Removed_第五讲 二次函数与最值问题专题讲座8份
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二次函数的最大值和最小值PPT课件
5 2
ymax 5
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1、 配方，求二次函数的顶点坐标。 2、 判断顶点的横坐标是否在闭区间内。 3、 计算闭区间端点的函数值，并比较大小。
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例3： 求 函 数y x2 ax 3 (a R) 在 区 间[1,1]
上的最大值与最小值
解：
y x2 ax 3 ( x a )2 3 a2
二次函数: y ax2 bx c ( a0 )
a( x b )2 4ac b2
2a
4a
a>0
a<0
y x b
2a
y
b 2a
0
x
4ac b 2
4a
0
x
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例1、求下列二次函数的最大值或最小值
(1) y x2 2x 3
解： y ( x 1)2 4
xR
当x=1时， ymax 4
• 有一块铁皮零件，它的形状是由边长为40cm的正方形CDEF截去一个三角形ABF所得的五边形ABCDE，其 中AF长等于12cm，BF长等于10cm，现在需要截取矩形铁皮，使得矩形相邻两边在CD、DE上，请问，如 何截取，可以使得到的矩形面积最大？
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C
BF
A
D
图1
E
第13页/共19页
当x 3时 当x 1时
26 ymax 5
6 ymin 5
第4页/共19页
( 3 ) y 1 x2 2x 1 x [1, 2]
2
x 2
y
解： y 1 ( x 2)2 3
2
-1
2 [1, 2]
02 x
函数 y = f(x)在[-1，2]上为增函数
九年级数学下册二次函数的最值问题课件冀教版
解题步骤
化为顶点式 → 求对称轴 → 判断对称轴与区间位置关系 → 代入求最小值。
约束条件下最值问题
例题3
已知$x,y$满足$x^2 + y^2 = 4$，求$f(x,y) = x^2 + 2y^2$的最大值和最小值。
解题思路
利用约束条件$x^2 + y^2 = 4$，将$f(x,y)$转化为只含有 一个变量的函数，然后利用二次函数的性质求最值。或者 利用拉格朗日乘数法求解。
二次函数在最值问题中应用
二次函数图像与性质
01
通过二次函数的图像和性质，可以直观地理解最值的存在性和
求解方法。
二次函数与一元二次方程关系
02
利用二次函数与一元二次方程的关系，可以通过解方程来求解
最值问题。
二次函数在实际问题中建模
03
将实际问题抽象为二次函数模型，进而利用二次函数的性质求
解最值。
求解最值问题意义和方法
解题步骤
利用约束条件转化 → 求导找极值点 → 比较极值点与端 点处的函数值确定最值。
例题4
已知$x,y$满足$x + 2y = 1$，且$x > 0, y > 0$，求 $frac{1}{x} + frac{2}{y}$的最小值。
解题思路
将$frac{1}{x} + frac{2}{y}$与约束条件$x + 2y = 1$相 乘，得到$(frac{1}{x} + frac{2}{y})(x + 2y)$，展开后利 用基本不等式求最小值。
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九年级数学下册二次函数 的最值问题课件冀教版
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化为顶点式 → 求对称轴 → 判断对称轴与区间位置关系 → 代入求最小值。
约束条件下最值问题
例题3
已知$x,y$满足$x^2 + y^2 = 4$，求$f(x,y) = x^2 + 2y^2$的最大值和最小值。
解题思路
利用约束条件$x^2 + y^2 = 4$，将$f(x,y)$转化为只含有 一个变量的函数，然后利用二次函数的性质求最值。或者 利用拉格朗日乘数法求解。
二次函数在最值问题中应用
二次函数图像与性质
01
通过二次函数的图像和性质，可以直观地理解最值的存在性和
求解方法。
