06讲 最优控制-变分法-数值计算
最优控制全部PPT课件
J
（x(t f ),t f）
tf t0
F（x(t),u(t),t)dt
为最小。
这就是最优控制问题。
如果问题有解，记为u*(t), t∈ [t0,tf],则u*(t)叫做最优控制（极值控制），相应的轨 线X*(t)称为最优轨线（极值轨线），而性能指标J*=J（u*(·)）则称为最优性能指标。
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目标质心的位置矢量和速度矢量为： xM xM
F(t)为拦截器的推力
x xL xM v xL xM
则拦截器与目标的相对运动方程为：
x v v a(t) F (t)
m(t)
m F (t) c
其中a(t)是除控制加速度外的固有相对加速度，是已知的。
初始条件为： x(t0 ) x0 v(t0 ) v0 m(t0 ) m0 终端条件为： x(t f ) 0 v(t f )任意 m(t f ) me
至于末态时刻，可以事先规定，也可以是未知的。 有时初态也没有完全给定，这时，初态集合可以类似地用初态约束来表示。
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3：容许控制 在实际控制问题中，大多数控制量受客观条件的限制，只能在一定范围内取 值，这种限制通常可以用如下不等式约束来表示：
0 u(t) umax 或ui i 1,2p
给定一个线性系统，其平衡状态X(0)=0，设计的目的是保持系统处于平衡状态，即 这个系统应能从任何初始状态返回平衡状态。这种系统称为线性调节器。
线性调节器的性能指标为：
J
tf t0
n
xi 2 (t)dt
i 1
加权后的性能指标为：
J
tf t0
n
qi xi 2 (t)dt
i1
对u(t)有约束的性能指标为： J t f 1 [ X T (t)QX (t) uT (t)Ru(t)]dt
第4章 最优控制与变分法
第4章 最优控制与变分法
无法显示图像。计算机可能没有足够的内存以打开该图像，也可 能是该图像已损坏。请重新启动计算机，然后重新打开该文件。 如果仍然显示红色“x” ，则可能需要删除该图像，然后重新将其插 入。
4.1 最优控制问题的数学描述 4.2 无约束条件的动态最优化问题 4.3 带等式约束的动态最优化问题 4.4 用哈密顿函数求解最优控制问题
第4章 最优控制与变分法 3、约束条件的数学描述 、
无法显示图像。计算机可能没有足够的内存以打开该图像，也可 能是该图像已损坏。请重新启动计算机，然后重新打开该文件。 如果仍然显示红色“x” ，则可能需要删除该图像，然后重新将其插 入。
一般约束条件可用如下的等式约束方程或 不等式约束方程来描述： 不等式约束方程来描述：
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的质心距离地面的高度， 解 ： 设 x(t)为 M的质心距离地面的高度 ， 由牛顿第 为 的质心距离地面的高度
（4-1） ）
J = θ ( x, t ) t
（4-9） ）
性能指标如式(4-9)所示的问题称为迈耶问题 。 所示的问题称为迈耶问题。 性能指标如式 所示的问题称为迈耶问题 该类问题只关注始端和终端时刻的系统状态， 该类问题只关注始端和终端时刻的系统状态 ， 而 不关心系统的运动过程， 因此性能指标只是始端、 不关心系统的运动过程 ， 因此性能指标只是始端 、 终端时刻和状态的一个函数。 终端时刻和状态的一个函数。
第4章 最优控制与变分法
无法显示图像。计算机可能没有足够的内存以打开该图像，也可 能是该图像已损坏。请重新启动计算机，然后重新打开该文件。 如果仍然显示红色“x” ，则可能需要删除该图像，然后重新将其插 入。
变分法与最优控制
2.1 变分法概述
1、泛函定义
定义： 如果变量y对于某一函数类中的每一个函数 x(t)，都有一个确定的值与之对应，那么就 称变量y为依赖于函数x(t)的泛函，记为： y=J [x(t)]。
说明：由于函数的值是由自变量的选取而确定的，而泛函 的值是由自变量的函数的选取而确定的，所以将泛函理解 为“函数的函数”。
点向较低的B点滑动，如果不考
虑各种阻力的影响，问应取怎样 的路径，才能使所经历的时间最 短？
结论:最速降线是一条圆滚线。
B(xf,yf)
y
在A、B两点所在的竖
直平面内选择一坐标系，
如上图所示。A点为坐 标原点，水平线为x轴， 铅垂线为y轴。
向量欧拉方程
对于向量空间的泛函，也存在着欧拉方程，不 过是欧拉方程组（即向量欧拉方程）。
若给定曲线x(t)的始端x(t0)= x0和终端x(tf)= xf，
J[x(t) ] tf L[x(t)x ,(t)t,]dt t0
达到极值的必要条件是，曲线x(t)满足欧拉方程
