2019届山西省运城市高三高考适应性测试(4月)数学(理)试题(图片版)
山西省运城市2019-2020学年高考第四次适应性考试数学试题含解析
山西省运城市2019-2020学年高考第四次适应性考试数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知定义在R 上的偶函数()f x ，当0x ≥时，22()2xx xf x e +=-，设(ln (ln2a fb fc f ===，则（ ） A ．b a c >> B ．b a c >=C ．a c b =>D ．c a b >>【答案】B 【解析】 【分析】根据偶函数性质，可判断,a c 关系；由0x ≥时，22()2xx xf x e +=-，求得导函数，并构造函数()1x g x e x =--，由()g x '进而判断函数()f x 在0x ≥时的单调性，即可比较大小.【详解】()f x 为定义在R 上的偶函数，所以(ln ln 22c f f f ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以a c =;当0x ≥时，22()2xx x f x e +=-，则)1(xf x e x =--'， 令()1xg x e x =--则1()x g x e '=-，当0x ≥时，)0(1xg x e =-≥'， 则()1x g x e x =--在0x ≥时单调递增，因为000)10(g e =--=，所以1(0)xg x e x --=≥， 即)0(1x x f x e =--≥'，则22()2xx xf x e +=-在0x ≥时单调递增，而0<<(f f<，综上可知，()()2ln ln 222f f f⎛⎫=< ⎪ ⎪⎝⎭即a c b =<， 故选：B. 【点睛】本题考查了偶函数的性质应用，由导函数性质判断函数单调性的应用，根据单调性比较大小，属于中档题. 2．《九章算术》“少广”算法中有这样一个数的序列：列出“全步”（整数部分）及诸分子分母，以最下面的分母遍乘各分子和“全步”，各自以分母去约其分子，将所得能通分之分数进行通分约简，又用最下面的分母去遍乘诸（未通者）分子和以通之数，逐个照此同样方法，直至全部为整数，例如：2n =及3n =时，如图：记n S 为每个序列中最后一列数之和，则6S 为（ ） A ．147 B ．294C ．882D ．1764【答案】A 【解析】 【分析】根据题目所给的步骤进行计算，由此求得6S 的值. 【详解】 依题意列表如下：上列乘6 上列乘5 上列乘2 16 30 60 123153013 2 10 201432 15215所以6603020151210147S =+++++=.故选：A 【点睛】本小题主要考查合情推理，考查中国古代数学文化，属于基础题. 3．已知数列{}n a 为等比数列，若a a a 76826++=，且a a 5936⋅=，则a a a 768111++=（ ） A ．1318B ．1318或1936C ．139D ．136【答案】A 【解析】 【分析】根据等比数列的性质可得25968736a a a a a ⋅=⋅==，通分化简即可.【详解】由题意，数列{}n a 为等比数列，则25968736a a a a a ⋅=⋅==，又a a a 76826++=，即68726a a a +=-，所以，()()76877786867678777683636261113636a a a a a a a a a a a a a a a a a a a +⋅++⋅-⋅+⋅+⋅++===⋅⋅⋅⋅， ()277777777773626362636263626133636363618a a a a a a a a a a +⋅-+⋅-+⋅-⋅=====⋅⋅⋅⋅.故选：A. 【点睛】本题考查了等比数列的性质，考查了推理能力与运算能力，属于基础题.4．已知斜率为2-的直线与双曲线()2222:10,0x y C ab a b-=>>交于,A B 两点，若()00,M x y 为线段AB 中点且4OM k =-（O 为坐标原点），则双曲线C 的离心率为（ ） A B ．3 C D ．4【答案】B 【解析】【分析】设1122(,),(,)A x y B x y ，代入双曲线方程相减可得到直线AB 的斜率与中点坐标之间的关系，从而得到,a b 的等式，求出离心率． 【详解】4OM y k x ==-， 设1122(,),(,)A x y B x y ，则22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩， 两式相减得1212121222()()()()0x x x x y y y y a b+-+--=， ∴2121221212()()ABy y b x x k x x a y y -+==-+220220124b x b a y a ⎛⎫==⋅-=- ⎪⎝⎭，22228,13b b e a a∴=∴=+=．故选：B ． 【点睛】本题考查求双曲线的离心率，解题方法是点差法，即出现双曲线的弦中点坐标时，可设弦两端点坐标代入双曲线方程相减后得出弦所在直线斜率与中点坐标之间的关系．5．一个四面体所有棱长都是4，四个顶点在同一个球上，则球的表面积为（ ） A ．24π B ．86πC ．433πD ．12π【答案】A 【解析】 【分析】将正四面体补成正方体，通过正方体的对角线与球的半径关系，求解即可． 【详解】解：如图，将正四面体补形成一个正方体，正四面体的外接球与正方体的外接球相同，∵四面体所有棱长都是4， ∴正方体的棱长为22设球的半径为r ，则2r =，解得r =所以2424S r ππ==， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查多面体外接球问题，解决本题的关键在于，巧妙构造正方体，利用正方体的外接球的直径为正方体的对角线，从而将问题巧妙转化，属于中档题．6．设双曲线22221y x a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线与抛物线213y x =+有且只有一个公共点，且椭圆22221x y a b+=的焦距为2，则双曲线的标准方程为（ ） A ．22143x y -= B ．22143y x -=C ．22123x y -=D ．22132y x -=【答案】B 【解析】 【分析】设双曲线的渐近线方程为y kx =，与抛物线方程联立，利用0∆=，求出k 的值，得到ab的值，求出,a b 关系，进而判断,a b 大小，结合椭圆22221x y a b+=的焦距为2，即可求出结论.【详解】设双曲线的渐近线方程为y kx =， 代入抛物线方程得2103x kx -+=， 依题意240,3k k ∆=-==，a ab b ∴==>，∴椭圆22221x y a b +=的焦距2=，22222411,3,433b b b b a -====， 双曲线的标准方程为22143y x -=.故选:B.本题考查椭圆和双曲线的标准方程、双曲线的简单几何性质，要注意双曲线焦点位置，属于中档题.7．已知实数,x y满足约束条件11220220xyx yx y≥-⎧⎪≥-⎪⎨-+≥⎪⎪--≤⎩，则23x y-的最小值是A．2-B．72-C．1 D．4【答案】B【解析】【分析】【详解】作出该不等式组表示的平面区域，如下图中阴影部分所示，设23z x y=-，则2133y x z=-，易知当直线2133y x z=-经过点D时，z取得最小值，由1220xx y=-⎧⎨-+=⎩，解得112xy=-⎧⎪⎨=⎪⎩，所以1(1,)2D-，所以min172(1)322z=⨯--⨯=-，故选B．8．已知某口袋中有3个白球和a个黑球（*a N∈），现从中随机取出一球，再换回一个不同颜色的球（即若取出的是白球，则放回一个黑球；若取出的是黑球，则放回一个白球），记换好球后袋中白球的个数是ξ．若3Eξ=，则Dξ= ( )A．12B．1 C．32D．2【答案】B【解析】由题意2ξ=或4，则221[(23)(43)]12Dξ=-+-=，故选B．9．已知a，b∈R，3(21)ai b a i+=--，则（）A．b＝3a B．b＝6a C．b＝9a D．b＝12a【答案】C【解析】【分析】两复数相等，实部与虚部对应相等.由3(21)ai b a i +=--，得312b a a=⎧⎨=-⎩，即a 13=，b ＝1．∴b ＝9a ． 故选：C ． 【点睛】本题考查复数的概念，属于基础题.10．已知全集{},1,2,3,4,U Z A ==()(){}130,B x x x x Z =+->∈，则集合()U A C B ⋂的子集个数为（ ） A ．2 B ．4C ．8D ．16【答案】C 【解析】 【分析】先求B.再求U C B ，求得()U A C B ⋂则子集个数可求 【详解】由题()(){}{}130,1x 3,U C B x x x x Z x x Z =+-≤∈=-≤≤∈={}1,0,1,2,3=-, 则集合(){}1,2,3U A C B ⋂=,故其子集个数为328=故选C 【点睛】此题考查了交、并、补集的混合运算及子集个数，熟练掌握各自的定义是解本题的关键，是基础题 11．已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ）． A ．122 B ．112 C ．102 D ．92【答案】D 【解析】因为(1)nx +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以，解得，所以二项式10(1)x +中奇数项的二项式系数和为．考点：二项式系数，二项式系数和．12．某三棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）A ．27πB ．28πC ．29πD ．30π【答案】C 【解析】 【分析】作出三棱锥的实物图P ACD -，然后补成直四棱锥P ABCD -，且底面为矩形，可得知三棱锥P ACD -的外接球和直四棱锥P ABCD -的外接球为同一个球，然后计算出矩形ABCD 的外接圆直径AC ，利用公式222R PB AC =+可计算出外接球的直径2R ，再利用球体的表面积公式即可得出该三棱锥的外接球的表面积. 【详解】三棱锥P ACD -的实物图如下图所示：将其补成直四棱锥P ABCD -，PB ⊥底面ABCD ， 可知四边形ABCD 为矩形，且3AB =，4BC =.矩形ABCD 的外接圆直径225AC =AB +BC ，且2PB =. 所以，三棱锥P ACD -外接球的直径为22229R PB AC =+因此，该三棱锥的外接球的表面积为()224229R R πππ=⨯=. 故选：C. 【点睛】本题考查三棱锥外接球的表面积，解题时要结合三视图作出三棱锥的实物图，并分析三棱锥的结构，选择合适的模型进行计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
山西省运城市2019-2020学年高考适应性测试卷数学试题(3)含解析
