伪谱最优控制方法

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最优控制问题中两种伪谱法的异同

０
（一１），另外ｘｉ是由（七＝０，ｌ …．， Ⅳ）和Ｕｔ（ｋ＝１，２ …．， Ⅳ）
ｆ — ｆ Ⅳ
通过Ｇａｕｓｓ求积分来定义
＝＋
厶
Ｙ￣ｏｋＦ（Ｘｋ，，；ｔｏ，ｔ１）
当Ｎ是偶数时：
１Ｗ０ＷⅣ 。
～
＝
南ｃｏｓ２ｚｊｓ， … ，Ｎ
１
（） ≈ （）＝ｘ（ｒ１）厶（），
ｉ＝０
当Ｎ是奇数时：ｗ０ｗⅣ
此外，控制变量用一个Ｎ次Ｌａｇｒａｎｇｅ插值多项式
Ⅳ 兀
ｒ
【关键词】最优控制问题；Ｇ＆ｕｓｓ伪谱法；Ｃｈｅｂｙｓｈｅｖ伪谱法
（ＣＧＬ）点，在对性能指标逼近时用的是Ｃｉｅｎｓｈａｗ— Ｃｕｒｔｉｓ积分。类似一于Ｇａｕｓｓ伪谱法的过程，我们可以把该问题转化为一个ＮＬＰ问题『。
种形式，直接法和间接法。研究表明，伪谱法对于求解最优控制问题具有良好的收敛性和较低的初值敏感度。随着应用领域的一系列成功和多种新型伪谱法的提出。伪谱法成为最优控制数值求解领域最为活跃
的分支。目前较为通用的是伪谱法。Ｇａｕｓｓ伪谱法：Ｇａｕｓｓ伪谱法是对Ｌｅｇｅｎｄｒｅ伪谱法的改进，该方法也是基于Ｌｅｇｅｎｄｒｅ正交多项式，但Ｇａｕｓｓ伪谱优控制问题中两种伪谱法的异同

伪谱法求解非光滑最优控制问题的网格优化

ｐｓｅｕｄｏｓｐｅｃｔｒａｌｍｅｔｈｏｄｓｔＯｓｏｌｖｅｎｏｎ — ｓｍｏｏｔｈｏｐｔｉｍａｌｃｏｎｔｒｏｌｐｒｏｂｌｅｍｓ．Ｔｏｉｎｃｒｅａｓｅｔｈｅｒａｔｅｏｆｔｈｅｍｅｓｈｂｒｅａｋ — ｐｏｉｎｔｓｃｏｎｖｅｒｇｉｎｇｔｏｔｈｅｐｒａｃｔｉｃａｌｎｏｎ — ｓｍｏｏｔｈｐｏｉｎｔｓ，ａｎｏｐｔｉｍａｌｍｅｓｈｓｅｇｍｅｎｔａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄｉｓｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄｔｏｔｈｅ
理论上最佳的分段点位置即为不光滑点的所在位置借助非线性规划求解器强大的求解能力这种方式能用较少的迭代次数使分段点收敛至不光一般是含有较多设计变量的大规模非线性规划问题将少量的网格分段点作为设计变量纳入其中并不会对其求解速度有明显影响因此迭代次数的减少即意味着计算效率的提高
第３５卷
第１１期
中图分类号：Ｏ２３２
文献标志码：Ａ
ＤＯＩ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００１ — ５０６Ｘ．２０１３．１１．２７
ＯｐｔｉｍａｌｍｅｓｈｓｅｇｍｅｎｔａｔｉｏｎａｌｇｏｒｉｔｈｍｆｏｒｐｓｅｕｄＯｓｐｅｃｔｒａｌｍｅｔｈｏｄｓｆｏｒｎｏｎ。ｓｍｏｏｔｈｏｐｔｉｍａｌｃｏｎｔｒｏｌｐｒｏｂｌｅｍｓ

基于Gauss伪谱法的飞机最优目标瞄准控制

文章编号：１００１．９０８１（２０１３）１１ — ３２９１ — ０５
ＣＯＤＥＮＪＹＩＩＤＵ
ｈｔｔｐ：／／ｗｗｗ．ｊｏｃａ．ａｎ
ｄｏｉ：１０．１１７７２／ｊ．ｉｓｓｎ．１００１ — ９０８１．２０１３．１１．３２９１
ＪｏｕｎａｒｌｏｆＣｏｍｐｕｔｅｒＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ
ＩＳＳＮ１００１．９０８１
２０１３．１１．０ｌ
计算机应用，２０１３，３３（１１）：３２９１ —３２９５
ｅｑｕａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｉｒａｃｒｆｔａＷａＳｍｏｄｅｌｅｄ，ｔｈｅｔｗｏ－ｓｔａｇｅｔａｒｇｅｔｉｍｉａｎｇｃｏｎｄｉｔｉｏｎｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎＷａＳｄｅｄｕｃｅｄ，ａｎｄｔｈｅｏｐｔｉｍａｌｉｎｄｅｘＷａＳ
２．９５３８８Ｕｎｉｔ，ＷｕｈａｎＨｕｂｅｉ４３０２２２，Ｃｈｉａ）ｎ
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎｏｒｄｅｒｔｏｒｅａｌｉｚｅａｉｒｃｒａｆｔｏｐｔｉｍａｌｔａｒｇｅｔａｉｍｉｎｇｉｎｔｈｅｓｉｔｕａｔｉｏｎｏｆｃｏｍｂａｔｄｕｅｌ，ａｃｏｎｔｒｏｌｍｅｔｈｏｄｂａｓｅｄｏｎ