二次函数与一元二次方程关系
02
利用二次函数与一元二次方程的关系，可以通过解方程来求解
最值问题。
二次函数在实际问题中建模
03
将实际问题抽象为二次函数模型，进而利用二次函数的性质求
解最值。
求解最值问题意义和方法
解题步骤
利用约束条件转化 → 求导找极值点 → 比较极值点与端 点处的函数值确定最值。
例题4
已知$x,y$满足$x + 2y = 1$，且$x > 0, y > 0$，求 $frac{1}{x} + frac{2}{y}$的最小值。
解题思路
将$frac{1}{x} + frac{2}{y}$与约束条件$x + 2y = 1$相 乘，得到$(frac{1}{x} + frac{2}{y})(x + 2y)$，展开后利 用基本不等式求最小值。
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二次函数的最值问题课件
顶点法
总结词
利用二次函数的顶点坐标求最值。
详细描述
根据二次函数的顶点公式$(h, k)$，代入原函数求出最值。当$a > 0$时，函数有最小值；当$a < 0$时，函数有 最大值。
导数法
总结词
通过求导数判断函数的单调性，进而 找到最值点。
详细描述
对二次函数求导得到$f'(x) = 2ax + b$，令导数等于0得到临界点$x = frac{b}{2a}$，通过判断单调性找到最 值点。
复杂的二次函数最值问题
总结词
运用配方法或公式法求最值
详细描述
对于复杂的二次函数，可以通过配方法或公式法求出最值 。配方法是通过配方将二次函数转化为顶点式，再利用顶 点式求最值；公式法是利用公式直接求出二次函数的最值 。
总结词
利用导数求最值
详细描述
对于复杂的二次函数，可以利用导数求出函数的极值点， 再根据极值点的位置和函数的单调性判断最值的位置，从 而求出最值。
总结词
结合实际背景求解
详细描述
对于实际应用中的二次函数最值问题，需要结合实际背景 进行分析。例如，在物理学中，可以利用二次函数的最值 求解物体的最大速度、最小压力等；在经济学中，可以利 用二次函数的最值求解成本最低、利润最大等问题。
06
总结与思考
二次函数最值问题的总结
定义与性质
二次函数最值问题主要研究的是 二次函数在特定条件下的最大值 或最小值。这些条件可能包括函 数的开口方向、顶点位置、定义
详细描述
二次函数是数学中常见的一种函数形式，其一般形式为 y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，且a≠0。a决定了抛 物线的开口方向和宽度，b决定了抛物线的左右位置，c决定 了抛物线的上下位置。
二次函数最值问题专题PPT课件
在区间[ 1，1上有最小值，记作g a
(1)求g a 的函数表达式；（2）求g a 的最大值。
解：⑴ f x 2x2 2ax 3
2(x a )2 a2 3 22
⑵
①当 a 2 时
g(a) 2a 5 1
g(a)
f ( 1)
f (a) 2
f (1)
2a 5
(a 2
1a
2)
a2 2
3( 1
a 2
1
2 a 2)
a 9(x
⑴当
a
13
)2 即
2a
a
6
1时
331
f (x)min
a2 5
f(
0
) 30Βιβλιοθήκη a 1a⑶当即a
3
f(
a2
3
x)min
4a
f
(
1) 3
5
1时
0
0
a
5或a 5
a5
⑵当 1 a 1 即 1 a 1时
333
a
f (x)min
2a
f( ) 0
63 0
(a
a
5)(a1或1)a
0
5
a5
综上：a 5或a 5
思3、 考已讨知论函：数f x 2x2 2ax 3
2a
5
(a 2
1
a
2)
②当
g(a)
③当a
g(a)
2a2
a2 3 2
2.当1<a<2时,函数在[0,1]上单 调递减,在[1,a]上单调递增,
∴当x=1时,ymin=2 当x=0时，ymax=3
3 2
o 1 2x a
例2 求函数y=x2-2x+3在区间[0，a]上的最
(1)求g a 的函数表达式；（2）求g a 的最大值。
解：⑴ f x 2x2 2ax 3
2(x a )2 a2 3 22
⑵
①当 a 2 时
g(a) 2a 5 1
g(a)
f ( 1)
f (a) 2
f (1)
2a 5
(a 2
1a
2)
a2 2
3( 1
a 2
1
2 a 2)
a 9(x
⑴当
a
13
)2 即
2a
a
6
1时
