江苏省2018届高三数学二模试卷 含解析

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2018届江苏六市高三数学二模试卷(扬州、徐州、泰州、南通、淮安、宿迁)

2018届江苏六市高三数学二模试卷(扬州、徐州、泰州、南通、淮安、宿迁)

阵分别为 M
10 ,N
02
20
0
,求对△ ABC 依次实施变换 1
T1 ,T2 后所得图形的面积.
C .[ 选修 4- 4:坐标系与参数方程 ] (本小题满分 10 分)
在极坐标系中, 求以点 P 2 , 为圆心且与直线 l : sin 3
方程.
3 2 相切的圆的极坐标
D .[ 选修 4- 5:不等式选讲 ] (本小题满分 10 分)
19.(本小题满分 16 分) 设等比数列 a1,a2,a3,a4 的公比为 q,等差数列 b1,b2,b3,b4 的公差为 d,且 q 1,d 0 .
记 ci ai bi ( i 1, 2, 3, 4). ( 1)求证:数列 c1 ,c2 ,c3 不是等差数列; ( 2)设 a1 1, q 2 .若数列 c1 ,c2 ,c3 是等比数列,求 b2关于 d 的函数关系式及其定义域; ( 3)数列 c1 ,c2 ,c3 ,c4 能否为等比数列?并说明理由.
3. 某班 40 名学生参加普法知识竞赛,成绩都在区间
40,100 上,其频率分布直方图如图
所示,则成绩不低于 60 分的人数为▲.
开始
频率 组距
0.030 0.025
S← 1
i←1
i←i 1
0.015 0.010 0.005
40 50 60 70 80 90 100 成绩 /分 (第 3 题)
i <4 Y
填空题要求:
第 6 题:答案写成 2+ 3 ,复合根式也算正确。 第 11 题:题目要求“圆 C 的标准方程”,写成圆的一般方程不给分,不配方不给分。 第 12 题:写成 m 1 或者 m m 1 也算正确。
第 14 题:两解缺一不可,只有一个正确不给分。

南京市、盐城市2018届高三年级第二次模拟考试数学与答案

南京市、盐城市2018届高三年级第二次模拟考试数学与答案

南京市、盐城市2018届高三年级第二次模拟考试数 学 2018.03注意事项:1.本试卷共4页,包括填空题(第1题~第14题)、解答题(第15题~第20题)两部分.本试卷满分为160分,考试时间为120分钟.2.答题前,请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内.试题的答案写在答题纸...上对应题目的答案空格内.考试结束后,交回答题纸. 参考公式:样本数据x 1,x 2,…,x n 的方差s 2=1n i =1∑n (x i --x )2,其中-x =1ni =1∑nx i ;锥体的体积公式:V =13Sh ,其中S 为锥体的底面积,h 为锥体的高.一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,计70分. 不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上)1.函数f (x )=lg(2-x )的定义域为▲________.2.已知复数z 满足z1+2i =i ,其中i 为虚数单位,则复数z 的模为 ▲ .3.执行如图所示的算法流程图,则输出a 的值为 ▲ . 4.某学生5次数学考试成绩的茎叶图如图所示,则这组数据的方差为▲________.5.3名教师被随机派往甲、乙两地支教,每名教师只能被派往其中一个地方,则恰有2名教师被派往甲地的概率为 ▲ .6.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n .若S 15=30,a 7=1,则S 9的值为▲________.7.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .若b sin A sin B +a cos 2B =2c ,则a c的值为▲________. 8.在平面直角坐标系xOy 中,双曲线C :x 2-y 2b2=1 (b >0) 的两条渐近线与圆O :222x y +=的四个交点依次为A ,B ,C ,D .若矩形ABCD 的面积为b ,则b 的值为 ▲ .9.在边长为4的正方形ABCD 内剪去四个全等的等腰三角形(如图1中阴影部分),折叠成底面边长为2的正四棱锥S -EFGH (如图2),则正四棱锥S -EFGH 的体积为▲________.(第4题)10.已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数,且当x ≥0时,f (x )=x 2+x .若f (a )+f (-a )<4,则实数a 的取值范围为▲________.11.在平面直角坐标系xOy 中,曲线y =mx +1(m >0)在x =1处的切线为l ,则点(2,-1) 到直线l的距离的最大值为▲________.12.如图,在△ABC 中,边BC 的四等分点依次为D ,E ,F .若AB →·AC →=2,AD →·AF →=5,则AE 的长为▲________.13.在平面直角坐标系xOy 中,已知A ,B 为圆C :(x +4)2+(y -a )2=16上两个动点,且AB =211.若直线l :y =2x 上存在唯一的一个点P ,使得PA →+PB →=OC →,则实数a 的值为▲________. A DBCE FGH(图1)SEFGH(图2)(第9题)(第12题)14.已知函数f (x )=⎩⎨⎧-x 3+3x 2+t ,x <0,x , x ≥0,t ∈R .若函数g (x )=f (f (x )-1)恰有4个不同的零点,则t 的取值范围为▲________.二、解答题(本大题共6小题,计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题卡的指定区域内) 15.(本小题满分14分)已知函数f (x )=2sin(ωx +φ)(ω>0,-π2<φ<π2)的部分图象如图所示,直线x =π,x =7π是其相邻的两条对称轴.(1)求函数f (x )的解析式;(2)若f (α2)=-65,且2π3<α<7π6,求cos α的值.16.(本小题满分14分)如图,矩形ABCD 所在平面与三角形ABE 所在平面互相垂直,AE =AB ,M ,N ,H 分别为DE ,AB ,BE 的中点.(1)求证:MN ∥平面BEC ; (2)求证:AH ⊥CE .BED AHCMN(第15题)17.(本小题满分14分)调查某地居民每年到商场购物次数m 与商场面积S 、到商场距离d 的关系,得到关系式m =k ×S d 2(k 为常数).如图,某投资者计划在与商场A 相距10km 的新区新建商场B ,且商场B 的面积与商场A 的面积之比为λ (0<λ<1).记“每年居民到商场A 购物的次数”、“每年居民到商场B 购物的次数”分别为m 1、m 2,称满足m 1<m 2的区域叫做商场B 相对于A 的“更强吸引区域”. (1)已知P 与A 相距15km ,且∠PAB =60o .当λ=12时,居住在P 点处的居民是否在商场B 相对于A 的“更强吸引区域”内?请说明理由;(2)若要使与商场B 相距2 km 以内的区域(含边界)均为商场B 相对于A 的“更强吸引区域”,求λ的取值范围.18.(本小题满分16分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为2 2,上顶点A 到右焦点的距离为 2 .过点D (0,m )(m ≠0)作不垂直于x 轴,y 轴的直线l 交椭圆E 于P ,Q 两点,C 为线段PQ 的中点,且AC ⊥OC .(1)求椭圆E 的方程; (2)求实数m 的取值范围;AB(第17题)(3)延长AC 交椭圆E 于点B ,记△AOB 与△AOC 的面积分别为S 1,S 2,若S 1S 2=83,求直线l 的方程.19.(本小题满分16分)已知函数f (x )=x (e x -2),g (x )=x -ln x +k ,k ∈R ,e 为自然对数的底.记函数F (x )=f (x )+g (x ).(1)求函数y =f (x )+2x 的极小值;(2)若F (x )>0的解集为(0,+∞),求k 的取值范围;(3)记F (x )的极值点为m .求证:函数G (x )=|F (x )|+ln x 在区间(0,m )上单调递增.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)20.(本小题满分16分)对于数列{a n },定义b n (k )=a n +a n +k ,其中n ,k ∈N*. (1)若b n (2)-b n (1)=1,n ∈N*,求b n (4)-b n (1)的值; (2)若a 1=2,且对任意的n ,k ∈N*,都有b n +1(k )=2b n (k ).(i )求数列{a n }的通项公式;(ii )设k 为给定的正整数,记集合A ={b n (k )|n ∈N*},B ={5b n (k +2)|n ∈N*},(第18题)求证:A∩B= .南京市、盐城市2018届高三年级第二次模拟考试数学附加题2018.03注意事项:1.附加题供选修物理的考生使用.2.本试卷共40分,考试时间30分钟.3.答题前,考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内.试题的答案写在答题纸...上对应题目的答案空格内.考试结束后,交回答题纸.21.【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10分,共计20分.请在答.卷纸指定....区域内...作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.选修4—1:几何证明选讲如图,AB是圆O的直径,AC是弦,∠BAC的平分线AD交圆O于点D,DE⊥AC且交AC的延长线于点E,求证:DE是圆O的切线.B .选修4—2:矩阵与变换已知α=⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11为矩阵A =⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1 a -1 2属于实数λ的一个特征向量,求λ和A 2.C .选修4—4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x =t ,y =3t +2(t 为参数),圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x =a cos θ,y =a sin θ(a >0,θ为参数),点P 是圆C 上的任意一点.若点P 到直线l 距离的最大值为3,求a 的值.D .选修4—5:不等式选讲对任意x ,y ∈R ,求|x -1|+|x |+|y -1|+|y +1|的最小值.【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.请在答.卷卡指定区域内.......作答.解答应写出 文字说明、证明过程或演算步骤. 22.(本小题满分10分)甲,乙两人站在P 点处分别向A ,B ,C 三个目标进行射击,每人向三个目标各射击一次.每人每次射击每个目标均相互独立,且两人各自击中A ,B ,C 的概率分别都为12,13,14.(1)设X 表示甲击中目标的个数,求随机变量X 的分布列和数学期望; (2)求甲乙两人共击中目标数为2个的概率.23.(本小题满分10分)已知n ∈N *,且n ≥4,数列T :a 1,a 2,…,a n 中的每一项均在集合M ={1,2,…,n }中, 且任意两项不相等.(1)若n =7,且a 2<a 3<a 4<a 5<a 6,求数列T 的个数;(2)若数列T 中存在唯一的a k (k ∈N *,且k <n ),满足a k >a k +1,求所有符合条件的数列T的个数.南京市、盐城市2018届高三年级第二次模拟考试数学参考答案说明:1.本解答给出的解法供参考.如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的解答有较严重的错误,就不再给分.3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,填空题不给中间分数.一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,计70分. 不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上)1.(-∞,2) 2. 5 3.3 4.16 5.386.-9 7. 28.7 9.4310.(-1,1) 11.2 12. 6 13.2或-18 14.[-4,0)二、解答题(本大题共6小题,计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内) 15.(本小题满分14分)解:(1)设f (x )的周期为T ,则T 2=7π12-π12=π2,所以T =π.又T =2πω,所以ω=2,所以f (x )=2sin(2x +φ). …………………………………3分因为点(π12,2)在函数图象上,所以2sin(2×π12+φ)=2,即sin(π6+φ)=1.因为-π2<φ<π2,所以φ=π3,所以f (x )=2sin(2x +π3).…………………………………7分(2)由f (α2)=-65,得sin(α+π3)=-35.因为2π3<α<7π6,所以π<α+π3<3π2,所以cos(α+π3)=-1-sin 2(α+π3)=-45. ………………………………10分所以cos α=cos[(α+π3)-π3]=cos(α+π3)cos π3+sin(α+π3) sin π3=-45×12+(-35)×32=-33+410. ………………………………14分16.(本小题满分14分) (1)解法一:取CE 中点F ,连接FB ,MF .因为M 为DE 的中点,F 为CE 的中点,所以MF ∥CD 且MF =12CD . ……………………………………2分又因为在矩形ABCD 中,N 为AB 的中点, 所以BN ∥CD 且BN =12CD ,所以MF ∥BN 且MF =BN ,所以四边形BNMF 为平行四边形, 所以MN ∥BF . ……………………………………4分 又MN 平面BEC ,BF 平面BEC ,所以MN ∥平面BEC . ……………………………………6分 解法二:取AE 中点G ,连接MG ,GN .因为G 为AE 的中点,M 为DE 的中点,所以MG ∥AD . 又因为在矩形ABCD 中,BC ∥AD ,所以MG ∥BC . 又因为MG 平面BEC ,BC平面BEC ,所以MG ∥平面BEC . ……………………………………2分 因为G 为AE 的中点,N 为AB 的中点,所以GN ∥BE . 又因为GN 平面BEC ,BE 平面BEC ,所以GN ∥平面BEC . 又因为MG ∩GN =G ,MG ,GN 平面GMN ,所以平面GMN ∥平面BEC . ……………………………………4分 又因为MN 平面GMN ,所以MN ∥平面BEC . ……………………………………6分 (2)因为四边形ABCD 为矩形,所以BC ⊥AB .因为平面ABCD ⊥平面ABE ,平面ABCD ∩平面ABE =AB ,BC 平面ABCD ,且BC ⊥AB , 所以BC ⊥平面ABE . ……………………………………8分因为AH 平面ABE ,所以BC ⊥AH .因为AB =AE ,H 为BE 的中点,所以BE ⊥AH . ……………………………………10分 因为BC ∩BE =B ,BC 平面BEC ,BE平面BEC ,所以AH ⊥平面BEC . ……………………………………12分 又因为CE 平面BEC ,所以AH ⊥CE . ……………………………………14分17.(本小题满分14分)解:设商场A 、B 的面积分别为S 1、S 2,点P 到A 、B 的距离分别为d 1、d 2,则S 2=λS 1,m 1=kS 1d 12,m 2=kS 2d 22,k 为常数,k >0.(1)在△PAB 中,AB =10,PA =15,∠PAB =60o ,由余弦定理,得d 22=PB 2=AB 2+PA 2-2AB ·PA cos60°=102+152-2×10×15×12=175. …………………………2分 又d 12=PA 2=225, 此时,m 1-m 2=kS 1 d 12-kS 2 d 22=kS 1 d 12-kλS 1 d 22=kS 1(1d 12-λd 22), (4)分将λ=12,d 12=225,d 22=175代入,得m 1-m 2=kS 1(1225-1350).因为kS 1>0,所以m 1>m 2,即居住在P 点处的居民不在商场B 相对于A 的“更强吸引区域”内. …………………6分 (2)解法一:以AB 所在直线为x 轴,A 为原点,建立如图所示的平面直角坐标系, 则A (0,0),B (10,0),设P (x ,y ),(第17题)由m1<m2得,k S1d12<kS2d22,将S2=λS1代入,得d22<λd12.……8分代入坐标,得(x-10)2+y2<λ(x2+y2),化简得(1-λ) x2+(1-λ) y2-20x+100<0.……………………10分因为0<λ<1,配方得(x-101-λ)2+y2<(10λ1-λ)2,所以商场B相对于A的“更强吸引区域”是:圆心为C(101-λ,0),半径为r1=10λ1-λ的圆的内部.与商场B相距2 km以内的区域(含边界)是:圆心为B(10,0),半径为r2=2的圆的内部及圆周.由题设,圆B内含于圆C,即BC<| r1-r2|.…………………………12分因为0<λ<1,所以101-λ-10<10λ1-λ-2,整理得4λ-5λ+1<0,解得116<λ<1.所以,所求λ的取值范围是(116,1).…………………………14分解法二:要使与商场B相距2 km以内的区域(含边界)均为商场B相对于A的“更强吸引区域”,则当d2≤2时,不等式m1<m2恒成立.由m1<m2,得k S1d12<kS2d22=kλS1d22,化简得d12>d22λ.…………………………8分设∠PBA=θ,则d12=PA2=AB2+PB2-2AB·PB cosθ=100+d22-20d2cosθ,…………………………10分所以100+d 22-20d 2cos θ>d 22λ,即100+d 22-d 22λ20d 2>cos θ.上式对于任意的θ∈[0,π]恒成立,则有100+d 22-d 22λ20d 2>1, ………………………12分即1-1λ>20·1d 2-100·(1d 2)2=-100(1d 2-110)2+1 (*).由于d 2≤2,所以1d 2≥12.当1d 2=12时,不等式(*)右端的最大值为-15, 所以1-1λ>-15,解得λ>116.又0<λ<1,所以λ的取值范围是(116,1). ………………………14分18.(本小题满分16分)解:(1)因为⎩⎪⎨⎪⎧c a =22,a =2,所以c =1,b 2=a 2-c 2=1,所以椭圆E 的方程为x 22+y 2=1. …………………………2分解法一:(2)由(1)得A (0,1).设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),C (x 0,y 0),其中x 0,y 0均不为0,且x 1≠x 2. 因为P ,Q 两点都在椭圆E 上,所以x 12+2y 12=2 且x 22+2y 22=2,两式相减得y 2-y 1x 2-x 1×y 0x 0=-12. …………………………4分又y 2-y 1x 2-x 1=y 0-m x 0,所以y 0-m x 0×y 0x 0=-12, …………………………6分 即x 02=2y 0(m -y 0). ① 又AC ⊥OC ,所以y 0-1x 0×y 0x 0=-1, …………………………8分即x 02=y 0(1-y 0). ②由①②得y 0=2m -1,x 02=(1-2m ) (2m -2)∈(0,2),所以12<m <1. …………………………10分(3)设B (x 3,y 3),点B 在椭圆E 上,所以x 32+2y 32=2.又AC ⊥OC ,所以y 3-1x 3×y 0x 0=-1,即y 3=-x 0y 0x 3+1,代入上式消去y 3,得x 3=4x 0y 0y 20+2x 20, …………………………12分所以S 1S 2=12AO ×|x 3|12AO ×|x 0|=|x 3x 0|=|4y 0y 20+2x 20|.由(2)知y 0=2m -1,x 02=(1-2m ) (2m -2),12<m <1, 所以S 1S 2=|4(2m -1)(2m -1)2+2(1-2m )(2m -2) |=|43-2m |=43-2m. (14)分因为S 1S 2=83,所以43-2m =83,解得m =34,此时y 0=2m -1=12,x 02=(1-2m ) (2m -2)=14,所以x 0=±12,所以C 点坐标为(±12,12),D 点坐标为(0,34),所以直线l 的方程为y =±12x +34. …………………………16分解法二:(2)由(1)得A (0,1).设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),C (x 0,y 0).设直线l 方程为y =kx +m (k ≠0),将其与椭圆E 的方程联立,消去y 得(1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2-2=0 (*), 所以x 1+x 2=-4km1+2k 2, …………………………4分所以x 0=x 1+x 22=-2km1+2k2,y 0=kx 0+m =m1+2k 2,即C (-2km 1+2k 2,m1+2k2), 所以k AC =y 0-1x 0=m1+2k 2-1-2km 1+2k 2=2k 2+1-m2km. …………………………6分又因为k OC =y 0x 0=m1+2k 2-2km 1+2k 2=-12k,且AC ⊥OC , 所以k AC ×k OC =2k 2+1-m 2km ×(-12k)=-1,整理得m =2k 2+14k 2+1. …………………………8分因为k ≠0,则m =2k 2+14k 2+1=4k 2+1-2k 24k 2+1=1-2k 24k 2+1=1-12+12k 2∈(12,1),此时△=8(2k 2+1-m )>0,所以实数m 的取值范围为(12,1). …………………………10分(3)设B (x 3,y 3),k AB =-1k OC=2k ,所以直线AB 的方程为y =2kx +1,与椭圆E 方程联立解得x =-8k 1+8k 2或0(舍),即x 3=-8k1+8k2. (12)分又因为x 0=-2km1+2k 2=-2k1+2k 2×2k 2+14k 2+1=-2k1+4k 2,所以S 1S 2=12AO ×|x 3|12AO ×|x 0|=|-8k1+8k 2-2k 1+4k 2|=4+16k 21+8k 2. …………………………14分因为S 1S 2=83,所以4+16k 21+8k 2=83,解得k =±12,此时m =2k 2+14k 2+1=34,D 点坐标为(0,34),所以直线l 的方程为y =±12x +34. …………………………16分19.(本小题满分16分)(1)解:y =f (x )+2x =x e x ,由y ′=(1+ x )e x =0,解得x =-1.列表如下:所以当x =-1时,f (x )取得极小值-1e. ………………………2分(2)解:F (x )=f (x )+g (x )=x e x -x -ln x +k ,F ′(x )=(x +1)(e x -1x),设h (x )=e x -1x (x >0),则h ′(x )=e x +1x2>0恒成立,所以函数h (x )在(0,+∞)上单调递增. 又h (12)=e -2<0,h (1)=e -1>0,且h (x )的图像在(0,+∞)上不间断,因此h (x )在(0,+∞)上存在唯一的零点x 0∈(12,1),且e x=1x 0.……………………4分当x ∈(0,x 0)时,h (x )<0,即F ′(x )<0;当x ∈(x 0,+∞)时,h (x )>0,即F ′(x )>0, 所以F (x )在(0,x 0)上单调递减,在(x 0,+∞)上单调递增,于是x =x 0时,函数F (x )取极(最)小值为F (x 0)=x 0e x 0-x 0-ln x 0+k ……………………6分 =1-x 0-ln 1ex 0+k =1+k .因为F (x )>0的解集为(0,+∞),所以1+k >0,即k >-1. ……………………8分 (3)证明:由(2)知m =x 0,①当1+k ≥0,即k ≥-1时,F (x )≥0恒成立,于是G (x )=F (x )+ln x =x e x -x +k ,G ′(x )=(x +1)e x -1.因为x ∈(0,m ),所以x +1>1,e x >1,于是G ′(x )>0恒成立,所以函数G (x )在(0,m )上单调递增. ……………………10分 ②当1+k <0,即k <-1时,0<e k <12<x 0=m , F (e k )=e k ( e e k-1)>0,F (m )=F (x 0)=1+k <0,又F (x )在(0,m )上单调递减且图像不间断,所以F (x )在(0,m )上存在唯一的零点x 1. ……………………12分 当0<x ≤x 1时,F (x )≥0,G (x )=F (x )+ln x =x e x -x +k ,G ′(x )=(x +1)e x -1, 因为0<x ≤x 1,所以x +1>1,e x >1,于是G ′(x )>0恒成立,所以函数G (x )在(0,x 1]上单调递增; ① ……………………14分 当x 1≤x <m 时,F (x )≤0,G (x )=-F (x )+ln x ,G ′(x )=-F ′(x )+1x,由(2)知,当x 1≤x <m 时,F ′(x )<0,于是G ′(x )>0恒成立, 所以函数G (x )在[x 1,m )上单调递增; ② 设任意s ,t ∈(0,m ),且s <t , 若t ≤x 1,则由①知G (s )<G (t ),若s <x 1<t ,则由①知G (s )<G (x 1),由②知G (x 1)<G (t ),于是G (s )<G (t ), 若x 1≤s ,由②知G (s )<G (t ), 因此总有G (s )<G (t ),所以G (x )在(0,m )上单调递增.综上,函数G (x )在(0,m )上单调递增. ………………………16分20.(本小题满分16分)(1)解:因为b n (2)-b n (1)=1,所以(a n +a n +2)-(a n +a n +1)=1,即a n +2-a n +1=1, 因此数列{a n +1}是公差为1的等差数列,所以b n (4)-b n (1)=(a n +a n +4)-(a n +a n +1) =a n +4-a n +1=3. ……………………2分 (2)(i )解:因为b n +1(k )=2b n (k ),所以a n +1+a n +1+k =2(a n +a n +k ),分别令k =1及k =2,得⎩⎨⎧a n +1+a n +2=2(a n +a n +1), ①a n +1+a n +3=2(a n +a n +2), ② ……………………4分由①得a n +2+a n +3=2(a n +1+a n +2), ③ …………………………6分 ③-②得a n +2-a n +1=2(a n +1-a n ), ④ …………………………8分 ①-④得2a n +1=4a n ,即a n +1=2a n ,又a 1=2,所以a n =2n . …………………………10分(ii )证明:假设集合A 与集合B 中含有相同的元素,不妨设b n (k )=5b m (k +2),n ,m ∈N*,即a n +a n +k =5(a m +a m +k +2),于是2n +2n +k =5(2m +2m +k +2), 整理得2n -m =5(1+2k +2)1+2k. …………………………12分因为5(1+2k +2)1+2k =5(4-31+2k )∈[15,20),即2n -m ∈[15,20), 因为n ,m ∈N*,从而n -m =4, …………………………14分 所以5(1+2k +2)1+2k =16,即4×2k =11. 由于k 为正整数,所以上式不成立,因此集合A 与集合B 中不含有相同的元素,即A ∩B =∅.…………………………16分南京市、盐城市2018届高三年级第二次模拟考试 数学附加题参考答案及评分标准 2018.03说明:1.本解答给出的解法供参考.如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的解答有较严重的错误,就不再给分.3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,填空题不给中间分数.21.【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每小题10分,共计20分.请在答.卷卡指定....区域内...作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A .选修4—1:几何证明选讲证明:连结OD ,因为OD =OA ,所以∠OAD =∠ODA .因为AD 平分∠BAE ,所以∠OAD =∠EAD , ………………3分 所以∠EAD =∠ODA ,所以OD ∥AE . ………………5分 又因为AE ⊥DE ,所以DE ⊥OD . ………………8分 又因为OD 为半径,所以DE 是圆O 的切线. ………………10分B .选修4—2:矩阵与变换解:因为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1 a -1 2 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11=λ ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11 ,所以⎩⎨⎧1+a =λ,-1+2=λ, 解方程组得⎩⎨⎧a =0,λ=1.…………………………5分所以A =⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1 0-1 2 ,所以A 2=⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1 0-3 4. …………………………10分C .选修4—4:坐标系与参数方程解:因为直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x =t ,y =3t +2(t 为参数),所以直线l 的普通方程为y =3x +2. ……………………………3分又因为圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x =a cos θ,y =a sin θ(a >0,θ为参数),所以圆C 的普通方程为x 2+y 2=a 2. ……………………………6分 因为圆C 的圆心到直线l 的距离d =1, ……………………………8分 所以1+a =3,解得a =2. ……………………………10分D .选修4—5:不等式选讲解:方法一:|x -1|+|x |≥|x -1-x |=1,当且仅当x (x -1)≤0,即0≤x ≤1时取等号. ……………………………4分 |y -1|+|y +1|≥|y -1-y -1|=2,当且仅当(y -1)(y +1)≤0,即-1≤y ≤1时取等号. ……………………………8分 所以|x -1|+|x |+|y -1|+|y +1|≥3, 当且仅当0≤x ≤1,-1≤y ≤1时取等号,所以|x -1|+|x |+|y -1|+|y +1|的最小值为3. …………………………10分 方法二:因为f (x )=|x -1|+|x |=⎩⎪⎨⎪⎧2x -1,x ≥1,1,0≤x <1,1-2x ,x <0,所以f (x )min =1. …………………………4分因为g (y )=|y -1|+|y +1|=⎩⎪⎨⎪⎧2y ,y ≥1,2,-1≤y <1,-2y ,y <-1,所以g (y )min =2. …………………………8分 综上,|x -1|+|x |+|y -1|+|y +1|的最小值为3. …………………………10分【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分. 22.(本小题满分10分)解:(1)随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3.P (X =0)=(1-12)×(1-13)×(1-14)=14,P (X =1)=12×(1-13)×(1-14)+(1-12)×13×(1-14)+(1-12)×(1-13)×14=1124,P (X =2)=(1-12)×13×14+12×(1-13)×14+12×13×(1-14)=14,P (X =3)=12×13×14=124. 所以,随机变量X 的分布列为X 的数学期望E (X )=0×14+1×1124+2×14+3×124=1312. …………………………5分 (2)设Y 表示乙击中目标的个数,由(1)亦可知,P (Y =0)=14,P (Y =1)=1124,P (Y =2)=14.则P (X =0,Y =2)=14×14=116,P (X =1,Y =1)=1124×1124=121576, P (X =2,Y =0)=14×14=116, …………………………8分所以P (X +Y =2)=P (X =0,Y =2)+P (X =1,Y =1)+P (X =2,Y =0)=193576.所以,甲乙两人共击中目标数为2个的概率为193576. …………………………10分23.(本小题满分10分)解:(1)当n =7时,M ={1,2,…,7 },数列T 的个数为C 27×A 22=42. ………………………………2分(2)当k =1时,则a 1>a 2,a 2<a 3<…<a n ,此时a 2为1,a 1共有n -1种选法,余下的n -2个数,按从小到大依次排列,共有1种,因此k =1时,符合条件的数列T 共有n -1=C 1n -1个. ……………………………3分当2≤k ≤n -2时,则a 1<a 2<…<a k ,a k >a k +1,a k +1<a k +2<…<a n ,从集合M 中任取k 个数,按从小到大的顺序排列, 再将余下的n -k 个数,按从小到大的顺序排列,即得满足条件a 1<a 2<…<a k ,a k +1<a k +2<…<a n 的数列的个数为C k n C n -k n -k ,这里包含了a k <a k +1即a 1<a 2<…<a k <a k +1<a k +2<…<a n 的情形,因此符合条件的数列T 的个数为C k n C n -k n -k -1=C k n -1. ………………………………7分当k =n -1时,则a 1<a 2<…<a n -1,a n -1>a n此时a n -1为n ,a n 共有n -1种选法,余下的n -2个数,按从小到大依次排列,共有1种,因此k=n-1时,符合条件的数列T共有n-1=C n-1n-1个.…………………………8分于是所有符合条件的数列T的个数为:C1n-1+C2n-1+…+C n-1n-1=C1n+C2n+…+C n-1n-n+1=2n-C0n-C n n-n+1=2n-n-1.………………………………10分。

