根与系数的关系练习题

合集下载

一元二次方程根与系数关系及应用题(习题)

一元二次方程根与系数关系及应用题（习题）例题示范例1：设x1，x2是方程2760x x ++=的两个根，利用根与系数的关系，求221211x x +的值．解：那个地点a=1，b=7，c=6．∴x1+x2=-7，x1·x2=6例2：某商场服装部销售一种名牌衬衫，平均每天售出30件，每件盈利40元．为了扩大销售，减少库存，商场决定降价销售，经调查，每件降价2元时，平均每天可多卖出3件．若商场要求该服装部每天盈利1 200元，每件衬衫应降价多少元？解：设衬衫应降价x 元，依照题意，得解得：x1=20，x2=0（不合题意，舍去）∴每件衬衫应降价20元．巩固练习某品牌服装原售价为173元，通过连续两次降价后售价为127元，设平均每次降价x%，则所列方程为_______________．小丽要在一幅长为80 cm ，宽为50 cm 的矩形风景画的四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅矩形挂图，使整幅挂图的面积是5 400 cm2，设金色纸边的宽度为x cm ，则x 满足的方程是_______________．一种商品经连续两次降价后，价格是原先的14，若两次降价的百分率相同，则那个百分率为_______________．若x1，x2是一元二次方程23540x x --=的两个根，则x1+x2与12x x ⋅的值分别是_____________．若关于x 的方程2250x x a -+-=有两个正根，则a 的取值范畴是_______________．设x1，x2是方程23620x x +-=的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值．（1）12(1)(1)x x ++；（2）221212x x x x +；（3）1211x x +；（4）212()x x -．关于x 的一元二次方程22(21)10x k x k ++++=有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求实数k 的取值范畴．（2）若方程两实数根x1，x2满足1212x x x x +=⋅，求k 的值．某市为争创全国文明卫生都市，2021年市政府对市区绿化工程投入的资金是2 000万元，2021年投入的资金是2 420万元，且从2021年到2021年，每年投入资金的年平均增长率相同．（1）求该市政府对市区绿化工程投入资金的年平均增长率；（2）若投入资金的年平均增长率不变，那么该市政府在2021年需投入多少万元？小明家有一块长为8 m ，宽为6 m 的矩形空地，妈妈预备在该空地上建筑一个花园，并使花园面积为空地面积的一半．小明设计了如下的两种方案供妈妈选择，请你选择其中的一种方案帮小明求出图中的x 值．方案一200件的售价每提高0.5元，售时，才能使每天的利润为1 210元？汽车站水果批发市场经销一种水果，假如每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发觉，在进价不变的情形下，若每千克这种水果在原售价的基础上每涨价1元，日销售量将减少20千克．假如市场每天销售这种水果盈利了6 000元，同时顾客又得到了实惠，那么每千克这种水果盈利了多少元？摸索小结从应用题处理框架角度来回忆经济型应用题：①明白得题意，梳理信息（列表、画图）借助_____方式梳理信息，注意从变化基础，变化关系，目标情形三个层面来进行分别梳理，操作时注意边写边进行表达．②建立数学模型依照题目中包蕴的经济关系或其他增长变化关系建立数学模型．若满足等量关系，则建立_______模型．若满足不等关系，则建立_______模型．若描述的是两个变量的关系，则建立_______模型．通常利用函数性质来求解最大最小，最多最少的问题．③求解验证数据是否专门，结果是否符合题目要求及取值范畴；结果是否符合实际意义．结合本章知识图梳理本章知识，并回答下列问题：①解一元二次方程的差不多思想是___________，即通过_____或_____把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解．②一元二次方程的解法中，_______是由________推导而来．③一元二次方程___________能够用来快速检验方程的解的正确性．【参考答案】巩固练习173(1-x%)2=127(50+2x)(80+2x)=5 40050%（1）53-；（2）43；（3）3；（4）203．（1）34k > （2）k=2 （1）10% （2）2 928.2万元方案一中x=2，方案二中x=2．将每件商品提高9元出售时，才能使每天的利润为1 210元．每千克这种水果盈利了15元．摸索小结①列表；②方程；不等式；函数；①降次；配方；因式分解；②公式法；配方法；③根与系数关系。

一元二次方程根与系数的关系练习题

一元二次方程根与系数的关系演习题（1）一、填空： 1、假如一元二次方程c bx ax ++2=0)(0≠a 的两根为1x ,2x ,那么1x +2x =,1x 2x =.2.假如方程02=++q px x 的两根为1x ,2x ,那么1x +2x =,1x 2x =.3.方程01322=--x x 的两根为1x ,2x ,那么1x +2x =,1x 2x =.4.假如一元二次方程02=++n mx x 的两根互为相反数,那么m =;假如两根互为倒数,那么n =.5方程0)1(2=-++n mx x 的两个根是2和－4,那么m =,n =.6.以1x ,2x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是.7.以13+,13-为根的一元二次方程是.8.若两数和为3,两数积为－4,则这两数分离为.9.若两数和为4,两数积为3,则这两数分离为.10.已知方程04322=-+x x 的两根为1x ,2x ,那么2221x x +=.11.若方程062=+-m x x 的一个根是23-,则另一根是,m 的值是.12.若方程01)1(2=----k x k x 的两根互为相反数,则k =,若两根互为倒数,则k =.13.假如是关于x 的方程02=++n mx x 的根是2-和3,那么nmx x ++2在实数规模内可分化为14.已知方程0232=--x x 的两根为1x .2x ,则（1）1x 2+2x 2= _; （2）2111x x +=;（3）=-221)(x x __; （4）)1)(1(21++x x =.二.选择题：1.关于x 的方程p x x --822＝０有一个正根,一个负根,则p 的值是（）（A ）0 （B ）正数（C ）－8 （D ）－42.已知方程122-+x x =0的两根是1x ,2x ,那么=++1221221x x x x （） (A )－7 (B)3 (C ) 7 (D) －33.已知方程0322=--x x 的两根为1x ,2x ,那么2111x x +=（）(A )－31 (B)31(C )3 (D) －3 4.下列方程中,两个实数根之和为2的一元二次方程是（）（A ）0322=-+x x （B ） 0322=+-x x（C ）0322=--x x （D ）0322=++x x5.若方程04)103(422=+--+a x a a x 的两根互为相反数,则a 的值是（）(A )5或－2 (B)5 (C ) －2 (D) －5或26.若方程04322=--x x 的两根是1x ,2x ,那么)1)(1(21++x x 的值是（）(A )－21(B) －6 (C ) 21 (D) －25三.解答题:1.若关于x 的方程02352=++m x x 的一个根是－5,求另一个根及m 的值.2.关于x 的方程04)2(222=++-+m x m x 有两个实数根,且这两根平方和比两根积大21. 求m 的值.3、若关于x 的方程03)2(2=---+m x m x 两根的平方和是9. 求m 的值.4.已知方程032=--m x x 的两根之差的平方是7,求m 的值.5.已知方程0)54(22=+--+m x m m x 的两根互为相反数,求m 的值. 6.关于x 的方程0)2()14(322=++--m m x m x 的两实数根之和等于两实数根的倒数和,求m 的值.7.已知方程m x x 322+-=0,若两根之差为－4,求m 的值.8.已知关于x 的方程222(1)740x a x a a +-+--=的两根为1x .2x ,且知足12123320x x x x ---=.求242(1)4a a a++⋅-的值. 9.关于x 的一元二次方程230x x k --=有两个不相等的实数根．（1）求k 的取值规模．（2）请选择一个k 的负整数值,并求出方程的根10.已知关于x 的一元二次方程22(21)0x m x m +-+=有两个实数根1x 和2x ．（1）求实数m 的取值规模;（2）当22120x x -=时,求m 的值．11.22.关于x 的方程04)2(2=+++k x k kx 有两个不相等的实数根.(1)求k 的取值规模.(2)是否消失实数k,使方程的两个实数根的倒数和等于0?若消失,求出k 的值;若不消失,解释来由12.已知一元二次方程022=+-m x x .（1）若方程有两个实数根,求m 的规模;（2）若方程的两个实数根为x 1,x 2,且3321=+x x ,求m 的值.13.已知12x x ，是方程220x x a -+=的两个实数根,且1223x x +=．（1）求12x x ，及a 的值;（2）求32111232x x x x -++的值．14.储蓄问题王红梅同窗将1000元压岁钱第一次按一年按期含蓄存入“少儿银行”,到期后将本金和利钱掏出,并将个中的500元捐给“愿望工程”,残剩的又全体按一年按期存入,这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%,如许到期后,可得本金和利钱共530元,求第一次存款时的年利率.（假设不计利钱税）15.趣味问题一个醉汉拿着一根竹竿进城,横着怎么也拿不进去,量竹竿长比城门宽4米,旁边一个醉汉嘲笑他,你没看城门高吗,竖着拿就可以进去啦,成果竖着比城门高2米,二人没方法,只好就教愚蠢人,愚蠢人教他们二人沿着门的对角斜着拿,二人一试,不久不多许多刚好进城,你知道竹竿有多长吗？。

一元二次方程根与系数的关系练习题

一元二次方程根与系数的关系练习题一、填空：1、如果一元二次方程c bx ax ++2=0)(0≠a 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = .2、如果方程02=++q px x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = .3、方程01322=--x x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = .4、如果一元二次方程02=++n mx x 的两根互为相反数，那么m = ；如果两根互为倒数，那么n = .5方程0)1(2=-++n mx x 的两个根是2和－4，那么m = ，n = .6、以1x ，2x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是 .7、以13+，13-为根的一元二次方程是 .8、若两数和为3，两数积为－4，则这两数分别为 .9、若两数和为4，两数积为3，则这两数分别为 .10、已知方程04322=-+x x 的两根为1x ，2x ，那么2221x x += .11、若方程062=+-m x x 的一个根是23-，则另一根是，m 的值是 .12、若方程01)1(2=----k x k x 的两根互为相反数，则k = ，若两根互为倒数，则k = .13、如果是关于x 的方程02=++n mx x 的根是2-和3，那么n mx x ++2在实数范围内可分解为14、已知方程0232=--x x 的两根为1x 、2x ，则（1）1x 2+2x 2= _；（2）2111x x += ；（3）=-221)(x x _ _；（4）)1)(1(21++x x = .二、选择题：1、关于x 的方程p x x --822＝０有一个正根，一个负根，则p 的值是（）（A ）0 （B ）正数（C ）－8 （D ）－42、已知方程122-+x x =0的两根是1x ，2x ，那么=++1221221x x x x （）(A )－7 (B) 3 (C ) 7 (D) －33、已知方程0322=--x x 的两根为1x ，2x ，那么2111x x +=（） (A )－31 (B) 31 (C )3 (D) －3 4、下列方程中，两个实数根之和为2的一元二次方程是（）（A ）0322=-+x x （B ） 0322=+-x x（C ）0322=--x x （D ）0322=++x x5、若方程04)103(422=+--+a x a a x 的两根互为相反数，则a 的值是（）(A )5或－2 (B) 5 (C ) －2 (D) －5或26、若方程04322=--x x 的两根是1x ，2x ，那么)1)(1(21++x x 的值是（）(A )－21 (B) －6 (C ) 21 (D) －25 三、解答题: 1、若关于x 的方程02352=++m x x 的一个根是－5，求另一个根及m 的值.2、关于x 的方程04)2(222=++-+m x m x 有两个实数根，且这两根平方和比两根积大21. 求m 的值.3、若关于x 的方程03)2(2=---+m x m x 两根的平方和是9. 求m 的值.4、已知方程032=--m x x 的两根之差的平方是7，求m 的值.5、已知方程0)54(22=+--+m x m m x 的两根互为相反数，求m 的值.6、关于x 的方程0)2()14(322=++--m m x m x 的两实数根之和等于两实数根的倒数和，求m 的值.7、已知方程m x x 322+-=0，若两根之差为－4，求m 的值.8、已知关于x 的方程222(1)740x a x a a +-+--=的两根为1x 、2x ，且满足12123320x x x x ---=.求242(1)4a a a++⋅-的值。

根与系数关系经典习题

一.填空题X2—7X+ 2 = 0的两个根,那么Xi+X2=1.如果%、%是方程2 2 22 .一元二次方程x2-3x-5 = 0的两根分别为x i、X2,那么X i +X2的值是o3 .假设方程X2 -2X+k =0的两根的倒数和是8,那么卜二.3二.选择题1 .以下方程中,两实数根之和等于2的方程是〔〕I / _ ----- .A. x2+2x-3=0B.x2-2x + 3 = 0C. 2x2-2x-3=0D. 3x2-6X+1=02 .如果一元二次方程X2 +3x-2 =0的两个根为Xp x2,那么X1+x2与X1X2的值分别为〔〕A. 3, 2B. -3, -2C. 3, -2D. -3, 23 .如果方程2x2 -6x+3=0的两个实数根分别为X、",那么X1X2的值是〔〕A. 3B. -3C. - 3D. 3—2 24.如果X、X2是方程X2-3X+1 = 0的两个根,那么二十1的值等于〔〕X1 X2A. - 3B. 3C. 1D. - 13 325 .关于x的方程x -〔k+2〕x+6-k-0有两个相等的正实数根,那么k的值是〔〕■■, I ;A. 2B. - 10C. 2 或-10D. 2 V?\ \ '1\ V'"一二一：6 .假设方程x2 -8x+m = 0两实数根的平方差为16,那么m的值等于〔〕I i y「'J I1A. 3B. 5C. 15D. - 157 .如果％、X2是两个不相等的实数,且满足X12 - 2x1 = 1 , x22 -2x2=1,那么X1X2等于〔〕A. 2B. -2C. 1D. - 18 .对于任意实数m,关于x的方程〔m2+1〕x2-2mx + 〔m2+4〕 = 0一定〔〕A.有两个正的实数根B.有两个负的实数根C.有一个正实数根、一个负实数根D.没有实数根三.解做题1 .关于x的方程x2-〔k-1〕x + k+1 =0的两上实数根的平方和等于4,求实数k的值.2 .一元二次方程x2-2x+m-1=0〔1〕当m取何值时,方程有两个不相等的实数根？(2)设x1、乂2是方程的两个实数根,且满足x12+x1x2 = 1 ,求m的值.2 1 23 .关于x的万程x -(k+1)x+ —k +1=04(1) k取什么值时,方程有两个实数根？(2)如果方程的两个实数根x1、x2满足|x"= x2 ,求k的值.4 .关于x的一元二次方程ax2+ x - a = 0(a 0 0)(1)求证：对于任意非零实数a,该方程包有两个异号的实数根；(2)设x1、乂2是方程的两个实数根,假设|x1| + |x2|=4,求a的值. I / ---------- .一元二次方程根与系数的关系知识考点：掌握一元二次方程根与系数的关系,并会根据条件和根与系数的关系不解方程确定相关的方程和未知的系数值.精典例题：2【例1】关于x的万程2x +kx — 4 =10的一个根是一2,那么方程的另一根是；k =.分析：设另一根为x1,由根与系数的关系可建立关于x1和k的方程组,解之即得.一5答案：一,—12【例2】x1、x2是方程2x2—3x—5=0的两个根,不解方程,求以下代数式的值：,八 2 , 2 | 2 」-2 -(1)x1 +x2(2) |x1 -x2(3) x1 +3x2-3x2a 1 I ,1 J2 2 . . 2 1略解：(1) x1 +x2 =(x1+x2) —2x1x2=7 一4-i 匚Z~~T2 I c 1(2) x1 -x2= 4(x1 +x2) -4x1x2= 3一2,2 2 2 1 _ _ 1(3)原式=(x〔+x2)+(2x2 -3x2) = 7 — + 5 = 12 —4 4【例3】关于x的方程x2 +2(m +2)x +m2 -5 =0有两个实数根,并且这两个根的平方和比这两个根的积大16,求m的值.2 2分析：有实数根,那么0,且x1 +x2 = x1x2 +16 ,联立解得m的值.略解：依题意有：.__ __ _ ______ 9由①②③解得：m = —1或m = -15 ,又由④可知m >4m = 一15 舍去,故m = -1探索与创新：【问题一】x1、x2是关于x的一元二次方程4x2+4(m—1)x+m2 = 0的两个非零实数根,问：*1与*2能否同号？欢送阅读假设能同号请求出相应的 m 的取值范围；假设不能同号,请说明理由.1 ,12略解：由△ = -32m +16)0得 mW —.x 1+x 2= -m +1, x 1 x 2= — m >02 4X 1与x 2可能同号,分两种情况讨论:X1 + X 2 > 0 - 一,解得m < 1且m ,0 x 1x 2 > 0±4,又 k <0:存在整数k 的值为一2、一3、- 5A,有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根2,假设方程kX 2—6X + 1 = 0有两个不相等的实数根,那么k 的取值范围是1 1 3 .设X 1、X 2是万程3X 2+ 4X —5=0的两根, X 1 X 2⑵假设 X1 <0, X 2 < 0, X + X 2 < 0 那么1 X 1X 2 0 … - 1,一 ,解得m > 1与m 0 —相矛盾 2 综上所述：当 m < 1且m ,0时,方程的两根同号. 2 2 一 . 【问题一】X 1、X 2是一元二次方程4kX —4kX +k +1 = 0的两个实数根. (1) . ... .. ..................................................... 3 是否存在头数k ,使〔2X 1 -X 2〕〔X 1 —2X 2〕=——成立？假设存在,求出k 的值；假设不存在,请说明理由. 2 (2) 求使 '+至_ 2的值为整数的实数 k 的整数值. X 2 X 1 略解: (1)由 k ,0和0= k <0 d k 1 X 1 +X 2 =1, X 1X 2 = -------------------- 4k 2 人 • • (2x 1 - X 2)(X 1 -2x 2)= 2(X 1 X 2) - 9X 1X 2 ..9 .一 k =—,而 k <0 5 :不存在： ⑵X1 X 2 十红 _2=(X 1 +X 2)2 .4 4 … 4 —,要使— --------- 的值为整数,而k 为整数,k+1只能取土 1、±2、 X 1 X 1X 2 C .只有一个实数根D.没有实数根 (1)假设 X1 >0, X 2 >0, 那么〕次方程X 2 -2x -1 =0的根的情况为〔4 .关于 x 的方程 2x 2 + (n2 —9)x+m+ 1=0,当 m=时,两根互为倒数；当m=时,两根互为相反数. 5 .假设X i =$3-2是二次方程x 2+ ax+1 = 0的一个根,那么a=,该方程的另一个根X 2 =. 6 .设 x i, x 2是方程 2x 2+ 4x —3=0 的两个根,那么(x i+1)(x 2+1)=, x ； + x 22=, 1 1 、2一十 — —? (x 1 — x 2) _.x 1 x 27 .当c= ___________ 时,关于x 的方程2x 2+8x+c = 0有实数根.(填一个符合要求的数即可)I / --------- -- .8 .关于x 的方程x 2—(a + 2)x+a - 2b = 0的判另1J 式等于0,且x=g ■是方程的根,那么a + b 的值为.9 .a, b 是关于x 的方程x 2-(2k+1)x+k(k+1) =0的两个实数根,那么a 2+b 2的最小值是10 .a , P 是关于x 的一元二次方程x 2 +(2m+3)x + m 2 =0的两个不相等的实数根,且满足11 .................. 一 = -1,那么m 的值是() a P D . -3 或 1X, & ,那么 x ；x 2 +x 1x 22 的值是( D . —1 312.(泸州)假设关于x 的一元二次方程x 2.-2x+m=0没有实数根,那么实数 m 的取值范围是(A . m<l跟踪练习：一、填空题：2 — 11 1、设x 1、x 2是方程x — 4x +2=0的两根,那么① + = x 1 x2 一、一一 22、以方程2x 2 -x -4 = 0的两根的倒数为根的一元二次方程是23、万程x -mx +45 =0的两实根差的平万为144,那么m =.4、方程x 2 —3x+m=0的一个根是1,那么它的另一个根是 , m 的值是2 26、x 1、x 2是方程x 2 -3x +1 =0的两根,那么4x 1 +12x 2 +11的值为.A . 3 或—1B . 3C . 1 11. 一元二次方程x 2 -3x+1=0的两个根分别是1A. 3 B . -3 C .— 3 [② x 1 -x 2 [③国 +1)(x 2+1)=欢送阅读二、选择题:21、如果万程x十mx =1的两个实根互为相反数,那么m的值为〔〕A、0B、一1C、1D、± 12 「b f -小小…、2、ab,0,方程ax +bx +c = 0的系数满足一i =ac,那么万程的两根之比为〔〕<2；A、0 ： 1B、1 ： 1C、1 ： 2D、2 ： 32 24、菱形ABCD的边长是5,两条对角线交于O点,且AO、BO的长分别是关于x的万程：x +〔2m — 1〕x + m +3 = 0的根, 那么m的值为〔〕A、- 3B、5C、5 或—3D、—5或3三、解做题：、一21、证实：方程x2—1997x+1997 =0无整数根. 2 22、关于x的方程x +3x+a =0的两个实数根的倒数和等于3,关于x的方程〔k —1〕x +3x —2a = 0有实根,且k为k -1正整数,求代数式--------- 的值.k -22 23、关于x的万程x -〔1 -2a〕x +a -3 = 0 ……①有两个不相等的实数根,且关于x的万程2x2——2x+2a —1=0……②没有实数根,问：a取什么整数时,方程①有整数解？. . … 2 一. 八 2 一一4、关于x的万程x — 2〔m+1〕x+m —3=0〔D当m取何值时,方程有两个不相等的实数根？2 〔2〕设x「x2是万程的两根,且〔x1 +x2〕-〔x1 + x2〕-12 = 0 ,求m的值.i 产J F 1 I , I\ \ xI . F ；、一. 2 ........... 一.. .、一.. .、2 _ ____ __ 5、关于x的方程kx +〔2k —1〕x+k —1 =0只有整数根,且关于y的一元二次方程〔k—1〕y — 3y + m = 0的两个实\ \ . । \ 卜二二一二’ 数根为y1、y2.〔1〕当k为整数时,确定k的值.I I 2 2〔2〕在〔1〕的条件下,假设m = 2,求y1 +y2的值. 2 26、X I、x2是关于x的一元二次方程4x +4〔m-1〕x + m =0的两个非零实根,问：x1、x2能否同号？假设能同号,请求出相应m的取值范围；假设不能同号,请说明理由.7 .设关于x的方程kx2—〔2卜+1伙+卜=0的两实数根为X I、X2,,假设上+也=17,求k的值. x2x1 48 .关于x的一元二次方程x2m -1 〕x+m+2 = 0 .〔1〕假设方程有两个相等的实数根,求m的值；(2)假设方程的两实数根之积等于m2—9m+2,求“希百的值.-J/-。