331
f (x)min
a2 5
f(
0
) 30Βιβλιοθήκη a 1a⑶当即a
3
f(
a2
3
x)min
4a
f
(
1) 3
5
1时
0
0
a
5或a 5
a5
⑵当 1 a 1 即 1 a 1时
333
a
f (x)min
2a
f( ) 0
63 0
(a
a
5)(a1或1)a
0
5
a5
综上：a 5或a 5
思3、 考已讨知论函：数f x 2x2 2ax 3
2a
5
(a 2
1
a
2)
②当
g(a)
③当a
g(a)
2a2
a2 3 2
2.当1<a<2时,函数在[0,1]上单 调递减,在[1,a]上单调递增,
∴当x=1时,ymin=2 当x=0时，ymax=3
3 2
o 1 2x a
例2 求函数y=x2-2x+3在区间[0，a]上的最
(完整)二次函数最值课件公开课ppt
（3） 若-1≤X≤5，求y的最值。 y=x2+2x－3的最值
∴ 花圃宽为（24－4x）米 问题2：当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？
⒊会用二次函数表示实际问题中的函数关系来求实际问题中最值。
＝－4x2＋24 x （0<x<6）
(2)当x＝ 时，S ＝ ＝36（平方米） ⑵二次函数
面积为y ，由题意得：
西寨初级中学
⒈掌握二次函数的图象与性质。
⒉会求二次函数顶点坐标，并会根据顶点 坐标求最值。
⒊会用二次函数表示实际问题中的函数关 系来求实际问题中最值。
1.形如y= ax²+bx+c c、a是≠0常数，且
做y关于x的二次函数。
(a、b、 )的函数叫
2.二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)
①开口方向:当a>0时,_开_口_向__上_,当a<0时,开__口_向__下;
(1,-5)
1：已知二次函数y=2x²-4x-3， （2）若2≤X≤5，求y的最值。
(5,27)
（2，-3） (1,-5)
1：已知二次函数y=2x²-4x-3
（3） 若-1≤X≤5，求y的最值。
(5,27)
(-1,3)
(1,-5)
在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔 有二道篱笆的长方形花圃，
b
图象的顶点坐
3
2 a ∴ 0<24－4x ≤8 4≤x<6
∴当x＝4cm时，S最大值＝32 平方米
最大值
4ac b 2 4a
(3) ∵墙的可用长度为8米
A
D
∴ 0<24－4x ≤8 4≤x<6
∴当x＝4cm时，S最大值＝32 平方米 B
∴ 花圃宽为（24－4x）米 问题2：当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？
⒊会用二次函数表示实际问题中的函数关系来求实际问题中最值。
＝－4x2＋24 x （0<x<6）
(2)当x＝ 时，S ＝ ＝36（平方米） ⑵二次函数
面积为y ，由题意得：
西寨初级中学
⒈掌握二次函数的图象与性质。
⒉会求二次函数顶点坐标，并会根据顶点 坐标求最值。
⒊会用二次函数表示实际问题中的函数关 系来求实际问题中最值。
1.形如y= ax²+bx+c c、a是≠0常数，且
做y关于x的二次函数。
(a、b、 )的函数叫
2.二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)
①开口方向:当a>0时,_开_口_向__上_,当a<0时,开__口_向__下;
(1,-5)
1：已知二次函数y=2x²-4x-3， （2）若2≤X≤5，求y的最值。
(5,27)
（2，-3） (1,-5)
1：已知二次函数y=2x²-4x-3
（3） 若-1≤X≤5，求y的最值。
(5,27)
(-1,3)
(1,-5)
在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔 有二道篱笆的长方形花圃，
b
图象的顶点坐
3
2 a ∴ 0<24－4x ≤8 4≤x<6
∴当x＝4cm时，S最大值＝32 平方米
最大值
4ac b 2 4a
(3) ∵墙的可用长度为8米
A
D
∴ 0<24－4x ≤8 4≤x<6
∴当x＝4cm时，S最大值＝32 平方米 B
二次函数的最值问题PPT教学课件
品读课文第三部分,回答问题；
1:作者为什么说大自然是无情的又是慷慨的?
