 的参数方程为 cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，0απ≤<）所以tan y x α=⋅，所以直线m 的极坐标方程为()R θαρ=∈ ．（2）设点,A C 的极坐标分别为()()12,,,ραρα．由22cos 30θαρρθ=⎧⎨+-=⎩ 可得22cos 30ρρα+-=， 12122cos ,3ρραρρ∴+=-=-，12AC ρρ∴-＝＝同理得BD =设四边形ABCD 面积为S ，221cos 3sin 372S AC BD αα=⋅=≤+++=，当且仅当22cos 3sin 3αα+=+，即4πα=或3 4π时，等号成立，∴四边形ABCD 面积的最大值为7．23.（1）2m =-；（2）证明见解析；【解析】23. （1）写出分段函数解析式，画图求得函数最小值；（2）结合（1）可得2a b c ++=，然后配凑柯西不等式证明2222420a b c b c ++-++．（1）解：3,1()22113,113,1x x f x x x x x x x -<-⎧⎪=--+=--<⎨⎪-⎩，作出函数的图象如图：根据函数图象得，()f x 的最小值为2-，2m ∴=-；（2）证明：由（1）知，2a b c ++=，22222222[(1)(2)](111)[1(1)1(2)1](1)9a b c a b c a b c ∴+-+++++-++=+++=， 222(1)(2)3a b c ∴+-++，当且仅当12a b c =-=+，2a b c ++=，即1a =，2b =，1c =-时等号成立， 2222420a b c b c ∴++-++．。