近世代数第9讲
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③.S8 的单位(恒等置换) 0 1 2 3 同上,习惯写成 0 1. 定义 2. Sn 中的一个将 i1变到 i2 ， i2 变到 i3,,ik 变回到 i1而其余 文字（如果还有其他文字）不发生变化的置换，叫做 k —循
环置换（或称 k —循环）,记为( i1,i2 ,i3 ik )
换 1 4 2 3 5”
②.一般地,每个循环的表达方法不唯一,例如.
1 4 2 3 5 2 3 5 1 4 5 1 4 2 3
这是 因为,每个循环置换都可视为一个首尾相接的圆环:
所以,循环中的每个文字都可以置于首位.一旦首位确定后,整个循环
置换的表达形式也就确定了.
但习惯上,总是将循环置换中出现的最小文字置在首位.
变换群等等。对每个群类进行研究以设法回答上述三个问题。 可惜 ， 人们能弄清的群当今只有少数几类（后面的循环群就 是完全解决了的一类群）大多数还在等待人们去解决。
变换群是一类应用非常广泛的群，它的具有代表性的特 征—置换群，是现今所研究的一切抽象群的来源，是抽象代 数创始人 E.Galais(1811-1832)在证明次数大于四的一元代 数方程不可能用根号求解时引进的。
本讲的重点与难点：对于置换以及置换群需要侧重注意的是： 对称群和交错群的结构和置换的分解定理（定理 2）。
注意：由有限群的 cayley 定理可知：如把所有置换群研究 清楚了。就等于把所有有限群都研究清楚了，但经验告诉我 们，研究置换群并不比研究抽象群容易。所以，一般研究抽 象群用的还是直接的方法。并且也不能一下子把所有群都不 得找出来。因为问题太复杂了。人们的方法是将群分成若干 类（即附加一定条件）；譬如有限群；无限群；变换群；非
置 换 群(pormutation group)
本讲的教学目的和要求:置换群是一种特殊的变换群。换句话 说，置换群就是有限集上的变换群。由于是定义在有限集上， 故每个置换的表现形式，固有特点都是可揣测的。这一讲主 要要求：
1、 弄清置换与双射的等同关系。 2、掌握置换—轮换—对换之间的联系和置换的奇偶性。 3、置换的分解以及将轮换表成对换之积的基本方法要 把握。 4、对称群与交错群的结构以及有限群的 cayley 定理需 要理解。
2 1
23 12
2 1
3311
2 3
23
三 循环置换及循环置换分解.
(1)循环置换(轮换)
前面我们已经引入了置换的记法,下面,再介绍一种记法.
设 有 8 元 置 换 14
2 3
3 5
4 2
5 1
6 6
7 7
88 , 的 变 换 过 程 为
1 4 2 3 5 1,即其他元素都不改变,若将不发生改变的
换句话说: 12
2 3
3113
2 2
31 11
2 2
33
例1. 计算下列置换的乘积:
(1) , (2) 2 , (3) 2 .
解:
13
2 1
2312
2 3
31 11
2 2
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2 11
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3311
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23
2 13
2 1
2311
2 2
33 13
2 1
写这就可以让我们都统一在一种表示置换的方法内进行研
究工作了.习惯上称它为三元置换.
二.置换的乘积.
设 A 1 , 2 , 3的任二个置换
12
2 3
31 , 13
2 1
23 ,那么由于 和 都是一一变换,于是
也是 A 的一一变换.且有 :1 1, 2 2 , 3 3 .
用本教材的记法为:1 1, 2 2 , 3 3 .