根与系数的关系(韦达定理)练习题 (2)

一元二次方程根与系数的关系练习题一．选择题（共14小题）1．下列一元二次方程中，两根之和为2的是（）A．x2﹣x+2=0 B．x2﹣2x+2=0 C．x2﹣x﹣2=0 D．2x2﹣4x+1=02．小明和小华解同一个一元二次方程时，小明看错一次项系数，解得两根为2，﹣3，而小华看错常数项，解错两根为﹣2，5，那么原方程为（）A．x2﹣3x+6=0 B．x2﹣3x﹣6=0 C．x2+3x﹣6=0 D．x2+3x+6=03．（2011?锦江区模拟）若方程x2﹣3x﹣2=0的两实根为x1、x2，则（x1+2）（x2+2）的值为（）A．﹣4 B．6C．8D．124．（2007?泰安）若x1，x2是方程x2﹣2x﹣4=0的两个不相等的实数根，则2x12﹣2x1+x22+3的值是（）A．19 B．15 C．11 D．35．（2006?贺州）已知a，b是一元二次方程x2+4x﹣3=0的两个实数根，则a2﹣ab+4a的值是（）A．6B．0C．7D．﹣16．（1997?天津）若一元二次方程x2﹣ax﹣2a=0的两根之和为4a﹣3，则两根之积为（）A．2B．﹣2 C．﹣6或2 D．6或﹣27．已知x的方程x2+mx+n=0的一个根是另一个根的3倍．则（）A．3n2=16m2B．3m2=16n C．m=3n D．n=3m28．a、b是方程x2+（m﹣5）x+7=0的两个根，则（a2+ma+7）（b2+mb+7）=（）A．365 B．245 C．210 D．1759．在斜边AB为5的Rt△ABC中，∠C=90°，两条直角边a、b是关于x的方程x2﹣（m﹣1）x+m+4=0的两个实数根，则m的值为（）A．﹣4 B．4C．8或﹣4 D．810．设m、n是方程x2+x﹣2012=0的两个实数根，则m2+2m+n的值为（）A．2008 B．2009 C．2010 D．201111．设x1、x2是二次方程x2+x﹣3=0的两个根，那么x13﹣4x22+19的值等于（）A．﹣4 B．8C．6D．012．m，n是方程x2﹣2008x+2009=0的两根，则（m2﹣2007m+2009）（n2﹣2007n+2009）的值是（）A．2007 B．2008 C．2009 D．201013．已知x1、x2是一元二次方程x2+x﹣1=0两个实数根，则（x12﹣x1﹣1）（x22﹣x2﹣1）的值为（）A．0B．4C．﹣1 D．﹣414．设m，n是方程x2﹣x﹣2012=0的两个实数根，则m2+n的值为（）A．1006 B．2011 C．2012 D．2013二．填空题（共5小题）15．若关于x的方程x2+2mx+m2+3m﹣2=0有两个实数根x1、x2，则x1（x2+x1）+x22的最小值为_________．16若关于x的一元二次方程x2+x﹣3=0的两根为x1，x2，则2x1+2x2+x1x2=_________．17．已知关于x的方程x2﹣2ax+a2﹣2a+2=0的两个实数根x1，x2，满足x12+x22=2，则a的值是_________．18．一元二次方程2x2+3x﹣1=0和x2﹣5x+7=0所有实数根的和为_________．19．已知m、n是关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0的两个解，若（m﹣1）（n﹣1）=﹣6，则a的值为_________．三．解答题（共11小题）20．已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣3）x+m2=0的两个不相等的实数根α、β满足，求m 的值．21．是否存在实数m，使关于x的方程2x2+mx+5=0的两实根的平方的倒数和等于？若存在，求出m；若不存在，说明理由．22．已知关于x的方程kx2﹣2x+3=0有两个不相等的实数根x1、x2，则当k为何值时，方程两根之比为1：3？23．已知斜边为5的直角三角形的两条直角边a、b的长是方程x2﹣（2m﹣1）x+4（m﹣1）=0的两个根，求m的值．24．实数k为何值时，方程x2+（2k﹣1）x+1+k2=0的两实数根的平方和最小，并求出这两个实数根．25．已知关于x的方程x2+（2k﹣1）x﹣2k=0的两个实数根x1、x2满足x1﹣x2=2，试求k的值．26．已知x1、x2是方程x2﹣kx+k（k+4）=0的两个根，且满足（x1﹣1）（x2﹣1）=，求k的值．27．关于x的一元二次方程x2+2x+k+1=0的实数解是x1和x2．（1）求k的取值范围；（2）如果x1+x2﹣x1x2＜﹣1且k为整数，求k的值．28．已知x1，x2是一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的两个实数根．（1）是否存在实数a，使﹣x1+x1x2=4+x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由；（2）求使（x1+1）（x2+1）为负整数的实数a的整数值．29．已知一元二次方程x2﹣2x+m=0．（1）若方程有两个实数根，求m的范围；（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且x1+3x2=3，求m的值．30．已知x1、x2是一元二次方程2x2﹣2x+m+1=0的两个实根．（1）求实数m的取值范围；（2）如果m满足不等式7+4x1x2＞x12+x22，且m为整数．求m的值．一元二次方程要与系数的关系练习题参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）1．下列一元二次方程中，两根之和为2的是（）A．x2﹣x+2=0 B．x2﹣2x+2=0 C．x2﹣x﹣2=0 D．2x2﹣4x+1=0考点：根与系数的关系．专题：方程思想．分析：利用一元二次方程的根与系数的关系x1+x2=﹣对以下选项进行一一验证并作出正确的选择．解答：解：A、∵x1+x2=1；故本选项错误；B、∵△=4﹣8=﹣4＜0，所以本方程无根；故本选项错误；C、∵x1+x2=1；故本选项错误；D、∵x1+x2=2；故本选项正确；故选D．点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系．解答该题时，需注意，一元二次方程的根与系数的关系是在原方程有实数解的情况下成立的．2．小明和小华解同一个一元二次方程时，小明看错一次项系数，解得两根为2，﹣3，而小华看错常数项，解错两根为﹣2，5，那么原方程为（）A．x2﹣3x+6=0 B．x2﹣3x﹣6=0 C．x2+3x﹣6=0 D．x2+3x+6=0考点：根与系数的关系．分析：利用根与系数的关系求解即可．解答：解：小明看错一次项系数，解得两根为2，﹣3，两根之积正确；小华看错常数项，解错两根为﹣2，5，两根之和正确，故设这个一元二次方程的两根是α、β，可得：α?β=﹣6，α+β=﹣3，那么以α、β为两根的一元二次方程就是x2﹣3x﹣6=0，故选：B．点评：此题主要考查了根与系数的关系，若x1、x2ax2+bx+c=0的两根，则有x1+x2=﹣，x1x2=．3．（2011?锦江区模拟）若方程x2﹣3x﹣2=0的两实根为x1、x2，则（x1+2）（x2+2）的值为（）A．﹣4 B．6C．8D．12考点：根与系数的关系．分析：根据（x1+2）（x2+2）=x1x2+2x1+2x2+4=x1x2+2（x1+x2）+4，根据一元二次方程根与系数的关系，即两根的和与积，代入数值计算即可．解答：解：∵x1、x2是方程x2﹣3x﹣2=0的两个实数根．∴x1+x2=3，x1?x2=﹣2．又∵（x1+2）（x2+2）=x1x2+2x1+2x2+4=x1x2+2（x1+x2）+4．将x1+x2=3、x1?x2=﹣2代（x1+2）（x2+2）=x1x2+2x1+2x2+4=x1x2+2（x1+x2）+4=（﹣2）+2×3+4=8．故选C点评：将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．4．（2007?泰安）若x1，x2是方程x2﹣2x﹣4=0的两个不相等的实数根，则代数式2x12﹣2x1+x22+3的值是（）A．19 B．15 C．11 D．3考点：根与系数的关系；一元二次方程的解．专题：压轴题．分析：欲求2x12﹣2x1+x22+3的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．解答：解：∵x1，x2是方程x2﹣2x﹣4=0的两个不相等的实数根．∴x12﹣2x1=4，x1x2=﹣4，x1+x2=2．∴2x12﹣2x1+x22+3=x12﹣2x1+x12+x22+3=x12﹣2x1+（x1+x2）2﹣2x1x2+3=4+4+8+3=19．故选A．点评：将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．5．（2006?贺州）已知a，b是一元二次方程x2+4x﹣3=0的两个实数根，则a2﹣ab+4a的值是（）A．6B．0C．7D．﹣1考点：根与系数的关系；一元二次方程的解．专题：压轴题．分析：由a，b是一元二次方程x2+4x﹣3=0的两个实数根，可以得到如下四个等式：a2+4a﹣3=0，b2+4b﹣3=0，a+b=﹣4，ab=﹣3；再根据问题的需要，灵活变形．解答：解：把a代入方程可得a2+4a=3，根据根与系数的关系可得ab=﹣3．∴a2﹣ab+4a=a2+4a﹣ab=3﹣（﹣3）=6．故选A点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系．解此类题目要利用解的定义找一个关于a、b的相等关系，再根据根与系数的关系求出ab的值，把所求的代数式化成已知条件的形式，代入数值计算即可．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2=﹣，x1?x2=．6．（1997?天津）若一元二次方程x2﹣ax﹣2a=0的两根之和为4a﹣3，则两根之积为（）A．2B．﹣2 C．﹣6或2 D．6或﹣2考点：根与系数的关系．专题：方程思想．分析：由两根之和的值建立关于a的方程，求出a的值后，再根据一元二次方程根与系数的关系求两根之积．解答：解；由题意知x1+x2=a=4a﹣3，∴a=1，∴x1x2=﹣2a=﹣2．故选B．点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系，在列方程时要注意各系数的数值与正负，避免出现错误．7．已知x的方程x2+mx+n=0的一个根是另一个根的3倍．则（）A．3n2=16m2B．3m2=16n C．m=3n D．n=3m2考点：根与系数的关系．分析：设方程的一个根为a，则另一个根为3a，然后利用根与系数的关系得到两根与m、n之间的关系，整理即可得到正确的答案；解答：解：∵方程x2+mx+n=0的一个根是另一个根的3倍，∴设一根为a，则另一根为3a，由根与系数的关系，得：a?3a=n，a+3a=﹣m，整理得：3m2=16n，故选B．点评：本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练记忆根与系数的关系，难度不大．8．a、b是方程x2+（m﹣5）x+7=0的两个根，则（a2+ma+7）（b2+mb+7）=（）A．365 B．245 C．210 D．175考点：根与系数的关系；一元二次方程的解．专题：计算题．分析：根据一元二次方程的解的意义，知a、b满足方程x2+（m﹣5）x+7=0①，又由韦达定理知a?b=7②；所以，根据①②来求代数式（a2+ma+7）（b2+mb+7）的值，并作出选择即可．解答：解：∵a、b是方程x2+（m﹣5）x+7=0的两个根，∴a、b满足方程x2+（m﹣5）x+7=0，∴a2+ma+7﹣5a=0，即a2+ma+7=5a；b2+mb+7﹣5b=0，即b2+mb+7=5b；又由韦达定理，知a?b=7；∴（a2+ma+7）（b2+mb+7）=25a?b=25×7=175．故选D．点评：本题综合考查了一元二次方程的解、根与系数的关系．求代数式（a2+ma+7）（b2+mb+7）的值时，采用了根与系数的关系与代数式变形相结合的解题方法．9．在斜边AB为5的Rt△ABC中，∠C=90°，两条直角边a、b是关于x的方程x2﹣（m﹣1）x+m+4=0的两个实数根，则m的值为（）A．﹣4 B．4C．8或﹣4 D．8考点：根与系数的关系；勾股定理．分析：根据勾股定理求的a2+b2=25，即a2+b2=（a+b）2﹣2ab①，然后根据根与系数的关系求的a+b=m﹣1②ab=m+4③；最后由①②③联立方程组，即可求得m的值．解答：解：∵斜边AB为5的Rt△ABC中，∠C=90°，两条直角边a、b，∴a2+b2=25，又∵a2+b2=（a+b）2﹣2ab，∴（a+b）2﹣2ab=25，①∵a、b是关于x的方程x2﹣（m﹣1）x+m+4=0的两个实数根，∴a+b=m﹣1，②ab=m+4，③由①②③，解得m=﹣4，或m=8；当m=﹣4时，ab=0，∴a=0或b=0，（不合题意）∴m=8；故选D．点评：本题综合考查了根与系数的关系、勾股定理的应用．解答此题时，需注意作为三角形的两边a、b均不为零这一条件．10．设m、n是方程x2+x﹣2012=0的两个实数根，则m2+2m+n的值为（）A．2008 B．2009 C．2010 D．2011考点：根与系数的关系；一元二次方程的解．专题：计算题．分析：由于m、n是方程x2+x﹣2012=0的两个实数根，根据根与系数的关系可以得到m+n=﹣1，并且m2+m﹣2012=0，然后把m2+2m+n可以变为m2+m+m+n，把前面的值代入即可求出结果解答：解：∵m、n是方程x2+x﹣2012=0的两个实数根，∴m+n=﹣1，并且m2+m﹣2012=0，∴m2+m=2011，∴m2+2m+n=m2+m+m+n=2012﹣1=2011．点评：此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．11．设x1、x2是二次方程x2+x﹣3=0的两个根，那么x13﹣4x22+19的值等于（）A．﹣4 B．8C．6D．0考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：首先利用根的定义使多项式降次，对代数式进行化简，然后根据根与系数的关系代入计算．解答：解：由题意有x12+x1﹣3=0，x22+x2﹣3=0，即x12=3﹣x1，x22=3﹣x2，所以x13﹣4x22+19=x1（3﹣x1）﹣4（3﹣x2）+19=3x1﹣=3x1﹣（3﹣x1）+4x2+7=4（x1+x2）+4，又根据根与系数的关系知道x1+x2=﹣1，所以原式=4×（﹣1）+4=0．故选D．点评：本题考查根与系数的关系和代数式的化简．求出x1、x2的值再代入计算，则计算繁难，解题的关键是利用根的定义及变形，使多项式降次，如x12=3﹣x1，x22=3﹣x2．12．m，n是方程x2﹣2008x+2009=0的两根，则代数式（m2﹣2007m+2009）（n2﹣2007n+2009）的值是（）A．2007 B．2008 C．2009 D．2010考点：根与系数的关系；一元二次方程的解．分析：首先根据方程的解的定义，得m2﹣2008m+2009=0，n2﹣2008n+2009=0，则有m2﹣2007m=m﹣2009，n2﹣2007n=n﹣2009，再根据根与系数的关系，得mn=2009，进行求解．解答：解：∵m，n是方程x2﹣2008x+2009=0的两根，∴m2﹣2008m+2009=0，n2﹣2008n+2009=0，mn=2009．∴（m2﹣2007m+2009）（n2﹣2007n+2009）=（m﹣2009+2009）（n﹣2009+2009）=mn=2009．故选C．点评：此题综合运用了方程的解的定义和根与系数的关系．13．已知x1、x2是一元二次方程x2+x﹣1=0两个实数根，则（x12﹣x1﹣1）（x22﹣x2﹣1）的值为（）A．0B．4C．﹣1 D．﹣4考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：根据一元二次方程的解的定义，将x1、x2分别代入原方程，求得x12=﹣x1+1、x22=﹣x2+1；然后根据根与系数的关系求得x1x2=﹣1；最后将其代入所求的代数式求值即可．解答：解：∵x1、x2是一元二次方程x2+x﹣1=0两个实数根，∴x12+x1﹣1=0，即x12=﹣x1+1；x22+x2﹣1=0，即x22=﹣x2+1；又根据韦达定理知x1?x2=﹣1∴（x12﹣x1﹣1）（x22﹣x2﹣1）=﹣2x1?（﹣2x2）=4x1?x2=﹣4；故选D．点评：此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．14．设m，n是方程x2﹣x﹣2012=0的两个实数根，则m2+n的值为（）A．1006 B．2011 C．2012 D．2013考点：根与系数的关系；一元二次方程的解．分析：利用一元二次方程解的定义，将x=m代入已知方程求得m2=m+2012；然后根据根与系数的关系知m+n=1；最后将m2、m+n的值代入所求的代数式求值即可．