2018年江苏省苏锡常镇四市高考数学二模试卷(解析版)

2018年江苏省苏锡常镇四市高考数学二模试卷(解析版)

2018年江苏省苏锡常镇四市高考数学二模试卷一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.不需要写出解答过程,请把答案直接填在答题卡相应位置上.1.(5分)若复数z满足(1+i)z=2(i是虚数单位),则z的虚部为.2.(5分)设集合A={2,4},B={a2,2}(其中a<0),若A=B,则实数a=.3.(5分)在平面直角坐标系xOy中,点P(﹣2,4)到抛物线y2=﹣8x的准线的距离为.4.(5分)一次考试后,从高三(1)班抽取5人进行成绩统计,其茎叶图如图所示,则这五人成绩的方差为.5.(5分)如图是一个算法流程图,若输入值x∈[0,2],则输出值S的取值范围是.6.(5分)欧阳修在《卖油翁》中写到:“(翁)乃取一葫芦置于地,以钱覆其口,徐以杓酌油沥之,自钱孔入,而钱不湿”,可见卖油翁的技艺之高超,若铜钱直径4厘米,中间有边长为1厘米的正方形小孔,随机向铜钱上滴一滴油(油滴大小忽略不计),则油恰好落入孔中的概率是.7.(5分)已知函数f(x)=sin(πx+φ)(0<φ<2π)在x=2时取得最大值,则φ=.8.(5分)已知公差为d的等差数列{a n}的前n项和为S n,若,则=.9.(5分)在棱长为2的正四面体P﹣ABC中,M,N分别为P A,BC的中点,点D是线段PN上一点,且PD=2DN,则三棱锥P﹣MBD的体积为.10.(5分)设△ABC的内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c且a cos B﹣b cos A=c,则=.11.(5分)在平面直角坐标系xOy中,已知圆C:(x+1)2+y2=2,点A(2,0),若圆C 上存在点M,满足MA2+MO2≤10,则点M的纵坐标的取值范围是.12.(5分)如图,扇形AOB的圆心角为90°,半径为1,点P是圆弧上的动点,作点P 关于弦AB的对称点Q,则的取值范围为.13.(5分)已知函数,若存在实数a<b<c,满足f(a)=f (b)=f(c),则af(a)+bf(b)+cf(c)的最大值是.14.(5分)已知a,b为正实数,且(a﹣b)2=4(ab)3,则的最小值为.二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.(15分)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,∠ADB=90°,CB=CD,点E为棱PB的中点.(1)若PB=PD,求证:PC⊥BD;(2)求证:CE∥平面P AD.16.(15分)在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,设△ABC的面积为S,且.(1)求∠B的大小;(2)设向量=(sin2A,3cos A),=(3,﹣2cos A),求的取值范围.17.(15分)如图(1)是一斜拉桥的航拍图,为了分析大桥的承重情况,研究小组将其抽象成图(2)所示的数学模型.索塔AB,CD与桥面AC均垂直,通过测量知两索塔的高度均为60m,桥面AC上一点P到索塔AB,CD距离之比为21:4,且P对两塔顶的视角为135°.(1)求两索塔之间桥面AC的长度;(2)研究表明索塔对桥面上某处的“承重强度”与多种因素有关,可简单抽象为:某索塔对桥面上某处的“承重强度”与索塔的高度成正比(比例系数为正数a),且与该处到索塔的距离的平方成反比(比例系数为正数b).问两索塔对桥面何处的“承重强度”之和最小?并求出最小值.18.(15分)如图,椭圆的离心率为,焦点到相应准线的距离为1,点A,B,C分别为椭圆的左顶点、右顶点和上顶点,过点C的直线l交椭圆于点D,交x轴于点M(x1,0),直线AC与直线BD交于点N(x2,y2).(1)求椭圆的标准方程;(2)若,求直线l的方程;(3)求证:x1•x2为定值.19.(15分)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+1,a,b∈R.(1)若a2+b=0,①当a>0时,求函数f(x)的极值(用a表示);②若f(x)有三个相异零点,问是否存在实数a使得这三个零点成等差数列?若存在,试求出a的值;若不存在,请说明理由;(2)函数f(x)图象上点A处的切线l1与f(x)的图象相交于另一点B,在点B处的切线为l2,直线l1,l2的斜率分别为k1,k2,且k2=4k1,求a,b满足的关系式.20.(15分)已知等差数列{a n}的首项为1,公差为d,数列{b n}的前n项和为S n,且对任意的n∈N*,6S n=9b n﹣a n﹣2恒成立.(1)如果数列{S n}是等差数列,证明数列{b n}也是等差数列;(2)如果数列为等比数列,求d的值;(3)如果d=3,数列{c n}的首项为1,c n=b n﹣b n﹣1(n≥2),证明数列{a n}中存在无穷多项可表示为数列{c n}中的两项之和.(附加题)【选做题】在21,22,23,24四小题中只能选做两题,每小题0分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.[选修4-1:几何证明选讲]21.如图所示,AB为⊙O的直径,AE平分∠BAC交⊙O于E点,过E作⊙O的切线交AC 于点D,求证:AC⊥DE.[选修4-2:矩阵与变换]22.已知矩阵的一个特征值为3,求M﹣1.[选修4-4:坐标系与参数方程]23.在平面直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为为参数).以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线l的极坐标方程为,已知圆心C到直线l的距离等于,求a的值.[选修4-5:不等式选讲]24.已知实数a,b,c满足a+2b+c=1,a2+b2+c2=1,求证:.【必做题】第25题、第26题,每题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.25.甲、乙、丙三位学生各自独立地解同一道题,已知甲做对该题的概率为,乙、丙做对该题的概率分别为m,n(m>n),且三位学生能否做对相互独立,设X为这三位学生中做对该题的人数,其分布列为:(1)求m,n的值;(2)求X的数学期望.26.已知函数.(1)当n=2时,若,求实数A的值;(2)若f(2)=m+α(m∈N*,0<α<1),求证:α(m+α)=1.2018年江苏省苏锡常镇四市高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.不需要写出解答过程,请把答案直接填在答题卡相应位置上.1.(5分)若复数z满足(1+i)z=2(i是虚数单位),则z的虚部为﹣1.【解答】解:由(1+i)z=2,得:.所以,z的虚部为﹣1.故答案为﹣1.2.(5分)设集合A={2,4},B={a2,2}(其中a<0),若A=B,则实数a=﹣2.【解答】解:∵A={2,4},B={a2,2},且A=B;∴a2=4;又a<0;∴a=﹣2.故答案为:﹣2.3.(5分)在平面直角坐标系xOy中,点P(﹣2,4)到抛物线y2=﹣8x的准线的距离为4.【解答】解:抛物线y2=﹣8x的准线方程为:x=2,点P(﹣2,4)到抛物线y2=﹣8x的准线的距离为:2+2=4.故答案为:4.4.(5分)一次考试后,从高三(1)班抽取5人进行成绩统计,其茎叶图如图所示,则这五人成绩的方差为20.8.【解答】解:根据茎叶图中的数据知,这五人成绩的平均数为=×(78+82+84+84+92)=84,方差为s2=×[(78﹣84)2+(82﹣84)2+(84﹣84)2+(84﹣84)2+(92﹣84)2]=20.8.故答案为:20.8.5.(5分)如图是一个算法流程图,若输入值x∈[0,2],则输出值S的取值范围是[0,1].【解答】解:当x∈[0,1)时,S=1,当x∈[1,2]时,S=2x﹣x2∈[0,1],综上可得:若输入值x∈[0,2],则输出值S的取值范围是[0,1],故答案为:[0,1]6.(5分)欧阳修在《卖油翁》中写到:“(翁)乃取一葫芦置于地,以钱覆其口,徐以杓酌油沥之,自钱孔入,而钱不湿”,可见卖油翁的技艺之高超,若铜钱直径4厘米,中间有边长为1厘米的正方形小孔,随机向铜钱上滴一滴油(油滴大小忽略不计),则油恰好落入孔中的概率是.【解答】解:正方形的面积S=1×1=1,铜钱的半径为2,则铜钱的面积S=π×22=4π,则油恰好落入孔中的概率P=,故答案为:7.(5分)已知函数f(x)=sin(πx+φ)(0<φ<2π)在x=2时取得最大值,则φ=.【解答】解:函数f(x)=sin(πx+φ)的周期为T==2,x=2时f(x)=sin(2π+φ)=sinφ取得最大值,由0<φ<2π,得φ=.故答案为:.8.(5分)已知公差为d的等差数列{a n}的前n项和为S n,若,则=2.【解答】解:∵,∴10a1+d=4×(5a1+d),化为:2a1=d≠0.则=2.故答案为:2.9.(5分)在棱长为2的正四面体P﹣ABC中,M,N分别为P A,BC的中点,点D是线段PN上一点,且PD=2DN,则三棱锥P﹣MBD的体积为.【解答】解:如图:∵P﹣ABC为正四面体,且棱长为2,∴C在底面P AB的射影为底面三角形P AB的外心O,也是重心,则BM=,BO=,∴,又N为BC的中点,PD=2DN,D到面P AB的距离为,而,∴.故答案为:.10.(5分)设△ABC的内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c且a cos B﹣b cos A=c,则=4.【解答】解:由a cos B﹣b cos A=c及正弦定理可得sin A cos B﹣sin B cos A=sin C,即sin A cos B﹣sin B cos A=sin(A+B),即5(sin A cos B﹣sin B cos A)=3(sin A cos B+sin B cos A),即sin A cos B=4sin B cos A,因此tan A=4tan B,所以=4.故答案为:4.11.(5分)在平面直角坐标系xOy中,已知圆C:(x+1)2+y2=2,点A(2,0),若圆C上存在点M,满足MA2+MO2≤10,则点M的纵坐标的取值范围是.【解答】解:如图,设M(x,y),由MA2+MO2≤10,得(x﹣2)2+y2+x2+y2≤10,∴(x﹣1)2+y2≤4,联立,解得或.∴点M的纵坐标的取值范围是[].故答案为:[].12.(5分)如图,扇形AOB的圆心角为90°,半径为1,点P是圆弧上的动点,作点P 关于弦AB的对称点Q,则的取值范围为[﹣1,1].【解答】解:根据题意,以O为坐标原点,OA为x轴,OB为y轴建立坐标系,如图:设∠POA=θ,则P的坐标为(cosθ,sinθ),0°≤θ≤90°,A(1,0),B(0,1),直线AB的方程为x+y=1,设Q(m,n),由(cosθ+m)+(sinθ+n)=1,=1,解得m=1﹣sinθ,n=1﹣cosθ,即Q(1﹣sinθ,1﹣cosθ),=cosθ(1﹣sinθ)+sinθ(1﹣cosθ)=sinθ+cosθ﹣2sinθcosθ,令t=sinθ+cosθ=sin(θ+45°),由θ+45°∈[45°,135°],sin(θ+45°)∈[,1],t=sin(θ+45°)∈[1,],又2sinθcosθ=t2﹣1,=﹣t2+t+1=﹣(t﹣)2+在t∈[1,]递减,可得t=1,取得最大值1,t=时,取得最小值﹣1,则的范围是[﹣1,1].故答案为:[﹣1,1].13.(5分)已知函数,若存在实数a<b<c,满足f(a)=f (b)=f(c),则af(a)+bf(b)+cf(c)的最大值是2e2﹣12.【解答】解:作出f(x)的函数图象如图所示:∵存在实数a<b<c,满足f(a)=f(b)=f(c),∴a+b=﹣6,∴af(a)+bf(b)+cf(c)=(a+b+c)f(c)=(c﹣6)lnc,由函数图象可知:<c<e2,设g(c)=(c﹣6)lnc,则g′(c)=lnc+1﹣,显然g′(c)在(,e2]上单调递增,∵g′(e)=2﹣<0,g′(e2)=3﹣>0,∴g′(c)在(,e2]上存在唯一一个零点,不妨设为c0,在g(c)在(,c0)上单调递减,在(c0,e2]上单调递增,又g()=(﹣6)<0,g(e2)=2(e2﹣6)>0,∴g(c)的最大值为g(e2)=2e2﹣12.故答案为:2e2﹣12.14.(5分)已知a,b为正实数,且(a﹣b)2=4(ab)3,则的最小值为.【解答】解:已知a,b为正实数,且(a﹣b)2=4(ab)3,则:(a+b)2=4(ab)3+4ab,所以:===≥=2.故答案为:2.二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.(15分)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,∠ADB=90°,CB=CD,点E为棱PB的中点.(1)若PB=PD,求证:PC⊥BD;(2)求证:CE∥平面P AD.【解答】证明:(1)取BD的中点O,连结CO,PO,因为CD=CB,所以△CBD为等腰三角形,所以BD⊥CO.因为PB=PD,所以△PBD为等腰三角形,所以BD⊥PO.又PO∩CO=O,所以BD⊥平面PCO.因为PC⊂平面PCO,所以PC⊥BD.解:(2)由E为PB中点,连EO,则EO∥PD,又EO⊄平面P AD,所以EO∥平面P AD.由∠ADB=90°,以及BD⊥CO,所以CO∥AD,又CO⊄平面P AD,所以CO∥平面P AD.又CO∩EO=O,所以平面CEO∥平面P AD,而CE⊂平面CEO,所以CE∥平面P AD.16.(15分)在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,设△ABC的面积为S,且.(1)求∠B的大小;(2)设向量=(sin2A,3cos A),=(3,﹣2cos A),求的取值范围.【解答】解:(1)由题意,△ABC中,有,则有,变形可得,所以.因为sin B≠0,所以cos B≠0,所以.又0<B<π,所以.(2)由向量=(sin2A,3cos A),=(3,﹣2cos A),则有•=.由(1)知,所以,所以.所以.所以.所以.即取值范围是.17.(15分)如图(1)是一斜拉桥的航拍图,为了分析大桥的承重情况,研究小组将其抽象成图(2)所示的数学模型.索塔AB,CD与桥面AC均垂直,通过测量知两索塔的高度均为60m,桥面AC上一点P到索塔AB,CD距离之比为21:4,且P对两塔顶的视角为135°.(1)求两索塔之间桥面AC的长度;(2)研究表明索塔对桥面上某处的“承重强度”与多种因素有关,可简单抽象为:某索塔对桥面上某处的“承重强度”与索塔的高度成正比(比例系数为正数a),且与该处到索塔的距离的平方成反比(比例系数为正数b).问两索塔对桥面何处的“承重强度”之和最小?并求出最小值.【解答】解:(1)设AP=21t,CP=4t,(t>0),记∠APB=α,∠CPD=β,则,由tan(α+β)=tan45°===1,化简得7t2﹣125t﹣300=0,解得t=20或t=﹣(舍去),所以AC=AP+PC=25×20=500.答:两索塔之间的距离AC=500米.(2)设AP=x,点P处的承重强度之和为L(x).则L(x)=60[+],x∈(0,500),即L(x)=60ab[+],x∈(0,500),记t(x)=+,t′(x)=﹣+,令t′(x)=0,解得x=250,当x∈(0,250),t′(x)<0,t(x)单调递减;当x∈(250,500),t′(x)>0,t(x)单调递增,所以x=250时,t(x)取到最小值,L(x)也取到最小值.答:两索塔对桥面AC中点处的“承重强度”之和最小,且最小值为.18.(15分)如图,椭圆的离心率为,焦点到相应准线的距离为1,点A,B,C分别为椭圆的左顶点、右顶点和上顶点,过点C的直线l交椭圆于点D,交x轴于点M(x1,0),直线AC与直线BD交于点N(x2,y2).(1)求椭圆的标准方程;(2)若,求直线l的方程;(3)求证:x1•x2为定值.【解答】(1)解:由椭圆的离心率为,焦点到对应准线的距离为1.可得:=,﹣c=1,a2=b2+c2,解得a=,c=1=b.∴椭圆的标准方程为:+y2=1.(2)解:由(1)知C(0,1),设D(x0,y0),∵,得2y0=﹣1,∴y0=﹣,代入椭圆方程得:+=1,解得x0=.∴D,∴l的方程为:y=±x+1.(3)证明:设D坐标为(x3,y3),由C(0,1),M(x1,0)可得直线CM的方程:y=﹣x+1,联立椭圆方程得:,解得x3=,y3=.由B(,0),得直线BD的方程:y=(x﹣),①直线AC方程为:y=x+1,②联立①②得:x2=,从而x1x2=2为定值.19.(15分)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+1,a,b∈R.(1)若a2+b=0,①当a>0时,求函数f(x)的极值(用a表示);②若f(x)有三个相异零点,问是否存在实数a使得这三个零点成等差数列?若存在,试求出a的值;若不存在,请说明理由;(2)函数f(x)图象上点A处的切线l1与f(x)的图象相交于另一点B,在点B处的切线为l2,直线l1,l2的斜率分别为k1,k2,且k2=4k1,求a,b满足的关系式.【解答】解:(1)①∵函数f(x)=x3+ax2+bx+1,a,b∈R.∴f′(x)=3x2+2ax﹣a2,∵a2+b=0,∴f′(x)=3x2+2ax﹣a2,令f′(x)=0,解得x=,或x=﹣a.由a>0知,x∈(﹣∞,﹣a),f′(x)>0,f(x)单调递增,x∈(﹣a,),f′(x)<0,f(x)单调递减,x∈(,+∞),f′(x)>0,f(x)单调递增,∴f(x)的极大值为f(﹣a)=1+a3,f(x)的极小值为f()=1﹣.②当a=0时,b=0,此时f(x)=x3+1不存在三个相异零点;当a<0时,与①同理可得f(x)的极小值为f(﹣a)=1+a3,f(x)的极大值为f()=1﹣.要使f(x)有三个不同零点,则必须有(1+a3)(1﹣)<0,即a3<﹣1或a3<.不妨设f(x)的三个零点为x1,x2,x3,且x1<x2<x3,则f(x1)=f(x2)=f(x3)=0,f(x1)=,①,②,③②﹣①得(x2﹣x1)()+a(x2﹣x1)(x2+x1)﹣a2(x2﹣x1)=0,∵x2﹣x1>0,∴+=0,④同理=0,⑤⑤﹣④得x2(x3﹣x1)+(x3﹣x1)(x3+x1)+a(x3﹣x1)=0,∵x3﹣x1>0,∴x2+x3+x1+a=0,又x1+x3=2x2,∴.∴f(﹣)=0,即,即<﹣1,∴存在这样实数a=﹣满足条件.(2)设A(m,f(m)),B(n,f(n)),则,,又==m2+mn+n2+a(m+n)+b,由此可得3m2+2am+b=m2+mn+n2+a(m+n)+b,化简得n=﹣a﹣2m,∴k2=3(﹣a﹣2m)2+2a(﹣a﹣2m)+b=12m2+8am+a2+b,∴12m2+8am+b+a2=4(3m2+2am+b),∴a2=3b.20.(15分)已知等差数列{a n}的首项为1,公差为d,数列{b n}的前n项和为S n,且对任意的n∈N*,6S n=9b n﹣a n﹣2恒成立.(1)如果数列{S n}是等差数列,证明数列{b n}也是等差数列;(2)如果数列为等比数列,求d的值;(3)如果d=3,数列{c n}的首项为1,c n=b n﹣b n﹣1(n≥2),证明数列{a n}中存在无穷多项可表示为数列{c n}中的两项之和.【解答】解:(1)设数列{S n}的公差为d′,由6S n=9b n﹣a n﹣2,……①6S n﹣1=9b n﹣1﹣a n﹣1﹣2,(n≥2)……②①﹣②得6(S n﹣S n﹣1)=9(b n﹣b n﹣1)﹣(a n﹣a n﹣1)……③∵等差数列{a n}的首项为1,公差为d,∴6d′=9(b n﹣b n﹣1)﹣d.所以:b n﹣b n﹣1=为常数,所以{b n}为等差数列.(2)由③得6b n=9(b n﹣b n﹣1)﹣d,即3b n=9b n﹣1+d,所以:=3+是与n无关的常数,所以﹣1或为常数.①当﹣1=0时,d=3,符合题意;②当为为常数时,在6S n=9b n﹣a n﹣2中令n=1,则6a1=9b1﹣a1﹣2又a1=1,解得b1=1.所以=此时3+=1,解得d=﹣6;综上,d=3或d=﹣6.(3)当d=3时,a n=3n﹣2,由(2)得数列为等比数列是以为首项,公比为3的等比数列,所以即当n≥2时,c n=b n﹣b n﹣1=3n﹣1当n=1时,也满足上式,所以c n=3n﹣1.设a n=c i﹣c j,则3n﹣2=3i﹣1+3j﹣1,即3n=3i﹣1+3j﹣1=2如果i≥2,因为3n为3的倍数,3i﹣1+3j﹣1为3的倍数,所以2也为3的倍数,矛盾.所以i=1,则3n=3+3j﹣1,即n=1+3j﹣2.(j=2,3,4……)故得数列{a n}中存在无穷多项可表示为数列{c n}中的两项之和.(附加题)【选做题】在21,22,23,24四小题中只能选做两题,每小题0分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.[选修4-1:几何证明选讲]21.如图所示,AB为⊙O的直径,AE平分∠BAC交⊙O于E点,过E作⊙O的切线交AC 于点D,求证:AC⊥DE.【解答】证明:连接OE,因为ED是⊙O切线,所以OE⊥ED.因为OA=OE,所以∠OAE=∠OEA.又因为AB为⊙O的直径,AE平分∠BAC交⊙O于E点,所以∠OAE=∠EAD,所以∠EAD=∠OEA,所以OE∥AC,故AC⊥DE.[选修4-2:矩阵与变换]22.已知矩阵的一个特征值为3,求M﹣1.【解答】解:由题意可知:|λE﹣M|=0,即=0,得(λ﹣2)(λ﹣x)﹣4=0的一个解为3,代入得x=﹣1,∴M=,则|M|=﹣6,∴M﹣1=.[选修4-4:坐标系与参数方程]23.在平面直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为为参数).以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线l的极坐标方程为,已知圆心C到直线l的距离等于,求a的值.【解答】解:圆C的参数方程为为参数).圆C消去参数t,得到圆的普通方程为(x﹣3)2+(y+2)2=4,由,得ρcosθ+ρsinθ﹣a=0,所以直线l的直角坐标方程为x+y﹣a=0.依题意,圆心C到直线l的距离等于,即=,解得a=﹣1或a=3.[选修4-5:不等式选讲]24.已知实数a,b,c满足a+2b+c=1,a2+b2+c2=1,求证:.【解答】证明:因为a+2b+c=1,a2+b2+c2=1,所以a+2b=1﹣c,a2+b2=1﹣c2.由柯西不等式:(12+22)(a2+b2)≥(a+2b)2,5(1﹣c2)≥(1﹣c)2,整理得,3c2﹣c﹣2≤0,解得﹣≤c≤1.所以﹣≤c≤1.【必做题】第25题、第26题,每题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.25.甲、乙、丙三位学生各自独立地解同一道题,已知甲做对该题的概率为,乙、丙做对该题的概率分别为m,n(m>n),且三位学生能否做对相互独立,设X为这三位学生中做对该题的人数,其分布列为:(1)求m,n的值;(2)求X的数学期望.【解答】解:(1)由题意,得,又m>n,解得m=,n=.(2)由题意,a=++=,b=1﹣﹣=,∴E(X)=0×+1×+2×+3×=.26.已知函数.(1)当n=2时,若,求实数A的值;(2)若f(2)=m+α(m∈N*,0<α<1),求证:α(m+α)=1.【解答】解(1)当n=2时,f(x)=(x+5)5=x5+x4+x3()2+x2()3+x()4+()5,所以f(2)+f(﹣2)=(2+)5+(﹣2+)5=2[()124+()322+()520]=2(5×16+10×4×5+25)=610,所以A=610.(2)因为f(x)=(x+)2n+1=x2n+1+x2n+x2n﹣1()2+…+()2n+1,所以f(2)=22n+1+22n+22n﹣1()2+…+()2n+1,,由题意f(2)=(+2)2n+1=m+α(m∈N*,0<α<1),首先证明对于固定的n∈N*,满足条件的m,α是唯一的.假设f(2)=(2+)2n+1=m1+α1=m2+α2(m1,m2∈N*,0<α1,α2<1,m1≠m2,α1≠α2),则m1﹣m2=α2﹣α1≠0,而m1﹣m2∈Z,α2﹣α1∈(﹣1,0)∪(0,1),矛盾.所以满足条件的m,α是唯一的.下面我们求m及α的值:因为f(2)﹣f(﹣2)=(2+)2n+1﹣(﹣2+)2n+1=(2+)2n+1+(2﹣)2n+1=2[22n+1+22n﹣1()2+22n﹣3()4+…+21()2n],,显然f(2)﹣f(﹣2)∈N*.又因为﹣2∈(0,1),故(﹣2)2n+1∈(0,1),即f(﹣2)=(﹣2+)2n+1=(﹣2)2n+1∈(0,1).所以令m=2[22n+1+22n﹣1()2+22n﹣3()4+…+21()2n],α=(﹣2+)2n+1,则m=f(2)﹣f(﹣2),α=f(﹣2),又m+α=f(2),所以α(m+α)=f(﹣2)•f(2)=(2+)2n+12n+1=(5﹣4)2n+1=1.。