山西省运城市2019-2020学年高考适应性测试卷数学试题（3）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()xe f x ax x=-，(0,)x ∈+∞，当21x x >时，不等式()()1221f x f x x x <恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(,]e -∞ B ．(,)e -∞C ．,2e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】D 【解析】 【分析】 由()()1221f x f x x x <变形可得()()1122x fx x f x <,可知函数()()g x xf x =在(0,)x ∈+∞为增函数, 由()20x g x e ax '=-≥恒成立,求解参数即可求得取值范围.【详解】(0,),x ∈+∞Q()()1122x f x x f x ∴<,即函数2()()x g x xf x e ax ==-在(0,)x ∈+∞时是单调增函数.则()20xg x e ax '=-≥恒成立.2xe a x∴≤.令()x e m x x =,则2(1)()xx e m x x -'= (0,1)x ∈时,()0,()m x m x '<单调递减,(1,)x ∈+∞时()0,()m x m x '>单调递增.min 2()(1),2ea m x m e a ∴≤==∴≤故选:D. 【点睛】本题考查构造函数,借助单调性定义判断新函数的单调性问题,考查恒成立时求解参数问题,考查学生的分析问题的能力和计算求解的能力,难度较难.2．已知实数,x y 满足线性约束条件1020x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩，则1y x +的取值范围为（ ）【答案】B 【解析】 【分析】 作出可行域，1y x+表示可行域内点(,)P x y 与定点(0,1)Q -连线斜率，观察可行域可得最小值． 【详解】作出可行域，如图阴影部分（含边界），1y x+表示可行域内点(,)P x y 与定点(0,1)Q -连线斜率，(1,3)A ，3(1)410QA k --==-，过Q 与直线0x y +=平行的直线斜率为－1，∴14PQ k -<≤．故选：B ．【点睛】本题考查简单的非线性规划．解题关键是理解非线性目标函数的几何意义，本题1y x+表示动点(,)P x y 与定点(0,1)Q -连线斜率，由直线与可行域的关系可得结论． 3．函数()()()22214f x xxx =--的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】先判断函数()y f x =的奇偶性，以及该函数在区间()0,1上的函数值符号，结合排除法可得出正确选项.函数()y f x =的定义域为R ，()()()()()()()2222221414f x x x x xxx f x ⎡⎤⎡⎤-=-⋅--⋅--=--=⎣⎦⎣⎦，该函数为偶函数，排除B 、D 选项； 当01x <<时，()()()222140f x x xx =-->，排除C 选项.故选：A. 【点睛】本题考查根据函数的解析式辨别函数的图象，一般分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号，结合排除法得出结果，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.4．一个圆锥的底面和一个半球底面完全重合，如果圆锥的表面积与半球的表面积相等，那么这个圆锥轴截面底角的大小是（ ） A ．15︒ B ．30︒C ．45︒D ．60︒【答案】D 【解析】 【分析】设圆锥的母线长为l,底面半径为R,再表达圆锥表面积与球的表面积公式,进而求得2l R =即可得圆锥轴截面底角的大小. 【详解】设圆锥的母线长为l,底面半径为R,则有2222R Rl R R ππππ+=+,解得2l R =,所以圆锥轴截面底角的余弦值是12R l =,底角大小为60︒. 故选：D 【点睛】本题考查圆锥的表面积和球的表面积公式,属于基础题.5．已知12,F F 分别为双曲线2222:1x y C a b-=的左、右焦点，点P 是其一条渐近线上一点，且以12F F 为直径的圆经过点P ，若12PF F ∆的面积为23，则双曲线的离心率为（ ）A B ．2C D ．3【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，设点()00,P x y 在第一象限，求出此坐标，再利用三角形的面积即可得到结论.由题意，设点()00,P x y 在第一象限，双曲线的一条渐近线方程为by x a=， 所以，00by x a=， 又以12F F 为直径的圆经过点P ，则OP c =，即22200x y c +=，解得0x a =，0y b =，所以，122012322PF F S c y c b b ∆=⋅⋅=⋅=，即23c b =，即()22243c c a =-，所以，双曲线的离心率为2e =. 故选：B. 【点睛】本题主要考查双曲线的离心率，解决本题的关键在于求出a 与c 的关系，属于基础题. 6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．83π33B ．4π1633C ．33π3D ．3π1633【答案】D 【解析】 【分析】结合三视图可知,该几何体的上半部分是半个圆锥,下半部分是一个底面边长为4,高为4的正三棱柱,分别求出体积即可. 【详解】由三视图可知该几何体的上半部分是半个圆锥,下半部分是一个底面边长为4,高为4的正三棱柱,则上半部分的半个圆锥的体积11143π4π23233V =⨯⨯⨯=,下半部分的正三棱柱的体积2142342V =⨯⨯=163故该几何体的体积1243π33V V V =+=+故选:D. 【点睛】7．已知复数z 满足()11z i i +=-（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．i - B ．iC ．1D ．1-【答案】D 【解析】 【分析】根据复数z 满足()11z i i +=-，利用复数的除法求得z ，再根据复数的概念求解. 【详解】因为复数z 满足()11z i i +=-，所以()()()211111i i z i i i i --===-++-， 所以z 的虚部为1-. 故选：D. 【点睛】本题主要考查复数的概念及运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.8．如图，四边形ABCD 为平行四边形，E 为AB 中点，F 为CD 的三等分点（靠近D ）若AF x AC yDE =+u u u r u u u r u u u r，则y x -的值为（ ）A ．12-B ．23-C ．13-D ．1-【答案】D 【解析】 【分析】使用不同方法用表示出AF u u u r，结合平面向量的基本定理列出方程解出． 【详解】解：13AF AD DF AB AD =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，又11()()()()22AF xAC yDE x AB AD y AB AD x y AB x y AD =+=++-=++-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r1231y x x y ⎧+=⎪∴⎨⎪-=⎩解得5949x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以1y x -=-本题考查了平面向量的基本定理及其意义，属于基础题．9．圆锥底面半径为5，高为2，SA 是一条母线，P 点是底面圆周上一点，则P 点到SA 所在直线的距离的最大值是（ ） A ．253B ．453C ．3D ．4【答案】C 【解析】分析：作出图形，判断轴截面的三角形的形状，然后转化求解P 的位置，推出结果即可.详解：圆锥底面半径为5，高为2，SA 是一条母线，P 点是底面圆周上一点，P 在底面的射影为O ；543SA =+=，OA SO >，过SA 的轴截面如图：90ASQ ∠>︒，过Q 作QT SA ⊥于T ，则QT QS <，在底面圆周，选择P ，使得90PSA ∠=︒，则P 到SA 的距离的最大值为3，故选：C点睛：本题考查空间点线面距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力，解题的关键是作出轴截面图形，属中档题．10．已知全集U =R ，函数()ln 1y x =-的定义域为M ，集合{}2|0?N x x x =-<，则下列结论正确的是A ．M N N =IB ．()U M N =∅I ðC ．M N U =UD ．()U M N ⊆ð【答案】A 【解析】 【分析】求函数定义域得集合M ，N 后，再判断． 【详解】由题意{|1}M x x =<，{|01}N x x =<<，∴M N N =I ．本题考查集合的运算，解题关键是确定集合中的元素．确定集合的元素时要注意代表元形式，集合是函数的定义域，还是函数的值域，是不等式的解集还是曲线上的点集，都由代表元决定． 11．若函数()sin 2f x x =的图象向右平移6π个单位长度得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在区间[0,]a 上单调递增，则a 的最大值为（ ）． A ．2π B ．3π C ．512π D ．712π 【答案】C 【解析】 【分析】由题意利用函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，正弦函数的单调性，求出a 的最大值． 【详解】解：把函数()sin 2f x x =的图象向右平移6π个单位长度得到函数()sin(2)3g x x π=-的图象， 若函数()g x 在区间[0，]a 上单调递增， 在区间[0，]a 上，2[33x ππ-∈-，2]3a π-，则当a 最大时，232a ππ-=，求得512a π=， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，正弦函数的单调性，属于基础题．12．已知函数()f x 是定义域为R 的偶函数，且满足()(2)f x f x =-，当[0,1]x ∈时，()f x x =，则函数4()()12x F x f x x+=+-在区间[9,10]-上零点的个数为（ ） A ．9 B ．10C ．18D ．20【答案】B 【解析】 【分析】由已知可得函数f （x ）的周期与对称轴，函数F （x ）＝f （x ）412x x++-在区间[9,10]-上零点的个数等价于函数f （x ）与g （x ）412x x+=--图象在[9,10]-上交点的个数，作出函数f （x ）与g （x ）的图象如图，数形结合即可得到答案. 【详解】函数F （x ）＝f （x ）4x ++在区间[9,10]-上零点的个数等价于函数f （x ）与g （x ）4x +=-图象在[9,10]-上交点的个数，由f （x ）＝f （2﹣x ），得函数f （x ）图象关于x ＝1对称，∵f （x ）为偶函数，取x ＝x+2，可得f （x+2）＝f （﹣x ）＝f （x ），得函数周期为2. 又∵当x ∈[0，1]时，f （x ）＝x ，且f （x ）为偶函数，∴当x ∈[﹣1，0]时，f （x ）＝﹣x ， g （x ）44191221242x x x x x ++=-==+---， 作出函数f （x ）与g （x ）的图象如图：由图可知，两函数图象共10个交点， 即函数F （x ）＝f （x ）412x x++-在区间[9,10]-上零点的个数为10. 故选：B. 【点睛】本题考查函数的零点与方程根的关系，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，属于中档题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
