求解最优控制问题的伪谱法

g l ≤ g(x(τ ), u(τ ),τ ) ≤ g u
（3）
M.Ross 和 F.Fahroo， “求解非平滑最优控制问题的直接法， ”会议录，2002IFAC 世界大会，巴塞罗那， 西班牙，2002 年 7 月，479-484 页。 2006 年 5 月 10 日
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16.323 讲课 17 DIDO，求解最优控制问题的伪谱法
z
M.Ross， “DIDO 用户手册 （版本.PR.1 β ） ： 求解最优控制问题的 MATLAB
TM
应用程序包， ”海军研究生学院，Monterey，CA，Tech.Rep.04-01.0，二月。 2004。[在线]。 可用：http://tomlab.biz/docs/DIDOManualPR1.pdf z G.Elnagar，M.A.Kazemi 和 M.Razzaghi， “离散最优控制问题的伪谱 Legendre 法， ”IEEE 会刊.自动控制，第 40 卷，第 10 页，1793-1796 页，1995 年 10 月。 z M.Ross 和 F.Fahroo， “求解非平滑最优控制问题的直接法， ”2002 年 IFAC 世 界大会会议录，巴塞罗那，西班牙，2002 年 7 月，479-484 页。
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直接法 转换连续 OCP 为离散 NLP Pros：围绕间接法“Cons”项中的列表 Cons 不如间接法精确 许多直接法不能产生共态信息
J.Betts， “轨道优化的数值方法调查， ”制导，控制和动力学，第 21 卷，第 2 期，193-207 页，1998 年 3 月。 8 D.Benson， “最优控制的高斯伪谱转录， ”博士论文，航空航天系，MIT，剑桥，马萨诸塞州，2005 年。 2006 年 5 月 10 日
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C.Canuto，M.Hussaini，A.Quateroni 和 T.zang，流体动力学中的谱方法。柏林，德国：Springer-Verlag， 1988 年，第 2 章 2006 年 5 月 10 日
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ˆk 的时候，可以知道采用高斯类积分11 是最优的 当计算 u
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DIDO
z 最近一些年发表了很多求解通用非线性最优控制问题（OCP）的方法。其中 一些已经发展到足够成熟的标准，而且可以作为独立的程序包使用： DIDO1 — Ross 等人，海军研究生学院 稀疏最优控制软件（SOCS）2 — Betts，Boeing 非线性轨道生成（NTG）3 — Milam 等人，Caltech RIOTS_954 — Schwartz，加州大学 Berkeley
z
本质上，逼近函数（包括非周期函数）的谱方法可以用截断级数的更少项做 出更好的精度。
z
关于谱和伪谱法有一个广泛的可用文献。 免费书是：J.Boyd，Chebyshev 和 Fourier 谱方法。纽约:Dover，2000。12
11 12
高斯积分是一种用有限和逼近定积分的方法
http://www-personal.engin.umich.edu/~jpboyd/aaabook_9500may00.pdf
[ −1,1] 内的最优选择。
为映射时间坐标到区间
[ −1,1] ，定义：
τ2 =
(τ f − τ e )t + (τ f + τ e ) 2
τ1 =
z
(τ e − τ 0 )t + (τ e + τ 0 ) 2
LGL 节点与 Legendre 多项式密切相关。 -
LN (t ) 是区间 [ −1,1] 上 deg N 的 Legendre 多项式。
τ ∈ [τ 0 ,τ e ] τ ∈ [τ e ,τ f ] τ ∈ [τ 0 ,τ e ] τ ∈ [τ e ,τ f ] τ ∈ [τ 0 ,τ e ] τ ∈ [τ e ,τ f ]
（4）
⎧ f 1 (x(τ ), u(τ ),τ ) ⎪ f (⋅) = ⎨ 2 ⎪ ⎩f (x(τ ), u(τ ),τ )
