概率论数理统计第16讲 1王
概率论与数理统计课件ppt
操作步骤
计算相关系数矩阵、求特征值和特征 向量、确定主成分个数。
实例
分析消费者对不同品牌手机的偏好。
聚类分析
聚类分析
常见方法
目的
实例
将类似的对象归为同一 组，即“簇”，不同簇
的对象尽可能不同。
层次聚类、K均值聚类、 DBSCAN等。
揭示数据的内在结构， 用于分类、猜测和决策
用数学符号表示一个随机实验的结果 。
随机变量可以取到任何实数值，且取 每个结果的概率为一个确定的函数。
离散型随机变量
随机变量可以取到所有可能的结果， 且取每个结果的概率为一个确定的数 。
随机变量的函数变换
线性变换
对于随机变量X和常数a、b，有 aX+b的散布与X的散布不同。
非线性变换
对于随机变量X和函数g(x)，g(X)的散 布与X的散布不同。
置信区间
根据样本数据对总体参数进行估计的一个范围，表示我们对 估计的可靠程度。
假设检验与置信水平
假设检验
通过样本数据对总体参数或散布进行 假设，然后根据检验结果判断假设是 否成立。
置信水平
假设检验中，我们相信结论正确的概 率，通常表示为百分比。
05 数理统计的应用
方差分析
方差分析（ANOVA）
随机进程在通讯、气象、物理等领域有广泛应用。
马尔科夫链蒙特卡洛方法
01
马尔科夫链蒙特卡洛方法是一种 基于蒙特卡洛模拟的统计推断方 法，通过构造一个马尔科夫链来 到达近似求解复杂问题的目的。
02
马尔科夫链蒙特卡洛方法在许多 领域都有应用，如物理学、化学 、经济学等。
04 数理统计基础
样本与样本空间
概率论与数理统计_16_指数分布
x0 确是一密度函数． x0
指数分布的累积分布函数（CDF）
若随机变量 X 服从参数 指数分布， 则 X 的分布函数为
0 F x x 1 e
x0 x0
对应模型的特点：无记忆性。 可证明，(课本P46)
P{X s t | X s} P{X t} X是某一元件的寿命。
1 e ( α β ) z , z 0 , z0, 0 ,
Z min X ,Y 的概率密度为
α β e ( α β ) z , z 0 , z fmin z Fmin z0, 0 ,
(ii) 并联的情况 由于当且仅当系统 L1 , L都损坏时 , 系统 L 才停止 2 工作, 所以此时 L 的寿命为
1 e αx , x 0 , FX x 故 x0, 0 , 类似地 , 可求得 Y 的分布函数为 1 e βy , y 0 , FY y y0, 0 ,
x0
x
x
于是 Z min X ,Y 的分布函数为
Fmin z = 1-[1-FX(z)][1-FY(z)]
z
O
z
y
当 z>0 时,
f Z z αe
z 0
α z y
βe βy dy
f Z z αe
z 0
α z y
βe βy dy dy
αβe
αz
z
0
e
β α y
αβ (e αz e βz ). βα
解： X 的密度函数为
x 1 10 e f x 10 0
概率论与数理统计教程-第五版-课件
会出现.
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讲解：XX
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三、样本空间 样本点
定义 随机试验的每一个可能的结果，称 为基本事件，随机试验的所有可能的结果的 全体称为样本空间，用或S表示。则中的 点就是基本事件，也称作样本点，常用w表 示。
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则称 A 与B 为互逆(或对立)事件. A 的逆记
作 A.
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事件间的运算规律
设 A, B, C 为事件, 则有
(1) 交换律 A B B A, AB BA. ( AB)C A(BC).
(2) 结合律 ( A B) C A (B C),
(3) 分配律
讲解：XX
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第一章 事件与概率
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讲解：XX
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1.1 随机事件和样本空间
一、随机现象 二、随机试验 三、样本空间 样本点 四、随机事件的概念 五、随机事件的关系
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一、随机试验
1.必然现象（确定） 2.偶然现象（不确定）随机
说明：
1.随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联系 , 其数量关系无法用函数加以描述.
2.随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然性, 但在大量重复试验或观察中, 这种结果的出现具有 一定的统计规律性 , 概率论就是研究随机现象这 种本质规律的一门数学学科.
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二、随机试验
在概率论中,把具有以下三个特征的试验称 为随机试验.
1. 可以在相同的条件下重复地进行; 2. 每次试验的可能结果不止一个,并且能事
概率论课件第十六次课
XY 0.005
Cov X , Y XY D( X ) D(Y ) 0.01
D X Y D X D Y 2Cov X , Y
1 4 0.02
4.98
则 P{ X Y 6} P{ X Y 0 6}
2 2
( 2)
2
2 分布的概率密度: 分布的密度函数为
n x 1 1 n2 x 2 e 2，x 0 f ( x ) 2 ( n 2) ， 0 ，x 0
其中( x ) e t
0
t x 1
dt，( x 0)称为伽马函数.
( 3)有关 分布的一些结论 :
一、复习： 1、契比雪夫不等式可以用来干什么？ 设随机变量X和Y的数学期望都是2，方差分 别为1和4，而相关系数为0.005，则根据切比雪夫 不等式求： P{ X Y 6}
解： E X E Y 2, D X 1, D Y 4,
E X Y E X E Y 0
第六章 样本及其分布
第一节 随机样本和统计量
一、总体、个体
1、总体： 研究的对象的某个(或某些)数量指标的 全体,称为总体(母体)， 它是一个随机变量(或多维随机变量).记为X . X的分布函数和数字特征称为总体的分布函数 和数字特征. 2、个体: 组成总体的每一个元素称为个体. 即总体的每个数量指标,可看作随机变量 X 的某个取值.用 X i 表示.