Lx ddtLx0 或
欧拉(Euler)方程
其中x(t)应有连续的二阶导数， L[x(t)x ,(t)t,] 则至少应是二次连续可微的。 （证明略）
2.2 无约束最优化问题
1、无约束固定端点泛函极值必要条件
问题 2-1 无约束固定终端泛函极值问题为:
其中, L[x(t),及x(tx)(,tt)]在[t0,tf]上连续可微， t0及tf固定， x(t0)= x0，x(tf)= xf， x(t)Rn
求满足上式的极值轨线x*(t)。
边界条件
定理2－5 则泛函
（证明略）
定理2－2 连续泛函J(x)的二次变分定义为
（证明略）
变分法与最优控制问题
变分法与最优控制问题在数学和物理学中，变分法是一种用于求解最优化问题的数学方法，特别适用于求解函数als^565^到l=0的极值点。
最优控制问题是指在给定约束条件下，寻找使得控制系统性能指标最优的控制策略。
本文将介绍变分法与最优控制问题的基本概念和应用。
一、变分法的基本概念变分法是一种通过将问题转化为变分问题，再利用变分法原理对变分问题进行求解的方法。
变分法关注的是函数als^565^的泛函ls^565^= ∫f(als^565^, al'=I0'~I1'，其中als^565^是取决于一个或多个独立变量al的函数。
变分问题就是要找到使得泛函ls^565^达到极值的函数als^565^。
二、变分法的应用变分法在数学和物理学中有广泛的应用，特别是在最优控制问题中。
最优控制问题是指在给定的系统模型和性能指标下，寻找使得性能指标最优的控制策略。
变分法在最优控制问题中起到了重要的作用。
在最优控制问题中，我们需要根据系统的状态变量和控制变量，构建系统的数学模型。
然后，通过构建性能指标，将最优控制问题转化为求解一个泛函的极小值问题。
利用变分法的原理，我们可以获得泛函的欧拉-拉格朗日方程，从而得到系统的最优控制策略。
最优控制问题的解决可以为实际应用提供最佳的控制策略。
三、变分法与最优控制问题的应用举例为了更好地理解变分法与最优控制问题，我们举一个简单的例子来说明其应用。
假设有一辆汽车行驶在一段道路上，我们的目标是寻找一种最优的加速度控制策略，使得汽车在最短的时间内到达目的地。
在这个问题中，车辆的位置可以用参数x表示，车辆的速度可以用参数v表示，我们的目标是找到使得到达目的地时间最短的速度曲线v(t)。
首先，我们需要建立车辆的数学模型，这里我们假设车辆的运动服从牛顿第二定律。
通过构建性能指标，我们可以得到泛函的表达式：ls^565^ = ∫[1 + (dht/dt)^2]dt其中dht/dt=t。
最优控制变分法
(t ) 0 且
(t ) 0
x (t ) 零阶接近的x(t ) 如果在容许函数的集合函数集合中，对一切同
，
有
J [ x (t )] J [ x(t )]
则称 J [ x (t )] 是 J [ x(t )]泛函的一个强局部极小值；如果对一切同 x (t ) 一阶接近的 x(t ) ，有 J [ x (t )] J [ x(t )] 则称 J [ x (t )]是 J [ x(t )]泛函的一个弱局部极小值。 容易看出，在定义泛函的总体极小值、强局部极小值和弱局 x (t ) 是分别同数目逐次减少的函数的集合相 部极小值时，函数 比较的。因此，若局部极小值的必要条件也是强局部极小值的必 要条件，强局部极小值的必要条件也是总体极小值的必要条件， 反之则不尽然。
式中， t x(t ) 是n维矢量； u(t ) 是m维矢量； t 是独立变量； L[ x(t ), u(t ), t ] 是 x(t ) 、 (t ) 和 t 连续函数。 u 绪论中基于性能指标(0—2)、(0—10)和(0—1)的最优控制问 题是拉格郎问题的实例。
0
J L[ x(t ), u (t ), t ]dt
(t ) 0
且 (t ) 0
（1.1—1）
条件(1.1—1)是局部极小值的必要条件，但不是充分条件。 比如 函数
(t ) t 3 在 t 0 处满足条件(1.1 –1)，但是
(0) 不是极小值，如图1—3所示。
如果
（1.1—2） 则是一个局部极小值。条件（1.1—2） (t ) 是局部极小值的充分条件。 给出泛函 J [ x(t )] ，如果在容许函数 J 存在的函数）中，有函数 x (t ) （即一切使泛函 ，对一切容许的 x(t )有 J [ x (t )] J [ x(t )] 则 J [ x (t )] 是 J [ x(t )] 的总体极小值。 为了定义泛函的局部极小值，需要引 [t 0 出函数空间的“邻域”的概念：考虑区间, t f ] 上两个连续 可微的函数 x(t ) 和 x (t ) ，如果对于每一个，两函数值都 x 互相接近，则函数：(t ) 和x (t ) 是在零阶意义下接近的；如果 对于每一个 t [t 0 , t f ] ，不但 x(t ) 值同 x (t ) 值接近，而且 它的导数值 x(t ) 值同x (t ) 值接近；则称函数同函是在一阶 意义上接近的。
