[研究生入学考试]第六章数理统计基础
概率论与数理统计 第6章 数理统计基础
【质量控制问题】
某食盐厂用包装机包装的食盐，每袋重量500g， 通常在包装机正常的情况下，袋装食盐的重量X服 从正态分布，均值为500g，标准差为25g．为进行 生产质量控制，他们每天从当天的产品中随机抽 出 30 袋进行严格称重，以检验包装机工作是否正 常．某日，该厂随机抽取30袋盐的重量分别为：
475 500 485 454 504 439 492 501 463 461
464 494 512 451 434 511 513 490 521 514
从这些数据看，包装机的工作正常吗？
449 467 499 484 508 478 479 499 529 480
第6章 数理统计基础
6.1 总体和样本
【数理统计简史】
社会统计学派始于 19 世纪末，首创人物是德国 的克尼斯（K. G. A. Knies），他认为统计学是一 个社会科学，是研究社会现象变动原因和规律性 的实质性科学．各国专家学者在社会经济统计指 标的设定与计算、指数的编制、统计调查的组织 和实施、经济社会发展评价和预测等方面取得了 一系列的重要成果．德国统计学家恩格尔 （C.L.E.Engel，1821-1896）提出的“恩格尔”系 数，美国经济学家库兹涅茨和英国经济学家斯通 等人研究的国民收入和国内生产总值的核算方法 等，都是伟大的贡献．
则X1，X2，X3，X4的联合概率密度为：
f ( x1 , x2 , x3 , x4 ) f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x3 ) f ( x4 )
2 xi 16e i 1 , xi 0, i 1,2,3,4 其它 0,
4
6.1.2 样本与抽样
6.1.2 样本与抽样
【例 6.1】设总体 X服从均值为 1/2 的指数分布， X1， X2，X3，X4为来自X的样本，求X1，X2，X3，X4的 联合概率密度和联合分布函数．
第六章 数理统计的基本概念pdf_(一)基本要求
.第六章 数理统计基本概念
一、基本要求、重点与难点
（一）基本要求
1．理解总体、个体、简单随机样本和统计量的概念。掌握样本均值和样本 方差的计算。
（2）设 X ~ χ 2 (n) ，则 E(X)=n，D(X)=2n .
若 X ~ χ 2 (n) ，对于α (0 < α < 1) ，称满足 P( X > χα2 (n)) = α的点χα2 (n) 为 χ 2 (n) 分布的
上侧α 分位点。当 n>45 时，R.A.Fisher 证明了下面的近似公式
( ) χα2
(n)
≈
1 2
uα +
2
2n −1 ,
其中 uα 为标准正态分布的上侧α 分位点。
2、 自由度为 n 的 t 分布：
定义设 X1, X2 独立，X1～N(0,1)， X2～ χ 2 (n) ，则称
T (n) = X1 X 2 n
的分布是自由度为 n 的 t 分布,简记为 t(n) ，亦称为学生（student）分布。这种分布是英国人 w.s.Gosset 在 1908 年以笔名”student”发表的，它是数理统计中最重要的分布之一。 命题 设 T(n)是自由度为 n 的 t 分布，则它的概率密度函数为：
2．会列出分组数据统计表。 3．了解X2-分布、t-分布和F-分布的定义及性质。了解分位数的概念并会查
表计算。 4．掌握正态总体的抽样分布规律。
（二）重点
1．样本均值和样本方差的计算。 2．分组数据统计表。 3．正态总体的抽样分布规律。
勤径考研智轩考研数学红宝书2010版--概率论与数理统计(第六章 数理统计的基本概念)
139第二篇 数 理 统 计第六章 数理统计的基本概念【数学1，3】2009考试内容 (本大纲为数学1，数学3需要根据大纲作部分增删)总体 个体 简单随机样本 统计量 样本均值 样本方差和样本矩 2c 分布 t 分布 F 分布 分位数 正态总体的常用抽样分布考试要求1． 理解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩的概念，其中样本方差定义为2211()1ni i S X X n ==--å 2． 了解2c 的分布、t 分布和F 分布的概念及性质，了解上侧a 分位数的概念并会查表计算。
3． 了解正态总体的常用抽样方法。
本章导读 3大分布8类枢轴量。
一、总体和样本实际工程中，常常需要检测产品的某一个（或多个）数量指标（如研究100瓦灯泡的寿命这一数量指标）。
需要检测产品的全体称为总体（如6000个100瓦的灯泡），一个灯泡的寿命检测数据记为X ；总体中的某一元素称为样品或个体（如一个100瓦灯泡）。
我们不可能把全部6000个灯泡都测试，所以，需要从总体（6000个灯泡）中随机抽取n 个（如取50n =）样品组成样本，称为抽样，n 称为样本容量，并把样本看成是n 个相互独立且具有完全相同分布的随机变量（ 以后简称 “独立同” ），记为()1250, ,, X X X L ，称为简单随即样本。
显然，如果测试还没开始，则()1250, ,, X X X L 就是一个50维随机变量，如果测试已经完成，则()1250, ,, X X X L 就对应有一组具体值()1250, ,, x x x L ，称为样本观察值，即样本值。
样本（12,,,n X X X …）每次测试的所有可能值的全体称样本空间，记为W ，一次测试所得的一组样本观察值()12, ,, n x x x L 是W 中的一个样本点，容量为n 的简单随机样本的数字特征及分布就代表了总体的特性，例如，研究50个灯泡的寿命就能代表6000个灯泡的寿命。
[研究生入学考试]第六章数理统计基础
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方法二
∴s=11.57 31 通常用第二种方法计算s2方便许多.