采用伪谱法的再入飞行器最优反馈制导方法

采用伪谱法的再入飞行器最优反馈制导方法
崔锋
【期刊名称】《机械设计与制造工程》
【年(卷),期】2011(040)019
【摘要】将伪谱最优反馈控制理论应用于再入飞行器制导研究,使用伪谱法进行在线轨道重构,实时反馈更新当前轨道控制量迎角和倾斜角,达到实时最优反馈制导的目的,并采用无量纲化、弹性约束和自适应反馈更新等策略保证算法的实时性.再入飞行仿真表明,轨道重构可以满足实时性要求,阵风干扰下飞行器能达到所要求的终端约束条件,并且制导指令不会出现增加控制难度的抖动现象.
【总页数】5页(P42-45,56)
【作者】崔锋
【作者单位】上海飞机设计研究院,上海200232
【正文语种】中文
【中图分类】V412.4
【相关文献】
1.采用PWPF调节器的再入飞行器最优控制分配方法 [J], 王涛;曹晓瑞;张洪波;汤国建
2.基于伪谱法的固定采样实时最优制导方法研究 [J], 王丽英;张友安
3.基于Gauss伪谱法的制导炸弹最优弹道研究 [J], 庞威;谢晓方;孙涛;郑力会;孙海文
4.基于Legendre伪谱法的远程最优拦截初制导方法 [J], 谭丽芬;闫野;周英;唐国
金
5.采用伪谱法的再入飞行器最优反馈制导方法 [J], 崔锋
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采用伪谱法的再入飞行器最优反馈制导方法

・
智能控制技术・崔锋采用伪谱法的再人飞行器最优反馈制导方洼
Ｒ “ 并且，
ｋｔ（）＝Ｈｔ ∈ Ｕ（，ｔ）（，ｔ）（）ｔ（）
４３
旋转角速度、飞行器距地面高度以及速度，表示为
ｒ＝ＲＤＵ，＝（・ＴＵ，＝ｈ／Ｕ，＝／ＣＯＵｈＤＶ
率；依赖于加热模型的常数。ｋ是使用在线轨道重构并实时更新制导指令，不而
考虑传统意义上的终端能量管理，将飞行器从返回
初始点制导至进场着陆段起点。由于进场着陆段制导方案具有一定的自适应能力，回终端速度、返
目前再入飞行器制导方法【］卜多数采用降阶
的动力学模型，线设计参考剖面，离比如阻力加速度剖面，并在线进行跟踪。但这类方法需要根据任务目标，费大量的人力和时间进行参考轨道和跟耗
踪算法增益设计，对再人飞行中干扰和故障的处理不够灵活，不具备在线重规划能力。Ｓｈｒｎｃｉｍａｅ等Ｊ出了最优路径制导算法，算法具有一定提该的在线重规划能力，但需要离线生成可行轨道数据库。另外，研究发现，使用降阶的低精度动力学模型进行分析设计，低估飞行器的实际操控能会力［ｌ４。近年来，伪谱法被证明可以应用于飞行器再入
＋左）ｏｓ７ｏＡ—ｃｓｓ￣ｉＡ（）ｃｓ（ｉｃｓｎｏＴｉｅｎ）４ｎｓ

hp自适应伪谱法

hp自适应伪谱法HP自适应伪谱法(High Precision Adaptive Pseudospectral Method)是一种数值求解微分方程的方法，它可以在较短的时间内得到非常精确的数值解。

该方法已经被广泛地应用于许多领域，例如力学、物理、化学、工程等等。

HP自适应伪谱法是伪谱法的一种改进，它是经过二十多年的发展而来的。

所谓伪谱法，即利用Chebyshev的多项式作为基函数进行展开，然后用高阶差分格式得到微分方程的近似解。

这个方法的优点是可以利用快速傅里叶变换来实现快速计算，但是缺点是当解的振荡频率较高时会出现数值不稳定的问题。

HP自适应伪谱法通过对Chebyshev展开系数的误差进行多层次的自适应控制，从而在保持高精度的同时，提高了算法的稳定性。

具体来说，该方法将Chebyshev展开系数分为若干个有限区间，在每个区间内使用不同的展开多项式，从而在频率不同的局部区域内提高展开的精度。

同时，还通过自适应调整每个区间的展开多项式的阶数和节点位置来保持高精度。

这种方法的优点是在精度和稳定性之间找到了一个平衡，在计算繁琐的微分方程时可以取得非常优秀的效果。

HP自适应伪谱法广泛应用于各种方程的求解中，例如热传导方程、传热方程、波动方程、流体力学方程等等。

例如，在传热方程的计算中，HP自适应伪谱法可以快速地求解温度分布，并且在计算过程中自适应地调整展开多项式的阶数和节点位置，从而保持高精度。

在波动方程的计算中，HP自适应伪谱法可以非常准确地计算波动的传播过程，并且可以描述复杂的波动现象，例如激波和震荡等等。

在流体力学方程的计算中，HP自适应伪谱法可以非常准确地计算流体的速度和压力分布，并且可以描述复杂的流体现象，例如湍流和旋涡等等。

总之，HP自适应伪谱法是一种高效而稳定的数值计算方法，它已经被广泛地应用于物理、工程等领域中的各种微分方程的求解中。

随着计算能力的提高和算法技术的不断改进，HP自适应伪谱法在未来的应用前景非常广阔。

高斯伪谱法轨迹优化

高斯伪谱法轨迹优化高斯伪谱法轨迹优化是一种优化算法，它是基于高斯伪谱法和轨迹优化的结合。

这种算法的基本思想是使用数值积分来生成系统的轨迹，然后使用优化技术来确定这些轨迹上的最优解。

高斯伪谱法轨迹优化在多个领域都有应用，包括航天器控制、机器人控制、航空动力学、生物医学工程等。

高斯伪谱法是一种有效的数值积分方法。

它是在时间轴上采用伪谱法对动力学方程进行离散化和数值积分的一种方法。

这种方法利用伪谱法将时间轴分为多个区间，然后在每个区间内采用高斯积分公式来计算积分值。

伪谱法利用Chebyshev-Gauss-Lobatto插值点在时间轴上进行数值积分，它能够有效地保持守恒性、耐受性和可控制性。

这种方法使用高斯多项式来拟合系统的状态变量，从而产生一组节点，然后使用这些节点来计算系统的状态变量。

轨迹优化是一种在系统空间中搜索最优解的技术。

它使用优化算法来最小化或最大化系统的性能指标。

在轨迹优化中，目标是找到系统的最优控制策略，使其能够最大限度地满足预期的性能和性能指标。

优化算法可以是线性规划、非线性规划、演化算法、遗传算法等等，具体的算法选择取决于系统的复杂程度和性质。

高斯伪谱法轨迹优化的优势在于它结合了数值积分和优化技术，利用高斯多项式的快速收敛性和它能够追溯集中点的特性，可以有效地提高系统的控制精度、峰值响应和排除存在的饱和问题。