优化理论课件(变分法与最优控制理论)
优化理论课件（2）第二部分动态优化：变分法和最优控制理论变分法是处理动态优化的古典方法，现在较少使用，在蒋中一的书中，变分法的思路可用来解释庞特里亚金最大值原理（一阶条件）。
本部分内容主要来自蒋中一《动态最优化基础》。
目录一、什么是动态优化？ (3)（一）动态优化问题的基本要素 (4)（二）泛函及其相关概念 (4)（三）可变终结点 (5)（四）横截条件 (7)（五）目标泛函 (7)二、变分法 (8)（一）基本问题：固定终结点问题 (8)（1）基本问题及其假定 (8)（2）一阶条件：欧拉方程 (8)（二）推广：多状态变量与高阶导数 (11)（1）多状态变量 (11)（2）高阶导数 (11)（三）可变端点问题 (12)（1）一般性横截条件 (12)（2）垂直终结线问题 (13)（3）水平终结线问题 (14)（4）终结曲线问题，即错误！不能通过编辑域代码创建对象。
(14)（5）截断的垂直终结线问题 (14)（6）截断的水平终结线问题 (14)（7）多变量和高阶导数情形 (15)（四）二阶条件（充分条件） (15)（1）固定端点问题的二阶条件及其二次型检验 (15)（2）凹凸性充分条件 (16)（3）变分 (17)（五）无限期界问题 (18)（1）收敛性 (18)（2）横截条件 (19)（3）充分条件 (19)（六）带约束的优化问题 (19)（1）等式约束 (19)（2）不等式约束 (21)（3）积分约束（等周问题） (21)三、最优控制理论 (22)（一）最优控制理论导论 (22)（二）最大值原理及其横截条件 (23)（1）最简单问题及最大值原理（一阶必要条件） (23)（2）最大值原理的理论基础及其横截条件 (26)（3）自控问题的汉密尔顿函数不变性 (29)（4）推广到多变量 (29)（三）最大值原理的经济学解释及现值的汉密尔顿函数 (30)（1）最大值原理的经济学解释 (30)（2）现值的汉密尔顿函数 (32)（四）充分条件（二阶条件） (32)（1）曼加萨林定理 (32)（2）阿罗条件 (34)（五）无限期界问题 (35)（1）横截条件与反例 (35)（2）作为充分条件一部分的横截条件 (36)（六）有约束的最优控制问题 (36)（1）涉及控制变量的约束 (37)（2）状态空间约束 (43)四、拉姆齐模型 (47)（一）相关理论发展背景 (47)（二）最简单的拉姆齐模型及其动力系统 (49)（三）微分方程定性稳定性判别方法简介 (53)（1）稳定性与渐进稳定性 (53)（2）稳定性判别基本定理 (53)（2）平面动力系统的奇点 (54)一、什么是动态优化？例：一个企业将原料从初始状态A通过五道工序，变为总结状态Z，每个阶段的选择对应一个阶段的成本，如何选择路径使得总成本最小化？从这个例子中可以看到：首先，动态强调的是时期之间的联系，而不仅仅是有时间的顺序；其次，这里也包含了Bellman方程的基本原理。
最优控制中的变分法
tf t0
2[x(t)x(t)]x(t)d|t0tt0f
2x(t)x(t)dt
第1章 最优控制中的变分法
(3)泛函的极值 泛函极值的定义：
对于与y0(x)接近的曲线y(x)，泛函J[y(x)] 的增量
J J [ y ( x ) J [ y ] 0 ( x ) 0 或 ] J J [ y ( x ) J [ y ] 0 ( x ) 0 ]
d
J [ y 0 ( x ) ] J [ y 0 ( x ) ε y ( x ) 0 ] d() 0( 1 9 )
根据函数极值的条件，函数φ(ε)在ε=0时达到极值的必要条件为：
dd()00 (11)0
比较（1-9）和（1-10），可见：
J[y0(x) ]0 (1 1)1
根据泛函极值的必要条件，可得欧拉方程
[Lxddt(Lx)]0 Lx ddtLx 0
或 (123)
欧拉方程的展开形式：
L x t2 L x x2 L x x x 2 L 2x0 或(12)4 LxLtx Lxx x Lx x x0
对于某一类函数y(·)中的每一个函 数y(x)，变量J都有一个值与之相对 应，那么变量J称作依赖于函数y(x) 的泛函。
记为： J=J [y(x)]
y(x)称为泛函的宗量
宗量的变分：
yy(x)y0(x)
例1-1问题的本质：泛函极值
第1章 最优控制中的变分法
泛函的连续性：
对任意给定的正数ε，总存在另一个正数δ，当
则泛函J[y(x)] 在曲线y0(x)上达到极值。
泛函极值定理： 若可微泛函J[y(x)]在y0(x)上达到极值，则在y= y0(x)上的变分为零。即
现代控制理论 第6章 最优控制(校内讲稿)1