解答：解：∵m，n是方程x2﹣x﹣2012=0的两个实数根，∴m2﹣m﹣2012=0，即m2=m+2012；又由韦达定理知，m+n=1，∴m2+n=m+n+2012=1+2012=2013；故选D．点评：本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的解．正确理解一元二次方程的解的定义是解题的关键．二．填空题（共5小题）15．（2014?广州）若关于x的方程x2+2mx+m2+3m﹣2=0有两个实数根x1、x2，则x1（x2+x1）+x22的最小值为．考点：根与系数的关系；二次函数的最值．专题：判别式法．分析：由题意可得△=b2﹣4ac≥0，然后根据不等式的最小值计算即可得到结论．解答：解：由题意知，方程x2+2mx+m2+3m﹣2=0有两个实数根，则△=b2﹣4ac=4m2﹣4（m2+3m﹣2）=8﹣12m≥0，∴m≤，∵x1（x2+x1）+x22=（x2+x1）2﹣x1x2=（﹣2m）2﹣（m2+3m﹣2）=3m2﹣3m+2=3（m2﹣m+﹣）+2=3（m﹣）2+；∴当m=时，有最小值；∵＜，∴m=成立；∴最小值为；故答案为：．点评：本题考查了一元二次方程根与系数关系，考查了一元二次不等式的最值问题．总结一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；（2）△=0?方程有两个相等的实数根；（3）△＜0?方程没有实数根．16．（2013?江阴市一模）若关于x的一元二次方程x2+x﹣3=0的两根为x1，x2，则2x1+2x2+x1x2=﹣5．考点：根与系数的关系．分析：根据根与系数的关系列式计算即可求出x1+x2与x1?x2的值，再整体代入即可求解．解答：解：根据根与系数的关系可得，x1?x2=﹣1，x1+x2=﹣23．则2x1+2x2+x1x2=2（x1+x2）+x1x2=﹣2﹣3=﹣5．故答案为：﹣5．点评：本题主要考查了一元二次方程的解和根与系数的关系等知识，在利用根与系数的关系x1+x2=﹣、x1?x2=时，要注意等式中的a、b、c所表示的含义．17．已知关于x的方程x2﹣2ax+a2﹣2a+2=0的两个实数根x1，x2，满足x12+x22=2，则a的值是1．考点：根与系数的关系；根的判别式．分析：先根据根与系数的关系，根据x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2，即可得到关于a的方程，求出a的值．解答：解：根据一元二次方程的根与系数的关系知：x1+x2=2a，x1x2=a2﹣2a+2．x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=（2a）2﹣2（a2﹣2a+2）=2a2+4a﹣4=2．解a2+2a﹣3=0，得a1=﹣3，a2=1．又方程有两实数根，△≥0即（2a）2﹣4（a2﹣2a+2）≥0．解得a≥1．∴a=﹣3舍去．∴a=1．点评：应用了根与系数的关系得到方程两根的和与两根的积，根据两根的平方和可以用两根的和与两根的积表示，即可把求a的值的问题转化为方程求解的问题．18．一元二次方程2x2+3x﹣1=0和x2﹣5x+7=0所有实数根的和为﹣．考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：根据根与系数的关系可知，两根之和等于﹣，两根之积等于，由两个一元二次方程分别找出a，b和c的值，计算出两根之和，然后再把所有的根相加即可求出所求的值．解答：解：由2x2+3x﹣1=0，得到：a=2，b=3，c=﹣1，∵b2﹣4ac=9+8=17＞0，即方程有两个不等的实数根，设两根分别为x1和x2，则x1+x2=﹣；由x2﹣5x+7=0，找出a=1，b=﹣5，c=7，∵b2﹣4ac=25﹣28=﹣3＜0，∴此方程没有实数根．综上，两方程所有的实数根的和为﹣．故答案为：﹣点评：此题考查了一元二次方程的根与系数的关系，是一道基础题．学生必须掌握利用根与系数关系的前提是根的判别式大于等于0即方程有实数根．19．已知m、n是关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0的两个解，若（m﹣1）（n﹣1）=﹣6，则a的值为﹣4．考点：根与系数的关系．分析：由m、n是关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0的两个解，得出m+n=3，mn=a，整理（m﹣1）（n﹣1）=﹣6，整体代入求得a的数值即可．解答：解：∵m、n是关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0的两个解，∴m+n=3，mn=a，∵（m﹣1）（n﹣1）=﹣6，∴mn﹣（m+n）+1=﹣6即a﹣3+1=﹣6解得a=﹣4．故答案为：﹣4．点评：此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1?x2=．三．解答题（共11小题）20．（2004?重庆）已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣3）x+m2=0的两个不相等的实数根α、β满足，求m的值．考点：根与系数的关系；解一元二次方程-因式分解法；根的判别式．分析：首先根据根的判别式求出m的取值范围，利用根与系数的关系可以求得方程的根的和与积，将转化为关于m的方程，求出m的值并检验．解答：解：由判别式大于零，得（2m﹣3）2﹣4m2＞0，解得m＜．∵即．∴α+β=αβ．又α+β=﹣（2m﹣3），αβ=m2．代入上式得3﹣2m=m2．解之得m1=﹣3，m2=1．∵m2=1＞，故舍去．∴m=﹣3．点评：本题主要考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系的综合运用．21．（1998?内江）是否存在实数m，使关于x的方程2x2+mx+5=0的两实根的平方的倒数和等于？若存在，求出m；若不存在，说明理由．考点：根与系数的关系；根的判别式．分析：根据根与系数的关系，两实根的平方的倒数和．即可确定m的取值情况．解答：解：设原方程的两根为x1、x2，则有：，∴．又∵，∴m2﹣20=29，解得m=±7，∴△=m2﹣4×2×5=m2﹣40=（±7）2﹣40=9＞0∴存在实数±7，使关于原方程的两实根的平方的倒数和等于．点评：利用根与系数的关系和根的判别式来解决．容易出现的错误是忽视所求的m的值是否满足判别式△．22．已知关于x的方程kx2﹣2x+3=0有两个不相等的实数根x1、x2，则当k为何值时，方程两根之比为1：3？考点：根与系数的关系．分析：利用一元二次方程根与系数的关系可得：，不妨设x1：x2=1：3，则可得x2=3x1，分别代入两个式子，即可求出k的值，再利用一元二次方程根的判别式进行取舍即可．解答：解：由根与系数的关系可得：，不妨设x1：x2=1：3，则可得x2=3x1，分别代入上面两个式子，消去x1和x2，整理得：4k2﹣k=0，解得k=0或k=，当k=0时，显然不合题意，当k=时，其判别式△=1≥0，所以当k=时，方程两根之比为1：3．点评：本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是利用一元二次方程根与系数的关系得到关于k的方程，注意检验是否满足判别式大于0．23．已知斜边为5的直角三角形的两条直角边a、b的长是方程x2﹣（2m﹣1）x+4（m﹣1）=0的两个根，求m的值．考点：根与系数的关系；勾股定理．分析：先利用一元二次方程根与系数的关系得：a+b=2m﹣1，ab=4（m﹣1），再由勾股定理可得a2+b2=52，即（a+b）2﹣2ab=25，把上面两个式子代入可得关于m的方程，解出m的值，再利用一元二次方程根的判别式满足大于或等于0及实际问题对所求m的值进行取舍即可．解答：解：由一元二次方程根与系数的关系得：a+b=2m﹣1，ab=4（m﹣1），再由勾股定理可得a2+b2=52，即（a+b）2﹣2ab=25，把上面两个式子代入可得关于m的方程：（2m﹣1）2﹣8（m﹣1）=25，整理可得：m2﹣3m﹣4=0，解得m=4或m=﹣1，当m=4或m=﹣1一元二次方程的判别式都大于0，但当m=﹣1时，ab=﹣8，不合题意（a，b为三角形的边长，所以不能为负数），所以m=4．点评：本题主要考查一元二次方程根与系数的关系及勾股定理的应用，解题的关键是得出关于m的方程进行求解，容易忽略实际问题所满足的条件而导致错误．24．实数k为何值时，方程x2+（2k﹣1）x+1+k2=0的两实数根的平方和最小，并求出这两个实数根．考点：根与系数的关系；根的判别式．分析：利用一元二次方程根与系数的关系表示出两实根的平方和，得到一个关于k的二次函数，求出取得最小值时k的值，再利用根的判别式进行验证．解答：解：设方程的两根分别为x1和x2，由一元二次方程根与系数的关系可得：，令y=，则y==（2k﹣1）2﹣2（1+k2）=2k2﹣4k﹣1=2（k﹣1）2﹣3，其为开口向上的二次函数，当k=1时，有最小值，但当k=1时，一元二次方程的判别式为△=﹣7＜0，所以没有满足△≥0的k的值，所以该题目无解．点评：本题主要考查地一元二次方程根与系数的关系，解题时容易忽略还需要满足一元二次方程有实数根．25．已知关于x的方程x2+（2k﹣1）x﹣2k=0的两个实数根x1、x2满足x1﹣x2=2，试求k的值．考点：根与系数的关系；解一元二次方程-配方法；根的判别式．分析：先根据根与系数的关系，可求出x1+x2，x1?x2的值，再结合x1﹣x2=2，可求出k的值，再利用根的判别式，可求出k的取值范围，从而确定k的值．解答：解：根据题意得x1+x2=﹣=﹣（2k﹣1），x1?x2==﹣2k，又∵x1﹣x2=2，∴（x1﹣x2）2=22，∴（x1+x2）2﹣4x1x2=4，∴（2k﹣1）2﹣4（﹣2k）=4，∴（2k+1）2=4，∴k1=，k2=﹣，又∵△=（2k﹣1）2﹣4×1×（﹣2k）=（2k+1）2，方程有两个不等的实数根，∴（2k+1）2＞0，∴k≠﹣，∴k1=，k2=﹣．点评：一元二次方程的两个根x1、x2具有这样的关系：x1+x2=﹣，x1?x2=．26．已知x1、x2是方程x2﹣kx+k（k+4）=0的两个根，且满足（x1﹣1）（x2﹣1）=，求k的值．考点：根与系数的关系；根的判别式．分析：（x1﹣1）（x2﹣1）=，即x1x2﹣（x1+x2）+1=，根据一元二次方程中根与系数的关系可以表示出两个根的和与积，代入x1x2﹣（x1+x2）+1=，即可得到一个关于k的方程，从而求得k的值．解答：解：∵x1+x2=k，x1x2=k（k+4），∵（x1﹣1）（x2﹣1）=，∴x1x2﹣（x1+x2）+1=，∴k（k+4）﹣k+1=，解得k=±3，当k=3时，方程为x2﹣3x+=0，△=9﹣21＜0，不合题意舍去；当k=﹣3时，方程为x2+3x﹣=0，△=9+3＞0，符合题意．故所求k的值为﹣3．点评：本题考查了根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=．注意运用根与系数的关系的前提条件是：一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式△≥0．27．（2011?南充）关于x的一元二次方程x2+2x+k+1=0的实数解是x1和x2．（1）求k的取值范围；（2）如果x1+x2﹣x1x2＜﹣1且k为整数，求k的值．考点：根与系数的关系；根的判别式；解一元一次不等式组．专题：代数综合题；压轴题．分析：（1）方程有两个实数根，必须满足△=b2﹣4ac≥0，从而求出实数k的取值范围；（2）先由一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=﹣2，x1x2=k+1．再代入不等式x1+x2﹣x1x2＜﹣1，即可求得k的取值范围，然后根据k为整数，求出k的值．解答：解：（1）∵方程有实数根，∴△=22﹣4（k+1）≥0，（2分）解得k≤0．故K的取值范（4分）围是k≤0．（2）根据一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=﹣2，x1x2=k+1（5分）x1+x2﹣x1x2=﹣2﹣（k+1）．由已知，得﹣2﹣（k+1）＜﹣1，解得k＞﹣2．（6分）又由（1）k≤0，∴﹣2＜k≤0．（7分）∵k为整数，∴k的值为﹣1和0．（8分）点评：本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系．在运用一元二次方程根与系数的关系解题时，一定要注意其前提是此方程的判别式△≥0．28．（2012?怀化）已知x1，x2是一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的两个实数根．（1）是否存在实数a，使﹣x1+x1x2=4+x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由；（2）求使（x1+1）（x2+1）为负整数的实数a的整数值．考点：根与系数的关系；根的判别式．分析：根据根与系数的关系求得x1x2=，x1+x2=﹣；根据一元二次方程的根的判别式求得a的取值范围；（1）将已知等式变形为x1x2=4+（x2+x1），即=4+，通过解该关于a的方程即可求得a的值；（2）根据限制性条件“（x1+1）（x2+1）为负整数”求得a的取值范围，然后在取值范围内取a的整数值．解答：解：∵x1，x2是一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的两个实数根，∴由根与系数的关系可知，x1x2=，x1+x2=﹣；∵一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0有两个实数根，∴△=4a2﹣4（a﹣6）?a≥0，且a﹣6≠0，解得，a≥0，且a≠6；（1）∵﹣x1+x1x2=4+x2，∴x1x2=4+（x1+x2），即=4﹣，解得，a=24＞0；∴存在实数a，使﹣x1+x1x2=4+x2成立，a的值是24；（2）∵（x1+1）（x2+1）=x1x2+（x1+x2）+1=﹣+1=﹣，∴当（x1+1）（x2+1）为负整数时，a﹣6＞0，且a﹣6是6的约数，∴a﹣6=6，a﹣6=3，a﹣6=2，a ﹣6=1，∴a=12，9，8，7；∴使（x1+1）（x2+1）为负整数的实数a的整数值有12，9，8，7．点评：本题综合考查了根与系数的关系、根的判别式．注意：一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c是常数）的二次项系数a≠0．29．（2010?东莞）已知一元二次方程x2﹣2x+m=0．（1）若方程有两个实数根，求m的范围；（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且x1+3x2=3，求m的值．考点：根与系数的关系；根的判别式．专题：压轴题．分析：（1）一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个实数根，△≥0，把系数代入可求m的范围；（2）利用两根关系，已知x1+x2=2结合x1+3x2=3，先求x1、x2，再求m．解答：解：（1）∵方程x2﹣2x+m=0有两个实数根，∴△=（﹣2）2﹣4m≥0，解得m≤1；（2）由两根关系可知，x1+x2=2，x1?x2=m，解方程组，解得，∴m=x1?x2=．点评：本题考查了一元二次方程根的判别式，两根关系的运用，要求熟练掌握．30．（2005?福州）已知x1、x2是一元二次方程2x2﹣2x+m+1=0的两个实根．（1）求实数m的取值范围；（2）如果m满足不等式7+4x1x2＞x12+x22，且m为整数．求m的值．考点：根与系数的关系；根的判别式．分析：（1）方程有两个实数根，必须满足△=b2﹣4ac≥0，从而求出实数m的取值范围；（2）利用根与系数的关系，不等式7+4x1x2＞x12+x22，即（x1+x2）2﹣6x1x2﹣7＜0．由一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=1，x1x2=．代入整理后的不等式，即可求得m的值．解答：解：（1）∵a=2，b=﹣2，c=m+1．∴△=（﹣2）2﹣4×2×（m+1）=﹣4﹣8m．当﹣4﹣8m≥0，即m≤﹣时．方程有两个实数根．（2）整理不等式7+4x1x2＞x12+x22，得（x1+x2）2﹣6x1x2﹣7＜0．由一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=1，x1x2=．代入整理后的不等式得1﹣3（m+1）﹣7＜0，解得m＞﹣3．又∵m≤﹣，且m为整数．∴m的值为﹣2，﹣1．点评：一元二次方程ax2+bx+c=0（a，b，c为常数，且a≠0，b2﹣4ac≥0），根与系数的关系是：x1+x2=，x1x2=．。