这种方法还允许在保持控制需要的最小数量移动变量的同时，进行多参数优化，以最小化系统性能的损失。

具体而言，高斯伪谱法轨迹优化的流程是：首先将动力学方程用伪谱法处理离散化和数值积分；然后，为每个控制节点选择动力学转移矩阵；接下来，通过优化方法（例如非线性规划或演化算法）寻找最优控制策略，以最大限度地满足系统的性能指标。

应用高斯伪谱法轨迹优化的实际案例包括控制一个机器人手臂、航天器轨道控制、飞机飞行控制、药物输送系统设计等。

例如，在机器人手臂控制中，这种优化方法可以产生更快、更精确的控制信号，使得机器人可以更快地完成任务。

求解最优控制问题的伪谱法

10
C.Canuto，M.Hussaini，A.Quateroni 和 T.zang，流体动力学中的谱方法。柏林，德国：Springer-Verlag， 1988 年，第 2 章 2006 年 5 月 10 日
2006 年春季 z
16.323 17-5
ˆk 的时候，可以知道采用高斯类积分11 是最优的当计算 u
2006 年 5 月 10 日
2006 年春季
16.323 17-4
谱方法
z DIDO 使用 Legendre 伪谱法，它常广泛用作流体流动建模。
z
DIDO 和直接配置法很像。主要的不同：传统的配置法使用固定阶多项式（例如，三阶）逼近节点间每一段的状态和控制，而 DIDO 使用 Legendre 多项式作为基础逼近多个节点上的变量（覆盖整个区间）现在看函数逼近的谱方法。
− + el ≤ e(x 0 , x e , xe , x f ,τ 0 ,τ e ,τ f ) ≤ eu
（1）
其中 x e
−
− = limε ↑0 x(τ e + ε ) ， x e = limε ↓0 x(τ e + ε )
z
广义问题是确定状态控制对，可能还有事件时间τ e 和τ f ，最小化代价泛函：
− + J (x(⋅), u(⋅),τ 0 ,τ e ,τ f ) = E (x 0 , x e , xe , x f ,τ 0 ,τ e ,τ f ) +
∫τ
受约束于动态约束：
τf
0
F (x(τ ), u(τ ),τ )dτ
（2）
x(τ ) = f (x(τ ), u(τ ),τ )
事件约束（1），以及混合状态控制路径约束：

高斯伪谱法gpops_理论说明

高斯伪谱法gpops 理论说明1. 引言1.1 概述高斯伪谱法（Gaussian Pseudospectral, GPops）是一种在优化问题中广泛应用的数值方法，它基于高斯伪谱法的基本原理，并结合了数值最优控制的思想。

通过将连续时间目标函数离散化为多项式逼近问题，GPops可以更精确地求解优化问题，并得到全局最优解。

1.2 文章结构本文旨在详细介绍和说明高斯伪谱法（GPops）的理论原理及其在优化问题中的应用。

文章分为五个部分：引言、高斯伪谱法理论说明、GPops软件包简介、实际案例研究与应用探讨以及结论与展望。

首先，在引言部分，我们将对本文的内容进行概述，并介绍各节之间的逻辑关系。

1.3 目的本文旨在深入探讨高斯伪谱法（GPops），详细介绍该方法的基本原理及其在优化问题中的应用。

通过对GPops软件包进行简要介绍和使用方法演示，读者能够更加直观地了解和了解该工具箱。

此外，本文还提供一个实际案例研究，以评估高斯伪谱法在具体问题中的适用性，并对其局限性提出改进建议。

最后，我们将总结本文的研究成果，并展望高斯伪谱法在未来的研究和应用方向。

通过本文的阅读，读者可以更好地理解和运用高斯伪谱法解决优化问题。

2. 高斯伪谱法gpops 理论说明2.1 高斯伪谱法基本原理高斯伪谱法（Gauss pseudospectral method），简称gpops，是一种在优化问题中求解动态系统的数值方法。

该方法将动态系统的状态变量和控制变量作为整体进行离散化处理，并利用高次多项式近似来逼近真实的系统演化过程。

与传统的直接方法和间接方法相比，高斯伪谱法具有较好的数值稳定性和求解精度。

具体而言，高斯伪谱法将时间区间分段，并在每个时间段内选取一组特定的节点。

然后，通过对状态变量和控制变量在这些节点上进行插值，以多项式形式逼近它们的真实轨迹。

同时，在连续性约束、终端约束和目标函数等方面引入残差最小化准则，并转化为非线性规划问题。

基于Gauss伪谱法的飞机最优目标瞄准控制

基于Gauss伪谱法的飞机最优目标瞄准控制作者：程建锋董新民薛建平谭雪芹来源：《计算机应用》2013年第11期摘要：为实现战对抗时对逃逸目标的最优瞄准，提出了一种基于高斯伪谱法（GPM）的控制方法。

建立了考虑敏捷性、多约束的飞机动态方程，推导了两阶段目标瞄准条件表达式，并设计优化指标，在此基础上将飞机最优瞄准概括为带约束终端时间未知的多阶最优控制问题。

利用高斯伪谱法将此连续的边值最优控制问题离散并转化为等价的非线性规划（NLP）问题，通过遗传算法（GA）解算其初值，并应用序列二次规划（SQP）算法求解。

仿真结果表明：所设计的控制方法能有效实现对目标的瞄准，满足武器发射条件。

关键词：最优目标瞄准；轨迹优化；高斯伪谱法；序列二次规划；遗传算法0引言现代空战中，在一定态势及约束要求下，为尽快满足武器发射条件，要求载机以最快的速度接近并瞄准目标，缩短攻击准备时间，增加先敌发射机会，减小被敌武器命中的可能性，从而显著提高战机的作战效能。

飞机目标瞄准机动本质是一类终端时刻自由，终端状态固定，且带有控制量、状态量及路径约束的非线性最优控制问题。

目前求解最优控制问题一般包括直接法和间接法。

基于间接法，文献[1-2]研究了最短时间Cobra机动；文献[3]首先研究了过失速飞机最优目标指向机动；文献[4]进一步研究了最优航迹变向和机身目标指向机动。

间接法求解目标瞄准问题精度高，但对初值猜测依赖性强，共轭变量物理意义不明确，且收敛域较小，对于较复杂的多约束非线性优化问题不易求解。

而直接法的基本思想是将最优控制问题直接转化为一个有限维非线性规划（Nonlinear Programming， NLP）问题，它能克服间接法诸多缺点，逐渐成为求解轨迹优化问题的研究热点[5-6]。

