附录1 截面的几何性质
附录 截面几何性质(1)
代入公式
xdA
ydA
xC
A
A
,
yC
A
A
，可得到截面的形心坐标与静矩间的
关系为
Sx AyC , S y AxC
若已知截面的静矩，则可由上式确定截面形心的位置；反之，
若已知截面形心位置，则可由上式求得截面的静矩。
由上式可以看出，若截面对某轴（例如x轴）的静矩为零 （Sx=0），则该轴一定通过此截面的形心（yC=0）。通过截面形心 的轴称为截面的形心轴。反之，截面对其形心轴的静矩一定为零。
截面形心C的坐标为
xC
A1xC1 A2 xC2 A1 A2
105000 175－ 22500 105000－22500
300
mm
140.9mm
yC
A1 yC1 A2 yC2 A1 A2
105000 150－ 22500 105000－22500
200
mm
136.4mm
目录
附录Ⅰ 截面的几何性质\静矩与形心 解法二。
将截面看作由大矩形减去三角 形组成的组合截面，被减去部分的 面积应取负值，这种方法称为负面 积法。矩形和三角形的面积及形心 C1、C2的坐标分别为
矩形 A1=105000mm2， xC1=175mm， yC1=150mm
三角形 A2=－22500mm2， xC2=300mm， yC2=200mm
分别用Sx和Sy表示，即
Sx
A ydA , Sy
xdA
A
目录
附录Ⅰ 截面的几何性质\静矩与形心
由定义知，静矩与所选坐标轴的位置有关，同一截面对不同坐 标轴有不同的静矩。静矩是一个代数量，其值可为正、为负、或为 零。静矩的单位为mm3或m3。
附录Ⅰ-常见截面的几何性质
取微面积dA=dzdy，则：Izy 0;
例5-3 圆形截面对其形心轴的惯性矩。 解：取yoz坐标系。取微面积dA=2zdy,则：
由 Iz 对 A y 2 称 dIy A 性 R IR z2 y ： 2 6D 44R ;2 由 y 几 2 d 何 y 关 R 4 4 系 2＝ ： 6 D y24 ;4 z2,
当Sz=0或Sy=0时，必有yc=0或zc=0，可知截面对某轴的
静矩为零时，该轴必通过截面形心；反之，若某轴通过形心，
Байду номын сангаас
则截面对该轴的静矩为零。
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二、形心公式：
yc
SAz ;zc
Sy A
.
三、组合截面的静矩：n个简单图形组成的截面，其静矩为：
n
Sz Ai yci; i1
z2dA;
A
圆形截面：Iy
Iz
D4 ;
64
几何关系： IP A2 d A A (y 2 z 2 ) d A I Z Iy .
四、惯性积：
Izy
zydA;
A
五、平行移轴公式：
Iz1za2A; y1 y b2A; Iz1y1 Izyab;A
特点：①两个形心主惯性矩是截面对过形心所有各轴的惯性矩 中的极大值和极小值；
②有一根对称轴的截面，形心主轴是对称轴和与之垂直 的形心轴；
③有两根对称轴的截面，形心主轴是两根对称轴； ④无对称轴的截面，由转轴公式求对形心的惯性积为零 的 o 角，即 形心主惯性轴。
第五节 组合截面惯性矩的计算 工程中常遇到组合截面。计算其形心主惯性矩时，应先确定形 心位置、形心主轴，再求形心主惯性矩。
材料力学(金忠谋)第六版答案-附录
材料力学(金忠谋)第六版答案-附录附录I 截面图形的几何性质I-1 求下列截面图形对z 轴的静矩与形心的位置。
解：（a ）)2)2((2)2(2h t h b t h ht t h bt s z ++=⋅++=hb h t h b h b t h t h b t A s y zc +++=+++==2)2()()2)2((22（b ）322332219211)}2)4()43()41()43(32(])4()43[(2{4442DD D D D D D D D D s z =--⨯-+⨯⨯-=ππDD D D D DAs y z c 1367.0])2()43[(2)44(219211223=-⨯+⨯==π（c ）]22)[(22)(2h t t b t h ht t t t b s z +⋅-=⨯+⨯⨯-=tb)(2)(2t b h h t t b A s y z c -++-==I-2 试求（1）图示工字形截面对形心轴 y 及 z 的惯性矩zI 与I y 。
（2）图示 T 字形截面对形心轴的惯矩zI 与I y 。
