7第7章 参数估计(点估计与区间估计)---复习思想

7 - 5 -88
估计量与估计值
7 - 6 -88
估计量与估计值
(estimator & estimated value)
1. 估计量：用于估计总体参数的统计量

如样本均值，样本比例、样本方差等 例如: 样本均值就是总体均值 的一个估计量
ˆ 表示 2. 参数用 表示，估计量用 3. 估计值：估计参数时计算出来的统计量的 具体值
该食品平均重量的置信区间为101.44g~109.28g
7 - 31 -88
总体均值的区间估计
(例题分析)
【例】一家保险公司收集到由 36 投保个人组成的随 机样本，得到每个投保人的年龄(周岁)数据如下表。 试建立投保人年龄90%的置信区间
36个投保人年龄的数据
23 36 42 34 39 34
35 42 53 28 49 39
1. 假定条件

总体服从正态分布,且方差(２) 未知 小样本 (n < 30)
t x n ~ t (n 1)
2. 使用 t 分布统计量 3. 总体均值 在1-置信水平下的置信区间为 s x t 2 n
7 - 35 -88
s
t 分布
t 分布是类似正态分布的一种对称分布，它通常要比 正态分布平坦和分散。一个特定的分布依赖于称之 为自由度的参数。随着自由度的增大，分布也逐渐 趋于正态分布
7 - 2 -88
参数估计在统计方法中的地位
统计方法
描述统计 推断统计
参数估计
7 - 3 -88
假设检验
统计推断的过程
总体
样 本
样本统计量
如：样本均值 、比例、方差
7 - 4 -88
7.1 参数估计的一般问题
7.1.1 估计量与估计值 7.1.2 点估计与区间估计 7.1.3 评价估计量的标准
x z
2
s 7.77 39.5 1.645 n 36 39.5 2.13 37.37,41.63
投保人平均年龄的置信区间为37.37岁~41.63岁
7 - 24 -88
略
7 - 25 -88
7.2 一个总体参数的区间估计 ------略
7.2.1 总体均值的区间估计 7.2.2 总体比例的区间估计 7.2.3 总体方差的区间估计

我们只能是希望这个区间是大量包含总体参数真 值的区间中的一个，但它也可能是少数几个不包 含参数真值的区间中的一个
7 - 20 -88
置信区间与置信水平
均值的抽样分布
/2
x
1 –
/2
x
(1 - ) % 区间包含了
x
% 的区间未包含
7 - 21 -88
影响区间宽度的因素

比如，某班级平均分数在75～85之间，置信水平是95%
置信区间
样本统计量 (点估计)
7 - 16 -88
置信下限
置信上限
举例：总体均值的区间估计
(方差已知或大样本)
1. 假定条件

总体服从正态分布,且方差(２) 已知 如果不是正态分布，可由正态分布来近似 (n 30)
2. 使用正态分布统计量 z x z ~ N (0,1) n x P (| | z ) n 2 3. 总体均值 在1- 置信水平下的置信区间为 s 或 x z 2 ( 未知) 7 - 17 -88 x z 2 n n

为是总体参数未在区间内的比例
相应的 为0.01，0.05，0.10
3. 常用的置信水平值有 99%, 95%, 90%

7 - 19 -88
置信区间
(confidence interval)
1. 由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称 为置信区间 2. 统计学家在某种程度上确信这个区间会包含真 正的总体参数，所以给它取名为置信区间 3. 用一个具体的样本所构造的区间是一个特定的 区间，我们无法知道这个样本所产生的区间是 否包含总体参数的真值
39 46 45 39 38 45
27 43 54 36 34 48
36 31 47 44 48 45
44 33 24 40 50 32
7 - 32 -88
总体均值的区间估计
(例题分析)
解：已知n=36, 1- = 90%，z/2=1.645。根据样本数 据计算得： x 39.5 ，s 7.77 总体均值在1- 置信水平下的置信区间为
Hale Waihona Puke Baidux z
2
s 7.77 39.5 1.645 n 36 39.5 2.13 37.37,41.63
投保人平均年龄的置信区间为37.37岁~41.63岁
7 - 33 -88
总体均值的区间估计
(正态总体、２未知、小样本)
7 - 34 -88
总体均值的区间估计
(小样本)
^ ^
7 - 11 -88
评价估计量的标准
7 - 12 -88
无偏性
(unbiasedness)
无偏性：估计量抽样分布的数学期望等于被 ^ 估计的总体参数 E ( )
ˆ) P(
无偏 有偏
A
B
7 - 13 -88

ˆ
有效性
(efficiency)
有效性：对同一总体参数的两个无偏点估计
D(1 ) D( 2 )
^ ^
量，有更小标准差的估计量更有效
ˆ) P(
ˆ1 的抽样分布
B A
ˆ2 的抽样分布
ˆ
7 - 14 -88

一致性
(consistency)
一致性：随着样本容量的增大，估计量的 ^ lim P(| | ) 1 值越来越接近被估计的总体参数 n
第 7 章 参数估计
7.1 参数估计的一般问题 7.2 一个总体参数的区间估计 7.3 两个总体参数的区间估计
7 - 1 -88
学习目标
1. 2. 3. 4. 5. 6. 估计量与估计值的概念 点估计与区间估计的区别 评价估计量优良性的标准 一个总体参数的区间估计方法 两个总体参数的区间估计方法 样本容量的确定方法
2. 没有给出估计值接近总体参数程度的信息， 没有给出可信程度
7 - 10 -88
矩估计
1 n ak E ( X , ) X ik Ak n i 1
极大似然估计
取 θ 使得L(X1,X 2 ,X 3 , ,X n ,θ ) maxL(X 1 ,X 2 ,X 3 , ,X n , )
7 - 26 -88
一个总体参数的区间估计
总体参数
符号表示