2）终端型性能指标（ 梅耶问题）
J x( t f )或J x( N )
3）综合型性能指标（ 鲍尔扎问题）
J x ( t f ) Lx t ,ut ,t dt
终端指标
t
f
或J x( N )
N 1 k k 0
t0
L [ x( k ),u( k ),k ]
2.拉格朗日乘子法 设目标函数：
n维
x( tk 1 ) f [ x( tk ),u( tk ),tk ] n N倍
N 1 L k 0
J x( N ) 约束条件为：
x( k ), u( k ), k
( k 0 ,1, N 1 )
f [ x( k ), u( k ), k ] x( k 1 ) 0
6.9
Bang-Bang控制
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教学要求： 1. 学习泛函变分法，理解最优控制的一般概念 2. 掌握利用变分法求最优控制方法 3.掌握状态调节器，极小值原理
重点内容： •最优控制的一般问题及类型，泛函与变分，欧拉 方程，横截条件。 •变分法求有约束和无约束的最优控制。 •连续系统的极小值原理。 •有限和无限时间状态调节器方法，Riccati方程求 解。
爬山法 梯度法
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6.3 静态最优化问题的解
6.3.1 一元函数的极值
设： f ( u ) a , b 上的单值连续可微函数 J 则1) u为极小值点的充要条件
f ( u ) |u u 0
f ( u ) |u u 0
f ( u ) |u u 0
H f ( g )T 0 x x x H f ( g )T 0 u u u H g ( x ,u )0
第6章 用变分法求解最优控制问题
x(t) = x*(t) +εη(t) = x*(t) +δ x(t)
§6－2 泛函与变分的基本概念
3.泛函的变分 ● 泛函的增量 由自变量函数 x(t) 的变分δ x(t)引起泛函 J[ x(t)]的增量
∆J = J[ x*(t) +δ x(t)] − J[x*(t)] 为泛函 J[ x(t)] 的增量。
§6－2 泛函与变分的基本概念
一. 泛函与泛函的变分 1. 泛函的定义 对于某一类函数集合{x(t)} 中的每一个函数 x(t)，均有一个确定的数 J 与之对应，则称 J 为依赖于函数 x(t) 的泛函，记作
J = J[x(⋅)] = J[x(t)]
函数值。 例泛函：
J[x(t)] 中的 x(t)应理解为某一特定函数的整体，而不是对应于 t 的
α = ∫ 2[x(t) + δ x(t)]δ x(t)dt α=0
0
1
= ∫ 2x(t)δ x(t)dt
0
1
§6－2 泛函与变分的基本概念
二. 泛函的极值 1. 泛函极值的定义 如果泛函 J[x(t)] 在 x(t) = x (t) 的邻域内，其增量
*
∆J = J[x(t) − x*(t)] = J[x(t)] − J[x*(t)] ≥ 0
∂ J[x*(t) +αδ x(t)] α=0 = 0 ∂α ∂ J[x*(t) +αδ x(t)] α=0 = δ J[x*(t)] = 0 ∂α
§6－3 无约束条件的变分问题
引理：如果函数 F(t) 在区间 [t0, t f ] 上是连续的，而且对于只满足某些 一般条件的任意选定的函数
η(t) 有
第六章 用变分法求解最优控制问题
变分法求解最优控制
J (u(t )) (t f , x(t f )) F (t, x(t ), u(t ))dt
t0 tf
性能指标J(u(t))在数学上称为泛函，在控 制系统中称为损失函数。
变分法基本概念
1.泛函
设S 为一函数集合，若对于每一个函数 x(t)∈S有一个实数J 与之对应，则称J 是 定义在S 上的泛函，记作J (x(t))。S 称为 J 的容许函数集。
t0
tf
再令 J 1 0 ，由 便得：
dt f ,x(t f ),x,u, 的任意性，
(i) x * , * 必满足正则方程： 1.状态方程
x H f (t, x, u)
2.协态方程
H x
* *
(ii)哈密顿函数 H (t, x , u, ) 作为u的函数，也 必须满足
定义一个标量函数：
H (t, x, u, ) F (t, x, u) T (t ) f (t, x, u)
称为哈密顿函数。所以新的性 能指标为
J 1 ( x, u, ) (t f , x(t f )) [ H (t, x, u, ) T x]dt
t0 tf
t0 tf
d (dt fy) [t f fF xt ,yxdx , t ) t t f F'( ) y ) ( (, ) , u dy a (
T
b( y )
] [x(t f )] x (t f )
T