的具体内容.故可证 A 1 , 2 , 3.故此. :1 2 , 2 3 , 3 1.稍
1 23
做修改: ：
231
= 12
2 3
31 .用 = 12
2 3
31 来描述 A 的
一个置换的方便之处是显而易见的.当然,上述的置换可记
为
2 3
1 2
31 ， 13
1 2
23 …,但习惯上都将第一行按自然序列排
一． 置换群的基本概念 定义 1.任一集合 A 到自身的映射都叫做 A 的一个变换，如果 A
是有限集且变换是一一变换（双射），那么这个变换 为 A 的一个置换。 有限集合 A 的若干个置换若作成群，就叫做置换群。 含有 n 个元素的有限群 A 的全体置换作成的群，叫做 n 次对称群。通常记为 Sn . 明示：由定义 1 知道，置换群就是一种特殊的变换群（即有 限集合上的变换群）而 n 次对称群 Sn 也就是有限集合 A 的完全 变换群。 现以 A a1 , a2 , a3为例，设 ： A A 是 A 的一一变换。即 : a1 a2 , a2 a3 , a3 a1 ,利用 本 教材 中 特定 的表 示 方法 有 ： ， ， . a1 a2 a2 a3 a3 a1 由于映射中只关心元素之间的对称关系.而不在乎元素
例 3．在 S5 中.
12
2 3
3 1
4 4
55 1
2
3
叫作 3—循环置换.
12
2 3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3 4
4 5
5 1
1
2
3
4
5
叫作 5—循环置换.
11
2 2
3 3
4 4
55 1
叫作 1—循环置换.
（2）循环置换分解
2 3
31 , 4 13
2 1
32 , 5 13
2 2
31
所以 S3 3! b .其中 0 是恒等变换.即 0 是 S3 的单位元.
定理 1. n 次对称群 Sn 的阶是 n!.
由于置换群也是变换群,故必蕴含着变换群的一切特征.
譬如,不可交换性:
11
2 3
2312
2 1
33 12
2 3
31 13
文 字 都 删 掉 ,那 么 上 述 置 换 可 写 成 循 环 置 换 的 形 式 :
1 4 2 3 5
注意:①循环置换是置换的另一种表达形式,它以发生变化的文字的
变化次序为序,表达成轮换的形式.虽然表达形式简捷,但所含置换的 原有文字的数目可能反映不出来.这要求事先予以说明.例如.“8 元置
23
注意:置换乘积中,是从左到右求变换值,这是与过去的习惯
方法不同的.
例2. 设 A 1 , 2 , 3,那么 A 的全部一一变换构成的三次对称群
为
S3 0 , 1, 2 , 3 , 4 , 5 .其中
0 11
2 2
33 , 1 11
2 3
23 , 2 12
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环置换（或称 k —循环）,记为( i1,i2 ,i3 ik )
换 1 4 2 3 5”
②.一般地,每个循环的表达方法不唯一,例如.
1 4 2 3 5 2 3 5 1 4 5 1 4 2 3
这是 因为,每个循环置换都可视为一个首尾相接的圆环:
所以,循环中的每个文字都可以置于首位.一旦首位确定后,整个循环
置换的表达形式也就确定了.
但习惯上,总是将循环置换中出现的最小文字置在首位.
变换群等等。对每个群类进行研究以设法回答上述三个问题。 可惜 ， 人们能弄清的群当今只有少数几类（后面的循环群就 是完全解决了的一类群）大多数还在等待人们去解决。
变换群是一类应用非常广泛的群，它的具有代表性的特 征—置换群，是现今所研究的一切抽象群的来源，是抽象代 数创始人 E.Galais(1811-1832)在证明次数大于四的一元代 数方程不可能用根号求解时引进的。
本讲的重点与难点：对于置换以及置换群需要侧重注意的是： 对称群和交错群的结构和置换的分解定理（定理 2）。
注意：由有限群的 cayley 定理可知：如把所有置换群研究 清楚了。就等于把所有有限群都研究清楚了，但经验告诉我 们，研究置换群并不比研究抽象群容易。所以，一般研究抽 象群用的还是直接的方法。并且也不能一下子把所有群都不 得找出来。因为问题太复杂了。人们的方法是将群分成若干 类（即附加一定条件）；譬如有限群；无限群；变换群；非
置 换 群(pormutation group)
本讲的教学目的和要求:置换群是一种特殊的变换群。换句话 说，置换群就是有限集上的变换群。由于是定义在有限集上， 故每个置换的表现形式，固有特点都是可揣测的。这一讲主 要要求：
1、 弄清置换与双射的等同关系。 2、掌握置换—轮换—对换之间的联系和置换的奇偶性。 3、置换的分解以及将轮换表成对换之积的基本方法要 把握。 4、对称群与交错群的结构以及有限群的 cayley 定理需 要理解。
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三 循环置换及循环置换分解.