山西省运城市2019届高三高考适应性测试(4月)理科综合试题
2019年运城市高三高考适应性测试理科综合注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。
用2B型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。
2．选择题每小题选出答案后，用2B型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
可能用到的相对原子质量：Ni-59 O-16第Ⅰ卷(选择题)一、选择题：本题共13小题每小题6分，共78分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．下列关于细胞结构和功能的说法，不正确的是A．没有细胞核的真核细胞不能进行细胞分裂和分化B．叶绿体可进行光合作用，还可发生其他的生命活动C．细胞膜表面的糖类可以与蛋白质或磷脂结合D．小分子物质可通过核孔，大分子物质则不能2．下列关于细胞的生命历程的说法，正确的是A种子萌发过程中存在细胞的增殖、分化，体现了细胞的全能性B．原癌基因的主要功能是阻止细胞不正常的增殖C．细胞内磷脂DNA蛋白质等物质受自由基攻击，可能导致细跑衰老D．同一生物体不同时刻产生的精子或卵细胞的染色体数一般不同3．下列说法中正确的有①太空中，根失去向地性是因为生长素不能进行极性运输②植物激素合成既受基因的控制，又影响一些基因的表达③植物没有神经系统，其生命活动的调节方式只有激素调节④萨克斯的半叶法实验须将叶片摘下置于暗处，目的是消耗叶片中原有的有机物⑤抗体、淋巴因子、神经递质、血清白蛋白均存在于内环境中⑥乙烯由植物体内成熟的部位合成，主要作用是促进果实成熟A．2项B．3项C．4项D．5项4．人和高等动物胰液的分泌受神经一体液调节，进食可引起胰液大量分泌，过程如下图。
山西省运城市2019-2020学年高考第三次适应性考试数学试题含解析
山西省运城市2019-2020学年高考第三次适应性考试数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且80S =，33a =-，则9S =( ) A ．9 B ．12C ．15-D ．18-【答案】A 【解析】 【分析】由80S =，33a =-可得1,a d 以及9a ，而989S S a =+，代入即可得到答案. 【详解】设公差为d ，则1123,8780,2a d a d +=-⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩解得17,2,a d =-⎧⎨=⎩ 9189a a d =+=，所以9899S S a =+=.故选：A. 【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，考查学生运算求解能力，是一道基础题.2．《周易》是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化．如图是一个八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八卦（每一卦由三个爻组成，其中“”表示一个阳爻，“”表示一个阴爻）．若从含有两个及以上阳爻的卦中任取两卦，这两卦的六个爻中都恰有两个阳爻的概率为（ ）A ．13B ．12C ．23D ．34【答案】B 【解析】 【分析】基本事件总数为6个，都恰有两个阳爻包含的基本事件个数为3个，由此求出概率. 【详解】解：由图可知，含有两个及以上阳爻的卦有巽、离、兑、乾四卦，取出两卦的基本事件有（巽，离），（巽，兑），（巽，乾），（离，兑），（离，乾），（兑，乾）共6个，其中符合条件的基本事件有（巽，离），（巽，兑），（离，兑）共3个， 所以，所求的概率3162P ==. 故选：B. 【点睛】本题渗透传统文化，考查概率、计数原理等基本知识，考查抽象概括能力和应用意识，属于基础题．3．已知双曲线C ：2222x y a b-=1(a>0，b>0)的右焦点为F ，过原点O 作斜率为43的直线交C 的右支于点A ，若|OA|=|OF|，则双曲线的离心率为（ ） AB．C ．2D+1【答案】B 【解析】 【分析】以O 为圆心，以OF 为半径的圆的方程为222x y c +=，联立22222221x y c x y ab ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，可求出点2b A c ⎫⎪⎪⎝⎭243b =，整理计算可得离心率. 【详解】解：以O 为圆心，以OF 为半径的圆的方程为222x y c +=，联立22222221x y c x y a b ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，取第一象限的解得2x c b y c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即2b A c c ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭243b =， 整理得()()22229550c aca --=，则22519c a =<（舍去），225c a=，ce a∴==. 故选：B. 【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，考查学生的计算能力，是中档题. 4．已知α是第二象限的角，3tan()4πα+=-，则sin 2α=( ) A ．1225B ．1225-C ．2425D ．2425-【答案】D 【解析】 【分析】利用诱导公式和同角三角函数的基本关系求出2cos α,再利用二倍角的正弦公式代入求解即可. 【详解】因为3tan()4πα+=-, 由诱导公式可得,sin 3tan cos 4ααα==-, 即3sin cos 4αα=-, 因为22sin cos 1αα+=, 所以216cos 25α=, 由二倍角的正弦公式可得,23sin 22sin cos cos 2αααα==-,所以31624sin 222525α=-⨯=-. 故选:D 【点睛】本题考查诱导公式、同角三角函数的基本关系和二倍角的正弦公式;考查运算求解能力和知识的综合运用能力;属于中档题.5．已知函22()(sin cos )2cos f x x x x =++，,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则()f x 的最小值为（ ）A ．2-B ．1C ．0D ．【答案】B 【解析】()2sin(2)2,4f x x π=++,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，32444x πππ-≤+≤利用整体换元法求最小值.【详解】由已知，2()12sin cos 2cos sin 2cos22f x x x x x x =++=++2sin(2)2,4x π=++又44x ππ-≤≤，32444x πππ∴-≤+≤，故当244x ππ+=-，即4πx =-时，min ()1f x =.故选：B. 【点睛】本题考查整体换元法求正弦型函数的最值，涉及到二倍角公式的应用，是一道中档题. 6．如图，在ABC ∆中，点M ，N 分别为CA ，CB 的中点，若5AB =，1CB =，且满足223AG MB CA CB⋅=+u u u v u u u v u u u v u u u v ，则AG AC ⋅u u u v u u u v 等于（ ）A ．2B ．5C ．23D ．83【答案】D 【解析】 【分析】选取,BA BC 为基底，其他向量都用基底表示后进行运算． 【详解】由题意G 是ABC ∆的重心，2133()2()()32AG MB AN BM BN BA BC BA ⋅=⨯⋅-=--⋅+u u u r u u u r 1()()2BA BC BC BA =-⋅+22111152222BA BC BA BC BA BC =-+⋅=-+⋅22222()121BA BC BA BA BC BC CA CB =-+=-⋅+=++u u u r u u u r 5211BA BC =-⋅++ ， ∴917222BA BC BA BC +⋅=-⋅，1BA BC ⋅=， ∴AG AC ⋅u u u r u u u r 22221213()()()332322AN AC BC BA BC BA BC BC BA BA =⋅=-⋅-=-⋅+2138(5)3223=-+=， 故选：D ．本题考查向量的数量积，解题关键是选取两个不共线向量作为基底，其他向量都用基底表示参与运算，这样做目标明确，易于操作．7．过抛物线22x py =（0p >）的焦点且倾斜角为α的直线交抛物线于两点A B ，.2AF BF =，且A 在第一象限，则cos2α=（ ） A ．5 B ．35C ．79D ．23【答案】C 【解析】 【分析】作1AA l ⊥，1BB l ⊥；1BE AA ⊥，由题意sin AEABα=，由二倍角公式即得解. 【详解】由题意，02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，准线l ：2p y =-， 作1AA l ⊥，1BB l ⊥；1BE AA ⊥， 设1BF BB t ==，故12AB AA t ==，AE t =，217sin cos212sin 39AE AB ααα==⇒=-=. 故选：C 【点睛】本题考查了抛物线的性质综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 8．博览会安排了分别标有序号为“1号”“2号”“3号”的三辆车，等可能随机顺序前往酒店接嘉宾．某嘉宾突发奇想，设计两种乘车方案．方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车．记方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为P 1，P 2，则（ ） A ．P 1•P 2＝14B ．P 1＝P 2＝13C ．P 1+P 2＝56D ．P 1＜P 2【解析】 【分析】将三辆车的出车可能顺序一一列出，找出符合条件的即可. 【详解】三辆车的出车顺序可能为：123、132、213、231、312、321 方案一坐车可能：132、213、231，所以，P 1＝36； 方案二坐车可能：312、321，所以，P 1＝26； 所以P 1+P 2＝56故选C. 【点睛】本题考查了古典概型的概率的求法，常用列举法得到各种情况下基本事件的个数，属于基础题.9．已知等差数列{}n a 的公差为2-，前n 项和为n S ，1a ，2a ，3a 为某三角形的三边长，且该三角形有一个内角为120︒，若n m S S ≤对任意的*n ∈N 恒成立，则实数m =（ ）. A ．6 B ．5 C ．4 D ．3【答案】C 【解析】 【分析】若n m S S ≤对任意的*n ∈N 恒成立，则m S 为n S 的最大值，所以由已知，只需求出n S 取得最大值时的n 即可. 