9.江苏省南京市、盐城市、连云港市2018届高三年级第二次模拟考试数学与评分标准

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南京市、盐城市2018届高三年级第二次模拟考试数 学 2018.03一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,计70分. 不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上)1.函数f (x )=lg(2-x )的定义域为▲________.2.已知复数z 满足z 1+2i =i ,其中i 为虚数单位,则复数z 的模为 ▲ .3.执行如图所示的算法流程图,则输出a 的值为 ▲ .4.某学生5次数学考试成绩的茎叶图如图所示,则这组数据的方差为▲________.5.3名教师被随机派往甲、乙两地支教,每名教师只能被派往其中一个地方,则恰有2名教师被派往甲地的概率为 ▲ .6.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n .若S 15=30,a 7=1,则S 9的值为▲________.7.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .若b sin A sin B +a cos 2B =2c ,则ac 的值为▲________.8.在平面直角坐标系xOy 中,双曲线C :x 2-y 2b2=1 (b >0) 的两条渐近线与圆O :222x y +=的四个交点依次为A ,B ,C ,D .若矩形ABCD 的面积为b ,则b 的值为 ▲ .9.在边长为4的正方形ABCD 内剪去四个全等的等腰三角形(如图1中阴影部分),折叠成底面边长为2的正四棱锥S -EFGH (如图2),则正四棱锥S -EFGH 的体积为▲________.(第3题)(第4题) ABEF GHSFG10.已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数,且当x ≥0时,f (x )=x 2+x .若f (a )+f (-a )<4,则实数a 的取值范围为▲________.11.在平面直角坐标系xOy 中,曲线y =m x +1(m >0)在x =1处的切线为l ,则点(2,-1) 到直线l 的距离的最大值为▲________.12.如图,在△ABC 中,边BC 的四等分点依次为D ,E ,F .若AB →·AC →=2,AD →·AF →=5,则AE 的长为▲________.13.在平面直角坐标系xOy 中,已知A ,B 为圆C :(x +4)2+(y -a )2=16上两个动点,且AB =211.若直线l :y =2x 上存在唯一的一个点P ,使得P A →+PB →=OC →,则实数a 的值为▲________.14.已知函数f (x )=⎩⎨⎧-x 3+3x 2+t ,x <0,x , x ≥0,t ∈R .若函数g (x )=f (f (x )-1)恰有4个不同的零点,则t的取值范围为▲________.二、解答题(本大题共6小题,计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题卡的指定区域内) 15.(本小题满分14分)已知函数f (x )=2sin(ωx +φ)(ω>0,-π2<φ<π2)的部分图象如图所示,直线x =π12,x =7π12是其相邻的两条对称轴.(1)求函数f (x )的解析式;(2)若f (α2)=-65,且2π3<α<7π6,求cos α的值.(第15题) (第12题)16.(本小题满分14分)如图,矩形ABCD 所在平面与三角形ABE 所在平面互相垂直,AE =AB ,M ,N ,H 分别为DE ,AB ,BE 的中点.(1)求证:MN ∥平面BEC ; (2)求证:AH ⊥CE .17.(本小题满分14分)调查某地居民每年到商场购物次数m 与商场面积S 、到商场距离d 的关系,得到关系式m =k ×Sd 2(k 为常数).如图,某投资者计划在与商场A 相距10km 的新区新建商场B ,且商场B 的面积与商场A 的面积之比为λ (0<λ<1).记“每年居民到商场A 购物的次数”、“每年居民到商场B 购物的次数”分别为m 1、m 2,称满足m 1<m 2的区域叫做商场B 相对于A 的“更强吸引区域”. (1)已知P 与A 相距15km ,且∠P AB =60o .当λ=12时,居住在P 点处的居民是否在商场B 相对于A 的“更强吸引区域”内?请说明理由;(2)若要使与商场B 相距2 km 以内的区域(含边界)均为商场B 相对于A 的“更强吸引区域”,求λ的取值范围.(第16题) BEDAHCMNAB(第17题)如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为 22,上顶点A 到右焦点的距离为 2 .过点D (0,m )(m ≠0)作不垂直于x 轴,y 轴的直线l 交椭圆E 于P ,Q 两点,C 为线段PQ 的中点,且AC ⊥OC . (1)求椭圆E 的方程; (2)求实数m 的取值范围;(3)延长AC 交椭圆E 于点B ,记△AOB 与△AOC 的面积分别为S 1,S 2,若S 1S 2=83,求直线l 的方程.(第18题)已知函数f (x)=x(e x-2),g (x)=x-ln x+k,k∈R,e为自然对数的底.记函数F(x)=f(x)+g (x).(1)求函数y=f (x)+2x的极小值;(2)若F(x)>0的解集为(0,+∞),求k的取值范围;(3)记F(x)的极值点为m.求证:函数G(x)=|F(x)|+ln x在区间(0,m)上单调递增.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)对于数列{a n},定义b n(k)=a n+a n+k,其中n,k∈N*.(1)若b n(2)-b n(1)=1,n∈N*,求b n(4)-b n(1)的值;(2)若a1=2,且对任意的n,k∈N*,都有b n+1(k)=2b n(k).(i)求数列{a n}的通项公式;(ii)设k为给定的正整数,记集合A={b n(k)|n∈N*},B={5b n(k+2)|n∈N*},求证:A∩B= .南京市、盐城市2018届高三第二次模拟考试数学附加题21.【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10分,共计20分,请在答题纸指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.B.选修4-2:矩阵与变换已知a=为矩阵A=属于实数λ的一个特征向量,求λ和A2.C.选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,直线,的参数方程为(t为参数),圆C的参数方程为 (a>0,θ为参数),点P是圆C上的任意一点,若点P到直线,距离的最大值为3,求a的值,【必做题】第22题、第23题,每题10分,共20分,请在答题卡指定区域内作答,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.(本小题满分10分)甲,乙两人站在P点处分别向A,B,C三个目标进行射击,每人向兰个目标各射击一次,每人每次射击每个目标均相互独立,且两人各自击中A,B,C的概率分别都为(1)设X表示甲击中目标的个数,求随机变量X的分布列和数学期望;(2)求甲乙两人共击中目标数为2个的概率.23.(本小题满分10分)已知n∈N*,且n≥4,数列T:a1,a2,…,a n中的每一项均在集合M={l,2,…,n}中,且任意两项不相等.(1)若n=7,且a2<a3<a4<a5<a6,求数列T的个数;(2)若数列T中存在唯一的a k(k∈N*,且k<n),满足a k >a k+1,求所有符合条件的数列T的个数.南京市、盐城市2018届高三年级第二次模拟考试数学参考答案说明:1.本解答给出的解法供参考.如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的解答有较严重的错误,就不再给分.3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,填空题不给中间分数.一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,计70分. 不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上)1.(-∞,2) 2. 5 3.3 4.16 5.38 6.-9 7. 2 8.79.43 10.(-1,1) 11. 2 12. 6 13.2或-18 14.[-4,0) 二、解答题(本大题共6小题,计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内) 15.(本小题满分14分)解:(1)设f (x )的周期为T ,则T 2=7π12-π12=π2,所以T =π.又T =2πω,所以ω=2,所以f (x )=2sin(2x +φ). …………………………………3分因为点(π12,2)在函数图象上,所以2sin(2×π12+φ)=2,即sin(π6+φ)=1.因为-π2<φ<π2,所以φ=π3,所以f (x )=2sin(2x +π3).…………………………………7分(2)由f (α2)=-65,得sin(α+π3)=-35.因为2π3<α<7π6,所以π<α+π3<3π2,所以cos(α+π3)=-1-sin 2(α+π3)=-45. ………………………………10分所以cos α=cos[(α+π3)-π3]=cos(α+π3)cos π3+sin(α+π3) sin π3=-45×12+(-35)×32=-33+410. ………………………………14分16.(本小题满分14分)(1)解法一:取CE 中点F ,连接FB ,MF .因为M 为DE 的中点,F 为CE 的中点,所以MF ∥CD 且MF =12CD . ……………………………………2分又因为在矩形ABCD 中,N 为AB 的中点, 所以BN ∥CD 且BN =12CD ,所以MF ∥BN 且MF =BN ,所以四边形BNMF 为平行四边形,所以MN ∥BF . ……………………………………4分 又MN ⊄平面BEC ,BF ⊂平面BEC ,所以MN ∥平面BEC . ……………………………………6分 解法二:取AE 中点G ,连接MG ,GN .因为G 为AE 的中点,M 为DE 的中点,所以MG ∥AD . 又因为在矩形ABCD 中,BC ∥AD ,所以MG ∥BC . 又因为MG ⊄平面BEC ,BC ⊂平面BEC ,所以MG ∥平面BEC . ……………………………………2分 因为G 为AE 的中点,N 为AB 的中点,所以GN ∥BE .又因为GN ⊄平面BEC ,BE ⊂平面BEC ,所以GN ∥平面BEC . 又因为MG ∩GN =G ,MG ,GN ⊂平面GMN ,所以平面GMN ∥平面BEC . ……………………………………4分 又因为MN ⊂平面GMN ,所以MN ∥平面BEC . ……………………………………6分 (2)因为四边形ABCD 为矩形,所以BC ⊥AB .因为平面ABCD ⊥平面ABE ,平面ABCD ∩平面ABE =AB ,BC ⊂平面ABCD ,且BC ⊥AB , 所以BC ⊥平面ABE . ……………………………………8分 因为AH ⊂平面ABE ,所以BC ⊥AH .因为AB =AE ,H 为BE 的中点,所以BE ⊥AH . ……………………………………10分 因为BC ∩BE =B ,BC ⊂平面BEC ,BE ⊂平面BEC ,所以AH ⊥平面BEC . ……………………………………12分 又因为CE ⊂平面BEC ,所以AH ⊥CE . ……………………………………14分 17.(本小题满分14分)解:设商场A 、B 的面积分别为S 1、S 2,点P 到A 、B 的距离分别为d 1、d 2,则S 2=λS 1,m 1=k S 1 d 12,m 2=k S 2d 22,k 为常数,k >0.(1)在△P AB 中,AB =10,P A =15,∠P AB =60o ,由余弦定理,得d 22=PB 2=AB 2+P A 2-2AB ·P A cos60°=102+152-2×10×15×12=175. …………………………2分又d 12=P A 2=225,此时,m 1-m 2=k S 1 d 12-k S 2 d 22=k S 1 d 12-k λS 1 d 22=kS 1(1 d 12-λd 22), …………………………4分将λ=12,d 12=225,d 22=175代入,得m 1-m 2=kS 1(1225-1350).因为kS 1>0,所以m 1>m 2,即居住在P 点处的居民不在商场B 相对于A 的“更强吸引区域”内. …………………6分 (2)解法一:以AB 所在直线为x 轴,A 为原点,建立如图所示的平面直角坐标系, 则A (0,0),B (10,0),设P (x ,y ),由m 1<m 2得,k S 1 d 12<k S 2d 22,将S 2=λS 1代入,得d 22<λd 12.……8分代入坐标,得(x -10)2+y 2<λ(x 2+y 2),化简得(1-λ) x 2+(1-λ) y 2-20x +100<0. ……………………10分 因为0<λ<1,配方得 (x -101-λ)2+y 2<(10λ1-λ)2, 所以商场B 相对于A 的“更强吸引区域”是:圆心为C (101-λ,0),半径为r 1=10λ1-λ的圆的内部.与商场B 相距2 km 以内的区域(含边界)是:圆心为B (10,0),半径为r 2=2的圆的内部及圆周.由题设,圆B 内含于圆C ,即BC <| r 1-r 2|. …………………………12分 因为0<λ<1,所以101-λ-10<10λ1-λ-2,整理得4λ-5λ+1<0,解得116<λ<1.所以,所求λ的取值范围是(116,1). …………………………14分解法二:要使与商场B 相距2 km 以内的区域(含边界)均为商场B 相对于A 的“更强吸引区域”, 则当d 2≤2时,不等式m 1<m 2恒成立.由m 1<m 2,得k S 1 d 12<k S 2 d 22=k λS 1 d 22,化简得d 12>d 22λ. …………………………8分设∠PBA =θ,则d 12=P A 2=AB 2+PB 2-2AB ·PB cos θ=100+d 22-20d 2cos θ, …………………………10分 所以100+d 22-20d 2cos θ>d 22λ,即100+d 22-d 22λ20d 2>cos θ.上式对于任意的θ∈[0,π]恒成立,则有100+d 22-d 22λ20d 2>1, ………………………12分即1-1λ>20·1d 2-100·(1d 2)2=-100(1d 2-110)2+1 (*).由于d 2≤2,所以1d 2≥12.当1d 2=12时,不等式(*)右端的最大值为-15, 所以1-1λ>-15,解得λ>116.又0<λ<1,所以λ的取值范围是(116,1). ………………………14分(第17题)18.(本小题满分16分)解:(1)因为⎩⎪⎨⎪⎧c a =22,a =2,所以c =1,b 2=a 2-c 2=1,所以椭圆E 的方程为x 22+y 2=1. …………………………2分解法一:(2)由(1)得A (0,1).设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),C (x 0,y 0),其中x 0,y 0均不为0,且x 1≠x 2. 因为P ,Q 两点都在椭圆E 上,所以x 12+2y 12=2 且x 22+2y 22=2,两式相减得y 2-y 1x 2-x 1×y 0x 0=-12. …………………………4分又y 2-y 1x 2-x 1=y 0-m x 0 ,所以y 0-m x 0×y 0x 0=-12, …………………………6分即x 02=2y 0(m -y 0). ①又AC ⊥OC ,所以y 0-1x 0×y0x 0=-1, …………………………8分即x 02=y 0(1-y 0). ②由①②得y 0=2m -1,x 02=(1-2m ) (2m -2)∈(0,2),所以12<m <1. …………………………10分(3)设B (x 3,y 3),点B 在椭圆E 上,所以x 32+2y 32=2.又AC ⊥OC ,所以y 3-1x 3×y 0x 0=-1,即y 3=-x0y 0x 3+1,代入上式消去y 3,得x 3=4x 0y0y 20+2x 20, …………………………12分所以S 1S 2=12AO ×|x 3| 12AO ×|x 0|=|x 3x 0|=|4y 0y 20+2x 20|.由(2)知y 0=2m -1,x 02=(1-2m ) (2m -2),12<m <1,所以S 1S 2=|4(2m -1)(2m -1)2+2(1-2m )(2m -2) |=|43-2m |=43-2m . …………………………14分 因为S 1S 2=83,所以43-2m =83,解得m =34,此时y 0=2m -1=12,x 02=(1-2m ) (2m -2)=14,所以x 0=±12,所以C 点坐标为(±12,12),D 点坐标为(0,34),所以直线l 的方程为y =±12x +34. …………………………16分解法二:(2)由(1)得A (0,1).设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),C (x 0,y 0).设直线l 方程为y =kx +m (k ≠0),将其与椭圆E 的方程联立,消去y 得(1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2-2=0 (*),所以x 1+x 2=-4km1+2k 2, …………………………4分所以x 0=x 1+x 22=-2km 1+2k 2,y 0=kx 0+m =m 1+2k 2,即C (-2km 1+2k 2,m1+2k 2), 所以k AC =y 0-1x 0=m1+2k 2-1-2km 1+2k 2=2k 2+1-m2km . …………………………6分又因为k OC =y 0x 0=m 1+2k 2-2km 1+2k 2=-12k,且AC ⊥OC ,所以k AC ×k OC =2k 2+1-m 2km ×(-12k)=-1,整理得m =2k 2+14k 2+1. …………………………8分因为k ≠0,则m =2k 2+14k 2+1=4k 2+1-2k 24k 2+1=1-2k 24k 2+1=1-12+12k 2 ∈(12,1), 此时△=8(2k 2+1-m )>0,所以实数m 的取值范围为(12,1). …………………………10分(3)设B (x 3,y 3),k AB =-1k OC =2k ,所以直线AB 的方程为y =2kx +1,与椭圆E 方程联立解得x =-8k 1+8k 2或0(舍),即x 3=-8k1+8k 2. …………………12分 又因为x 0=-2km 1+2k 2=-2k 1+2k 2×2k 2+14k 2+1=-2k1+4k 2,所以S 1S 2=12AO ×|x 3| 12AO ×|x 0|=|-8k 1+8k 2-2k 1+4k 2|=4+16k 21+8k 2. …………………………14分因为S 1S 2=83,所以4+16k 21+8k 2=83,解得k =±12, 此时m =2k 2+14k 2+1=34,D 点坐标为(0,34),所以直线l 的方程为y =±12x +34. …………………………16分19.(本小题满分16分)(1)解:y =f (x )+2x =x e x ,由y ′=(1+ x )e x =0,解得x =-1.所以当x =-1时,f (x )取得极小值-1e . ………………………2分(2)解:F (x )=f (x )+g (x )=x e x -x -ln x +k ,F ′(x )=(x +1)(e x -1x),设h (x )=e x -1x (x >0),则h ′(x )=e x +1x 2>0恒成立,所以函数h (x )在(0,+∞)上单调递增.又h (12)=e -2<0,h (1)=e -1>0,且h (x )的图像在(0,+∞)上不间断,因此h (x )在(0,+∞)上存在唯一的零点x 0∈(12,1),且e x=1x 0.……………………4分当x ∈(0,x 0)时,h (x )<0,即F ′(x )<0;当x ∈(x 0,+∞)时,h (x )>0,即F ′(x )>0, 所以F (x )在(0,x 0)上单调递减,在(x 0,+∞)上单调递增,于是x =x 0时,函数F (x )取极(最)小值为F (x 0)=x 0e x 0-x 0-ln x 0+k ……………………6分=1-x 0-ln 1ex 0+k =1+k .因为F (x )>0的解集为(0,+∞),所以1+k >0,即k >-1. ……………………8分 (3)证明:由(2)知m =x 0,①当1+k ≥0,即k ≥-1时,F (x )≥0恒成立,于是G (x )=F (x )+ln x =x e x -x +k ,G ′(x )=(x +1)e x -1.因为x ∈(0,m ),所以x +1>1,e x >1,于是G ′(x )>0恒成立,所以函数G (x )在(0,m )上单调递增. ……………………10分 ②当1+k <0,即k <-1时,0<e k <12<x 0=m ,F (e k )=e k ( e e k-1)>0,F (m )=F (x 0)=1+k <0, 又F (x )在(0,m )上单调递减且图像不间断,所以F (x )在(0,m )上存在唯一的零点x 1. ……………………12分 当0<x ≤x 1时,F (x )≥0,G (x )=F (x )+ln x =x e x -x +k ,G ′(x )=(x +1)e x -1, 因为0<x ≤x 1,所以x +1>1,e x >1,于是G ′(x )>0恒成立,所以函数G (x )在(0,x 1]上单调递增; ① ……………………14分 当x 1≤x <m 时,F (x )≤0,G (x )=-F (x )+ln x ,G ′(x )=-F ′(x )+1x ,由(2)知,当x 1≤x <m 时,F ′(x )<0,于是G ′(x )>0恒成立, 所以函数G (x )在[x 1,m )上单调递增; ② 设任意s ,t ∈(0,m ),且s <t , 若t ≤x 1,则由①知G (s )<G (t ),若s <x 1<t ,则由①知G (s )<G (x 1),由②知G (x 1)<G (t ),于是G (s )<G (t ),若x 1≤s ,由②知G (s )<G (t ), 因此总有G (s )<G (t ),所以G (x )在(0,m )上单调递增.综上,函数G (x )在(0,m )上单调递增. ………………………16分20.(本小题满分16分)(1)解:因为b n (2)-b n (1)=1,所以(a n +a n +2)-(a n +a n +1)=1,即a n +2-a n +1=1, 因此数列{a n +1}是公差为1的等差数列,所以b n (4)-b n (1)=(a n +a n +4)-(a n +a n +1) =a n +4-a n +1=3. ……………………2分 (2)(i )解:因为b n +1(k )=2b n (k ),所以a n +1+a n +1+k =2(a n +a n +k ),分别令k =1及k =2,得⎩⎨⎧a n +1+a n +2=2(a n +a n +1), ①a n +1+a n +3=2(a n +a n +2), ②……………………4分由①得a n +2+a n +3=2(a n +1+a n +2), ③ …………………………6分 ③-②得a n +2-a n +1=2(a n +1-a n ), ④ …………………………8分 ①-④得2a n +1=4a n ,即a n +1=2a n ,又a 1=2,所以a n =2n . …………………………10分(ii )证明:假设集合A 与集合B 中含有相同的元素,不妨设b n (k )=5b m (k +2),n ,m ∈N*, 即a n +a n +k =5(a m +a m +k +2), 于是2n +2n +k =5(2m +2m+k +2),整理得2n -m=5(1+2k +2)1+2k. …………………………12分因为5(1+2k +2)1+2k =5(4-31+2k )∈[15,20),即2n -m∈[15,20), 因为n ,m ∈N*,从而n -m =4, …………………………14分 所以5(1+2k +2)1+2k=16,即4×2k =11. 由于k 为正整数,所以上式不成立,因此集合A 与集合B 中不含有相同的元素,即A ∩B =∅.…………………………16分南京市、盐城市2018届高三年级第二次模拟考试 数学附加题参考答案及评分标准 2018.03说明:1.本解答给出的解法供参考.如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的解答有较严重的错误,就不再给分.3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,填空题不给中间分数.21.【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每小题10分,共计20分.请在答.卷卡指定区域......内.作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A .选修4—1:几何证明选讲证明:连结OD ,因为OD =OA ,所以∠OAD =∠ODA .因为AD 平分∠BAE ,所以∠OAD =∠EAD , ………………3分 所以∠EAD =∠ODA ,所以OD ∥AE . ………………5分 又因为AE ⊥DE ,所以DE ⊥OD . ………………8分 又因为OD 为半径,所以DE 是圆O 的切线. ………………10分B .选修4—2:矩阵与变换解:因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1a -12 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11=λ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11 ,所以⎩⎨⎧1+a =λ,-1+2=λ,解方程组得⎩⎨⎧a =0,λ=1. …………………………5分所以A =⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 0-1 2 ,所以A 2=⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 0-3 4. …………………………10分 C .选修4—4:坐标系与参数方程解:因为直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x =t ,y =3t +2(t 为参数),所以直线l 的普通方程为y =3x +2. ……………………………3分又因为圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x =a cos θ,y =a sin θ(a >0,θ为参数),所以圆C 的普通方程为x 2+y 2=a 2. ……………………………6分 因为圆C 的圆心到直线l 的距离d =1, ……………………………8分 所以1+a =3,解得a =2.……………………………10分D .选修4—5:不等式选讲解:方法一:|x -1|+|x |≥|x -1-x |=1,当且仅当x (x -1)≤0,即0≤x ≤1时取等号. ……………………………4分 |y -1|+|y +1|≥|y -1-y -1|=2,当且仅当(y -1)(y +1)≤0,即-1≤y ≤1时取等号. ……………………………8分 所以|x -1|+|x |+|y -1|+|y +1|≥3, 当且仅当0≤x ≤1,-1≤y ≤1时取等号,所以|x -1|+|x |+|y -1|+|y +1|的最小值为3. …………………………10分 方法二:因为f (x )=|x -1|+|x |=⎩⎪⎨⎪⎧2x -1,x ≥1,1,0≤x <1,1-2x ,x <0,所以f (x )min =1. …………………………4分 因为g (y )=|y -1|+|y +1|=⎩⎪⎨⎪⎧2y ,y ≥1,2,-1≤y <1,-2y ,y <-1,所以g (y )min =2. …………………………8分 综上,|x -1|+|x |+|y -1|+|y +1|的最小值为3. …………………………10分【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分. 22.(本小题满分10分)解:(1)随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3.P (X =0)=(1-12)×(1-13)×(1-14)=14,P (X =1)=12×(1-13)×(1-14)+(1-12)×13×(1-14)+(1-12)×(1-13)×14=1124,P (X =2)=(1-12)×13×14+12×(1-13)×14+12×13×(1-14)=14,P (X =3)=12×13×14=124.所以,随机变量X 的分布列为X 的数学期望E (X )=0×14+1×1124+2×14+3×124=1312. …………………………5分(2)设Y 表示乙击中目标的个数,由(1)亦可知,P (Y =0)=14,P (Y =1)=1124,P (Y =2)=14.则P (X =0,Y =2)=14×14=116,P (X =1,Y =1)=1124×1124=121576,P (X =2,Y =0)=14×14=116, …………………………8分所以P (X +Y =2)=P (X =0,Y =2)+P (X =1,Y =1)+P (X =2,Y =0)=193576.所以,甲乙两人共击中目标数为2个的概率为193576. …………………………10分23.(本小题满分10分)解:(1)当n =7时,M ={1,2,…,7 },数列T 的个数为C 27×A 22=42. ………………………………2分(2)当k =1时,则a 1>a 2,a 2<a 3<…<a n ,此时a 2为1,a 1共有n -1种选法,余下的n -2个数,按从小到大依次排列,共有1种,因此k =1时,符合条件的数列T 共有n -1=C 1n -1个. ……………………………3分当2≤k ≤n -2时,则a 1<a 2<…<a k ,a k >a k +1,a k +1<a k +2<…<a n ,从集合M 中任取k 个数,按从小到大的顺序排列, 再将余下的n -k 个数,按从小到大的顺序排列,即得满足条件a 1<a 2<…<a k ,a k +1<a k +2<…<a n 的数列的个数为C k n C n -k n -k ,这里包含了a k <a k +1即a 1<a 2<…<a k <a k +1<a k +2<…<a n 的情形,因此符合条件的数列T 的个数为C k n C n -k n -k -1=C k n -1. ………………………………7分当k =n -1时,则a 1<a 2<…<a n -1,a n -1>a n此时a n -1为n ,a n 共有n -1种选法,余下的n -2个数,按从小到大依次排列,共有1种,因此k =n -1时,符合条件的数列T 共有n -1=C n -1n -1个.…………………………8分于是所有符合条件的数列T 的个数为:C 1n -1+C 2n -1+…+C n -1n -1=C 1n +C 2n +…+C n -1n -n +1 =2n -C 0n -C n n -n +1=2n -n -1. ………………………………10分。