无情的:在作者长城万里行的两年里，大自然让他充
分体验到了难以想象的艰难困苦，甚至面临着生死
考验。 慷慨的:大自然是活生生的教科书。万里长城之行让 作者领略到了万里长城,丝绸之路的文化灵魂，了解 了大西北文明的盛衰和当地的风土人情，并首次发 现了一组岩画，这些都具有特殊的文化意义和文物 价值，特别还使作者意识到了作为一个作家一个中 国人的社会感和使命感!
7、毛索洛斯墓庙 毛索洛斯墓庙位于哈利卡纳素斯，在土耳其的西南方，底部建筑
为长方形，面積是40米(120呎)乘30米(100呎)，高45米(140呎)，其 中墩座墙高20米，柱高12米，金字塔高7米，最顶部的马车雕像高6 米建筑物被墩座墙围住，旁边以石像作装饰，顶部的雕像是四匹马 拉著一架古代双辆战车。
3、法洛斯灯塔 法洛斯灯塔与其余六个奇观绝对是不同，因为它并不
带有任何宗教色彩，纯粹为人民实际生活而建，法洛斯灯 塔的灯光在晚上照耀着整个亚历山港，保护著海上的船只， 另外，它亦是当时世上最高的建筑物。
4与、罗巴得比斯伦岛空巨中像花一园样，考古学家至今都未能找到空中花园的遗迹， 事实上，不少在自己著作中提到空中花园的古人也只是从别人 口
5 隐藏 函数图像
5
2 -3 -2 -1 O x
2 -1 O 1 x
练习:已知函数y=x2+2x+2,xD,求此函数在下列各D中的最值：
1
③ [-2,1] ；④[-3, ]
2
y
y
显示 点 显示 对象
显示 文本对象
5 隐藏 函数图像
5
1 -2 -1 O 1 x
-3 -1
1
二次函数的最值问题 课件(19张PPT)-中考数学一轮复习(浙教版)
∴ 2 x 16 ． 5
探 究
∵w=(x-2)(900-200x)=-200(x-2)(x-4.5)，
拓
∴对称轴为直线 x 2 4.5 13 ． 24
展 ∵a 200 0，
生 长
∴当 2 x 16 时，w随着x的增大而减小.
x/ 元
O
2 16
5
x=
13 4
∴当
x
16
5 时，w取到最大值，最大值为312元.
H
究
问题2 窗户透光面积怎么求？
窗户透光面积=长×宽=AD×AB.
问题3 在这个等量关系中有几个变量？哪个变量作为自变量？
3个．
AD或AB.
问题4 如果设AB为x米，那么你能用x表示AD吗？
AD为 3 7x 米． 4
问 题 背
例 如图，小明家窗户的上部是由两个正方形组成的矩形，窗框 材料总长为6米，如何改进设计才能使窗户透光面积最大，最大面积
=-2(x-50)2+5000．
∴当x=50时，S取到最大值，最大值为5000平方米．
答：与墙垂直的一边AB为50米，矩形果园ABCD的面积最大，
最大值是5000平方米．
问题5 回顾解题过程，你还有什么疑惑吗？
AB一定能取到50米吗？
问
题 解：设矩形果园ABCD的面积为S平方米，AB为x米， 背 则BC为(200-2x)米．
问 题
S/ m2
背
5000
景
S/ m2 5000 4800
问 题 探 究
O
x/ m 100
x=50
x/ m
O
60 100
x=50
问题7 观察函数图象，并说一说二次函数的最值在自变量的哪些值取到？
华东师大版九年级数学下册 课时5 二次函数最值的应用 教学PPT课件
新课导入
二次函数有哪些性质? y随x的变化增减的性质,有最大值或最小值.