一元二次方程根与系数的关系基础练习30题含详细答案

装…………○……_姓名：___________班级：__装…………○……一元二次方程根与系数的关系基础练习30题含详细答案一、单选题1．若12,x x 是一元二次方程²350x x +-=的两根，则12x x +的值是（） A ．3B ．3-C ．5D ．5-2．已知方程22430x x +-=的两根分别为1x 和2x ，则12x x 的值等于（） A ．2B ．－1.5C ．－2D ．43．已知α，β是方程2202010x x ++=的两个根，则（1＋2022α＋α2）（1＋2022β＋β2）的值为（） A ．1B ．2C ．3D ．44．如图，二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且OC ＝2OB 则下列结论：① 0abc <；②0a b c ++>；③240ac b -+=；④ cOA OB a⋅=-，其中正确的结论有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．★在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，a ，b 是关于x 的方程x 2－7x ＋c ＋7＝0的两根，那么AB 边上的中线长是（） A ．32B ．52C ．5D ．2二、解答题6．关于x 的一元二次方程x 2+3x ﹣k =0有两个不相等的实数根．（1）求k 的取值范围．（2）若x 1+2x 2=3，求|x 1﹣x 2|的值．7．已知关于x 的方程x 2+（2m ﹣1）x +m 2＝0有实数根．（1）若方程的一个根为1，求m 的值；在，请求出来，若不存在，请说明理由． 8．关于x 的一元二次方程x 2+mx+m ﹣2＝0．（1）若﹣2是该方程的一个根，求该方程的另一个根；（2）求证：无论m 取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；（3）设该方程的两个实数根为x 1，x 2，若x 12+x 22+m （x 1+x 2）＝m 2+1，求m 的值． 9．已知P 2222225a 3b 8a 1a b b a a b ab+⎛⎫=+÷⎪--+⎝⎭（a≠±b ，ab≠0）（1）化简P ；（2）若a 、b 是方程x 2+（12）x =0的两实根，求P 的值．10．已知关于x 的一元二次方程x 2+2（k ﹣1）x+k 2﹣1＝0有两个不相等的实数根．（1）求实数k 的取值范围；（2）若方程的两根x 1，x 2满足x 12+x 22＝16，求k 的值．11．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣2（m+1）x+m 2+5＝0有两个不相等的实数根．（1）求实数m 的最小整数值；（2）在（1）的条件下，若方程的实数根为x 1，x 2，求代数式（x 1﹣1）•（x 2﹣1）的值． 12．关于x 的一元二次方程x 2﹣（2k+1）x+2k ＝0．（1）求证：无论k 取任何实数，方程总有两个实数根；（2）若该方程的两个根x 1，x 2满足3x 1+3x 2﹣x 1x 2＝6，求k 的值．13．阅读下列材料：法国数字家韦达在研究一元二次方程时有一项重大发现：如果一元二次方程20(0)ax bx c a -+=≠在240b ac -≥的两根分别可表示为1x ，2x =1212,b c x x x x a a +=-⋅=这是一元二次方程根与系数的关系．利用一元二次方程根与系数的关系，回答下列问题：（1）已知方程25790x x +-=的两根分别为1x 、2x ，求12x x +与12x x ⋅的值．（2）已知方程25790x x +-=的两根分别1x 、2x ，若12x x >，求2212x x +与1211x x -的值．（3）已知一元二次方程2350x ax +-=的一根大于2，另一根小于2求a 的取值范围． 14．已知关于x 的方程()222360x m x m +-+-=．（1）求证：无论m 取什么实数，方程总有实数根；（2）如果方程的两个实数根1x 、2x 满足123x x =，求实数m 的值．15．关于x 的一元二次方程x 2+2（m-1）+m 2-1=0有两个不相等的实数根x 1，x 2．（1）求实数m 的取值范围；（2）是否存在实数m ，使得x 12+x 22=16+x 1x 2成立？如果存在，求出m 的值；如果不存在，请说明理由．16．如果1x ，2x 是一元二次方程20ax bx c ++=的两根，那么有12b x x a+=-，12cx x a=．这是一元二次方程根与系数的关系，我们可以利用它来解题，例如：1x ，2x 是方程2630x x +-=的两根，求2212x x +的值．解法可以这样：因为126x x +=-，123x x =-，所以()()()2222121212262342x x x x x x +=+-=--⨯-=．请你根据以上解法解答下题：设1x ，2x 是方程22150x x --=的两根，求：（1）1211+x x 的值；（2）()212x x -的值．17．关于x 的一元二次方程2x －x ＋p －1＝0有两实数根1x 、2x ．（1）求p 的取值范围；（2）若p=0，求1221x x x x +的值；（3）若[2＋1x （1－1x ）][2＋2x （1－2x ）]＝9，求p 的值．18．关于x 的一元二次方程x 2﹣2x ﹣m +2＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2．（1）求实数m 的取值范围；（2）若方程两实数根x 1，x 2满足x 12+2x 2＝m 2，求m 的值．三、填空题19．已知函数3()()y x m x n =---，并且,a b 是方程3()()0x m x n ---=的两个根，则实数,,,m n a b 的大小关系可能是____． 20．方程220x x +-=的两个根分别为,m n ，则11m n+的值为_________． 21．若x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣2x ﹣3＝0的两个根，则x 1x 2的值＝__． 22．已知实数m ，n 满足条件2720m m -+=，2720n n -+=，则n mm n+的值是______． 23．对于任意实数a 、b ，定义：a ◆b ＝a 2+ab +b 2．若方程（x ◆2）﹣5＝0的两根记为m 、n ，则（m +2）（n +2）＝_____．24．已知1x 、2x 是方程2210x x --=的两根，则2212x x +=_________．25．已知一周长为11的等腰三角形（非等边三角形）的三边长分别为a 、b 、5，且a 、b 是关于x 的一元二次方程x 2﹣6x +k +2＝0的两个根，则k 的值为__． 26．已知二次方程x 2+（2m +1）x +m 2﹣2m +32＝0的两个实数根为α和β，若|α|+|β|＝4，求m 的值__．27．已知x 2+2x +1＝0的两根为x 1和x 2，则x 1•x 2的值为__．28．已知一元二次方程2x 2+3x ﹣1＝0的两个根是x 1，x 2，则x 1•x 2＝_____． 29．已知 12,x x 是一元二次方程()23112x -=的两个解，则12x x +=_______． 30．一元二次方程2310x x --=与230x x --=的所有实数根的和等于____．参考答案1．B 【分析】利用根与系数的关系即可得到x 1+x 2的值．【详解】解：∵x 1、x 2是一元二次方程x 2+3x-5=0的两根， ∴x 1+x 2=-3．故选：B ．【点睛】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键． 2．B 【分析】根据一元二次方程的根与系数关系12cx x a=求解即可．【详解】解：∵方程22430x x +-=的两根分别为1x 和2x ，且a=2，b=4，c=﹣3， ∴12c x x a==32-=﹣1.5，故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数关系，熟记根与系数关系12cx x a=是解答的关键． 3．D 【分析】根据根与系数的关系及一元二次方程的解可得出：1αβ=，2202010αα++=，2 202010ββ++=，将其代入原式中即可求出结论．【详解】∵α，β是方程2202010x x ++=的两个根，∴1αβ=，220201αα+=-，220201ββ+=-，∴()()221202212022ααββ++++=()()22120202120202αααβββ++++++4αβ==4．故选：D ．【点睛】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根据根与系数的关系及一元二次方程的解得出1αβ=，2202010αα++=，2202010ββ++=是解题的关键． 4．C 【分析】①根据抛物线的开口方向向上得a ＞0、对称轴在y 轴左侧得b ＞0、与y 轴的交点在y 轴负半轴得c ＜0，进而可得结论；②当x ＝1时，不能说明y 的值即a +b +c 是否大于还是小于0，即可判断；③设B 点横坐标为x 2，根据OC ＝2OB ，用c 表示x 2，再将B 点坐标代入函数解析式即可判断；④根据一元二次方程根与系数的关系即可判断．【详解】解：①观察图象可知：抛物线的开口方向向上，对称轴在y 轴左侧，与y 轴的交点在y 轴负半轴∴a ＞0，b ＞0，c ＜0， ∴abc ＜0，所以①正确；②当x ＝1时，y ＝a +b +c ，不能说明y 的值是否大于还是小于0，所以②错误；③设A （x 1，0）（x 1＜0），B （x 2，0）（x 2＞0）， ∵OC ＝2OB ，∴﹣2x 2＝c ， ∴212x c ， ∴B （12c -，0）将点B 坐标代入y ＝ax 2+bx +c 中，211042c a bc c，∵0c ≠∴240ac b -+= 所以③正确；④当y ＝0时，ax 2+bx +c ＝0，方程的两个根为x 1，x 2，根据根与系数的关系，得12c x x a•=，即1212•OA OBx x ax c x 所以④正确．故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x 轴的交点，解决本题的关键是综合运用二次函数的图象和性质． 5．B 【分析】由于a 、b 是关于x 的方程x2−7x ＋c ＋7＝0的两根，由根与系数的关系可知：a ＋b ＝7，ab ＝c ＋7；由勾股定理可知：222+=a b c ，则()222a b ab c +-=，即49−2（c ＋7）＝2c ，由此求出c ，再根据直角三角形斜边中线定理即可得中线长．【详解】解：∵a 、b 是关于x 的方程2x −7x ＋c ＋7＝0的两根， ∴根与系数的关系可知：a ＋b ＝7，ab ＝c ＋7；由直角三角形的三边关系可知：222+=a b c ，则()222a b ab c +-=，即49−2（c ＋7）＝2c ，解得：c ＝5或−7（舍去），再根据直角三角形斜边中线定理得：中线长为52．故选：B ．【点睛】本题考查三角形斜边中线长定理及一元二次方程根与系数的关系运用，勾股定理的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时运用一元二次方程的根与系数的关系建立方程是关键． 6．（1）94k >-；（2）15．【分析】（1）由关于x 的一元二次方程230x x k +-=有两个不相等的实数根，可得判别式△0>，则可求得k 的取值范围；（2）利用根与系数的关系可求出1x 、2x 的值，进而可求出求12||x x -的值【详解】（1）关于x 的一元二次方程230x x k +-=有两个不相等的实数根，∴△2341()940k k =-⨯⨯-=+>，94k ∴>-，即k 的取值范围为：94k >-；（2）1x 、2x 是一元二次方程230x x k +-=有两个不相等的实数根，123x x ∴+=-， 1223x x +=， 19x ∴=-，26x =，1215x x ∴-=．【点睛】此题考查了根的判别式以及根与系数的关系．注意由关于x 的一元二次方程230x x k +-=有两个不相等的实数根，可得△0>． 7．（1）0或-2；（2）存在，m 的值为-1．【分析】（1）先根据∆=(2m-1)2-4m 2≥0求出m 的取值范围，把x=1代入原方程可得到关于m 的一元二次方程，然后解此一元二次方程即可；（2）根据根与系数的关系得到α+β=-(2m-1)，αβ=m 2，利用α2+β2-αβ=6得到(α+β)2-3αβ=6，则(2m-1)2-3m 2=6，然后解方程后利用（1）中m 的范围确定m 的值．【详解】解：（1）由题意得∆=(2m-1)2-4m 2≥0，解得m ≤14．把x ＝1代入方程得1+2m ﹣1+m 2＝0，解得m 1＝0，m 2＝﹣2，即m 的值为0或﹣2；（3）存在．∵α、β是方程的两个实数根， ∴α+β＝﹣(2m ﹣1)，αβ＝m 2， ∵α2+β2﹣αβ＝6， ∴(α+β)2﹣3αβ＝6，即(2m ﹣1)2﹣3m 2＝6，整理得m 2﹣4m ﹣5＝0，解得m 1＝5，m 2＝﹣1， ∵m ≤14； ∴m 的值为﹣1．【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）根与系数的关系，若x 1，x 2为方程的两个根，则x 1，x 2与系数的关系式：12bx x a +=-，12c x x a⋅=．也考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根的判别式与根的关系．8．（1）方程的另一个根为0；（2）证明见解析；（3）m ＝﹣3或1 【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可；（2）证明判别式大于0即可；（3）利用根与系数的关系，把问题转化为一元二次方程解决问题．【详解】（1）解：由题意，得：4﹣2m+m ﹣2＝0，解得：m ＝2，∴方程为x 2+2x ＝0，解得：x 1＝﹣2，x 2=0， ∴方程的另一个根为0．（2）证明：∵△＝m 2﹣4（m ﹣2）＝m 2﹣4m+8＝（m ﹣2）2+4＞0， ∴无论m 取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根．（3）由根与系数的关系得：x 1+x 2＝﹣m ，x 1x 2＝m ﹣2，由x 12+x 22+m （x 1+x 2）＝m 2+1，得：（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2+m （x 1+x 2）＝m 2+1， ∴m 2﹣2（m ﹣2）﹣m 2＝m 2+1，整理得：m 2+2m ﹣3＝0，解得：m ＝﹣3或1．【点睛】本题考查根与系数的关系、根的判别式、解一元二次方程、解一元一次方程等知识，解答的关键是熟练掌握基本知识的联系和运用，属于中考常考题型．9．（1）P ＝﹣3ab ；（2）P ＝﹣．【分析】（1）先把括号里分式变成同分母的运算，再把除法变成乘法，再算乘法即可；（2）根据根与系数的关系得出ab =【详解】解：（1）P ＝（22225a 3b 8aa b a b+---）•ab （a+b ） ()()5a 3b 8aa b a b +-=+-•ab （a+b） ()3a b a b--=-•ab＝﹣3ab ；（2）∵a 、b 是方程x 2+（12）x =0的两实根，∴ab =∴P ＝﹣3ab ＝﹣【点睛】本题考查了分式的混合运算和求值，根与系数的关系等知识点，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．10．（1）k＜1；（2）k＝﹣1．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式∆＞0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围；（2）根据根与系数的关系及x12+x22＝16，即可得出关于k的一元二次方程，解之即可得出k值，再结合（1）的结论即可确定k的值．【详解】解：（1）∵a＝1，b＝2（k﹣1），c＝k2﹣1，∴∆＝b2﹣4ac＞0，即[2（k﹣1）]2﹣4×1×（k2﹣1）＞0，∴k＜1．（2）∵关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1＝0的两根为x1，x2，∴x1+x2＝﹣2（k﹣1），x1x2＝k2﹣1．∵x12+x22＝16，∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝16，即[﹣2（k﹣1）]2﹣2（k2﹣1）＝16，整理，得：k2﹣4k﹣5＝0，-+=k k(5)(1)0解得：k1＝5，k2＝﹣1．又∵k＜1，∴k＝﹣1．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、根的判别式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．11．（1）实数m的最小整数值是3；（2）（x1﹣1）•（x2﹣1）＝7【分析】（1）由方程有两个不相等的实数根结合根的判别式即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，从而求得m的最小整数值；（2）根据根与系数的关系即可得出x1+x2＝2（m+1）、x1•x2＝m2+5，代入整理后的代数式即可得出得出m的值．【详解】解：（1）∵方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0有两个不相等的实数根，∴△＝[﹣2（m+1）]2﹣4（m2+5）＝8m﹣16＞0，解得：m＞2，∴实数m的最小整数值是3；（2）∵原方程的两个实数根为x1、x2，m=3，∴x1+x2＝2（m+1）=8，x1•x2＝m2+5=14，∴（x1﹣1）•（x2﹣1）＝x1•x2﹣（x1+x2）+1＝14﹣8+1＝7．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、根的判别式、解一元一次不等式、代数式求值，解题的关键是：（1）根据方程有两个不相等的实数根找出△＝8m﹣16＞0；（2）掌握x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2ba=-，x1x2ca=．12．（1）证明见解析；（2）k3 4 =【分析】（1）计算判别式的值，再利用配方法得到△＝（2k+1）2≥0，然后根据一元二次方程根的判别式与根的关系得到结论；（2）根据根与系数的关系得到x1+x2＝2k+1，x1•x2＝2k，而3（x1+x2）﹣x1•x2＝6，所以3（2k+1）﹣2k＝6，然后解关于k的方程即可．【详解】（1）证明：∵△＝[﹣（2k+1）]2﹣4×1×2k＝（2k﹣1）2≥0，∴无论k取何值，所以方程总有两个实数根；（2）解：根据题意得：x1+x2＝2k+1，x1•x2＝2k，∵3（x1+x2）﹣x1•x2＝6，∴3（2k+1）﹣2k＝6，∴k34 =．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c ＝0（a≠0）的两根时，x 1+x 2b a =-，x 1x 2ca=，也考查了根的判别式、配方法、解一元一次方程． 13．（1）1212,9575x x x x +=-⋅=-；（2）2212x x +=13925；1211x x -；（3）72a <- 【分析】（1）根据根与系数的关系即可求出结论；（2）根据完全平方公式的变形和分式减法变形，然后代入求值即可；（3）设一元二次方程2350x ax +-=的两根分别1x 、2x ，根据根与系数的关系可得1212,533x x x a x +=-⋅=-，根据题意可得()()122002x x ⎧⎨--<∆>⎩，代入即可求出a 的取值范围．【详解】解：（1）∵方程25790x x +-=的两根分别为1x 、2x ∴1212,9575x x x x +=-⋅=-；（2）由（1）知：1212,9575x x x x +=-⋅=- ∴2212x x + =()212122x x x x +-=225579⎛⎫⎛⎫--⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=13925∴()2221122122x x x x x x +-=-=25139925⎛⎫⨯- ⎝-⎪⎭=22925∵12x x > ∴210x x -<∴21x x -==∴1211x x - =2112x x x x -=955-；（3）设一元二次方程2350x ax +-=的两根分别1x 、2x ， ∴1212,533x x x a x +=-⋅=- 由题意可得()()122002x x ⎧⎨--<∆>⎩∴()21212600240a x x x x +⎧⎪⎨-++<>⎪⎩∴2600335240a a ⎧⎪⎨⎛⎫-⨯+< +>--⎪⎪⎝⎭⎩②① ∵无论a 为何值，260a +恒为正，故①恒成立；解②，得72a <-；综上：72a <-．【点睛】此题考查的是一元二次方程根与系数的关系，掌握根与系数的关系和完全平方公式的变形是解题关键．14．（1）见解析；（2）0或-4．【分析】（1）证明一元二次方程根的判别式恒大于0，即可解答；（2）根据一元二次方程根与系数的关系x 1+x 2=4x 2=-2（2-m ）=2m-4，以及x 1•x 2=3x 22=3-6m 即可求得m 的值．【详解】解：（1）证明：∵关于x 的方程x 2+2（2-m ）x+3-6m=0中，△=4（2-m ）2-4（3-6m ）=4（m+1）2≥0，∴无论m 取什么实数，方程总有实数根．（2）如果方程的两个实数根x 1，x 2满足x 1=3x 2，则x 1+x 2=4x 2=-2（2-m ）=2m-4 ∴x 2=2m-1 ① ∵x 1•x 2=3x 22=3-6m ， ∴x 22=1-2m ②，把①代入②得m （m+4）=0，即m=0，或m=-4．答：实数m 的值是0或-4 【点睛】解答此题的关键是熟知一元二次方程根的情况与判别式△的关系，及根与系数的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．（4）若一元二次方程有实数根，则x 1+x 2=-b a ，x 1x 2=c a． 15．（1）m<1；（2）存在，m=-1 【分析】（1）由一元二次方程有两个不相等的实数根列得[]222(1)4(1)0m m --->，解不等式即可；（2）利用根与系数的关系得到122(1)x x m +=--=2-2m ，2121x x m =-，代入x 12+x 22=16+x 1x 2中求出m 的值，根据（1）中m 的取值范围确定m 的值. 【详解】（1）∵一元二次方程x 2+2（m-1）+m 2-1=0有两个不相等的实数根， ∴0∆>，∴[]222(1)4(1)0m m --->，解得m<1；（2）存在，∵一元二次方程x 2+2（m-1）+m 2-1=0有两个不相等的实数根x 1，x 2，∴122(1)x x m +=--=2-2m ，2121x x m =-，若x 12+x 22=16+x 1x 2，则2121212()216x x x x x x +-=+，∴ 222(22)2(1)161m m m ---=+-，解得m=-1或m=9， ∵m<1， ∴m=9舍去，即m=-1. 【点睛】此题考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系式，解一元二次方程，正确计算是解题的关键. 16．（1）115-；（2）1214【分析】（1）由根与系数的关系可得x 1+x 2=12，x 1x 2=152-，将其代入到12121211x x x x x x ++= 中，求出结果即可；（2）将x 1+x 2=12，x 1x 2=152-代入到（x 1-x 2）2=（x 1+x 2）2-4x 1x 2即可得．【详解】（1）根据题意，可得x 1+x 2=12，x 1x 2=152-，∴12121211112=15152x x x x x x ++==--；（2）(x 1-x 2)2=(x 1+x 2)2-4x 1x 2=211511214302244⎛⎫⎛⎫-⨯-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【点睛】本题考查根与系数的关系，解题关键是运用一元二次方程的两根为x 1，x 2，则有x 1+x 2=b a -，x 1•x 2=ca． 17．（1）54p ≤；（2）-3；（3）-4．【分析】（1）一元二次方程有实数根，0∆≥根据判别式的公式代入即可求p 的取值范围；（2）将p=0代入2x －x ＋p －1＝0化简，再根据根与系数的关系得出1x 与2x 之间的关系，进一步可求得2212x x +的值，代入即可求解；（3）将等式变形，结合四个等式：21110x x p -+-=，22210x x p -+-=，代入求p ，结果要根据p 的取值范围进行检验．【详解】（1）x 的一元二次方程2x －x ＋p －1＝0有两实数根0∴∆≥即()()2241410b ac p -=---≥ 解得：54p ≤∴p 的取值范围为：54p ≤；（2）将p=0代入2x －x ＋p －1＝0，即2x －x －1＝0121x x ∴+=，121x x ⋅=-()2221212122123x x x x x x ∴+=+-=+=22121221123=31x x x x x x x x +∴+==-⋅- （3）由[2＋1x （1－1x ）][2＋2x （1－2x ）]＝9，得()()221122229x x xx +-+-=1x 、2x 为一元二次方程2x －x ＋p －1＝0有两实数根21110x x p ∴-+-=，22210x x p -+-= 2211221,1x x p x x p ∴-=--=-()()21219p p ∴+-+-=即()219p +=2p ∴=或4p =-54p ≤4p ∴=- 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式的运用，根与系数关系的运用以及等式变形的能力． 18．（1）m ＞1；（2）m ＝2．【分析】（1）若方程有两个不相等的实数根，则根的判别式∆=b 2-4ac ＞0，建立关于m 的不等式，求出m 的取值范围；（2）根据题意x 12-2x 1-m+2=0，即可得到x 12=2x 1+m-2，代入x 12+2x 2＝m 2，可得2x 1+2x 2+m ﹣2＝m 2，根据根与系数的关系得到x 1+x 2=2，代入2x 1+2x 2+m ﹣2＝m 2，得到关于m 的方程，解方程即可．【详解】解：（1）∵关于x 的一元二次方程x 2﹣2x ﹣m +2＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2， ∴∆＝(﹣2)2﹣4(﹣m +2)＝4m ﹣4＞0， ∴m ＞1；（2）∵x 1+x 2＝2，x 12﹣2x 1﹣m +2＝0， x 12＝2x 1+m ﹣2，∴x 12+2x 2＝2x 1+2x 2+m ﹣2＝m 2，即2×2+m ﹣2＝m 2，解得：m ＝﹣1或m=2， ∵m ＞1， ∴m ＝2．【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根的判别式∆=b 2﹣4ac 与根的关系，当∆>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当∆=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当∆<0时，一元二次方程没有实数根．也考查了一元二次方程根与系数的关系． 19．a m n b <<<，b m n a <<<，a n m b <<<或b n m a <<<．【分析】首先把方程化为一般形式，由于a ，b 是方程的解，根据根与系数的关系即可得到m ，n ，a ，b 的关系，相互比较即可得出答案．【详解】由3()()0x m x n ---=变形得：()()3x m x n --=， ∴0x m -＞，x n -＞0或0x m -<，0x n -<， ∴x m ＞，x n ＞或x m <，x n <， ∵a ，b 是方程的解，将a ，b 代入，得：a m ＞，a n ＞，b m <，b n <或a m <，a n <，b m ＞，b n ＞，综合可得：a m n b <<<，b m n a <<<，a n m b <<<或b n m a <<< 故答案为：a m n b <<<，b m n a <<<，a n m b <<<或b n m a <<<．【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，难度较大，关键是m ，n ，a ，b 大小的讨论是此题的难点． 20．12；【分析】根据根与系数的关系可得出m+n=-1，mn=-2，将其代入11n m m n mn++=中即可求出结论．【详解】解：∵方程x 2+x ﹣2＝0的两个根分别为m ，n ， ∴m +n ＝﹣1，mn ＝﹣2，111122n m n m m n mn mn mm +-∴+=+===-．故答案为：12．【点睛】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于-b a ，两根之积等于ca是解题的关键． 21．-3 【分析】根据根与系数的关系即可求解．【详解】解：根据题意得x 1x 2＝31c a -==﹣3．故答案为﹣3．【点睛】此题主要考查一元二次方程根与性质的关系，解题的关键是熟知x 1x 2＝ca的运用． 22．2或452【分析】根据题意先将两个未知数理解为一元二次方程的两个根，再利用韦达定理求出两根关系，进而求得原式的答案即可．【详解】由题意，实数m n ，是一元二次方程2720x x -+=的两个实数根，此时题目并未告知m n ，是否相等，故作以下讨论： ①若m n =，则112n mm n+=+=； ②若m n ≠，则根据韦达定理，有72m n mn +==，，()222227224522m n mnn m m n m n mnmn+-+-⨯+====，故答案为：2或452．【点睛】本题考查一元二次方程根的理解及根与系数的关系，灵活解读题意是解题关键．23．-1【分析】根据新定义可得出m 、n 为方程x 2＋2x−1＝0的两个根，利用根与系数的关系可得出m ＋n ＝−2、mn ＝−1，变形（m ＋2）（n ＋2）得到mn ＋2（m ＋n ）＋4然后利用整体代入得方法进行计算．【详解】解：∵（x ◆2）﹣5＝x 2+2x +4﹣5，∴m 、n 为方程x 2+2x ﹣1＝0的两个根，∴m +n ＝﹣2，mn ＝﹣1，∴（m +2）（n +2）＝mn +2（m +n ）+4＝﹣1+2×（﹣2）+4＝﹣1．故答案为﹣1．【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝b a -，x 1•x 2＝c a． 24．6【分析】根据根与系数的关系得到x 1+x 2=2，x 1x 2=-1，再把2212x x +变形为21212()2x x x x +-，然后利用整体代入的方法计算出值即可．【详解】解：∵1x 、2x 是方程2210x x --=的两根，∴x 1+x 2=2，x 1x 2=-1，所以，2212x x +=21212()2x x x x +-=222(1)426-⨯-=+=．故答案为：6．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x 1+x 2=-b a ，x 1x 2=c a． 25．3或7【分析】先根据一元二次方程根的判别式得出k的取值范围，再分5是等腰三角形的腰的长度和底边的长度两种情况，根据等腰三角形的周长得出另外两边的长度，最后利用根与系数的关系得出关于k的方程，解之得出答案．【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+k+2＝0有两个实数根，∴∆＝(﹣6)2﹣4(k+2)≥0，解得k≤7；若5是等腰三角形的腰的长度，则另外两边分别为5、1，此时三角形三边为1、5、5，符合角形三边条件，所以关于x的一元二次方程x2﹣6x+k+2＝0的两个根为1、5，则k+2＝5，即k＝3；若5是等腰三角形的底边长度，则另外两边的长度为3、3，此时三角形三边的长度为3、3、5符合三角形三边条件，则k+2＝9，即k＝7；综上，k的值为3或7，故答案为：3或7．【点睛】本题主要考查根的判别式、三角形三边关系、根与系数的关系及等腰三角形的定义，解题的关键是根据等腰三角形的性质分类讨论及一元二次方程根与系数的关系．26．3 2【分析】先由根与系数的关系得到2m+1=-（α+β），α•β=m2-2m+32=（m-1）2+12＞0，那么α和β同号，再由|α|+|β|=4，分α+β=-4或α+β=4进行讨论即可．【详解】解：∵二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣2m+32＝0的两个实数根为α和β，∴α+β＝﹣（2m+1），α•β＝m2﹣2m+32，∴2m+1＝﹣（α+β），α•β＝m2﹣2m+32＝（m﹣1）2+12＞0，∴α•β＞0，即α和β同号，∴由|α|+|β|＝4得：α+β＝﹣4或α+β＝4．当α+β＝﹣4时，2m +1＝4，解得m ＝32；当α+β＝4时，2m +1＝﹣4，解得m ＝﹣52． ∵△＝（2m +1）2﹣4（m 2﹣2m +32）＝4m 2+4m +1﹣4m 2+8m ﹣6＝12m ﹣5≥0，∴m ≥512； ∴m ＝﹣52不合题意，舍去，则m ＝32．故答案为：32．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数关系，利用两根关系得出的结果必须满足△≥0的条件．27．1【分析】利用一元二次方程根与系数的关系即可解答．【详解】根据题意得x 1•x 2＝1．故答案为1．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系“在一元二次方程20ax bx c ++=(0a ≠，a b c 、、都为常数)中，两根1x ，2x 与系数的关系为12b x x a +=-，12c x x a =”． 28．﹣12【分析】由根与系数的关系，即可求出答案．【详解】解：∵一元二次方程2x 2+3x ﹣1＝0的两个根是x 1，x 2，∴x 1x 2＝﹣12，故答案为：﹣12．【点睛】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系进行解题．29．2【分析】先将方程整理为x 2-2x-3=0，再根据根与系数的关系可得出x 1+x 2即可．【详解】解：一元二次方程()23112x -=整理为2230x x --=，∵x 1、x 2是一元二次方程x 2-2x-3=0的两个根，∴x 1+x 2=2．故答案为：2．【点睛】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于b a -是解题的关键． 30．4【分析】利用一元二次方程根于系数的关系式求出根的和即可．【详解】解：∵2310x x --=， ∴123b x x a+=-=， ∵230x x --=， ∴121b x x a +=-=， ∴所有实数根的和等于4．故答案是：4．【点睛】本题考查一元二次方程根于系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系式．。