(1)循环置换(轮换)
前面我们已经引入了置换的记法,下面,再介绍一种记法.
设 有 8 元 置 换 14
2 3
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4 2
5 1
6 6
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88 , 的 变 换 过 程 为
1 4 2 3 5 1,即其他元素都不改变,若将不发生改变的
换句话说: 12
2 3
3113
2 2
31 11
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例1. 计算下列置换的乘积:
(1) , (2) 2 , (3) 2 .
解:
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写这就可以让我们都统一在一种表示置换的方法内进行研
究工作了.习惯上称它为三元置换.
二.置换的乘积.
设 A 1 , 2 , 3的任二个置换
12
2 3
31 , 13
2 1
23 ,那么由于 和 都是一一变换,于是
也是 A 的一一变换.且有 :1 1, 2 2 , 3 3 .
用本教材的记法为:1 1, 2 2 , 3 3 .
的具体内容.故可证 A 1 , 2 , 3.故此. :1 2 , 2 3 , 3 1.稍
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做修改: ：
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= 12
2 3
31 .用 = 12
2 3
31 来描述 A 的
一个置换的方便之处是显而易见的.当然,上述的置换可记
为
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1 2
31 ， 13
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23 …,但习惯上都将第一行按自然序列排
一． 置换群的基本概念 定义 1.任一集合 A 到自身的映射都叫做 A 的一个变换，如果 A
是有限集且变换是一一变换（双射），那么这个变换 为 A 的一个置换。 有限集合 A 的若干个置换若作成群，就叫做置换群。 含有 n 个元素的有限群 A 的全体置换作成的群，叫做 n 次对称群。通常记为 Sn . 明示：由定义 1 知道，置换群就是一种特殊的变换群（即有 限集合上的变换群）而 n 次对称群 Sn 也就是有限集合 A 的完全 变换群。 现以 A a1 , a2 , a3为例，设 ： A A 是 A 的一一变换。即 : a1 a2 , a2 a3 , a3 a1 ,利用 本 教材 中 特定 的表 示 方法 有 ： ， ， . a1 a2 a2 a3 a3 a1 由于映射中只关心元素之间的对称关系.而不在乎元素
例 3．在 S5 中.
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叫作 3—循环置换.
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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叫作 5—循环置换.
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叫作 1—循环置换.
（2）循环置换分解
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所以 S3 3! b .其中 0 是恒等变换.即 0 是 S3 的单位元.
定理 1. n 次对称群 Sn 的阶是 n!.
由于置换群也是变换群,故必蕴含着变换群的一切特征.
譬如,不可交换性:
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文 字 都 删 掉 ,那 么 上 述 置 换 可 写 成 循 环 置 换 的 形 式 :
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注意:①循环置换是置换的另一种表达形式,它以发生变化的文字的
变化次序为序,表达成轮换的形式.虽然表达形式简捷,但所含置换的 原有文字的数目可能反映不出来.这要求事先予以说明.例如.“8 元置
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注意:置换乘积中,是从左到右求变换值,这是与过去的习惯
方法不同的.
例2. 设 A 1 , 2 , 3,那么 A 的全部一一变换构成的三次对称群
为
S3 0 , 1, 2 , 3 , 4 , 5 .其中
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