须考虑抽样方法.
最常用的一种抽样方法叫作“简单随机抽样” 它要求抽取的样本满足下面两点: 1) 代表性： X1, X2, …, Xn中每一个与所考察的总体 有相同的分布. 2) 独立性： X1, X2, …, Xn是相互独立的随机变量.
概率论与数理统计第一章(浙大第四版)ppt课件
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例：
概率论
一枚硬币抛一次
记录一城市一日中发生交通事故次数
记录一批产品的寿命x
记录某地一昼夜最高温度x，最低温 度y
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概率论
S={正面，反面}； S={0,1,2,…}； S={ x|a≤x≤b }
S={(x,y)|T0≤y≤x≤T1}；
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n—总试验次数。称 fn ( A) 为A
在这n次试验中发生的频率。
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例：
概率论
中国男子国家足球队，“冲出亚洲”
共进行了n次，其中成功了一次，在
这n次试验中“冲出亚洲”这事件发
生的频率为 1 n；
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概率论
某人一共听了16次“概率统计”课，其 中有12次迟到，记A={听课迟到}，则
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(二) 概率
概率论
定义1：fn ( A) 的稳定值p定义为A的概率，记为P(A)=p
定义2：将概率视为测度，且满足：
1。 P( A) 0
2。 P(S ) 1
3。 A1, A2,...,Ak ,...,Ai Aj （i j）,
P( Ai ) P( Ai )
（1）从袋中随机摸一球，记A={ 摸到红 球 }，求P(A)．
（2）从袋中不放回摸两球，记B={恰是一 红一黄}，求P(B)．
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概率论
解：(1)
S={1,2, ,8},A={1,2,3}
P
A
3 8
(2)P(B)
C31C51
概率论与数理统计笔记(重要公式)
r = A 中样本点数 / Ω 中样本点总数 n
= A 所包含的基本事件数 / 基本事件总数 条件概率:
对偶律： A B = A B , P ( AB ) 设 A, B 是两个事件， 且 P(B)>0， 称 P(A|B)= 为 贝叶斯公式: P( B) 在事件 B 发生条件下事件 A 发生的条件概率。显然， 当 P(A)>0 时，P(B|A)=
二项分布 X ~ B(n, p)： 指数分布 X ~ E(λ) 若随机变量 X 只取两个可能值 0, 1, …, n, 而 X 的分布律为 e x x 0 若随机变量 X 的概率密度为 f ( x) k k nk pk =P {X= xk }= Cn p q , k=0, 1, 2, …, n, x0 0
设 X 为离散型随机变量， 可能取值为 x1, x2, …, xk, … 且 P 概率密度的性质： (1) f(x)≥0 {X= xk }= pk, k=1, 2, …, 则称{pk}为 X 的分布律 表格形式: f ( x)dx =1 (2) X x1, x2, …, xk, … b P p1, p2, …, pk, … (3) P{a<X≤b}= F(b)-F(a)= f ( x)dx , a≤b a {pk}性质： (4) 设 x 为 f(x)的连续点，则 F’(x)存在，且 （1） pk≥0, k=1, 2, … F’(x)= f(x) （2） pk =1 均匀分布 X ~ U (a, b) k 1 若随机变量 X 的概率密度为 在求离散型随机变量的分布律时，首先要找出其所有可能 1 , a≤x≤b 的取值，然后再求出每个值相应的概率 ba f(x) = 在实际应用中，有时还要求“X 满足某一条件”这样事件的 概率， 求法就是把满足条件的 xk 所对应的概率 pk 相加可得 0, 其他 则称 X 服从区间[a,b]上的均匀分布，其分布函数为 其分布函数 F(x) = pk xk x 0, x≤a 0-1 分布： xa F(x) = , a<x<b 若随机变量 X 只取两个可能值 0, 1，且 ba P {X=1}=p, P{X=0}=q 1, x≥b 其中 0<p<1, q=1-p, 则称 X 服从 0-1 分布. X 的分布律为 设 X ~ U (a, b), a≤c<d≤b，即[a,b] [c,d]，则 X 0 1 d c P{c≤X≤d}= P q p ba
概率论与数理统计随机事件与概率条件概率与乘法公式