新课讲解
知识点1 二次函数的最值
1. 当自变量的取值范围是全体实数时，函数在顶点处取
得最值．即当x＝ b
时，y最值＝
4ac b2 .
2a
4a
当a＞0时，在顶点处取得最小值，此时不存在最大值；
当a＜0时，在顶点处取得最大值，此时不存在最小值．
2
因此，所做矩形窗框的宽为1 m、高为1. 5 m时， 它 的透光面积最大，最大面积是1. 5 m2.
课堂小结
利用二次函数求几何图形面积的最值是二次函数应用 的重点之一，解决此类问题的基本方法是：借助已知条件， 分析几何图形的性质，确定二次函数表达式，再根据二次 函数的图象和性质求出最值，从而解决问题．
新课讲解
(2)若 b
2a
不在自变量的取值范围x1≤x≤x2内，最大值和
最小值同时存在，且函数
在x＝x1，x＝x2时的函数值 中，较大的为最大值，较
小的为最小值，如图②.
新课讲解
3. 易错警示： 当二次函数自变量的取值范围是全体实数时，最值是 最大值还是最小值要根据二次项系数a的正负来确定， 当a＞0时，为最小值，当a＜0时，为最大值．
新课讲解
(1)∵x＝1在0＜x＜2范围内，且a＝1＞0， ∴当x＝1时，y有最小值，y最小值＝－4. ∵x＝1是0＜x＜2范围的中点，在直线x＝1两侧的图 象左右对称，端点处取不到， ∴不存在最大值．
新课讲解
(2)∵x＝1不在2≤x≤3范围内(如图)，而函数y＝x2－2x－3 (2≤x≤3)的图象是抛物线y＝x2－2x－3的一部分，且当 2≤x≤3时，y随x的增大而增大， ∴当x＝3时， y最大值＝32－2×3－3＝0； 当x＝2时， y最小值＝22－2×2－3＝－3.
数学：《二次函数的最值问题》复习PPT课件
当 2 t 3 时 2 ,t 3 ,f(x )在 x 3 处取 ,f( 最 3 ) 2
)在 x 2023 1/处 3/9 取 ,f( 最 3 )授 课1 ：XXX 小 0 1t;2值
11
最值
我们已经复习了含参变量二次函数的最大最小 值问题.那么现在我们考虑如下二次函数的最值 问题.应该如何进行分类呢？ 例3. y=x2-4tx+1在区间[0,3]上的最值.
14
结论
开口向上的含参变二次函数的最值问题,应根据对称轴 与区间的位置关系进行分类：
最大值【2类】、最小值【3类】、最值【4类】
开口向下的含参变二次函数的最值问题,应根据对称轴 与区间的位置关系进行分类：
最大值【3类】、最小值【2类】、最值【4类】
2021/3/9
授课：XXX
15
练习
1. 《数学之友》P18 题型一 第1题
当0 t
当3 4
3 4
t
, f(x)max=f(3)=10-12t, f(x)min=f(2t)=1-4t2. 3 2 , f(x)max=f(0)=1, f(x)min=f(2t)=1-4t2.
当 t 2021/3/9
3 2
时，f(x)max=f(0授)课=：1X,XXf(x)max=f(3)=10-12t.
2021/3/9
授课：XXX
12
最值
例3. y=x2-4tx+1在区间[0,3]上的最值.
解: 函数的对称轴x=2t
当2t<0,t<0时，f(x)max=f(3)=10-12t, f(x)min=f(0)=1.
当 02t3时0 ， t3
2
4
f(x)max=f(3)=10-12t, f(x)min=f(2t)=1-4t2.
)在 x 2023 1/处 3/9 取 ,f( 最 3 )授 课1 ：XXX 小 0 1t;2值
11
最值
我们已经复习了含参变量二次函数的最大最小 值问题.那么现在我们考虑如下二次函数的最值 问题.应该如何进行分类呢？ 例3. y=x2-4tx+1在区间[0,3]上的最值.