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Legendre 伪谱法
z DIDO 是个有效的计算工具13，可以求解很复杂的 OCP，包括非平滑问题， 就是状态/控制是不连续的。 OCP 中的这些不连续点是自然出现的， 如从最短时间问题中推导得出的 bang-bang 控制。 z 为了获取到非平滑行为，定义一个与必须满足的约束集相关的离散时间点的 行为。 考虑时刻τ e 的内部事件，并扩展到更多的内部事件。 在τ 0 和τ f 的边界条件都包括在定义里。 事件条件是：
z 则问题变为需要级数的多少项才能得到“足够好”的 u (t ) 的逼近，以及用有
ˆk 。 限多的点如何逼近 u
z 傅立叶法给出谱精度10。
“当函数无限平滑而且所有导数都是周期的， 展开式的第 k 个系数比任何 k 的逆幂衰减的快。 实际上， 这个衰减直到有足够多的系数表达函数的所有必要结构才能展示。系数随后快速衰减暗示傅立叶级数 在能很好的逼近函数的一些项之后截断。这个特征称作傅立叶方法的“谱精度” 。 ”
z
研究当前可用的求解器之一，DIDO5，选择它部分是因为其求解非常复杂问 题的能力，更显著的原因是支撑它的清晰的理论基础。
z
求解 OCP 的一般过程是转换问题为等价参数优化问题，而这个问题可以使 用开发很好的非线性程序（NLP）求解器解决。 DIDO 适应于相同的过程，而且 NLP 求解器基于序列二次规划（SQP） ， 并且被命名为 SNOPT6。 所以 DIDO 有什么不同？ — Legendre 伪谱法
这些函数在事件时间τ e 可以是非平滑的，但是在开区间 (τ 0 ,τ e ) 和 (τ e ,τ f 一定是连续可微的。 -
)
如果使用上标 1 表示在第一个区间内的函数，上标 2 表示第二个区间的 函数，
1 ⎧ ⎪ F (x(τ ), u(τ ),τ ) F (⋅) = ⎨ 2 ⎪ ⎩ F (x(τ ), u(τ ),τ )
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假设现在想逼近一个周期函数 u (t ) ，这可以用傅立叶级数表示：
u (t ) =
k =−∞
ˆk eikt ∑u
∞
ˆk = ↔ u
1 2π
∫
2π
0
u (τ )e − ikt dτ
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为了实际的目的，逼近最好是截断级数。另外，需要一些方法在感兴趣的区
ˆk 。 间内用有限多的 u (τ ) 的点计算 u
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DIDO 类似于直接转录/配置法，都用 Legendre 多项式作为函数逼近的基础 已经知道 Legendre 伪谱法（虽然是直接法）具有的属性是其解满足必要优化 条件。 大多数其他直接法并不满足这点。9
9
M.Ross 和 F.Fahroo， “轨道优化方法调查， ”会议录。AIAA/AAS 天文动力学专家会议，Monterey，2002 年，AIAA2002-4727。
用感兴趣区间内最少数目的点产生最佳逼近。 著名的积分技术（主要的不同在区间的终端点。 ） Gauss 积分 Gauss-Radau 积分 Gauss-Lobatto 积分
z
对非周期函数，可以使用多项式的正交系统 Legendre（勒让德）多项式 Chebyshev（切比雪夫）多项式 Jacobi（雅可比）多项式 — 包括 Legendre 和 Chebyshev
N 2 + 1 LGL 点。
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使用 Lagrange（拉格朗日）内插多项式，φl (t ) ，未知状态和控制则表示为：
1 1 1 x1 φl (t ) N (τ ) = ∑ x (τ l ) l =0 N
LGL 节点 tl , l
= 0,… , N 为 t0 = −1, t N = 1 ，对 1 ≤ l ≤ N − 1 ， tl 是
LN (t ) 的零点， LN (t ) 的导数。
在 第 一 段 [τ 0 ,τ e ] ， 有
N 1 + 1 LGL
点 ， 而 且 在 第 二 段 [τ e ,τ f ] ， 有