概率论与数理统计第1章随机事件与概率第4讲条件概率与乘法公式01 条件概率02 乘法公式本 讲 内容在解决许多概率问题时，往往需要在某些附加条件下世界万物都是互相联系、互相影响的，随机事件也不例?条件概率外.通事故发生的可能性明显比天气状况优良情况下要大得定程度的相互影响．多．在同一个试验中的不同事件之间，通常会存在着一例如，在天气状况恶劣的情况下交求事件的概率.概率，将此概率记作P(B|A).如在事件A 发生的条件下求事件B 发生的在100件产品中有72件为一等品，从中取两件产品，记A表示“第一件为一等品”，B表示“第二件为一等品”. 求P(B),P(B|A).Ὅ例1解由前例可知无论有放回抽样和无放回抽样都有（1）有放回抽样（2）无放回抽样独立性如何定义？.设A 、B 为两事件, P ( A ) > 0 , 则称为事件 A 发生的条件下事件 B 发生的条件概率.称为在事件B 发生的条件下事件A 的条件概率.同理Ὅ 定义Ὅ性质条件概率也是概率, 故概率的重要性质都适用于条件概率.例如：在100件产品中有72件为一等品，从中取两件产品，记A 表示“第一件为一等品”，B 表示“第二件为一等品”. Ὅ例2 2) 可用缩减样本空间法1) 用定义计算:P (A )>0A 发生后的缩减样本空间所含样本点总数在缩减样本空间中B 所含样本点个数无放回抽样Ὅ 计算.在全部产品中有4%是废品，有72%为一等品. 现从其中任取一件，发现是合格品，求它是一等品的概率.Ὅ例3解设A=依题意，P(A)=所求概率为P(B|A) .{任取一件为合格品}，B={任取一件为一等品}0.96,0.72.P(B)=利用事件的关系及概率性质公式求条件概率Ὅ例4设A，B，C 是随机事件，A与C互不相容，则.由条件概率的定义：若已知P(A), P(B|A)时, 可以反过来求P(AB).注乘法公式.某工厂有职工400名，其中男女职工各占一半，Ὅ例5男女职工中技术优秀的分别为20人和40人，从中任选一名职工，计算（1）该职工技术优秀的概率；（2）已知选出的是男职工，他技术优秀的概率.解设A表示“选出的职工技术优秀”，B表示“选出的职工为男性”，则:(1)利用古典概率有.(2)通过缩减样本空间，有.Ὅ例6某杂志包含三个栏目“艺术”（记为事件A）、“图书”（记为事件B）、“电影”（记为事件C），调查读者的阅读习惯有如下结果:试求解01 条件概率02 乘法公式本 讲 内容乘法公式推广ab -1ab O F (x )xb a 1xf (x )O盒中装有100个产品, 其中3个次品，从中不放回Ὅ例7地取产品, 每次1个, 求（1）取两次，两次都取得正品的概率;（2）取三次，第三次才取得正品的概率.解令A i为第 i 次取到正品（波利亚罐子--传染病模型）一个罐子中包含b 个白球和r 个红球. b 个白球, r 个红球Ὅ 乘法公式应用举例8随机地抽取一个球，观看颜色后放进行四次，试求第一、二次取到白 球且第三、四次取到红球的概率.回罐中，并且再加进c 个与所抽出 的球具有相同颜色的球.这种手续于是W 1W 2R 3R 4表示事件“连续取四个球，第一、二个是白球，第三、四个是红球. ”设W i =R j ==P (W 1)P (W 2|W 1)P (R 3|W 1W 2)P (R 4|W 1W 2R 3)P (W 1W 2R 3R 4)解1,2,3,4{第i 次取出是白球}，i =j ={第j 次取出是红球}，1,2,3,4记A=为了防止意外，在矿内同时装有两种报警系统(Ⅰ)和(Ⅱ)，每种系统单独使用时，系统(Ⅰ)和系统(Ⅱ)的有效概率分别为0.92和0.93，在系统(Ⅰ)失灵的情况下，系统(Ⅱ)仍有效的概率为0.85，求两个报警系统至少有一个有效的概率.Ὅ例9解报警系统至少一个有效”可表示为A ∪B ，由于“两个“系统(Ⅰ) 有效”，B=“系统(Ⅱ)有效”，且A 和 互斥，因此:学海无涯，祝你成功！概率论与数理统计。
《概率论与数理统计》浙江大学第四版课后习题答案-概率论第四版
概率论与数理统计习题答案第四版盛骤 (浙江大学)之阿布丰王创作浙大第四版（高等教育出版社）第一章概率论的基本概念1.[一] 写出下列随机试验的样本空间（1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（充以百分制记分）（[一] 1）n表小班人数（3）生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。
（[一] 2）S={10，11，12，………，n，………}（4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，分歧格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。
查出合格品记为“1”，查出次品记为“0”，连续出现两个“0”就停止检查，或查满4次才停止检查。
（[一] (3)）S={00，100，0100，0101，1010，0110，1100，0111，1011，1101，1110，1111，}2.[二] 设A，B，C为三事件，用A，B，C的运算关系暗示下列事件。
（1）A发生，B与C不发生。
A－(AB+AC)或A－(B∪C)（2）A，B都发生，而C不发生。
AB－ABC或AB－C（3）A，B，C中至少有一个发生暗示为：A+B+C（4）A，B，C都发生，暗示为：ABC（5）A，B，C S－(A+B+C)（6）A，B，C中未几于一个发生，即A，B，C中至少有两个同时不发生（7）A，B，C中未几于二个发生。
（8）A，B，C中至少有二个发生。
相当于：AB，BC，AC中至少有一个发生。
故暗示为：AB+BC+AC6.[三] 设A，B是两事件且P (A，P (B)=0.7. 问(1)在什么条件下P (AB)取到最大值，最大值是多少？（2）在什么条件下P (AB)取到最小值，最小值是多少？解：由P(A，P (B即知AB≠φ，（否则AB=φ依互斥事件加法定理，P(A∪B)=P (A)+P (B)=0.6+0.7=1.3>1与P (A∪B)≤1矛盾）.从而由加法定理得P (AB)=P (A)+P (B)－P (A∪B)(*)（1）从0≤P(AB)≤P(A)知，当AB=A，即A∩B时P(AB)取到最大值，最大值为P(AB)=P(A，（2）从(*)式知，当A∪B=S时，P(AB)取最小值，最小值为P(AB－。
概率论与数理统计答案 浙江大学 张帼奋 主编