14
结论
开口向上的含参变二次函数的最值问题,应根据对称轴 与区间的位置关系进行分类：
最大值【2类】、最小值【3类】、最值【4类】
开口向下的含参变二次函数的最值问题,应根据对称轴 与区间的位置关系进行分类：
最大值【3类】、最小值【2类】、最值【4类】
2021/3/9
授课：XXX
15
练习
1. 《数学之友》P18 题型一 第1题
当0 t
当3 4
3 4
t
, f(x)max=f(3)=10-12t, f(x)min=f(2t)=1-4t2. 3 2 , f(x)max=f(0)=1, f(x)min=f(2t)=1-4t2.
当 t 2021/3/9
3 2
时，f(x)max=f(0授)课=：1X,XXf(x)max=f(3)=10-12t.
2021/3/9
授课：XXX
12
最值
例3. y=x2-4tx+1在区间[0,3]上的最值.
解: 函数的对称轴x=2t
当2t<0,t<0时，f(x)max=f(3)=10-12t, f(x)min=f(0)=1.
当 02t3时0 ， t3
2
4
f(x)max=f(3)=10-12t, f(x)min=f(2t)=1-4t2.
《二次函数的最值》课件
二次函数的最值应用
总结词
了解二次函数最值的实际应用
详细描述
二次函数的最值在实际生活中有着广泛的应用，如建筑学中拱桥的设计、物理学中的抛射运动、经济学中的成本 利润问题等。通过理解和掌握二次函数的最值，可以更好地解决这些实际问题。
03
二次函数最值的实际应用
投资的最优解
总结词
投资组合优化
详细描述
在投资领域，投资者通常面临多种投资选择，如股票、债券、基金等。通过使用二次函数最值的概念 ，可以对投资组合进行优化，以确定最优的投资比例，从而实现最大的收益或最小的风险。
二次函数最值的求法
通过配方法、顶点式、导数法等方法 ，可以求出二次函数的最值。
学习心得分享
01
02
03
理解概念
通过学习本章，我深刻理 解了二次函数最值的定义 和求法，对最值的性质也 有了更深入的认识。
掌握方法
在学习过程中，我掌握了 多种求二次函数最值的方 法，如配方法、顶点式和 导数法等。
实际应用
最大利润问题
总结词
生产与销售策略
详细描述
在生产和销售过程中，企业常常需要制定生产计划和销售策 略。通过建立二次函数模型来表示成本、收益和销售量之间 的关系，可以找到使利润最大的最优解，从而实现企业的盈 利目标。
最小成本问题
总结词
资源分配与调度
详细描述
在资源分配和调度中，最小化成本是一个重要的目标。例如，在物流和运输行业中，运 输成本和时间是关键因素。通过使用二次函数最值的概念，可以优化运输路线和调度方
A 总结词
二次函数的性质总结
B
C
D
解释
这些性质是二次函数的基本特征，对于理 解和解决与二次函数相关的问题非常重要 。
二次函数在自变量取值范围内的增减性与最值初中数学课件
A．1
B．2
C．3
D．4
y
即当x=a时，y取得的最大值为15
3
2 1
∴2a2－4a－1＝15
x
–5 –4 –3 –2 –1 O 1 2 3 4 5
解得a=4或a=-2(舍)
–1
–2
–3
考题归纳
y
3 2 1
–2 –1 O –1
123
所以当x=a时，y取得的最小值为1
即－a2－2a＋3＝1 x
考题归纳
7
6
5 4
－m2－6m－3＝－4
3
2
1 x
–6 –5 –4 –3 –2 –1 O 1 2 3 –1
–2
–3
–4
还有第2种情况哦！
–5
–6
考题归纳
5．(绍兴)已知函数y＝－x2＋bx＋c(b，c为常数)的图象经过点
(0，－3)，(－6，－3)．
(3)当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值． y 5 8 -3
(1)若－1≤x≤0，则y随x的增大而__减__小__； 当x＝___0___时，y有最小值为___2___； 当x＝___-1___时，y有最大值为___5___．
考题归纳
题型1 二次函数已知，x的取值范围确定求最值 1．二次函数y＝x2－2x＋2的图象如图．