解(a)12)2)((12)2)((123333t h t b bh t h t b bh J z ---=---=12))2(2(12))(2(1222333t t h b t t t h tb J y -+=-+=(b) cmy c 643.9)520515(2)515(552522=⨯+⨯-⨯+⨯=(b433423231615121551252010186520)643.91025(12205515)5.2643.9(12515cm J cm J y z =⨯+⨯==⨯⨯--+⨯+⨯⋅-+⨯=I-3 求图示椭圆截面对长轴的惯矩、惯性半径与对形心的极惯矩。
解：θθcos ,sin ⋅=⋅=a z b yθθd b dy cos = ⎰⎰--⋅==∴b bbbz zdyy dA y J 222322223224cos sin 2cos cos sin 2ab d abd b a b J bb z πθθθθθθθππ==⋅=⎰⎰--)(4)(42422333b a ab b a ab J J J b ab ab AJ i y z p zz +=+=+====ππππI-4 试求图示的41的圆面积（半径a ）对于z ，yyy 轴的惯性积zyI 。
附录1 截面的几何性质
d D
I y内 I zc
y I z内
d4
64
2
64
d I zc A内 2 d 4 d 2 d 2 5 d 4 64 4 64 2
I y I y外 I y内 I z I z外 I z内
D4
I y bh 12
3
h
C
b
y
I y I yi I z I zi
i 1
n
n
i 1
13
三、惯性积： I yz yz dA
z
dA dA
y y
A
大小：正，负，0。
量纲：[长度]4
z 轴为对称轴：I yz yz dA 0
A
z
z
y y
O
图形对任一包含对称轴在内的一 对正交坐标轴的惯性矩为0。
C2
C yc , zc
10
C1
10 80 5 10 110 65 39.74 mm 10 80 10 110
120
80
y
A1 y1 A2 y2 yc A1 A2 10 80 40 10 110 5 9 19.74 mm 10 80 10 110
(2)计算Iz
S z ' A1 yC1 A2 yC 2 yc A A1 A2 500 800 400 400 550 425 500 800 400 550 369.44mm
I z I z1 I z 2 1.541010 mm4
21
[例Ⅰ-6] 电线铁塔基座采用四个等边角钢组成 L160× 10mm，a=3m，试计算基座的形心主惯性矩。
材料力学 截面的几何性质
1、矩形截面 h
Iz
y2dA
A
2 h
y 2bdy
h
2
dy y
b y 3 2 1 bh3 3 h 12
2
同理
Iy
z2dA 1
A
12
hb3
b h z
y
26
2、实心圆截面
y
已知
IP
A2dA
D 4 32
D
z
则 I P A2 d A A y 2 d A A z 2 d I A z I y
A
Iz Iy
此式说明了极惯性矩与轴惯性矩之间的关系。
z
y
o
A dA
z
y
惯性积
定义
Iyz
yzdA
A
z y
A dA
为图形对y、z轴的惯性积 。
z
o
y
惯性积的数值可正，可负，也可为零。惯性积的量纲是[长 度]4 ，常用单位为m4和mm4。
定理：若有一个轴是图形的对称轴，则图形对这对轴 的惯性积必然为零。
4.3 形心主惯性轴和形心主惯性矩
若主惯性轴通过形心，则该轴称为形心主惯性轴(principal centroidal axis)。
图形对形心主惯性轴的惯性矩称为形心主惯性矩。 由于图形对于对称轴的惯性积等于零，而对称轴又过形心，所以，图形 的对称轴就是形心主惯性轴。
形心主惯性轴的特点可归纳为以下几点： ⑴形心主惯性轴是通过形心，由角定向的一对互 相垂直的坐标轴。
32
32
圆环形对y(或z)轴的惯性矩为
IyIz1 2Ip6 D4414
由于y轴为对称轴，故
Iyz 0
z
y
d D
材料力学 附录_2
267 104 mm4
附录I 截面的几何性质
于是有组合截面对于两主轴x轴和y轴的惯性矩分别为
I x I x1 2 I x2 3690 10 4 mm 4 2 2110 10 4 mm 4 7910 10 4 mm 4 I y I y1 2 I y2 431 10 4 mm 4 2 267 10 4 mm 4 965 10 4 mm 4
附录I 截面的几何性质
解：将原平面图形分成上中下三个矩形。过形心建立参考坐标 系
40 53 5 603 I x 2I x1 I x2 2 40 5 27.52 12 12 y 4 4 393333 mm 39.33cm I y 2 I y1 I y2
