第七章参数估计

第七章 参数估计

1．[一] 随机地取8只活塞环，测得它们的直径为（以mm 计） 74.001 74.005 74.003 74.001 74.000 73.998 74.006 74.002 求总体均值μ及方差σ2的矩估计，并求样本方差S 2。

解：μ，σ2的矩估计是 61

22

106)(1ˆ,002.74ˆ-=⨯=-===∑n

i i x X n X σ

μ

621086.6-⨯=S 。

2．[二]设X 1，X 1，…，X n 为准总体的一个样本。求下列各总体的密度函数或分布律中的未知参数的矩估计量。

（1）⎩⎨⎧>=+-其它,0,)()1(c

x x c θx f θθ

其中c >0为已知，θ>1，θ为未知参数。

（2）⎪⎩

⎪⎨⎧≤≤=-.,01

0,)(1其它x x θx f θ

其中θ>0，θ为未知参数。

（5）()p p m x p p

x X P x m x

m

x

,10,,,2,1,0,)1()(<<=-==- 为未知参数。

解：（1）X θc

θθc θc θc θdx x c θdx x xf X E θθc

θ

θ

=--=-==

=+-∞+-∞+∞

-⎰

⎰

1

,11)()(1令，

得c

X X

θ-=

（2）,1)()(10

+=

=

=

⎰

⎰

∞+∞

-θθdx x

θdx x xf X E θ

2

)1(,1

X X θX θθ-==+得令

（5）E (X ) = mp 令mp = X ， 解得m

X

p

=ˆ 3．[三]求上题中各未知参数的极大似然估计值和估计量。 解：（1）似然函数

1211

)()()(+-===

∏θn θn n

n

i i

x x x c θ

x f θL

0ln ln )(ln ,ln )1(ln )ln()(ln 1

1

=-

+=-++=∑∑

==n

i i

n

i i x

c n n θθ

d θL d x θc θn θn θL

∑=-=

n

i i

c

n x

n

θ1

ln ln ˆ （解唯一故为极大似然估计量）

（2）∑

∏=--

=-+-===

n

i i θn n n

i i

x θθn

θL x x x θ

x f θL 1

1

212

1

ln )1()ln(2)(ln ,)

()()(

∑∑====+⋅-=n

i i

n

i i

x n

θx

θ

θn θd θL d 1

2

1

)

ln (ˆ,0ln 21

12)(ln 。(解唯一)故为极大似然估

计量。

（5）∑∑==-

=-⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛===

∏

n

i n

i i

i

x mn x n n

i i p p

x m x m x X P p L 1

1

)1(}{)(11

，

()),1ln()(ln ln )(ln 1

1

1

p x mn p x

p L n

i i n

i i

n

i m x i

--

++=

∑∑∑===

01)

(ln 1

1

=---

=∑∑==p

x

mn p

x

dp

p L d n

i i

n

i i

解得 m

X mn

x

p n

i i

=

=

∑=2

，（解唯一）故为极大似然估计量。 4．[四(2)] 设X 1，X 1，…，X n 是来自参数为λ的泊松分布总体的一个样本，试求λ的极大似然估计量及矩估计量。

解：（1）矩估计 X ~ π (λ )，E (X )= λ，故λˆ=X 为矩估计量。

（2）极大似然估计λn n x n

i i e x x x λλx P λL n

i i

-=∑==

=

∏

!

!!);()(2111

，

λn x λx

λL n

i i

n

i i

--

=

∑∑==1

1

!ln ln )(ln

X λn λ

x

λ

d λL d n

i i

==-=∑=ˆ,0)

(ln 1

解得为极大似然估计量。