T tf
[(x) H x (u) H u ( ) H ( ) x]dt (t f )x t t f (x)T dt t0 f y ( x, y)dx f [b( y), y)]b' ( y) f [a( y), y)]at'0( y)
最优控制变分法
AB
x2 x1
1 y ' 2 dx
通过A，B两点的函数若为 y f (x) ，则不同的函数有不同的 弧长，即弧长是 y 的函数，记为 J ( y ) ，即
x2 1 y 2 dx J ( y ) AB x1
因此，求弧长的定积分是一种变换，它把x1与x2之间各点相应 的y变换为标量（弧长）。由此例可以看出定积分为泛函。 以下是各章经常要用到下列形式的目标函数
以下计算第二个积分，实际上是估计余项。 按泛函求极值的
ˆ 与 y 的一级距离应落入ε邻区内（由于本节的泛函 定义， y
只对 y 与 y’提出要求，故只用到一级距离），即令
ˆ y| d 0 max | y
x [ x 0 , x1 ]
ˆ ' y ' | d 1 max | y
x [ x 0 , x1 ]
第一章
变分法
1.1 泛函 1.2变分的推演 1.3Euler方程 1.4向量情形 1.5有约束的情形 1.6端点可变情形 1.7变分的另一种定义
1.1 泛函
（1）定义（泛函）
泛函是一映射L : J K , J Y , Y为一向量空间， K 一般为实数 域R或复数域C。 这说明泛函是一种变换，它把向量空间Y中某一子集J 映射为 K的某个子集。 例：曲线的弧长 在xy平面上过A（x1 ,y1）,B(x2,y2)两点之间的曲线弧长公式为
| [ ( Fy Fy ) ' (F y ' Fy ' )]dx | | |dx
x0 x0
x1
x1
[| (Fy Fy ) | | ' ( F y ' Fy ' ) |]dx
变分法-数值求解
d dx e 2m dx
2 2 2m
1 2 2 2 x 2
2 2m
dx x e
4 2 2 x 2
dyy2e y
2
2 2 22 2m 2 4m
以及计算<V>有;
2 1
a
a
得
315 N a (6) 2 16( 8 28)
2
例题—无限深势阱
变分法求解 2、能量平均值
2 a d 2 E 2 dx (7) a 2m dx
3 112 36 60 2 (8) 得 E ( ) 2 2 4 8 28 m a
* *
ห้องสมุดไป่ตู้
其中λ是约束条件(2)的拉格朗日不定乘子。
H d d 0 (3)
(1)薛定谔方程的变分原理
由(3)及 H 的厄米性，得
0 d { H H ( )}
* * * *
0 d { * ( H ) ( H * * * )} (4)
(1)薛定谔方程的变分原理
经典力学中 变分原理 => 哈密顿方程 量子力学中 变分原理 => 薛定谔方程
S 0
(1)薛定谔方程的变分原理
由
H H d (1)
*
及归一化条件
(2) d 1
*
* 另外由于 是复数， 与 可视为独立变量，在
的约束条件下的极值条件得
例题—无限深势阱
题目：粒子在无限深势阱（-a<x<a）中运动，求 基态能量和波函数。 常规法求得 精确解： 1 x 1 ( x) cos , a x a
优化理论课件（变分法与最优控制理论）
优化理论课件（变分法与最优控制理论）优化理论课件（2）第⼆部分动态优化：变分法和最优控制理论变分法是处理动态优化的古典⽅法，现在较少使⽤，在蒋中⼀的书中，变分法的思路可⽤来解释庞特⾥亚⾦最⼤值原理（⼀阶条件）。
本部分内容主要来⾃蒋中⼀《动态最优化基础》。
⽬录⼀、什么是动态优化？ (3)（⼀）动态优化问题的基本要素 (4)（⼆）泛函及其相关概念 (4)（三）可变终结点 (5)（四）横截条件 (6)（五）⽬标泛函 (6)⼆、变分法 (7)（⼀）基本问题：固定终结点问题 (7)（1）基本问题及其假定 (7)（2）⼀阶条件：欧拉⽅程 (8)（⼆）推⼴：多状态变量与⾼阶导数 (10)（1）多状态变量 (10)（2）⾼阶导数 (10)（三）可变端点问题 (10)（1）⼀般性横截条件 (11)（2）垂直终结线问题 (12)（3）⽔平终结线问题 (12)（4）终结曲线问题，即错误！不能通过编辑域代码创建对象。