下面的定理给出样本均值的数学期望和方差
以及样本方差的数学期望,它不依赖于总体的分布
形式.这些结果在后面的讨论中是有用的.
定理2设总体X具有二阶矩,即E<x>=μ,D<X>=σ2<+∞
x1,x2,…,xn为从该总体得到的样本x ,
和s2
分别是样本均值和样本方差,则
<6.3.3>
<6.3.4>
此定理表明,样本均值的均值与总体均值相同, 而样本均值的方差是总体方差的1/n.
证明 由于 （1） （2）
故〔)式成立.下证〔),注意到
,而
于是
两边各除以n-1,即得〔)式 值得读者注意的是:本定理的结论与总体服从什么 分布无关.
§3.5 样本矩及其函数
[例6-1 ]考察某厂的产品质量,将其产品只分为合格 品与不合格品,并以0记合格品,以1记不合格品,则 总体={该厂生产的全部合格品与不合格品}={由0或1 组成的一堆数}.
若以p表示这堆数中1的比例〔不合格品率),则 该总体可由一个二点分布表示：
不同的p反映了总体间的差异.例如,两个生产同 类产品的工厂的产品总体分布为：
概率论与数理统计 第六章--数理统计的基本概念
F分布性质2 若X ~t(n)，则X2~F(1,n)
例4.设X1,X2, …,Xn是来自正态总体N(0,1) 的样本，试问c=( )统计量
c
2 X i 3 i 1 n
X
i 4
2 i
服从F分布？
抽样分布的分位点
设α为给定的常数，且0<α<1.若存在χα2(n)使
P ( n)
分位点的性质
(1) u1 u (2)
t1 (n) t (n)
1 (3) F (m, n) F1 (n, m)
回顾1. 设X1 ,X2 ,X3, X4是来自总体N(0,4)的简单 随机样本，X=a(X1-2 X2)2+b(3X3 -4X4)2，问当 a,b为何值时，统计量X服从 2分布 .
Max=1572, Min=738, 组数=6 组距=(Max-Min)/6=139140 取a0=735, 则分组区间及相关数据如下
组序 1 2 分区区间 (735,875] (875,1015] 频数 6 8 频率 0.2 0.27 累计频率 0.2 0.47
3
4 5 6 合计
(1015,1155]
2
所服从的分布为自由度为 n 的 分布 记为
2
~ (n)
2 2
分布的密度函数为
2
n x 1 1 n2 x2 e 2 f ( x; n ) 2 ( n 2 ) 0
x0 x0
其中伽玛函数 ( x )通过积分
( x ) e t dt, x 0 0 来定义.
(1155,1295] (1295,1435] (1435,1575]
9
4 2 1 30
0.3
考研数学(一)考试大纲解析(数理统计的基本概念)【圣才出品】
第6章数理统计的基本概念一、随机样本1．总体与个体在数理统计中，将试验的全部可能的观察值称为总体，每一个可能观察值称为个体．2．简单随机样本设X是具有分布函数F的随机变量，若是具有同一分布函数F的、相互独立的随机变量，则称为从分布函数F（或总体F、或总体X）得到的容量为n的简单随机样本，简称样本．3．样本值称样本的观察值为样本值，又称X的n个独立的观察值．4．统计量设是来自总体X的一个样本，是的函数，若g中不含未知参数，则称是一统计量．5．样本均值6．样本方差7．样本矩（1）样本k阶（原点）矩（2）样本k阶中心矩二、常用的三个分布1．分布（1）定义设是来自总体N（0，1）的样本，则称统计量服从自由度为n的分布，记为．（2）性质①分布的可加性设，并且，相互独立，则有②分布的数学期望和方差若，则有（3）分布的上侧分位数对于给定的正数α，0＜α＜1，满足条件的点称为分布的上侧α分位数．2．t分布（1）定义设X～N（0，1），，且X，Y相互独立，则称随机变量服从自由度为n的t分布，记为t～t（n）．t分布又称学生氏分布，t（n）分布的概率密度函数为（2）性质①h（t）的图形关于t＝0对称；②；③．（3）t分布的上侧分位数对于给定的α，0＜α＜1，满足条件的点称为t（n）分布的上侧α分位数．3．F分布（1）定义设，，且U，V相互独立，则称随机变量服从自由度为的F分布，记为．分布的概率密度为（2）性质①若，则；②．（3）F分布的上侧分位数对于给定的α，0＜α＜1，满足条件的点称为分布的上侧α分位数．三、正态总体的常用抽样分布1．定理一设是来自正态总体的样本，是样本均值，则有2．定理二设是来自总体的样本，，分别是样本均值和样本方差，则有：（1）；（2）与相互独立．3．定理三设是来自总体的样本，，分别是样本均值和样本方差，则有4．定理四设与分别是来自正态总体和的样本，且这两个样本相互独立．设，分别是这两个样本的样本均值，且分别是这两个样本的样本方差，则有：（1）；（2）当时，有其中。
第六章 数理统计的基本概念
1 n 2 S S ( X X ) i n 1 i 1
2
(4) 样本k阶(原点)矩
1 n k Ak X i n i 1
k 1, 2,
k 2,3,
(5) 样本k阶中心矩
1 n Bk ( X i X )k n i 1
§2
常用统计量的分布
统计量的分布称为抽样分布.下面介绍三种由 正态总体演化而来的统计量的分布：
