高考数学文科一轮复习数列求和练习含答案 精校打印版
第4讲 数列求和
一、选择题
1．等差数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1，其前n 项和为S n ，则数列?
???
??
S n n 的前10
项的和为
( )
A ．120
B ．70
C ．75
D ．100
解析 因为S n
n ＝n ＋2，所以????
??S n n 的前10项和为10×3＋10×92＝75. 答案 C
2．数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S n ＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n －1·n ，则S 17＝( ) A ．9 B ．8 C ．17 D ．16
解析 S 17＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋15－16＋17＝1＋(－2＋3)＋(－4＋5)＋(－6＋7)＋…＋(－14＋15)＋(－16＋17)＝1＋1＋1＋…＋1＝9. 答案 A
3．数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n －1·(4n －3)，则它的前100项之和S 100等于
( )
A ．200
B ．－200
C ．400
D ．－400
解析 S 100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100－3)＝4×[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]＝4×(－50)＝－200. 答案 B
4．(2017·高安中学模拟)已知数列5,6,1，－5，…，该数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前16项之和S 16等于( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．16
解析 根据题意这个数列的前7项分别为5,6,1，－5，－6，－1,5,6，发现从第7项起，数字重复出现，所以此数列为周期数列，且周期为6，前6项和为5＋6＋1＋(－5)＋(－6)＋(－1)＝0.
又因为16＝2×6＋4，所以这个数列的前16项之和S 16＝2×0＋7＝7.故选C. 答案 C
5．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n (n ∈N ＋)，则S 2 016＝
( )
A ．22 016－1
B ．3·21 008－3
C ．3·21 008－1
D ．3·21 007－2
解析 a 1＝1，a 2＝2
a 1＝2，又a n ＋2·a n ＋1a n ＋1·a n ＝2n ＋12n ＝2.∴a n ＋2a n ＝2.∴a 1，a 3，a 5，…成
等比数列；a 2，a 4，a 6，…成等比数列，
∴S 2 016＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋…＋a 2 015＋a 2 016 ＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 015)＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2 016) ＝1－21 0081－2＋2(1－21 008)
1－2＝3·21 008－3.故选B.
答案 B 二、填空题
6．(2016·上饶模拟)有穷数列1,1＋2,1＋2＋4，…，1＋2＋4＋…＋2n －1所有项的和为________．
解析 由题意知所求数列的通项为
1－2n 1－2
＝2n －1，故由分组求和法及等比数
列的求和公式可得和为2(1－2n )1－2－n ＝2n ＋1－2－n .
答案 2n ＋1－2－n
7．(2016·宝鸡模拟)数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝1
2(n ∈N ＋)，且a 1＝1，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21＝________.
解析 由a n ＋a n ＋1＝1
2＝a n ＋1＋a n ＋2，∴a n ＋2＝a n ，
则a 1＝a 3＝a 5＝…＝a 21，a 2＝a 4＝a 6＝…＝a 20， ∴S 21＝a 1＋(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a 20＋a 21) ＝1＋10×1
2＝6. 答案 6
8．(2017·安阳二模)已知数列{a n }中，a n ＝－4n ＋5，等比数列{b n }的公比q 满足q ＝a n －a n －1(n ≥2)且b 1＝a 2，则|b 1|＋|b 2|＋|b 3|＋…＋|b n |＝________.
解析 由已知得b 1＝a 2＝－3，q ＝－4，∴b n ＝(－3)×(－4)n －1，∴|b n |＝3×4n －
1
，即{|b n |}是以3为首项，4为公比的等比数列，∴|b 1|＋|b 2|＋…＋|b n |＝
3(1－4n )1－4
＝4n －1. 答案 4n －1 三、解答题
9．(2016·北京卷)已知{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，且b 2＝3，b 3＝9，a 1
＝b 1，a 14＝b 4. (1)求{a n }的通项公式；
(2)设c n ＝a n ＋b n ，求数列{c n }的前n 项和．
解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ， 由??? b 2＝b 1q ＝3，b 3＝b 1q 2
＝9得???
b 1＝1，q ＝3. ∴b n ＝b 1q n －1＝3n －1，
又a 1＝b 1＝1，a 14＝b 4＝34－1＝27， ∴1＋(14－1)d ＝27，解得d ＝2.
∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋(n －1)×2＝2n －1(n ＝1,2,3，…)． (2)由(1)知a n ＝2n －1，b n ＝3n －1，因此c n ＝a n ＋b n ＝2n －1＋3n －1. 从而数列{c n }的前n 项和
S n ＝1＋3＋…＋(2n －1)＋1＋3＋…＋3n －1
＝n (1＋2n －1)2＋1－3n 1－3
＝n 2＋3n －12.