(2)若2≤x≤3，则y随x的增大而__增__大__； 当x＝___2___时，y有最小值为__2____； 当x＝___3___时，y有最大值为__5____．
–1
考题归纳
5．(绍兴)已知函数y＝－x2＋bx＋c(b，c为常数)的图象经过点 (0，－3)，(－6，－3)．
(1)求b，c的值； (2)当－4≤x≤0时，求y的最大值； (3)当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值．
二次函数最值知识讲稿
4
22
1
y
当 x1,2 时，
1
1 , 1
如图所示,截取的图象
o1
x 为所求的区间的图象
2, 1
fx f 1 7 m in
fx f11 m ax
1, 7
y
1
1 , 1
o1
1 0, 1
fxm axf00a2
a0,0
fxm axfaa2
当
a2
fx f2 a 2 4 a 4 m a x
即 a22,
综上所述: 0a2
（三）轴定区间动：
y
例3、已知函数 yx22x3
若 x t,t1 ,(t R )求,该函数的
a 2
4
fxminfa2a4212
o
2
4
x
当 a 4 fx m in f4 1 4 7 a
2
练习：已知函数 yx(2ax)(,a R)若
x0,2 时，有最大值 a 2 ，求a的
取值范围。
解：由已知可得对称轴方程为 x a
当 a0 当 0a2
练习：已知函数 y x 2 2 x 1 ,x m ,m 2
求函数的最大值。
解:由已知可得对称轴方程为 x 1
1 当 m21 时 ,即 m 1
fm a x x fm 2 m 2 2 m 1
2 当 m1m2时 ,即 1m1
《3》、区间中点在对称轴右：
当 3 t 1 2
y m f i n 1 4 ,y m f a ( t x 1 ) t2 4 t
（3）、区间在对称轴右边：
当 t 1 时，
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bx c(a 0) h)2 k (a 0) x1 )(x x2 )(a
0)
【典例解析】
例 1．（2010 广州）（2010 广东广州，21，12 分）已知抛物线 y＝－x2＋2x＋2．
（1）该抛物线的对称轴是
，顶点坐标
；
（2）选取适当的数据填入下表，并在图 7 的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象；
最值a
a
0时，当x 0时，当x
b 2a b 2a
时，y有最小值 时，y有最大值
4ac 4a
4ac 4a
b2 b2
； 。
解析式一 两 顶般 点 点式 式 式： ： ：yyy
ax 2 a(x a(x
:50 45. 44. 43. by 42.41.— 4—0.— 3—9.—3—8.by37@.—— 36.35. —34—. ——33.312. 1.2.3.34.0.5.6—.—29.by28.by@27.26.—— 25. 24. 23. 22. by 21.20. — 1—9.by:18.by:17.— 1—6.— 1—5.—1—4.—— 13. 12. 111.0“. ”by: 9M.“OOOKN”b8y.:——7.——6.——5.——4.——3.——2.——1.——
【压轴训练】
1．（2010 眉山）如图，Rt△AB C 是由 Rt△ABC 绕点 A 顺时针旋转得到的，连结 CC 交斜边于点 E，CC 的延长线交 BB 于点 F． （1）证明：△ACE∽△FBE；
（2）设∠ABC= ，∠CAC = ，试探索 、 满足什么关系时，△ACE 与△FBE 是全等三角形，
数关系式是（
）
A、 y 2 x 2 25
B、 y 4 x 2 25
C、 y 2 x 2 5
D、 y 4 x 2 5
B
C
（3）（2010
盐城）给出下列四个函数：
① y x ；② y x ；③ y 1 ；④ y x 2 ． x 0 时，y 随 x 的增大而减小的函数有（ x
A．1 个
B．2 个
式（
）
A． y (x 1)2 3 B． y (x 1)2 3 C． y (x 1)2 3
D． y (x 1)2 3 ．
例 4．（1）（2010