• 从二战后到现在，是统计学发展的第三个时期，这是一个在 前一段发展的基础上，随着生产和科技的普遍进步，而使这 个学科得到飞速发展的一个时期，同时，也出现了不少有待 解决的大问题．
学科奠基者
数理统计作为一个进一步完善的数学学科的奠基者是英国人费歇尔。他1909 年入剑桥大学，攻读数学物理专业，三年后毕业。毕业后，他曾去投资办工 厂，又到加拿大农场管过杂务，也当过中学教员。1919年，他开始对生物统 计学产生了浓厚的兴趣，参加罗萨姆斯泰德试验站的工作，致力于数理统计 在农业科学和遗传学中（费歇尔1890—1962）的应用研究。 年轻的费歇尔主要的研究工作是用数学将样本的分布给以严格的确定。 在一般人看来枯燥乏味的数学，常能带给研究者极大的慰藉，费歇尔热衷于 数理统计的研究工作，后来的理论研究成果有：数据信息的测量、压缩数据 而不减少信息、对一个模型的参数估计等。 最使科学家称赞的工作则是试验设计，它将一切科学试验从某一个侧面 “科学化”了，不知节省了多少人力和物力，提高了若干倍的工效。 费歇尔培养了一个学派，其中有专长纯数学的，有专长应用数学的。在30－ 50年代费歇尔是统计学的中心人物。1959年费歇尔退休后在澳大利亚度过了 最后三年。
若 x1 , x2 , , xn 是样本的观察值, 则 g ( x1 , x2 , xn ) 是 g ( X 1 , X 2 , X n )
第六章 数理统计的基本概念
第六章 数理统计的基本概念§6.1基本概念 §6.2样本数字特征一、填空题1. 若12,,n X X X ,为来自总体X 的容量为n 的样本，则样本均值X = ，样本方差2S = ； 2．设总体(4,40)X N , 1210,,X X X ,是X 的简单随机样本，则X 的概率密度()f x = ； .3．某种灯泡的寿命X 服从参数为(0)λλ>的指数分布，12,,n X X X ，是取自总体X 的简单随机样本，则12(,,)n X X X ，的联合密度函数为 ；4．设总体2(,2)X N μ ，12,,n X X X ，为取自总体的一个样本，X 为样本均值，要使2()0.1E X μ-≤成立，则样本容量n 至少应取多大 ；.5．设n X X X ,,21 ，是来自总体2(,)N μσ的随机样本，,a b 为常数，且0a b <<，则随机区间222211()(),n n i i i i X X b a μμ==⎛⎫-- ⎪⎝⎭∑∑的长度的数学期望为 。
.二、选择题1. 设(1,4)X N ，12,,n X X X ,为X 的样本，则（C ）（A ）1~(01)2X N -，； （B ）1~(01)4X N -，； （C~(01)N ，； （D~(01)N ，. 2．设12,,n X X X ,是总体X 的样本，则有（D ）（A ）()X E X =； （B ）()X E X ≈； （C ）1()X E X n=； （D ）以上三种都不对. 3．设总体(2,9)X N , 1210,,X X X ,是X 的样本，则（B ）（A ）(20,90)X N ； （B ）(2,0.9)X N ； （C ）(2,9)X N； （D ）(20,9)X N .4．设总体2(,)X N μσ , 其中μ已知, 1234,,X X X X ,是X 的样本，则不是统计量的是（C ） （A ）145X X +； （B ）41i i X μ=-∑； （C ）1X σ-； （D ）421i i X =∑.5．设随机变量X 服从正态分布(0,1)N ，对给定的(01)αα<<，数a u 满足{}a P X u α>=，若{||}P X x α<=，则x 等于（C ）（A ）2a u ； （B ）12a u-；（C ）12a u -； （D ）1a u -.6．设12,,n X X X ，是来自正态总体2(,)N μσ的简单随机样本，X 与2S 分别是样本均值与样本方差，则（C ）（A ）2222()E X S μσ-=-； （B ）2222()D X S μσ+=+； （C ）22()E X S μσ-=-； （D ）22()D X S μσ+=+.三、 计算题5. 设1234,,,X X X X 是取自正态总体2(,)N μσ中的一个大小为4的样本，其中μ已知，但2σ未知，指出下面随机变量中哪些是统计量？ （1）1234X X X X +++；（2）42211()ii Xμσ=-∑； （3）12max{,}X X ；（4）4X μ+； （5）141()2X X +； （6X . 其中4114i i X X ==∑.6. 12,,n X X X ，是取自正态总体2(,)N μσ中的一个样本，12, m U X X X =+++12 m m n V X X X ++=+++ ( )n m >.求,U V 的联合密度函数。
考研数理统计基本知识
数理统计基本知识§6.1 总体与样本6.1.1 总体与个体在概率统计中，我们把对某个问题研究对象全体组成的集合称为总体（或母体），而把组成总体的每个元素称为个体，例如，某班的全体学生构成一个总体，则每个学生为个体。
在处理实际问题时，人们关心的不是总体中每个个体的特殊属性，而是表征总体状况的某一个或几个数量指标X 。