(12)（5）截断的垂直终结线问题 (12)（6）截断的⽔平终结线问题 (13)（7）多变量和⾼阶导数情形 (13)（四）⼆阶条件（充分条件） (14)（1）固定端点问题的⼆阶条件及其⼆次型检验 (14)（2）凹凸性充分条件 (14)（3）变分 (15)（五）⽆限期界问题 (16)（1）收敛性 (16)（2）横截条件 (17)（3）充分条件 (17)（六）带约束的优化问题 (17)（1）等式约束 (17)（2）不等式约束 (18)（3）积分约束（等周问题） (19)三、最优控制理论 (20)（⼀）最优控制理论导论 (20)（⼆）最⼤值原理及其横截条件 (21)（1）最简单问题及最⼤值原理（⼀阶必要条件） (21)（2）最⼤值原理的理论基础及其横截条件 (23)（3）⾃控问题的汉密尔顿函数不变性 (26)（4）推⼴到多变量 (26)（三）最⼤值原理的经济学解释及现值的汉密尔顿函数 (27)（1）最⼤值原理的经济学解释 (27)（2）现值的汉密尔顿函数 (28)（四）充分条件（⼆阶条件） (29)（1）曼加萨林定理 (29)（2）阿罗条件 (31)（五）⽆限期界问题 (31)（1）横截条件与反例 (32)（2）作为充分条件⼀部分的横截条件 (32)（六）有约束的最优控制问题 (33)（1）涉及控制变量的约束 (33)（2）状态空间约束 (39)四、拉姆齐模型 (43)（⼀）相关理论发展背景 (43)（⼆）最简单的拉姆齐模型及其动⼒系统 (45)（三）微分⽅程定性稳定性判别⽅法简介 (47)（1）稳定性与渐进稳定性 (47)（2）稳定性判别基本定理 (48)（2）平⾯动⼒系统的奇点 (49)⼀、什么是动态优化？例：⼀个企业将原料从初始状态A通过五道⼯序，变为总结状态Z，每个阶段的选择对应⼀个阶段的成本，如何选择路径使得总成本最⼩化？从这个例⼦中可以看到：⾸先，动态强调的是时期之间的联系，⽽不仅仅是有时间的顺序；其次，这⾥也包含了Bellman⽅程的基本原理。
4 最优控制-变分法
I D (t )
≤ I D max
tf 0
（5） ） （6） ）
性能指标
J =∫
dt = tf
最优控制问题为：在状态方程的约束下， 最优控制问题为：在状态方程的约束下，寻求最优控制 I D (t )≤ I D max ，将 x (t f ) 转移到 x (0) ，使J 为极小。 为极小。
最优控制问题的基本组成
泛函与变分法
一、泛函与变分 1、泛函的基本定义： 、泛函的基本定义： 变量J 如果对于某个函数集合{x(t )}中的每一个函数 x(t )，变量 都有一个 值与之对应，则称变量J 的泛函， 值与之对应，则称变量 为依赖于函数 x(t ) 的泛函，记作 J [x(t )] 可见，泛函为标量，可以理解为“函数的函数” 可见，泛函为标量，可以理解为“函数的函数” 例如： 例如：
0 0 & x1 0 1 x1 K 系统方程为 1 x = 0 0 x + m I D + TF J 2 J D &2 D x ( 0) 0 x1 (t f ) θ 初始状态 1 = x (0) 0 末值状态 = 2 x2 (t f ) 0
系统数学模型
& 系统状态方程为 x(t ) = f [ x(t ), u (t ), t ], t ∈ [t0 , t f ]
边界条件与目标集 容许控制 变化范围受限制的控制- 闭集 控制域 Ω 闭集- 控制域， 变化范围受限制的控制 -闭集 -控制域， ; 容许控制 u (t ) ∈ Ω 变化范围不受限制的控制- 开集 变化范围不受限制的控制 -开集 性能指标 性能泛函、 性能泛函、目标函数或代价函数
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思考题
2.4飞机以常速率v0沿水平方向飞行，问它 应该绕什么样的闭环曲线飞行，才能使得 在给定时间T内绕过最大的面积。假定风 速是恒定的（即风向和大小都是一定的） 2.5已知泛函 4 2 2 ′ ′ J y x = y − 1 y + 1 )( ) dx, y ( 0 ) =0, y ( 4 ) =2 ( ) ∫0 ( 试求泛函具有一个尖点的分段极值曲线
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最优控制——变分法 2.3变分问题的直接解法
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最优控制——变分法 2.3变分问题的直接解法
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最优控制——变分法 2.3变分问题的直接解法
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思考题
2.7 设求泛函
= δJ
∫
x1
x0
∂L ∂L ∂y δ y + ∂y′ δ y′dx
x1
x1 ∂L ∂L d ∂L = δ y + ∫ − δ ydx ∂y′ x0 x0 ∂y dx ∂y′
横截条件
∂L ′δ y = 0 ∂y x0
x
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思考题
1. 航空动力系统中还有哪些最优控制问题 2. 最优控制与最优化的区别与联系
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思考题