第一章 概率论的基本概念注意： 这是第一稿（存在一些错误）1解：该试验的结果有9个：（0，a ），（0，b ），（0，c ），（1，a ），（1，b ），（1，c ），（2，a ），（2，b ），（2，c ）。
所以，（1）试验的样本空间共有9个样本点。
（2）事件A 包含3个结果：不吸烟的身体健康者，少量吸烟的身体健康者，吸烟较多的身体健康者。
即A 所包含的样本点为（0，a ），（1，a ），（2，a ）。
（3）事件B 包含3个结果：不吸烟的身体健康者，不吸烟的身体一般者，不吸烟的身体有病者。
即B 所包含的样本点为（0，a ），（0，b ），（0，c ）。
2、解 （1）AB BC AC 或ABC ABC ABC ABC ；（2）ABBCAC（提示：题目等价于A ，B ，C 至少有2个发生，与（1）相似）； （3）ABC ABC ABC ；（4）AB C 或ABC ；（提示：A ，B ，C 至少有一个发生，或者A B C ，，不同时发生）； 3（1）错。
依题得()()()()0=-+=B A p B p A p AB p ,但空集≠B A ，故A 、B 可能相容。
（2）错。
举反例 （3）错。
举反例（4）对。
证明：由()6.0=A p ,()7.0=B p 知()()()()()3.03.1>-=-+=B A p B A p B p A p AB p ,即A 和B 交非空，故A 和B 一定相容。
4、解（1）因为A B ，不相容，所以A B ，至少有一发生的概率为：()()()=0.3+0.6=0.9P A B P A P B =+(2) A B ， 都不发生的概率为：()1()10.90.1P A B P A B =-=-=；（3）A 不发生同时B 发生可表示为：A B ，又因为A B ，不相容，于是()()0.6P A B P B ==；5解：由题知()3.0=BC AC AB p ,()05.0=ABC P .因()()()()()ABC p BC p AC p AB p BC AC AB p 2-++= 得，()()()()4.023.0=+=++ABC p BC p AC p AB p故A,B,C 都不发生的概率为()()C B A p C B A p -=1()()()()()()()()[]ABC p BC p AC p AB p C p B p A p +++-++-=1 ()05.04.02.11+--= 15.0=.6、解 设A ={“两次均为红球”}，B ={“恰有1个红球”}，C ={“第二次是红球”} 若是放回抽样，每次抽到红球的概率是：810，抽不到红球的概率是：210，则 （1）88()0.641010P A =⨯=； （2）88()210.321010P B =⨯⨯-=（）；（3）由于每次抽样的样本空间一样，所以：8()0.810P C == 若是不放回抽样，则（1）2821028()45C P A C ==；（2）118221016()45C C P B C ==； （3）111187282104()5A A A A P C A +==。
概率论与数理统计书ppt课件
条件概率与独立性
CHAPTER
随机变量及其分布
02
随机变量的概念与性质
定义随机变量为在样本空间中的实值函数，其取值依赖于随机试验的结果。
随机变量
讨论随机变量的可数性、可加性、正态性等性质。
随机变量的性质
离散型随机变量的概念
定义离散型随机变量为只能取可数个值的随机变量。
离散型随机变量的分布
讨论离散型随机变量的概率分布，如二项分布、泊松分布等。
应用
中心极限定理及其应用
CHAPTER
贝叶斯推断与决策分析
07
贝叶斯推断的基本原理
金融风险管理
贝叶斯推断在金融风险管理领域有着广泛的应用，如信用风险评估、投资组合优化等。
医疗诊断
贝叶斯推断在医疗诊断方面也有着重要的应用，如疾病诊断、预后评估等。
机器学习与人工智能
贝叶斯推断在机器学习算法和人工智能领域中也有着广泛的应用，如朴素贝叶斯分类器、高斯混合模型等。
参数估计与置信区间
01
点估计
用单一的数值估计参数的值。
02
区间估计
给出参数的一个估计区间，通常包括一个置信水平。
比较两个或多个组的均值差异，确定因素对结果的影响。
方差分析
检验两个或多个组的方差是否相等。
方差齐性检验
研究变量之间的关系，并预测结果。
回归分析
假设检验与方差分析
CHAPTER
回归分析与线性模型
应用
在现实生活中，大数定律被广泛应用于保险、赌博、金融等领域，通过统计数据来预测未来的趋势和风险。
大数定律及其应用
在独立随机变量序列中，它们的和的分布近似于正态分布，即中心极限定理。这意味着，当样本量足够大时，样本均值近似于正态分布。
魏宗舒《概率论与数理统计》学习指导讲义
.
（1）由全概率公式：
.
（2）由贝叶斯公式： .
以上结果表明，这只次品来自第二家工厂的可能性最大.
【例8】一名工人照看 三台机床，已知在1小时内三台机床各自不需要工人照看的概率为 .求1小时内三台机床至多有一台需要照看的概率.
解：样本空间中所含的样本点数为 .
（1）该事件所含的样本点数是 ，故： ；
（2）在 个盒子中选 个盒子有 种选法，故所求事件的概率为： ；
（3）从 个球中取 个有 种选法，剩下的 个球中的每一个球都有 种放法，故所求事件的概率为： .
【例5】设事件 与 互不相容，且 ，求下列事件的概率： .
分析：按概率的性质进行计算.
解：（1） ；（2） ；（3） 或 ；（4） 或 ；（5） 或 ；
（6） 或 ；
（7） ；（8） .
【例3】把 个不同的球随机地放入 个盒子中，求下列事件的概率：
（1）某指定的 个盒子中各有一个球；
（2）任意 个盒子中各有一个球；
（3）指定的某个盒子中恰有 个球.