东营）二次函数 y ax 2 bx c 的图形如图所示，则一次函数 y bx ac 与
y a b c 在同一坐标系内的图象大致为（
x
…
…
y
…
…
（3）若该抛物线上两点 A（x1，y1），B（x2，y2）的横坐标满足 x1＞x2＞1，试比较 y1 与 y2 的大小．
y
1
-5-4-3-2-1 O 1 2 3 4 5 x -1
1
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学习改变命运 思考成就未来
例 2．（1）（2010 荆州）若把函数 y=x 的图象用 E（x，x）记，函数 y=2x+1 的图象用 E（x，2x+1）记，
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第四讲 二次函数与最值问题专题讲座
【考点解读】
定义：y ax 2 bx c(a 0)
图象：抛物线
二次函数性质开 增 顶 对口 减 点 称方 性 坐 轴向 标 ：aa（ xaa00200在 在 在 在 b2， ， aba对 对 对 对 ,开 开 4称 称 称 称 a口 口 c4轴 轴 轴 轴 a向 向b的 的 的 的下 上 2 ） 左 右 左 右侧 侧 侧 侧， ， ， ，yyyy随 随 随 随xxxx的 的 的 的增 增 增 增大 大 大 大而 而 而 而增 减 减 增大 少 少 大。 ； 。 ；
2
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例 5． （2010 肇庆）已知二次函数 y x 2 bx c 1的图象过点 P（2,1）。
（1）求证： c 2b 4 ；
（2）求 bc 的最大值；
3 （3）若函数的图象与 x 轴交于点 A（ x1，0 ），B（ x2，0 ），△ABP 的面积是 4 ，求 b 的值。
……则 E（x， x 2 2x 1 ）可以由 E（x， x 2 ）怎样平移得到？（
）
A．向上平移１个单位
B．向下平移１个单位
C．向左平移１个单位
D．向右平移１个单位
A
（2）（2010
丽水）如图，四边形 ABCD 中，∠BAD=∠ACB=90°,
AB=AD,AC=4BC,设 CD 的长为 x，四边形 ABCD 的面积为 y，则 y 与 x 之间的函
）
x
y
y
y
y
y
-1
0 1
x
Ox
Ox
Ox
Ox
A
B
C
D
y
（2）（2010 荆门）二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象如图所示，下列结论错误的是( )
(A)ab＜0
（B)ac＜0
(C)当 x＜2 时，函数值随 x 增大而增大；当 x＞2 时，函数值随 x 增大而减小
o2
x
(D)二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象与 x 轴交点的横坐标就是方程 ax2＋bx＋c＝0 的根。
C．3 个
D．4 个
D ）
例 3．（1）（2010 南充）抛物线 y a(x 1)(x 3)(a 0) 的对称轴是（
）
A、x=1
B、x= 1
C、x= 3
D、x=3
（2）（2010 咸宁）已知抛物0）、O（0，0）、
B（ 3 ， y1 ）、C（3， y2 ）四点，则 y1 与 y2 的大小关系是
A． y1 ＞ y2
B． y1 y2
C． y1 ＜ y2
D．不能确定
（3）（2010 宁夏）．把抛物线 y x2 向左平移 1 个单位，然后向上平移 3 个单位，则平移后抛物线的表达
:50 45. 44. 43. by 42.41.— 4—0.— 3—9.—3—8.by37@.—— 36.35. —34—. ——33.312. 1.2.3.34.0.5.6—.—29.by28.by@27.26.—— 25. 24. 23. 22. by 21.20. — 1—9.by:18.by:17.— 1—6.— 1—5.—1—4.—— 13. 12. 111.0“. ”by: 9M.“OOOKN”b8y.:——7.——6.——5.——4.——3.——2.——1.——