对于一个总体来说，它的每一个数量指标X 对于不同的个体其指标值可能是不同的，即就是说数量指标X 是一个随机变量（或随机向量），所以我们常常把研究对象的某一个数量指标X 的可能取值的全体组成的集合称为总体，而直接把总体与随机变量X 等同起来，说”总体X ”， X 的概率分布称为总体分布，X 的数字特征称为总体的数字特征。
6.1.2 样本要了解总体X 的分布规律，就必须从该总体中按一定法则抽取一部分个体进行观测或试验，以获得有关总体的信息，从总体中抽取有限个个体的过程称为抽样，所抽取的部分个体称为样本，样本中所含个体的数目称为样本的容量。
例如，为研究某批电视机的质量，通常把使用寿命X 作为体现质量特征的数量指标，为了解总体X 的概率分布情况，我们从这批电视机中抽样n 台进行观测或试验，第i 台电视机的使用寿命记为i X （,1=i …n ,）， 这样),,,(21n X X X 就是来自总体X 的一个容量为n 的样本，需要注意的是：由于样本是从总体中随机抽取的，在抽取之前无法预知它们的数值，因此样本),,,(21n X X X 是一个n 维随机向量，在抽取以后，通过观测或试验得到一组数值，用),,,(21n x x x 表示，称为样本的观测值。
抽取样本的目的是为了对总体的特性作出估计与推断，为了能使样本很好地反映总体的特性，数理统计中常用的一种抽样方法是简单随机抽样，指的是对总体X 的n 抽样结果1X ,….n X 相互独立，且每个i X 与总体X 同分布，这样的样本称为简单随机样本。
考研数学数理统计基础知识点总结
考研数学数理统计基础知识点总结在准备考研数学的过程中，掌握数理统计基础知识是非常重要的。
本文将为您总结一些常见的数理统计基础知识点，帮助您更好地备考。
一、概率论基础知识1. 事件与样本空间：事件是指样本空间中的某个子集，样本空间则是指随机试验的所有可能结果的集合。
2. 概率的定义：概率是指事件发生的可能性大小，其取值范围在0到1之间。
3. 概率的运算：包括加法公式和乘法公式。
加法公式适用于互斥事件的概率计算，乘法公式则适用于独立事件的概率计算。
4. 条件概率：指在已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。
5. 贝叶斯定理：用于计算事件的后验概率，在已经得到一些信息的情况下，通过先验概率和条件概率计算出事件的后验概率。
二、随机变量与概率分布1. 随机变量的概念：随机变量是指随机试验结果的某个函数，可以是离散的或连续的。
2. 概率质量函数与概率密度函数：对于离散型随机变量，其概率可以通过概率质量函数来描述；对于连续型随机变量，则需要使用概率密度函数。
3. 常见的离散型随机变量：包括伯努利分布、二项分布、泊松分布等。
4. 常见的连续型随机变量：包括均匀分布、正态分布、指数分布等。
三、统计推断1. 抽样与抽样分布：抽样是指从总体中选取一部分个体进行研究，抽样分布则是指统计量在大量抽样下的分布情况。
2. 参数估计：根据样本数据对总体的某个参数进行估计，可以使用点估计和区间估计两种方法。
3. 假设检验：对总体参数的某个假设进行检验，包括设置原假设和备择假设，以及计算检验统计量和判断拒绝域。
4. 方差分析：一种用于比较两个或多个总体均值是否有显著差异的统计方法，适用于独立样本、配对样本和重复测量样本。
四、相关与回归分析1. 相关分析：用于判断两个变量之间的相关性强弱，包括计算相关系数和进行假设检验。
2. 简单线性回归分析：用于建立一个自变量与因变量之间的线性关系模型，通过最小二乘法来估计回归系数。
3. 多元线性回归分析：在简单线性回归的基础上，将多个自变量引入回归模型中进行分析，以探究多个变量对因变量的影响。
第六章 数理统计的基本概念(1)
XK
1 n
n i 1
X
k i
（4）样本k阶中心矩：
1 n
n i 1
(Xi
X )k
（5）顺序统计量： X(1) X(2) X(n) . 其中 X(k) 为将 X1, X2 , , Xn 从小到大排列第 k 位值.
18 September 2020
概率论与数理统计
理学院数学系
2、离散型 设总体X的分布律为 P{ X x} p( x)
则样本X1, X2 ,的, 联Xn合分布律为 P{ X1 x1, X2 x2 ,, Xn xn } p( x1 ) p{ x2 ) p( xn )
18 September 2020
概率论与数理统计
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样本分布
第六章 数理统计的基本概念
（1）样本均值：
X
1 n
n i 1
Xi
（2）样本方差：
Sn2
1 n
n
(Xi
i 1
X )2
修正样本方差：
Sn*2
1 n1
n i 1
(Xi
X )2
nSn2 (n 1)Sn*2
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概率论与数理统计
理学院数学系
第六章 数理统计的基本概念
第22页
（3）样本k阶原点矩：
第13页
1、样本的联合分布函数 设总体 X 的分布函数为 FX (., ), (X1, X2 ,
则样本的联合分布函数为
, Xn ) 为样本.
