初中数学奥林匹克初中训练题五套

数学奥林匹克初中训练题(1)

第 一 试

一. 选择题.(每小题7分,共42分)

( )1.已知33333a b c abc a b c

++-=++,则22()()()()a b b c a b b c -+-+--的值为: (A)1 (B)2 (C)3 (D)4

( )2.规定”Δ”为有序实数对的运算,如果(,)a b Δ(,)(,).c d ac bd ad bc =++如果对任意实数,a b 都有(,)a b Δ(,)(,),x y a b =则(,)x y 为:

(A)(0,1) (B)(1,0) (C)(1,0)- (D)(0,1)-

( )3.在ΔABC 中,211a b c

=+,则∠A: (A)一定是锐角 (B)一定是直角 (C)一定是钝角 (D)非上述答案

( )4.下列五个命题:①若直角三角形的两条边长为3与4,则第三边长是5;②2();a a =③若点(,)P a b 在第三象限,则点1(,1)P a b --+在第一象限;④连结对角线垂直且相等的四边形各边中点的四边形是正方形;⑤两边及其第三边上的中线对应相等的两个三角形全等.其中正确的命题的个数是:

(A)2个 (B)3个 (C)4个 (D)5个

( )5.设P 为等腰Rt ΔABC 斜边AB 上或其延长线上一点,22S AP BP =+,那么:

(A)22S CP p (B)22S CP = (C)2

2S CP f (D)不确定

( )6.满足方程222()x y x y xy +=++的所有正整数解有:

(A)一组 (B)二组 (C)三组 (D)四组

二. 填空题.(每小题7分,共28分)

1.一辆客车,一辆货车和一辆小轿车在同一条直线上朝同一方向行驶,在某一时刻,货车在中,客车在前,小轿车在后,且它们的距离相等.走了10分钟,小轿车追上了货车;又走了5分钟,小轿车追上了客车.问再过

分钟,货车追上了客车.

2.若多项式2228171642070P a ab b a b =-+--+,

那么P 的最小值是 .

3.如图1, ∠AOB=30O , ∠AOB 内有一定点P,且OP=10.

在OA 上有一点Q,OB 上有一点R.若ΔPQR 周长最小,则最小周长是 . 4.已知二次函数2(1)y ax a =≥的图象上两点A,B 的横坐标分别为1,2-,O 是坐标原点,如果ΔAOB 是直角三角形,则ΔAOB 的周长为 .

第 二 试

一.(20分)已知实数,,a b c 满足不等式,a b c b c a ≥+≥+,c a b ≥+,求a b c ++的值.

二.(25分)如图2,点D 在ΔABC 的边BC 上,且与B,C 不重合,过点D 作AC 的平行线DE 交AB 于E,作AB 的平行线DF 交AC 于点F.又知BC=5.

(1) 设ΔABC 的面积为S.若四边形AEFD 的面积为

25S .求BD 长.

(2) 若2,AC AB =且DF 经过ΔABC 的重心G,求E,F 两

点的距离.

三.(25分)已知定理:”若三个大于3的质数,,a b c 满足关系式25a b c +=,则a b c ++是整数n 的倍数.”试问:上述定理中整数n 的最大可能值是多少?并证明你的结论.

数学奥林匹克初中训练题(2)

第 一 试

一. 选择题.(每小题7分,共42分)

( )1.有铅笔,练习本,圆珠笔三种学习用品.若购铅笔3支,练习本7本,圆珠笔1支共需3.15元;若购铅笔4支,练习本10本,圆珠笔1支共需4.2元.现购铅笔,练习本,圆珠笔各1件,共需:

(A)1.2元 (B)1.05元 (C)0.95元 (D)0.9元

( )2.三角形的三边,,a b c 都是整数,且满足7abc bc ca ab a b c ++++++=,则此三角形的面积等于:(A)32 (B)24 (C)34 (D)22 ( )3.如图1,ΔABC 为正三角形,PM ⊥AB,PN ⊥AC.设四边形AMPN, ΔABC 的周长分别是,m n ,则有:

(A)

1325m n p p (B)2334m n p p (C)80%83%m n p p (D)78%79%m n

p p ( )4.满足22(3)(3)6x y -+-=的所有实数对(,)x y ,使y x 取最大值,此最大值为:(A)322+ (B)42+ (C)533+ (D)53+

( )5.设333717171p a b c =+++++371d ++.其中,,,a b c d 是正实数,且满

足1a b c d +++=.则p 满足: (A)p ＞5

(B)p ＜5 (C)p ＜2 (D)p ＜3

( )6.如图2,点O 是正六边形ABCDEF 的中心,OM ⊥CD,N

为OM 的中点.则:ABN BCN S S V V 等于:

(A)9:5 (B)7:4 (C)5:3 (D)3:2

二. 填空题.(每小题7分,共28分)

1.若实数,x y 满足22(1)(1)1x x y y ++++=,则

x y += .

2.如图3,CD 为直角ΔABC 斜边AB 上的高,DE ⊥AC.设

ΔADE,ΔCDB,ΔABC 的周长分别是12,,p p p .当

12p p p

+ 取最大值时,∠A= .

3.若函数2543kx y kx kx +=++中自变量的取值范围是一切实数,则实数k 的取值范围是 .

4.如图4所示,线段AB 与CD 都是⊙O 中的弦,其中

»»108,,36,O O AB AB a CD

CD b ====,则⊙O 的半径R= .

第 二 试

一.(共20分)n 是一个三位数,b 是一个一位数,

且22

,1a a b b ab ++都是整数,求a b +的最大值与

最小值.

二.(共25分)如图5,在ΔABC 中,∠A=60O ,O,

I,H 分别是它的外心,内心,垂心.试比较Δ

ABC 的外接圆与ΔIOH 的外接圆的大小,证明

你的论断.

三.(共25分)求方程组3333

3x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩的所有

整数解.