I yC 218.415 cm 形心位置如图所示 90 mm×90 mm×12 mm 等边角钢截面
4
A 20.30 cm 2 I xC I yC 149.22 cm 4
形心位置如图所示
附录I 截面的几何性质
组合截面的形心C在对 称轴x上。以两个角钢截面的 形心连线为参考轴,只需求组 合截面形心C以该轴为基准 的横坐标 x ：
a
x
附录I 截面的几何性质
例题
图示组合截面由一个 25c号槽钢截面和两个 90 mm×90 mm×12 mm等边角钢截面组成。 试求此截面分别对于形 心轴x和y的惯性矩Ix 和 Iy 。
附录I 截面的几何性质
解: 1. 求组合截面的形心位置
由型钢规格表查得：25c号槽钢截面 A 44.91cm 2， I xC 3 690.45 cm4
I x1 y1 dA
2 A
x1 x cos y sin y1 x sin y cos
附录1-截面的几何性质 杨大方
Ix
C
2 πd 4 2d πd 2 2d πd I x 128 3π 8 3π 8
2
2
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
附录Ⅰ 截面的几何性质
然后再利用平行移轴公式求半圆形对x轴的惯性矩：
I x2 I x C
2d πd 2 a 3π 8
I p dA ( x y )dA
2 2 2 A A
O 二、惯性矩： 是面积与它到轴的距离的平方之积。
A A
x 2dA y 2dA I x I y
图形对x轴的惯性矩: 图形对y轴的惯性矩:
11
I x y 2 dA
A
量钢：L4
I y x 2 dA
tg2 0 2I xCyC I xC I yC
⑥求形心主惯性矩
31
I xC0 I xC I yC I xC I yC 2 2 ( ) I xCyC 2 2 I yC0
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
附录Ⅰ 截面的几何性质
例3 在矩形内挖去一与上边内切的圆，求图形的形心主轴。(b=1.5d)
附录Ⅰ 截面的几何性质
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
附录Ⅰ 截面的几何性质
Ⅰ-3 惯性矩和惯性积的平行移轴公式·
一、平行移轴定理： 以形心为原点，建立与原坐标轴平行 的坐标轴如图
y
y
yC x dA xC C b y x
xa xC yb yC
I x y 2 dA
A
a
( yC b) 2 dA
2
2 πd 4 2d 2 πd 2 2d πd 2 a 8 3π 8 128 3π
附录 截面的几何性质(材料力学)
b b( y ) ( h y ) h
b(y )
S x A y d A 0
b bh2 (h y ) y d y h 6
h
dy
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
例 试确定图示截面心 C 的位置。 解：将截面分为 1，2 两个矩形。 取 x 轴和 y 轴分别与截面 的底边和左边缘重合 y
10
1
x1
C( y, x )
y1
o
2
y2
10
x2
80
x
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
思考： 求下图所示截面的形心位置
50
10 A1
z
60
A2
10
y
12
yc1 A1 yc 2 A2 yc A1 A2
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
例 半径为r的半圆：求半圆的形心。 解 在距 z 轴任意高度 y 处取狭长条 作为微面积，即
分别称为截面图形对于z轴和y 轴的惯性矩。 惯性矩的数值恒为正，常用单位为m4 。
14
dA
y x
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
二、极惯性矩
y
I p 2 dA
A
称为截面图形对O点的极惯性矩。
x
dA y x
2 x2 y 2
I p 2dA x 2 y 2 dA x 2dA y 2dA I y I x
A
y
z y A o
A
A
y
dA z
y
ydA S A z A A
求静矩的另一公式：
Sy x A
5
Sx y A
材料力学截面图形的几何性质习题
附录Ⅰ 截面图形的几何性质
I-1 填空题： I-1(1) 当一个正方形的边长和一个圆形的直径相等时，两图形对 其形心轴的惯性矩之比应为 16 。