【详解】由已知，1a >2a >30a >，又三角形有一个内角为120︒，所以22212323a a a a a =++，22211111(2)(4)(2)(4)a a a a a =-+-+--，解得17a =或12a =（舍），故2(1)7(2)82n n n S n n n -=+⨯-=-+，当4n =时，n S 取得最大值，所以4m =. 故选：C. 【点睛】本题考查等差数列前n 项和的最值问题，考查学生的计算能力，是一道基础题. 10．已知不重合的平面,,αβγ 和直线l ，则“//αβ ”的充分不必要条件是（ ） A ．α内有无数条直线与β平行B ．l α⊥ 且l β⊥C ．αγ⊥ 且γβ⊥D ．α内的任何直线都与β平行【答案】B 【解析】 【分析】根据充分不必要条件和直线和平面，平面和平面的位置关系，依次判断每个选项得到答案. 【详解】A. α内有无数条直线与β平行，则,αβ相交或//αβ，排除；B. l α⊥ 且l β⊥，故//αβ，当//αβ，不能得到l α⊥ 且l β⊥，满足；C. αγ⊥ 且γβ⊥，//αβ，则,αβ相交或//αβ，排除；D. α内的任何直线都与β平行，故//αβ，若//αβ，则α内的任何直线都与β平行，充要条件，排除. 故选：B . 【点睛】本题考查了充分不必要条件和直线和平面，平面和平面的位置关系，意在考查学生的综合应用能力.11．如图，设P 为ABC ∆内一点，且1134AP AB AC =+u u u v u u u v u u u v，则ABP ∆与ABC ∆的面积之比为A ．14 B ．13 C ．23D ．16【答案】A 【解析】 【分析】作//PD AC 交AB 于点D ，根据向量比例，利用三角形面积公式，得出ADP S ∆与ABC S ∆的比例，再由ADP S ∆与APB S ∆的比例，可得到结果. 【详解】如图，作//PD AC 交AB 于点D ，则AP AD DP =+u u u r u u u r u u u r，由题意，13AD AB =u u u r u u u r ，14DP AC =u u u r u u u r ，且180ADP CAB ∠+∠=o ，所以11111||||sin ||||sin 223412ADP ABC S AD DP ADP AB AC CAB S ∆∆=∠=⨯⨯∠=又13AD AB =u u u r u u u r ，所以，134APB ADP ABC S S S ∆∆∆==，即14APB ABCS S ∆∆=， 所以本题答案为A. 【点睛】本题考查三角函数与向量的结合，三角形面积公式，属基础题，作出合适的辅助线是本题的关键. 12．若函数f(x)＝a |2x －4|(a>0，a≠1)满足f(1)＝19，则f(x)的单调递减区间是( ) A ．(－∞，2] B ．[2，＋∞) C ．[－2，＋∞) D ．(－∞，－2]【答案】B 【解析】 由f(1)=得a 2=, ∴a=或a=-(舍), 即f(x)=(.由于y=|2x-4|在(-∞,2]上单调递减,在[2,+∞)上单调递增,所以f(x)在(-∞,2]上单调递增,在[2,+∞)上单调递减,故选B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
山西省运城市2019-2020学年高考四诊数学试题含解析
山西省运城市2019-2020学年高考四诊数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知12,F F 分别为双曲线2222:1x y C a b -=的左、右焦点，点P 是其一条渐近线上一点，且以12F F 为直径的圆经过点P ，若12PF F ∆的面积为b 2233，则双曲线的离心率为（ ） A ．3B ．2C ．5D ．3 【答案】B【解析】【分析】根据题意，设点()00,P x y 在第一象限，求出此坐标，再利用三角形的面积即可得到结论.【详解】由题意，设点()00,P x y 在第一象限，双曲线的一条渐近线方程为b y x a =， 所以，00b y x a=， 又以12F F 为直径的圆经过点P ，则OP c =，即22200x y c +=，解得0x a =，0y b =，所以，122012322PF F S c y c b b ∆=⋅⋅=⋅=，即23c b =，即()22243c c a =-， 所以，双曲线的离心率为2e =.故选：B.【点睛】本题主要考查双曲线的离心率，解决本题的关键在于求出a 与c 的关系，属于基础题.2．执行如下的程序框图，则输出的S 是（ ）A ．36B ．45C ．36-D ．45-【答案】A【解析】【分析】 列出每一步算法循环，可得出输出结果S 的值.【详解】18i =≤满足，执行第一次循环，()120111S =+-⨯=-，112i =+=；28i =≤成立，执行第二次循环，()221123S =-+-⨯=，213i =+=；38i =≤成立，执行第三次循环，()323136S =+-⨯=-，314i =+=；48i =≤成立，执行第四次循环，()4261410S =-+-⨯=，415i =+=；58i =≤成立，执行第五次循环，()52101515S =+-⨯=-，516i =+=；68i =≤成立，执行第六次循环，()62151621S =-+-⨯=，617i =+=；78i =≤成立，执行第七次循环，()72211728S =+-⨯=-，718i =+=；88i =≤成立，执行第八次循环，()82281836S =-+-⨯=，819i =+=；98i =≤不成立，跳出循环体，输出S 的值为36，故选：A.【点睛】本题考查算法与程序框图的计算，解题时要根据算法框图计算出算法的每一步，考查分析问题和计算能力，属于中等题.3．甲乙丙丁四人中，甲说：我年纪最大，乙说：我年纪最大，丙说：乙年纪最大，丁说：我不是年纪最大的，若这四人中只有一个人说的是真话，则年纪最大的是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁 【答案】C【解析】【分析】分别假设甲乙丙丁说的是真话，结合其他人的说法，看是否只有一个说的是真话，即可求得年纪最大者，即可求得答案.【详解】①假设甲说的是真话，则年纪最大的是甲，那么乙说谎，丙也说谎，而丁说的是真话，而已知只有一个人说的是真话，故甲说的不是真话，年纪最大的不是甲；②假设乙说的是真话，则年纪最大的是乙，那么甲说谎，丙说真话，丁也说真话，而已知只有一个人说的是真话，故乙说谎，年纪最大的也不是乙；③假设丙说的是真话，则年纪最大的是乙，所以乙说真话，甲说谎，丁说的是真话，而已知只有一个人说的是真话，故丙在说谎，年纪最大的也不是乙；④假设丁说的是真话，则年纪最大的不是丁，而已知只有一个人说的是真话，那么甲也说谎，说明甲也不是年纪最大的，同时乙也说谎，说明乙也不是年纪最大的，年纪最大的只有一人，所以只有丙才是年纪最大的，故假设成立，年纪最大的是丙.综上所述，年纪最大的是丙故选：C.【点睛】本题考查合情推理，解题时可从一种情形出发，推理出矛盾的结论，说明这种情形不会发生，考查了分析能力和推理能力，属于中档题.4．棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -内有一个内切球O ，过正方体中两条异面直线AB ，11A D 的中点,P Q 作直线，则该直线被球面截在球内的线段的长为（ ）A ．2B ．21-C ．2D ．1【答案】C【解析】【分析】连结并延长PO ，交对棱C 1D 1于R ，则R 为对棱的中点，取MN 的中点H ，则OH ⊥MN ，推导出OH ∥RQ ，且OH ＝12RQ ＝22，由此能求出该直线被球面截在球内的线段的长． 【详解】如图，MN 为该直线被球面截在球内的线段连结并延长PO ，交对棱C 1D 1于R ，则R 为对棱的中点，取MN 的中点H ，则OH ⊥MN ，∴OH ∥RQ ，且OH ＝12RQ ＝2，∴MH 2，∴MN ＝2MH =故选：C ．【点睛】本题主要考查该直线被球面截在球内的线段的长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 5．已知非零向量,a b r r 满足0a b ⋅=r r ，||3a =r ，且a r 与a b +r r 的夹角为4π，则||b =r （ ）A ．6B ．C ．D ．3【答案】D【解析】【分析】利用向量的加法的平行四边形法则，判断四边形的形状，推出结果即可．【详解】解：非零向量a r ，b r 满足0a b =r r g ，可知两个向量垂直，||3a =r ，且a r 与a b +r r 的夹角为4π， 说明以向量a r ，b r 为邻边，a b +r r 为对角线的平行四边形是正方形，所以则||3b =r．故选：D ．【点睛】本题考查向量的几何意义，向量加法的平行四边形法则的应用，考查分析问题解决问题的能力，属于基础题．6．已知集合2{|1}M x x ==．N 为自然数集，则下列表示不正确的是（ ）A ．1M ∈B ．{1,1}M =-C ．M ∅⊆D ．M N ⊆ 【答案】D【解析】【分析】 集合{}2{|1}1,1M x x ===-．N 为自然数集，由此能求出结果． 【详解】解：集合{}2{|1}1,1M x x ===-．N 为自然数集， 在A 中，1M ∈，正确；在B 中，{}1,1M =-，正确；在C 中，M ∅⊆，正确；在D 中，M 不是N 的子集，故D 错误．故选：D ．【点睛】本题考查命题真假的判断、元素与集合的关系、集合与集合的关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．△ABC 中，AB ＝3，BC =AC ＝4，则△ABC 的面积是（ ）A ．BC ．3D ．32【答案】A【解析】【分析】由余弦定理求出角A ，再由三角形面积公式计算即可.【详解】 由余弦定理得：2221cos 22AB AC BC A AB AC +-==⋅⋅， 又()0,A π∈，所以得3A π=，故△ABC 的面积1sin 2S AB AC A =⋅⋅⋅=故选：A【点睛】本题主要考查了余弦定理的应用，三角形的面积公式，考查了学生的运算求解能力.8．已知,m n 为两条不重合直线，,αβ为两个不重合平面，下列条件中，αβ⊥的充分条件是（ ） A ．m ∥n m n ,,αβ⊂⊂B ．m ∥n m n ,,αβ⊥⊥C ．m n m ,⊥∥,n α∥βD ．m n m ,⊥n ,αβ⊥⊥ 【答案】D【解析】【分析】根据面面垂直的判定定理，对选项中的命题进行分析、判断正误即可.【详解】 对于A ，当//m n ，m α⊂，n β⊂时，则平面α与平面β可能相交，αβ⊥，//αβ，故不能作为αβ⊥的充分条件，故A 错误；对于B ，当//m n ，m α⊥，n β⊥时，则//αβ，故不能作为αβ⊥的充分条件，故B 错误； 对于C ，当m n ⊥，//m α，//n β时，则平面α与平面β相交，αβ⊥，//αβ，故不能作为αβ⊥的充分条件，故C 错误；对于D ，当m n ⊥，m α⊥，n β⊥，则一定能得到αβ⊥，故D 正确.故选：D.【点睛】本题考查了面面垂直的判断问题，属于基础题.9．函数sin ln ||2y x x π⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭图像可能是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】D【解析】【分析】先判断函数的奇偶性可排除选项A,C ，当0x +→时，可分析函数值为正，即可判断选项.