江苏省南通、徐州、扬州等六市2018届高三第二次调研(二模)测试数学(文理)试题(解析版)

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(第4题)2018届高三第二次调研测试南通、徐州、扬州、宿迁、淮安等六市数学学科参考答案及评分建议一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分. 1. 已知集合{}{} 1012 3 10 2 U A =-=-,,,,,,,,则U A =ð ▲ .【答案】{}13,2. 已知复数12i 34i z a z =+=-,,其中i 为虚数单位.若12z z 为纯虚数,则实数a 的值为 ▲ . 【答案】433. 某班40名学生参加普法知识竞赛,成绩都在区间[]40100,上,其频率分布直方图如图 所示,则成绩不低于60分的人数为 ▲ .【答案】304. 如图是一个算法流程图,则输出的S 的值为▲ . 【答案】125 5. 在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ,以线段AC ,BC 为邻边作矩形,则该矩形的面积大于32 cm 2的概率为 ▲ .【答案】136. 在ABC △中,已知145AB AC B ==︒,,则BC 的长为 ▲ .7. 在平面直角坐标系xOy 中,已知双曲线C 与双曲线2213y x -=有公共的渐近线,且经过点()2P -,则双曲线C 的焦距为 ▲ .【答案】8. 在平面直角坐标系xOy 中,已知角αβ,的始边均为x 轴的非负半轴,终边分别经过点(12)A ,,(51)B ,,则tan()αβ-的值为 ▲ . 【答案】979. 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S .若396S S S ,,成等差数列,且83a =,则5a 的值为 ▲ . 【答案】6-10.已知a b c ,,均为正数,且4()abc ab =+,则a bc ++的最小值为 ▲ . 成绩/分40 50 60 70 80 90 100 (第3题)【答案】811.在平面直角坐标系xOy 中,若动圆C上的点都在不等式组33030x x x ⎧⎪+⎨⎪+⎩≤,≥,≥表示的平面区域内,则面积最大的为 ▲ . 【答案】22(1)4x y -+=12.设函数31e 02()320x x f x x mx x -⎧->⎪=⎨⎪--⎩≤,,,(其中e 为自然对数的底数)有3个不同的零点, 则实数m 的取值范围是 ▲ . 【答案】()1+∞, 13.在平面四边形ABCD 中,已知1423AB BC CD DA ====,,,,则AC BD ⋅的值为 ▲ . 【答案】1014.已知a为常数,函数()f x =的最小值为23-,则a 的所有值为 ▲ .【答案】14,填空题要求:第6第11题:题目要求“圆C 的标准方程”,写成圆的一般方程不给分,不配方不给分。

江苏省苏锡常镇2018届高三5月调研(二模)数学(理)试题(含附加题)

江苏省苏锡常镇2018届高三5月调研(二模)数学(理)试题(含附加题)

2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(二)数 学 Ⅰ 试 题 2018.5方差公式:2222121()()()n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅+-⎣⎦,其中121()n x x x x n=++⋅⋅⋅+. 一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.不需要写出解答过程,请把答案直接填在答题卡相应位置上......... 1. 若复数z 满足(1+i)z=2(i 是虚数单位),则z 的虚部为 .2. 设集合{24}A =,,2{2}(B a =,其中0)a <,若A B =,则实数a = . 3. 在平面直角坐标系xOy 中,点(24)P -,到抛物线28y x =-距离为.4. 一次考试后,从高三(1)班抽取5人进行成绩统计,其茎叶 图如右图所示,则这五人成绩的方差为 .5. 右图是一个算法流程图,若输入值[02]x ∈,,则输出值S 的 取值范围是 .6. 欧阳修在《卖油翁》中写到:“(翁)乃取一葫芦置于地,以 钱覆其口,徐以杓酌油沥之,自钱孔入, 而钱不湿”,可见卖油翁的技艺之高超,若 铜钱直径4厘米,中间有边长为1厘米的 正方形小孔,随机向铜钱上滴一滴油(油 滴大小忽略不计),则油恰好落入孔中的概率是 .7. 已知函数()sin(π)(02π)f x x x ϕ=+<<在2x =时取得最大值,则ϕ= .(第6题图)8. 已知公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若1054S S =,则14a d = .9. 在棱长为2的正四面体P -ABC 中,M ,N 分别为P A ,BC 的中点,点D 是线段PN 上一点,且PD =2DN ,则三棱锥D -MBC 的体积为 .10. 设△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,且满足3cos cos 5a Bb Ac -=,则tan tan AB= . 11. 在平面直角坐标系xOy 中,已知圆22:(1)2C x y ++=,点(20)A ,,若圆C 上存在点M ,满足2210MA MO +≤,则点M 的纵坐标的取值范围是 .12. 如图,扇形AOB 的圆心角为90°,半径为1,点P 是圆弧AB 上的动点,作点P 关于弦AB 的对称点Q ,则OP OQ ⋅的取值范围为 .13. 已知函数1(|3|1)0()2ln 0x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨⎪>⎩,,, ,若存在实数a b c <<,满足()()()f a f b f c ==,则()()()af a bf b cf c ++的最大值 是 .14. 已知a b ,为正实数,且()234()a b ab -=,则11a b+的最小值为 . 二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域.......内作答,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分14分)如图,在四棱锥P -ABCD 中,∠ADB =90°,CB =CD ,点E 为棱PB 的中点. (1)若PB =PD ,求证:PC ⊥BD ; (2)求证:CE ∥/平面P AD .ABCDP E (第15题图)在△ABC 中,三个内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,设△ABC 的面积为S,且2224)S a c b +-.(1)求∠B 的大小;(2)设向量(sin 23cos )A A =,m ,(32cos )A =-,n ,求⋅m n 的取值范围.17.(本小题满分14分)下图(I )是一斜拉桥的航拍图,为了分析大桥的承重情况,研究小组将其抽象成图(II )所示的数学模型.索塔AB ,CD 与桥面AC 均垂直,通过测量知两索塔的高度均为60 m ,桥面AC 上一点P 到索塔AB ,CD 距离之比为21:4,且P 对两塔顶的视角为135°. (1)求两索塔之间桥面AC 的长度;(2)研究表明索塔对桥面上某处的“承重强度”与多种因素有关,可简单抽象为:某索塔对桥面上某处的“承重强度”与索塔的高度成正比(比例系数为正数a ),且与该处到索塔的距离的平方成反比(比例系数为正数b ).问两索塔对桥面何处的“承重强度”之和最小?并求出最小值.(第17题图(Ⅰ))(第17题图(Ⅱ))如图,椭圆22221(0)x y a b a b +=>>,焦点到相应准线的距离为1,点A ,B ,C 分别为椭圆的左顶点、右顶点和上顶点,过点C 的直线l 交椭圆于点D ,交x 轴于点1(0)M x ,,直线AC 与直线BD 交于点22()N x y ,.(1)求椭圆的标准方程;(2)若2CM MD =,求直线l 的方程; (3)求证:12x x ⋅为定值.已知函数32()1f x x ax bx a b =+++∈,,R . (1)若20a b +=,① 当0a >时,求函数()f x 的极值(用a 表示);② 若()f x 有三个相异零点,问是否存在实数a 使得这三个零点成等差数列?若存在,试求出a 的值;若不存在,请说明理由;(2)函数()f x 图象上点A 处的切线1l 与()f x 的图象相交于另一点B ,在点B 处的切线为2l ,直线12l l ,的斜率分别为12k k ,,且21=4k k ,求a b ,满足的关系式.已知等差数列{}n a 的首项为1,公差为d ,数列{}n b 的前n 项和为n S ,且对任意的*n ∈N,692n n n S b a =--恒成立.(1)如果数列{}n S 是等差数列,证明数列{}n b 也是等差数列; (2)如果数列12n b ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列,求d 的值; (3)如果3d =,数列{}n c 的首项为1,1(2)n n n c b b n -=-≥,证明数列{}n a 中存在无穷多项可表示为数列{}n c 中的两项之和.2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(二)数学Ⅱ(附加题)2018.521.【选做题】在A,B,C,D四小题中只能选做两题......,每小题10分,共计20分.请在答题..卡指定区域.....内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.选修4—1:几何证明选讲如图所示,AB为⊙O的直径,AE平分BAC∠交⊙O于E点,过E作⊙O的切线交AC于点D,求证AC DE⊥.B.选修4—2:矩阵与变换已知矩阵214x⎡⎤⎢⎥⎣⎦M=的一个特征值为3,求1-M.高三数学参考答案第1页(共8页)高三数学参考答案 第2页(共8页)C .选修4—4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的参数方程为32cos (22sin x t t y t=+⎧⎨=-+⎩,为参数).以原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线l 的极坐标方程为cos()()4a a πθ-=∈R ,已知圆心C 到直线la 的值.D .选修4—5:不等式选讲已知实数a b c ,,满足21a b c ++=,2221a b c ++=,求证:213c -≤≤.【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.请在答题卡指定区域.......内作答, 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22.(本小题满分10分)甲、乙、丙三位学生各自独立地解同一道题,已知甲做对该题的概率为13,乙、丙 做对该题的概率分别为()m n m n >,,且三位学生能否做对相互独立,设X 为这三 位学生中做对该题的人数,其分布列为: (1)求m n ,的值; (2)求X 的数学期望.高三数学参考答案 第3页(共8页)23.(本小题满分10分)已知函数21()((R)n f x x n x +*=∈∈N ,.(1)当2n =时,若(2)(2)f f +-=,求实数A 的值; (2)若(2)(01)f m m αα*=+∈<<N ,,求证:()1m αα+=.高三数学参考答案 第4页(共8页)2017-2018 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(二)参考答案一、填空题:1. 1- 2.2- 3.4 4.20.8 5.[]01,6.14π 7.π2 8.2 910.4 11.⎡⎢⎣⎦12.11⎤⎦, 13.22e 12- 14.二、解答题 15. 证明:(1)取BD 的中点O ,连结CO PO ,,因为CD CB =,所以△CBD 为等腰三角形,所以BD CO ⊥.……………………2 分 因为PB PD =,所以△PBD 为等腰三角形,所以BD PO ⊥.……………………4 分 又PO CO O =,所以BD ⊥平面PCO . ……………………6 分因为PC ⊂平面PCO ,所以PC BD ⊥. ……………………7 分 (2)由E 为PB 中点,连EO ,则EO PD ∥,又EO ⊄平面PAD ,所以EO ∥平面PAD . ……………………9 分 由90ADB ∠=︒,以及BD CO ⊥,所以CO AD ∥,又CO ⊄平面PAD ,所以CO ∥平面PAD . ……………………11 分 又=COEO O ,所以平面CEO ∥平面PAD , ……………………13分而CE ⊂平面CEO ,所以CE ∥平面PAD . ……………………14 分 16.解(1)由题意,有22214sin )2ac B a c b ⨯=+-, …………………………2 分则sin B =sin B B =. ………………………………4 分因为sin 0B ≠,所以cos 0B ≠,所以tan B = 又0πB <<,所以π3B =. …………………………………………………6 分高三数学参考答案 第5页(共8页)(2)由向量(sin 23cos )A A =,m ,(32cos )A =-,n ,得2π3sin 26cos 3sin 23cos 23)34A A A A A -=--=--m n =.………8 分由(1)知π3B =,所以2π3A C +=,所以2π03A <<.所以ππ13π2()4412A -∈-,. ……………………………………………………10 分所以πsin(2)142A ⎛⎤-∈-⎥ ⎝⎦. ……………………………………………12 分所以( 63⎤∈-⎦m n.即取值范围是(63⎤-⎦. ……………………14 分 17.解(1)设21AP t =,4(0)BP t t =>,,记==APB CPD αβ∠∠,,则 60206015t a n=t a n 2174t t t tαβ===,, ………………………………………2 分 由22015tan tan 7tan()tan 4513001tan tan 17t t t αβαβαβ+++=︒===--, …………………4 分 化简得 271253000t t --=,解得20t =或157t =-(舍去), 所以,2520500AC AP PC =+=⨯=. …………………………………6分 答:两索塔之间的距离AC =500米.(2)设AP=x ,点P 处的承重强度之和为()L x . 则22()60[](500)ab ab L x x x =+-,且(0,500)x ∈, 即2211()60[],(0,500)(500)L x ab x x x =+∈- ……………………………9 分 (注:不写定义域扣1分) 记2211(),(0,500)(500)l x x x x =+∈-,则3322'()(500)l x x x -=+-, …………11 分 令()0l x '=,解得250x =,当(0,250)x ∈,()0l x '<,()l x 单调递减; 当(250,500)x ∈,()0l x '>,()l x 单调递增;所以250x =时,()l x 取到最小值,()L x 也取到最小值63125ab. ……………13 分 答:两索塔对桥面AC 中点处的“承重强度”之和最小,且最小值为63125ab. …14 分高三数学参考答案 第6页(共8页)18. 解(11. 得21c a a c c ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩,解得1a c ⎧⎪⎨=⎪⎩, ………………………………………………2 分所以,椭圆的标准方程为2212x y +=. …………………………………4分(2)由(1)知(0,1)C ,设00(,)D x y , 因为2CM MD =,得021y =-,所以012y =-, ……………………………6 分代入椭圆方程得0x =或,所以1)2D -或1()2D -, 所以l的方程为:1y x +或1y =+. …………………………9 分 (3)设D 坐标为(x 3,y 3),由(0,1)C ,M (x 1,0)可得直线CM 的方程111y x x =-+, 联立椭圆方程得:1221112y x x x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,,解得132142x x x =+,2132122x y x -=+. …………12 分由B ,得直线BD的方程:2y x =, ①直线AC方程为12y x =+, ② 联立①②得212x x =, …………………………………………………………15 分 从而12x x =2为定值. …………………………………………………………16 分 解法2:设D 坐标为(x 3,y 3), 由C ,M ,D 三点共线得31311y x x x =--,所以3131x x y =-, ① ………………10 分 由B ,D ,N,将221y x =+ 代入可得2x =, ② …………………………………………………12 分①和②相乘得,231231x x x y =-高三数学参考答案 第7页(共8页)2333323333222)2x y x x x y x +-==-+-. ……………………………………………16 分19. 解:(1)①由2()32f x x ax b '=++及02=+b a ,得22()32f x x ax a '=+-, ……………………………………………………1 分 令()0f x '=,解得3ax =或a x -=. 由0>a 知,(,)()0x a f x '∈-∞->,,)(x f 单调递增,(,)()03a x a f x '∈-<,,)(x f 单调递减,(,)()03ax f x '∈+∞>,,)(x f 单调递增,……………………………………………………3 分因此,)(x f 的极大值为3()1f a a -=+,)(x f 的极小值为35()1327a a f =-.……………………………………………………4 分② 当0a =时,0b =,此时3()1f x x =+不存在三个相异零点;当0a <时,与①同理可得)(x f 的极小值为3()1f a a -=+,)(x f 的极大值为35()1327a a f =-. 要使)(x f 有三个不同零点,则必须有335(1)(1)027a a +-<, 即332715a a <->或. …………………………………………………………6 分 不妨设)(x f 的三个零点为321,,x x x ,且321x x x <<, 则123()()()0f x f x f x ===,3221111()10f x x ax a x =+-+=, ① 3222222()10f x x ax a x =+-+=, ② 3223333()10f x x ax a x =+-+=, ③②-①得222212*********()()()()()0x x x x x x a x x x x a x x -+++-+--=, 因为210x x ->,所以222212121()0x x x x a x x a ++++-=, ④…………………………………………………………8 分同理222332232()0x x x x a x x a ++++-=, ⑤⑤-④得231313131()()()()0x x x x x x x a x x -+-++-=,因为310x x ->,所以2310x x x a +++=, ……………………………………9 分 又1322x x x +=,所以23ax =-. ………………………………………10 分高三数学参考答案 第8页(共8页)所以()03af -=,即22239a a a +=-,即327111a =-<-,因此,存在这样实数a =满足条件. ………………………………12 分 (2)设A (m ,f (m )),B (n ,f (n )),则b am m k ++=2321,b an n k ++=2322,又b n m a n mn m nm n m b n m a n m n m n f m f k +++++=--+-+-=--=)()()()()()(2222331, …………………………………………13 分由此可得b n m a n mn m b am m +++++=++)(23222,化简得m a n 2--=,因此,b a am m b m a a m a k +++=+--+--=2222812)2(2)2(3, ……………15分 所以,2221284(32)m am b a m am b +++=++,所以b a 32=. …………………………………………………………………16分 20. 解:(1)设数列{}n S 的公差为d ',由692n n n S b a =--, ①111692(2)n n n S b a n ---=--≥, ②①-②得1116()9()()n n n n n n S S b b a a ----=---, ③ …………………………2 分 即169()n n d b b d -'=--,所以169n n d db b -'+-=为常数, 所以{}n b 为等差数列. …………………………………………………………3 分 (2)由③得1699n n n b b b d -=--,即139n n b b d -=+, …………………………4 分所以11111111133()11322332*********n n n n n n n d d d b b b b b b b ------++++--+===+++++是与n 无关的常数,所以103d -=或112n b -+为常数. ………………………………6 分 ①当103d-=时,3d =,符合题意; …………………………………………7 分②当112n b -+为常数时,在692n n n S b a =--中令1n =,则111692a b a =--,又11a =,解得11b =,…8分所以11113222n b b -+=+=, 此时1113333122n d d b ---+=+=+,解得6d =-. 综上,3d =或6d =-. ………………………………………………………10分 (3)当3d =时,32n a n =-, ………………………………………………11分高三数学参考答案 第9页(共8页)由(2)得数列1{}2n b +是以32为首项,公比为3的等比数列,所以11313=3222n n n b -+=⋅⋅,即1=(31)2n n b -. …………………………………………………12 分 当2n ≥时,11111(31)(31)322n n n n n n c b b ---=-=---=, 当1n =时,也满足上式,所以13(1)n n c n -=≥. …………………………………………………13分 设(1)n i j a c c i j =+<≤,则113233i j n ---=+,即133(31)2i j i n ---+=, 如果2i ≥,因为3n 为3的倍数,13(31)i j i --+为3的倍数,所以2也为3的倍数,矛盾. …………………………………………………15 分 所以1i =,则1333j n -=+,即213(2,3,4,)j n j -=+=.所以数列{}n a 中存在无穷多项可表示为数列{}n c 中的两项之和. ……………16 分高三数学参考答案 第10页(共8页)2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(二)附加题参考答案21.A 解 连接OE ,因为ED 是⊙O 切线,所以OE ⊥ED . ………………3 分因为OA =OE ,所以∠1=∠OEA . …………6 分 又因为∠1=∠2,所以2=∠OEA , …………8 分 所以OE ∥AC ,∴AC ⊥DE . …………………10 分21.B 解 由2104xl l --=--,得(2)()40x l l ---=的一个解为3,……………3分 代入得1x =-, ………………………5分因为2141轾犏=犏-臌M ,所以111662133-轾犏犏=犏犏-犏臌M . ………………………………10 分 21.C 解 消去参数t ,得到圆的普通方程为()()22324x y -++=, ………………3 分cos()4a pq -=,得cos sin 0a r q r q +-=, 所以直线l 的直角坐标方程为0x y a +-=. …………………………………6分 依题意,圆心C 到直线l解得13a 或=-. ……………………………………………………………10 分21.D 证明:因为a +2b +c =1,a 2+b 2+c 2=1,所以a +2b =1-c ,a 2+b 2=1-c 2. ……………………………………3 分 由柯西不等式:(12+22)(a 2+b 2)≥(a +2b )2, ………………………………6 分 5(1-c 2)≥(1-c )2,整理得,3c 2-c -2≤0,解得-23≤c ≤1. ……………………………………9 分所以-23≤c ≤1. ……………………………………10 分22. 解(1)由题意,得11(1)(1)(1),3311.336m n mn ⎧---=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ …………………………………3 分 又m n >,解得13m =,1.4n = ………………………………………………………5 分(2)由题意,1232132214.3343343349a =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯= ………………………7 分14171(0)(1)(3)1.393636b P X P X P X =-=-=-==---= ……………………9 分高三数学参考答案 第11页(共8页)()E X =1471110123.39363612⨯+⨯+⨯+⨯=…………………………………………10 分23. 解(1)当2n =时,50512323234455555555()(f x x C x C x C x C x C x C ==++++,……………………………………………………………………1 分所以55114332550555(2)(2)(2+(22[22+2]f f C C C +-=-=+=2(54⨯⨯⨯所以610A =. ……………………………………………………………………3 分 (2)因为21021122212212121212121()(n n n n n n n n n f x x C x C x C x C ++-++++++==+++,所以021122212212121212121(2)222n n n n n n n n f C C C C +-++++++=+++,由题意21(2)2) (*,01)n f m m αα+==+∈<<N , 首先证明对于固定的*n ∈N ,满足条件的,m α是唯一的. 假设21112212121212(2)(2(,*,0,1,,)n f m m m m m m αααααα+==+=+∈<<≠≠N ,则12210m m αα-=-≠,而12m m -∈Z ,21(1,0)(0,1)αα-∈-,矛盾.所以满足条件的,m α是唯一的. ………………………………………………5分下面我们求m 及α的值:因为21212121(2)(2)(2(2(2(2n n n n f f ++++--=--=+021*******4112212121212[222++2]n n n nn n n n C C C C +--++++=++,显然(2)(2)f f --∈N *. ………………………………………………………7 分2(0,1)∈,故212)(0,1)n +∈,即2121(2)(22)(0,1)n n f ++-=-=∈. …………………………………8分所以令021*******4112212121212[222++2]n n n nn n n n m C C C C +--++++=++,21(2n α+=-,则(2)(2),(2)m f f f α=--=-,又(2)m f α+=, …………………………9 分所以212121()(2)(2)(2(2(54)1n n n m f f αα++++=-⋅=⋅-=-=. ……10分。