高斯伪谱法（Gauss Pseudospectral Method， GPM）是由麻省理工学院的Benson等提出的一种通过同时离散控制变量和状态变量求解最优控制问题的直接方法[7]，随后其又从理论上证明了GPM转化的NLP的KKT（KarushKuhnTucker）条件与原最优控制问题一阶最优必要条件的离散形式具有等价性[8]，因此解算精度较高，同时由于不必猜测共轭变量的初值，大大降低求解最优控制问题的难度。

伪谱最优控制方法

伪谱最优控制方法伪谱最优控制方法是一种用于求解非线性最优控制问题的数值优化方法。

通过离散化状态和控制，将原问题转化为一个非线性规划问题，并利用伪谱方法对其进行求解。

本文将介绍伪谱最优控制方法的基本原理、算法步骤和应用示例。

第一步是对状态和控制变量进行离散化。

通过选择一组状态和控制的离散点，将原问题转化为一个有限维的优化问题。

第二步是引入伪谱权重函数。

通过定义伪谱权重函数，可以近似地表示原问题的动态约束和性能指标。

伪谱权重函数的选择是一个关键步骤，需要根据问题的具体情况进行调整。

第三步是将原问题转化为一个非线性规划问题。

利用伪谱方法，将原问题的动态约束和性能指标表示为离散化的状态和控制变量之间的代数方程。

第四步是求解非线性规划问题。

通过使用现有的优化算法，如序列二次规划法等，求解得到最优控制策略。

以航天器姿态控制为例，伪谱最优控制方法可以用来求解航天器姿态控制问题，即在给定的约束条件下，设计一种最优的控制策略，使得航天器能够按照预定的姿态进行运动。

首先，将航天器的姿态离散化，将姿态变量表示为一组离散的状态变量。

然后，通过引入伪谱权重函数，近似地表示姿态约束和性能指标。

将姿态控制问题转化为一个非线性规划问题，并利用伪谱最优控制方法求解该问题。

通过求解非线性规划问题，可以得到最优的航天器姿态控制策略。

这个策略可以用来指导航天器的实际控制操作，以实现预定的姿态运动。

总结起来，伪谱最优控制方法是一种用于求解非线性最优控制问题的数值优化方法。

它通过离散化状态和控制，引入伪谱权重函数，将原问题转化为一个非线性规划问题，并通过求解该问题得到最优的控制策略。

伪谱最优控制方法在航天器姿态控制等领域已经得到了广泛的应用。

带有控制变量变化率约束的伪谱轨迹优化方法

带有控制变量变化率约束的伪谱轨迹优化方法在工程领域中，伪谱轨迹优化方法被广泛应用于解决动力学系统的最优控制问题。

伪谱轨迹优化方法通过离散化连续时间的问题，将最优控制问题转化为非线性规划问题，从而实现对系统的时间和状态变量的高度精确控制。

而带有控制变量变化率约束的伪谱轨迹优化方法在实际工程应用中更加符合实际情况，因为它可以有效地约束控制变量的变化率，从而避免系统在实际控制中出现过大的震荡。

下面将从多个角度探讨带有控制变量变化率约束的伪谱轨迹优化方法。

1. 控制变量变化率约束的意义在实际控制系统中，控制变量的变化率对系统的稳定性和鲁棒性有着重要的影响。

过大的控制变量变化率可能导致系统出现过大的震荡，甚至失稳。

在进行伪谱轨迹优化时，引入控制变量变化率约束可以有效地限制系统控制变量的变化速度，保证控制过程的平稳性和可控性。

2. 带有控制变量变化率约束的伪谱轨迹优化方法原理带有控制变量变化率约束的伪谱轨迹优化方法是在传统的伪谱轨迹优化框架下引入对控制变量变化率的约束条件。

在对连续时间最优控制问题进行离散化处理后，通过引入控制变量变化率约束条件，将控制变量变化率限制在一定范围内，从而实现对系统控制过程的平滑控制。

这一方法在实际工程中的应用具有重要意义，特别是对于对控制精度要求较高的系统。

3. 实际工程案例分析以飞行器姿态控制为例，带有控制变量变化率约束的伪谱轨迹优化方法在设计飞行器姿态控制律时具有重要意义。

通过限制飞行器姿态控制变量的变化率，可以避免飞行器在实际控制中出现过大的姿态变化，确保了飞行器飞行过程中的平稳性和稳定性。

该方法在实际应用中也能够减小系统控制过程中的能量消耗，提高系统控制的效率和可靠性。

4. 个人观点和总结作为文章写手，我对带有控制变量变化率约束的伪谱轨迹优化方法持肯定态度。

该方法充分考虑了系统控制过程中的实际工程需求，通过引入控制变量变化率约束，实现了对系统控制过程的平稳性和稳定性的有效控制。

两挡变速器换挡过程最优控制的伪谱法求解

2021年（第43卷）第3期汽车工程Automotive Engineering2021（Vol.43）No.3两挡变速器换挡过程最优控制的伪谱法求解*刘晓坤，赵鑫鑫（北京科技大学机械工程学院，北京100083）［摘要］随着新能源汽车的发展，采用多挡位变速器在保证车辆动力性的前提下，可以提高电机效率。

为了减小换挡冲击，提升乘坐舒适性，需要对驱动电机和换挡电机进行协调控制。

本文中以两挡变速器为研究对象，提出了一种基于Radau伪谱法的变速器换挡策略，选取冲击度和滑摩功作为两挡变速器换挡品质的评价函数，利用插值多项式对换挡过程中系统的状态变量和控制变量进行逼近，由插值多项式的导数值近似代替动力学方程中状态变量的微分值，将换挡过程的最优控制问题转换为非线性规划问题，并利用现有的非线性规划问题求解器进行求解。