2.1 等周问题、最小旋转面问题、悬链线问 题、最优控制问题的性能泛函和约束条件 b = [ y ] ∫ f ( x, y, y′, y′′)dx, y= (a) y (b) 0 2.2 求泛函 J= a 的变分 2.3 求最小旋转面问题的极值曲线
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最优控制——变分法 2.2变分法解最优控制问题
终端状态的几种情形
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最优控制——变分法 2.2变分法解最优控制问题
能源与动力学院系统控制与仿真研究室
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最优控制——变分法 2.2变分法解最优控制问题
能源与动力学院系统控制与仿真研究室
最优控制——变分法 2.1.1古典变分法的典型问题
古典变分法的典型问题
•最短连线问题 •最速降线（捷线）问题 •短程线（测地线）问题
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最优控制——变分法 2.1.2.1泛函的变分
泛函和函数的对应关系
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最优控制——变分法 2.1.2.1泛函的变分
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最优控制——变分法 2.1变分法基本概念和原理
条件极值的变分问题 （1）代数等式约束 （2）微分方程约束 （3）积分方程约束 （4）不等式约束
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最优控制——变分法 2.1变分法基本概念和原理
有角点的极值曲线
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最优控制——变分法 2.1变分法基本概念和原理
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最优控制——变分法 2.3变分问题的直接解法
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最优控制——变分法 2.3变分问题的直接解法
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最优控制——变分法 2.3变分问题的直接解法
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最优控制——变分法 2.3变分问题的直接解法
利用给定的边界条件，求出使泛函取得极 值的极值函数的近似表达式。 • 基本思路是用梯度法等进行数值计算，经 过若干次迭代，得到最优控制规律。 • 欧拉有限差分法、里茨法、最小二乘法、 配置法、分区平均法等等。
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最优控制——变分法 2.3变分问题的直接解法
欧拉有限差分法
维尔斯特拉斯（Weierstrass）第一角条件
∂L ∂L ∂L dx x) − x0 ) ( ( ∫x0= ∂y ∂y′ ∂y′
x
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最优控制——变分法 2.1变分法基本概念和原理
维尔斯特拉斯（Weierstrass）第二角条件
∂L = d x H ( x ) − H ( x0 ) ∫x0 ∂ x
泛函极值问题及相关结论
•泛函极值 •欧拉方程 •横截条件 •条件极值问题 •角点问题
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最优控制——变分法 2.1.2.3泛函极值
δJ =0
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最优控制——变分法 2.1.3.泛函极值的变分问题
= δJ
∫
x1
x0
∂L ∂L ∂y δ y + ∂y′ δ y′dx
肖玲斐 lfxiao@
最优控制 前次课程回顾——变分法
最优控制问题描述 最优控制问题求解 •终端时刻tf固定，终端状态x(tf)受约束 •终端时刻tf自由，终端状态x(tf)受约束
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最优控制——变分法 2.1变分法基本概念和原理