根与系数关系专题练习

根与系数关系专题1．已知关于x的一元二次方程20+-=（k为常数）总有实数根．x k（1）求k的取值范围；（2）若该方程有两个相等的实数根，求该方程的根．2．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2mx+m＝2有实数根．（1）求m的取值范围；（2）如果m是符合条件的最小整数，且一元二次方程（k+1）x2+x+k﹣3＝0与方程（m ﹣1）x2﹣2mx+m＝2有一个相同的根，求此时k的值．3．若关于x 的一元二次方程mx 2-4x +3=0有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围；（2）若m 为正整数，求此时方程的根．4．关于x 的方程（k ﹣1）x 2﹣4x ﹣1＝0．（1）若方程有实根，求k 的取值范围；（2）若方程两根x 1，x 2，满足x 12＋x 22﹣4x 1x 2＝1，求k 的值．5．已知一元二次方程()22420k x x --+=有两个不相等的实数根．（1）求k 的取值范围；（2）定义：如果两个一元二次方程有且仅有一个相同的实数根，则称这两个方程为“友好方程”，若一元二次方程240x x k -+=与210x mx +-=是友好方程，且k 是符合（1）中条件的最大整数，求此时m 的值．6．关于x 的一元二次方程()222110x m x m +-+-=有两个不相等的实数根1x ，2x ．（1）求实数m 的取值范围；（2）是否存在实数m ，使得22121216x x x x +=+成立？如果存在，求出m 的值：如果不存在，请说明理由．7．已知关于x 的一元二次方程()26410x x m -++=有实数根．（1）求m 的取值范围；（2）若该方程的一个实数根为1，求m 的值及方程的另一个根．8．已知关于x 的一元二次方程24230x x m -++=有两个不相等的实数根1x ，2x ．（1）求m 的取值范围；（2）若22121213x x x x +-≤，且m 为整数，求m 的值．9．已知关于x 的方程x 2﹣（k +1）x +14k 2+1＝0，根据下列条件，分别求出k 的值．（1）方程两实根的积为5；（2）方程的两实根x 1，x 2满足|x 1|＝x 2．10．已知关于x 的一元二次方程26(21)0x x m -++=有实数根．（1）求m 的取值范围；（2）如果方程的两个实数根为1x 、2x ，且1212220x x x x ++>，求m 的取值范围．11．已知关于x 的方程（k +1）x 2+（3k ﹣1）x +2k ﹣2＝0（1）求证：无论k 取何值，此方程总有实数根；（2）若此方程有两个整数根，求正整数k 的值；（3）若一元二次方程（k +1）x 2+（3k ﹣1）x +2k ﹣2＝0满足|x 1﹣x 2|＝3，求k 的值．12．已知关于x 的一元二次方程()22230x m x m +++=有两根α，β．（1）求m 的取值范围；（2）若()()111αβ++=，求m 的值．13．已知一元二次方程（a ﹣3）x 2﹣4x+3＝0．（1）若方程的一个根为x ＝﹣1，求a 的值；（2）若方程有实数根，求满足条件的正整数a 的值．14．已知关于x 的一元二次方程220x x k +-=有两个不相等的实数根．（1）求k 的取值范围（2）若k 为（1）中的最小整数，请求出此时方程的根．15．已知关于x 的一元二次方程222x x m -+=有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围；（2）当1m =时，求方程222x x m -+=的解．16．已知关于x 的一元二次方程222(1)30x m x m m --+-=．（1）若该方程有实数根，求m 的取值范围；（2）若12,x x 是方程的两个实数根，且122x x -=，求m 的值；（3）已知等腰ABC 的一边长为10，若12,x x 恰好是ABC 另外两边的边长，求这个三角形的周长．17．已知关于x 的一元二次方程22210x kx k k -+++=有两个实数根．（1）试求k 的取值范围；（2）若此方程的两个实数根12x x 、，是否存在实数k ，满足12112x x +=-，若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．18．已知关于x 的方程22(21)10x m x m +-+-=．（1）m 为何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）若抛物线y =22(21)1x m x m +-+-交x 轴于A ，B 两点，且AB =3，求m 的值．19．如果关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．（1）说明方程29180x x ++=是倍根方程；（2）若一元二次方程20x bx c ++=是倍根方程，且方程有一个根为4，求b 、c 的值．20．已知关于x 的一元二次方程22(21)0x m x m +++=有两个实数根1x 和2x ．（1）求实数m 的取值范围；（2）当22120x x -=时，求m 的值．（1）求m 的取值范围；（2）若1x 、2x 是方程的两根，且12111x x +=，求m 的值．22．已知关于x 的一元二次方程()222320x m x m -+++=．（1）若方程有实数根，求实数m 的取值范围；（2）若方程的两个实数根分别为12,x x ，且满足22121231x x x x +=+，求实数m 的值．23．已知关于x 的一元二次方程220x x k +-=有两个不相等的实数根．（1）求k 的取值范围；（2）若方程的两个不相等实数根是a ，b ，求111a ab -++的值．（1）求k 的取值范围；（2）若33121224x x x x +=，求k 的值．25．已知关于x 的方程2410x x k -++=有两实数根．（1）求k 的取值范围；（2）设方程两实数根分别为1x 、2x ，且1212334x x x x +=-，求实数k 的值．26．已知1x ，2x 是一元二次方程2220x x k -++=的两个实数根．（1）求k 的取值范围；（2）是否存在实数k ，使得等式12112k x x +=-成立？如果存在，请求出k 的值，如果不存在，请说明理由．27．已知关于x 的方程22210x x k -+-=有实数根．(1)求k 的取值范围；(2)设方程的两根分别是1x 、2x ，且211212x x x x x x +=⋅，试求k 的值．28．已知关于x 的一元二次方程222(1)20x a x a a --+--=有两个不相等的实数根1x ，2x .（1）若a 为正整数，求a 的值；（2）若1x ，2x 满足221212-16x x x x +=，求a 的值.29．已知关于x 的一元二次方程2x 5x 2m 0-+=有实数根．()1求m 的取值范围；()2当5m 2=时，方程的两根分别是矩形的长和宽，求该矩形外接圆的直径．30．已知关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1=0有两个实数根x1，x2．（1）求实数k的取值范围；（2）若x1，x2满足x12+x22=16+x1x2，求实数k的值．31．已知关于的一元二次方程有两个实数根.（1）求的取值范围；（2）若满足，求的值.32．已知关于x的方程x2－(2k－1)x＋k2－2k＋3＝0有两个不相等的实数根．(1)求实数k的取值范围．(2)设方程的两个实数根分别为x1，x2，是否存在这样的实数k，使得|x1|－|x2|成立？若存在，求出这样的k值；若不存在，请说明理由．33．关于x 的一元二次方程2220x x m ++=有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围；（2）若1x ，2x 是一元二次方程2220x x m ++=的两个根，且22128x x +=，求m 的值．34．关于x 的一元二次方程x 2+（2k+1）x+k 2+1=0有两个不等实根12,x x ．（1）求实数k 的取值范围．（2）若方程两实根12,x x 满足｜x 1｜+｜x 2｜=x 1·x 2，求k 的值．35．（7分）已知关于x 的一元二次方程．（1）若方程有实数根，求实数m 的取值范围；（2）若方程两实数根为，，且满足，求实数的值．36．已知关于x的方程x2−kx+k2+n=0有两个不相等的实数根x1、x2,且(2x1+x2)−8(2x1+x2)+15=0.（1）求证：n<0;（2）试用k的代数式表示x1;（3）当n=−3时,求k的值.37．若x1，x2是关于x的方程x2+bx+c=0的两个实数根，且|x1|+|x2|=2|k|（k是整数），则称方程x2+bx+c=0为“偶系二次方程”．如方程x2﹣6x﹣27=0，x2﹣2x﹣8=0，227x3x04+-=，x2+6x﹣27=0，x2+4x+4=0，都是“偶系二次方程”．（1）判断方程x2+x﹣12=0是否是“偶系二次方程”，并说明理由；（2）对于任意一个整数b，是否存在实数c，使得关于x的方程x2+bx+c=0是“偶系二次方程”，并说明理由．38．关于x的方程(k－1)x2+2kx+2=0（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根．（2）设x1，x2是方程(k－1)x2+2kx+2=0的两个根，记S=++ x1+x2，S的值能为2吗？若能，求出此时k的值．若不能，请说明理由．39．关于x 的一元二次方程230x x k -+=有实数根．（1）求k 的取值范围；（2）如果k 是符合条件的最大整数，且一元二次方程()2130m x x m -++-=与方程230x x k -+=有一个相同的根，求此时m 的值．40．已知关于x 的一元二次方程x 2－4x ＋m ＝0 ．（1）如果方程有两个实数根，求m 的取值范围；（2）如果()()122,,3,y y 是直线(3y m x =+上两点，比较1y 与2y 的大小．根与系数关系专题一、解答题1．已知关于x 的一元二次方程20x k +-=（k 为常数）总有实数根．（1）求k 的取值范围；（2）若该方程有两个相等的实数根，求该方程的根．【答案】（1）7k -；（2）12x x ==【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出关于k 的一元一次不等式，解之即可得出k 的取值范围；（2）由方程有两个相等的实数根，可得出关于k 的一元一次方程，解之即可得出k 值，将k 的值代入原方程中，再利用配方法解一元二次方程即可得出结论．【详解】解：（1）∵方程总有实数根，240k ∴∆=+≥，解得：7k -；（2）∵方程有两个相等的实数根，240k ∴∆=+=，解得：7k =-，代入方程得：270x ++=，解得：12x x ==【点睛】本题考查了根的判别式以及配方法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有实数根”；（2）牢记“当△＝0时，方程有两个相等的实数根”． 2．若关于x 的一元二次方程（m ﹣1）x 2﹣2mx +m ＝2有实数根．（1）求m 的取值范围；（2）如果m 是符合条件的最小整数，且一元二次方程（k +1）x 2+x +k ﹣3＝0与方程（m ﹣1）x 2﹣2mx +m ＝2有一个相同的根，求此时k 的值．【答案】（1）m ≥23且m ≠1，（2）k ＝3 【分析】（1）根据判别式即可求出答案．（2）根据一元二次方程的解法即可求出答案．【详解】解：（1）化为一般式：（m ﹣1）x 2﹣2mx +m ﹣2＝0，∴()()21044120m m m m -≠⎧⎨=---≥⎩，解得：m ≥23且m ≠1 （2）由（1）可知：m 是最小整数，∴m ＝2，∴（m ﹣1）x 2﹣2mx +m ＝2化为x 2﹣4x ＝0，解得：x ＝0或x ＝4，∵（k +1）x 2+x +k ﹣3＝0与（m ﹣1）x 2﹣2mx +m ＝2有一个相同的根，∴当x ＝0时，此时k ﹣3＝0，k ＝3，当x ＝4时，16（k +1）+4+k -3＝0，∴k ＝﹣1，∵k +1≠0，∴k ＝﹣1舍去，综上所述，k ＝3．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的定义，准确计算是解题的关键．3．若关于x 的一元二次方程mx 2-4x +3=0有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围；（2）若m 为正整数，求此时方程的根．【答案】（1）m ＜43且m ≠0；（2）x 1=1，x 2=3 【分析】取值范围．（2）根据题意方程为x2-4x+3=0，因式分解法解方程即可求得方程的根．【详解】解：(1)∵△=(-4)2-4m×3=16-12m＞0,解得m＜4 3又m≠0，∴m＜43且m≠0，（2）∵m为正整数∴m=1，∴原方程为x2-4x+3=0，解得x1=1，x2=3．【点睛】本题考查了根的判别式，解一元一次不等式和解一元二次方程，能根据根的判别式和已知得出不等式是解题的关键．4．关于x的方程（k﹣1）x2﹣4x﹣1＝0．（1）若方程有实根，求k的取值范围；（2）若方程两根x1，x2，满足x12＋x22﹣4x1x2＝1，求k的值．【答案】（1）k≥﹣3；（2）k＝9或k＝﹣1【分析】（1）根据方程是一元一次方程和一元二次方程两种情况解答；（2）根据根与系数的关系，以及x12＋x22﹣4x1x2＝1得方程即可求解．【详解】解：（1）∵关于x的方程（k﹣1）x2﹣4x﹣1＝0有实根，①当方程为一元二次方程时，△≥0且k﹣1≠0，即（﹣4）2﹣4（k﹣1）×（﹣1）≥0，k≠1，∴k≥﹣3且k≠1．②当方程为一元一次方程时，k﹣1＝0，∴k＝1，综上，k≥﹣3时方程有实根；（2）∵x1、x2是方程的两个实数根，∴x 1＋x 2＝41k -，x 1x 2＝﹣11k -， ∵x 12＋x 22﹣4x 1x 2＝1，∴（x 1＋x 2）2﹣6x 1x 2＝1，∴（41k -）2＋61k -＝1， ∴()()2161160k k ----=，∴()()18120k k ---+=，∴90,10k k -=+=，解得：k ＝9或k ＝﹣1．【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式与方程实根，一元二次方程根与系数关系，掌握一元二次方程根的判别式与方程实根，一元二次方程根与系数关系，利用根与系数关系构造新方程是解题关键．5．已知一元二次方程()22420k x x --+=有两个不相等的实数根．（1）求k 的取值范围；（2）定义：如果两个一元二次方程有且仅有一个相同的实数根，则称这两个方程为“友好方程”，若一元二次方程240x x k -+=与210x mx +-=是友好方程，且k 是符合（1）中条件的最大整数，求此时m 的值．【答案】（1）k ＜4且k ≠2；（2）m =0或m =83-．【分析】（1）根据k -2≠0且240b ac -＞求解即可；（2）k =3，求得240x x k -+=的两个根为121,3x x ==，分别代入210x mx +-=计算即可．【详解】（1）∵一元二次方程()22420k x x --+=有两个不相等的实数根，∴k -2≠0且240b ac -＞，∴k -2≠0且2(4)4(2)20k --⨯-⨯＞，∴k ＜4且k ≠2；（2）∵k ＜4且k ≠2，且k 是最大整数，∴240x x k -+=变形为2430x x -+=，∴(1)(3)0x x --=∴121,3x x ==，当x =1是相同的实数根时，则21110m +⨯-=，解得m =0；当x =3是相同的实数根时，则23310m +⨯-=，解得m = 83-；综上所述，m =0或m =83-．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的定义，一元二次方程的解法，不等式的整数解，熟练将根的判别式具体化，灵活解方程是解题的关键．6．关于x 的一元二次方程()222110x m x m +-+-=有两个不相等的实数根1x ，2x ．（1）求实数m 的取值范围；（2）是否存在实数m ，使得22121216x x x x +=+成立？如果存在，求出m 的值：如果不存在，请说明理由．【答案】（1）m ＜1；（2）m =-1【分析】（1）由方程有两个不相等的实数根，那么△＞0，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之即可得出m 的取值范围；（2）根据根与系数的关系即可得出x 1+x 2=-2（m -1），x 1•x 2=m 2-1，由条件可得出关于m 的方程，解之即可得出m 的值．【详解】解：（1）∵方程x 2+2（m -1）x +m 2-1=0有两个不相等的实数根x 1，x 2．∴△=4（m -1）2-4（m 2-1）=-8m +8＞0，∴m<1；（2）∵原方程的两个实数根为x 1、x 2，∴x 1+x 2=-2（m -1），x 1•x 2=m 2-1．∴(x 1+x 2)2＝16+3x 1x 2，∴4（m -1）2=16+3（m 2-1），解得：m 1=-1，m 2=9，∵m ＜1，∴m 2=9舍去，即m =-1．【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据方程有两个不相等的实数根找出根与系数的关系；（2）根据根与系数的关系得出m 的值，注意不能忽视判别式应满足的条件．7．已知关于x 的一元二次方程()26410x x m -++=有实数根．（1）求m 的取值范围；（2）若该方程的一个实数根为1，求m 的值及方程的另一个根．【答案】（1）m ≤2；（2）m =1；另一个根为5【分析】（1）根据根的判别式大于或等于零求解即可；（2）把x =1代入()26410x x m -++=求出m 的值，利用根与系数的关系即可求出方程的另一个根．【详解】解：（1）由题意，得36-4(4m +1) ≥0，解得m ≤2；（2）把x =1代入()26410x x m -++=，得 ()16410m -++=，解得m =1；设另一根为x 2，则1+ x 2=6，解得x 2=5，∴方程的另一个根为5．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，根的判别式，以及根与系数的关系，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．8．已知关于x 的一元二次方程24230x x m -++=有两个不相等的实数根1x ，2x ．（1）求m 的取值范围；（2）若22121213x x x x +-≤，且m 为整数，求m 的值．【答案】（1）12m <；（2）m=-1或m=0 【分析】（1）根据根的判别式，可得到关于m 的不等式，则可求得m 的取值范围；（2）由根与系数的关系，用m 表示出两根积、求两根和，由已知条件可得到关于m 的不等式，则可求得m 的取值范围，再求其值即可．【详解】解：（1）由题可得，2(4)4(23)48m m ∆=--+=-方程有两个不相等的实数根，0∴∆>即480m ->．解得12m < （2）由根与系数的关系可得124x x +=，1223x x m =+．22121213x x x x +-≤)21212(313x x x x ∴+-≤即243(23)13m -+≤，解得1m ≥-由（1）可得112m -≤<又m 为整数， 1m ∴=-或0m =【点睛】本题主要考查根与系数的关系及根的判别式，利用根的判别式求得m 的取值范围是解题的关键，注意方程根的定义的运用．9．已知关于x 的方程x 2﹣（k +1）x +14k 2+1＝0，根据下列条件，分别求出k 的值．（1）方程两实根的积为5；（2）方程的两实根x 1，x 2满足|x 1|＝x 2．【答案】（1）4；（2）32【分析】（1）根据二次函数的性质和根的判别式即可求出k 的值；（2）把已知等式两边平分可得到（x 1+x 2）（x 1﹣x 2）＝0，则x 1+x 2＝0或x 1﹣x 2＝0，继而可得：k +1＝0或△＝0，再分别求出k ，然后根据（1）中k 的取值范围即可求得k 的值【详解】解：（1）根据题意得△＝（k +1）2﹣4（14k 2+1）≥0，解得k ≥32， x 1+x 2＝k +1，x 1x 2＝14k 2+1， ∵x 1x 2＝5， ∴14k 2+1＝5，解得k ＝±4， ∵k ≥32， ∴k 的值为4；（2）∵|x 1|＝x 2，∴x 12＝x 22，∴（x 1+x 2）（x 1﹣x 2）＝0，∴x 1+x 2＝0或x 1﹣x 2＝0，∴k +1＝0或△＝0，∴k ＝﹣1或k ＝32， ∴k 的值为32．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，解题的关键是熟练运用一元二次方程的有关知识点．10．已知关于x 的一元二次方程26(21)0x x m -++=有实数根．（1）求m 的取值范围；（2）如果方程的两个实数根为1x 、2x ，且1212220x x x x ++>，求m 的取值范围．【答案】（1）4m ≤；（2）3＜4m ≤．【分析】（1）由一元二次方程26(21)0x x m -++=有实数根，得到△≥0即2(-6)-4(2m 1)+≥0，解不等式即可；（2）先利用根与系数关系定理，得1x +2x =6，1x 2x =2m +1，代入1212220x x x x ++>，求得m 的一个范围，最后联立根的判别式确定范围即可．【详解】（1）∵一元二次方程26(21)0x x m -++=有实数根，∴△≥0即2(-6)-4(2m 1)+≥0，∴9-2m -1≥0，解得：4m ≤（2）∵一元二次方程26(21)0x x m -++=的两个实数根为1x 、2x ，∴1x +2x =6，1x 2x =2m +1，∵1212220x x x x ++>，∴6+2（2m +1）＞20，解得m ＞3，∵4m ≤，∴m 的取值范围是3＜4m ≤．