采用MATLAB软件对两挡变速器的换挡问题进行伪谱法求解，得到了两挡变速器换挡过程的最优控制轨迹，验证了伪谱法的有效性和优异性。

关键词：两挡变速器；换挡品质；伪谱法；最优控制Pseudo⁃spectral Method for Optimal Control of Two⁃SpeedTransmission in Shift ProcessLiu Xiaokun&Zhao XinxinSchool of Mechanical Engineering，University of Science and Technology Beijing，Beijing100083［Abstract］With the development of electric vehicles，multi⁃gear transmission can improve the efficiency of the motor under the premise of ensuring the power performance of the vehicle.In order to reduce the impact of shift⁃ing and improve ride comfort，coordinated control of the drive motor and the shift motor is required.In this paper，taking the two⁃speed transmission as the research object，a shift strategy based on Radau pseudo spectral method is proposed.The impact degree and sliding friction work are selected as the evaluation functions of the shifting quality of the two⁃speed transmission.The state variables and control variables of the system in the shifting process are ap⁃proximated by interpolation polynomials，and the derivative value of interpolation polynomials is used to approxi⁃mate the differential value of the state variables in the dynamic equations.The optimal control problem of shifting process is transformed into a nonlinear programming problem，which is solved by the existing nonlinear program⁃ming problem ing MATLAB software to solve the shift problem of the two⁃speed transmission with pseudo spectral method，the optimal control trajectory of the two⁃speed transmission is obtained，which verifies the effec⁃tiveness and superiority of the pseudo spectral method.Keywords：two⁃gear transmission；shift quality；pseudo spectral method；optimal control前言当前国内关于新能源汽车的研究主要是纯电动汽车，采用固定挡位的汽车存在着电机效率低下、动力不足的情况，且转速转矩传递效果不好，大大浪费了在行驶过程中的电量。

