概率论数理统计第16讲 1王

和定理2.1得到, n ? ? 时，
? ?| X n ? ? |>0.6 ?
P(Sn > ?18 n) ? P(| Xn? μ | > 0.6)
于是，
?
Var(X1) n ? 0.62
?
0.
P(Sn? ?18 n) = 1 ? P(Sn > ?18 n) ? 1
说明下注的次数 n越多, 至少输18n元的概率越大。
可以将 Sn = X1 + X2 + … + Xn 设想成第 n次击中目标 时的射击次数 (参考几何分布的背景 ),于是得到
P (Sn
?
k)
?
C
n?1 k?1
p
n
q
k
?
n
,
k
?
n, n ? 1,...
上述分布称为 帕斯卡分布 .
从演示看出 n ? ? 时,Sn的分布形状很象正态分布 。
注：得到第 n次成功前失败的次数 Y的分布称为 负二项分布 ，易见
下面的强大数定律将 (2.1)进行了推广 .
称随机变量的序列 ?? n ? ＝ ?? 1 ，? 2 ，????
为随机序列 (random sequence).
?n
?
lim
n??
P{|
?n
?
?
|?
?}
?
0，
则称序列 ?? n ?依概率收敛于? . 记为? n p ?
其含义是 n很大时,? n 与 ? 有非零差距的可能性很小。
第五章 极限定理
§5.2 大数律
在n次独立重复试验中 , 引入
X j＝???10，,
当第j次试验成功， 当第j次试验不成功。
则 Sn＝X1＋X2＋??＋? Xn是n次试验中的成功次数 .
由概率的频率定义知道 ,对于成功的频率
Xn＝Sn / n ,有 lni??mXn＝P（X1＝1）＝EX1 （2.1）
若 {Xj} iid P(? ), 则由§3.4的例4.1知道部分和
n
? Sn＝ Xi ~ P(n? ). i=1
从演示看出 n ? ? 时,Sn的分布形状很象正态分布 。
例5.几何分布部分和 设{Xj}独立同分布都服从几何分布
P(Xj=k)＝pqk-1,k ? 1,2,...,p ? q ? 1.
独立地重复某一试验，设
X
j＝
?1， ??0,
当第j次试验成功， 当第j次试源自文库不成功。
则{Xj} iid ～ B(1,p)(两点分布)。
令 Sn = X1 + X2 + … + Xn
则Sn为n次独立试验中成功的次数 ,Sn ~ B(n,p)。
从演示看出 n ? ? 时,Sn的分布形状很象正态分布 。
例4. Poisson(泊松)分布
定理2.1. 设随机序列 ?Xn?独立同分布 ，
并且 ?＝EX1 有限，则有
?1 n
Xn ? n i?1 Xi
p
?
(2.5 ）
通常把类似于 2.5的结论称为 弱大数律 (weak law of large numbers ).
证明： 令方差， DXi ? ? 2，i ? 1, 2, 有限，
? ? ? E ( 1 n
定理2.3.如果 ?n ? ? , wp1. 则 ?n p ?.
例2.在多次独立重复试验过程中 ,小概率事件必然发 生.
证明：设 p 是任意小的正数 ,事件A1,A2… 相互独立, P(Ai)= p.用 I[Ai] 表示Ai的示性函数，则 I[Ai] 独立 同分布.由强大数律得到：
?1 ?
n i?1 I[ Ai ] ? p, wp1.
lim
n ??
P {? n ?
x} ?
?
( x ).
这里 ? (x) 是标准正态分布的分布函数 .
(3.2)
我们把结论 (3.2)记成 ?n d N(0,1) , 其中
的d表示依分布收敛 .
中心极限定理是概率论中最著名的结果之一， 它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似概率的 简单方法，而且有助于解释为什么很多自然群体的 经验频率呈现出钟形曲线这一值得注意的事实 .
P (Y
?
k)
?
C
k n?
k
?
1
p
n
q
k
,
k
?
0,1, 2,...
且Sn = Y + n.
定理3.1（中心极限定理）
设随机序列 {Xj} 独立同分布 ,有共同的数学期
望 ? 和方差 ? 2. 部分和Sn =X1＋ X2＋… ＋ Xn, 则
Sn的标准化
?n
?
Sn ? n? ?n
依分布收敛 到标准正态分布 . 即对任何 x,
n
Xi) ?
i? 1
1 n
n
EX i ?
i? 1
1 n
n
?
i? 1
?
?
? ? D( 1
n
n i?1
Xi ) ?
1 n2
n
DX i
i?1
?
1 n2
n?
2
?
1 n
?
2
由切比雪夫不等式得：
?1
P{| n
n i?1
Xi
?
?
|?
?}?
?2 n? 2
?
0,
n?
?
例1.（接§4.1 的例1.4 ) 在赌对子时 , 甲每次下注 100元. 如果他连续 下注n次, 证明他的盈利 Sn满足
定义2.2. ? n
?
如果
P{lim n??
?
n
?
?}
?
1，
则称序列 ?? n ?以概率1收敛于? .
记为 ?n ? ?, wp1 或 a.s.。
定理2.2. 设随机序列 ?Xn ?独立同分布 ，并
且 ?＝EX1 ，则有
?1
n
n i?1
Xi
?
? , wp1. （2.6）
强大数律结论比弱大数律结论要强 :
所以
?
? I[ Ai ] ? ? , wp1.
i?1
说明有无穷个 Ai发生的概率是 1.
§5.3 中心极限定理
强大数律和弱大数律分别讨论了随机序列部分和 的依概率收敛和以概率 1收敛.
中心极限定理讨论对充分大的 n, 随机变量序列 部分和 X1+X2+… +Xn 的概率分布问题 .
例3. 二项分布
中心极限定理的应用
可以用 N(0,1) 近似计算关于 ? n 的概率， 用N( n? , n? 2) 近似计算关于 Sn 的概率。
例6. 近似计算
当辐射的强度超过每小时 0.5毫伦琴(mr)时,辐 射会对人的健康造成伤害 . 设一台彩电工作时的平 均辐射强度是 0.036(mr/h), 方差是0.0081. 则家庭 中一台彩电的辐射一般不会对人造成健康伤害 . 但 是彩电销售店同时有多台彩电同时工作时 ,辐射可能 对人造成健康伤害 . 现在有16台彩电同时工作 ,问这 16 台彩电的辐射量可以对人造成健康伤害的概率 .
P(S n ? ? 18n) ? 1.
证明： 用Xi表示甲第 i次下注的盈利 , 则X1,X2,…, X n
独立同分布 . 由§4.1的例1.4知 ? ? EXi ? ? 18.6， Sn ? X1 ? X2 ? ?? Xn. 利用
?Sn ? ? 18n? ? ?Xn ? ? ? ? 18 ? ? ?? ?Xn ? ? ? 0.6?