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数关系定理，结合具体方程将根与系数关系定理具体化，整体代入计算是解题的关键．11．已知关于x 的方程（k +1）x 2+（3k ﹣1）x +2k ﹣2＝0（1）求证：无论k 取何值，此方程总有实数根；（2）若此方程有两个整数根，求正整数k 的值；（3）若一元二次方程（k +1）x 2+（3k ﹣1）x +2k ﹣2＝0满足|x 1﹣x 2|＝3，求k 的值．【答案】（1）见解析；（2）k ＝1或k ＝3；（3）k 的值为﹣3或0【分析】（1）分k +1=0和k +1≠0两种情况考虑：当k +1=0时，方程为一元一次方程，有实数根；当k +1≠0时，根的判别式△=（k -3）2≥0，由此可得出方程有实数根．综上即可证出结论；（2）由方程有两个实数根，可得出k ≠-1，利用求根公式求出x 1、x 2的值，由x 1=-1和x 2为整数以及k 为正整数，即可求出k 的值；（3）结合（2）的结论即可得出关于k 的含绝对值符号的分式方程，解方程即可得出结论，经检验后，此题得解．【详解】解：（1）证明：当k +1=0，即k =-1时，原方程为-4x -4=0，解得：x =-1；当k +1≠0，即k ≠-1时，△=（3k -1）2-4（k +1）（2k -2）=k 2-6k +9=（k -3）2≥0， ∴方程有实数根，综上可知：无论k 取何值，此方程总有实数根；（2）∵方程有两个整数根，∴()1133121k k x k -+-==-+，()()()2133214=-2+21+1k+1k k k x k k ----==+，且k ≠﹣1， ∵x 2为整数，k 为正整数，∴k =1或k =3；（3）由（2）得x 1=-1，24-2+k+1x =，且k ≠-1， ∴|x 1-x 2|=44-1--2+13k+11k ⎛⎫=-= ⎪+⎝⎭，解得：k =-3或k =0，经检验k =﹣3或k =0是原方程的解，故k 的值为﹣3或0．【点睛】本题考查了根的判别式、解含绝对值符号的分式方程以及利用公式法解方程，解题的关键是：（1）分k +1=0和k +1≠0两种情况考虑；（2）找出x 1=﹣1，24-2+k+1x =；（3）找出关于k 的含绝对值符号的分式方程．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，利用根的判别式的符号得出方程解的情况是关键．12．已知关于x 的一元二次方程()22230x m x m +++=有两根α，β．（1）求m 的取值范围；（2）若()()111αβ++=，求m 的值．【答案】（1）3m 4≥-；（2）m 3= 【分析】（1）利用判别式得到()222340m m =+-≥，然后解不等式即可；（2）根据根与系数的关系得到()23m αβ+=-+，2m αβ=，由已知得到 0αβαβ++=，代入得到关于m 的方程，解方程即可求得m 的值．【详解】（1）由题意知：()22242340b ac m m =-=+-≥，解得：3m 4≥-， ∴m 的取值范围是3m 4≥-；（2）由根与系数关系可知：()23m αβ+=-+，2m αβ=，∵()()111αβ++=，∴ 0αβαβ++=，即()2230m m -+=，解得：1231m m ==-，(舍去)，∴m 的值为3．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，若12x x 、是一元二次方程20ax bx c ++=(0a ≠)的两根时，12b x x a +=-，12c x x a=． 13．已知一元二次方程（a ﹣3）x 2﹣4x+3＝0．（1）若方程的一个根为x ＝﹣1，求a 的值；（2）若方程有实数根，求满足条件的正整数a 的值．【答案】（1）a=-4．（2）a=1或2或4．【分析】（1）把x=-1代入方程求出a 即可．（2）利用判别式根据不等式即可解决问题．【详解】解：（1）∵方程的一个根为x=-1，∴a-3+4+3=0，∴a=-4．（2）∵方程有实数根，∴△≥0且a≠3，∴16-12（a-3）≥0，解得a≤133，a≠3， ∵a 是正整数，∴a=1或2或4．【点睛】本题属于根的判别式，一元二次方程的解等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．14．已知关于x 的一元二次方程220x x k +-=有两个不相等的实数根．（1）求k 的取值范围（2）若k 为（1）中的最小整数，请求出此时方程的根．【答案】（1）1k >-；（2）12x =-，20x =【分析】（1）根据方程根的情况可得24440b ac k ∆=-=+>，求解即可；（2）将k 的值代入，求解一元二次方程即可．【详解】解：（1）方程有两个不相等的实数根，24440b ac k ∴∆=-=+>，解得1k >-．k ∴的取值范围为1k >-；（2）k 为（1）中的最小整数0k ∴=∴方程为220x x +=解得：12x =-，20x =．【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，掌握24b ac ∆=-与一元二次方程根的情况是解题的关键．15．已知关于x 的一元二次方程222x x m -+=有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围；（2）当1m =时，求方程222x x m -+=的解．【答案】（1）3m <；（2）1211x x ==【分析】（1）根据分的判别式求解即可；（2）根据公式法计算即可；【详解】解：()1根据题意得：()2()2421240m m ∆=-=-->-，解得3m <；()2当1m =时，原方程为2210x x --=，()22(41)28--∆=⨯-=，∴22x ±=，解得1211x x ==【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和公式法求解，准确计算是解题的关键． 16．已知关于x 的一元二次方程222(1)30x m x m m --+-=．（1）若该方程有实数根，求m 的取值范围；（2）若12,x x 是方程的两个实数根，且122x x -=，求m 的值；（3）已知等腰ABC 的一边长为10，若12,x x 恰好是ABC 另外两边的边长，求这个三角形的周长．【答案】（1）m≥-1；（2）m=0；（3）24或38【分析】（1）令判别式△≥0，解不等式即可；（2）根据方程得出()1221x x m +=-，2123x x m m =-，再由122x x -=得到122x x -==，代入得到方程，解之即可；（3）分10为等腰三角形的腰和底两种情况分别求解．【详解】解：（1）∵方程222(1)30x m x m m --+-=有实数根，∴()224(1)4130m m m =--⨯⨯-≥△，解得：m≥-1；（2）∵12,x x 是方程的两个实数根，∴()1221x x m +=-，2123x x m m =-， ∵122x x -==， ∴()()2242143m m m --⎦-=⎡⎤⎣，解得：m=0；（3）当腰长为10时，则x=10是一元二次方程222(1)30x m x m m --+-=的一个解，把x=10代入方程得210020(1)30m m m --+-=，解得m 1=8，m 2=15，当m=8时，x 1+x 2=2（m-1）=14，解得x 2=4，则三角形周长为4+10+10=24；当m=15时，x 1+x 2=2（m-1）=28，解得x 2=18，则三角形周长为10+10+18=38；当10为等腰三角形的底边时，则x 1=x 2，所以m=-1，方程化为2440x x ++=，解得x 1=x 2=-2，故舍去；综上所述，这个三角形的周长为24或38．【点睛】本题考查了根与系数的关系、根的判别式，三角形三边关系，等腰三角形的性质，同时考查了学生的综合应用能力及推理能力．17．已知关于x 的一元二次方程22210x kx k k -+++=有两个实数根．（1）试求k 的取值范围；（2）若此方程的两个实数根12x x 、，是否存在实数k ，满足12112x x +=-，若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）1k ≤-；（2）存在，1k =-．【分析】（1）由根的判别式0∆≥，即可得出关于k 的一元一次不等式，解之即可得出k 的取值范围；（2）由根与系数的关系，得到122x x k +=，2121x x k k =++，然后解关于k 的一元二次方程，即可求出答案．【详解】解：（1）∵此方程有两个实数根，∴0∆≥即222411k k k ∆=--⨯⨯++（）（）440k =--≥，∴1k ≤-；（2）存在．根据题意，∵一元二次方程22210x kx k k -+++=，∴122x x k +=，2121x x k k =++， ∴122121211221x x k x x x x k k ++===-++， ∴121k k ==-符合题意，即1k =-；【点睛】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的定义以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据根的判别式△＞0，列出关于k 的一元一次不等式；（2）根据根与系数的关系求出k 值．18．已知关于x 的方程22(21)10x m x m +-+-=．（1）m 为何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）若抛物线y =22(21)1x m x m +-+-交x 轴于A ，B 两点，且AB =3，求m 的值．【答案】（1）m ＜54；（2）-1．【分析】（1）求出判别式△，令△＞0，解不等式即可求解；（2）设A （x 1，0），B （x 2，0），则x 1+x 2=﹣2m +1，x 1x 2=m 2﹣1，利用两点间的坐标公式可得关于m 的方程，解方程即可．【详解】解：（1）由题意，得，⊿=（2m -1）2-4（m 2-1）=﹣4m +5＞0，解得，m ＜54故当m ＜54时，方程有两个不相等的实数根；（2）设A （x 1，0），B （x 2，0），则x 1+x 2=﹣2m +1，x 1x 2=m 2﹣1，AB =|x 1﹣x 2=，3=.解得，m =﹣1（m ＜54）故m 的值为﹣1．【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练掌握根的判别式，根与系数的关系，两点间的坐标公式．19．如果关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．（1）说明方程29180x x ++=是倍根方程；（2）若一元二次方程20x bx c ++=是倍根方程，且方程有一个根为4，求b 、c 的值．【答案】（1）见解析；（2）6b =-，8c =或12b =-，32c =．【分析】（1）求出该方程的两个根，判断两个根的关系即可．（2）根据20x bx c ++=是倍根方程，可知另一根为2或8．即可分类讨论求出该一元二次方程，即可求出b 、c ．【详解】（1）∵29180x x ++=， ()()360x x ++=，13x =-，26x =-．∵6-是3-的2倍，∴29180x x ++=是倍根方程；（2）∵20x bx c ++=是倍根方程，且有一个根为4，则另一根为2或8． ①当两根为4和2时，()()242680x x x x --=-+=，∴6b =-，8c =．②当两根为4和8时，()()24812320x x x x --=-+=，∴12b =-，32c =，综上所述：6b =-，8c =或12b =-，32c =．【点睛】本题考查解一元二次方程以及根据一元二次方程根的情况求参数．根据题干理解倍根方程的定义是解答本题的关键．20．已知关于x 的一元二次方程22(21)0x m x m +++=有两个实数根1x 和2x ．（1）求实数m 的取值范围；（2）当22120x x -=时，求m 的值．【答案】（1）14m ≥-；（2）14m =-.【分析】（1）根据判别式△=24b ac -≥0求解即可；(2)分解因式,确定两个根之间的关系,后根据判别式计算即可. 【详解】(1)∵关于x 的一元二次方程22(21)0x m x m +++=有两个实数根1x 和2x ． ∴△=22(21)4m m +-≥0, ∴14m ≥-; (2) ∵22120x x -=∴1212()()0x x x x -+=, ∴120x x -=或120x x +=, ∴△=0或2m+1=0, 解得14m =-或12m =-(舍去),∴14m =-. 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与判别式的关系,根与系数的关系定理,熟记根的判别式和根与系数关系定理是解题的关键.21．关于x 的一元二次方程22(23)0x m x m +-+=有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围；（2）若1x 、2x 是方程的两根，且12111x x +=，求m 的值．【答案】（1）34m <；（2）3- 【分析】（1）根据一元二次方程判别式的性质计算，即可得到答案；（2）根据一元二次方程根与系数的关系、分式方程、一元二次方程判别式的性质计算，即可得到答案．【详解】（1）根据题意，得()222340m m ∆=-->，解得：34m <；（2）根据题意，得：()122332x x m m +=--=-，212x x m =∵12111x x +=，即12121·x xx x += ∴2321mm -= 解得：1m =或3m =- ∵34m <∴1m =舍去当3m =-时，20m ≠ ∴m 的值是3-．【点睛】本题考查了一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程判别式、一元二次方程根与系数关系、一元一次不等式、分式方程的性质，从而完成求解． 22．已知关于x 的一元二次方程()222320x m x m -+++=．（1）若方程有实数根，求实数m 的取值范围；（2）若方程的两个实数根分别为12,x x ，且满足22121231x x x x +=+，求实数m 的值．【答案】（1）112m ≥-（2）2m =【解析】试题分析：（1）若方程有实数根，则△≥0，解不等式即可；（2）由根与系数的关系得到1223x x m +=+，2122x x m =+，由21220x x m =+>和22121231x x x x +=+，得到22121231x x x x +=+，即21212()313x x x x +=+，代入即可得到结果．试题解析：（1）∵关于x 的一元二次方程()222320x m x m -+++=有实数根，∴△≥0，即22(23)4(2)0m m +-+≥，∴112m ≥-；（2）根据题意得1223x x m +=+，2122x x m =+，∵21220x x m =+>，∴1212x x x x =，∵22121231x x x x +=+，∴22121231x x x x +=+，∴21212()313x x x x +=+，即22(23)313(2)m m +=++，解得m=2，m=﹣14（舍去），∴m=2．考点：1．根的判别式；2．根与系数的关系；3．综合题．23．已知关于x 的一元二次方程220x x k +-=有两个不相等的实数根．（1）求k 的取值范围；（2）若方程的两个不相等实数根是a ，b ，求111a ab -++的值．【答案】（1）k>-1；（2）1 【分析】（1）根据∆>0列不等式求解即可；（2）根据根与系数的关系求出a+b 、ab 的值，然后代入所给代数式计算即可. 【详解】解：（1）由题意得 ∆=4+4k>0， ∴k>-1；（2）∵a+b=-2，ab=-k ， ∴111a ab -++ =()()()()1111a b a a b +-+++=11ab ab a b -+++=121k k ----+=1. 【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）根的判别式与根的关系，以及根与系数的关系，若x 1，x 2为方程的两个根，则x 1，x 2与系数的关系式：12bx x a +=-，12c x x a⋅=． 24．已知关于x 的一元二次方程24280x x k --+=有两个实数根12,x x ．（1）求k 的取值范围；（2）若33121224x x x x +=，求k 的值．【答案】(1) 2k ≥；(2) =3k 【分析】(1)根据0∆≥建立不等式即可求解；(2)先提取公因式对等式变形为2121212()224⎡⎤+-=⎣⎦x x x x x x ，再结合韦达定理求解即可．【详解】解：(1)由题意可知，2(4)41(28)0∆=--⨯⨯-+≥k ，整理得：16+8320-≥k ，解得：2k ≥，∴k 的取值范围是：2k ≥．故答案为：2k ≥．(2)由题意得：3321212121212()224⎡⎤+=+-=⎣⎦x x x x x x x x x x ，由韦达定理可知：12+=4x x ，1228=-+x x k ，故有：2(28)42(28)24⎡⎤-+--+=⎣⎦k k ，整理得：2430k k -+=，解得：12=3,1=k k ，又由(1)中可知2k ≥， ∴k 的值为=3k ．故答案为：=3k ．【点睛】本题考查了一元二次方程判别式、根与系数的关系、韦达定理、一元二次方程的解法等知识点，当∆＞0时，方程有两个不相等的实数根；当∆=0时，方程有两个相等的实数根；当∆＜0时，方程没有实数根．25．已知关于x 的方程2410x x k -++=有两实数根．（1）求k 的取值范围；（2）设方程两实数根分别为1x 、2x ，且1212334x x x x +=-，求实数k 的值．【答案】（1）k≤3；（2）3k =-．【分析】（1）根据方程有两个实数根得出△＝()()24411k --⨯⨯+≥0，解之可得．（2）利用根与系数的关系可用k 表示出x 1＋x 2和x 1x 2的值，根据条件可得到关于k 的方程，可求得k 的值，注意利用根的判别式进行取舍．【详解】解：（1）∵关于x 的一元二次方程2410x x k -++=有两个实数根， ∴△≥0，即()()24411k --⨯⨯+≥0，解得：k≤3，故k 的取值范围为：k≤3．（2）由根与系数的关系可得124x x +=，121x x k =+由1212334x x x x +=-可得()12121234x x x x x x +=-，代入x 1＋x 2和x 1x 2的值，可得：12141k k =+-+ 解得：13k =-，25k =（舍去），经检验，3k =-是原方程的根，故3k =-．【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a≠0，a ，b ，c 为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根以及根与系数的关系，也考查了解一元二次方程和分式方程，注意分式方程要验根．26．已知1x ，2x 是一元二次方程2220x x k -++=的两个实数根．（1）求k 的取值范围；（2）是否存在实数k ，使得等式12112k x x +=-成立？如果存在，请求出k 的值，如果不存在，请说明理由．【答案】（1）1k ≤-；（2）k =【分析】（1）根据方程的系数结合∆≥0，即可得出关于k 的一元一次不等式，解之即可得出k 的取值范围；（2）根据根与系数的关系可得出x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝k ＋2，结合12112k x x +=-，即可得出关于k 的方程，解之即可得出k 值，再结合（1）即可得出结论．【详解】解：（1）∵一元二次方程有两个实数根， ∴2(2)4(2)0k ∆=--+ 解得1k ≤-；（2）由一元二次方程根与系数关系，12122,2x x x x k +==+ ∵12112k x x +=-， ∴1212222x x k x x k +==-+ 即(2)(2)2k k +-=，解得k = 又由（1）知：1k ≤-，∴k = 【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）根据根与系数的关系结合12112k x x +=-，找出关于k 的方程． 27．已知关于x 的方程22210x x k -+-=有实数根．(1)求k 的取值范围；(2)设方程的两根分别是1x 、2x ，且211212x x x x x x +=⋅，试求k 的值．【答案】(1)1k ≤；(2)k =. 【分析】(1)根据一元二次方程22210x x k -+-=有两个不相等的实数根得到()()224210k ∆=---≥，求出k 的取值范围即可；(2)根据根与系数的关系得出方程解答即可．【详解】(1)解：∵原方程有实数根，∴240b ac -≥，∴()()224210k ---≥， ∴1k ≤.(2)∵1x ，2x 是方程的两根，根据一元二次方程根与系数的关系，得：122x x +=，1221x x k ⋅=-，又∵211212x x x x x x +=⋅， ∴22121212x x x x x x +=⋅⋅， ∴()()221212122x x x x x x +-=⋅， ∴()()22222121k k --=-，解之，得：12k =，22k =-．经检验，都符合原分式方程的根， ∵1k ≤，∴k =．【点睛】本题主要考查了根的判别式以及根与系数关系的知识，解答本题的关键是根据根的判别式的意义求出k 的取值范围，此题难度不大．。

