大学课程大一数学线性代数上册23.线性变换的核、值域、特征值与特征向量课件

定义2 设 是 V 的线性变换, 所有被 映成零向量的 向量的集合称为 的核, 记为 ker.
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定理3 ker 是 V 的子空间.
证明 Q 0 0,ker ,, ker , k, l F,
有 (k l ) k l 0 + 0 0,
k l ker .
W
dim ker 称为 的零度.
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二、线性变换的特征值与特征向量
定义5 设 L(V), 若存在数 及非零向量 , 使得
= ,
(1)
则称 是 的特征值, 是 的属于特征值 的特征向量.
dimV dimker dimIm. W
5
注1 任意给定 V 中元素 , 若存在 使 = , 则
1( ) ker { 0, V}
所以 是单射 ker = {0} dimker = 0
dimIm = dimV Im =V
是满射 是双射.
注2 因为 dimV dimker dimIm (定理5)
定理4 设 L(V ), 1,L ,n 是 V 的一组基, A 是 在这组 基下的矩阵, 则 (1) ker X N (A).
证明 (1,L ,n ) X V , 有 (1,L , n ) AX , Q 1,L , n 为 V 的一组基, 所以 ker X N (A).
(2) dim ker dim N (A).
为 W 的一组基, 扩充为 V 的一组基 1,L ,k ,k1,L ,n , 则 (1) W 是 的不变子空间的充分必要条件为 在 V 的基
1,L
,k ,k1,L
,n
下的矩阵为
A
A1 0
A2 A3
.
(2) 当(1)成立时, 有 W 在 1,L ,k 下的矩阵为 A1, 且 A2 = 0
L(k1,L ,n ) 也是 不变子空间.
证明 ker X N(A). ker 与N(A)同构，因此
dim ker dim N (A).
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已知线性空间 V 的一组基 1,L ,n, 线性变换 在这组基下的矩阵为 A, 求 ker 的基的方法:
先求出 N(A) 的一组基础解系, 对应的 V 中向量即为所求.
1 1 0
例2
设 L(R3) 在基 e1, e2,e3
下的矩阵为
2
求 ker 的一组基.
0
2 0 , 0 1
1 1 0ห้องสมุดไป่ตู้1 1 0
解
2
2
0 0 0 1，
0 0 1 0 0 0
故 e1-e2 为 ker 的一组基.
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定理5 设 是 V 的线性变换, 则 dimV dimker dimIm.
证法一 由定理4(2)有 dim ker dim N(A), 设 dimV n, 则 dim ker dim N(A) n r(A) dimV dim Im. 证法二 设 dim ker r, 1,L , r 为 ker 的一组基, 把它扩 充成 V 的一组基 1,L ,r ,r1,L ,n , 由定理2(1)有 Im L(1,L ,n ) L(r1,L ,n ). 往证 r1,L ,n 线性无关, 设 kr1r1 L knn 0, 则 (kr1r1 L knn ) 0, 所以存在 k1, k2 ,L , kr F , 使得 kr1r1 L knn k11 L krr . Q 1,L ,r ,r1,L ,n 线性无关, 所以 k1 k2 L kn 0,dim Im n r.
线性代数（1）
第二十三讲 清华大学数学科学系
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第二十三讲 线性变换的核、值域、特征值与特征向量 一、线性变换的核、值域 定义1 设 是 V 的线性变换, V 中向量在 的作用下全体 象的集合称为 的值域, 记为 Im = V = {|V}. 定理1 Im 是 V 的子空间.
定理2 设 L(V ), 1,L ,n 是 V 的一组基, A 是 在这组 基下的矩阵, 则 (1) Im L(1,L ,n ), (2) dim Im r(A).
dim(Im ker ) dim(Im ker )
V Im ker dim(Im ker ) dimV
dim(Im ker ) 0
Im ker {0}
V ker I m
例3 在Fn[X] 上定义微分运算如下：
f ( X ) Fn[ X ], f ( X ) f ( X ), ker F ,
Im Fn1[ X ], dim Im dim ker n,
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dim(Im ker ) n 1.
例4 设 n 维线性空间 V 的线性变换 是幂等变换, 即2= ，
证明 在 V 的某组基下的矩阵为 Ir
0
.
证明 V, (-) = - = 0, 所以 {-|V} ker,
反之, ker, 有 = 0, 所以 {-|V } ker .
推论 设 是 V 上的线性变换, 则 V 可以分解为若干 不变
子空间的直和 为 在 V 的某组基下的矩阵为准对角阵.
在例4中 n 维线性空间 V 的幂等线性变换 在 V 一组基下
的矩阵 A 是幂等方阵, ker , I m 均为 的不变子空间, 且
ker 0，零变换, Im , 恒等变换.
所以 {-|V } = ker . V Im ker ,
由本讲定理5可知 V ker I m. 设 1,L ,r
为Im 的一组基, r1,L ,n 为ker 的一组基, 则
1,L ,r ,r1,L ,n 为 V 的一组基, Q i i , i 1,L , r;
i
0,
r 1 i
n.
在 V 的这组基下的矩阵为
Ir
0 .
定义3 设 是 V 上的线性变换, W 是 V 的子空间, 如果对 W
中任一向量 , 有 属于 W, 则称 W 为 的不变子空间.
显然 {0}, V, Im 和 ker 均为 不变子空间.
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定义4 设 W 是 的不变子空间, 则 1 : W W , a 是 W 上的线性变换, 称为 在 W 上的限制, 记为1 W . 定理6 设 是 V 上的线性变换, W 是 V 的子空间, 1,L ,k