3π
I-1(2) 若已知图示平面图形对 A 轴的惯性矩为 27 bh3 ，则图 4
形对 C 轴的惯性矩为 3 bh3 ，对 D 轴的惯性矩为 9 bh3 。
y xC
−α
0
α
= 2 R3 sin α 。 3
x Oα C
R
A = R 2α 。
xC
=
2R3 sin α 3R 2α
=
2 R sinα 3α
。
题 I-4 图
I-5 如图的截面由一个直径为 D 的半圆和一个矩形组成。如果图形的形心位于半圆的水
平直径处，求矩形的高 a。
解：上半圆对形心轴的静矩：
S1
=
12
-1-
B
A
题 I-1(6) 图
工程力学习题解答
I-2 单选题：
I-2(1) 边长为 4a 的正方形，在如图位置挖去一个边长为 a
的小正方形，余下的阴影图形对坐标轴 x、y、x′、y′的静
矩分别为 S x , S y , S x′ , S y′ ，其中只有 C 是对的。
A． S x
=
a3 2
B． S y =
C． I x = I x′ + (a2 + a′2 ) A D． I x = I xC + (a + a′)2 A E． I x = I x′ + 2aa′A + a2 A F． I x = I x′ + 2aSx′ + a2 A
b′ C a′
材料力学附录I-1
I.2 极惯性矩 惯性矩 惯性积 2. 惯性矩
x 2 d A A I x y 2 d A A Iy
称为整个截面对y轴或x轴的惯性矩，亦称面积对轴 的二次矩，常用单位为m4或mm4。
图 I-5
I p 2 d A x2 d A y 2 d A I y I x
A A A
上式表明平面图形对任意两个互相垂直的轴的惯性矩之和等于该图 形面积对两轴交点的极惯性矩。 平面图形对过同一原点的任意两个互相垂直的轴的惯性矩之和是一个常量。
3. 惯性积
I xy
xy d A
A
称为整个截面图形A对x、y轴的惯性积。惯性积是对一对正交轴定义的，
因此也是面积的二次矩，可正、可负也可能为零，常用单位为m4或mm4。 若x、y轴中有一个轴为截面的对称轴，则整个截面对两轴的惯性积恒 等于零。可以证明，在对称轴两侧对称位置处的微面积对于两轴的惯性积 数值相等而符号相反，因此整个截面对两轴的惯性积必然等于零。若x、y 轴都为对称轴，则整个截面对两轴的惯性积自然为零。
S x S x I S xII
图 I-4 例题I-3图
由 S x I S xII 0 ，可得
S x I S xII
I.2 极惯性矩 惯性矩 惯性积 1. 极惯性矩
I p 2 dA
A
定义为整个截面对O点的极惯性矩。 极惯性矩的数值恒为正，常用单位为m4或mm4。
图 I-5
S x y d A y d A1 y d A2 A A1 A2 S y x d A x d A1 x d A2 A A1 A2
或
S x yC A yC1 A1 yC 2 A2 yCi Ai i 1 n S y xC A xC1 A1 xC 2 A2 xCi Ai i 1
深度完美xpv附录Ⅰ
反移轴公式
(1)两对平行轴中必须有一对为形心轴。
(2)在应用惯性积平行移轴公式时，注意a、b 旳正负号。
求 I y1、Iz1、I y1z1
b z1
I y1
Iy
b 2
2
bh
hb3 hb3 12 4
h
C
z
hb3 3
y1
y
I z1
Iz
h 2
2
bh
bh3 bh3 12 4
bh3 3
（I-7）
（I-7）式表白：
任意截面对其所在平面内任一点旳极
惯性矩Ip，等于该截面对过此点旳一 对正交坐标轴旳惯性矩之和。
O
z
y
z dA
y
o
A
z1 z
y y1
I p I z I y I z1 I y1
四、常用截面惯性矩公式
例I-4 求矩形截面对其对称轴z和y轴旳惯性矩
解：
dA bdy
Iz
I y1z1
I yz
b 2
h 2
bh
0 b2h2 4
b2h2
4
例I-6 求图示截面对形心轴y、z旳惯性矩。
解：(1) 计算三部分对y、z 轴旳惯性矩
h
4
I yI
hb3 12
I zI
bh3 12
h 4
h
I yII
I yIII
d4
64
4 h
I zII
I zIII
d4
64
h 4
2
d 4
y2dA
A
h/ 2 by2dy bh3
h/2
12
h
即
Iz
材料力学 附录 截面的几何性质
(Properties of Plane Areas) 三、组合截面的静矩和形心 (The first moments ¢roid of a composite area)
由几个简单图形组成的截面称为组合截面.
