灰度图像的形态学运算

6. 灰度图象的形态学运算
与卷积、中值滤波的比较（邻域运算）图象1,0),,(-≤≤N y x y x I 模板m j i j i T ≤≤,0),,(， 1．卷积（相关）：加权平均（反折、移动、加权平均）),(j i T 可取任意数。

2．中值滤波：比较选择（移动、排队、选中） 3. 二值形态学 I(x,y), T(i,j)为 0/1图象Θ
腐蚀[]),(&),(),)((),(0,j i T j y i x I AND y x T I y x E m
j i ++=Θ==
4． 灰度形态学 T(i,j)
可取10以外的值 腐蚀：[]),(),(min ),)((),(1
,0j i T j y i x I y x T I y x E m j i -++=Θ=-≤≤
膨胀：[]),(),(max ),)(()
,(1
,0j i T j y i x I y x T I y x D m j i +++=⊕=-≤≤
6 形态学
问题1 木匠活 问题2 豆子和苹果
不同大小颗粒数目 概念：（集合）
对象（Object ）X ；结构元素（Structure Element ）：B 关系：
包含于 include in 击中hit 击不中miss
平移
{}y x U B B
y x +=∈
对称集
{}y U B B
y -=∈∨
形态运算（p94~106,p160~165） problems: 平滑凸起和凹陷 Object X
B
B
B
Z Z
Z
Structure element 1B
2B
1．腐蚀Erosion: 剥去一层（皮）：1B 删两边 2B 删右上 2．膨胀Dilation:
添上一层（漆）：1B 补两边 2B 补左下 对偶关系 用途？ 自学：
（1）对偶性)()(B X B X C C Θ=⊕ （2）B 对称性：∨
⊕=⊕B X B X
B 不对称性： ∨
⊕≠⊕B X B X （3）B X ⊕和X B ⊕的关系 如何计算B X Θ？
j)y i,I(x &j)B(i, ),(++=AND y x E 或
⎩⎨
⎧=<=M y)S(x,
1M y)S(x,
0),(y x E M 为j)B(i,的点数。

腐蚀运算
腐蚀运算也可以用平移X 来说明 [证]
{}X B x B X x x ⊆=Θ∈:x 若在B X Θ中，则对所有B y ∈都有x B
在
X 中
X y x B y ∈+∈∀⇔, 对B 中任意点y ，平移x 后仍在X 中 y X x B y -∈∈∀⇔, X B y ,∈∀平移y -后要满足y X x -∈
I I ∨
∈∈-∈⇔∈⇔B
y y B
y y X x X x y
X
-是X 平移y -后的结果
膨胀运算
用X 的平移来说明B X ⊕
上式表示B X ⊕是所有满足以下条件的点'
x 的集合:在B 中存在一点y ,而且在X 中存在一点x ，使得y x x +='
. 在腐蚀和膨胀运算中存在对偶原理，即 证： 上式右边等于
= B X ⊕
3．开open ：B B X ⊕Θ=)(X B ？
1B 去掉小刺，但未去掉小桥 2B ：有位移
· —— 最终结果的象素； o —— 原始的象素，但已不在最终的结果中，
∨
⊕Θ=B B X )(X B 则可消除位移
1B 去掉小刺，但未去掉小桥
2B ：去掉小刺，和小桥
· —— 最终结果的象素； o —— 原始的象素，但已不在最终的结果中， 4．闭close ：∨
Θ⊕=B B X X
B
)(
1B : 保持了小刺，填满了小桥，2B : 保持了小刺，填满了小桥,
· —— 最终结果与原始象素相重的位置； o —— 最终结果，但原始无象素的位置；
x x 21
x x 2
1
—— 中间结果的象素位置 自学：
（1）对偶性：B C C B X X )()(=
等幂性：用B 开X 已删去能去掉的小桥、小刺，再做一次B X 不会变。

5．颗粒分布函数 B ：半径为1的结构元素 λB ：半径为λ的结构元素 B) ,(λλX OPEN X B =去掉半径 <λB 的颗粒
)(B X A λ面积（点数）
6．Morphology 小结
1．通过物体（对象）和结构元素的相互作用，得到更本质的形态（shape ） (1)图象滤波
(2)平滑区域的边界
(3)将一定形状施加于区域边界
(4)描述和定义图象的各种几何参数和特征（区域数、面积、周长、连通度、颗粒度、骨架、边界）
2．形态运算是并行运算 3．细化
区域或边界变为1个象素的宽度，但它不破坏连通性 四方向细化算法：逻辑运算（可删除条件） 形态运算是否可用于细化？
(1)腐蚀：收缩（去掉边缘的点）何时结束？能否保证连通性？ (2)开：去毛刺，能否细化（去掉尺寸小于结构元素的块） =》条件运算 Hit Miss Transform 什么样的条件下要删去一个点。

什么样的条件下要增加一个点。

7．HMT(Hit-Miss Transform:击中——击不中变换)
条件严格的模板匹配
),(21T T T =模板由两部分组成。

1T ：物体，2T ：背景。

性质：
（1）φ=2T 时，1T X T X Θ=⊗ （2）)()()(21T X T X T X C Θ⋂Θ=⊗
8．细化/粗化
（1）细化（Thin ）
去掉满足匹配条件的点。

系统细化{}n B oB XoB T Xo Λ))(((21= i B 是1-i B 旋转的结果（90︒，180︒，270︒）共8种情况
适于细化的结构元素
问题：用i I ，i L 是否包含所可删除的情况？是否包含端点？ （2）粗化（Thick ）
用(){}0,01=T (){}0,12=T 时，X X X T X =⋃=• 故要选择合适的结构元素，如(){}0,11-=T ,(){}0,02=T
对偶性：()*T X T X C
C
ο=•（验证一下）
where
),(*12T T T =
when
),(21T T T =
X 22
1
1
1
2
3
T
⨯
XoT
X
⨯
X X ⊗T
X ΘT
T ⊕
9．边界和骨架 Boundary Skeleton 其中
用不同大小的结构元素nG 逐步对X 腐蚀，直到
φ=ΘG n X max ，每次腐蚀得到宽度
和nG 成正比的区域段的骨架。

P162-163页每种运算的例子
问题：p163页骨架不连通了，而原区域是连通的。

原因：n=0时1⨯1，n=1时3⨯3，n=2时5⨯5，迭代运算简化运算 解决：结构元素：i ⨯i 的全方形结构元素（1⨯1，2⨯2…） （图略）
用⨯标记腐蚀掉的点，（作完一次擦掉） 用•表示骨架点 用 表示原点。