2018届江苏六市高三数学二模考试(扬州、徐州、泰州、南通、淮安、宿迁)

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2018届江苏六市高三数学二模考试(扬州、徐州、泰州、南通淮安、宿迁)作者:日期: 22018届高三第二次调研测试(扬州、徐州、泰州、南通、淮安、宿迁)数学学科填空题:本大题共 14小题,每 小题5分,共计70分. 已知集合 U -1, 0, 1, 2 , 3 二 A 1, 0 , 2 [,则 e u A = ▲(第3题)如图是一个算法流程图,则输出的 S 的值为 ▲(第4题) 在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ,以线段AC , BC 为邻边作矩形,则该矩形的面积 大于32 cm 2的概率为 ▲ .在厶ABC 中,已知AB =1 , AC = .2 , B =45,则BC 的长为 ▲.2在平面直角坐标系xOy 中,已知双曲线 C 与双曲线x 2 -普=1有公共的渐近线,且经过 点P -2,3 ,则双曲线C 的焦距为 ▲.在平面直角坐标系 xOy 中,已知角:•,1的始边均为x 轴的非负半轴,终边分别经过点 A (1 , 2 ) , B (5 , 1),则 tan (、— I ,)的值为 ▲ .设等比数列〔a n [的前n 项和为S n .若S 3 , S 9 , 成等差数列,且a^3,则a 〈的值为 ▲.已知a , b , c 均为正数,且 abc =4( a b ),则a b c 的最小值为 ▲ .x < 3,1. 2. 3.4. 5.6. 7.8. 9. 10.11.已知复数z =a +i , Z 2 =3-4i ,其中i 为虚数单位. 若3为纯虚数,则实数a 的值为 ▲ Z 2某班40名学生参加普法知识竞赛,成绩都在区间1.40 , 100 1上,其频率分布直方图如图所示,则成绩不低于 60分的人数为 ▲频率在平面直角坐标系xOy中,若动圆C上的点都在不等式组“ x-T3y + 3 > 0 ,表示的平面、x + V3y+3 > 04区域内,则面积最大的为 ▲.!\公_丄x、012. 设函数f (x )=《2 '(其中e 为自然对数的底数)有 3个不同的零点,3x 3mx -2 , x < 0则实数m 的取值范围是▲.13. 在平面四边形ABCD 中,已知AB =1 , BC =4 ,CD =2 ,DA =3,则 的值为▲14.已知a 为常数,函数f (x ):- / 的最小值为 諾,则a 的所有值为▲二、解答题:本大题共 6小题,共计90分. 15. (本小题满分14分)在平面直角坐标系 xOy 中,设向量a = cos 〉,siz j , b= —sin , cos 一:, _1基\2, 2卜若 a b = c ,求sin (:;•『■)的值; 设]=¥, 0 ”: 一 ”: n 且 a 〃 b c ,求:的值.如图,在三棱柱 ABC-A 1B 1C 1中,AB =AC ,点E , F 分别在棱 BB 1 ,C6 上(均于端点),且/ ABE = / ACF , AE 丄 BB 1 , AF 丄 CC 1. 求证:(1)平面AEF 丄平面BB 1C 1C ;(2) BC // 平面 AEF .(本小题满分14分)16. 巳E(第题)17.(本小题满分14分)如图,在平面直角坐标系 2 2xOy中,B1, B2是椭圆笃^2 =1( a b 0)的短轴端点,P是a b椭圆上异于点B i, B2的一动点.当直线PB i的方程为y=x・3时,线段PB i的长为4「2 •(1)求椭圆的标准方程;(2)设点Q满足:QB—PR,QB^ _PB,.求证:△ PB1B2与厶QB1B2的面积之比为定值.18. (本小题满分16分)将一铁块高温融化后制成一张厚度忽略不计、面积为100 dm2的矩形薄铁皮(如图),并沿虚线11, 12裁剪成A, B, C三个矩形(B, C全等),用来制成一个柱体.现有两种方案:方案①:以11为母线,将A作为圆柱的侧面展开图,并从B, C中各裁剪出一个圆形作为圆柱的两个底面;方案②:以11为侧棱,将A作为正四棱柱的侧面展开图,并从B, C中各裁剪出一个正方形(各边分别与11或12垂直)作为正四棱柱的两个底面.(1 )设B, C都是正方形,且其内切圆恰为按方案①制成的圆柱的底面,求底面半径;(2)设11的长为x dm,则当x为多少时,能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大?. J B A厂「--------------------------------------------------------(第18题)19. (本小题满分16分)设等比数列a1, a2, a3, a4的公比为q,等差数列b1, b2, b3, b4的公差为d,且q / , d护0 . 记C i “i b (i =1, 2, 3, 4).(1)求证:数列c, , g , C3不是等差数列;(2)设a, =1,q =2 .若数列C i,C2,C3是等比数列,求b2关于d的函数关系式及其定义域;(3)数列C, , C2 , C3 , C4能否为等比数列?并说明理由.20. (本小题满分16分)设函数 f ( x ) =x - as in x ( a 0).(1)若函数y=f(x)是R上的单调增函数,求实数a的取值范围;(2 )设, g(x) = f(x) bl nx -1 (b 三R ,b=0) , g ( x )是g( x )的导函数.①若对任意的x 0 , g ( x) 0,求证:存在x0 ,使g( x°) ::: 0 ;2②若g(x ) =g(x2)(儿=X2),求证:X1X2 ::4b .数学n (附加题)21. 【选做题】本题包括A、B、C、D四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答若多做,则按作答的前两题评分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A .[选修4-1 :几何证明选讲](本小题满分10分)如图,A, B, C是O O上的3个不同的点,半径OA交弦BC于点D .求证:DB DC OD2=OA2.[选修4-2:矩阵与变换](本小题满分10分) 在平面直角坐标系xOy 中,已知A(0 , 0) , B(3 , 0) , C( 2 , 2) •设变换T , T 2对应的矩,求对△ ABC 依次实施变换T ,T 2后所得图形的面积.C .[选修4-4:坐标系与参数方程](本小题满分10分)在极坐标系中,求以点P 2 , -3为圆心且与直线I : 「si n v-3 = 2相切的圆的极坐标 方程.D .[选修4-5:不等式选讲](本小题满分10分)【必做题】第22、23题,每小题10分,共计20分•请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22. (本小题满分10分)在某公司举行的年终庆典活动中,主持人利用随机抽奖软件进行抽奖:由电脑随机生成一张如 图所示的3 3表格,其中1格设奖300元,4格各设奖200元,其余4格各设奖100元,点击 23. (本小题满分10分)已知(1 ■ x)2n 1 =a ° ■ a1x a 2X 2 •…,a 2n 1x 2n 1 , n • N .记 T n ' ( 2k - 1)a nJ< .(1 )求T 2的值;(2)化简T n 的表达式,并证明:对任意的n ・N * , T n 都能被4n 2整除.某一格即显示相应金额.某人在一张表中随机不重复地点击(1)求概率 P ( X =600 );(2 )求X 的概率分布及数学期望 E X .3格,记中奖的总金额为 X 元.B . 阵分别为M ; 2,“二;2018届高三第二次调研测试 数学学科参考答案及评分建议 、填空题:本大题共 14小题,每 小题5分,共计70分.已知集合U 【答案】1.止-1,0 , 1 , 2 , 3、八=[-1,0 , 2 「1,3?2. 已知复数 z =a +i , Z z =3—4i ,其中i 为虚数单位.若勺为纯虚数,则实数a 的值为 ▲ Z 23. 4 3某班40名学生参加普法知识竞赛,成绩都在区间 所示,则成绩不低于 60分的人数为▲.【答案】30【答案】 4. 5. 6. 如图是一个算法流程图,则输出的 S 的值为丄【答案】125 在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ,以线段AC , BC 为邻边作矩形,则该矩形的面积 大于32 cm 2的概率为 ▲ .1【答案】3在厶ABC 中,已知 AB =1 , AC =』2 ,【答案】 262B =45,则BC 的长为 ▲7. 在平面直角坐标系xOy 中,已知双曲线2C 与双曲线X 2 -乂 =1有公共的渐近线,且经过38. 9. 点P -2,3 ,则双曲线C 的焦距为 【答案】43在平面直角坐标系 xOy 中,已知角〉,1的始边均为x 轴的非负半轴,终边分别经过点A (1 , 2 ) ,B (5 , 1),则 tan (:「F )的值为 ▲ . 【答案】7 设等比数列a n[的前n 项和为S n .若S 3 , £ , S 6成等差数列,且a^3,则的值为频率(第3题)1.40 , 100 1 上▲【答案】-610. 已知a, b , c均为正数,且abc =4( a b),则a b c的最小值为▲ .【答案】8f x < 3 ,11. 在平面直角坐标系xOy中,若动圆C上的点都在不等式组x— 3y 3 > 0 ,表示的平面x 十J3y +3》0 区域内,则面积最大的为▲.2 2【答案】(x —1) y =4r e —x 士012. 设函数f(x)=《一2' '(其中e为自然对数的底数)有3个不同的零点,I x —3mx -2 , x < 0则实数m的取值范围是▲.【答案】1 ,::13. 在平面四边形ABCD中,已知AB =1 , BC =4 ,CD =2,DA =3,则的值为▲【答案】1014. 已知a为常数,函数f(x):-——x的最小值为-2,则a的所有值为▲3【答案】4 , 14填空题要求:第6题:答案写成.2+ .3,复合根式也算正确。

江苏省苏锡常镇四市2018届高三模拟考试(二)数学试卷(含答案)

江苏省苏锡常镇四市2018届高三模拟考试(二)数学试卷(含答案)

……………………6

因为 PC 平面 PCO ,所以 PC BD .
……………………7 分
(2)由 E 为 PB 中点,连 EO ,则 EO ∥ PD ,
又 EO 平面 PAD ,所以 EO ∥ 平面 PAD .

由 ADB 90 ,以及 BD CO ,所以 CO ∥ AD ,
(第 6 题图)
而钱不湿”,可见卖油翁的技艺之高超,若 铜钱直径 4 厘米,中间有边长为 1 厘米的 正方形小孔,随机向铜钱上滴一滴油(油 滴大小忽略不计),则油恰好落入孔中的 概率是 ▲ .
7. 已知函数 f (x) sin(πx )(0 x 2π) 在 x 2 时取得最大值,则 ▲ .
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1. 本试卷只有解答题,供理工方向考生使用.本试卷第 21 题有 A,B,C,D 4 个小题供
选做,每位考生在 4 个选做题中选答 2 题.若考生选做了 3 题或 4 题,则按选做题中 的前 2 题计分.第 22,23 题为必答题.每小题 10 分,共 40 分.考试时间 30 分 钟.考试结束后,请将答题卡交回. 2. 答题前,请您务必将自己的姓名、考试号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡 的规定位置. 3.答题时,必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的指定位置,在其他位置作 答一律无效. 4.如有作图需要,可用 2B 铅笔作答,并请加黑加粗,描写清楚. 5.请保持答题卡卡面清洁,不要折叠、破损.一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的 圆珠笔.
2. 设集合 A {2,4}, B {a2,2}( 其中 a 0) ,若 A B ,则实数 a ▲ .
3. 在平面直角坐标系 xOy 中,点 P(2,4) 到抛物线 y2 8x 的准线的

2018届苏锡常镇高三二模数学试卷及问题详解(word)

2018届苏锡常镇高三二模数学试卷及问题详解(word)

2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(一)数学Ⅰ试题 2018.3一、填空题:本大题共14个小题,每小题5分,共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上......... 1.已知集合{1,1}A =-,{3,0,1}B =-,则集合AB = .2.已知复数z 满足34z i i ⋅=-(i 为虚数单位),则z = .3.双曲线22143x y -=的渐近线方程为 . 4.某中学共有1800人,其中高二年级的人数为600.现用分层抽样的方法在全校抽取n 人,其中高二年级被抽取的人数为21,则n = .5.将一颗质地均匀的正四面体骰子(每个面上分别写有数字1,2,3,4)先后抛掷2次,观察其朝下一面的数字,则两次数字之和等于6的概率为 .6.如图是一个算法的流程图,则输出S 的值是 .7.若正四棱锥的底面边长为2cm ,侧面积为28cm ,则它的体积为 3cm . 8.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若242a a +=,241S S +=,则10a = .9.已知0a >,0b >,且23a b+=,则ab 的最小值是 . 10.设三角形ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知tan 3tan A c bB b-=,则cos A = . 11.已知函数,1()4,1x a e x f x x x x ⎧-<⎪=⎨+≥⎪⎩(e 是自然对数的底).若函数()y f x =的最小值是4,则实数a 的取值范围为 .12.在ABC ∆中,点P 是边AB 的中点,已知3CP =4CA =,23ACB π∠=,则CP CA ⋅= . 13.已知直线l :20x y -+=与x 轴交于点A ,点P 在直线l 上,圆C :22(2)2x y -+=上有且仅有一个点B 满足AB BP ⊥,则点P 的横坐标的取值集合为 .14.若二次函数2()f x ax bx c =++(0)a >在区间[1,2]上有两个不同的零点,则(1)f a的取值范围为 . 二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域.......内作答,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知向量(2sin ,1)a α=,(1,sin())4b πα=+.(1)若角α的终边过点(3,4),求a b ⋅的值; (2)若//a b ,求锐角α的大小.16.如图,正三棱柱111ABC A B C -,其底面边长为2.已知点M ,N 分别是棱11A C ,AC 的中点,点D 是棱1CC 上靠近C 的三等分点.求证:(1)1//B M 平面1A BN ; (2)AD ⊥平面1A BN .17.已知椭圆C :22221x y a b +=(0)a b >>经过点1)2,,点A 是椭圆的下顶点. (1)求椭圆C 的标准方程;(2)过点A 且互相垂直的两直线1l ,2l 与直线y x =分别相交于E ,F 两点,已知OE OF =,求直线1l 的斜率.18.如图,某景区内有一半圆形花圃,其直径AB 为6,O 是圆心,且OC AB ⊥.在OC 上有一座观赏亭Q ,其中23AQC π∠=.计划在BC 上再建一座观赏亭P ,记(0)2POB πθθ∠=<<.(1)当3πθ=时,求OPQ ∠的大小;(2)当O P Q ∠越大,游客在观赏亭P 处的观赏效果越佳,求游客在观赏亭P 处的观赏效果最佳时,角θ的正弦值.19.已知函数32()f x x ax bx c =+++,()ln g x x =.(1)若0a =,2b =-,且()()f x g x ≥恒成立,求实数c 的取值范围; (2)若3b =-,且函数()y f x =在区间(1,1)-上是单调递减函数. ①求实数a 的值;②当2c =时,求函数(),()()()(),()()f x f x g x h x g x f x g x ≥⎧=⎨<⎩的值域.20.已知n S 是数列{}n a 的前n 项和,13a =,且123n n S a +=-*()n N ∈.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)对于正整数i ,j ,()k i j k <<,已知j a λ,6i a ,k a μ成等差数列,求正整数λ,μ的值;(3)设数列{}n b 前n 项和是n T ,且满足:对任意的正整数n ,都有等式12132n n n a b a b a b --++113n n a b ++⋅⋅⋅+=33n --成立.求满足等式13n n T a =的所有正整数n .2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(一)数学Ⅱ(附加题)21.【选做题】在A ,B ,C ,D 四小题中只能选做两题,每小题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A. 选修4-1:几何证明选讲如图,AB 是圆O 的直径,D 为圆O 上一点,过点D 作圆O 的切线交AB 的延长线于点C ,且满足DA DC =.(1)求证:2AB BC =; (2)若2AB =,求线段CD 的长.B. 选修4-2:矩阵与变换已知矩阵4001A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,1205B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,列向量a X b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.(1)求矩阵AB ;(2)若1151B A X --⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,求a ,b 的值.C. 选修4-4:坐标系与参数方程在极坐标系中,已知圆C 经过点)4P π,圆心为直线sin()3πρθ-=求圆C 的极坐标方程. D. 选修4-5:不等式选讲已知x ,y 都是正数,且1xy =,求证:22(1)(1)9x y y x ++++≥.【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.请在答题卡指定区域.......内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是矩形,PD 垂直于底面ABCD ,2PD AD AB ==,点Q 为线段PA (不含端点)上一点.(1)当Q 是线段PA 的中点时,求CQ 与平面PBD 所成角的正弦值; (2)已知二面角Q BD P --的正弦值为23,求PQ PA的值. 23.在含有n 个元素的集合{1,2,,}n A n =⋅⋅⋅中,若这n 个元素的一个排列(1a ,2a ,…,n a )满足(1,2,,)i a i i n ≠=⋅⋅⋅,则称这个排列为集合n A 的一个错位排列(例如:对于集合3{1,2,3}A =,排列(2,3,1)是3A 的一个错位排列;排列(1,3,2)不是3A 的一个错位排列).记集合n A 的所有错位排列的个数为n D .(1)直接写出1D ,2D ,3D ,4D 的值;(2)当3n ≥时,试用2n D -,1n D -表示n D ,并说明理由;(3)试用数学归纳法证明:*2()n D n N ∈为奇数.2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(一)数学Ⅰ试题参考答案一、填空题1. {1}2. 53. y x =4. 635. 3166. 25 8. 8 9. 10. 1311. 4a e ≥+ 12. 6 13. 1,53⎧⎫⎨⎬⎩⎭14. [0,1)二、解答题15.解:(1)由题意4sin 5α=,3cos 5α=,所以sin()4a b a πα⋅=++sin cos 4παα=+cos sin 4πα+4552=+⨯3522+⨯=.(2)因为//a b sin()14a πα+=α(sin coscos sin )144ππαα+=,所以2sin sin cos 1ααα+=,则2sin cos 1sin ααα=-2cos α=,对锐角α有cos 0α≠,所以tan 1α=,所以锐角4πα=.16.证明:(1)连结MN ,正三棱柱111ABC A B C -中,11//AA CC 且11AA CC =,则四边形11AAC C 是平行四边形,因为点M 、N 分别是棱11A C ,AC 的中点,所以1//MN AA 且1MN AA =,又正三棱柱111ABC A B C -中11//AA BB 且11AA BB =,所以1//MN BB 且1MN BB =,所以四边形1MNBB 是平行四边形,所以1//B M BN ,又1B M ⊄平面1A BN ,BN ⊂平面1A BN , 所以1//B M 平面1A BN ;(2)正三棱柱111ABC A B C -中,1AA ⊥平面ABC ,BN ⊂平面ABC ,所以1BN AA ⊥,正ABC ∆中,N 是AB 的中点,所以BN AC ⊥,又1AA 、AC ⊂平面11AAC C ,1AA AC A =,所以BN ⊥平面11AAC C ,又AD ⊂平面11AAC C , 所以AD BN ⊥,由题意,1AA =,2AC =,1AN =,CD =,所以1AA AN AC CD == 又12A AN ACD π∠=∠=,所以1A AN ∆与ACD ∆相似,则1AA N CAD ∠=∠,所以1ANA CAD ∠+∠112ANA AA N π=∠+∠=,则1AD A N ⊥,又1BN A N N =,BN ,1A N ⊂平面1A BN ,所以AD ⊥平面1A BN .17.解:(1)由题意得222231141314a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,解得2211411a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=; (2)由题意知(0,1)A -,直线1l ,2l 的斜率存在且不为零, 设直线1l :11y k x =-,与直线y x =联立方程有11y k x y x=-⎧⎨=⎩,得1111(,)11E k k --,设直线2l :111y x k =--,同理1111(,)1111F k k ----,因为OE OF =,所以1111||||111k k =---, ①1111111k k =---,1110k k +=无实数解; ②1111111k k =---,1112k k -=,211210k k --=,解得11k = 综上可得,直线1l的斜率为118.解:(1)设OPQ α∠=,由题,Rt OAQ ∆中,3OA =,AQO AQC π∠=-∠233πππ=-=,所以OQ =OPQ ∆中,3OP =,2POQ πθ∠=-236πππ=-=,由正弦定理得sin sin OQ OPOPQ OQP=∠∠,3sin()6ππα=--sin()6παπα=--5sin()6πα=-,5sincos 6παα=5cos sin 6πα-1cos 2αα=+cos αα=, 因为α为锐角,所以cos 0α≠,所以tan α=,得6πα=; (2)设OPQ α∠=,在OPQ ∆中,3OP =,2POQ πθ∠=-236πππ=-=,由正弦定理得sin sin OQ OPOPQ OQP =∠∠3sin(())2ππαθ=---,sin(())2παπαθ=---sin(())2παθ=--cos()αθ=-cos cos sin sin αθαθ=+,从而sin )sin θα-cos cos αθ=sin 0θ≠,cos 0α≠,所以tanα=记()f θ=,'()f θ=(0,)2πθ∈;令'()0f θ=,sin θ=0(0,)2πθ∈使得0sin θ=, 当0(0,)θθ∈时'()0f θ>,()f θ单调增,当0(,)2πθθ∈时'()0f θ<,()f θ单调减,所以当0θθ=时,()f θ最大,即tan OPQ ∠最大,又OPQ ∠为锐角,从而OPQ ∠最大,此时sin 3θ=.答:观赏效果达到最佳时,θ的正弦值为3. 19.解:(1)函数()y g x =的定义域为(0,)+∞.当0a =,2b =-,3()2f x x x c =-+, ∵()()f x g x ≥恒成立,∴32ln x x c x -+≥恒成立,即3ln 2c x x x ≥-+.令3()ln 2x x x x ϕ=-+,则21'()32x x xϕ=-+3123x x x +-=2(1)(133)x x x x -++=,令'()0x ϕ≥,得1x ≤,∴()x ϕ在(0,1]上单调递增, 令'()0x ϕ≤,得1x ≥,∴()x ϕ在[1,)+∞上单调递减, ∴当1x =时,max [()](1)1x ϕϕ==. ∴1c ≥.(2)①当3b =-时,32()3f x x ax x c =+-+,2'()323f x x ax =+-. 由题意,2'()3230f x x ax =+-≤对(1,1)x ∈-恒成立,∴'(1)3230'(1)3230f a f a =+-≤⎧⎨-=--≤⎩,∴0a =,即实数a 的值为0.②函数()y h x =的定义域为(0,)+∞.当0a =,3b =-,2c =时,3()32f x x x =-+.2'()33f x x =-,令2'()330f x x =-=,得1x =.∴当(0,1)x ∈时,()0f x >,当1x =时,()0f x =,当(1,)x ∈+∞时,()0f x >.对于()ln g x x =,当(0,1)x ∈时,()0g x <,当1x =时,()0g x =,当(1,)x ∈+∞时,()0g x >. ∴当(0,1)x ∈时,()()0h x f x =>,当1x =时,()0h x =,当(1,)x ∈+∞时,()0h x >. 故函数()y h x =的值域为[0,)+∞.20.解:(1)由123n n S a +=-*()n N ∈得1223n n S a ++=-,两式作差得1212n n n a a a +++=-,即213n n a a ++=*()n N ∈.13a =,21239a S =+=,所以13n n a a +=*()n N ∈,0n a ≠,则13n na a +=*()n N ∈,所以数列{}n a 是首项为3公比为3的等比数列,所以3n n a =*()n N ∈;(2)由题意26j k i a a a λϕ+=⋅,即33263j k iλμ+=⋅⋅,所以3312j ik i λμ--+=,其中1j i -≥,2k i -≥,所以333j iλλ-≥≥,399k i μμ-≥≥,123312j i k i λμ--=+≥,所以1j i -=,2k i -=,1λμ==;(3)由12132n n n a b a b a b --++113n n a b ++⋅⋅⋅+=33n --得,11231n n n a b a b a b +-++211n n a b a b ++⋅⋅⋅++233(1)3n n +=-+-, 111213(n n n a b a b a b +-++121)n n a b a b -+⋅⋅⋅++233(1)3n n +=-+-, 1113(333)n n a b n +++--233(1)3n n +=-+-,所以21333(1)n n b n ++=-+133(333)n n +----,即1363n b n +=+,所以121n b n +=+*()n N ∈,又因为111133133a b +=-⋅-=,得11b =,所以21n b n =-*()n N ∈,从而135(21)n T n =+++⋅⋅⋅+-21212n n n +-==*()n N ∈,2*()3n n n T n n N a =∈,当1n =时1113T a =;当2n =时2249T a =;当3n =时3313T a =; 下面证明:对任意正整数3n >都有13n n T a <, 11n n n n T T a a ++-121(1)3n n +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭121133nn n +⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1221((1)3)3n n n +⎛⎫+-= ⎪⎝⎭2(221)n n -++,当3n ≥时,22221(1)n n n -++=-(2)0n n +-<,即110n nn nT T a a ++-<, 所以当3n ≥时,n nT a 递减,所以对任意正整数3n >都有3313n n T T a a <=;综上可得,满足等式13n n T a =的正整数n 的值为1和3. 2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(一)数学Ⅱ(附加题)参考答案21.【选做题】A. 选修4-1:几何证明选讲证明:(1)连接OD ,BD .因为AB 是圆O 的直径,所以90ADB ∠=,2AB OB =. 因为CD 是圆O 的切线,所以90CDO ∠=, 又因为DA DC =,所以A C ∠=∠, 于是ADB CDO ∆≅∆,得到AB CO =, 所以AO BC =,从而2AB BC =.(2)解:由2AB =及2AB BC =得到1CB =,3CA =.由切割线定理,2133CD CB CA =⋅=⨯=,所以CD =.B. 选修4-2:矩阵与变换 解:(1)401248010505AB ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦; (2)由1151B A X --⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,解得51X AB ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦485280515⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦,又因为a X b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,所以28a =,5b =.C. 选修4-4:坐标系与参数方程解:在sin()3πρθ-=0θ=,得2ρ=,所以圆C 的圆心的极坐标为(2,0).因为圆C 的半径PC 2==,于是圆C 过极点,所以圆的极坐标方程为4cos ρθ=. D. 选修4-5:不等式选讲 证明:因为x ,y 都是正数,所以210x y ++≥>,210y x ++≥>,22(1)(1)9x y y x xy ++++≥,又因为1xy =,所以22(1)(1)9x y y x ++++≥.【必做题】22.解:(1)以D 为原点,DA ,DC ,DP 为坐标轴,建立如图所示空间直角坐标系;设AB t =,则(0,0,0)D ,(2,0,0)A t ,(2,,0)B t t ,(0,,0)C t ,(0,0,2)P t ,(,0,)Q t t ;所以(,,)CQ t t t =-,(2,,0)DB t t =,(0,0,2)DP t =,设平面PBD 的法向量1(,,)n x y z =,则110DB n DP n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即2020tx ty tz +=⎧⎨=⎩,解得200x y z +=⎧⎨=⎩,所以平面PBD 的一个法向量1(1,2,0)n =-,111cos ,n CQ n CQ n CQ⋅<>===,则CQ 与平面PBD 所成角的正弦值为5.(2)由(1)知平面PBD 的一个法向量为1(1,2,0)n =-,设(01)PQPAλλ=<<,则PQ PA λ=,DQ DP PQ =+(0,0,2)(2,0,2)t t t λ=+-(2,0,2(1))t t λλ=-,(2,,0)DB t t =,设平面QBD 的法向量2(,,)n x y z =,则220DQ n DB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即22(1)020t x t z tx ty λλ+-=⎧⎨+=⎩,解得(1)020x z x y λλ+-=⎧⎨+=⎩,所以平面QBD 的一个法向量2(1,22,)n λλλ=---,12cos ,n n =<>1212n n n n ⋅==,所以2255(1)96105λλλ-=-+,即2(2)()03λλ--=, 因为01λ<<,所以23λ=,则23PQ PA =. 23. 解:(1)10D =,21D =,32D =, 49D =,(2)12(1)()n n n D n D D --=-+, 理由如下:对n A 的元素的一个错位排列(1a ,2a ,…,n a ),若1(1)a k k =≠,分以下两类: 若1k a =,这种排列是2n -个元素的错位排列,共有2n D -个;若1k a ≠,这种错位排列就是将1,2,…,1k -,1k +,…,n 排列到第2到第n 个位置上,1不在第k 个位置,其他元素也不在原先的位置,这种排列相当于1n -个元素的错位排列,共有1n D -个; 根据k 的不同的取值,由加法原理得到12(1)()n n n D n D D --=-+; (3)根据(2)的递推关系及(1)的结论,n D 均为自然数;当3n ≥,且n 为奇数时,1n -为偶数,从而12(1)()n n n D n D D --=-+为偶数, 又10D =也是偶数,故对任意正奇数n ,有n D 均为偶数.下面用数学归纳法证明2n D (其中*n N ∈)为奇数. 当1n =时,21D =为奇数;假设当n k =时,结论成立,即2k D 是奇数,则当1n k =+时,2(1)212(21)()k k k D k D D ++=++,注意到21k D +为偶数,又2k D 是奇数,所以212k k D D ++为奇数,又21k +为奇数,所以2(1)212(21)()k k k D k D D ++=++,即结论对1n k =+也成立;根据前面所述,对任意*n N ∈,都有2n D 为奇数。