截面各组成部分对于某一轴的静矩之代数和，等于该截 面对于同一轴的静矩.
(Properties of Plane Areas)
§1-1 截面的静矩和形心 (The first moment of the area & centroid of
an area)
一、静矩(The first moment of the area ）
截面对 y , z 轴的静矩为
z
S y
zdA
A
Sz
ydA
A
dA z
静矩可正，可负，也可能等于零.
1
矩形 2
A2 10 80 800mm2
y2
10
80 2
50mm
z2 5mm
所以 y A1 y1 A2 y2 23mm A1 A2
z A1z1 A2z2 38mm A1 A2
y1
z1
2 z2
10
O y2
y
90
(Properties of Plane Areas)
方法2 用负面积法求解，图形分割及坐标如图(b)
yC , zC￣ 过截面的形心 C 且与 y, z轴平行
的坐标轴(形心轴）
z
Iy , Iz , Iyz — 截面对 y, z 轴的惯性矩和惯性积.
zC
IyC , IzC , IyCzC￣ 截面对形心轴 yC , zC的惯性矩
n
Ai zi
z
附录I-截面几何性质-习题答案
习题I −1 试求平面图形的形心位置。
解：由对称 m 3.0c =z m 357.02.04.04.02.02.06.07.02.04.04.04.02.01.02.06.0c =⨯+⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=y解：m 093.04.01.01.03.005.04.01.015.01.03.0c =⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯=z m 193.04.01.01.03.03.04.01.005.01.03.0c =⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯=yI −2 试求平面图形的形心坐标。
解：O(c)(a)z(b)l n n dzz zdzz z lnln2100c ++==⎰⎰()2c +=-=⎰⎰n ldzz ydyy l y nlnl n n解：由对称 r z =cπππ342322223222cr rr rydyy ry r==-=⎰I −3 试求图示截面的阴影线面积对z 轴的静矩。
（图中C 为截面形心）解：3c **mm 24000302040=⨯⨯==y A S zzO(d)(a)(b)解：3c **mm 422505.322065=⨯⨯==y A S zI −4 求以下截面对z 轴的惯性矩。
（z 轴通过截面形心） 解：()64646442414241d d d d I z -=-=πππ解：12121242414241a a a a I z -=-=I −5 试求图示三角形截面对通过顶点A 并平行于底边BC 的z 轴的惯性矩。
解： 432bh y bdy h y I hz =⎪⎭⎫⎝⎛⋅=⎰I −6 试求图示r =1m 半圆形截面对于z 轴的惯性矩。
其中z 轴与半圆形的底边平行，相距1m 。
(a)a(b)C解： 444m 3927.06422164211=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ππd I z由（I-2）知z 1、 z 0之间的距离π34cr y =所以由2c1Ay I I z z += 得 4222cm1098.0314213927.01=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⨯⨯-=-=ππAy I I z z于是 4222m30.33141211098.00=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯+⨯⨯+=+=ππAaI I z zI −7 在直径D =8a 的圆截面中，开了一个2a ×4a 的矩形孔，如图所示。
附录I_截面的几何性质(3学时)
④建立形心坐标系；求：IyC ， IxC ， IxCyC ⑤求形心主轴方向 — 0
3
y
h/2 h/2 b/2 b/2
dy
hb 3 I y z dA z 2 bdz A b 2 12
b 2
y z
I yz
A
yzdA
h/ 2
h/ 2
ydy
b/ 2
b / 2
zdz 0
h/2
y z
dz
z
如果截面图形有一个对称轴，截 面图形对与对称轴组成正交坐标 系的轴的惯性积为零。
100
z1
２、求静矩
z
20
Sz = yCAi
＝80 × 2 × 100 × 20＝32 × 10４
8
dfafdf
Dept. of Mech.