FX1,X2 , ,Xn ( x1, x2 , , xn ; ) FX ( x1, )FX ( x2 , ) FX ( xn , )
第6章数理统计的基本概念习题及答案
第六章 数理统计的基本概念一.填空题1.若n ξξξ,,,21Λ是取自正态总体),(2σμN 的样本，则∑==ni i n 11ξξ服从分布)n,(N 2σμ.2.样本),,,(n X X X Λ21来自总体),(~2σμN X 则~)(221n S n σ-)(1χ2-n ； ~)(nS n X μ- _)(1-n t __。
其中X 为样本均值，∑=--=n i n X X n S 12211)(。
3.设4321X X X X ,,,是来自正态总体).(220N 的简单随机样本，+-=221)2(X X a X 243)43(X X b -，则当=a 201=a 时，=b 1001=b时，统计量X 服从2X 分布，其自由度为 2.4. 设随机变量ξ与η相互独立, 且都服从正态分布(0,9)N , 而129(,,,)x x x L 和 129(,,,)y y y L 是分别来自总体ξ和η的简单随机样本, 则统计量~U =(9)t .5. 设~(0,16),~(0,9),,X N Y N X Y 相互独立, 129,,,X X X L 与1216,,,Y Y Y L 分别为X 与Y 的一个简单随机样本,则2221292221216X X X Y Y Y ++++++L L 服从的分布为(9,16).F6. 设随机变量~(0,1)X N , 随机变量2~()Y n χ, 且随机变量X 与Y 相互独立,令T =, 则2~T F (1,n )分布.解：由T =, 得22X T Y n =. 因为随机变量~(0,1)X N , 所以22~(1).X χ再由随机变量X 与Y 相互独立, 根据F 分布的构造, 得22~(1,).X T F n Y n= 7. 设12,,,n X X X L 是总体(0,1)N 的样本, 则统计量222111n k k X n X =-∑服从的分布为(1,1)F n -(需写出分布的自由度).解：由~(0,1),1,2,,i X N i n =L 知222212~(1),~(1)nk k X X n χχ=-∑, 于是22122211(1)1~(1,1)./11nkn k k k Xn X F n X n X ==-=--∑∑8. 总体21234~(1,2),,,,X N X X X X 为总体X 的一个样本, 设212234()()X X Z X X -=-服从F (1,1)分布(说明自由度)解：由212~(0,2)X X N σ+,有22~(1)χ, 又 234~(0,2)X X N σ-,故22~(1),χ因为2与2独立,所以21234~(1,1).X X F X X ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭9.判断下列命题的正确性：( 在圆括号内填上“ 错” 或“ 对”)(1) 若总体的平均值μ与总体方差σ2 都存在，则样本平均值x 是μ 的一致估计。
概率论 第6章 数理统计的基本知识
100
1.00
12
欧启通主编. 概率论与数理统计. 浙江大学出版社, 2014.2
f x
频率直方图：
o
33.65
33.95 34.25 34.55 34.85 35.15 35.45 35.75 36.05 36.35 36.65
x
直方图大致描述了总体 X 的概率分布.
欧启通主编. 概率论与数理统计. 浙江大学出版社, 2014.2
根据大数定律，可以依据样本来推断总体.
欧启通主编. 概率论与数理统计. 浙江大学出版社, 2014.2
9
6.1.4 频率直方图 作图步骤 ： 样本观测值x1 , x2 , x3 ,, xn . （1）确定观测值范围 ； （2）选分点把观测区间分为若干个子区间 ti ; （3）计算样本观测值落在各子区间内的频数 mi 及频率 fi ; （4）在平面直角坐标内以子区间为底，以 作小矩形，构成直方图.
X n xn 发生了.
欧启通主编. 概率论与数理统计. 浙江大学出版社, 2014.2
6
ห้องสมุดไป่ตู้
6.1.3 样本分布函数
样本频率分布表
从总体中抽取容量为 n的样本 X1 , X 2 , X 3 ,, X n , 得观测值 x1 , x2 , x3 ,, xn . 观测值
频 频 数 率
x(1) m1
欧启通主编. 概率论与数理统计. 浙江大学出版社, 2014.2
5
样本具有二重性
（1）设 n次抽样的结果为 X1 , X 2 , , X n , 它们是相互 独立的随机变量,且与总体 X 服从相同的分布;
（2）实际抽样的结果得到的是具体试验数据(样本观
测值) x1 , x2 ,, xn ; 抽样的结果是: n个独立的事件 X1 x1 , X 2 x2 ,,
考研数学概率与数理统计考试内容总结3篇
考研数学概率与数理统计考试内容总结3篇考研数学概率与数理统计考试内容总结3篇在进行考研的时候，数学的概率与数理统计考试内容一直是考生们十分关注的问题，下面就让小编给大家带来考研数学概率与数理统计考试内容，希望大家喜欢！下面就和小编一起来看看吧。
考研数学概率与数理统计考试内容篇1概率论与数理统计是考研数学一和数学三的必考内容，数学二的考生不考。
这部分的内容相对于高等数学而言算是较简单的部分，与线性代数一样都是考生必须要抓住的地方。
接下来跨考教育数学教研室吴方方老师就为考生归纳总结概率论与数理统计的考点，希望对考生复习有所帮助。
概率统计的考点每年都差不多，没什么大的变化。
从历年的考研真题来看，概率统计这部分的内容考查单一知识点比较少，即使是填空题和选择题都是这样。
大部分的考题都是考查考生的理解能力和综合应用能力，因此要求我们考生要能够灵活地应用所学的知识建立正确的概率模型。
要能够熟练的应用高等数学里的知识来解决我们概率统计上的问题，比如定积分和二重积分是我们同学们要必须掌握的住的知识，其在概率统计中一维和二维随机变量求概率都能用的上。
概率统计第一章的古典概型和几何概型是大部分考生所头疼的，其中古典概型更是让很多同学摸不着头脑，其实古典概型考试大都是以小题形式出现的，它并不是考试的重点，但确实是考试的难点。
而几何概型就是一个事件发生的概率等于这个事件的度量与整个样本空间度量的比，这个度量可以是长度、面积、体积。
相对于古典概型，几何概型是重要的。
接下来，就是随机变量的内容了。
我们主要考的是离散和连续两种随机变量，一维随机变量和二维随机变量主要考点包括：分布函数，概率密度，分布律，联合分布函数，联合概率密度，联合分布律，边缘分布函数，边缘概率密度，边缘分布律，条件分布律，条件概率密度，以及一维和二维随机变量的函数的分布。