分析：这是古典概率的一个典型问题，许多古典概率的计算问题都可归结为这一类型.每个球都有 种放法， 个球共有 种不同的放法.“某指定的 个盒子中各有一个球”相当于 个球在 个盒子中的全排列；与（1）相比，（2）相当于先在 个盒子中选 个盒子，再放球；（3）相当于先从 个球中取 个放入某指定的盒中，再把剩下的 个球放入 个盒中.
（1）掷一棵骰子，出现奇数点.
（2）投掷一枚均匀硬币两次：
1）第一次出现正面；2）两次出现同一面；3）至少有一次出现正面.
概率论.pdf
考研数学问题咨询张伟老师新浪微博张伟老师仰望星空E-mail: zwpku@参考教材概率论与数理统计第四版（浙江大学主编）重要定理、性质、公式、结论经典例题、重要例题及不需要做的题目第一章概率论的基本概念（考小题）第一节随机试验（了解）第二节样本空间，随机事件（了解）第三节频率与概率（频率可以不用看，了解）第四节等可能概率（古典概论）（难点非重点，做一些基本题即可）第五节条件概率（重要，考小题为主，考大题有时会用到）第六节独立性（重要，考小题为主，大题经常会用到）第二章随机变量及其分布（至少考小题，考大题一定会用到）第一节随机变量（了解）第二节离散型随机变量及其分布律（重要，经常考）第三节随机变量的分布函数（重要，每年必考）第四节连续型随机变量及其概率密度（重要，每年必考）第五节随机变量的函数分布（重要，大题的命题点）第三章多维随机变量及其分布（考大题可能性极大）第一节二维随机变量（了解）第二节边缘分布（理解）第三节条件分布（理解）第四节概率独立的随机变量（重要，基本每年必考）第五节两个随机变量函数的分布（重要，大题的经典命题点）第四章随机变量的数字特征（重要）第一节数学期望（重要，每年必考）第二节方差（重要，每年必考）第三节协方差与相关系数（重要，经常考）第四节矩，协方差矩阵（矩，了解，协方差矩阵不用看）.第五章大数定律及中心极限定理(了解)第一节大数定律(了解,关注定律的前提条件与结论)第二节中心极限定理（了解，关注定理的前提条件与结论）考研数学问题咨询张伟老师新浪微博张伟老师仰望星空E-mail: zwpku@第六章样本及抽样分布（考小题为主）第一随机样本（了解，其中有重要概念，简单随机样本）第二直方图和箱线图（重要，考小题）第三抽样分布（重要，考小题）第七章参数估计（重要，考大题经典章节）第一节点估计（极其重要，矩估计：重点非难点，最大似然估计（重点且难点））第二节基于截尾样本的最大似然估计（不用看）第三节估计量的评选标准（数一重要，数三不用看）第四区间估计（数一理解，考的比较少）第五正态总体均值与方差的区间估计（数一理解，考的比较少）第六（０－１）分布参数的区间估计（不用看）第七单侧置信区间（理解，一般不考）（第四－第七，只有数一考，数三均不用看）第八章假设检验（理解，一般不考，只有数一有要求，数三不考）第一假设检验（理解）第二正态总体均值的假设检验（理解）第三正态总体方差的假设检验（理解）第四，第五，第六，第七，第八（均不用看）．考研数学问题咨询张伟老师新浪微博张伟老师仰望星空E-mail: zwpku@考研数学概率统计的重点难点必考点及重要例题和习题不用做的例题和习题第一章概率论的基本概念P３最后４行的小写字体不用看P５例３不用做（一）频率不用看P6-7 例 1 与例 2 均不用做，P7 概率重点看P9 等可能概率一般都不单独考，考大题经常会用到，P13 例 6 不用做，P14 例 8 不用做 P14 条件概率重点看，P15 例 2 不用做，P16 例 3 不用做，P17 例 4 重点做P17（三）全概率公式和贝叶斯公式为难点P19例5不用做，P20独立性为考研数学的绝对重点，P22例2与例3均不用做P23例4重点做P24-29 不用做的习题是 1、5、6、10、12、15、16、18、19、20、21、23、25、26、29、32、34、35、38、39、40第二章随机变量及其分布P30 例 1 不用看P37 泊松定理只需要记住结论，证明可以不用看P38 随机变量的分布函数为考研必考概念P42 连续性随机变量概率密度为考研必考点P50 随机变量的函数的分布是考大题的重要命题点P53 例 5 不用做P55-59 不用做的习题 1、5、6、7、9、10、11、13、15、16、19、22、27、28、30、31、38、39第三章多位随机变量及其分布P63 性质 4 的解释不用看P65 例 1 不用做，P66 例 3 重点做一下（提升计算能力）P68 例 1 不用做，P72 相互独立的随机变量为重点章节P76 两个随机变量的函数的分布为考大题的重要备考章节P78 例 3 不用做，P81 例 5 不用做P84-89 不用做的习题是 3、6、7、10、11、12、13、28、31第四章随机变量的数字特征P91 例 1 不用做，P92 例 3 与例 4 不用做，P93 例 5 不用做P95 中间的证明不用看，P96 例 8 与例 10 不用做P97 例 11 不用做，P100 例 13 不用做，P105 不用做P107 XY的两条重要性质的推导及含义不用看考研数学问题咨询张伟老师新浪微博张伟老师仰望星空E-mail: zwpku@考研数学问题咨询张伟老师新浪微博张伟老师仰望星空E-mail: zwpku@P108 只需要看前四行即只需要记住定理 4 证明可以不用看P109 例 2 重点做（提升计算能力）P110 