•法二：若不求形心
Sz = AiyCi＝20× 100 × 110＋20 × 100 × 50 ＝32 × 10４mm3 法三： Sz =120 × 100 × 60-2 × 100 × 40 × 50 = 32 × 10４mm3
Iz I y 2
2
y
y1
z z1 y
dA
y1
z1
z
Iz I y 2
cos 2 I y z sin 2 I
2 cos 2 I y z sin 2 I 90
I y1
Iz I y
Iz I y
I y1 I z1 I y I z C I z 1 y1
I-1 截面的静矩和形心位置
《材料力学》附录I 截面的几何性质 习题解
附录I 截面的几何性质 习题解[习题I-1] 试求图示各截面的阴影线面积对x 轴的静积。
（a ）解：)(24000)1020()2040(3mm y A S c x =+⨯⨯=⋅=（b ）解：)(42250265)6520(3mm y A S c x =⨯⨯=⋅= （c ）解：)(280000)10150()20100(3mm y A S c x =-⨯⨯=⋅=（d ）解：)(520000)20150()40100(3mm y A S c x =-⨯⨯=⋅=[习题I-2] 试积分方法求图示半圆形截面对x 轴的静矩，并确定其形心的坐标。
解：用两条半径线和两个同心圆截出一微分面积如图所示。
dx xd dA ⋅=)(θ；微分面积的纵坐标：θsin x y =；微分面积对x 轴的静矩为： θθθθθdxd x x dx xd y dx xd y dA dS x ⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅=sin sin )(2半圆对x 轴的静矩为：32)]0cos (cos [3]cos []3[sin 33003002r r x d dx x S r rx =--⋅=-⋅=⋅=⎰⎰πθθθππ因为c x y A S ⋅=，所以c y r r ⋅⋅=232132π π34ry c = [习题I-3] 试确定图示各图形的形心位置。
（a ） 解：解：[习题I-4] 试求图示四分之一圆形截面对于x 轴和y 轴的惯性矩x I 、y I 和惯性积xy I 。
解：用两条半径线和两个同心圆截出一微分面积如图所示。
dx xd dA ⋅=)(θ；微分面积的纵坐标：θsin x y =；微分面积对x 轴的惯性矩为： θθθθθdxd x dx xd x dx xd y dA y dI x ⋅=⋅⋅=⋅==232222sin sin )(四分之一圆对x 轴的惯性矩为： ⎰⎰⎰-⋅==2/0042/02322c o s 1]4[s i n ππθθθθd x d dx x I r rx)]2(2cos 21[2142/02/04θθθππd d r ⎰⎰-⋅= }]2[sin 212{82/04πθπ-=r 164r ⋅=π由圆的对称性可知，四分之一圆对y 轴的惯性矩为：164r I I x y ⋅==π微分面积对x 轴、y 轴的惯性积为：xydA dI xy =8)42(21]42[21)(21444042222022r r r x x r dx x r x ydx xdx I r rx r rxy =-=-=-==⎰⎰⎰- [习题I-5] 图示直径为mm d 200=的圆形截面，在其上、下对称地切去两个高为mm 20=δ的弓形，试用积分法求余下阴影部分对其对称轴x 的惯性矩。
材料力学-截面几何特性
I 0 xC 2 yC 2
IxC IxC1 A1 yc21 IxC2 A2 yc22 1104 mm4 1200mm2 (15mm)2 28.58mm4 700mm2 (25mm)2 100.33mm4
64
9 /2
Ix2 Ix2C A2 (a xc2 )2 28mm 4 (80mm )2 (100 17)2 8 3467mm4
组合截面对x轴的惯性矩为
I x I x1 2I x2 5333mm4 23467mm4 12270mm4
§I-4 惯性矩和惯性积的转轴公式 ·截面 的主惯性轴和主惯性矩
A
A ( yC b)2 dA
A ( yC2 2byC b2 )dA
I xC 2bSxC b2 A
Ix IxC 2bSxC b2 A
因为C为形心
SxC AyC 0
y
yC
x
dA
a
r
bC y
xC
x