【详解】sin ln ||cos ln ||2y x x x x π⎛⎫=-⋅=- ⎪⎝⎭Q , cos()ln ||cos ln ||x x x x ∴---=-,即函数为偶函数，故排除选项A,C ，当正数x 越来越小，趋近于0时，cos 0,ln ||0x x -<<，所以函数sin ln ||02y x x π⎛⎫=-⋅> ⎪⎝⎭，故排除选项B, 故选：D【点睛】 本题主要考查了函数的奇偶性，识别函数的图象，属于中档题.10．已知抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4，则点A 到抛物线焦点的距离为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】D【解析】试题分析：抛物线24x y =焦点在y 轴上，开口向上，所以焦点坐标为(0,1)，准线方程为1y =-，因为点A 的纵坐标为4，所以点A 到抛物线准线的距离为415+=，因为抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，所以点A 与抛物线焦点的距离为5.考点：本小题主要考查应用抛物线定义和抛物线上点的性质抛物线上的点到焦点的距离，考查学生的运算求解能力.点评：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，这条性质在解题时经常用到，可以简化运算. 11．已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，12a =，且139,,a a a 成等比数列，则8S =（ ） A ．56B ．72C ．88D ．40 【答案】B【解析】【分析】2319a a a =⇔2111(2)(8)a d a a d +=+，将12a =代入，求得公差d ，再利用等差数列的前n 项和公式计算即可.【详解】由已知，2319a a a =，12a =，故2111(2)(8)a d a a d +=+，解得2d =或0d =（舍），故2(1)22n a n n =+-⨯=，1888()4(228)722a a S +==+⨯=. 故选：B.【点睛】 本题考查等差数列的前n 项和公式，考查等差数列基本量的计算，是一道容易题.12．已知正四棱锥S ABCD -的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE SD ，所成的角的余弦值为（ ）A．13B．23C．3D．23【答案】C【解析】试题分析：设AC BD、的交点为O，连接EO，则AEO∠为,AE SD所成的角或其补角；设正四棱锥的棱长为a，则312,,22AE a EO a OA a===，所以222cos2AE OA EOAEOAE OA+-∠=⋅222312()()()32223312()()a a aa a+-==⨯⋅，故C为正确答案．考点：异面直线所成的角．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
山西省2019届高三考前适应性测试数学(理)试题及答案
A 卷选择题答案1.D2.C3.A4.D5.C6.B7.D8.B9.B 10.A 11.A 12.A B 卷选择题答案1.D2.B3.A4.D5.C6.B7.D8.C9.C 10.A 11.B 12.A A 、B 卷非选择题答案二、填空题13.3514.215.2姨+1-3姨16.36343π三、解答题17.解：（1）设等差数列｛a n ｝的公差为d ，等比数列｛b n ｝的公比为q .因为a 3=b 3，a 4=b 4，所以a 2+d =b 2q ，a 2+2d =b 2q 2.又因为a 2=0，b 2=1，所以d =q ，2d =q 2.即有2q=q 2，解得q =2，所以d=2，且a 1=-2，b 1=12.于是a n =2（n -2），b n =2n -2………………………………………………………………………………………….6分（2）S n =1·b 1+2b 2+3b 3+…+（n -1）b n -1+nb n ，①2S n =b 2+2b 3+…+（n -1）b n +nb n+1，②①－②得-S n =b 1+b 2+b 3+…+b n -nb n+1=2n -2（2-2n ）－12，所以S n ＝2n -1（ｎ-1）＋12………………………………………………………………………………………….12分18.（1）证明：连接AC ，交DE 于点G ，连接GF .底面ABCD 为菱形，且E 为BC 中点，∴GC GA =CE DA =12…………………………………………………………….1分∵F 为AP 上一点，且满足P FF F =12F F F A ，∴GF ∥PC.……………………………………………………………………2分又GF 奂平面DEF ，PC 埭平面DEF .......................................................................................，3分∴PC ∥平面DEF (4)（2）解：取AB 的中点为O ，连接DO ，PO ，∵底面ABCD 为菱形，且∠DAB =60°，∴DO ⊥AB .∵平面PAB ⊥平面ABCD ，∴DO ⊥平面PAB .∵AP =PB =2姨2AB ，∴PO ⊥AB ………………………………………………………………………………….6分秘密★启用前2019年山西省高考考前适应性测试理科数学参考答案及评分标准以OP ，OB ，OD 所在的直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz ，则F 23，-13，，，0，B （0，1，0），D （0，0，3姨），E 0，32，3姨2，，.7分∴D 姨姨E =0，32，-3姨2，，，D 姨姨F =23，-13，-3姨，，.设平面DEF 的一个法向量为m =（x ，y ，z ），则m ·D 姨姨E =0，m ·D 姨姨F =0姨，即32y -3姨2z =0，23x -13y -3姨z =0姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨.取z =3姨，则m =（5，1，3姨） (9)易得平面DEB 的一个法向量n=（1，0，0）.10分所以cos ＜m ，n ＞=m ·n m n =529姨=529姨，11分所以二面角F-DE-B 的余弦值为529姨29.12分19．解：（1）根据题意，读出的编号依次是：512，916（超界），935（超界），805，770，951（超界），512（重复），687，858，554，876，647，547，332，将有效的编号从小到大排列，得332，512，547，554，647，687，770，805，858，876，故中位数为647+687=667.3分（2）由题易知，按照系统抽样法，抽出的编号可组成以8为首项，以90为公差的等差数列，故样本编号之和即为该数列的前10项之和S 10=10×8+10×92×90=4130.6分（3）记样本中8个A 题目成绩分别为x 1，x 2，…x 8，2个B 题目成绩分别为y 1，y 2，由题意可知8%i =1移x i =8×7=56，8%i =1移（x i -7）2=8×4=32，2i =1移y i =16，2i =1移（y i -8）2=2×1=2，故样本平均数为8%i =1移x i +2i =1移y i =56+16=7.2.9分样本方差为8%i =1移（x i -7.2）2+2i =1移（y i -7.2）28+2=8i =1移［（x i -7）-0.2］2+2i =1移［（y i-8）+0.8］28+2=8%i =1移（x i -7）2-0.48i =1移（x i -7）+8×0.22+2i =1移（y i -8）2+1.62i =1移（y i -8）+2×0.828+2=32-0+0.32+2+0+1.2810=35.610=3.56.故估计该校900名考生该选做题得分的平均数为7.2，方差为3.56.12分20．解：（1）设B 1（0，b ），B 2（0，-b ）为短轴两端点，P （x ，y ），则x 2a 2+y 2b2=1.………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………由于k PB 1·k PB 2=y-b x ·y+b x =y 2-b 2x 2=-b 2a 2=-12，∴a 2=2b 2.①又Q 在E 上，∴1+3=1.②解①②得a 2=2，b 2=1.所以椭圆E 的方程为x 22+y 2=1………………………………………………………………………………….5分（2）设直线l ：x =my -1，代入x 22+y 2=1得（m 2+2）y 2-2my -1=0.③设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则y 1+y 2=2m ，y 1y 2=-1.……………………………………………………④7分F 222A ·F 222B=（x 1-1，y 1）·（x 2-1，y 2）=（x 1-1）·（x 2-1）+y 1y 2=（my 1-2）·（my 2-2）+y 1y 2=（m 2+1）y 1y 2-2m （y 1+y 2）+4.⑤把④代入⑤得F 222A ·F 222B=7-m 2m 2+2=2，解得m=±1.……………………………………………………………10分由对称性不妨取m =1，则③变为3y 2-2y -1=0，解得y 1=-13，y 2=1.△ABF 2的面积S =1×2（y 2-y 1）=1+1=4...............................................................................12分21．解：（1）f ′（x ）=（kx+k -1）e x -k 即f ′（x ）=k （x +1）e x -△△1-e x (1)由已知得（x 0+1）e x 0-1=0………………………………………………………………………………………….2分令φ（x ）=（x +1）e x -1，则φ′（x ）=（x+2）e x ，当x ∈（-∞，-2）时，φ′（x ）<0，φ（x ）递减，∵x ＜-2，∴x+1＜-1，∴（x+1）·e x ＜0，∴（x +1）e x -1＜0，因此φ（x ）<0；当x ∈（-2，+∞）时，φ′（x ）>0，φ（x ）递增.又φ（0）=0，所以φ（x ）只有唯一零点，故x 0=0…………………………………………………………………….4分（2）f （x ）<0，即k （x e x -x +1）<e x .当x ≥0时，∵e x -1≥0，∴x （e x -1）≥0，∴x （e x -1）+1>0；当x<0时，∵e x -1<0，∴x （e x -1）>0，∴x （e x -1）+1>0.∴x （e x -1）+1>0…………………………………………………………………………………………………….6分∴k （x e x -x +1）<e x 可等价转化为k<e x x e x -x +1.设g （x ）=e x ，由题意k<g （x ）max …………………………………………………………………………….7分又g ′（x ）=e x （2-e x-x ）（x e x -x +1）2，令h （x ）=2-e x -x ，则h ′（x ）=-e x -1<0，∵h ′（x ）<0，∴h （x ）在R 上单调递减，又∵h（0）>0，h （1）<0，∴埚x 0∈（0，1），使得h （x 0）=0，即e x 0=2-x 0……………………………………………….9分当x ∈（-∞，x 0）时，h （x ）>0即g ′（x ）>0，g （x ）递增；当x ∈（x 0，+∞）时，h （x ）<0即g ′（x ）<0，g （x ）递减.