附录1 截面的几何性质

*附录Ⅰ.4 转轴公式 主惯性轴和主惯性矩
1. 惯性矩和惯性积的转轴公式
y1 y cos z sin z1 z cos y sin
I y1
z12dA
(z cos y sin )2 dA
A
cos2 z2dA sin2 y2dA 2sin cos yzdA
A
A
A
I y cos2 Iz sin2 I yz sin 2
例附录Ⅰ-4 试计算图示截面对y轴的惯性矩Iy。
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材料力学>>截面的几何性质>>平行移轴公式
例附录Ⅰ-5 求图示半圆形截面对平行于底边的z轴的惯性矩Iz。
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材料力学>>截面的几何性质>>
例附录Ⅰ-1 试计算图示矩形截面对其对称轴y和z的惯性矩Iy 、Iz和Iyz。
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材料力学>>截面的几何性质>>惯性矩、惯性积和惯性半径
例附录Ⅰ-2 试计算图示圆截面对其形心轴的惯性矩。
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当主轴的交点与截面的形心重合时，这对坐标轴就称为形心主惯性轴。 形心主惯性矩: 截面对两个的形心主惯性矩中，一个为最大值，另一个为最小值。 当截面只有一个对称轴时，则该对称轴及过形心并与对称轴相垂直 的轴即为截面的形心主轴。
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材料力学>>截面的几何性质>>转轴公式
1. 惯性矩和惯性积的转轴公式
I y1z1
Iy
2
Iz
sin 2
I yz cos2
I y1 I z1 I y I z
2. 截面的主惯性轴和主惯性矩
k k 90 惯性积的正负号相反
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材料力学>>截面的几何性质>>转轴公式
2. 截面的主惯性轴和主惯性矩
I y0z0 0
这一对坐标轴就称为主惯性轴（简称主轴）。 截面对主轴的惯性矩称为主惯性矩。
确定主轴的位置。设主轴与原坐标轴之间的夹角为0，将=0代入惯性
积的表达式，并令其等于零 ，得：
Iy
2
Iz
sin
2 0
I yz
cos 20
0
tan 20
2I yz Iy Iz
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材料力学>>截面的几何性质>>
附录Ⅰ.3 平行移轴公式
y yC b
z zC a
I y
z 2dA
A
A (zC a)2 dA
A zC2 dA 2a A zC dA a2
dA
A
Iz
y 2dA
A
A ( yC b)2 dA
A yC2 dA 2b A yC dA b2
配套南京大学出版社《材料力学》（苏振超等主编） ISBN: 978-7-305-18566-3
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附录Ⅰ 截面的几何性质
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材料力学>>
附录Ⅰ.1 截面的几何性质
附录Ⅰ.1 截面的静矩 附录Ⅰ.2 惯性矩、惯性积和惯性半径 附录Ⅰ.3 平行移轴公式 附录Ⅰ.4 转轴公式 主惯性轴和主惯性矩*
cos2 1 (1 cos2 ) sin2 1 (1 cos2 )
2
2
I y1
Iy
2
Iz
Iy
2
Iz
cos2
I yz sin 2
I z1
Iy
2
Iz
Iy
2
Iz
cos2
I yz sin 2
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材料力学>>截面的几何性质>>转轴公式
dA
A
Iyz
yzdA
A
A( yC b)(zC a)dA
A
yC zC dA
a
A
yCdA b
A zC dA
ab
dA
A
分别为截面对其形心轴yC、zC的静矩，故均应等于零。
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材料力学>>截面的几何性质>>平行移轴公式
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材料力学>>截面的几何性质>>惯性矩、惯性积和惯性半径 附录Ⅰ.2 惯性矩、惯性积和惯性半径
• 惯性矩
Iz
y2dA
A
Iy
Baidu Nhomakorabeaz 2dA
A
• 惯性积
Iyz
yzdA
A
• 惯性半径
iy
Iy A
iz
Iz A
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材料力学>>截面的几何性质>>惯性矩、惯性积和惯性半径
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材料力学>>截面的几何性质>>转轴公式
例附录Ⅰ-6 证明图（a）所示正五边形截面的形心轴均为形心主轴，且 截面对所有形心轴的惯性矩均相等。图中C为形心。
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本章结束
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材料力学>>截面的几何性质>>惯性矩、惯性积和惯性半径
例附录Ⅰ-3 试计算图示三角形截面对平行于底边的形心轴z的惯性矩Iz。
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材料力学>>截面的几何性质>>惯性矩、惯性积和惯性半径
组合截面：
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材料力学>>截面的几何性质>> 附录Ⅰ.1 截面的静矩
Sz
ydA
A
Sy
zdA
A
静矩的量纲为[长度]3
形心坐标与静矩之间的关系为
yC
Sz A
zC
Sy A
Sz yC A
S y zC A
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2. 截面的主惯性轴和主惯性矩
I y0
Iy
Iz 2
1 2
(Iy
Iz )2
4I
2 yz
I z0
Iy
2
Iz
1 2
(I y
Iz
)2
4
I
2 yz
截面对惯性主轴的惯性矩取得极值
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材料力学>>截面的几何性质>>转轴公式
2. 截面的主惯性轴和主惯性矩