I x I xC b2 A 同理：
I y I yC a2 A I xy I xC yC abA I p I pC (a2 b2 ) A
C1
80
x
图(b)
x
xi
Ai
x 1
A1x
2
A2
A
A1A2
409600 45 7700 19.7mm 9600 7700
y
yi Ai
y 1
A1
y
2
A2
A
A1 A2
609600 65 7700 39.7mm 9600 7700
材料力学 附录Ⅰ截面的几何性质
材料力学附录Ⅰ截面的几何性质随着材料科学的不断发展，材料力学成为研究材料内部结构和力学行为的重要学科之一。
在材料力学中，研究截面的几何性质是必不可少的一部分。
本文将着重介绍截面几何性质的相关知识，探讨其在材料力学中的应用。
一、截面的定义截面是指在任意平面上与某个物体相交的部分，一般用于描述杆件、梁、板等结构物体的断面形态。
材料力学中，截面的几何参数是研究杆件、梁、板等结构物体受力行为的重要基础。
二、常见截面形状和特征常见的截面形状包括矩形、圆形、三角形、梯形、T形等。
其几何参数如截面面积、惯性矩、位置矩、受压、受弯等，均是描述结构物体受力行为的重要指标。
对于矩形截面来说，其惯性矩最大的方向是短边方向，即截面中心距离短边较远的一侧。
圆形截面的惯性矩与位置矩均与截面对称轴有关。
对于三角形截面来说，其惯性矩与位置矩也是与截面对称轴有关的，而梯形截面和T形截面的惯性矩和位置矩则需要具体计算得出。
三、截面的常见计算公式在计算截面的几何性质时，需要用到一些公式。
以下是一些常见的公式：1、截面面积截面面积是截面内部曲线及其间距离所组成的面积。
不同截面形状的截面面积计算公式如下：矩形截面：A = bh圆形截面：A = πr²三角形截面：A = 1/2bh梯形截面：A = 1/2(a+b)hT形截面：A = (bh₁+ (b₂-h₂)h₂/2)2、截面惯性矩截面惯性矩是描述结构物体受弯作用时截面抵抗弯曲的能力的重要参数，其计算公式如下：Ixx = ∫(y²)dAIyy = ∫(x²)dA其中，x，y分别表示离截面中心最远的两侧点的坐标，dA表示一个面积微元。
3、位置矩位置矩是描述结构物体受纵向荷载作用时截面的抵抗能力的参数，其计算公式如下：Qx = ∫(y)dAQy = ∫(x)dA其中，x，y分别表示离截面中心最远的两侧点的坐标，dA表示一个面积微元。
四、截面几何性质在材料力学中的应用截面几何性质在材料力学中具有广泛的应用。
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材料力学>>截面的几何性质>>惯性矩、惯性积和惯性半径
例附录Ⅰ-2 试计算图示圆截面对其形心轴的惯性矩。
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材料力学>>截面的几何性质>>转轴公式
例附录Ⅰ-6 证明图（a）所示正五边形截面的形心轴均为形心主轴，且 截面对所有形心轴的惯性矩均相等。图中C为形心。
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本章结束
例附录Ⅰ-4 试计算图示截面对y轴的惯性矩Iy。
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材料力学>>截面的几何性质>>平行移轴公式
例附录Ⅰ-5 求图示半圆形截面对平行于底边的z轴的惯性矩Iz。
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材料力学>>截面的几何性质>>
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材料力学>>截面的几何性质>>惯性矩、惯性积和惯性半径
例附录Ⅰ-3 试计算图示三角形截面对平行于底边的形心轴z的惯性矩Iz。
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材料力学>>截面的几何性质>>惯性矩、惯性积和惯性半径
组合截面：
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附录Ⅰ 截面的几何性质
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材料力学>>