重点掌握
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思考题
2.6 设系统状态方程为
x ( 0 ) 1, = x (t f ) 0 给定边界条件为 = 求使性能指标 t
1 f 2 2 = J x + u dt ( ) ∫ 2 0
(t ) = x − x (t ) + u (t )
为极小的最优控制和最优轨线
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x1
x1 ∂L ∂L d ∂L = δ y + ∫ − δ ydx ∂y′ x0 x0 ∂y dx ∂y′
欧拉方程
∂L d ∂L − = 0 ∂y dx ∂y′
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最优控制——变分法 2.1.3. 泛函极值的变分问题
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x1
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最优控制——变分法 2.1.3. 泛函极值的变分问题
两端点可移动的曲线
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最优控制——变分法 2.1.3.泛函极值的变分问题
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21
最优控制——变分法 2.1变分法基本概念和原理
变分法基本概念和原理
•古典变分法的典型问题 •泛函及其变分 •泛函极值问题及相关结论
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最优控制——变分法 2.1.2泛函及其变分
泛函及其变分 •泛函 •宗量 •泛函的变分
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最优控制——变分法 2.3变分问题的直接解法
例：设求泛函
J = y ( x)
∫
1
0
2 2 ′ y + y + 2 xy )dx (
极小值问题的近似解， ( 0 ) y= (1) 0 边界条件为 y=
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最优控制——变分法 2.3变分问题的直接解法
最优控制问题求解 横截条件 协态方程 控制方程
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最优控制——变分法 2.2变分法解最优控制问题
最优控制问题的描述
x f ( x (t ) , u (t ) , t ) , t ∈ t0 , t f tf x (t f ) , t f + ∫ L u ( ) x (t ) , u (t ) , t J F dt = t0 x (t0 ) = x0 =0 x t , t ( ) f f N umin ≤ u ≤ umax
J = y ( x)
∫
1
0
2 2 ′ y + y + 2 xy )dx (
极小值问题的解析解， ( 0 ) y= (1) 0 边界条件为 y=
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最优控制——变分法 本章小结
变分法基本概念和原理 变分法解最优控制问题 变分问题的直接解法
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泛函变分的一个重要形式
∂ δJ J [ y ( x) + αδ y ( x)] ， 0 ≤ α ≤ 1 = ∂α α =0
• 将求泛函的变分化为求函数的微分 • 因此可以利用函数的微分法则,方便地计算
泛函的变分。
能法 2.1变分法基本概念和原理
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最优控制——变分法 2.3变分问题的直接解法
各种变分问题的最后求解都可归结为解 欧拉方程的边值问题。 欧拉方程才能求出解析解。在大多数情 况下，欧拉方程的解析解无法求出。
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最优控制——变分法 2.3变分问题的直接解法
变分问题的直接方法
• 不通过求解欧拉方程而直接从泛函出发，
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肖玲斐 lfxiao@