2018届江苏六市高三数学二模试卷

2018届江苏六市高三数学二模试卷

(第4题)2018届高三第二次调研测试(扬州、徐州、泰州、南通、淮安、宿迁)数学学科一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分. 1. 已知集合{}{} 1012 3 10 2 U A =-=-,,,,,,,,则UA = ▲ .2. 已知复数12i 34i z a z =+=-,,其中i 为虚数单位.若12z z 为纯虚数,则实数a 的值为 ▲ . 3. 某班40名学生参加普法知识竞赛,成绩都在区间[]40100,上,其频率分布直方图如图 所示,则成绩不低于60分的人数为 ▲ .4. 如图是一个算法流程图,则输出的S 的值为▲ . 5. 在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ,以线段AC ,BC 为邻边作矩形,则该矩形的面积大于32 cm 2的概率为 ▲ .6. 在ABC △中,已知145AB AC B ===︒,,则BC 的长为 ▲ .7. 在平面直角坐标系xOy 中,已知双曲线C 与双曲线2213y x -=有公共的渐近线,且经过点()2P -,则双曲线C 的焦距为 ▲ .8. 在平面直角坐标系xOy 中,已知角αβ,的始边均为x 轴的非负半轴,终边分别经过点 (12)A ,,(51)B ,,则tan()αβ-的值为 ▲ . 9. 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S .若396S S S ,,成等差数列,且83a =,则5a 的值为 ▲. 10.已知a b c ,,均为正数,且4()abc a b =+,则a b c ++的最小值为 ▲ .11.在平面直角坐标系xOy 中,若动圆C 上的点都在不等式组33030x x x⎧⎪+⎨⎪++⎩≤,≥,≥表示的平面成绩/分(第3题)区域内,则面积最大的为▲.12.设函数31e02()320x xf xx mx x-⎧->⎪=⎨⎪--⎩≤,,,(其中e为自然对数的底数)有3个不同的零点,则实数m的取值范围是▲.13.在平面四边形ABCD中,已知1423AB BC CD DA====,,,,则AC BD⋅的值为▲.14.已知a为常数,函数()f x的最小值为23-,则a的所有值为▲.二、解答题:本大题共6小题,共计90分.15.(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy中,设向量()cos sinαα=,a,()sin cosββ=-,b,()12=-c.(1)若+=a b c,求sin()αβ-的值;(2)设5π6α=,0πβ<<,且()//+a b c,求β的值.16.(本小题满分14分)如图,在三棱柱ABC?A1B1C1中,AB ??AC,点E,F分别在棱BB1?,CC1上(均异于端点),且∠ABE?∠ACF,AE⊥BB1,求证:(1)平面AEF⊥平面BB1C1C;(2)BC22221(0)yx a ba b+=>>3y x=+112211121 10q d≠≠,i i ic a b=+123c c c,,11a=2q=123c c c,,1234c c c c,,,()sin(0)f x x a x a=->()y f x=1()()ln1(0)2a g x f xb x b b==++∈≠R,,()g x'()g x0()0x g x'>>,x,()0g x<1212()()()g x g x x x=≠2124x x b<(第17题)C(第4题)22DB DC OD OA⋅+=(00)(30)(22)A B C,,,,,1T2T1002⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M2001⎡⎤=⎢⎥⎣⎦N1T 2T()23Pπ,l()sin23ρθπ-=⨯()600P X=X()E X212012(1)nx a a x a x++=+++2121nna x+++*n∈N(21)nn n kkT k a-==+∑2T n T*n∈NnT 42n+{}{}1012 3 10 2U A=-=-,,,,,,,UA={}13,12i34iz a z=+=-,i12zz43[]40100,SABC△145AB AC B===︒,BC xOy C2213yx-=()2P-C αβ,(12)A,(51)B,tan()αβ-97{}nanS396S S S,,83a=5a6-a b c,,4()abc a b=+a b c++C33030xxx⎧⎪-+⎨⎪++⎩≤,≥,≥22(1)4x y-+= 31e02()320x xf xx mx x-⎧->⎪=⎨⎪--⎩≤,,,e m()1+∞,ABCD1423AB BC CD DA====,,,AC BD⋅a()f x=23-a144,C1m>{}1m m>xOy ()cos sinαα=,a()sin cosββ=-,b()12=-c+=a b c sin()αβ-5π6α=0πβ<<()//+a b cβ()cos sinαα=,a()sin cosββ=-,b()12=-c1===a b c cos sin sin cos sin()αβαβαβ⋅=-+=-a b成绩/分(第3题)+=a b c 22+=a bc ⋅12sin ()11αβ+-+=1sin ()2αβ-=-5π6α=()12=,a ()1sin cos 2ββ+=--,b c ()//+a bc )()11cos sin 022ββ---=11sin 22ββ-=()π1sin 32β-=0πβ<<ππ2π333β-<-<ππ36β-=π2β=cos sin sin cos sin ()αβαβαβ⋅=-+=-a b a 2 ??2 a ⋅b ??b 2 ??1, 每个2分,没有先后顺序。

南京市、盐城市2018届高三年级第二次模拟考试数学及答案(精编文档).doc

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【最新整理,下载后即可编辑】南京市、盐城市2018届高三年级第二次模拟考试数学2018.03注意事项:1.本试卷共4页,包括填空题(第1题~第14题)、解答题(第15题~第20题)两部分.本试卷满分为160分,考试时间为120分钟.2.答题前,请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内.试题的答案写在答题纸...上对应题目的答案空格内.考试结束后,交回答题纸.参考公式:样本数据x1,x2,…,x n的方差s2=1n i=1∑n(x i--x)2,其中-x=1n i=1∑nx i;锥体的体积公式:V=13Sh,其中S为锥体的底面积,h为锥体的高.一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,计70分. 不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上)1.函数f (x)=lg(2-x)的定义域为▲________.2.已知复数z满足z1+2i=i,其中i为虚数单位,则复数z的模为▲.3.执行如图所示的算法流程图,则输出a的值为▲.4.某学生5次数学考试成绩的茎叶图如图所示,则这组数据的方差为▲________.5.3名教师被随机派往甲、乙两地支教,每名教师只能被派往其中一个地方,则恰有2名教师被派往甲地的概率为 ▲ .6.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n .若S 15=30,a 7=1,则S 9的值为▲________.7.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .若b sin A sin B+a cos 2B =2c ,则ac的值为▲________.8.在平面直角坐标系xOy 中,双曲线C :x 2-y2b2=1 (b >0) 的两条渐近线与圆O :222x y +=的四个交点依次为A ,B ,C ,D .若矩形ABCD 的面积为b ,则b 的值为 ▲ .9.在边长为4的正方形ABCD 内剪去四个全等的等腰三角形(如图1中阴影部分),折叠成底面边长为2的正四棱锥S -EFGH (如图2),(第3题)(第4题)则正四棱锥S -EFGH 的体积为▲________.10.已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数,且当x ≥0时,f (x )=x 2+x .若f (a )+f (-a )<4,则实数a 的取值范围为▲________.11.在平面直角坐标系xOy 中,曲线y =m x +1(m >0)在x =1处的切线为l ,则点(2,-1) 到直线l 的距离的最大值为▲________.12.如图,在△ABC 中,边BC 的四等分点依次为D ,E ,F .若AB →·AC→=2,AD →·=5,则AE 的长为▲________.ADBCEFGH(图1)SEFGH(图2)(第9题)(第12题)B A D13.在平面直角坐标系xOy 中,已知A ,B 为圆C :(x +4)2+(y -a )2=16上两个动点,且AB =211.若直线l :y =2x 上存在唯一的一个点P ,使得PA →+PB →=OC →,则实数a 的值为▲________. 14.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-x 3+3x 2+t ,x <0,x , x ≥0,t ∈R .若函数g (x )=f (f (x )-1)恰有4个不同的零点,则t 的取值范围为▲________.二、解答题(本大题共6小题,计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题卡的指定区域内) 15.(本小题满分14分)已知函数f (x )=2sin(ωx +φ)(ω>0,-π2<φ<π2)的部分图象如图所示,直线x =π12,x =7π12是其相邻的两条对称轴.(1)求函数f (x )的解析式; (2)若f (α2)=-65,且2π3<α<7π6,求cos α的值.y x21-1 -2π12π2 7π12O (第15题)16.(本小题满分14分)如图,矩形ABCD 所在平面与三角形ABE 所在平面互相垂直,AE =AB ,M ,N ,H 分别为DE ,AB ,BE 的中点. (1)求证:MN ∥平面BEC ; (2)求证:AH ⊥CE .17.(本小题满分14分)调查某地居民每年到商场购物次数m 与商场面积S 、到商场距离d的关系,得到关系式m =k ×Sd2(k 为常数).如图,某投资者计划在与商场A 相距10km 的新区新建商场B ,且商场B 的面积与商场A 的面积之比为λ (0<λ<1).记“每年居民到商场A 购物的次数”、“每年居民到商场B 购物的次数”分别为m 1、m 2,称满足m 1<m 2的区域叫做商场B 相对于A 的“更强吸引区域”.(1)已知P 与A 相距15km ,且∠PAB =60o.当λ=12时,居住在P点处的居民是否在商场B 相对于A 的“更强吸引区域”内?请说明理由;(2)若要使与商场B 相距2 km 以内的区域(含边界)均为商场B 相对于A 的“更强吸引区域”,求λ18.(本小题满分16分)(第16题)BEDAH CMNAB(第17题)如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为 22,上顶点A 到右焦点的距离为 2 .过点D (0,m )(m ≠0)作不垂直于x 轴,y 轴的直线l 交椭圆E 于P ,Q 两点,C 为线段PQ 的中点,且AC ⊥OC . (1)求椭圆E 的方程; (2)求实数m 的取值范围;(3)延长AC 交椭圆E 于点B ,记△AOB 与△AOC 的面积分别为S 1,S 2,若S 1S 2=83,求直线l 的方程.19.(本小题满分16分)已知函数f (x )=x (e x -2),g (x )=x -ln x +k ,k ∈R ,e 为自然对数的底.记函数F (x )=f (x )+g (x ).(1)求函数y =f (x )+2x 的极小值;(2)若F (x )>0的解集为(0,+∞),求k 的取值范围; (3)记F (x )的极值点为m .求证:函数G (x )=|F (x )|+ln x 在区间(0,m )上单调递增.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)(第18题)20.(本小题满分16分)对于数列{a n},定义b n(k)=a n+a n+k,其中n,k∈N*.(1)若b n(2)-b n(1)=1,n∈N*,求b n(4)-b n(1)的值;(2)若a1=2,且对任意的n,k∈N*,都有b n+1(k)=2b n(k).(i)求数列{a n}的通项公式;(ii)设k为给定的正整数,记集合A={b n(k)|n∈N*},B={5b n(k+2)|n∈N*},求证:A∩B= .南京市、盐城市2018届高三年级第二次模拟考试数学附加题2018.03注意事项:1.附加题供选修物理的考生使用.2.本试卷共40分,考试时间30分钟.3.答题前,考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内.试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内.考试...结束后,交回答题纸.21.【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每小题10分,共计20分.请在答.卷纸指定区域内.......作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A .选修4—1:几何证明选讲如图,AB 是圆O 的直径,AC 是弦,∠BAC 的平分线AD 交圆O 于点D ,DE ⊥AC 且交AC 的延长线于点E ,求证:DE 是圆O 的切线.B .选修4—2:矩阵与变换已知α=⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11为矩阵A =⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 a -12属于实数λ的一个特征向量,求λ和A 2.C .选修4—4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中,直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =t ,y =3t +2(t为参数),圆C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =a cos θ,y =a sin θ(a >0,θ为参数),点P 是圆C 上的任意一点.若点P 到直线l 距离的最大值为3,求a 的值.D.选修4—5:不等式选讲对任意x,y∈R,求|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|的最小值.【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.请在答.卷卡指...定区域内....作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.(本小题满分10分)甲,乙两人站在P点处分别向A,B,C三个目标进行射击,每人向三个目标各射击一次.每人每次射击每个目标均相互独立,且两人各自击中A,B,C的概率分别都为12,13,14.(1)设X表示甲击中目标的个数,求随机变量X的分布列和数学期望;(2)求甲乙两人共击中目标数为2个的概率.23.(本小题满分10分)已知n∈N*,且n≥4,数列T:a1,a2,…,a n中的每一项均在集合M={1,2,…,n }中,且任意两项不相等.(1)若n=7,且a2<a3<a4<a5<a6,求数列T的个数;(2)若数列T中存在唯一的a k(k∈N*,且k<n),满足a k>a k+1,求所有符合条件的数列T的个数.南京市、盐城市2018届高三年级第二次模拟考试数学参考答案说明:1.本解答给出的解法供参考.如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的解答有较严重的错误,就不再给分.3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,填空题不给中间分数.一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,计70分. 不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上)1.(-∞,2) 2. 5 3.3 4.16 5.386.-9 7. 2 8.79.4310.(-1,1) 11. 2 12. 6 13.2或-18 14.[-4,0)二、解答题(本大题共6小题,计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内) 15.(本小题满分14分)解:(1)设f (x )的周期为T ,则T 2=7π12-π12=π2,所以T =π.又T =2πω,所以ω=2,所以f (x )=2sin(2x +φ). …………………………………3分因为点(π12,2)在函数图象上,所以2sin(2×π12+φ)=2,即sin(π6+φ)=1. 因为-π2<φ<π2,所以φ=π3,所以f (x )=2sin(2x +π3).…………………………………7分 (2)由f (α2)=-65,得sin(α+π3)=-35.因为2π3<α<7π6,所以π<α+π3<3π2,所以cos(α+π3)=-1-sin 2(α+π3)=-45. ………………………………10分 所以cos α=cos[(α+π3)-π3]=cos(α+π3)cos π3+sin(α+π3) sin π3=-45×12+(-35)×32=-33+410. ………………………………14分16.(本小题满分14分)(1)解法一:取CE 中点F ,连接FB ,MF .因为M 为DE 的中点,F 为CE 的中点,所以MF ∥CD 且MF =12CD . ……………………………………2分又因为在矩形ABCD中,N为AB的中点,所以BN∥CD且BN=12 CD,所以MF∥BN且MF=BN,所以四边形BNMF为平行四边形,所以MN∥BF.……………………………………4分又MN平面BEC,BF平面BEC,所以MN∥平面BEC. (6)分解法二:取AE中点G,连接MG,GN.因为G为AE的中点,M为DE的中点,所以MG∥AD.又因为在矩形ABCD中,BC∥AD,所以MG∥BC.又因为MG平面BEC,BC平面BEC,所以MG∥平面BEC. (2)分因为G为AE的中点,N为AB的中点,所以GN∥BE.又因为GN平面BEC,BE平面BEC,所以GN∥平面BEC.又因为MG∩GN=G,MG,GN平面GMN,所以平面GMN∥平面BEC.……………………………………4分又因为MN平面GMN,所以MN∥平面BEC.……………………………………6分(2)因为四边形ABCD为矩形,所以BC⊥AB.因为平面ABCD⊥平面ABE,平面ABCD∩平面ABE=AB,BC平面ABCD,且BC⊥AB,所以BC⊥平面ABE.……………………………………8分因为AH 平面ABE ,所以BC ⊥AH .因为AB =AE ,H 为BE 的中点,所以BE ⊥AH . ……………………………………10分因为BC ∩BE =B ,BC 平面BEC ,BE 平面BEC , 所以AH ⊥平面BEC . ……………………………………12分又因为CE 平面BEC ,所以AH ⊥CE . ……………………………………14分 17.(本小题满分14分)解:设商场A 、B 的面积分别为S 1、S 2,点P 到A 、B 的距离分别为d 1、d 2,则S 2=λS 1,m 1=k S 1 d 12,m 2=k S 2d 22,k 为常数,k >0.(1)在△PAB 中,AB =10,PA =15,∠PAB =60o ,由余弦定理,得d 22=PB 2=AB 2+PA 2-2AB ·PA cos60°=102+152-2×10×15×12=175. …………………………2分又d 12=PA 2=225,此时,m 1-m 2=k S 1 d 12-k S 2 d 22=k S 1 d 12-k λS 1 d 22=kS 1(1d 12-λd 22), …………………………4分 将λ=12,d 12=225,d 22=175代入,得m 1-m 2=kS 1(1225-1350). 因为kS 1>0,所以m 1>m 2,即居住在P 点处的居民不在商场B 相对于A 的“更强吸引区域”内. …………………6分(2)解法一:以AB 所在直线为x 轴,A 为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,则A (0,0),B (10,0),设P (x ,y ),由m 1<m 2得,k S 1 d 12<k S 2d 22,将S 2=λS 1代入,得d 22<λd 12.……8分代入坐标,得(x -10)2+y 2<λ(x 2+y 2),化简得(1-λ) x 2+(1-λ) y 2-20x +100<0. ……………………10分因为0<λ<1,配方得 (x -101-λ)2+y 2<(10λ1-λ)2,所以商场B 相对于A 的“更强吸引区域”是:圆心为C (101-λ,0),半径为r 1=10λ1-λ的圆的内部. 与商场B 相距2 km 以内的区域(含边界)是:圆心为B (10,0),半径为r 2=2的圆的内部及圆周.由题设,圆B 内含于圆C ,即BC <| r 1-r 2|. …………………………12分因为0<λ<1,所以101-λ-10<10λ1-λ-2,整理得4λ-5λ+1<0,解得116<λ<1.所以,所求λ的取值范围是(116,1). …………………………14分解法二:要使与商场B 相距2 km 以内的区域(含边界)均为商场B 相对(第17题)于A 的“更强吸引区域”,则当d 2≤2时,不等式m 1<m 2恒成立.由m 1<m 2,得k S 1 d 12<k S 2 d 22=k λS 1d 22,化简得d 12>d 22λ. …………………………8分 设∠PBA =θ,则d 12=PA 2=AB 2+PB 2-2AB ·PB cos θ=100+d 22-20d 2cos θ, …………………………10分所以100+d 22-20d 2cos θ>d 22λ,即100+d 22-d 22λ20d 2>cos θ.上式对于任意的θ∈[0,π]恒成立,则有100+d 22-d 22λ20d 2>1, ………………………12分即1-1λ>20·1d 2-100·(1d 2)2=-100(1d 2-110)2+1 (*).由于d 2≤2,所以1d 2≥12.当1d 2=12时,不等式(*)右端的最大值为-15, 所以1-1λ>-15,解得λ>116.又0<λ<1, 所以λ的取值范围是(116,1). ………………………14分 18.(本小题满分16分)解:(1)因为⎩⎨⎧c a =22,a =2,所以c =1,b 2=a 2-c 2=1,所以椭圆E 的方程为x 22+y 2=1. …………………………2分解法一:(2)由(1)得A (0,1).设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),C (x 0,y 0),其中x 0,y 0均不为0,且x 1≠x 2.因为P ,Q 两点都在椭圆E 上,所以x 12+2y 12=2 且x 22+2y 22=2,两式相减得y 2-y 1x 2-x 1×y 0x 0=-12. …………………………4分 又y 2-y 1x 2-x 1=y 0-m x 0 ,所以y 0-m x 0×y 0x 0=-12, …………………………6分 即x 02=2y 0(m -y 0). ①又AC ⊥OC ,所以y 0-1x 0×y 0x 0=-1, …………………………8分 即x 02=y 0(1-y 0). ②由①②得y 0=2m -1,x 02=(1-2m ) (2m -2)∈(0,2),所以12<m <1. …………………………10分(3)设B (x 3,y 3),点B 在椭圆E 上,所以x 32+2y 32=2.又AC ⊥OC ,所以y 3-1x 3×y 0x 0=-1,即y 3=-x 0y 0x 3+1,代入上式消去y 3,得x 3=4x 0y 0y 20+2x20, …………………………12分所以S 1S 2=12AO ×|x 3| 12AO ×|x 0|=|x 3x 0|=|4y 0y 20+2x 20|. 由(2)知y 0=2m -1,x 02=(1-2m ) (2m -2),12<m <1,所以S 1S 2=|4(2m -1)(2m -1)2+2(1-2m )(2m -2) |=|43-2m|=43-2m. …………………………14分 因为S 1S 2=83,所以43-2m =83,解得m =34,此时y 0=2m -1=12,x 02=(1-2m ) (2m -2)=14,所以x 0=±12, 所以C 点坐标为(±12,12),D 点坐标为(0,34),所以直线l 的方程为y =±12x +34. …………………………16分解法二:(2)由(1)得A (0,1).设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),C (x 0,y 0).设直线l 方程为y =kx +m (k ≠0),将其与椭圆E 的方程联立,消去y 得(1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2-2=0 (*),所以x 1+x 2=-4km1+2k 2, …………………………4分所以x 0=x 1+x 22=-2km 1+2k 2,y 0=kx 0+m =m1+2k2,即C (-2km 1+2k 2,m1+2k2), 所以k AC=y 0-1x 0=m1+2k2-1-2km 1+2k 2=2k 2+1-m2km. …………………………6分又因为k OC =y 0x 0=m1+2k 2-2km 1+2k 2=-12k,且AC ⊥OC ,所以k AC ×k OC =2k 2+1-m 2km ×(-12k)=-1,整理得m=2k 2+14k 2+1. …………………………8分因为k ≠0,则m =2k 2+14k 2+1=4k 2+1-2k 24k 2+1=1-2k 24k 2+1=1-12+12k2∈(12,1),此时△=8(2k2+1-m)>0,所以实数m的取值范围为(12,1).…………………………10分(3)设B(x3,y3),k AB=-1k OC=2k,所以直线AB的方程为y=2kx+1,与椭圆E方程联立解得x=-8k1+8k2或0(舍),即x3=-8k1+8k2.…………………12分又因为x0=-2km1+2k2=-2k1+2k2×2k2+14k2+1=-2k1+4k2,所以S1S2=12AO×|x3|12AO×|x|=|-8k1+8k2-2k1+4k2|=4+16k21+8k2.…………………………14分因为S1S2=83,所以4+16k21+8k2=83,解得k=±12,此时m=2k2+14k2+1=34,D点坐标为(0,34),所以直线l的方程为y=±12x+34.…………………………16分19.(本小题满分16分)(1)解:y =f (x )+2x =x e x ,由y ′=(1+ x )e x =0,解得x =-1.列表如下:值-1e. ………………………2分 (2)解:F (x )=f (x )+g (x )=x e x -x -ln x +k ,F ′(x )=(x +1)(e x -1x), 设h (x )=e x -1x (x >0),则h ′(x )=e x +1x2>0恒成立, 所以函数h (x )在(0,+∞)上单调递增. 又h (12)=e -2<0,h (1)=e -1>0,且h (x )的图像在(0,+∞)上不间断,因此h (x )在(0,+∞)上存在唯一的零点x 0∈(12,1),且e x 0=1x 0.……………………4分当x ∈(0,x 0)时,h (x )<0,即F ′(x )<0;当x ∈(x 0,+∞)时,h (x )>0,即F ′(x )>0,所以F (x )在(0,x 0)上单调递减,在(x 0,+∞)上单调递增,于是x =x 0时,函数F (x )取极(最)小值为F (x 0)=x 0e x 0-x 0-ln x 0+k ……………………6分=1-x0-ln 1e x0+k=1+k.因为F(x)>0的解集为(0,+∞),所以1+k>0,即k>-1.……………………8分(3)证明:由(2)知m=x0,①当1+k≥0,即k≥-1时,F(x)≥0恒成立,于是G(x)=F(x)+ln x=x e x-x+k,G ′(x)=(x+1)e x-1.因为x∈(0,m),所以x+1>1,e x>1,于是G ′(x)>0恒成立,所以函数G(x)在(0,m)上单调递增.……………………10分②当1+k<0,即k<-1时,0<e k<12<x0=m,F(e k)=e k( e e k-1)>0,F(m)=F(x)=1+k<0,又F(x)在(0,m)上单调递减且图像不间断,所以F(x)在(0,m)上存在唯一的零点x1.……………………12分当0<x≤x1时,F(x)≥0,G(x)=F(x)+ln x=x e x-x+k,G ′(x)=(x+1)e x-1,因为0<x≤x1,所以x+1>1,e x>1,于是G ′(x)>0恒成立,所以函数G(x)在(0,x1]上单调递增;①……………………14分当x1≤x<m时,F(x)≤0,G(x)=-F(x)+ln x,G ′(x)=-F ′(x)+1x,由(2)知,当x1≤x<m时,F ′(x)<0,于是G ′(x)>0恒成立,所以函数G(x)在[x1,m)上单调递增;②设任意s,t∈(0,m),且s<t,若t ≤x 1,则由①知G (s )<G (t ),若s <x 1<t ,则由①知G (s )<G (x 1),由②知G (x 1)<G (t ),于是G (s )<G (t ),若x 1≤s ,由②知G (s )<G (t ),因此总有G (s )<G (t ),所以G (x )在(0,m )上单调递增.综上,函数G (x )在(0,m )上单调递增. ………………………16分20.(本小题满分16分)(1)解:因为b n (2)-b n (1)=1,所以(a n +a n +2)-(a n +a n +1)=1,即a n +2-a n +1=1,因此数列{a n +1}是公差为1的等差数列,所以b n (4)-b n (1)=(a n +a n +4)-(a n +a n +1) =a n +4-a n +1=3. ……………………2分(2)(i )解:因为b n +1(k )=2b n (k ),所以a n +1+a n +1+k =2(a n +a n +k ), 分别令k =1及k =2,得⎩⎪⎨⎪⎧a n +1+a n +2=2(a n +a n +1), ①a n +1+a n +3=2(a n +a n +2), ② ……………………4分由①得a n +2+a n +3=2(a n +1+a n +2),③ …………………………6分③-②得a n +2-a n +1=2(a n +1-a n ),④ …………………………8分①-④得2a n +1=4a n ,即a n +1=2a n ,又a1=2,所以a n=2n.…………………………10分(ii)证明:假设集合A与集合B中含有相同的元素,不妨设b n(k)=5b m(k+2),n,m∈N*,即a n+a n+k=5(a m+a m+k+2),于是2n+2n+k=5(2m+2m+k+2),整理得2n-m=5(1+2k+2)1+2k. …………………………12分因为5(1+2k+2)1+2k=5(4-31+2k)∈[15,20),即2n-m∈[15,20),因为n,m∈N*,从而n-m=4,…………………………14分所以5(1+2k+2)1+2k=16,即4×2k=11.由于k为正整数,所以上式不成立,因此集合A与集合B中不含有相同的元素,即A∩B= .…………………………16分南京市、盐城市2018届高三年级第二次模拟考试数学附加题参考答案及评分标准2018.03说明:1.本解答给出的解法供参考.如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的解答有较严重的错误,就不再给分.3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4.只给整数分数,填空题不给中间分数.21.【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10分,共计20分.请在答.卷卡指定区域内作答.解答应写出文.......字说明、证明过程或演算步骤.A.选修4—1:几何证明选讲证明:连结OD,因为OD=OA,所以∠OAD=∠ODA.因为AD平分∠BAE,所以∠OAD=∠EAD,………………3分所以∠EAD=∠ODA,所以OD∥AE. ………………5分又因为AE⊥DE,所以DE⊥OD . ………………8分又因为OD 为半径,所以DE 是圆O 的切线. ………………10分B .选修4—2:矩阵与变换解:因为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1 a -1 2 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11=λ ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11,所以⎩⎪⎨⎪⎧1+a =λ,-1+2=λ,解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧a =0,λ=1.…………………………5分 所以A =⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1 0-1 2 ,所以A 2=⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1 0-3 4. …………………………10分C .选修4—4:坐标系与参数方程解:因为直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =t ,y =3t +2(t 为参数),所以直线l 的普通方程为y =3x +2. ……………………………3分又因为圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =a cos θ,y =a sin θ(a >0,θ为参数),所以圆C 的普通方程为x 2+y 2=a 2. ……………………………6分因为圆C 的圆心到直线l 的距离d =1, ……………………………8分所以1+a =3,解得a =2. ……………………………10分D .选修4—5:不等式选讲解:方法一:|x -1|+|x |≥|x -1-x |=1,当且仅当x (x -1)≤0,即0≤x ≤1时取等号. ……………………………4分|y -1|+|y +1|≥|y -1-y -1|=2,当且仅当(y -1)(y +1)≤0,即-1≤y ≤1时取等号. ……………………………8分所以|x -1|+|x |+|y -1|+|y +1|≥3,当且仅当0≤x ≤1,-1≤y ≤1时取等号,所以|x -1|+|x |+|y -1|+|y +1|的最小值为3. …………………………10分方法二:因为f (x )=|x -1|+|x |=⎩⎪⎨⎪⎧2x -1,x ≥1,1,0≤x <1,1-2x ,x <0,所以f (x )min =1. …………………………4分因为g (y )=|y -1|+|y +1|=⎩⎪⎨⎪⎧2y ,y ≥1,2,-1≤y <1,-2y ,y <-1,所以g (y )min =2. …………………………8分综上,|x -1|+|x |+|y -1|+|y +1|的最小值为3. …………………………10分【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.22.(本小题满分10分)解:(1)随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3.P (X =0)=(1-12)×(1-13)×(1-14)=14, P (X =1)=12×(1-13)×(1-14)+(1-12)×13×(1-14)+(1-12)×(1-13)×14=1124, P (X =2)=(1-12)×13×14+12×(1-13)×14+12×13×(1-14)=14, P (X =3)=12×13×14=124. 所以,随机变量X 的分布列为X 的数学期望E (X )=0×4+1×24+2×4+3×24=1312. …………………………5分 (2)设Y 表示乙击中目标的个数,由(1)亦可知,P (Y =0)=14,P (Y =1)=1124,P (Y =2)=14. 则P (X =0,Y =2)=14×14=116, P (X =1,Y =1)=1124×1124=121576, P (X =2,Y =0)=14×14=116, …………………………8分 所以P (X +Y =2)=P (X =0,Y =2)+P (X =1,Y =1)+P (X=2,Y =0)=193576. 所以,甲乙两人共击中目标数为2个的概率为193576. …………………………10分23.(本小题满分10分)解:(1)当n=7时,M={1,2,…,7 },数列T的个数为C27×A22=42.………………………………2分(2)当k=1时,则a1>a2,a2<a3<…<a n,此时a2为1,a1共有n-1种选法,余下的n-2个数,按从小到大依次排列,共有1种,因此k=1时,符合条件的数列T共有n-1=C1n-1个.……………………………3分当2≤k≤n-2时,则a1<a2<…<a k,a k>a k+1,a k+1<a k <…<a n,+2从集合M中任取k个数,按从小到大的顺序排列,再将余下的n-k个数,按从小到大的顺序排列,即得满足条件a1<a2<…<a k,a k+1<a k+2<…<a n的数列的个数为C k n C n-k n-k,这里包含了a k<a k+1即a1<a2<…<a k<a k+1<a k+2<…<a n的情形,因此符合条件的数列T的个数为C k n C n-k n-k-1=C k n-1.………………………………7分当k=n-1时,则a1<a2<…<a n-1,a n-1>a n此时a n-1为n,a n共有n-1种选法,余下的n-2个数,按从小到大依次排列,共有1种,因此k=n-1时,符合条件的数列T共有n-1=C n-1n-1个.…………………………8分于是所有符合条件的数列T的个数为:C1n-1+C2n-1+…+C n-1n-1=C1n+C2n+…+C n-1n-n +1=2n-C0n-C n n-n+1=2n-n-1.………………………………10分【最新整理,下载后即可编辑】。