− + J (x(⋅), u(⋅),τ 0 ,τ e ,τ f ) = E (x 0 , x e , xe , x f ,τ 0 ,τ e ,τ f ) +
∫τ
受约束于动态约束：
τf
0
F (x(τ ), u(τ ),τ )dτ
（2）
x(τ ) = f (x(τ ), u(τ ),τ )
事件约束（1） ，以及混合状态控制路径约束：
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直接法 vs 间接法
z OCP 求解技术可以分类为直接法或者间接法7 8
打靶法，多重打靶法，转录/配置法的直接和间接变量可得
z
间接法 目标是找到必要条件的近似解 Pros 高精度 解满足必要优化条件 Cons 必要优化条件必须解析推导（可能很难！ ） 小收敛半径：需要一个好的初始猜测 需要共同预测 需要知道约束和无约束子弧的先验知识
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谱方法
z DIDO 使用 Legendre 伪谱法，它常广泛用作流体流动建模。
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DIDO 和直接配置法很像。 主要的不同：传统的配置法使用固定阶多项式（例如，三阶）逼近节点 间每一段的状态和控制， 而 DIDO 使用 Legendre 多项式作为基础逼近多 个节点上的变量（覆盖整个区间） 现在看函数逼近的谱方法。
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M.Ross， “DIDO 用户手册（版本.PR.1 β ） ：求解最优控制问题的 MATLAB
TM
应用程序包， ”海军研究生
学 院 ， Monterey ， CA ， Tech.Rep.04-01.0 ， 二 月 。 2004 。 [ 在 线 ] 。 可 用 ： http://tomlab.biz/docs/DIDOManualPR1.pdf 2 K.Holmström，F.Martinsen 和 M.Edvall， “TOMLAB/SOCS 用户手册， ”Tomlab 优化公司，2005 年 2 月[在 线]。可用：http://tomlab.biz/docs/TOMLAB_SOCS.pdf 3 M.Milam,K.Mushambi 和 R.Murray ， NTG- 实 时 轨 道 生 成 的 库 。 [ 在 线 ] 。 可 用 ： http://www.cds.caltech.edu/~murray/software/2002a_ntg.html A.Schwartz，E.Polak 和 Y.Chen。 （1997 年，5 月） ，RIOTS_95 ：求解最优控制问题的 Matlab 工具箱。 可用：http://tomlab.biz/docs/DIDOManualPR1.pdf 5 Kirk，第 107 页， “Carthage 的 Queen Dido 显然是第一个使用变分法处理问题的人。Dido，她许诺土地的 所有都可以用牛皮包围，聪明的把牛皮分为许多段，然后再最后系起来。这样做之后，她的问题发现用固 定轴承的闭合曲线包围了最大的面积。 ” 6 P.Gill，W.murray 和 M.Saundes， “SNOPT：大规模约束优化的 SQP 算法， ”SIAM J.最优化，第 12 卷，第 4 期，979-1006 页，2002 年。 2006 年 5 月 10 日
− + el ≤ e(x 0 , x e , xe , x f ,τ 0 ,τ e ,τ f ) ≤ eu
（1）
其中 x e
−
− = limε ↑0 x(τ e + ε ) ， x e = limε ↓0 x(τ e + ε )
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广义问题是确定状态控制对，可能还有事件时间τ e 和τ f ，最小化代价泛函：
1 ⎧ ⎪ g (x(τ ), u(τ ),τ ) g(⋅) = ⎨ 2 ⎪ ⎩g (x(τ ), u(τ ),τ )
（5）
（6）
如果有超过一个内部事件，可以按照时间把上面的函数划分。 z 在 Legendre 伪谱逼近中，节点是按照 Legendre-Gauss-Lobatto（LGL）积分 在区间 -