根与系数的关系练习题

一元二次方程根与系数的关系1、如果方程ax2+bx+c=0(a ≠0)的两根是x 1、x 2，那么x 1+x 2= ，x 1·x 2= 。

2、已知x 1、x 2是方程2x 2+3x －4=0的两个根，那么：x 1+x 2= ；x 1·x 2= ；2111x x +；x 21+x 22= ；(x 1+1)(x 2+1)= ；｜x 1－x 2｜= 。

3、以2和3为根的一元二次方程(二次项系数为1)是。

4、如果关于x 的一元二次方程x2+2x+a=0的一个根是1－2，那么另一个根是，a 的值为。

5、如果关于x 的方程x 2+6x+k=0的两根差为2，那么k= 。

6、已知方程2x2+mx －4=0两根的绝对值相等，则m= 。

7、一元二次方程px 2+qx+r=0(p ≠0)的两根为0和－1，则q ∶p= 。

8、已知方程x2－mx+2=0的两根互为相反数，则m= 。

9、已知关于x 的一元二次方程(a2－1)x 2－(a+1)x+1=0两根互为倒数，则a= 。

10、已知关于x 的一元二次方程mx 2－4x －6=0的两根为x 1和x 2，且x 1+x 2=－2，则m= ，(x 1+x 2)21x x ⋅= 。

11、已知方程3x 2+x －1=0，要使方程两根的平方和为913，那么常数项应改为。

12、已知一元二次方程的两根之和为5，两根之积为6，则这个方程为。

13、若α、β为实数且｜α+β－3｜+(2－αβ)2=0，则以α、β为根的一元二次方程为。

(其中二次项系数为1)14、已知关于x 的一元二次方程x2－2(m －1)x+m 2=0。

若方程的两根互为倒数，则m= ；若方程两根之和与两根积互为相反数，则m= 。

15、已知方程x2+4x －2m=0的一个根α比另一个根β小4，则α= ；β= ；m= 。

16、已知关于x 的方程x2－3x+k=0的两根立方和为0，则k=17、已知关于x 的方程x 2－3mx+2(m －1)=0的两根为x 1、x 2，且43x 1x 121-=+，则m= 。

韦达定理(根与系数的关系)全面练习题及答案

1、韦达定理（根与系数的关系）韦达定理：对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a丰0），如果方程有两个实数根x,x,那么12说明：定理成立的条件A>0练习题一、填空：1、如果一兀二次方程ax2+bx+c=0（a丰0）的两根为x,x，那么x+x=1212xx=.122、如果方程x2+px+q=0的两根为x,x，那么x+x=,xx=.1212123、方程2x2-3x-1=0的两根为x,x，那么x+x=,xx=.1212124、如果一元二次方程x2+mx+n二0的两根互为相反数，那么m=；如果两根互为倒数,5方程x2+mx+（n-1）=0的两个根是2和一4,那么m=,n=.6、以x,x为根的一元二次方程（二次项系数为1）是127、以<3+1,v3-1为根的一元二次方程是.8、若两数和为3,两数积为一4,则这两数分别为.9、以3+迈和3-迈为根的一元二次方程是.10、若两数和为4,两数积为3,则这两数分别为.11、已知方程2x2+3x-4二0的两根为x,x，那么x2+x2=.121212、若方程x2-6x+m=0的一个根是3-j2,则另一根是,m的值是.13、若方程x2-（k-1）x-k-1=0的两根互为相反数，则k=，若两根互为倒数，贝Uk=.14、如果是关于x的万程x2+mx+n=0的根是-詔2和J3，那么x2+mx+n在实数范围内可分解为.二已知方程x2—3x—2—0的两根为x，且>x,求下列各式的值:1212(1 )x2+x2=；(2)11+= 12x x12(3 )(x一x)2—=；(4)(x+1)(x+1)=. 1212三、选择题：1、关于x的方程2x2-8x-p=0有一个正根，一个负根，则p的值是（）（A）0（B）正数（C）—8（D）—42、已知方程x2+2x—1=0的两根是x,x，那么x2x+xx2+1—()12(A)－7 (B)3 (C)7 (D)—33、已知方程2x2—x—3—0的两根为x,x12 那么丄+丄=（）xx12（B）1(C)3 (D)4、下列方程中，两个实数根之和为2的一元次方程是(A)x2+2x—3—0 (B)x2—2x+3—0(C)x2—2x—3—0 (D)x2+2x+3—05、若方程4x2+（a2—3a-10）x+4a—0的两根互为相反数, 则a的值是（(A)5或—2 (B)5 (C)—2 (D)—5或26、若方程2x2—3x—4—0的两根是x,x，那么(x+1)(x1211(C)2 +1）的值是（(B)—6 （D）-27、分别以方程x2—2x—1=0两根的平方为根的方程是（C)y2—6y—1—0(D)y2+6y一1—0(A)y2+6y+1—0 (B)y2一6y+1—0四、解答题:1、若关于x的方程5x2+23x+m=0的一个根是一5,求另一个根及m的值.2、关于x的方程x2+2(m-2)x+m2+4二0有两个实数根，且这两根平方和比两根积大21.求m的值.3、若关于x的方程x2+(m-2)x-m-3=0两根的平方和是9.求m的值.4、已知方程x2-3x-m二0的两根之差的平方是7,求m的值.5、已知方程x2+(m2-4m-5)x+m=0的两根互为相反数，求m的值.6、关于x的方程3x2-(4m2-1)x+m(m+2)=0的两实数根之和等于两实数根的倒数和，求m的值.7、已知方程x2-2x+3m=0，若两根之差为一4,求m的值.8、已知x,x是一元二次方程4kx2-4kx+k+1二0的两个实数根.123(1)是否存在实数k，使(2x-x)(x-2x)二-一成立？若存在，求出k的值；若不存在，请12122您说明理由.⑵求使九+•-2的值为整数的实数k的整数值.xx21韦达定理；肘于一元二次方程ax 3+^+^0^*0）.如果方程有两个窝雜根环E ・那么丙+Aj=__，片％=-aa说明：定理成立的条件也±0练习题iK 如果一元二次方程o?+址+G =0S 古叭的两根为工厂旳，那么心+勺工_£2、如果方程工"卡戸工+《弓0的两根为為’x ±,那么百*0=_1&孔=―I①方程2+—H 工一1"的两根为f 那么斗+斗巧匸士一-涉如果一元二次方稈十+淞E+丹土0的两根互丸相反数.那么rn=PJ 如果两根互为倒数.那么祥=_...护趕++楓子厲-120的两个根是2和一4、那么m=2."-7.以.旺，观为根的一元二次方程（二抿项系数为O 是代宀七入九沁、以舲+1,再-1为银的一元…祢方稈是％-2怡喘池可T,斑nl 若两数和为趴踽数积为-4,则这两敢分别為壬TA 曲_口？馭齢血利3-迈再根的一元二次方程是上也如壬 kd@若两数和为4,两数厂-门，瓦这两数分别为」和占II 、已期方穆2d+3工一4=U 的茁郴为“，j 心，那虫工；于工；@若方理宀钳+协=0的一卡根2近.耻I -根是丄坐_，用的值鬼J_.售琥d 塑），若方程讹-1）—七-1=0的两覘耳知皈数“则"_L ・若两根互为倒数，则"竺.严炭贅关于”的方程一F+酥+姑=0的根是-近和更、邯么F+吟严右険数范川內出分解为（世环Q 【環也）,答案: 根与系数的关系（韦达定理） —、填空:9、g已知方jix3-jj-2=o的两根为卧小且7筍亠“求下列各貳的值：⑶匚―可『==；⑷佃+1)(工严1)=—.—■三、选择题；@关于x的方程2Sp=0有-牛正根，一个负根・则p的值是(ja>)(A)0(B)正数(C)-8<D)~42、已知方程x z+2i-l=0的两根是冲x2.削么彳珀卡旺帀'42(B(A)-7(B)3{(：)了(D)-3氛已知方程空疋-工-3"的两根为书.%那么丄+丄=©A〉円x i”电(A)-|(B)+(C)3(D)-3瑾®'下测方理中，两个实数根之和为2的一元二次方程是(匚)(A)x5+2x~3=0CB)j2-2x+3=Q免钮1(C)F-2—3=0(D)J2+2x+3=O形若方程4?+(/—加―】哄+硼二0的弊互曲相反数，则"的帶1是〔C> tA)5或一2(B)5(C)-2(□)-5或26.若方程"-脈-斗=G的两根是鬲』补那么詬+i〕g+D的值是(C)(A)—扌(B)-6(C)|(D)殆@为别以方程工―2—1-0两根杓平方为根的方程是(B)%■<缜二工■,儿仏二-I矗=了求曲的值，呼1+孙：一尊1%H 屈Qn 山械一小-.叙知九十*二A M 叩 [7k +Jk^-旳Ml 二^|.二-S*L yt-卒gd -上(韭华,“対s 站叮，也么、叔4y网二7盘亠丨m H 料r 寻]二w(K.+ViJ-4>«=74—f 二切=』石-J ，仃工X-$%占=f£tQ7•迩己知X ］，号是一元二祝方程4fac s -4^+A+1=0的两个实数根.3⑴是否存程实数帚便俗I--qH 咼-2即=-二成立？若存在，求出A 的直；若平存也请您说明理由.d 二協’必f ““二W£*■J ■号虫S”⑵求使A +2__2的值为整数的实坡丘的鰹数学.X?斗m 的值.>tKi ，T 十41曰- 丁-仆（厲T ）（器叶1":Pz 「匕—I@己知方程x 1-2x+^m=0・若两根之差为Q 求朋的值一I"创冷一缈5左&乜乔戚宜癸£a 4窗巳*试2T%亠fr~i.^'*-??d -1—◎二讥“埠£ 厶二-耳“$£.心f-7Z+■/A0关于工的方程如'-（4用*」找十粗佃+2］二0的两实数根之和等于两实数很的倒数和，求。

初三数学上册根与系数关系练习题

初三数学上册一元二次方程根与系数的关系练习题1、知方程01242=+-m x x 的根之比是3:2，求m 的值2、知关于x 的一元二次方程012=-+kx x（1）求证：方程有两个不相等的实数根（2）设方程的两个212121,x x x x x x =+且满足，求k 的值3、关于x 的一元二次的方程212,01)1(2x x k x k kx 有两个不相等的实数根=-++-(1)、求k 的取值范围。

(2)是否存在实数k,使11121=+x x 成立？若存在求出k 的值，若不存在说明理由4、关于x 的方程04)2(2=+++kx k kx有两个相等的实数根（1）、求k 的取值范围（2）、是否存在k ，使两根之和等于0？若存在求k 的值，若不存在说明理由5、已知关于x 的一元二次方程)0(02)12(2>=-+--m m x m mx（1）、证明：此方程方程有两个不相等的实数根.（2）、的值求）且（是这个方程的两个实数根m m x x x x ,5)3(3,,2121=--6、关于x 的一元二次的方程的两个根互为相反数，04)183(322=+---a x a a x 求a 的值，方程的两个解7、关于x 的一元二次的方程032222=+++k kx x的两个实数根为21,x x 问是否存在实数k ，使其521=+x x 成立？若存在求k 的值，若不存在说明理由8、关于x 的方程04)2(222=++++m x m x 有两个实数根，且这两个根的平方和比两个实数根的积大40，求m 的值9、关于x 的一元二次的方程0252=+-x ax有两个同号实数根，试判断这两个同号实根是两个负根，还是两个正根，说明理由10、若21,x x 关于x 的一元二次的方程0)1(4422=+-+m x m x的两个非零实根，问这两个根是否能同号？若能同号，请写出相应的m 的取值范围，并指出两根的正负；若不能同号，说明理由11、关于x 的方程01)12()1(2=++-+-k x k x k 有两个不相等的实数根（1）、求k 的值（2）、是否存在k,使方程的两个实根满足22121+=+x x x x ，若存在说明理由，若不存在，请说明理由。