………………………………………………………………10分∴g （x ）max =g （x 0）=e x 0x 0e x 0-x 0+1=2-x 0x 0（2-x 0）-x 0+1=1x 0-2+10-2+3.令t=x 0-2［t ∈（-2，-1）］，则y=t +1+3∈12，埚埚1，∴g （x ）max ∈（1，2），故整数k 的最大值为1 (12)22．解：（1）设P 3姨cos 兹，姨姨兹，由三角形面积公式3姨43姨cos 兹332=3姨，解得cos 2兹=3，∴cos 兹=±3姨，兹=π.∵△OPQ 为正三角形，∴OQ 的极角为π2，且OP =OQ =2.∴Q 点极坐标为2，π233………………………………………………………………………………………….5分（2）∵△OPQ 为正三角形，计算可得其外接圆直径OR =43姨3，设M （ρ，兹）为△OPQ 外接圆上任意一点，在Rt △OMR 中，cos π-33兹=ρOR，∴M （ρ，兹）满足ρ=43姨3cos π3-33兹.故△OPQ 外接圆的方程为ρ=43姨cos π3-33兹…………………………………………………………….8分直线l ：x =3姨，△OPQ 外接圆的直角坐标方程为x 2+y 2-23姨3x -2y =0，即x -3姨3332+（y -1）2=43.圆心到直线的距离d =23姨3，即为半径，故直线l 与△OPQ 外接圆相切……………………………………………………………………………….10分23.解：（1）当a =0时，不等式f （x ）≥0化为：x +1-2x -1≥0，移项得x +1≥2x -1，平方分解因式得（3x -1）（x -3）≤0，解得13≤x ≤3.解集为x 13≤x ≤333………………………………………………………………………………………….5分（2）化简得f （x ）=x -3+a ，x ≤-1，3x -1+a ，-1＜x ≤1，-x +3+a ，x ＞133333333333.……………………………………………………………………………7分根据题意，只需要考虑x ＞1时，两函数的图象位置关系.当x ＞1时，f （x ）=-x +3+a .由y =-x 2+8x -14得y ′=-2x +8.设二次函数与直线y =-x +3+a 的切点为（x 0，y 0），则-2x 0+8=－1，解得x 0=92，所以y 0=74.代入f （x ）=-x +3+a ，解得a =134.所以a 的取值范围是a ＞13…………………………………………………………………………………….10分。
2019年4月山西省运城市高考数学模拟试卷(理科)含答案解析
2019年山西省运城市高考数学模拟试卷（理科）（4月份）一、选择题（每小题5分，共60分）1．设全集为R，集合A={x|≥0}，B={x|﹣2≤x＜0}，则（∁R A）∩B=（）A．（﹣1，0）B．[﹣1，0）C．[﹣2，﹣1]D．[﹣2，﹣1）2．复数=（）A．1﹣2i B．1+2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i3．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若2a6=a8+6，则S7是（）A．49 B．42 C．35 D．244．运行如图所示的程序框图，则输出S的值为（）A．﹣3 B．﹣2 C．4 D．85．如图为一个圆柱中挖去两个完全相同的圆锥而形成的几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．πB．πC．πD．π若x，y具有线性相关关系，且=x+2.6，则下列四个结论错误的是（）A．x与y是正相关B．当x=6时，y的估计值为8.3C．x每增加一个单位，y增加0.95个单位D．样本点（3，4.8）的残差为0.567．设偶函数f（x）对任意x∈R，都有f（x+3）=﹣，且当x∈[﹣3，﹣2]时，f（x）=4x，则f=（）A．10 B．C．﹣10 D．﹣8．已知椭圆+=1的右焦点为F，P是椭圆上一点，点A（0，2），则△APF的周长最大值等于（）A．10 B．12 C．14 D．159．为了研究钟表与三角函数的关系，以9点与3点所在直线为x轴，以6点与12点为y轴，设秒针针尖指向位置P（x，y），若初始位置为P0（，），秒针从P0（注此时t=0）开始沿顺时针方向走动，则点P的纵坐标y与时间t（秒）的函数关系为（）A．y=sin（t+） B．y=sin（t﹣）C．y=sin（﹣t+）D．y=sin（﹣t﹣）10．在三棱锥D﹣ABC中，已知AB=BC=AD=，BD=AC=2，BC⊥AD，则三棱锥D﹣ABC外接球的表面积为（）A．6πB．12πC．6πD．6π11．设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|=|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率e为（）A．B．C．D．12．定义在R上的函数f（x）满足f（1）=1，且对任意的x∈R，都有f′（x）＜，则不等式f（log2x）＞的解集为（）A．（1，+∞）B．（0，1）C．（0，2）D．（2，+∞）二、填空题（每小题5分，共20分）13．已知非零向量，满足||=2，且|+|=|﹣|，则向量﹣在向量方向上的投影是．14．（1﹣x）6（1+x）4的展开式中x2的系数是．15．设实数x，y满足不等式组，则z=|x+y﹣10|的最大值是．16．已知数列{a n}满足[2﹣（﹣1）n]a n+[2+（﹣1）n]a n+1=1+（﹣1）n×3n，则a25﹣a1=．三、解答题（本题共5小题，共70分）17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足2acosB=2c﹣b．（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）若△ABC的面积为，且a=，请判断△ABC的形状，并说明理由．18．如图，四棱猪ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，A1A=AB=2，E为棱AA1的中点．（1）证明：B1C1⊥CE；（2）求二面角B1﹣CE﹣C1的余弦值．19．某省高中男生身高统计调查数据显示：全省100000名男生的身高服从正态分布N．现从某学校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于157.5cm 和187.5cm之间，将测量结果按如下方式分成6组：第1组[157.5，162.5），第2组[162.5，167.5），…，第6组[182.5，187.5]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（Ⅰ）试评估该校高三年级男生的平均身高；（Ⅱ）求这50名男生身高在177.5cm以上（含177.5cm）的人数；（Ⅲ）在这50名男生身高在177.5cm以上（含177.5cm）的人中任意抽取2人，该2人中身高排名（从高到低）在全省前130名的人数记为ξ，求ξ的分布列和数学期望．参考数据：若ξ～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ≤μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜ξ≤μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣3σ＜ξ≤μ+3σ）=0.9974．20．已知抛物线x2=2py（p＞0）的顶点到焦点的距离为1，过点P（0，p）作直线与抛物线交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，其中x1＞x2．（1）若直线AB的斜率为，过A，B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程；（2）若=λ，是否存在异于点P的点Q，使得对任意λ，都有⊥（﹣λ），若存在，求Q点坐标；不存在，说明理由．21．设函数f（x）=（x+1）lnx﹣a（x﹣1）．（1）若函数f（x）在x=e处的切线与y轴相交于点（0，2﹣e），求a的值；（2）当1＜x＜2时，求证：＞﹣．四、选做题（请考生在第22、23、24题中任选一题作答，若多做，则按所做的第一题计分）[几何证明选讲]22．如图，正方形ABCD边长为2，以D为圆心、DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆O交于点F，连结CF并延长交AB于点E．（1）求证：AE=EB；（2）求EF•FC的值．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位建立坐标系，已知直线l的极坐标方程为2ρcosθ+ρsinθ=3，曲线C的参数方程为（α为参数）．（Ⅰ）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）P（1，1），设直线l与曲线C相交于A、B两点，求|PA|•|PB|的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣2|．（1）解不等式f（x）+f（x+1）≥5；（2）若|a|＞1且，证明：|b|＞2．2019年山西省运城市高考数学模拟试卷（理科）（4月份）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1．设全集为R，集合A={x|≥0}，B={x|﹣2≤x＜0}，则（∁R A）∩B=（）A．（﹣1，0）B．[﹣1，0）C．[﹣2，﹣1]D．[﹣2，﹣1）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】先解出关于集合A的不等式，求出A的补集，从而求出其补集与B的交集．【解答】解：∵集合A={x|≥0}={x|﹣1＜x≤1}=（﹣1，1]，∴∁R A=（﹣∞，﹣1]∪（1，+∞），∵B={x|﹣2≤x＜0}=[﹣2，0）∴（∁R A）∩B=[﹣1，0）故选：B．2．复数=（）A．1﹣2i B．1+2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把分子分母同时乘以分母的共轭复数，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：=，故选：A．3．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若2a6=a8+6，则S7是（）A．49 B．42 C．35 D．24【考点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．【分析】设等差数列{a n}的公差为d，由2a6=a8+6，可得a4=6．由等差数列的性质可得：a1+a7=2a4．再利用前n项和公式即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵2a6=a8+6，∴2（a1+5d）=a1+7d+6，化为a1+3d=6即a4=6．