2018届宿迁高三第二次模拟数学(含答案)

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(第4题) 南通市2018届高三第二次调研测试 数学学科参考答案及评分建议一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分. 1. 已知集合{}{} 1012 3 10 2 U A =-=-,,,,,,,,则U A =ð ▲ . 2. 已知复数12i 34i z a z =+=-,,其中i 为虚数单位.若12z z 为纯虚数,则实数a 的值为 ▲ . 3. 某班40名学生参加普法知识竞赛,成绩都在区间[]40100,上,其频率分布直方图如图所示,则成绩不低于60分的人数为 ▲ .4. 如图是一个算法流程图,则输出的S 的值为 ▲ . 5. 在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ,以线段AC ,BC 于32 cm 2的概率为 ▲ .6. 在ABC △中,已知145AB AC B ==︒,,则BC 的长为 ▲ .7. 在平面直角坐标系xOy 中,已知双曲线C 与双曲线2213y x -=有公共的渐近线,且经过点()2P -,则双曲线C 的焦距为 ▲ .8. 在平面直角坐标系xOy 中,已知角αβ,的始边均为x 轴的非负半轴,终边分别经过点(12)A ,,(51)B ,,则tan()αβ-的值为 ▲ . 9. 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S .若396S S S ,,成等差数列,且83a =,则5a的值为 ▲.10.已知a b c ,,均为正数,且4()abc a b =+,则a b c ++的最小值为 ▲ . 11.在平面直角坐标系xOy 中,若动圆C 上的点都在不等式组33030x x x ⎧⎪+⎨⎪+⎩≤,≥,≥表示的平面区域内,则面积最大的圆的标准方程为 ▲ .12.设函数31e 02()320x x f x x mx x -⎧->⎪=⎨⎪--⎩≤,,,(其中e 为自然对数的底数)有3个不同的零点, 则实数m 的取值范围是 ▲ .13.在平面四边形ABCD 中,已知1423AB BC CD DA ====,,,,则AC BD ⋅的值为 ▲ . 14.已知a 为常数,函数()f x =的最小值为23-,则a 的所有值为 ▲ ./分(第3题)二、解答题:本大题共6小题,共计90分. 15.(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中,设向量()cos sin αα=,a ,()sin cos ββ=-,b ,()12=-c .(1)若+=a b c ,求sin ()αβ-的值;(2)设5π6α=,0πβ<<,且()//+a b c ,求β的值.16.(本小题满分14分)如图,在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,AB = AC ,点E ,F 分别在棱BB 1 ,CC 1上(均异于端点),且∠ABE =∠ACF ,AE ⊥BB 1,AF ⊥CC 1.求证:(1)平面AEF ⊥平面BB 1C 1C ;(2)BC // 平面AEF .17.(本小题满分14分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,B 1,B 2是椭圆22221(0)y x a b a b+=>>的短轴端点,P 是 椭圆上异于点B 1,B 2的一动点.当直线PB 1的方程为3y x =+时,线段PB 1的长为 (1)求椭圆的标准方程;(2)设点Q 满足:11QB PB ⊥,22QB PB ⊥.求证:△PB 1B 2与△QB 1B 2的面积之比为定值.(第17题)A A 1B 1C 1 B C F E (第16题)(第18题)18.(本小题满分16分)将一铁块高温融化后制成一张厚度忽略不计、面积为100 dm 2的矩形薄铁皮(如图),并沿 虚线l 1,l 2裁剪成A ,B ,C 三个矩形(B ,C 全等),用来制成一个柱体.现有两种方案: 方案①:以1l 为母线,将A 作为圆柱的侧面展开图,并从B ,C 中各裁剪出一个圆形作为圆柱的两个底面;方案②:以1l 为侧棱,将A 作为正四棱柱的侧面展开图,并从B ,C 中各裁剪出一个正方 形(各边分别与1l 或2l 垂直)作为正四棱柱的两个底面.(1)设B ,C 都是正方形,且其内切圆恰为按方案①制成的圆柱的底面,求底面半径;(2)设1l 的长为x dm ,则当x 为多少时,能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大?19.(本小题满分16分)设等比数列a 1,a 2,a 3,a 4的公比为q ,等差数列b 1,b 2,b 3,b 4的公差为d ,且10q d ≠≠,.记i i i c a b =+(i = 1,2,3,4).(1)求证:数列123c c c ,,不是等差数列; (2)设11a =,2q =.若数列123c c c ,,是等比数列,求b 2关于d 的函数关系式及其定义域; (3)数列1234c c c c ,,,能否为等比数列?并说明理由. 20.(本小题满分16分)设函数()sin (0)f x x a x a =->.(1)若函数()y f x =是R 上的单调增函数,求实数a 的取值范围; (2)设1()()ln 1(0)2a g x f xb x b b ==++∈≠R ,,,()g x '是()g x 的导函数.① 若对任意的0()0x g x '>>,,求证:存在0x ,使0()0g x <;② 若1212()()()g x g x x x =≠,求证:2124x x b <.数学Ⅱ(附加题)21.【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题,请选定其中....两题,并在相应的答题区域内作答................ 若多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A .[选修4-1:几何证明选讲](本小题满分10分)如图,A ,B ,C 是⊙O 上的3个不同的点,半径OA 交弦BC 于点D .求证:22DB DC OD OA ⋅+=.B .[选修4-2:矩阵与变换](本小题满分10分) 在平面直角坐标系xOy 中,已知(00)(30)(22)A BC ,,,,,.设变换1T ,2T对应的矩 阵分别为1002⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ,2001⎡⎤=⎢⎥⎣⎦N ,求对△ABC 依次实施变换1T ,2T 后所得图形的面积.C .[选修4-4:坐标系与参数方程](本小题满分10分)在极坐标系中,求以点()23P π,为圆心且与直线l :()sin 23ρθπ-=相切的圆的极坐标方程.D .[选修4-5:不等式选讲](本小题满分10分)已知a ,b ,c 为正实数,且12a b c ++=2.【必做题】第22、23题,每小题10分,共计20分.请在答题卡指定区域.......内作答,解答时应 写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22.(本小题满分10分)在某公司举行的年终庆典活动中,主持人利用随机抽奖软件进行抽奖:由电脑随机生成一张如图所示的3⨯3表格,其中1格设奖300元,4格各设奖200元,其余4格各设奖100元,点击某一格即显示相应金额.某人在一张表中随机不重复地点击3格,记中奖的总金额为X 元.(1)求概率()600P X =;(2)求X 的概率分布及数学期望()E X .(第22题)ABD C (第21—A 题)EO(第4题)23.(本小题满分10分) 已知212012(1)n x a a x a x ++=+++ (21)21n n a x+++,*n ∈N .记0(21)nn n k k T k a -==+∑.(1)求2T 的值;(2)化简n T 的表达式,并证明:对任意的*n ∈N ,n T 都能被42n +整除.南通市2018届高三第二次调研测试 数学学科参考答案及评分建议一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分. 1. 已知集合{}{} 1012 3 10 2 U A =-=-,,,,,,,,则U A =ð ▲ .【答案】{}13,2. 已知复数12i 34i z a z =+=-,,其中i 为虚数单位.若12z z 为纯虚数,则实数a 的值为 ▲ . 【答案】433. 某班40名学生参加普法知识竞赛,成绩都在区间[]40100,上,其频率分布直方图如图所示,则成绩不低于60分的人数为 ▲ .【答案】304. 如图是一个算法流程图,则输出的S 的值为▲ . 【答案】125 5. 在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ,以线段AC ,BC 为邻边作矩形,则该矩形的面积大于32 cm 2的概率为 ▲ .【答案】136. 在ABC △中,已知145AB AC B ==︒,,则BC 的长为 ▲ .7. 在平面直角坐标系xOy 中,已知双曲线C 与双曲线2213y x -=有公共的渐近线,且经过点()2P -,则双曲线C 的焦距为 ▲ ./分(第3题)【答案】8. 在平面直角坐标系xOy 中,已知角αβ,的始边均为x 轴的非负半轴,终边分别经过点(12)A ,,(51)B ,,则tan()αβ-的值为 ▲ . 【答案】979. 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S .若396S S S ,,成等差数列,且83a =,则5a 的值为 ▲ . 【答案】6-10.已知a b c ,,均为正数,且4()abc a b =+,则a b c ++的最小值为 ▲ . 【答案】811.在平面直角坐标系xOy 中,若动圆C上的点都在不等式组33030x x x ⎧⎪+⎨⎪+⎩≤,≥,≥表示的平面区域内,则面积最大的为 ▲ . 【答案】22(1)4x y -+=12.设函数31e 02()320x x f x x mx x -⎧->⎪=⎨⎪--⎩≤,,,(其中e 为自然对数的底数)有3个不同的零点, 则实数m 的取值范围是 ▲ . 【答案】()1+∞, 13.在平面四边形ABCD 中,已知1423AB BC CD DA ====,,,,则AC BD ⋅的值为 ▲ . 【答案】1014.已知a为常数,函数()f x =的最小值为23-,则a 的所有值为 ▲ .【答案】144,填空题要求:第6第11题:题目要求“圆C 的标准方程”,写成圆的一般方程不给分,不配方不给分。