10．(2017·铜川一模)已知数列{a n }的前n 项和是S n ，且S n ＋1
2a n ＝1(n ∈N ＋)． (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝log 13(1－S n ＋1)(n ∈N ＋)，令T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1，求T n .
解 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1， 由S 1＋12a 1＝1，得a 1＝2
3，
当n ≥2时，S n ＝1－12a n ，S n －1＝1－1
2a n －1， 则S n －S n －1＝12(a n －1－a n )，即a n ＝1
2(a n －1－a n )， 所以a n ＝1
3a n －1(n ≥2)．
故数列{a n }是以23为首项，1
3为公比的等比数列． 故a n ＝23·? ????13n －1＝2·? ????13n (n ∈N ＋)． (2)因为1－S n ＝12a n ＝? ??
??
13n .
所以b n ＝log 13(1－S n ＋1)＝log 13? ????
13n ＋1＝n ＋1，
因为
1b n b n ＋1＝1(n ＋1)(n ＋2)＝1n ＋1－1n ＋2
， 所以T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3
＋…＋1
b n b n ＋1
＝? ????12－13＋? ????13－14＋…＋? ??
??1n ＋1－1n ＋2＝12－1n ＋2＝n 2(2n ＋2).
11．(2016·郑州模拟)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1(n ＋1)n ＋n n ＋1(n ∈N ＋)，
其前n 项和为S n ，则在数列S 1，S 2，…，S 2 016中，有理数项的项数为( ) A ．42 B ．43 C ．44 D ．45
解析a n＝1
(n＋1)n＋n n＋1
＝
(n＋1)n－n n＋1
[(n＋1)n＋n n＋1][(n＋1)n－n n＋1]
＝
n
n－
n＋1
n＋1
.
所以S n＝1－
2
2＋?
?
?
?
?
2
2－
3
3
＋
?
?
?
?
?
3
3－
4
4
＋…＋
?
?
?
?
?
?
n
n－
n＋1
n＋1
＝1－
n＋1
n＋1
，
因此S3，S8，S15…为有理项，又下标3,8,15，…的通项公式为n2－1(n≥2)，所以n2－1≤2 016，且n≥2，
所以2≤n≤44，所以有理项的项数为43.
答案 B
12．(2017·济南模拟)在数列{a n}中，a n＋1＋(－1)n a n＝2n－1，则数列{a n}的前12项和等于
() A．76 B．78 C．80 D．82
解析因为a n＋1＋(－1)n a n＝2n－1，所以a2－a1＝1，
a3＋a2＝3，a4－a3＝5，a5＋a4＝7，a6－a5＝9，a7＋a6＝11，…，a11＋a10＝19，a12－a11＝21，所以a1＋a3＝2，a4＋a2＝8，…，a12＋a10＝40，
所以从第一项开始，依次取两个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取两个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列，以上式相加可得，S12＝a1＋a2＋a3＋…＋a12＝(a1＋a3)＋(a5＋a7)＋(a9＋a11)＋(a2＋a4)＋(a6＋a8)＋(a10＋a12)＝3×2＋8＋24＋40＝78.
答案 B
13．设f (x )＝4x 4x ＋2，若S ＝f ? ????12 015＋f ? ????22 015＋…＋f ? ????
2 0142 015，则S ＝________.
解析 ∵f (x )＝
4x 4x ＋2
，∴f (1－x )＝
41－x
41－x ＋2＝2
2＋4
x
， ∴f (x )＋f (1－x )＝
4x 4x
＋2
＋22＋4
x
＝1.
S ＝f ? ????12 015＋f ? ????22 015＋…＋f ? ????2 0142 015，① S ＝f ? ????2 0142 015＋f ? ????2 0132 015＋…＋f ? ????
12 015，②
①＋②得，
2S ＝??????f ? ????12 015＋f ? ????2 0142 015＋??????f ? ????22 015＋f ? ????2 0132 015＋…＋??????f ? ????2 0142 015＋f ? ????12 015＝2
014，
∴S ＝2 014
2＝1 007. 答案 1 007
14．(2015·山东卷)已知数列{a n }是首项为正数的等差数列，数列??????
????1a n ·a n ＋1的前n
项和为
n
2n ＋1
. (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝(a n ＋1)·2a n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)设数列{a n }的公差为d ，令n ＝1，得1a 1a 2＝13，
所以a 1a 2＝3.①
令n ＝2，得1a 1a 2＋1a 2a 3＝2
5，
所以a 2a 3＝15.②
解①②得a 1＝1，d ＝2，所以a n ＝2n －1. (2)由(1)知b n ＝2n ·22n －1＝n ·4n ， 所以T n ＝1×41＋2×42＋…＋n ×4n ，
所以4T n ＝1×42＋2×43＋…＋n ×4n ＋1， 两式相减，得－3T n ＝41＋42＋…＋4n －n ·4n ＋1 ＝4(1－4n )1－4
－n ·4n ＋1＝1－3n 3×4n ＋1－43.