根与系数的关系(压轴题专项讲练)(原卷版)—2024-2025学年九年级数学上册压轴题专项(人教版)

根与系数的关系分类讨论思想：当问题所给的对象不能进行统一研究时，我们就需要对研究对象进行分类，然后对每一类分别进行研究，得出每一类的结论，最后综合各类的结果，得到整个问题的解答。

分类讨论的分类并非是随心所欲的，而是要遵循以下基本原则：1. 不重（互斥性）不漏（完备性）；2. 按同一标准划分（同一性）；3. 逐级分类（逐级性）。

一、一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根是，那么，.注意：它的使用条件为a≠0，Δ≥0.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.【典例1】已知：关于x的一元二次方程kx2+2x+1―2k=0有两个实数根x1，x2．（1）若|x1|+|x2|=k的值；（2）当k取哪些整数时，x1，x2均为整数；（3）当k取哪些有理数时，x1，x2均为整数．（1）分两种情况：①若两根同号，②若两根异号；根据根与系数的关系结合根的判别式解答即可；（2）根据根与系数的关系可得若x1+x2=―2k为整数，可得整数k=±1,±2，然后结合两根之积、解方程分别验证即可；（3）显然，当k=―1时，符合题意；由两根之积可得k应该是整数的倒数，不妨设k=1m，则方程可变形21xx，abxx-=+21acxx=21为x 2+2mx +m ―2=0，即为(x +m )2=m 2―m +2，再结合整数的意义即可解答．解：（1）∵Δ=22―4k (1―2k )=4―4k +8k 2=8k 2―12k =8k+72>0，∴不论k 为何值，关于x 的一元二次方程kx 2+2x +1―2k =0都有两个实数根x 1，x 2，∵关于x 的一元二次方程kx 2+2x +1―2k =0有两个实数根x 1，x 2，∴x 1+x 2=―2k ,x 1x 2=1―2kk，分两种情况：①若两根同号，由|x 1|+|x 2|=x 1+x 2=x 1+x 2=―当x 1+x 2=―2k =k =―当x 1+x 2=――2k =―k =②若两根异号，由|x 1|+|x 2|=(x 1―x 2)2=8，即(x 1+x 2)2―4x 1x 2=8，∴――4×1―2kk=8，解得：k =1，综上，k 的值为1或 ±（2）∵关于x 的一元二次方程kx 2+2x +1―2k =0有两个实数根x 1，x 2，∴x 1+x 2=―2k ,x 1x 2=1―2k k，若x 1，x 2均为整数，则x 1+x 2=―2k 为整数，∴整数k =±1,±2，当k =±2时，x 1x 2=1―2kk不是整数，故应该舍去；当k =1时，此时方程为x 2+2x ―1=0，方程的两个根不是整数，故舍去；当k =―1时，此时方程为―x 2+2x +3=0，方程的两个根为x 1=―1,x 2=3，都是整数，符合题意；综上，当k 取―1时，x 1，x 2均为整数；（3）显然，当k =―1时，符合题意；当k 为有理数时，由于x 1x 2=1―2kk=1k ―2为整数，∴k 应该是整数的倒数，不妨设k =1m (m ≠0)，m 为整数，则方程kx 2+2x +1―2k =0即为x 2+2mx +m ―2=0，配方得：(x +m )2=m 2―m +2，即x =―m±当m =2即k =12时，方程的两根为x 1=0,x 2=―4，都是整数，符合题意；当m ≠2时，m 2―m +2=(m ―12)2+74不是完全平方数，故不存在其它整数m 的值使上式成立；综上，k =―1或12．1．（22-23九年级上·湖北襄阳·自主招生）设方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)有两个根x 1和x 2，且1<x 1<2<x 2<4，那么方程cx 2―bx +a =0的较小根x 3的范围为( )A ．12<x 3<1B ．―4<x 3<―2C ．―12<x 3<―14D ．―1<x 3<―122．（22-23九年级下·安徽安庆·阶段练习）若方程x 2+2px ―3p ―2=0的两个不相等的实数根x 1、x 2满足x 12+x 13=4―(x 22+x 23)，则实数p 的所有值之和为（）A ．0B ．―34C ．―1D ．―543．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）若关于x 的一元二次方程x 2―2x +a 2+b 2+ab =0的两个根为x 1=m ，x 2=n ，且a +b =1．下列说法正确的个数为（）①m·n ＞0；②m >0，n >0；③a 2≥a ；④关于x 的一元二次方程(x +1)2+a 2―a =0的两个根为x 1=m ―2，x 2=n ―2．A ．1B ．2C ．3D ．44．（22-23九年级上·浙江·自主招生）设a 、b 、c 、d 是4个两两不同的实数，若a 、b 是方程x 2―8cx ―9d =0的解，c 、d 是方程x 2―8ax ―9b =0的解，则a +b +c +d 的值为．5．（23-24九年级上·江苏南通·阶段练习）已知实数a,b,c 满足：a +b +c =2,abc =4．求|a |+|b |+|c |的最小值．6．（22-23九年级上·四川成都·期末）将两个关于x 的一元二次方程整理成a (x +ℎ)2+k ＝0（a ≠0，a 、h、k均为常数）的形式，如果只有系数a不同，其余完全相同，我们就称这样的两个方程为“同源二次方程”．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）与方程(x+1)2―2=0是“同源二次方程”，且方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个根为x1、x2，则b－2c＝，ax1+x1x2+ax2的最大值是．7．（23-24九年级上·山东济南·期末）已知xy+x+y=44，x2y+xy2=484，求x3+y3．8．（2024九年级·全国·竞赛）记一元二次方程x2+3x―5=0的两根分别为x1、x2．（1）求1x1―1+1x2―1的值；（2）求3x21+6x1+x22的值．9．（23-24九年级下·北京·开学考试）已知关于x的方程x2―2mx+m2―n=0有两个不相等的实数根．（1）求n的取值范围；（2）若n为符合条件的最小整数，且该方程的较大根是较小根的3倍，求m的值．10．（23-24九年级上·安徽淮南·阶段练习）若关于x的一元二次方程x2+2x―m2―m=0．（1）若α和β分别是该方程的两个根，且αβ=―2，求m的值；（2）当m=1，2，3，⋅⋅⋅，2024时，相应的一元二次方程的两个根分别记为α1、β1，α2、β2，⋅⋅⋅，α2024、β2024，求1α1+1β1+1α2+1β2+⋯+1α2024+1β2024的值．11．（22-23九年级上·湖北武汉·期中）已知α、β是关于x的一元二次方程x2+(2m+3)x+m2=0的两个不相等的实数根（1）直接写出m的取值范围（2）若满足1α+1β=―1，求m的值．（3）若α>2，求证：β>2；12．（22-23九年级·浙江·自主招生）已知方程x2+4x+1=0的两根是α、β．（1）求|α―β|的值；（2（3）求作一个新的一元二次方程，使其两根分别等于α、β的倒数的立方．（参考公式：x3+y3=(x+y) x2+y2―xy．13．（22-23九年级上·福建泉州·期末）已知关于x的方程mx2―(m―1)x+2=0有实数根．（1）若方程的两根之和为整数，求m的值；（2）若方程的根为有理根，求整数m的值．14．（22-23九年级下·浙江·自主招生）设m为整数，关于x的方程(m2+m―2)x2―(7m+2)x+12=0有两个整数实根．（1）求m的值．（2）设△ABC的三边长a,b,c满足c=2+a2m―12a=0,m2+b2m―12b=0．求△ABC的面积．15．（22-23九年级上·湖南常德·材料1：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1，x2，则x1+x2=―ba ，x1x2=ca．材料2：已知一元二次方程x2―x―1=0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值．解：∵一元二次方程x2―x―1=0的两个实数根分别为m，n，∴m+n=1，mn=―1，则m2n+mn2=mn(m+n)=―1×1=―1．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：（1）材料理解：一元二次方程x2―3x―1=0的两个根为x1，x2，则x1+x2=___________，x1x2= ___________．（2）类比应用：已知一元二次方程x2―3x―1=0的两根分别为m、n，求nm +mn的值．（3）思维拓展：已知实数s、t满足s2―3s―1=0，t2―3t―1=0，且s≠t，求1s ―1t的值．16．（23-24八年级上·北京海淀·期中）小聪学习多项式研究了多项式值为0的问题，发现当mx+n=0或px+q=0时，多项式A=(mx+n)(px+q)=mpx2+(mq+np)x+nq的值为0，把此时x的值称为多项式A的零点．（1）已知多项式(3x+1)(x―2)，则此多项式的零点为__________；有一个零点为1，求多项式B的另一个零点；（2）已知多项式B=(x―1)(bx+c)=ax2―(a―1)x―a2（3）小聪继续研究(x―3)(x―1)，x(x―4)及x――x轴上表示这些多项式零点的两个点关于直线x=2对称，他把这些多项式称为“2系多项式”．若多项式M=(2ax+b)(cx―5c)=bx2―4cx―2a―4是“2系多项式”，求a与c的值．17．（22-23九年级上·湖北黄石·期末）（1）x1，x2是关于x的一元二次方程x2―2(k+1)x+k2+2=0的两实根，且(x1+1)⋅(x2+1)=8，求k的值．（2）已知：α，β(α>β)是一元二次方程x2―x―1=0的两个实数根，设s1=α+β，s2=α2+β2，…，s n=αn+βn．根据根的定义，有α2―α―1=0，β2―β―1=0，将两式相加，得α2+β2―(α+β)―2=0，于是，得s2―s1―2=0．根据以上信息，解答下列问题：①直接写出s1，s2的值．②经计算可得：s3=4，s4=7，s5=11，当n≥3时，请猜想s n，s n―1，s n―2之间满足的数量关系，并给出证明．18．（23-24九年级上·福建宁德·期中）已知关于x的方程x2―(m+2)x+4m=0有两个实数根x1,x2，其中x1<x2．（1）若m=―1，求x12+x22的值；（2）一次函数y=3x+1的图像上有两点A(x1,y1),B(x2,y2)，若AB=m的值；（3）边长为整数的直角三角形，其中两直角边的长度恰好为x1和x2，求该直角三角形的面积．19．（22-23九年级上·全国·单元测试）如果方程x2+px+q=0有两个实数根x1，x2，那么x1+x2=―p，x1x2=q，请根据以上结论，解决下列问题：（1）已知a，b是方程x2+15x+5=0的二根，则ab +ba=?（2）已知a、b、c满足a+b+c=0，abc=16，求正数c的最小值．（3）结合二元一次方程组的相关知识，解决问题：已知x=x1y=y1和x=x2y=y2是关于x，y的方程组x2―y+k=0x―y=1的两个不相等的实数解．问：是否存在实数k，使得y1y2―x1x2―x2x1=2若存在，求出的k值，若不存在，请说明理由．20．（22-23九年级上·四川资阳·期末）定义：已知x，x是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)<4，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程x2的两个实数根，若x1<x2<0，且3<x1x2<4，所以一元二次方程x2+13x+30=0的两根为x1=―10，x2=―3，因―10<―3<0，3<―10―3+13x+30=0为“限根方程”．请阅读以上材料，回答下列问题：（1）判断一元二次方程x2+9x+14=0是否为“限根方程”，并说明理由；（2）若关于x的一元二次方程2x2+(k+7)x+k2+3=0是“限根方程”，且两根x1、x2满足x1+x2+x1x2 =―1，求k的值；（3）若关于x的一元二次方程x2+(1―m)x―m=0是“限根方程”，求m的取值范围．。

根与系数关系练习题

一元二次方程练习题2 一、填空题1、已知21x x ，是方程04722=+-x x 的两根，则21x x +＝，21x x ＝，221)(x x -＝2、若关于x 的方程01)2()2(22=+---x m x m 的两个根互为倒数，则m ＝。

3、如果5)1(222+++-m x m x 是一个完全平方式，则m = ；4、已知方程)4()3)(1(2-=--m x m x x 两根的和与两根的积相等，则m = ;5、已知方程0132=+-x x 的两个根为α,β，则α+β= , αβ= ; 6、若方程01)12(22=++--m x m x 有实数根，则m 的取值范围是二、解答题7、一元二次方程02=++q px x 两个根分别是32+和32-，求p 、q 的值8、已知方程01932=+-m x x 的一个根是1，求它的另一个根及m 的值9、若方程012=-+mx x 的两个实数根互为相反数，求m 的值。

10、n m 、是关于x 的方程01)12(22=++--m x m x 的两个实数根，求代数式n m 的值。

12、如果关于x 的方程042=+-m x x 与022=--m x x 有一个根相同，求m 的值13、已知3－ 2 是方程072=++mx x 的一个根，求另一个根及m 的值。

14、m 取什么值时，方程012)14(222=-++-m x m x （1）有两个不相等的实数根，（2）有两个相等的实数根，（3）没有实数根；15、已知a 是实数，且方程0122=++ax x 有两个不相等的实根，试判别方程0)1(21122222=---++a x a ax x 有无实根？16、设21x x ，是方程03422=-+x x 的两根，利用根与系数关系求下列各式的值：)1)(1()1(21++x x 、 2111)2(x x +、 2112)3(x x x x +、 121212)4(x x x x ++、17、方程x 2+3x+m=0中的m 是什么数值时，方程的两个实数根满足：(1)一个根比另一个根大2；(2)一个根是另一个根的3倍；(3)两根差的平方是1718、已知a,b,c 是三角形的三边长，且方程(a 2+b 2+c 2)x 2+2(a+b+c)x+3=0有两个相等的实数根，求证：这个三角形是正三角形19、已知关于x 的方程0)1(4)12(2=-+--a x a x 的两个根是斜边长为5的直角三角形的两条直角边的长，求这个直角三角形的面积。

韦达定理全面练习题及答案

1、韦达定理（根与系数的关系）韦达定理：对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，如果方程有两个实数根12,x x ，那么1212,b c x x x x a a+=-= 说明：定理成立的条件0∆≥练习题一、填空：1、如果一元二次方程c bx ax ++2=0)(0≠a 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ， 1x 2x = .2、如果方程02=++q px x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = .3、方程01322=--x x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = .4、如果一元二次方程02=++n mx x 的两根互为相反数，那么m = ；如果两根互为倒数，那么n = .5方程0)1(2=-++n mx x 的两个根是2和－4，那么m = ，n = .6、以1x ，2x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是 .7、以13+，13-为根的一元二次方程是 .8、若两数和为3，两数积为－4，则这两数分别为 .9、以23+和23-为根的一元二次方程是 .10、若两数和为4，两数积为3，则这两数分别为 .11、已知方程04322=-+x x 的两根为1x ，2x ，那么2212x x += .12、若方程062=+-m x x 的一个根是23-，则另一根是，m 的值是 .13、若方程01)1(2=----k x k x 的两根互为相反数，则k = ，若两根互为倒数，则k = .14、如果是关于x 的方程02=++n mx x 的根是2-和3，那么n mx x ++2在实数范围内可分解为 .二、已知方程0232=--x x 的两根为1x 、2x ，且1x >2x ,求下列各式的值:（1）2212x x += ；（2）2111x x += ；（3）=-221)(x x = ；（4）)1)(1(21++x x = .三、选择题：1、关于x 的方程p x x --822＝０有一个正根，一个负根，则p 的值是（）（A ）0 （B ）正数（C ）－8 （D ）－42、已知方程122-+x x =0的两根是1x ，2x ，那么=++1221221x x x x （）(A )－7 (B) 3 (C ) 7 (D) －33、已知方程0322=--x x 的两根为1x ，2x ，那么2111x x +=（）(A )－31 (B) 31(C )3 (D) －34、下列方程中，两个实数根之和为2的一元二次方程是（）（A ）0322=-+x x （B ） 0322=+-x x（C ）0322=--x x （D ）0322=++x x5、若方程04)103(422=+--+a x a a x 的两根互为相反数，则a 的值是（） (A )5或－2 (B) 5 (C ) －2 (D) －5或26、若方程04322=--x x 的两根是1x ，2x ，那么)1)(1(21++x x 的值是（）(A )－21(B) －6 (C ) 21 (D) －257、分别以方程122--x x =0两根的平方为根的方程是（）（A ）0162=++y y （B ） 0162=+-y y（C ）0162=--y y （D ）0162=-+y y四、解答题:1、若关于x 的方程02352=++m x x 的一个根是－5，求另一个根及m 的值.2、关于x 的方程04)2(222=++-+m x m x 有两个实数根，且这两根平方和比两根积大21. 求m 的值.3、若关于x 的方程03)2(2=---+m x m x 两根的平方和是9. 求m 的值.4、已知方程032=--m x x 的两根之差的平方是7，求m 的值.5、已知方程0)54(22=+--+m x m m x 的两根互为相反数，求m 的值.6、关于x 的方程0)2()14(322=++--m m x m x 的两实数根之和等于两实数根的倒数和，求m 的值.7、已知方程m x x 322+-=0，若两根之差为－4，求m 的值.8、已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根．(1) 是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请您说明理由．(2) 求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值．答案：。

根与系数关系大题练习

根与系数关系大题练习1．设a ，b ，c 是△ABC 的三条边，关于x 的方程12x 2－12a=0有两个相等的实数根，•方程3cx+2b=2a 的根为x=0．（1）试判断△ABC 的形状．（2）若a ，b 为方程x 2+mx －3m=0的两个根，求m 的值．2．已知a 、b 、c 均为实数，且0)3(|1|12=++++-c b a ，求方程02=++c bx ax 的根。

3．设m 为整数，且4<m<40,方程08144)32(222=+-+--m m x m x 有两个不相等的整数根，求m 的值及方程的根。

4．若方程2220x x -=的两根是 a 和()b a b >，方程240x -=的正根是c ，试判断以,,a b c 为边长的三角形是否存在？若存在，求出它的面积；若不存在，说明理由．5.已知关于x 的一元二次方程 ()22210x k x k k -+++=．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若△ABC 的两边AB AC ，的长是这个方程的两个实数根，第三边BC 的长为5，当ABC △是等腰三角形时，求k 的值．答案:1．∵12x 2－12a=0有两个相等的实数根，∴判别式=2－4×12（c －12a ）=0，整理得a+b －2c=0 ①，又∵3cx+2b=2a 的根为x=0，∴a=b ②．把②代入①得a=c ，∴a=b=c ，∴△ABC 为等边三角形．（2）a ，b 是方程x 2+mx －3m=0的两个根，所以m 2－4×（－3m ）=0，即m 2+12m=0，∴m 1=0，m 2=－12．当m=0时，原方程的解为x=0（不符合题意，舍去），∴m=12．2．解：∵0)3(,0|1|,012≥+≥+≥-c b a ，又∵0)3(|1|12=++++-c b a ， ∴0)3(|1|12=+=+=-c b a ，∴a=1,b=-1,c=-3,∴方程02=++c bx ax 为032=--x x ，解得2131,213121-=+=x x 。