带有控制变量变化率约束的伪谱轨迹优化方法

带有控制变量变化率约束的伪谱轨迹优化方法"带有控制变量变化率约束的伪谱轨迹优化方法" 描述了一种在轨迹优化问题中考虑了控制变量变化率约束的方法。

这种方法通常用于优化动力系统或控制系统中的运动轨迹，以满足一系列约束条件。

以下是一般的步骤和特点：1.定义目标函数：确定需要优化的目标，这可能是最小化时间、最小化能耗、最大化性能等，具体取决于问题的性质。

2.建立动力学模型：描述系统的动力学特性，通常使用微分方程或其他数学模型表示系统的演化。

3.引入伪谱方法：伪谱方法是一种将连续问题离散化以便进行数值优化的技术。

在轨迹优化中，时间可以被划分为多个离散点，然后通过伪谱方法将连续问题转化为一个离散问题。

4.引入控制变量变化率约束：控制变量变化率约束用于限制系统在相邻时间点之间的控制输入的变化率。

这有助于确保系统的控制输入平滑过渡，避免突变或不稳定的控制策略。

5.求解数值优化问题：将问题表述为一个数学规划问题，并利用数值优化算法求解。

常用的数值优化方法包括伪谱法、直接转cription法等。

6.模拟和验证：在得到数值优化结果后，对系统进行模拟和验证，确保优化后的轨迹满足系统动力学方程和所有约束条件。

这种方法的优点在于它能够处理系统的连续动力学模型，并考虑到控制变量变化率的约束，使得生成的轨迹更符合实际控制系统的物理特性。

这对于需要平滑、稳定的运动轨迹的问题，如机器人运动规划、飞行器轨迹规划等，具有重要的应用价值。

需要注意的是，具体的方法和约束条件可能会因问题的性质和应用场景而异。

在实际应用中，可能需要根据具体问题的特点进行调整和定制。

基于Radau伪谱法的非线性最优控制问题的收敛性

基于Radau伪谱法的非线性最优控制问题的收敛性黄诘;张友安;王丽英【摘要】在过去的10年里,伪谱方法(如Legendre伪谱法、Gauss伪谱法、Radau伪谱法)逐步成为求解不同领域中非线性最优控制问题的一种高效、灵活的数值解法.本文从最优控制问题解的存在性、收敛性以及解的可行性3个方面对采用Radau伪谱法求解一般非线性最优控制问题解的收敛性进行研究.证明了原最优控制问题的离散解存在、存在收敛到原最优控制问题解上的离散解和离散形式的收敛解是原最优控制问题的最优解.在此基础上,证明了Radau伪谱法的收敛性.本文结论与现有文献相比,去掉了一些必要条件,更适合一般的非线性时不变系统.【期刊名称】《控制理论与应用》【年(卷),期】2014(031)002【总页数】5页(P263-267)【关键词】Radau伪谱法;收敛性;最优解;存在性【作者】黄诘;张友安;王丽英【作者单位】海军航空工程学院控制工程系,山东烟台264001;海军航空工程学院航空仪电控制系,山东青岛266041;海军航空工程学院控制工程系,山东烟台264001;海军航空工程学院系统科学与数学研究所,山东烟台264001【正文语种】中文【中图分类】TJ765最优控制理论的发展已经有很长的历史了,但能够精确、高效的求解非线性最优控制问题并且比较实用的算法仍然有限.起源于谱方法的伪谱法作为一种高效率、高精度的数值计算方法在计算流体力学和偏微分方程的求解中受到了广泛的应用.近年来,伪谱方法逐渐被应用于最优控制问题的求解中.稳定性和收敛性对任何一种数值计算方法都是至关重要的,虽然伪谱法在很多领域中都有应用[1–2],但采用伪谱法求解最优控制问题数值解的稳定性和收敛性一直是公开的研究热点和难点[3–4].目前,只有少数文献针对特殊的系统研究了伪谱法求解最优控制问题的收敛性问题,如文献[3]对基于Legendre伪谱法的可反馈线性化系统的最优控制问题的收敛性进行了研究,在一系列必要的假设条件下得到了收敛性结论,文献[4]在文献[3]的基础上对假设条件进行了弱化,得到了连续和不连续可反馈线性化系统的最优控制问题的收敛性,文献[5]在基于平滑性等一些假设条件下研究了Gauss伪谱法的收敛性,证明了针对无约束连续控制问题,Gauss伪谱法是收敛的.且相比较以上两种伪谱法而言,Radau伪谱法对求解非线性最优控制问题最优解的速度更快、精度更高.文献[6]仅通过仿真实验验证了Radau伪谱法比Legendre和Gauss伪谱法在求解最优控制问题数值解时具有更快的收敛速度,但没有给出理论上的证明.目前理论证明Radau伪谱法的收敛性仍没有很好地解决[7],并且研究的系统大多数属于一般性系统.基于以上原因,本文针对一般性系统,研究基于Radau伪谱法求解最优控制问题数值解的收敛性问题.从理论上证明Radau伪谱法对于解决一般非线性系统的最优控制问题是收敛的.相比文献[3–5],首先,本文针对的系统为一般连续非线性时不变系统,包含了文献[3–4]中的可反馈线性化系统;其次,文献[5]研究的是无约束条件下的最优控制问题;最后,本文去掉了文献[3–4]中的可反馈线性化系统必须存在收敛的子序列和文献[5]要求非线性系统的状态变量和协态变量具有k+1(k≥3)阶连续可导等假设条件(见问题陈述),这些条件要求非线性系统存在满足一定的收敛性和有界性要求,而本文的结论适合一般连续时不变的非线性系统,虽然要求控制变量满足有界的条件,但是对于最优控制问题来说,这个条件是比较容易满足的.考虑以下一般最优控制问题.寻找控制变量u(t)∈ℝm使如式(1)所示的Bolza型代价函数最小化[8]:且满足动态约束=f(x(t),u(t)).路径约束和边界条件式中:x(t)∈ℝn表示状态变量,f:ℝn×ℝm→ℝn,C:ℝn×ℝm→ℝs,Φ:ℝn×ℝn→ℝq,E表示Mayer型代价函数,g表示Lagrange 型代价函数,t表示时间.以上非线性时不变Bolza问题定义在时间区间t∈[t0,tf]上,但是伪谱法需要在一个固定的时间区间[−1,1]上研究问题,可以通过以下关系将自变量映射到一般区间τ∈[−1,1]上:应用式(2),可重新定义Bolza问题为如下形式,即最小化代价函数满足本文研究以上一般非线性时不变最优控制问题Radau伪谱法的收敛性,不失一般性,将考虑最优控制问题的区间定义为τ∈[−1,1],并且控制变量满足一定的约束条件,得到以下问题.问题1在区间τ∈[−1,1]上考虑以下Bolza型的一般连续非线性时不变最优控制问题,寻找控制变量,使如式(3)所示的代价函数最小化:满足和控制约束其中:而Wα,pm表示m维向量Sobolev空间;当m=1时对所有满足0≤j≤α,空间包含函数ξ:[−1,1]→ℝ,它的j阶弱导数ξ(j)在 Lp中有下列形式:文献[4]研究Legendre伪谱法收敛性的状态方程必须满足以下关系:针对连续和非连续最优控制问题,Legendre伪谱法收敛的假设条件分别为:条件1序列存在一个收敛的子序列使得当Nj→∞时,收敛.另外,存在一连续函数q(t)使得在区间[−1,+1]上一致收敛到q(t).条件2对于给定的一序列离散可行轨迹解存在一个子序列使得以下条件满足:a)本文中,对于所有的1≤i≤r,当Nj→∞时收敛;b)当Nj≥N1,t∈[−1,1]时一致有界;c)存在一个分段连续函数q(t)使得对所有的定值ε＞0,在区间Iε上一致收敛到q(t).其中:−1＜τ1＜...＜τs＜1表示函数q(t)的不连续点.文献[5]针对较简单的无控制约束的系统,在平滑性和有界性等4个假设条件下研究了Gauss伪谱法的收敛性,由于篇幅原因,将不在这里列写了,可参考文献[5].本文Radau伪谱法(Radau pseudospectral method, RPM)作为配点法,能够以较少的节点获得很高的求解精度.根据Radau协态映射定理,采用RPM得到的非线性规划(nonlinear programming,NLP)问题的KKT(Karush-Kuhn-Tucker)条件与原最优控制问题的一阶最优必要条件的离散形式具有一致性.因此RPM使得其NLP 问题的解满足传统间接法的一阶最优必要条件,避免了常规直接法的不足[7].RPM 应用N阶拉格朗日多项式来近似最优控制问题的状态变量和控制变量由拉格朗日多项式的性质,τk为多项式的配点,所以有即为原最优控制问题的离散值,也将成为下面离散问题的决策变量.性能指标函数中的积分项由高斯积分公式来近似:其中:为拉格朗日多项式基,式(8)在τj∈ΓLGR处的微分表达式为其中D为N×(N+1)阶Radau伪谱微分矩阵[9](详细的离散化过程可参见文献[7]). 最终将连续时间最优控制问题1转化为下列非线性规划问题.问题2寻找最优控制量,使得以下性能指标最小:且满足其中c0是一个正常数.注1不等式(11)是由动态方程(4)进行缩放得来的,目的是为了保证离散问题有可行解,在定理1中得到证明.引理1如果h∈Wα(Ω),那么存在常数c1,c2, c3,c＞0使得以下不等式成立[10]:其中INh为插值多项式;b)其中DNh为插值多项式的微分;其中:τk为LGR(Legendre Gauss Radau)节点,ωk为相应的LGR积分权重.引理2假如则[10]a)引理1中a)的向量表现形式为b)引理1中b)可以延伸为引理3对于给定的(x,u),x∈Ω),u∈(Ω)和插值系数(¯x,¯u),则由式(3)(10)定义的代价函数之间具有如下的误差关系:证由伪谱法的定义可知E(x(−1),x(+1))= E(,故因为由引理1中c)可知又g(x(t),u(t))∈Wα(Ω),所以‖g(x,u)‖(α)有界.引理得证.证毕.定理1假设问题1有一个解(x,u),那么问题2就存在一个可行解(¯x,¯u),并且解为相应的插值多项式系数.证设(x,u)为一个可行解,(INx,INu)为解在LGR节点处的插值多项式.现在需要证明的是这个多项式的系数满足问题2中的约束条件.由于离散值只计算插值点处的值,由引理2中b)可得故插值系数满足问题2中的式(11).对于路经约束,因为对所有的t∈Ω都有C(x(t), u(t),t)≤0成立,那么对于所有的属于t∈Ω中的LGR节点τk∈ΓLGR亦有所以式(12)满足.而对于终端约束,由定义综上可得()为问题2的一个可行解.定理得证.证毕.定理2假设问题2有一序列解,那么其相应的插值多项式{(INx,INu)}N有一个收敛的子序列,且极限值为问题1的一个可行解.证设为问题2的一个解,且满足约束条件(11)–(13).由式(11)可得由f连续可知因为在紧集Ω中,{INx}是一个多项式序列,故对有限的N,,式(15)中的与状态方程中的是相匹配的;又f在Ω中有界,因此,对于所有的故{INx}有界.由Rellich定理[11]可知:插值多项式{INx}存在一个子序列{INjx}在(Ω)中收敛,同理,控制序列也可得到一个收敛的子序列,故函数序列{(INx,INu)}至少存在一个极限点{(I∞x,I∞u)}.因为{INx}N存在一个收敛的子序列,所以由式(15)可得即{(I∞x,I∞u)}在节点处满足问题1中的状态方程(4).又当N变大时,LGR节点在Ω中变得越稠密,故当N→∞时,(I∞x,I∞u)在Ω中的每个点都能满足问题1中的动态方程.同理,由可知,当N→∞时,LGR节点变得稠密,所以解能够满足路径约束.而对于终端约束来说,由于终端处的值与离散值是一致的,所以同样得到满足.定理得证.证毕.定理3假设问题1有一个最优的解(x∗,u∗),为问题2的一序列最优解,那么序列最优解相对应的插值多项式{(INx◦,INu◦)}N有一极限点(并且极限值为原最优控制问题的一个最优解.证因为(x∗,u∗)为问题1的一个最优解,由定理1可知:插值多项式序数(是问题2的一个可行解.因为()为问题2的最优解,故由定理2可知:问题2的离散最优解的插值多项式的极限点为问题1的一个可行解,又(¯x∗,¯x∗)为问题1的最优解,所以由引理3可知,问题1的最优解(x∗,u∗)及其插值多项式系数(所对应的性能函数值间的误差是有界的,即同理可以得到当N→∞时,由式(18)–(19)可得结合式(20)(16)–(17)有由式(21)–(22)可知所以都收敛到问题1的最优代价函数J(x∗,u∗)上.由于为问题2的一个可行解且代价函数最优,所以是问题1的一个最优解.定理得证.证毕.利用多项式近似理论研究了Radau伪谱法的收敛性.从理论上证明了对于一般性的非线性最优控制问题,Radau伪谱法是一个收敛的求解最优解的离散化方法.对于处理一般性的最优控制问题,通过Radau伪谱离散方法可以快速求解到原最优控制问题的最优解.本文研究了Radau伪谱法的收敛性,另外Radau伪谱法是一个收敛速度非常快的数值计算方法,下一步的工作是从理论上证明其收敛速度.黄诘(1984–),男,博士研究生,目前研究方向为先进控制技术及其在制导中的应用,E-mail:**********************.cn;【相关文献】[1]张友安,王丽英,赵国荣.基于伪谱法的自由采样实时最优反馈控制及应用[J].控制理论与应用,2012,29(9):1151–1156. (ZHANG You’an,WANG Liying,ZHAOGuorong.Pseudospectralbased free sampling real-time optimal feedback control and its application[J].Control Theory&Applications,2012,29(9):1151–1156.)[2]TONG K W,ZHOU J P,HE L S.Legendre Gauss pseudospectral method for solving optimal control problem[J].Acta Aeronautic et Astronautica Sinica,2008,29(4):1531–1538.[3]GONGQ,KANGW,ROSSIM.Apseudospectralmethodfortheoptimal control of constrained feedback linearizable systems[J].IEEE Transactions on Automatic Control,2006,51(7):1115–1129.[4]KANG W,ROSS I M,GONG Q.Pseudospectral Optimal Control and Its Convergence Thorems[M].Berlin:Springer-Verlag,2008.[5]HOU H Y,HAGER W W,RAO A V.Convergence of a gauss pseudospectral method for optimal control[C]//AIAA Guidance,Navigation,and Control Conference andExhibit.Minnesota:American Institute of Aeronautics and Astronautics,2012,8:1–9.[6]DARBY C L,HAGER W W,ANIL V R.Direct trajectory optimization using a variable low-order adaptive pseudospectral method[J]. Journal of Spacecraft andRockets,2011,48(3):433–445.[7]GARG D.Advances in global pseudospectral methods for optimalcontrol[D].Florida:University of Florida,2011.[8]HUNTINGTON G T.Advancement and analysis of a Gauss pseudospectral transcription for optimal control[D].Florida:University of Florida,2007.[9]GARG D,PATTERSON M A,DARBY C L,et al.Direct trajectory optimization and costate estimation of fi nite-horizon and in fi nite-horizon optimal control problems via a radau pseudospectral method[J].Computational Optimization and Applications,2011, 49(2):335–358.[10]CANUTO C,HUSSAINI M Y,QUARTERONO A.Spectral Methods[M].Berlin:Springer,2006.[11]FOLLAND G B.Real Analysis:Modern Techniques and Their Application[M].New York:John Wiley Sons,1984.。