样本统计量
x p
s
2
均值
比例

2
方差
7 - 27 -88
总体均值的区间估计
(正态总体、２已知，或非正态总体、大样本)
7 - 28 -88
总体均值的区间估计
(大样本)
1. 假定条件

总体服从正态分布,且方差(２) 已知 如果不是正态分布，可由正态分布来近似 (n 30)
36个投保人年龄的数据
23 36 42 34 39 34
35 42 53 28 49 39
39 46 45 39 38 45
27 43 54 36 34 48
36 31 47 44 48 45
44 33 24 40 50 32
7 - 23 -88
总体均值的区间估计
(例题分析)
解：已知n=36, 1- = 90%，z/2=1.645。根据样本数 据计算得： x 39.5 ，s 7.77 总体均值在1- 置信水平下的置信区间为
16灯泡使用寿命的数据
1510 1450 1480 1460
7 - 37 -88
1520 1480 1490 1460
1480 1510 1530 1470
1500 1520 1510 1470
总体均值的区间估计
(例题分析)
解：已知Ｘ~N(，2)，n=16, 1- = 95%，t/2=2.131 根据样本数据计算得：x 1490 ， s 24.77 总体均值在1-置信水平下的置信区间为

总体服从二项分布 可以由正态分布来近似
2.
使用正态分布统计量 z p z ~ N (0,1) (1 ) n 3. 总体比例在1-置信水平下的置信区间为
p z 2
7 - 40 -88
(1 )
n
或 p z 2
p(1 - p) ( 未知时) n
总体比例的区间估计
(例题分析)
【例】某城市想 要估计下岗职工 中女性所占的比 例，随机地抽取 了100名下岗职 工，其中 65 人为 女性职工。试以 95% 的置信水平 估计该城市下岗 职工中女性比例 的置信区间
7 - 41 -88
解：已知 n=100，p＝65% , 1- = 95%， z/2=1.96
p z
总体均值的区间估计
(例题分析)
解：已知Ｘ~N(，102)，n=25, 1- = 95%，z/2=1.96。根 据样本数据计算得：x 105.36 总体均值在1-置信水平下的置信区间为
x z

2
10 105.36 1.96 n 25 105.36 3.92 101.44,109.28
标准正态分布
标准正态分布
t (df = 13)
t 分布
t (df = 5)
z
t 分布与标准正态分布的比较
x
不同自由度的t分布
t
7 - 36 -88
总体均值的区间估计
(例题分析)
【例】已知某种灯泡的寿命服从正态分布，现从一 批灯泡中随机抽取 16只，测得其使用寿命(小时)如 下。建立该批灯泡平均使用寿命95%的置信区间
1. 总体数据的离散程度，用 来测度
x 2. 样本容量， n
3. 置信水平 (1 - )，影响 z 的大小
7 - 22 -88
总体均值的区间估计
(大样本例题分析)
【例】一家保险公司收集到由 36 投保个人组成的随 机样本，得到每个投保人的年龄(周岁)数据如下表。 试建立投保人年龄90%的置信区间
25袋食品的重量
112.5
102.6 100.0 116.6
101.0
107.5 123.5 95.4
103.0
95.0 102.0 97.8 101.5
102.0
108.8 101.6 108.6 98.4
100.5
115.6 102.2 105.0 93.3
136.8 7 - 30 -88 102.8
2
p (1 p ) n

如果样本均值 x =80，则80就是的估计值
7 - 7 -88
点估计与区间估计
7 - 8 -88
参数估计的方法
估 计 方 法
点
估
计
区间估计
矩估计法 顺序统计量法 极大似然法 最小二乘法
7 - 9 -88
点估计
(point estimate)
1. 用样本的估计量直接作为总体参数的估计值
例如：用样本均值直接作为总体均值的估计
2. 使用正态分布统计量 z x z ~ N (0,1) n 3. 总体均值 在1- 置信水平下的置信区间为 s x z 2 或 x z 2 ( 未知) n n
7 - 29 -88
总体均值的区间估计
(例题分析)
【 例 】一家食品生产企业以生产袋装食品为主，为对产量质 量进行监测，企业质检部门经常要进行抽检，以分析每袋重 量是否符合要求。现从某天生产的一批食品中随机抽取了25 袋，测得每袋重量如下表所示。已知产品重量的分布服从正 态分布，且总体标准差为 10g 。试估计该批产品平均重量的 置信区间，置信水平为95%
区间估计的图示
x z 2 x x z 2
正态分布 方差已知
n
x
x
90% 95% 99%
x +1.65x
x +2.58x
x - 2.58x x -1.65 x x -1.96 x
x +1.96x
7 - 18 -88
置信水平
1. 将构造置信区间的步骤重复很多次，置 信区间包含总体参数真值的次数所占的 比例称为置信水平 2. 表示为 (1 -
ˆ) P(
较大的样本容量
B A
较小的样本容量
7 - 15 -88

ˆ
区间估计（枢轴量法）
(interval estimate)
在点估计的基础上，给出总体参数估计的一个区间 范围，该区间由样本统计量加减抽样误差 x n 而得到的 2. 根据样本统计量的抽样分布能够对样本统计量与总体 参数的接近程度给出一个概率度量 1.
x t
2
s 24.77 1490 2.131 n 16 1490 13.2 1476.8,1503.2
该种灯泡平均使用寿命的置信区间为1476.8小时～ 1503.2小时
7 - 38 -88
总体比例的区间估计
7 - 39 -88
总体比例的区间估计
1. 假定条件