其中随机变量函数的分布是考试的重点，一般是与第四章数字特征(期望、方差、协方差以及相关系数)结合来考大题。
考研数学概率论与数理统计知识点终极梳理
考研数学概率论与数理统计知识点终极梳理概率论与数理统计是硕士研究生入学考试(除数二)的一个重要组成部分，从研究必然问题到研究随机问题，不仅大多数初学者感到困难，即使是对于曾学过这门学科的考生也有不少问题，特别是在做习题以及解决实际问题方面遇到的困难会更多一些。
从近几年硕士研究生入学考试数学阅卷结果来看，概率论这一部分得分率普遍较低。
在最后几天，建议大家，加强数学基本计算联系，熟练、严谨、规范非常至关重要。
此外，要注意回顾一遍大纲考点，查漏补缺。
第一章随机事件和概率1、随机事件的关系与运算2、随机事件的运算律3、特殊随机事件(必然事件、不可能事件、互不相容事件和对立事件)4、概率的基本性质5、随机事件的条件概率与独立性6、五大概率计算公式(加法、减法、乘法、全概率公式和贝叶斯公式)7、全概率公式的思想8、概型的计算(古典概型和几何概型)第二章随机变量及其分布1、分布函数的定义2、分布函数的充要条件3、分布函数的性质4、离散型随机变量的分布律及分布函数5、概率密度的充要条件6、连续型随机变量的性质7、常见分布(0-1分布、二项分布、几何分布、超几何分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分布)8、随机变量函数的分布(离散型、连续型)第三章多维随机变量及其分布1、二维离散型随机变量的三大分布(联合、边缘、条件)2、二维连续型随机变量的三大分布(联合、边缘和条件)3、随机变量的独立性(判断和性质)4、二维常见分布的性质(二维均匀分布、二维正态分布)5、随机变量函数的分布(离散型、连续型)第四章随机变量的数字特征1、期望公式(一个随机变量的期望及随机变量函数的期望)2、方差、协方差、相关系数的计算公式3、运算性质(期望、方差、协方差、相关系数)4、常见分布的期望和方差公式第五章大数定律和中心极限定理1、切比雪夫不等式2、大数定律(切比雪夫大数定律、辛钦大数定律、伯努利大数定律)3、中心极限定理(列维林德伯格定理、棣莫弗拉普拉斯定理)第六章数理统计的基本概念1、常见统计量(定义、数字特征公式)2、统计分布3、一维正态总体下的统计量具有的性质4、估计量的评选标准(数学一)5、上侧分位数(数学一)第七章参数估计1、矩估计法2、最大似然估计法3、区间估计(数学一)第八章假设检验(数学一)1、显著性检验2、假设检验的两类错误3、单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验。
考研数理统计知识点详解
考研数理统计知识点详解一、概率与统计基础概率与统计是数理统计学的基础，它们是研究和运用概率以及统计理论和方法解决实际问题的数学学科。
概率用于描述随机现象的不确定性程度，统计则用于从观测数据中进行推断和决策。
在考研中，了解概率与统计基础非常重要。
1.1 概率基础概率是描述随机事件发生可能性的数值，常用的概率计算方法包括：频率概率、古典概型、条件概率、贝叶斯公式等。
考研数理统计中常见的概率分布包括：二项分布、正态分布、泊松分布等。
掌握这些概率的基本概念和计算方法是考研数理统计的基础。
1.2 统计基础统计是通过对实际观测数据的整理、分析和推断，得到总体特征的学科。
统计推断是数理统计的核心内容，它包括估计和假设检验两个方面。
统计学中最常见的估计方法有点估计和区间估计，常见的假设检验方法有参数假设检验和非参数假设检验。
二、随机变量与概率分布随机变量是概率论中的重要概念，它是一个可随机取得不同值的变量。
随机变量可以分为离散随机变量和连续随机变量两类。
2.1 离散随机变量离散随机变量的取值是有限或可数无穷个，其概率可以通过概率质量函数来描述。
常见的离散随机变量包括：二项分布、泊松分布、超几何分布等。
了解这些离散随机变量的特点和计算方法，对于考研数理统计非常重要。
2.2 连续随机变量连续随机变量的取值是一个或多个区间，其概率可以通过概率密度函数来描述。
在考研数理统计中，最常见的连续随机变量是正态分布。
正态分布在实际问题中有广泛的应用，掌握正态分布的特点和计算方法是考研数理统计必备的知识。
三、参数估计参数估计是指根据样本数据来估计总体参数的值，常见的参数估计方法有点估计和区间估计。
3.1 点估计点估计是根据样本数据得到总体参数的一个估计值。
常见的点估计方法有最大似然估计和矩估计。
最大似然估计是根据样本数据选择使得样本观测出现的概率最大的参数值作为估计值，矩估计则是根据样本矩与总体矩之间的关系得到估计值。
3.2 区间估计区间估计是根据样本数据给出总体参数的一个范围，该范围称为置信区间。
统计学专业硕士研究生入学考试数理统计详解
统计学专业硕士研究生入学考试数理统计详解统计学作为一门应用广泛的学科，对于数据的分析和解释起着重要的作用。
在统计学专业硕士研究生入学考试中，数理统计是一个重要的科目。
本文将从概率论、数理统计两个方面对数理统计的考点进行详细解析。
一、概率论概率论是数理统计的基础，掌握好概率论的知识对于理解和应用数理统计非常重要。
在入学考试中，常见的概率论考点包括概率的基本性质、条件概率、独立性、随机变量及其分布、期望和方差等。
首先，概率的基本性质是概率论的基础。
概率的定义、加法定理、乘法定理等都是考试中常见的题型。
考生需要熟练掌握这些基本性质，并能够应用到具体问题中。
其次，条件概率和独立性是概率论中的重要概念。
条件概率是指在已知一些附加信息的情况下，某个事件发生的概率。
独立性是指两个事件之间的发生与否相互独立，互不影响。
考生需要理解条件概率和独立性的概念，并能够运用到实际问题中。
随机变量及其分布是概率论中的重要内容。
随机变量是指在随机试验中可能取到的不同值，而随机变量的分布描述了随机变量取不同值的概率。
常见的分布包括离散分布和连续分布，如二项分布、泊松分布、正态分布等。
考生需要熟悉各种分布的性质和特点，并能够根据具体问题选择合适的分布进行分析。
最后，期望和方差是描述随机变量分布特征的重要指标。
期望是随机变量取值的平均值，而方差是随机变量取值与期望之差的平方的平均值。
考生需要掌握期望和方差的计算方法，并能够应用到实际问题中。
二、数理统计数理统计是统计学的核心内容，主要包括参数估计和假设检验两个方面。
在入学考试中，常见的数理统计考点包括点估计、区间估计、假设检验等。
点估计是利用样本数据对总体参数进行估计。
最常见的点估计方法是最大似然估计，通过寻找使得样本观测值出现的概率最大的参数值来估计总体参数。
考生需要熟悉最大似然估计的原理和计算方法，并能够应用到实际问题中。
区间估计是对总体参数进行估计时给出一个范围，该范围称为置信区间。
数理统计第六章
称为自由度为n的χ 2 − 分布.