伪谱法求解非光滑最优控制问题的网格优化

伪谱法求解非光滑最优控制问题的网格优化
刘渊博;朱恒伟;黄小念;郑钢铁
【期刊名称】《系统工程与电子技术》
【年(卷),期】2013(035)011
【摘要】伪谱法在求解非光滑最优控制问题时往往需要在迭代计算过程中进行网格优化,以提高对菲光滑问题的适应性.针对现有网格优化方法中分段点收敛至不光滑点速度较慢的问题,提出了分段点最佳化的思想,即将分段点作为设计变量,根据误差曲线确定最佳分段点可能存在的区间,由求解器确定最佳的分段点位置,从而提高分段点收敛至不光滑点的速度.算例表明,分段点最佳化的网格优化算法能较大程度地提高伪谱法对非光滑最优控制问题的求解效率.
【总页数】4页(P2396-2399)
【作者】刘渊博;朱恒伟;黄小念;郑钢铁
【作者单位】清华大学航天航空学院,北京100084;清华大学航天航空学院,北京100084;清华大学航天航空学院,北京100084;清华大学航天航空学院,北京100084
【正文语种】中文
【中图分类】O232
【相关文献】
1.求解复杂约束条件下最优控制问题的分段低阶Gauss伪谱法 [J], 李炳杰;王磊;马青海
2.勒让德伪谱法求解三维刚体摆姿态运动最优控制问题 [J], 朱宁;戈新生
3.求解含复杂约束非线性最优控制问题的改进Gauss伪谱法 [J], 孙勇;张卯瑞;梁晓玲
4.求解非光滑最优控制问题的自适应网格优化 [J], 陈琦;王中原;常思江;舒敬荣
5.最优控制问题的伪谱法求解理论与应用 [J], 黄俊;刘知贵;刘志勤;王庆凤
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matlab 高斯伪谱法