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2018年江苏省高考数学二模试卷一、填空题:本大题共14个小题,每小题5分,共计70分,请把答案直接填写在答题卡相应的位置上.1.已知集合A={x||x|<2},B={﹣1,0,1,2,3},则集合A∩B中元素的个数为.2.已知复数z满足(2﹣3i)z=3+2i(i是虚数单位),则z的模为.3.已知一组数据8,10,9,12,11,那么这组数据的方差为.4.运行如图所示的伪代码,其输出的结果S为.5.袋中有形状、大小都相同的四只球,其中有1只红球,3只白球,若从中随机一次摸出2只球,则这2只球颜色不同的概率为.6.已知,那么tanβ的值为.7.已知正六棱锥的底面边长为2,侧棱长为,则该正六棱锥的表面积为.8.在三角形ABC中,,则的最小值为.9.已知数列{a n}的首项为1,等比数列{b n}满足,且b1018=1,则a2018的值为.10.已知正数a,b满足2ab+b2=b+1,则a+5b的最小值为.11.已知函数,若方程f(x)=﹣x有且仅有一解,则实数a的取值范围为.12.在平面直角坐标系xOy中,点A(3,0),动点P满足PA=2PO,动点Q(3a,4a+5)(a ∈R),则线段PQ长度的最小值为.13.已知椭圆的离心率为,长轴AB上2018个等分点从左到右依次为点M1,M2,…,M2018,过M1点作斜率为k(k≠0)的直线,交椭圆C于P1,P2两点,P1点在x轴上方;过M2点作斜率为k(k≠0)的直线,交椭圆C于P3,P4两点,P3点在x 轴上方;以此类推,过M2018点作斜率为k(k≠0)的直线,交椭圆C于P4189,P4180两点,P4189点在x轴上方,则4180条直线AP1,AP2,…,AP4180的斜率乘积为.14.已知函数f(x)=x|x﹣a|,若对任意x1∈[2,3],x2∈[2,3],x1≠x2恒有,则实数a的取值范围为.二、解答题(本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)15.在△ABC中,角A、B、C分别是边a、b、c的对角,且3a=2b.(Ⅰ)若B=60°,求sinC的值;(Ⅱ)若,求sin(A﹣B)的值.16.如图,平行四边形ABCD⊥平面CDE,AD⊥DE.(I)求证:DE⊥平面ABCD;(Ⅱ)若M为线段BE中点,N为线段CE的一个三等分点,求证:MN不可能与平面ABCD 平行.17.已知椭圆的离心率为e,直线l:y=ex+a与x,y轴分别交于A、B点.(Ⅰ)求证:直线l与椭圆C有且仅有一个交点;(Ⅱ)设T为直线l与椭圆C的交点,若AT=eAB,求椭圆C的离心率;(Ⅲ)求证:直线l:y=ex+a上的点到椭圆C两焦点距离和的最小值为2a.18.如图,,点O处为一雷达站,测控范围为一个圆形区域(含边界),雷达开机时测控半径r随时间t变化函数为r=3t km,且半径增大到81km 时不再变化.一架无人侦察机从C点处开始沿CD方向飞行,其飞行速度为15km/min.(Ⅰ)当无人侦察机在CD上飞行t分钟至点E时,试用t和θ表示无人侦察机到O点的距离OE;(Ⅱ)若无人侦察机在C点处雷达就开始开机,且θ=,则雷达是否能测控到无人侦察机?请说明理由.19.已知数列{a n }满足.数列{a n }前n 项和为S n .(Ⅰ) 求数列{a n }的通项公式;(Ⅱ)若a m a m +1=a m +2,求正整数m 的值; (Ⅲ)是否存在正整数m ,使得恰好为数列{a n }中的一项?若存在,求出所有满足条件的m 值,若不存在,说明理由.20.已知函数f (x )=xlnx ﹣ax 2+a (a ∈R ),其导函数为f ′(x ). (Ⅰ)求函数g (x )=f ′(x )+(2a ﹣1)x 的极值;(Ⅱ)当x >1时,关于x 的不等式f (x )<0恒成立,求a 的取值范围.三.附加题部分【选做题】(本题包括A 、B 、C 、D 四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答.若多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)A .[选修4-1几何证明选讲](本小题满分10分) 21.若AB 为定圆O 一条弦(非直径),AB=4,点N 在线段AB 上移动,∠ONF=90°,NF 与圆O 相交于点F ,求NF 的最大值.B .[选修4-2:矩阵与变换](本小题满分10分) 22.已知矩阵,若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为=,属于特征值1的一个特征向量为=.求A 的逆矩阵.C.[选修4-4:坐标系与参数方程](本小题满分0分)23.过点P (﹣3,0)且倾斜角为30°的直线和曲线ρ2cos2θ=4相交于A 、B 两点.求线段AB 的长.D .[选修4-5:不等式选讲](本小题满分0分) 24.设 x ,y ,z ∈R +,且x +y +z=1,求证:.四.[必做题](第25题、第26题,每题10分,共20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)25.一个袋中有若干个红球与白球,一次试验为从中摸出一个球并放回袋中,摸出红球概率为p ,摸出白球概率为q ,摸出红球加1分,摸出白球减1分,现记“n 次试验总得分为S n ”. (Ⅰ)当时,记ξ=|S 3|,求ξ的分布列及数学期望;(Ⅱ)当时,求S 8=2且S i ≥0(i=1,2,3,4)的概率.26.数列{a n }各项均为正数,,且对任意的n ∈N *,有.(Ⅰ)求证:;(Ⅱ)若,是否存在n∈N*,使得a n>1,若存在,试求出n的最小值,若不存在,请说明理由.2018年江苏省高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题:本大题共14个小题,每小题5分,共计70分,请把答案直接填写在答题卡相应的位置上.1.已知集合A={x||x|<2},B={﹣1,0,1,2,3},则集合A∩B中元素的个数为3.【考点】交集及其运算.【分析】求出A中不等式的解集确定出A,找出A与B的交集,即可作出判断.【解答】解:由A中不等式解得:﹣2<x<2,即A=(﹣2,2),∵B={﹣1,0,1,2,3},∴A∩B={﹣1,0,1},则集合A∩B中元素的个数为3,故答案为:32.已知复数z满足(2﹣3i)z=3+2i(i是虚数单位),则z的模为1.【考点】复数代数形式的乘除运算.【分析】根据向量的复数运算和向量的模即可求出.【解答】解:(2﹣3i)z=3+2i,∴z====i,∴|z|=1,故答案为:1.3.已知一组数据8,10,9,12,11,那么这组数据的方差为2.【考点】极差、方差与标准差.【分析】先求出这组数据的平均数,由此能求出这组数据的方差.【解答】解:∵一组数据8,10,9,12,11,∴这组数据的平均数=(8+10+9+12+11)=10,这组数据的方差为S2= [(8﹣10)2+(10﹣10)2+(9﹣10)2+(12﹣10)2+(11﹣10)2]=2.故答案为:2.4.运行如图所示的伪代码,其输出的结果S为15.【考点】程序框图.【分析】由已知中的程序代码可得:程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值,模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案【解答】解:当l=1时,满足进行循环的条件,S=3,l=4;当l=4时,满足进行循环的条件,S=9,l=7;当l=7时,满足进行循环的条件,S=15,l=10;当l=10时,不满足进行循环的条件,故输出的S值为15.故答案为:155.袋中有形状、大小都相同的四只球,其中有1只红球,3只白球,若从中随机一次摸出2只球,则这2只球颜色不同的概率为.【考点】古典概型及其概率计算公式.【分析】先求出基本事件总数,再求出这2只球颜色不同包含的基本事件个数,由此能求出这2只球颜色不同的概率.【解答】解:∵袋中有形状、大小都相同的四只球,其中有1只红球,3只白球,从中随机一次摸出2只球,∴基本事件总数n==6,这2只球颜色不同包含的基本事件个数m==3,∴这2只球颜色不同的概率为p==.故答案为:.6.已知,那么tanβ的值为3.【考点】两角和与差的正切函数.【分析】由已知,利用同角三角函数基本关系式可求cosα,tanα的值,利用两角和的正切函数公式即可化简求值.【解答】解:∵,∴cosα=﹣=﹣,tanα==﹣2,∴tan(α+β)===,整理可得:tanβ=3.故答案为:3.7.已知正六棱锥的底面边长为2,侧棱长为,则该正六棱锥的表面积为+12.【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积.【分析】利用勾股定理可得侧面三角形的斜高h,利用等腰三角形与等边三角形的面积计算公式即可得出.【解答】解:侧面三角形的斜高h==2,∴该正六棱锥的表面积S=+6×=+12,故答案为: +12.8.在三角形ABC中,,则的最小值为.【考点】平面向量数量积的运算.【分析】可根据条件得到,而由可得到,两边平方并进行数量积的运算便可得到,这样根据不等式a2+b2≥2ab即可得出的范围,从而得出的范围,即得出的最小值.【解答】解:根据条件,=;∴;由得,;∴;∴==,当且仅当即时取“=”;∴;∴的最小值为.故答案为:.9.已知数列{a n}的首项为1,等比数列{b n}满足,且b1018=1,则a2018的值为1.【考点】等比数列的通项公式.【分析】由已知结合,得到a2018=b1b2…b2018=(b1b2018)•(b2b2018)…(b1018b1018)•b1018,结合b1018=1,以及等比数列的性质求得答案.【解答】解:,且a1=1,得b1=,b2=,∴a3=a2b2=b1b2,b3=,∴a4=a3b3=b1b2b3,…a n=b1b2…b n.﹣1∴a2018=b1b2…b2018=(b1b2018)•(b2b2018)…(b1018b1018)•b1018,∵b1018=1,∴b1b2018=b2b2018=…=b1018b1018=(b1018)2=1,∴a2018=1,故答案为:1.10.已知正数a,b满足2ab+b2=b+1,则a+5b的最小值为.【考点】基本不等式.【分析】正数a,b满足2ab+b2=b+1,可得:a=>0.则a+5b=+5b=+,利用基本不等式的性质即可得出.【解答】解:∵正数a,b满足2ab+b2=b+1,∴a=>0.则a+5b=+5b=+≥+=,当且仅当b=,a=2时取等号.故答案为:.11.已知函数,若方程f(x)=﹣x有且仅有一解,则实数a的取值范围为a≥﹣1或a=﹣2..【考点】根的存在性及根的个数判断.【分析】根据指数函数的图象,结合图象的平移可知当a≥﹣1时,2x+a在x≤0时,与y=﹣x 有一交点,而x++a在x>0无交点,符合题意;再考虑当a<﹣1时的情况,结合图象的平移和二次函数的知识求出a的取值.【解答】解:根据指数函数的图象易知:当a≥﹣1时,y=2x+a在x≤0时,与y=﹣x有一交点,y=x++a在x>0与y=﹣x无交点,符合题意;当a<﹣1时,只需x++a=﹣x有且仅有一根,△=a2﹣8=0,解得a=﹣2.故答案为a≥﹣1或a=﹣2.12.在平面直角坐标系xOy中,点A(3,0),动点P满足PA=2PO,动点Q(3a,4a+5)(a ∈R),则线段PQ长度的最小值为0.【考点】两点间距离公式的应用.【分析】求出圆的方程并化为标准形式,由条件求得点Q(3a,4a+5)到圆心(﹣1,0)的距离d的最小值,将d的最小值减去圆的半径,即为所求.【解答】解:∵点A(3,0),动点P满足PA=2PO,设P(x,y),则有(x﹣3)2+y2=4x2+4y2,∴(x+1)2+y2=4,表示以(﹣1,0)为圆心、半径等于2的圆.点Q(3a,4a+5)到圆心(﹣1,0)的距离d==≥,故距离d可以是2,此时PQ=0,故线段PQ长度的最小值为0.13.已知椭圆的离心率为,长轴AB上2018个等分点从左到右依次为点M1,M2,…,M2018,过M1点作斜率为k(k≠0)的直线,交椭圆C于P1,P2两点,P1点在x轴上方;过M2点作斜率为k(k≠0)的直线,交椭圆C于P3,P4两点,P3点在x 轴上方;以此类推,过M2018点作斜率为k(k≠0)的直线,交椭圆C于P4189,P4180两点,P4189点在x轴上方,则4180条直线AP1,AP2,…,AP4180的斜率乘积为﹣2﹣2018.【考点】椭圆的简单性质.【分析】运用椭圆的离心率公式,可得a2=2b2=2c2,设M n的坐标为(t,0),直线方程为y=k (x﹣t),代入椭圆方程,运用韦达定理,再由直线的斜率公式,化简整理,可得•=,再由等分点,设出t的坐标,化简整理,计算即可得到所求值.【解答】解:由题意可得e==,可得a2=2b2=2c2,设M n的坐标为(t,0),直线方程为y=k(x﹣t),代入椭圆方程x2+2y2=2b2,可得(1+2k2)x2﹣4tk2x+2k2t2﹣2b2=0,即有x1+x2=,x1x2=,•=•======,可令t=﹣,﹣,…,﹣,﹣,0,,,…,,,即有AP1,AP2,…,AP4180的斜率乘积为•(•…•)••(•…•)=﹣.故答案为:﹣2﹣2018.14.已知函数f(x)=x|x﹣a|,若对任意x1∈[2,3],x2∈[2,3],x1≠x2恒有,则实数a的取值范围为[3,+∞).【考点】分段函数的应用.【分析】根据凸函数和凹函数的定义,作出函数f(x)的图象,利用数形结合进行求解即可.【解答】解:满足条件有的函数为凸函数,f(x)=,作出函数f(x)的图象,由图象知当x≤a时,函数f(x)为凸函数,当x≥a时,函数f(x)为凹函数,若对任意x1∈[2,3],x2∈[2,3],x1≠x2恒有,则a≥3即可,故实数a的取值范围是[3,+∞),故答案为:[3,+∞)二、解答题(本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)15.在△ABC中,角A、B、C分别是边a、b、c的对角,且3a=2b.(Ⅰ)若B=60°,求sinC的值;(Ⅱ)若,求sin(A﹣B)的值.【考点】两角和与差的正弦函数;正弦定理;余弦定理.【分析】(Ⅰ)利用正弦定理化简已知可得3sinA=2sinB,由已知可求sinA,利用大边对大角可得A为锐角,可求cosA,利用三角形内角和定理,两角和的正弦函数公式即可求sinC的值.(Ⅱ)由已知及正弦定理可求a=,余弦定理可求c=,利用余弦定理可得cosB=0,从而可求sinB=1,sinA=,利用大边对大角及同角三角函数基本关系式可求cosA,利用两角差的正弦函数公式即可计算得解.【解答】(本题满分为14分)解:(Ⅰ)在△ABC中,∵3a=2b,∴3sinA=2sinB又∵B=60°,代入得3sinA=2sin60°,解得sinA=.∵a:b=2:3,∴A<B,即cosA=,∴sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=.…(Ⅱ)∵3a=2b,可得:a=,,∴==,解得:c2=,c=,∴cosB===0,可得:sinB=1,∵3sinA=2sinB=2,可得:sinA=,A为锐角,可得cosA==.∴sin(A﹣B)=sinAcosB﹣cosAsinB=﹣cosA=﹣.…16.如图,平行四边形ABCD⊥平面CDE,AD⊥DE.(I)求证:DE⊥平面ABCD;(Ⅱ)若M为线段BE中点,N为线段CE的一个三等分点,求证:MN不可能与平面ABCD 平行.【考点】直线与平面垂直的判定;直线与平面平行的性质.【分析】(1)在平面ABCD内过A作CD的垂线AP,则AP⊥平面CDE,于是AP⊥DE,结合AD⊥DE,得出DE⊥平面ABCD;(2)使用反证法证明,假设MN∥平面ABCD,由线面平行的性质得MN∥BC,与已知矛盾.【解答】证明:(1)过A作AP⊥CD,垂足为P,∵平面ABCD⊥平面CDE,平面ABCD∩平面CDE=CD,AP⊂平面ABCD,AP⊥CD,∴AP⊥平面CDE,∵DE⊂平面CDE,∴AP⊥DE,又∵DE⊥AD,AD⊂平面ABCD,AP⊂平面ABCD,AD∩AP=A,∴DE⊥平面ABCD.(2)假设MN∥平面ABCD,∵MN⊂平面BCE,平面BCE∩平面ABCD=BC,∴MN∥BC,∴,与M是BE的中点,N是CE的三等分点相矛盾.∴MN不可能与平面ABCD平行.17.已知椭圆的离心率为e,直线l:y=ex+a与x,y轴分别交于A、B点.(Ⅰ)求证:直线l与椭圆C有且仅有一个交点;(Ⅱ)设T为直线l与椭圆C的交点,若AT=eAB,求椭圆C的离心率;(Ⅲ)求证:直线l:y=ex+a上的点到椭圆C两焦点距离和的最小值为2a.【考点】椭圆的简单性质.【分析】(Ⅰ)将直线l:y=ex+a代入椭圆方程,运用判别式,结合离心率公式,化简整理即可得证;(Ⅱ)由直线l:y=ex+a,可得A(﹣,0),B(0,a),运用向量共线的坐标表示,解方程可得离心率;(Ⅲ)设F2(c,0)关于直线y=ex+a的对称点为F'(m,n),运用两直线垂直的条件:斜率之积为﹣1和中点坐标公式,求得F'的坐标,计算|F'F1|,即可得到所求最小值.【解答】解:(Ⅰ)证明:直线l:y=ex+a代入椭圆,可得(b2+a2e2)x2+2ea3+a4﹣a2b2=0,可得判别式为4a2e6﹣4(b2+a2e2)(a4﹣a2b2)=﹣4(a4b2﹣a2b4﹣a4e2b2)=﹣4[a2b2(a2﹣b2)﹣a2c2b2]=0,即有直线l与椭圆C有且仅有一个交点;(Ⅱ)由直线l:y=ex+a,可得A(﹣,0),B(0,a),由(Ⅰ)可得x T=﹣=﹣=﹣ea,由=e,可得﹣ea+=e(0+),即e2+e﹣1=0,解得e=(负的舍去):(Ⅲ)证明:设F2(c,0)关于直线y=ex+a的对称点为F'(m,n),即有=﹣,=+a,结合e=,b2+c2=a2,解得m=﹣c,n=2a,即为F'(﹣c,2a),则|F'F1|=2a.故直线l:y=ex+a上的点到椭圆C两焦点距离和的最小值为2a.18.如图,,点O处为一雷达站,测控范围为一个圆形区域(含边界),雷达开机时测控半径r随时间t变化函数为r=3t km,且半径增大到81km 时不再变化.一架无人侦察机从C点处开始沿CD方向飞行,其飞行速度为15km/min.(Ⅰ) 当无人侦察机在CD 上飞行t 分钟至点E 时,试用t 和θ表示无人侦察机到O 点的距离OE ;(Ⅱ)若无人侦察机在C 点处雷达就开始开机,且θ=,则雷达是否能测控到无人侦察机?请说明理由.【考点】解三角形的实际应用. 【分析】(I )在△OCE 中,CE=15t ,使用余弦定理表示出OE ;(II )令f (t )=OE 2﹣r 2,通过导数判断f (t )的单调性计算f (t )的最小值,判断OE 与测控半径r 的大小关系. 【解答】解:(I )在△OCE 中,CE=15t ,OC=90,由余弦定理得OE 2=OC 2+CE 2﹣2OC •CEcos θ=8100+225t 2﹣2700tcos θ. ∴OE=.(II )令f (t )=OE 2﹣r 2=225t 2﹣1350t +8100﹣9t 3,令r=3t =81,解得t=9.∴0≤t ≤9 ∴f ′(t )=﹣27t 2+450t ﹣1350=﹣27(t ﹣)2+1875﹣1350<0.∴f (t )在[0,9]上是减函数.f (9)=225×92﹣1350×9+8100﹣9×93>0. ∴当0≤t ≤9时,f (t )>0,即OE >r . ∴雷达不能测控到无人侦察机.19.已知数列{a n }满足.数列{a n }前n 项和为S n .(Ⅰ) 求数列{a n }的通项公式;(Ⅱ)若a m a m +1=a m +2,求正整数m 的值; (Ⅲ)是否存在正整数m ,使得恰好为数列{a n }中的一项?若存在,求出所有满足条件的m 值,若不存在,说明理由. 【考点】数列的求和;数列递推式.【分析】(Ⅰ)化简可得数列{a n }的奇数项构成以1为首项,2为公差的等差数列,数列{a n }的偶数项构成以2为首项,3为公比的等比数列,从而写出通项公式;(Ⅱ)分类讨论即方程的解;=3m﹣1﹣1+m2,从而可得(Ⅲ)化简S2m=1+2+3+6+…+2m﹣1+2•3m﹣1=3m﹣1+m2,S2m﹣1=1+,从而讨论求值.【解答】解:(Ⅰ)∵,∴数列{a n}的奇数项构成以1为首项,2为公差的等差数列,数列{a n}的偶数项构成以2为首项,3为公比的等比数列,故a n=;=m•2•m﹣1=m+2,(Ⅱ)若m为奇数,则a m a m+1无解;=(m+1)2•m﹣2=2•m,若m为偶数,则a m a m+1即=2,解得,m=2;综上所述,m=2;(Ⅲ)由题意知,S2m=1+2+3+6+…+2m﹣1+2•3m﹣1=(1+3+5+…+2m﹣1)+(2+6+18+…+2•3m﹣1)=•m+=3m﹣1+m2,=1+2+3+6+…+2m﹣1S2m﹣1=(1+3+5+…+2m﹣1)+(2+6+18+…+2•3m﹣2)=•m+﹣2•3m﹣1=3m﹣1﹣1+m2,故==1+,若m=1,则=3=a3,若=1时,即m=2时,=2=a2,所有满足条件的m值为1,2.20.已知函数f(x)=xlnx﹣ax2+a(a∈R),其导函数为f′(x).(Ⅰ)求函数g(x)=f′(x)+(2a﹣1)x的极值;(Ⅱ)当x>1时,关于x的不等式f(x)<0恒成立,求a的取值范围.【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的极值.【分析】(Ⅰ)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间,从而求出函数的极值即可;(Ⅱ)求出函数的导数,通过讨论a的范围,求出函数的单调区间,从而求出满足条件的a的范围即可.【解答】解:(Ⅰ)由题知x>0,f'(x)=lnx﹣2ax+1,则g(x)=f'(x)+2a(x﹣1)=lnx﹣x+1,,当0<x<1时,,g(x)为增函数;当x>1时,,g(x)为减函数.所以当x=1时,g(x)有极大值g(1)=0,g(x)无极小值.(Ⅱ)由题意,f'(x)=lnx﹣2ax+1,(ⅰ)当a≤0时,f'(x)=lnx﹣2ax+1>0在x>1时恒成立,则f(x)在(1,+∞)上单调递增,所以f(x)>f(1)=0在(1,+∞)上恒成立,与已知矛盾,故a≤0不符合题意.(ⅱ)当a>0时,令φ(x)=f'(x)=lnx﹣2ax+1,则,且.①当2a≥1,即时,,于是φ(x)在x∈(1,+∞)上单调递减,所以φ(x)<φ(1)=1﹣2a≤0,即f'(x)<0在x∈(1,+∞)上成立.则f(x)在x∈(1,+∞)上单调递减,所以f(x)<f(1)=0在x∈(1,+∞)上成立,符合题意.②当0<2a<1,即时,>1,,若,则φ'(x)>0,φ(x)在上单调递增;若,则φ'(x)<0,φ(x)在上单调递减.又φ(1)=1﹣2a>0,所以φ(x)>0在上恒成立,即f'(x)>0在上恒成立,所以f(x)在上单调递增,则f(x)>f(1)=0在上恒成立,所以不符合题意.综上所述,a的取值范围.三.附加题部分【选做题】(本题包括A、B、C、D四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答.若多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)A.[选修4-1几何证明选讲](本小题满分10分)21.若AB为定圆O一条弦(非直径),AB=4,点N在线段AB上移动,∠ONF=90°,NF与圆O相交于点F,求NF的最大值.【考点】与圆有关的比例线段.【分析】由NF=,线段OF的长为定值,得到需求解线段ON长度的最小值,由此能求出结果.【解答】解:∵ON⊥NF,∴NF=,∵线段OF的长为定值,即需求解线段ON长度的最小值,弦中点到圆心的距离最短,此时N为BE的中点,点F与点B或E重合,∴|NF|max=|BE|=2.B.[选修4-2:矩阵与变换](本小题满分10分)22.已知矩阵,若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为=,属于特征值1的一个特征向量为=.求A的逆矩阵.【考点】特征向量的意义.【分析】根据矩阵特征值和特征向量的性质代入列方程组,求得a、b、c和d的值,求得矩阵A,丨A丨及A*,由A﹣1=×A*,即可求得A﹣1.【解答】解:矩阵A属于特征值6的一个特征向量为=,∴=6,即=,属于特征值1的一个特征向量为=.∴=,=,∴,解得:,矩阵A=,丨A丨==6,A*=,A﹣1=×A*=,∴A﹣1=.C.[选修4-4:坐标系与参数方程](本小题满分0分)23.过点P(﹣3,0)且倾斜角为30°的直线和曲线ρ2cos2θ=4相交于A、B两点.求线段AB 的长.【考点】简单曲线的极坐标方程.【分析】过点P(﹣3,0)且倾斜角为30°的直线的参数方程为:(t为参数).曲线ρ2cos2θ=4即ρ2(cos2α﹣sin2α)=4,把y=ρsinθ,x=ρcosθ代入化为直角坐标方程.把直线参数方程代入可得:t2﹣6t+10=0,利用|AB|=|t1﹣t2|=即可得出.【解答】解:过点P(﹣3,0)且倾斜角为30°的直线的参数方程为:(t为参数),曲线ρ2cos2θ=4即ρ2(cos2α﹣sin2α)=4化为x2﹣y2=4,把直线参数方程代入可得:t2﹣6t+10=0,∴t1+t2=6,t1t2=10.∴|AB|=|t1﹣t2|===.D.[选修4-5:不等式选讲](本小题满分0分)24.设x,y,z∈R+,且x+y+z=1,求证:.【考点】不等式的证明.【分析】由x,y,z∈R+,且x+y+z=1,可得+≥2=2x,同理可得+≥2y, +≥2z,累加即可得证.【解答】证明:由x,y,z∈R+,且x+y+z=1,可得+≥2=2x,同理可得+≥2y,+≥2z,三式相加,可得+++x+y+z≥2(x+y+z),即为++≥x+y+z,则++≥1成立.四.[必做题](第25题、第26题,每题10分,共20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)25.一个袋中有若干个红球与白球,一次试验为从中摸出一个球并放回袋中,摸出红球概率为p,摸出白球概率为q,摸出红球加1分,摸出白球减1分,现记“n次试验总得分为S n”.(Ⅰ)当时,记ξ=|S3|,求ξ的分布列及数学期望;(Ⅱ)当时,求S8=2且S i≥0(i=1,2,3,4)的概率.【考点】离散型随机变量的期望与方差;列举法计算基本事件数及事件发生的概率;离散型随机变量及其分布列.【分析】(Ⅰ)当时,ξ=|S3|的可能取值为1,3,分别求出相应的概率,由此能求出ξ的分布列和Eξ.(Ⅱ)由题意前8次试验5次摸到红球,3次摸到白球,并且满足下列条件:若第一次和第三次摸到红球,其余六次可任意有3次摸到红球,另3次摸到白球;若第一次和第二次摸到红球,第二次摸到白球,则后五次可任意三次摸到红球,另两次摸到白球.由此能求出S8=2且S i≥0(i=1,2,3,4)的概率.【解答】解:(Ⅰ)当时,ξ=|S3|的可能取值为1,3,P(ξ=1)=+=,P(ξ=3)==,∴ξ的分布列为:ξ 1 3PEξ==.(Ⅱ)∵,S8=2且S i≥0(i=1,2,3,4),∴前8次试验5次摸到红球,3次摸到白球,并且满足下列条件:若第一次和第三次摸到红球,其余六次可任意有3次摸到红球,另3次摸到白球,若第一次和第二次摸到红球,第二次摸到白球,则后五次可任意三次摸到红球,另两次摸到白球,∴S8=2且S i≥0(i=1,2,3,4)的概率:p=()•()5•()3=.26.数列{a n}各项均为正数,,且对任意的n∈N*,有.(Ⅰ)求证:;(Ⅱ)若,是否存在n∈N*,使得a n>1,若存在,试求出n的最小值,若不存在,请说明理由.【考点】数列递推式.【分析】(1)把已知数列递推式取倒数,可得,然后利用累加法证得答案;=a n+a n2>a n,然后利用放缩法得a1<a2<…a2018(2)把代入已知递推式,得a n+1<1<a2018<a2019<…,从而说明存在n∈N*,使得a n>1,且n的最小值为2018.【解答】(1)证明:由,得,即,∴,,…,累加得:,即,∵a n>0,∴;∴数列a n单调递增,=a n+a n2>a n,(2)解:当时,a n+1得,=a n+a n2,得由a n+1,∴,∵a i>0(i=1,2,…,2018),∴,则a2018<1;又,∴×2018=1.即a2018>1.即数列{a n}满足a1<a2<…a2018<1<a2018<a2019<…,综上所述,存在n∈N*,使得a n>1,且n的最小值为2018.2018年10月17日。

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