由等差数列的性质可得：a1+a7=2a4．∴=7a4=7×6=42．故选B．4．运行如图所示的程序框图，则输出S的值为（）A ．﹣3B ．﹣2C ．4D ．8【考点】程序框图．【分析】分析程序框图知：该程序运行后输出的是S=1﹣1+2﹣3+…+（﹣1）n •n 的值，根据最后一次循环的情况即可得出结论．【解答】解：运行如图所示的程序框图，知：该程序运行后输出的是S=1﹣1+2﹣3+…+（﹣1）n •n 的值； 当n=5时，满足条件n ≤5，计算S=1﹣1+2﹣3+4﹣5=﹣2； 当n=6时，不满足条件n ≤5，输出S=﹣2． 故选：B ．5．如图为一个圆柱中挖去两个完全相同的圆锥而形成的几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．πB ．πC ．πD ．π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】V=V 圆柱﹣2V 圆锥，由三视图可观察圆柱的底面直径为2，高为2，圆锥的底面直径为2，高为1，由圆柱和圆锥的体积公式，即可求得几何体的体积．【解答】解：圆柱的底面直径为2，高为2，圆锥的底面直径为2，高为1，该几何体的体积V=V 圆柱﹣2V 圆锥==，故答案为：C若x ，y 具有线性相关关系，且=x +2.6，则下列四个结论错误的是（ ）A ．x 与y 是正相关B．当x=6时，y的估计值为8.3C．x每增加一个单位，y增加0.95个单位D．样本点（3，4.8）的残差为0.56【考点】线性回归方程．【分析】求出回归方程，分别将对应的数据代入方程分别对各个选项判断即可．【解答】解：对于A：结合表格，显然正确；对于B：=（0+1+3+4）=2，=（2.2+4.3+4.8+6.7）=4.5，∴4.5=2+2.6，解得：=0.95，∴=0.95+2.6，x=6时，=0.95×6+2.6=8.3，故B正确；对于C：由=0.95+2.6，得C正确；对于D：x=3时，=0.95×3+2.6=5.45，残差是：5.45﹣4.8=0.65，故D错误；故选：D．7．设偶函数f（x）对任意x∈R，都有f（x+3）=﹣，且当x∈[﹣3，﹣2]时，f（x）=4x，则f=（）A．10 B．C．﹣10 D．﹣【考点】函数的周期性．【分析】先通过有f（x+3）=﹣，且可推断函数f（x）是以6为周期的函数．进而可求得f=f（5.5），再利用f（x+3）=﹣以及偶函数f（x）和x∈[﹣3，﹣2]时，f（x）=4x即可求得f的值．【解答】解：因为f（x+3）=﹣，故有f（x+6）=﹣=﹣=f（x）．函数f（x）是以6为周期的函数．f=f（6×17+5.5）=f（5.5）=﹣=﹣=﹣=．故选B8．已知椭圆+=1的右焦点为F，P是椭圆上一点，点A（0，2），则△APF的周长最大值等于（）A．10 B．12 C．14 D．15【考点】椭圆的简单性质．【分析】如图所示，设椭圆的左焦点为F′，|AF|==4=|AF′|，|PF|+|PF′|=2a=6，利用|PA|﹣|PF′|≤|AF′|，即可得出．【解答】解：如图所示，设椭圆的左焦点为F′，|AF|==4=|AF′|，则|PF|+|PF′|=2a=6，∵|PA|﹣|PF′|≤|AF′|，∴△APF的周长=|AF|+|PA|+|PF|=|AF|+|PA|+6﹣|PF′|≤4+6+4=14，当且仅当三点A，F′，P共线时取等号．∴△APF的周长最大值等于14．故选：C．9．为了研究钟表与三角函数的关系，以9点与3点所在直线为x轴，以6点与12点为y轴，设秒针针尖指向位置P（x，y），若初始位置为P0（，），秒针从P0（注此时t=0）开始沿顺时针方向走动，则点P的纵坐标y与时间t（秒）的函数关系为（）A．y=sin（t+） B．y=sin（t﹣）C．y=sin（﹣t+）D．y=sin（﹣t﹣）【考点】正弦函数的图象．【分析】求出转速ω的值，再求出经过时间t，秒针与x正半轴的夹角以及秒针的长度为|OP|，即可求得点P的纵坐标y与时间t的函数关系．【解答】解：以9点与3点所在直线为x轴，以6点与12点为y轴，设秒针针尖指向位置P（x，y），若初始位置为P0（，），秒针从P0（注此时t=0）开始沿顺时针方向走动，由于秒针每60秒顺时针转一周，故转速ω=﹣=﹣，由于初始位置为P0（，），故经过时间t，秒针与x正半轴的夹角为﹣t+，再由秒针的长度为|OP|=1，可得点P的纵坐标y与时间t的函数关系为y=sin（﹣t+），故选：C．10．在三棱锥D﹣ABC中，已知AB=BC=AD=，BD=AC=2，BC⊥AD，则三棱锥D﹣ABC外接球的表面积为（）A．6πB．12πC．6πD．6π【考点】球的体积和表面积．【分析】利用直线平面的垂直得出BD⊥BC，AD⊥AC利用直角三角形的性质得出球心，即可求解外接球的半径．【解答】解：∵AB=BC=AD=，BD=AC=2，BC⊥AD，∴AB2+BC2=AC2，AD2+AB2=BD2，AB⊥BC，AD⊥AB，∵BC∩AB=C，AB∩BC=B，∴BC⊥面ABD，AD⊥面ABC，∵BD⊂面ABD，AC⊂面ACB；∴BD⊥BC，AD⊥AC，∵O为DC中点，∴直角三角形中得出：OA=OB=OC=OD，O 为外接球的球心，半径R==，∴三棱锥D﹣ABC外接球的表面积为：4π×（）2=6π，故选：A．11．设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|=|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率e为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a与b之间的等量关系，进而求出离心率．【解答】解：依题意|PF2|=|F1F2|，可知三角形PF2F1是一个等腰三角形，F2在直线PF1的投影是其中点，由勾股定理知可知|PF1|=2=4b根据双曲定义可知4b﹣2c=2a，整理得c=2b﹣a，代入c2=a2+b2整理得3b2﹣4ab=0，求得=；∴e====．故选：D．12．定义在R上的函数f（x）满足f（1）=1，且对任意的x∈R，都有f′（x）＜，则不等式f（log2x）＞的解集为（）A．（1，+∞）B．（0，1）C．（0，2）D．（2，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】设g（x）=f（x）﹣x，由f′（x）＜，得到g′（x）小于0，得到g（x）为减函数，将所求不等式变形后，利用g（x）为减函数求出x的范围，即为所求不等式的解集．【解答】解：设g（x）=f（x）﹣x，∵f′（x）＜，∴g′（x）=f′（x）﹣＜0，∴g（x）为减函数，又f（1）=1，∴f（log2x）＞=log2x+，即g（log2x）=f（log2x）﹣log2x＞=g（1）=f（1）﹣=g（log22），∴log2x＜log22，又y=log2x为底数是2的增函数，∴0＜x＜2，则不等式f（log2x）＞的解集为（0，2）．故选：C．二、填空题（每小题5分，共20分）13．已知非零向量，满足||=2，且|+|=|﹣|，则向量﹣在向量方向上的投影是﹣2．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由|+|=|﹣|可得=0，计算（），代入投影公式计算即可．【解答】解：∵|+|=|﹣|，∴，即=0．∴（）==﹣4．∴向量﹣在向量方向上的投影为||•===﹣2．故答案为：﹣2．14．（1﹣x）6（1+x）4的展开式中x2的系数是﹣3．【考点】二项式系数的性质．【分析】由（1﹣x）6（1+x）4变形为：（1﹣x2）4（1﹣2x+x2）=（1﹣+…）（1﹣2x+x2），即可得出．【解答】解：（1﹣x）6（1+x）4=（1﹣x2）4（1﹣2x+x2）=（1﹣+…）（1﹣2x+x2），∴展开式中x2的系数1﹣=﹣3．故答案为：﹣3．15．设实数x，y满足不等式组，则z=|x+y﹣10|的最大值是8．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用点到直线的距离公式进行转化求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，z=|x+y﹣10|=•，设d=，则d的几何意义是区域内的点到直线x+y﹣10=0的距离，则z=•d，由图象知D到直线x+y﹣10=0的距离最大，其中D（1，1），此时d==，则z=•d=•=8，故答案为：8，16．已知数列{a n}满足[2﹣（﹣1）n]a n+[2+（﹣1）n]a n+1=1+（﹣1）n×3n，则a25﹣a1=300．【考点】数列递推式．【分析】由[2﹣（﹣1）n]a n+[2+（﹣1）n]a n+1=1+（﹣1）n×3n，当n=2k（k∈N*），可得：a2k+3a2k+1=1+6k，n=2k﹣1（k∈N*），可得：3a2k﹣1+a2k=1﹣6k+3，于是a2k+1﹣a2k﹣1=4k﹣1，利用“累加求和”方法与等差数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：∵[2﹣（﹣1）n]a n+[2+（﹣1）n]a n+1=1+（﹣1）n×3n，∴n=2k（k∈N*），可得：a2k+3a2k+1=1+6k，n=2k﹣1（k∈N*），可得：3a2k﹣1+a2k=1﹣6k+3，∴a2k+1﹣a2k﹣1=4k﹣1，∴a25=（a25﹣a23）+（a23﹣a21）+…+（a3﹣a1）+a1=（4×12﹣1）+（4×11﹣1）+…+（4×1﹣1）+a1=﹣12+a1=300+a1．则a25﹣a1=300，故答案为：300．三、解答题（本题共5小题，共70分）17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足2acosB=2c﹣b．（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）若△ABC的面积为，且a=，请判断△ABC的形状，并说明理由．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ）由正弦定理，三角形内角和定理化简已知可得2cosAsinB=sinB，由sinB≠0，可得cosA=，结合范围0＜A＜π，即可求得A的值．（Ⅱ）利用特殊角的三角函数值可求sinA，利用三角形面积公式可求bc的值，由余弦定理解得b2+c2=6，从而解得b=c=a=，即可得解．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）∵2acosB=2c﹣b，由正弦定理，可得：2sinAcosB=2sinC﹣sinB，又∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，…∴2cosAsinB=sinB，在△ABC中，sinB≠0，故cosA=，…∵0＜A＜π，∴A=…（Ⅱ）△ABC是等边三角形，理由如下：∵由（Ⅰ）可知A=，∴sinA=，∴S△ABC=bcsinA=．解得bc=3，由余弦定理：a2=b2+c2﹣2bccosA，解得b2+c2=6…解得：c=，b=，∴△ABC是等边三角形…18．如图，四棱猪ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，A1A=AB=2，E为棱AA1的中点．（1）证明：B1C1⊥CE；（2）求二面角B1﹣CE﹣C1的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法．