矩为一般考点，协方差矩阵不用看P113-118 不用做的习题是 1.4.5.12.13.15.16.18.19.22.23.24.35.36.37.38第五章大数定律及中心极限定理（难点非重点）P124 例 1 不用做P126-127 不用做的习题是 2、4、5、10、11、13第六章样本及抽样分布（一般考点考小题）P130 第四行简单随机样本为重要概念P130 第二节直方图和箱线图不用看P135 第三节抽样分布（考小题），P136 统计量定义及几个常见统计量要重点看而且要牢记其表达式P137 经验分布函数只有数三同学稍微了解P138-141 数理统计所有的三大分布的典型模式要牢记但三种分布的概率密度表达式可以不用记P145-147 定理 2 的证明与推广均不用看P147-148 不用做的习题是 1、5、6、10、11第七章参数估计（数一数三的绝对的重点和难点）P149 点估计数一数三的绝对重点矩估计重点非难点，最大似然估计重点且难点P163-155 例 4 例 5 例 6 重点做P156-158 第二节基于截尾样本的最大似然估计不用看P158 估计量的评选标准数一重点看，数三大纲上虽然没有但建议数三看一下最好P161-168 区间估计，正态总体均值与方差的区间估计，只有数一看，为一般考点P168 0-1 分布参数的区间估计数一数三均不用看P169 单侧置信区间，只有数一看，为一般考点P193-177 数三不用做的习题为 4（3）、6、7、8、9、10、11-27 均不用做数一不用做的习题为4（3）、6、7、8、9、15、17、20、21、22、23、26、27第八章假设检验（数一特有的考点，难点非重点）数一只需要看前四节P178-193从第五节以后均不需要看P218-223 习题只需要做 1、2、3、4 其余的题目可以不用做考研数学问题咨询张伟老师新浪微博张伟老师仰望星空E-mail: zwpku@。
概率论与数理统计ppt课件(完整版)
几何概型的概率的性质
对任一事件A ,有
三.统计定义:
(一) 频率
在相同的条件下, 共进行了n次试验,事件A发生的次数nA, 称为A的频数, nA/n称为事件A发生的频率, 记为fn(A).
频率的特性: 波动性和稳定性.
*
四.概率公理化定义:
定义: 设S是样本空间, E是随机试验. 对于E的每个事件A对应一个实数P(A), 称为事件 A的概率, 其中集合函数P(.)满足下列条件: 对任一事件A,有P(A)≥0; (非负性） P(S)=1;（规范性) 设A1,A2,…是两两互不相容的事件,则有 P(A1 A2 …)=P(A1)+P(A2)+… (可列可加性)
2. 样本空间与随机事件
(一) 样本空间: 定义 随机试验E的所有可能结果组成的集合称为 E的样本空间, 记为S. 样本空间的元素称为样本点，用表示.
样本空间的分类:
1.离散样本空间:样本点为有限个或可列个. 例 E1,E2等.
2.无穷样本空间:样本点在区间或区域内取值. 例 灯泡的寿命{t|t≥0}.
*
(二) 乘法公式:
P(AB)>0, 则有 P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB).
一般, 设A1, A2, …,An是n个事件,(n≥2), P(A1A2 ...An-1)>0, 则有乘法公式:
P(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)…P(An-1|A1A2…An-2) P(An|A1A2…An-1).
*
B
A
S
2.和事件:
3.积事件： 事件A B={x|x A 且 x B}称A与B的积，即事件A与B同时发生. A B 可简记为AB.
类似地, 事件 为可列个事件A1, A2, ...的积事件.
概率论与数理统计(第2版微课版)教学大纲、授课计划
《概率论与数理统计》课程教学大纲课程中英文名称：概率论与数理统计(Probability and Statistics)课程代码：课程类别：必修课；一年级；二年级；公共类数学基础课学分/学时：3学分/51学时开课学期：适用专业：先修/后修课程：高等数学(或微积分)开课单位：课程负责人：1、课程性质与教学目标概率论与数理统计是研究随机现象客观规律并付诸应用的数学类学科，是工科本科各专业的一门重要基础理论课，通过本课程的学习，要求学生熟练掌握随机事件概率的常用计算方法，熟悉并掌握随机变量的分布及其计算，掌握离散型随机变量及其分布律的概念及其计算、掌握连续型随机变量及其密度函数的概念及其计算。
掌握随机变量的常用数字特征的概念及其计算。
理解并掌握依概率收敛的概念，理解大数定律、理解并掌握用中心极限定理解决应用问题。
理解和掌握数理统计的基本概念和理论、熟悉常用的统计量和抽样分布，熟悉并掌握常用的参数点估计和置信区间的求解。
掌握假设检验的基本概念、理解检验中的两类风险，理解并掌握显著性检验的基本步骤，掌握正态总体下未知参数的假设检验方法并会用于解决实际问题，了解拟合优度检验和独立性检验等非参数检验方法。
通过本课程的学习，使学生具备以下能力：课程教学目标1：有科学的世界观、人生观和价值观，有责任心和社会责任感。
树立远大的理想以及刻苦学习的信念。
课程教学目标2：使学生掌握概率统计的基本概念、基本思想和基本理论，培养学生用所学知识去分析问题和解决问题的综合能力和高级思维能力。
