第五章第二节等差数列及其前n项和

第五章第二节等差数列及其前n项和
课下练兵场
、选择题
1. (20佃福建高考)等差数列｛a n｝的前n项和为S n,且S3= 6, a3= 4,则公差d等于()
5 A.1 B.3 C.2 D.3
解析：T S3=03! = 6,而a3= 4, a t= 0,
2
...d= =2.
2
答案：C
2. 已知等差数列｛a n｝满足a2+ a4= 4, 83+ 85= 10,则它的前10项的和S!°= ( )
A.138
B.135
C.95
D.23
解析：T(a3+ a5)—(a2+ a4)= 2d= 6,二d= 3, a i = —4,
10 （10-1）d = 95.
= 10a!+
2
答案：C
3.设命题甲为"a, b, c成等差数列”，命题乙为"b+b= 2”，那么
A.甲是乙的充分不必要条件
B.甲是乙的必要不充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲是乙的既不充分也不必要条件
解析：
由.+ . = 2，可得a+ c= 2b,但a、b c均为零时，a、b、c成等差数列, b b
但b+討2・
答案：B
2
解析:
a n +
1
a n
1
a n +
2
1 a n +
2
1 =丄_丄 a n +
1
a n +1 a n
4.数列｛a n ｝中，a 2= 2, a 6= 0且数列｛
答案：A
12,则数列｛|a n |｝的前18项和T 18的值是 （ ）
A.24 解析：
B.48
C.60
D.84
由 a 1> 0 , a 10 an V 0 可知 d V 0 , a 1°
> 0 , an V 0 , 二「8=比+ …+ a 1° — a 11—…—色8 = S 1° — (S 18 — S
1o )= 60.
答案：C
大的是
解析：由于 S 15=佃心1
—a.15) = 15a 8> 0 ,
2
15(a 1 a 16)
= 8(a 8 + a 9)v 0,
所以可得a 8> 0, a 9< 0. 这样 S > 0 , S > 0,-
a 1 a 2
答案：B 二、填空题
项 a n = _________ Ai
B.1
C .1
D.1
1
解析：设数列｛——
｝的公差为
a n +1
d ,由 4d =—
a
6
+1
1 2*,解得 1
a 4=
2.
aT7｝是等差数列, 5.在等差数列 ｛a n ｝中，a 1 >0, a 1o anV 0,若此数列的前
10 项和 S io = 36 , 前18项和S i8 =
6.在等差数列｛a n ｝中，其前n 项和是S n ,若S 15 > 0 ,弘< 0,则在 色，
S 2 … a 2
S 15
a
15
中最
A.§
B.鱼
a 8
c.鱼 a 9
4 a
15
而 S 1V S 2V …V S 8, a 1 > a ? > …・ > a $,
a 2
鱼中最大的是§.
a
15
a
8
,>0,鱼 V 0,
a
8
a
9
包 V 0, •-
a 10
7.（20佃广州模拟）在数列｛a n ｝中，若
a 1= 1, a 2= , —=—+ a n +1 a n
，则该数列的通
1 1 1 1
• ｛/为等差数列•又a ； =1, d = a 2
解析：T {a n } , {b n }为等差数列,
a 9
a 3 a 9 a 3 a 9+ a 3 2a 6
+ = —+ —= =— b 5 + b y b 8 + b 4 2b 6 2b 6 2b 6 2bV
..S 11 a 1+ an _ 2a 6 2 X11 — 3_ 19 • Tn _ "+ bn _ 2b 6— 4X11 — 3— 41,
答案：19
41
9. 已知数列｛a n ｝是等差数列，若它的前n 项和S n 有最小值，且些<—1,则使S n > 0成立 的
a 10
最小自然数n 的值为 ____________ .
解析：由已知得，a 1< 0, d > 0, a 10 v 0, a )1 > 0, a1 + a 佃 v 0, a 10 + an > 0 ,•• a t + a ?。

> 0, • S 19v 0, S z 0 > 0,故 n = 20. 答案：20 三、解答题
10. (2019全国卷n )已知等差数列｛a n ｝中，a 3a 7 = — 16, a 4+ a 6= 0,求®｝的前n 项和S n .
解：设｛a n ｝的公差为d,贝y
(a 1 2d)(a 1 6d) - -16,
a 1 3d 印 5d = 0,
即 a ； 8da 12d 2 二-16,
~ -4d.
解得…或
a ^8,
Id = 2
I d = -2.
因此 S n =— 8n + n(n — 1)= n(n — 9)，或 S n = 8n — n(n — 1) =—n(n — 9).
2
11. 已知数列｛a n ｝的前n 项和S n = 25n — 2n .
a 厂1,
1 ar n ，
1
•-an
8.设等差数列 Q pH 2
{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n 、T n ，若对任意自然数 n 都有s
r=
-------------------- 3，则 I n 4n — 3 b 5T b 7+
b 8+ b 4
a 3
的值为
a 3 19 a 9 计
b 5 + b z b 8 + b 4 41.
(1)求证：｛ a n ｝是等差数列；
⑵求数列｛|a n |｝的前n 项和T n .
解：(1)证明：① n = 1 时，a 1= S i = 23.
②n > 2 时，a n = S n — S n -1 = (25n — 2n )- [25(n — 1)- 2(n — 1) ] = 27-4n ,而 n = 1 适合该式. 于是｛a n ｝为等差数列.
27
⑵因为 a n = 27 — 4n ,若 a n >0,贝V nv —,
所以a n =』
a n
(1 w n W 6) -a n (n > 7)
,
当 1w n w 6 时，T n = a 1 + a ? +…a n = 25n — 2n ?, 当 n 》7 时，T n = a 1 + a ?+…+ a g — (a 7+ a $+…+ a n )
2
=S 6— (S n — S g ) = 2n — 25n + 156, 综上所知25n 2n 2
2n 2
- 25n +156
2
12.(2019 海淀模拟)已知数列｛a n ｝的前 n 项和为 S n , a 1= 1, nS n +1 — (n + 1)S n = n + cn(c € R , n = 1,2,3…)，且S 1,乎，鲁成等差数列. (1)求c 的值；
⑵求数列｛a n ｝的通项公式.
解：(1) •/ nS n +1 — (n + 1)S n = n 2+ cn(n = 1,2,3,…),
2
Si +1 S n n + cn
:n +1—7 = n^+?n =q,2'3’ …).
.1 + c = 4+ 2c …2 = 6 c = 1.
⑵由⑴得n +l —半=1(n = 1,2,3,…). 二数列｛半｝是首项为¥ 公差为1的等差数列.
S n S 1
."=T+ (n — 1) 1 = n. n 1 …S n = n .
当 n 》2 时，a n = S n — S n -1= n — (n — 1) = 2n — 1. 当n = 1时，上式也成立. a n = 2n — 1(n = 1,2,3,…).
(1 w n w 6)
(n 》7)
T S 1,寮鲁成等差数列,
S 2 S 1 S 3 S 2
2 — 1 =
3 — 2.。