【分析】（Ⅰ）由题意可知，AD，AB，AA1两两互相垂直，以a为坐标原点建立空间直角坐标系，标出点的坐标后，求出和，由•=0得到B1C1⊥CE；（Ⅱ）求出平面B1CE和平面CEC1的一个法向量，先求出两法向量所成角的余弦值，由此能求出二面角B1﹣CE﹣C1的余弦值．【解答】证明：（1）∵四棱锥ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，A1A=AB=2，E为棱AA1的中点．∴以点A为原点，AD，AA1，AB分别为x，y，zlm，建立空间直角坐标系，如图，依题意得A（0，0，0），B（0，0，2），C（1，0，1），B1（0，2，2），C1（1，2，1），E （0，1，0）．则=（1，0，﹣1），=（﹣1，1，﹣1），∵•=（1，0，﹣1）•（﹣1，1，﹣1）=0．∴B1C1⊥CE．解：（2）解：=（1，﹣2，﹣1），设平面B1CE的法向量为=（x，y，z），则，取z=1，得x=﹣3，y=﹣2．∴=（﹣3，﹣2，1）．由（Ⅰ）知B1C1⊥CE，又CC1⊥B1C1，∴B1C1⊥平面CEC1，故=（1，0，﹣1）为平面CEC1的一个法向量，cos＜＞===﹣，∵二面角B1﹣CE﹣C1的平面角为锐角，∴二面角B1﹣CE﹣C1的余弦值为．19．某省高中男生身高统计调查数据显示：全省100000名男生的身高服从正态分布N．现从某学校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于157.5cm 和187.5cm之间，将测量结果按如下方式分成6组：第1组[157.5，162.5），第2组[162.5，167.5），…，第6组[182.5，187.5]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（Ⅰ）试评估该校高三年级男生的平均身高；（Ⅱ）求这50名男生身高在177.5cm以上（含177.5cm）的人数；（Ⅲ）在这50名男生身高在177.5cm以上（含177.5cm）的人中任意抽取2人，该2人中身高排名（从高到低）在全省前130名的人数记为ξ，求ξ的分布列和数学期望．参考数据：若ξ～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ≤μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜ξ≤μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣3σ＜ξ≤μ+3σ）=0.9974．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（I）计算平均身高用组中值×频率，即可得到结论；（II）先理解频率分布直方图横纵轴表示的意义，横轴表示身高，纵轴表示频数，即每组中包含个体的个数；根据频数分布直方图，了解数据的分布情况，知道每段所占的比例，从而求出这50名男生身高在177.5cm以上（含177.5cm）的人数；（III）先根据正态分布的规律求出全市前130名的身高在182.5cm以上的50人中的人数，确定ξ的可能取值，求出其概率，即可得到ξ的分布列与期望．（Ⅰ）根据频率分布直方图，得我校高三年级男生平均身高为=160×0.02×5+165【解答】解：×0.04×5+170×0.06×5+175×0.04×5+180×0.02×5+185×0.02×5=171.5，∴高于全市的平均值170.5；（Ⅱ）由频率分布直方图知，后两组频率为0.2，∴人数为0.2×50=10，即这50名男生身高在177.5cm以上（含177.5 cm）的人数为10人；…（Ⅲ）∵P=0.9974，∴P（ξ≥182.5）==0.0013，∴0.0013×100 000=130，全省前130名的身高在182.5 cm以上，这50人中182.5 cm以上的有5人；∴随机变量ξ可取0，1，2，于是P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，∴Eξ=0×+1×+2×=1．…20．已知抛物线x2=2py（p＞0）的顶点到焦点的距离为1，过点P（0，p）作直线与抛物线交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，其中x1＞x2．（1）若直线AB的斜率为，过A，B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程；（2）若=λ，是否存在异于点P 的点Q ，使得对任意λ，都有⊥（﹣λ），若存在，求Q 点坐标；不存在，说明理由．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）先求出p 的值，再求出直线方程，求出A ，B 的坐标，根据导数的几何意义求出切线的斜率，设圆C 的方程为（x ﹣a ）2+（y ﹣b ）2=r 2，利用待定系数法解得即可， （2）依题意可设直线AB 的方程为y=kx +2，代入抛物线方程x 2=4y ，根据未达定理得到x 1x 2=﹣8，若k=0，这时λ=1，设点Q 的坐标是（0，m ），利用向量的坐标运算和向量的垂直的条件得到即（x 1+x 2）（x 1x 2﹣4m ）=0，代入计算即可求出m 的值．【解答】解：（1）由已知得p=2，直线和y 轴交于点（0，2），则直线AB 的方程为y ﹣2=x ，即x ﹣2y +4=0，由得A ，B 的坐标分别为（4，4），（﹣2，1），又由x 2=4y ，得到y=x 2，∴y ′=x ，∴抛物线抛物线在点A 处切线的斜率为2，设圆C 的方程为（x ﹣a ）2+（y ﹣b ）2=r 2，则，解得a=﹣1，b=，r 2=，∴圆的方程为（x +1）2+（y ﹣）2=， 即为x 2+y 2+2x ﹣13x +12=0，（2）依题意可设直线AB 的方程为y=kx +2，代入抛物线方程x 2=4y 得x 2﹣4kx ﹣8=0， ∴x 1x 2=﹣8，①，由已知=λ得﹣x 1=λx 2，若k=0，这时λ=1，要使⊥（﹣λ），Q 点必在y 轴上，设点Q 的坐标是（0，m ），从而=（0，2﹣m ），﹣λ=（x 1，y 1﹣m ）﹣λ（x 2，y 2﹣m ）=（x 1﹣λx 2，y 1﹣m ﹣λ（y 2﹣m ））∴•（﹣λ）=（2﹣m ）[y 1﹣λy 2﹣m （1﹣λ）]=0，∴y 1﹣λy 2﹣m （1﹣λ）=0，即+﹣m （1+）=0，即（x 1+x 2）（x 1x 2﹣4m ）=0，将①代入得m=﹣2，∴存在点Q （0，﹣2）使得⊥（﹣λ）．21．设函数f（x）=（x+1）lnx﹣a（x﹣1）．（1）若函数f（x）在x=e处的切线与y轴相交于点（0，2﹣e），求a的值；（2）当1＜x＜2时，求证：＞﹣．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求函数的导数，根据导数的几何意义即可求出函的切线斜率，即可求得a的值；（2）a=2时，f（x）=（x+1）lnx﹣2（x﹣1），得到f（x）在（1，2）上是增函数，可知（x+1）lnx＞2（x﹣1），即＜利用函数的单调性，求得﹣＜，根据对数函数的运算即可证明不等式成立．【解答】解：（1）f′（x）=lnx++1﹣a，x∈（0，+∞）由题意可知：=f′（e），整理得：e+1﹣a（e﹣1）﹣（2﹣e）=e（1++1﹣a），解得a=2；证明：（2）当a=2时，f（x）=（x+1）lnx﹣2（x﹣1），f′（x）=lnx+﹣1，f″（x）=＞0，∴f′（x）在（1，2）递增，∴f′（x）＞f′（1）=0，∴f（x）在（1，2）上是增函数，∴f（x）＞f（1）=0，即（x+1）lnx＞2（x﹣1），∴＜，①∵1＜x＜2，∴0＜2﹣a＜1，＞1，∴＜=，即﹣＜，②①+②得：﹣＜+=，∴原式成立．四、选做题（请考生在第22、23、24题中任选一题作答，若多做，则按所做的第一题计分）[几何证明选讲]22．如图，正方形ABCD边长为2，以D为圆心、DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆O交于点F，连结CF并延长交AB于点E．（1）求证：AE=EB；（2）求EF•FC的值．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）由题意得EA为圆D的切线，由切割线定理，得EA2=EF•EC，EB2=EF•EC，由此能证明AE=EB．（2）连结BF，得BF⊥EC，在RT△EBC中，，由射影定理得EF•FC=BF2，由此能求出结果．【解答】（1）证明：由以D为圆心DA为半径作圆，而ABCD为正方形，∴EA为圆D的切线依据切割线定理，得EA2=EF•EC…另外圆O以BC为直径，∴EB是圆O的切线，同样依据切割线定理得EB2=EF•EC…故AE=EB…（2）解：连结BF，∵BC为圆O直径，∴BF⊥EC在RT△EBC中，有…又在Rt△BCE中，由射影定理得EF•FC=BF2=．…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位建立坐标系，已知直线l的极坐标方程为2ρcosθ+ρsinθ=3，曲线C的参数方程为（α为参数）．（Ⅰ）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）P（1，1），设直线l与曲线C相交于A、B两点，求|PA|•|PB|的值．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（I）曲线C的参数方程为（α为参数），利用cos2α+sin2α=1可得普通方程．把代入直线l的极坐标方程为2ρcosθ+ρsinθ=3，可得直角坐标方程．（II）由于P（1，1）在直线l上，可得直线l的参数方程：（t为参数），代入椭圆方程可得：﹣23=0，利用|PA|•|PB|=|t1t2|即可得出．【解答】解：（I）曲线C的参数方程为（α为参数），利用cos2α+sin2α=1可得普通方程：=1．由直线l的极坐标方程为2ρcosθ+ρsinθ=3，可得直角坐标方程：2x+y﹣3=0．（II）由于P（1，1）在直线l上，可得直线l的参数方程：（t为参数），代入椭圆方程可得：﹣23=0，∴t1t2=﹣，∴|PA|•|PB|=|t1t2|=．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣2|．（1）解不等式f（x）+f（x+1）≥5；（2）若|a|＞1且，证明：|b|＞2．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）通过讨论x的范围，去掉绝对值号，解不等式即可；（2）求出f（ab）和f（），代入不等式，问题转化为|ab﹣2|＞|b﹣2a|，平方证明即可．【解答】（1）解：原不等式等价于|x﹣2|+|x﹣1|≥5，当x＞2时，不等式可化为：（x﹣2）+（x﹣1）≥5，解得：x≥4，当1≤x≤2时，不等式可化为（2﹣x）+（x﹣1）≥5，1≥5，无解，x＜1时，不等式可化为：（2﹣x）+（1﹣x）≥5，解得：x≤﹣1，综上，不等式的解集是{x|x≥4或x≤﹣1}；（2）证明：⇔|ab﹣2|＞|a||﹣2|⇔|ab﹣2|＞|b﹣2a|⇔（ab﹣2）2＞（b﹣2a）2⇔a2b2+4﹣b2﹣4a2＞0⇔（a2﹣1）（b2﹣4）＞0，∵|a|＞1，∴a2﹣1＞0，∴b2﹣4＞0，∴|b|＞2，证毕．2019年9月6日第21页（共21页）。