2.χ 分布的密度函数f(y)曲线 分布的密度函数f(y) 2.χ2—分布的密度函数f(y)曲线
n −1 − y 1 n/2 y2 e 2, y > 0 f ( y ) = 2 Γ(n / 2) 0, y≤0
3. 分位点 设X ~ χ2(n)，若对于α：0<α<1， α α ， 存在
不是
1 2 2 2 T6 = 2 ( X 1 + X 2 + X 3 ). σ
2. 几个常用统计量的定义
设 X 1 , X 2 ,L, X n 是来自总体的一个样本 , x1 , x2 ,L, xn 是这一样本的观察值 . 1 n (1)样本平均值 样本平均值 X = ∑ Xi; n i =1 1 n 其观察值 x = ∑ x i . n i =1
设 x1 , x2 ,L, xn 是相应于样本 X 1 , X 2 ,L, X n 的样本值 , 则称 g ( x1 , x2 ,L, xn ) 是 g ( X 1 , X 2 ,L, X n ) 的观察值 .
实例1 实例 设 X 1 , X 2 , X 3是来自总体 N ( µ ,σ 2 )的一个
2.基本性质 2.基本性质: 基本性质 f(t)关于t=0(纵轴 对称。 关于t=0(纵轴) (1) f(t)关于t=0(纵轴)对称 f(t)的极限为N(0，1)的密度函数 的极限为N(0 的密度函数， (2) f(t)的极限为N(0，1)的密度函数，即
lim f ( t ) = ϕ ( t ) =
f * ( x1 , x 2 , L , x n ) =
例1 设总体 X 服从参数为 λ (λ > 0) 的指数分
第6章 数理统计的基本概念
(
n1 2
n1
)
+ n2 2
(
)
n2 2
)
(
n1 n2
)(
n1 n2
n1 −1
x) 2 (1 +
n1 n2
−
x)
n1 + n2 2
，x
0
0，
x0
24
f (x) =
(
(
n1 2
0
n1 + n2 2
) ( ，
)
n2 2
)
(
n1 n2
)(
n1 n2
n1 −1
x) 2 (1 +
n1 n2
− n1 + n2
n−2 23
3、F 分布
定义 设 X ~ 2 (n1 ) , Y ~ 2 (n2 ) ,且 X 与 Y 相互
独立,则称随机变量
F = X / n1 Y / n2
服从自由度为 (n1, n2 )的 F 分布，记为 F ~ F (n1, n2 ) .
F(n1,n2)的概率密度为
f (x) =
(
实际上，每一次测量所得结果是一个个体， 而总体是由“一切可能的测量值”组成。这只是 一个想象中存在的集合，因为不可能去进行无限 次测量。它的个体是通过试验“制造”出来的。
这种情况在实际应用中非常之多。给这种总 体同样可规定分布，例如上述例子中说“测量结 果服从正态分布”是容易理解的。
8
二、样本
一般情况下,对总体的每一个个体都进行观察或试 验是不可能的,这是因为经济上、时间上不允许(如个体 的数量很大),或观察试验是带破坏性的(如灯泡的寿命、 炮弹的射程).因此,必须对总体进行抽样观察.
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§1 引言
本书前五章的研究属于概率论的范畴.在那里, 随机变量及其概率分布全面描述了随机现象的统计 规律性,在概率论很多问题中,情形往往并非如此,试 看下面的例子. 【引例 】某公司要采购一批产品,每件产品要么是 正品,要么是次品,若设这批产品的次品率为p（一般 是未知的）,则从该批产品中随机抽取一件,用X表示 抽到的次品数,不难看出X服从0-1分布B(1,p),但分布 中的参数p是不知道的.显然,p的大小决定了该批产 品的质量,它直接影响采购行为的经济效益,故人们 对p提出一些问题,比如:
设总体X具有分布函数F（x）, x1,x2,…,xn为 取自该总体的容量为n的样本,则样本联合分布函 数为： 若总体具有密度函数f(x),则样本的联合密度 函数为 若总体X为离散型随机变量,则样本的（联合） 概率函数为 显然,通常说的样本分布是指多维随机变量 （x1,x2,…,xn）的联合分布.
