最优控制总结

最优控制理论总结

宫庆义2010.6.30

1. 最优控制问题可用下列泛函表示:

[][]0()00min (),(),(),..(1)()(),(),,()(2)(),0

f

t f f t u t f f J x t t L x t u t t dt s t x

t f x t u t t x t x x t t ϕψ∈Ω

⎡⎤=+⎣⎦==⎡⎤=⎣⎦⎰

2. 最优控制的应用类型:

(一) 积分型性能指标: []0

(),(),f

t t J L x t u t t dt =

⎰

(1) 最小时间控制: 00f

t f t J dt t t ==-⎰

(2) 最少燃耗控制: 0

1

()f

m

t j

t j J u t dt ==

∑⎰

(3) 最少能量控制: 0

()()f

t T t J u t u t dt =

⎰

(二) 末值型性能指标: (),f f J x t t ϕ⎡⎤=⎣⎦ (三) 复合性能指标:

(1) 状态调节器:

011()()()()()()22f t T T T

f f t J x t Fx t x t Qx t u t Ru t dt ⎡⎤=++⎣

⎦⎰ (2) 输出跟踪系统:

011()()()()()()()()()22

f t T T T

f f t J e t Fe t e t Qe t u t Ru t dt e t z t y t ⎡⎤=

++=-⎣⎦⎰

3. 欧拉-拉格朗日方程:

0L d L x d t x ∂∂⎛⎫

-= ⎪∂∂⎝⎭

注: 若

()

min (,,)..(,,)0f

t x t J g x x

t dt s t f x x

t ==⎰ (,,,)(,,)()(,,)T

L x x

t g x x t t f x x t λλ=+

例题:

(1)求通过点(0,0)及(1,1)且使1

20

()J x x

dt =+⎰

取极值的轨迹*()x t 解: 欧拉-拉格朗日方程: 2(2)0d

x x dt

-

= 即 0x x -= ()c o s h s i n h

x t a t b t =+ 由初始条件:(0)00x a =⇒= 末端条件: 1

(1)1sinh1

x b =⇒= 因而极值轨迹为:*

1

()sinh sinh1

x t t = (2)求使指标1

230

()J x

x dt =

+⎰

取极值的轨迹*()x t , *(0)0x = 解:这是终端自由的情况, 欧拉-拉格朗日方程为:

()2230d

x x dt

+= 即 223x x C += 令()x

t at b =+ 由(0)00x b =⇒= 又末端自由, 横截条件为:

231

0f

t t L

x x x

=∂⎡⎤=+=⎣⎦

∂ 即 2230a a +=

得:0a =或23a =-, *

()0,0x t J ==对应局部极小, *24(),327

x t t J =-=对应局部极大

(3)设系统状态方程: x u = 边界条件为: (0)1,()0,f f x x t t ==自由

性能指标为: 20

12f t f J t u dt =+⎰ 要求确定最优控制*

u , 使J 最小

解: 这是f t 自由问题, 末端状态固定, ()0f x t =是满足约束集的特殊情况, 即 (),()0f f f x t t x t ψ⎡⎤==⎣⎦

(),f f f x t t t ϕ⎡⎤=⎣⎦

哈密顿函数: 2

12

H u u λ=

+ 正则方程: 0H

H

x

u x

λ

λ

∂∂===-=∂∂ 控制方程: 0H

u u u

λλ∂=+=⇒=-∂

()1f f

H t t ϕ

∂=-

=-∂ 即 : 221()()10()2f f f t t t λλλ-+=⇒=

由正则方程: ()0t λ

= 所以 ()t λ=

于是 *()u t =

再由正则方程: x

u λ==- 可得()x t c =+ 由初始条件 (0)1x = 得 1c =

故最优轨迹为: *()1x t =+ *

()02

f f x t t =⇒=

(4) 设系统的状态方程为: ()()()x

t x t u t =-+ 边界条件为: (0)1,()0f x x t ==, 求()u t , 使22

1()2f t J x u dt =+⎰为最小

解: 22

1()()2

H x u x u λ=++-+

协态方程和控制方程为: H x x λ

λ∂=-=-+∂ H

u u

λ∂=+=0∂ 即 u λ=- 故可得正则方程: ()()()x

t x t t λ=-- ()()()t x t t λλ=-+ 拉氏变换: ()(0)()()sX s x X s s λ-=-- ()(0)())s s X s s λλλ-=-+( 解代数方程得:

()(0)(0)

()(0)(0)

s x X s x λ=

=

拉氏反变换:

(

)(

)(

)()()(0)1)1)(0)()(0)1)1)(0)t e x e x t e

e x λλλ⎤=

-++⎦⎡⎤=-++⎣

⎦

由: (0)1,()0f x x t ==得

:

(0)f f

λ=

*

()()1)1)u t t e

e

λ⎧⎫⎪⎤=-=-+⎬⎦⎪⎭

注: 拉氏变换表