课程教学目标3：促进学生全面发展；打破习惯性认知模式，培养学生深度分析、大胆质疑、勇于创新的能力；引导学生养成自主学习、终身学习的自我管理素养。
2、教学内容及基本要求本课程教学内容与具体教学要求及学时分配等信息如下表所示。
3、教学方法课堂教学以板书为主，辅助PPT。
4、考核、成绩评定方式及重修要求考核方式主要由上课出勤、平时作业、课堂练习、阶段测验、期末考试等环节组成，综合各部分的成绩给出该门课程的总评成绩。
（完整版）概率论与数理统计习题答案详解版（廖茂新复旦版）
（完整版）概率论与数理统计习题答案详解版（廖茂新复旦版）概率论与数理统计习题答案详解版(廖茂新复旦版)习题⼀1.设A，B，C为三个事件，⽤A，B，C的运算式表⽰下列事件：（1）A发⽣⽽B与C都不发⽣；（2）A，B，C⾄少有⼀个事件发⽣；（3）A，B，C⾄少有两个事件发⽣；（4）A，B，C恰好有两个事件发⽣；（5）A，B⾄少有⼀个发⽣⽽C不发⽣；（6）A，B，C都不发⽣.解：（1）A CB或A-B-C或A-（B∪C）.（2）A∪B∪C.（3）（AB）∪（AC）∪（BC）.（4）（AB C）∪（AC B）∪（BC A）.（5）（A∪B）C.（6）CY或CBA IA.B2.对于任意事件A，B，C，证明下列关系式：（1）(A+B) (A+B)(A+ B)(A+B)= ?；（2）AB+A B +A B+A B AB-= AB；（3）A-(B+C)=(A-B)-C.证明：略.3.设A，B为两事件，P（A）=0.5,P(B)=0.3,P(AB)=0.1，求：（1）A发⽣但B不发⽣的概率；（2）A，B都不发⽣的概率；（3）⾄少有⼀个事件不发⽣的概率.解（1）P（A B）=P（A-B）=P（A-AB）=P（A）-P（AB）=0.4；(2) P(B A)=P(BA )=1-P(A∪B)=1-0.7=0.3；(3) P(A∪B）=P(AB）=1-P(AB)=1-0.1=0.9.4.调查某单位得知。
购买空调的占15％，购买电脑占12％，购买DVD 的占20%；其中购买空调与电脑占6%，购买空调与DVD 占10%，购买电脑和DVD占5％，三种电器都购买占2％。
求下列事件的概率。
（1）⾄少购买⼀种电器的；（2）⾄多购买⼀种电器的；（3）三种电器都没购买的.解：（1）0.28, （2）0.83, （3）0.725.10把钥匙中有3把能打开门，今任意取两把，求能打开门的概率。
解：8/156.任意将10本书放在书架上。
其中有两套书，⼀套3本，另⼀套4本。
概率论与数理统计(柴中林)第16讲-PPT精品文档
n2 分布密度函数图形
分布分位点
2 n
对于给定的 (0,1), 称满足条件
() P f ( x ) dx ( )
2 n 2 n
2 n
的点 χn ()为
2
2 χn 分布的上(右)
X - 2 P (|X -|2 )P (| | ) 18 .45 /9 18 .45 /9 P (| t|.1 0 .8 .
例2：在设计导弹发射装置时，重要内容之一 是研究弹着点偏离目标中心的距离的方差。 对于某类导弹发射装置，弹着点偏离目标中 心的距离服从 N(,2)，这里 2 = 100米2。 现在进行了25次发射试验，用 S2 记这25次试 验中弹着点偏离目标中心的距离的样本方差。 求: S 2 超过50米2的概率。
t 分布的分位点 若 T ～tn , 对给定的 (0,1)，称满足条件
P T t ( ) f ( t ) dt n t( )
n
的点 tn()为 tn 分布上 分位点。
tn 分布上 分位点示意图
t 分布的上 分位点有表可查，见附表3。
6.4.3 F 分布
其中 Γ ( ) 为伽玛 ( Gamma) 函数， 通过积
1 x ( ) x e dx , 0 0
来定义。
由 分布的定义，不难得到其如下性质：
2
(1). 设 X ,X 且共同分布 1, X 2, n 独立同分布， N ( , ), 则
2
1
2 n
2 2 ( X ) ~ n； 2 i i 1
2 1 2 2
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和定理2.1得到, n ? ? 时，
? ?| X n ? ? |>0.6 ?
P(Sn > ?18 n) ? P(| Xn? μ | > 0.6)
于是，
?
Var(X1) n ? 0.62
?
0.
P(Sn? ?18 n) = 1 ? P(Sn > ?18 n) ? 1
说明下注的次数 n越多, 至少输18n元的概率越大。
定理2.1. 设随机序列 ?Xn?独立同分布 ，
并且 ?＝EX1 有限，则有
?1 n
Xn ? n i?1 Xi
p
?
(2.5 ）
通常把类似于 2.5的结论称为 弱大数律 (weak law of large numbers ).
证明： 令方差， DXi ? ? 2，i ? 1, 2, 有限，
? ? ? E ( 1 n
n
Xi) ?
i? 1
1 n
n
EX i ?
i? 1
1 n
n
?
i? 1
?
?
? ? D( 1
n
n i?1
Xi ) ?
1 n2
n
DX i
i?1
?
1 n2
n?
2
?
1 n
?
2
由切比雪夫不等式得：
?1
P{| n
n i?1
Xi
?
?
|?
?}?
?2 n? 2
?
0,
n?
?