总体、样本、样本观察值的关系 总体
我们可以看到,第一个工厂的产品质量优于第二 个工厂.实际中,分布中的不合格品率是未知的,如何对 之进行估计是统计学要研究的问题.
§2.2 样本
为了了解总体的分布,我们从总体中随机地 抽取n个个体,记其指标值为x1,x2,…,xn,则 x1,x2,…,xn称为总体的一个样本,n称为样本容量, 或简称样本量,样本中的个体称为样品. 我们首先指出,样本具有所谓的二重性：一 方面,由于样本是从总体中随机抽取的,抽取前无 法预知它们的数值,因此,样本是随机变量,用大写 字母X1,X2,…,Xn表示；另一方面,样本在抽取以 后经观测就有确定的观测值,因此,样本又是一组 数值.此时用小写字母x1,x2,…,xn表示是恰当的.简 单起见,无论是样本还是其观测值,本书中样本一 般均用x1,x2,…,xn表示,读者应能从上下文中加以 区别.
（2）样本要有独立性,即要求样本中每一样品的 取值不影响其他样品的取值,这意味着x1,x2,…,xn 相互独立. 用简单随机抽样方法得到的样本称为简单随 机样本,也简称样本.除非特别指明,本书中的样本 皆为简单随机样本. 于是,样本x1,x2,…,xn可以看成是相互独立的 具有同一分布的随机变量,其共同分布即为总体分 布.
“p的大小如何？” “p大概落在什么范围内？” “能否认为p满足设定要求（如p≤5%）？” 从上例中不难看出,在概率论中研究的 随机变量,它们的概率分布往往是已知的,但 这在实际问题中,我们考察的随机现象虽然 可以用某个随机变量X去描述它们,但X的概 率分布往往是未知的,这就需要我们用数理 统计的方法来解决此类实际问题,由此可见, 数理统计学在理论和应用上的重要性.
§2 总体与样本
§2.1 总体与个体
在一个统计问题中,我们把研究对象的全体称为总体, 构成总体的每个成员称为个体.对多数实际问题.总体中的 个体是一些实在的人或物.比如,我们要研究某大学的学生 身高情况,则该大学的全体学生构成问题的总体,而每一个 学生即是一个个体.事实上,每个学生有许多特征：性别、 年龄、身高、体重、民族、籍贯等.而在该问题中,我们关 心的只是该校学生的身高如何,对其他的特征暂不予以考 虑.这样,每个学生（个体）所具有的数量指标值——身高 就是个体,而将所有身高全体看成总体.这样一来,若抛开实 际背景,总体就是一堆数,这堆数中有大有小,有的出现的机 会多,有的出现的机会少,因此用一个概率分布去描述和归 纳总体是恰当的.从这个意义上看,总体就是一个分布,而其 数量指标就是服从这个分布的随机变量.以后说“从总体 中抽样”与“从某分布中抽样”是同一个意思.
[例6-2]啤酒厂生产的瓶装啤酒规定净含量为640g,由 于随机性,事实上不可能使得所有的啤酒净含量均为 640g ,现从某厂生产的啤酒中随机抽取10瓶测定其净 含量,得到如下结果：
641 635 640 637 642 638 645 643 639 640
这是一个容量为10的样本的观测值.对应的总体 为该厂生产的瓶装啤酒的净含量.
理论分布
样本
样本观察值
统计是从手中已有的资料——样本观察值,去推断总 体的情况——总体分布.样本是联系两者的桥梁.总体 分布决定了样本取值的概率规律,也就是样本取到样 本观察值的规律,因而可以用样本观察值，用一架天平重复测 量n次，得样本x1，x2，…，xn，由于是独立重复 测量，x1，x2，…，xn是简单随机样本。总体的分 布即x1的分布（x1，x2，…，xn分布相同）。由于 称量误差是均值（期望）为零的正态变量，所以x1 可认为服从正态分布N（μ，σ2）（X1等于物件重 量μ）加上称量误差，即x1的概率密度为
从总体中抽取样本时,为使样本具有代表性,抽 样必须是随机抽样.通常可以用随机数表来实现随机 抽样.还要求抽样必须是独立的,即每次的结果互不 影响.在概率论中,在有限总体（只有有限个个体的 总体）中进行有放回抽样,是独立的随机抽样；然而, 若为不放回抽样,则是不独立的抽样.
但当总体容量N很大但样本容量n较小 时, 不放回抽样可以近似地看做放回抽样,即可近似看 做独立随机抽样. 下面,我们假定抽样方式总满足独立随机抽样 的条件. 从总体中抽取样本可以有不同的抽法,为了能 由样本对总体做出较可靠的推断,就希望样本能很 好地代表总体.这就需要对抽样方法提出一些要求, 最常用的 “简单随机抽样”有如下两个要求： （1）样本具有随机性,即要求总体中每一 个个体都有同等机会被选入样本,这便意味着每 一样品xi与总体X有相同的分布.
【例6-1 】考察某厂的产品质量,将其产品只分为合 格品与不合格品,并以0记合格品,以1记不合格品,则 总体={该厂生产的全部合格品与不合格品}={由0或1 组成的一堆数}. 若以p表示这堆数中1的比例（不合格品率）,则 该总体可由一个二点分布表示：
不同的p反映了总体间的差异.例如,两个生产同 类产品的工厂的产品总体分布为：