附录Ⅰ.1 截面的几何性质
附录Ⅰ.1 截面的静矩 附录Ⅰ.2 惯性矩、惯性积和惯性半径 附录Ⅰ.3 平行移轴公式 附录Ⅰ.4 转轴公式 主惯性轴和主惯性矩*
4
材料力学>>截面的几何性质>>惯性矩、惯性积和惯性半径 附录Ⅰ.2 惯性矩、惯性积和惯性半径
• 惯性矩
Iz
y2dA
A
Iy
z 2dA
A
• 惯性积
Iyz
yzdA
A
• 惯性半径
iy
Iy A
iz
Iz A
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材料力学>>截面的几何性质>>惯性矩、惯性积和惯性半径
2. 截面的主惯性轴和主惯性矩
I y0z0 0
这一对坐标轴就称为主惯性轴（简称主轴）。 截面对主轴的惯性矩称为主惯性矩。
确定主轴的位置。设主轴与原坐标轴之间的夹角为0，将=0代入惯性
积的表达式，并令其等于零 ，得：
Iy
2
Iz
sin
2 0
I yz
cos 20
0
tan 20
2I yz Iy Iz
dA
A
Iyz
yzdA
A
A( yC b)(zC a)dA
A
yC zC dA
a
A
yCdA b
A zC dA
ab
dA
于零。
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材料力学>>截面的几何性质>>平行移轴公式
1. 惯性矩和惯性积的转轴公式
I y1z1
Iy
2
Iz
sin 2
I yz cos2
I y1 I z1 I y I z
2. 截面的主惯性轴和主惯性矩
k k 90 惯性积的正负号相反
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材料力学>>截面的几何性质>>转轴公式
*附录Ⅰ.4 转轴公式 主惯性轴和主惯性矩
1. 惯性矩和惯性积的转轴公式
y1 y cos z sin z1 z cos y sin
I y1
z12dA
(z cos y sin )2 dA
A
cos2 z2dA sin2 y2dA 2sin cos yzdA
A
A
A
I y cos2 Iz sin2 I yz sin 2
9
材料力学>>截面的几何性质>>
附录Ⅰ.3 平行移轴公式
y yC b
z zC a
I y
z 2dA
A
A (zC a)2 dA
A zC2 dA 2a A zC dA a2
dA
A
Iz
y 2dA
A
A ( yC b)2 dA
A yC2 dA 2b A yC dA b2
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材料力学>>截面的几何性质>> 附录Ⅰ.1 截面的静矩
Sz
ydA
A
Sy
zdA
A
静矩的量纲为[长度]3
形心坐标与静矩之间的关系为
yC
Sz A
zC
Sy A
Sz yC A
S y zC A
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cos2 1 (1 cos2 ) sin2 1 (1 cos2 )
2
2
I y1
Iy
2
Iz
Iy
2
Iz
cos2
I yz sin 2
I z1
Iy
2
Iz
Iy
2
Iz
cos2
I yz sin 2
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材料力学>>截面的几何性质>>转轴公式
当主轴的交点与截面的形心重合时，这对坐标轴就称为形心主惯性轴。 形心主惯性矩: 截面对两个的形心主惯性矩中，一个为最大值，另一个为最小值。 当截面只有一个对称轴时，则该对称轴及过形心并与对称轴相垂直 的轴即为截面的形心主轴。
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材料力学>>截面的几何性质>>转轴公式
2. 截面的主惯性轴和主惯性矩
I y0
Iy
Iz 2
1 2
(Iy
Iz )2
4I
2 yz
I z0
Iy
2
Iz
1 2
(I y
Iz
)2
4
I
2 yz
截面对惯性主轴的惯性矩取得极值
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材料力学>>截面的几何性质>>转轴公式
2. 截面的主惯性轴和主惯性矩