例1.（接§4.1 的例1.4 ) 在赌对子时 , 甲每次下注 100元. 如果他连续 下注n次, 证明他的盈利 Sn满足
中心极限定理的应用
可以用 N(0,1) 近似计算关于 ? n 的概率， 用N( n? , n? 2) 近似计算关于 Sn 的概率。
例6. 近似计算
当辐射的强度超过每小时 0.5毫伦琴(mr)时,辐 射会对人的健康造成伤害 . 设一台彩电工作时的平 均辐射强度是 0.036(mr/h), 方差是0.0081. 则家庭 中一台彩电的辐射一般不会对人造成健康伤害 . 但 是彩电销售店同时有多台彩电同时工作时 ,辐射可能 对人造成健康伤害 . 现在有16台彩电同时工作 ,问这 16 台彩电的辐射量可以对人造成健康伤害的概率 .
定理2.3.如果 ?n ? ? , wp1. 则 ?n p ?.
例2.在多次独立重复试验过程中 ,小概率事件必然发 生.
证明：设 p 是任意小的正数 ,事件A1,A2… 相互独立, P(Ai)= p.用 I[Ai] 表示Ai的示性函数，则 I[Ai] 独立 同分布.由强大数律得到：
?1 ?
n i?1 I[ Ai ] ? p, wp1.
独立地重复某一试验，设
X
j＝
?1， ??0,
当第j次试验成功， 当第j次试验不成功。
则{Xj} iid ～ B(1,p)(两点分布)。
令 Sn = X1 + X2 + … + Xn
则Sn为n次独立试验中成功的次数 ,Sn ~ B(n,p)。
从演示看出 n ? ? 时,Sn的分布形状很象正态分布 。
例4. Poisson(泊松)分布
若 {Xj} iid P(? ), 则由§3.4的例4.1知道部分和
n
? Sn＝ Xi ~ P(n? ). i=1
从演示看出 n ? ? 时,Sn的分布形状很象正态分布 。
例5.几何分布部分和 设{Xj}独立同分布都服从几何分布
P(Xj=k)＝pqk-1,k ? 1,2,...,p ? q ? 1.
所以
?
? I[ Ai ] ? ? , wp1.
i?1
说明有无穷个 Ai发生的概率是 1.
§5.3 中心极限定理
强大数律和弱大数律分别讨论了随机序列部分和 的依概率收敛和以概率 1收敛.
中心极限定理讨论对充分大的 n, 随机变量序列 部分和 X1+X2+… +Xn 的概率分布问题 .
例3. 二项分布
定义2.2. ? n
?
如果
P{lim n??
?
n
?
?}
?
1，
则称序列 ?? n ?以概率1收敛于? .
记为 ?n ? ?, wp1 或 a.s.。
定理2.2. 设随机序列 ?Xn ?独立同分布 ，并
且 ?＝EX1 ，则有
?1
n
n i?1
Xi
?
? , wp1. （2.6）
强大数律结论比弱大数律结论要强 :
lim
n ??
P {? n ?
x} ?
?
( x ).
这里 ? (x) 是标准正态分布的分布函数 .
(3.2)
我们把结论 (3.2)记成 ?n d N(0,1) , 其中
的d表示依分布收敛 .
中心极限定理是概率论中最著名的结果之一， 它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似概率的 简单方法，而且有助于解释为什么很多自然群体的 经验频率呈现出钟形曲线这一值得注意的事实 .
第五章 极限定理
§5.2 大数律
在n次独立重复试验中 , 引入
X j＝???10，,
当第j次试验成功， 当第j次试验不成功。
则 Sn＝X1＋X2＋??＋? Xn是n次试验中的成功次数 .
由概率的频率定义知道 ,对于成功的频率
Xn＝Sn / n ,有 lni??mXn＝P（X1＝1）＝EX1 （2.1）
P(S n ? ? 18n) ? 1.
证明： 用Xi表示甲第 i次下注的盈利 , 则X1,X2,…, X n
独立同分布 . 由§4.1的例1.4知 ? ? EXi ? ? 18.6， Sn ? X1 ? X2 ? ?? Xn. 利用
?Sn ? ? 18n? ? ?Xn ? ? ? ? 18 ? ? ?? ?Xn ? ? ? 0.6?
可以将 Sn = X1 + X2 + … + Xn 设想成第 n次击中目标 时的射击次数 (参考几何分布的背景 ),于是得到
P (Sn
?
k)
?
C
n?1 k?1
p
n
q
k
?
n
,
k
?
n, n ? 1,...
上述分布称为 帕斯卡分布 .
从演示看出 n ? ? 时,Sn的分布形状很象正态分布 。
注：得到第 n次成功前失败的次数 Y的分布称为 负二项分布 ，易见
下面的强大数定律将 (2.1)进行了推广 .
称随机变量的序列 ?? n ? ＝ ?? 1 ，? 2 ，????
为随机序列 (random sequence).
?n
?
lim
n??
P{|
?n
?
?
|?
?}
?
0，
则称序列 ?? n ?依概率收敛于? . 记为? n p ?
其含义是 n很大时,? n 与 ? 有非零差距的可能性很小。
P (Y
?
k)
?
C
k n?
k
?
1
p
n
q
k
,
k
?
0,1, 2,...
且Sn = Y + n.
定理3.1（中心极限定理）
设随机序列 {Xj} 独立同分布 ,有共同的数学期
望 ? 和方差 ? 2. 部分和Sn =X1＋ X2＋… ＋ Xn, 则
Sn的标准化
?n
?
Sn ? n? ?n
依分布收敛 到标准正态分布 . 即对任何 x,