高斯伪谱法（Gauss Pseudospectral Method）是一种数值方法，通常用于求解动力学系统的最优控制问题和轨迹优化问题。

这个方法将时间分段离散化，使用高次多项式来逼近系统的状态和控制变量，然后通过优化来确定这些多项式的系数，以满足约束条件和性能指标。

以下是使用Matlab进行高斯伪谱法求解最优控制问题的一般步骤：1. **问题建模：** 首先，将动力学系统建模为状态方程和控制方程的集合。

定义性能指标（成本函数）和约束条件。

2. **时间分段：** 将时间区间分成多个离散时间点，通常使用Chebyshev或Legendre 多项式的节点。

3. **多项式逼近：** 使用高次多项式（通常是Chebyshev或Legendre多项式）来逼近状态和控制变量在每个离散时间点上的值。

这些多项式的系数将是优化变量。

4. **动力学约束：** 将状态方程和控制方程在每个离散时间点上使用多项式逼近，然后将其作为约束添加到优化问题中。

5. **性能指标：** 将性能指标表示为多项式系数的函数，将其添加到优化问题中，通常是最小化成本函数。

6. **优化问题：** 构建一个最优化问题，目标是最小化性能指标，同时满足约束条件。

这通常是一个非线性规划问题。

7. **求解优化问题：** 使用Matlab中的优化工具箱（如fmincon）来求解构建的最优化问题，以确定多项式系数的值。

8. **解析结果：** 使用求解得到的多项式系数来重建状态和控制变量的轨迹，以及性能指标的值。

9. **分析和优化：** 根据结果进行分析，并根据需要进行优化调整，以获得满足性能要求的最优解。

需要注意的是，高斯伪谱法通常用于求解复杂的最优控制问题，对数值方法和优化技巧有一定的要求。

在实际应用中，您可能需要根据特定问题进行更详细的问题建模和参数调整。

MatLab提供了广泛的数值计算工具和优化工具箱，可帮助您实施和解决这种类型的问题。

LGL伪谱算法

Lagrange-Gauss-Lobatto （LGL ）伪谱算法一般的非线性优化控制问题可以描述为00min [()](,)d s.t.(,),(0),()ft f f f LUL UJ x t L tf t ϕ=+===≤≤≤≤⎰x u x x u x x x x x x xu u u (1.1)其中：x 为运动状态，u 为控制力，0x 为初始状态，fx 为目标状态，L Ux x 、为运动状态的约束界，L U u u 、为控制力的约束界，f t为末端时刻，J 为性能指标。

引入新的时间1t τα=-以及时间因子2/f t α=，将时间区间[0,]f t 变换为[1,1]-。

令()N L τ为定义在[1,1]-上的N 阶Legendre 多项式。

令j τ为()N L τ'的零点，11j N ≤≤-，其中撇号为对τ的导数。

令01τ=-，1N τ=，则x n 维运动状态()τx ，u n 维控制力()τu 的多项式近似分别为00()()()()Nj j j N j j j τϕττϕτ====∑∑xx uu (1.2)其中()j j τ=x x ，()j j τ=u u 为运动状态和控制力在插值点处的值，基函数()j ϕτ为2(1)()1()(1)()N j N j jL N N L ττϕττττ'-=+- (1.3)不仿构造合适的0{}N j j =x 和0{}Nj j =u ，使得()τ'x 在k τ处的估计误差为零，即有()()()(,)0Nk k k j j k k k j f ττϕτα='''∆=-=-=∑q x x x u(1.4)令0011[,,,,,,]T T T T T T TN N =Z x u x u x u ，则可将优化问题(1.1)转化为min ()s.t.()0L UJ =Φ∆=≤≤Z Z Z Z Z (1.5)从而实现了对连续控制问题转化为非线性规划问题，可以采用遗传算法、神经网络、单纯形法等求解，得到最优控制率*()τu 。

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伪谱最优控制方法, 又称为正交配置法, 主要利用Lagrange 插值多项式近似离散最优控制问题中的状态变量和控制变量, 将连续型最优控制问题转化成离散形式的非线性规划(NLP) 问题, 然后利用相应的NLP 算法求解. 根据配置点的不同, 伪谱法主要分为Legendre 伪谱法[1]、Gauss 伪谱法[2-3] 和Radau 伪谱法[4-5] 3 种.
为了利用最优控制理论研究串联式混合动力的能量管理策略，需要建立动力总成和各个能量源的数学模型。

文中忽略动力系统传动部件的效率损失。

串联混合动力驱动系统的能量管理为复杂的非线性系统，其最优控制问题是寻找最优控制序列使得给定的性能指标能够达到最小，同时，也要满足一定的机械和电气约束。

本文研究重点在最优控制理论的应用，采用较简单的模型进行混合动力车辆能量管理的研究。

整车能量管理问题作为最优控制问题求解，需要形成通用形式表达的最优控制问题。

非线性最优控制问题(Optimal Control Problem, OCP)是指性能指标、状态方程或者约束条件中存在非线性函数项的最优控制问题，通用的表述形式为确定状态x (t)，控制u(t) 使性能泛函J 取得最小值：
从数学上看，混合动力汽车能量管理问题就是利用一系列离散控制使一定时间范围内车辆行驶的的性能指标达到最优，故可将能量管理问题抽象为最优控制问题，其核心任务就是获得最优的控制律。

直接法理论
优化问题一般分为参数优化(离散、静态)和过程优化(连续、动态)两大类。

最优控制问题本质上是一个连续、动态的过程优化问题，采用动态优化方法求解，比如变分法和极大值原理。

但现代计算技术的高速发展使得静态/动态、离散/连续的界限越来越模糊。

目前基于求解非线性规划问题的参数优化方法越来越多应用于求解类似于最优控制问题或者动态轨迹优化问题，这就是轨迹优化中的直接法。

直接法通过引入时间离散网格，将控制变量和/或状态变量离散，并将动态约束条件转化为代数约束条件，最终使原来的连续轨迹优化问题转化为一个离散参数优化问题即非线性规划问题(Nonlinear Programing, NLP)，结合非线性规划求解器即可获得最优解。

优化变量通常包含离散网格点上的控制变量序列和/或状态变量序列。

伪谱法
状态和控制变量离散化
微分矩阵与导数近似
NLP 问题的形成。