所以T n ＝3n －19×4n ＋
1＋49＝4＋(3n －1)4n ＋1
9
.
文科数学2010-2018高考真题分类专题六 数列 第十七讲 递推数列与数列求和答案
专题六数列 第十七讲 递推数列与数列求和 答案部分 1．C 【解析】∵113 n n a a +=-，∴{}n a 是等比数列 又243a =-，∴14a =，∴()1010101413313113 S -????-- ? ? ?????==-+ ，故选C ． 2．D 【解析】【法1】有题设知 21a a -=1，① 32a a +=3 ② 43a a -=5 ③ 54a a +=7，65a a -=9， 76a a +=11，87a a -=13，98a a +=15，109a a -=17，1110a a +=19，121121a a -=， …… ∴②－①得13a a +=2，③+②得42a a +=8，同理可得57a a +=2，68a a +=24，911a a +=2，1012a a +=40，…， ∴13a a +，57a a +，911a a +，…，是各项均为2的常数列，24a a +，68a a +，1012a a +，… 是首项为8，公差为16的等差数列， ∴{n a }的前60项和为1 1521581615142 ?+?+???=1830. 【法2】可证明： 14142434443424241616n n n n n n n n n n b a a a a a a a a b +++++---=+++=++++=+ 11234151514 1010151618302 b a a a a S ?=+++=?=?+ ?= 【法3】不妨设11a =，得23572,1a a a a ====???=，466,10a a ==，所以当n 为奇数时，1n a =，当n 为偶数时，构成以2a 为首项，以4为公差的等差数列，所以得 601830S = 3．A 【解析】法一：分别求出前10项相加即可得出结论； 法二：12349103a a a a a a +=+=???=+=，故1210a a a ++???+=3515?=．故选A. 4．6【解析】∵112,2n n a a a +==，∴数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，
高考数学题型全归纳：数列求和的若干常用方法含答案
数列求和的若干常用方法 数列求和是数列的重要内容之一，也是高考数学的重点考查对象。除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧.如某些特殊数列的求和可采用分部求和法转化为等差数列或等比数列的和或用裂项求和法、错位相减法、逆序相加法、组合化归法，递推法等。本文就此总结如下，供参考。 一、分组求和法 所谓分组法求和就是：对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。 例1．数列{a n }的前n 项和12-=n n a S ，数列{b n }满)(,311* +∈+==N n b a b b n n n .（Ⅰ）证明数列{a n }为等比数列；（Ⅱ）求数列{b n }的前n 项和T n。 解析：（Ⅰ）由12,,1211-=∴∈-=++*n n n n a S N n a S ， 两式相减得：,2211n n n a a a -=++01.,211≠=∈=∴*+n n n a a N n a a 知同， ,21=∴+n n a a 同定义知}{n a 是首项为1，公比为2的等比数列.（Ⅱ）,22,211111-+-+-=-+==n n n n n n n n b b b b a ,2,2,2234123012=-=-=-b b b b b b ,221--=-n n n b b 等式左、右两边分别相加得： ,222 121322211 2101+=--+=++++=---n n n n b b n T n n n 2)2222()22()22()22()22(12101210+++++=++++++++=∴-- =.12222 121-+=+--n n n n 例2．已知等差数列{}n a 的首项为1，前10项的和为145，求：. 242n a a a +++ 解析：首先由31452 91010110=?=??+=d d a S 则：6223221)21(232)222(32 2323)1(1224221--?=---=-+++=+++∴-?=?-=-+=+n n n a a a a n d n a a n n n n n n n 二、裂项求和法
2013高考数学一轮同步训练(文科) 5.4数列求和
2013高考数学一轮强化训练 5.4数列求和 文 新人教A 版 1.在等差数列{n a }中,已知32a =,则其前5项和为 . 答案:10 解析:55()5215352210222 a a a S +???====. 2.若数列{n a }的前n 项和225n S n n =++,则567a a a ++= . 答案:39 解析:5677439a a a S S ++=-=. 3.已知等差数列的通项公式52n a n =-+,则其前n 项和n S = . 答案:25122 n n -- 解析:∵52n a n =-+,∴13a =-. 即2(352)51222 n n n S n n --+==--. 题组一 数列求和 1.设等差数列{n a }的前n 项和为n S ,若81126a a =+,则9S 等于( ) A.54 B.45 C.36 D.27 答案:A 解析:∵81126a a =+, ∴112(7)610a d a d +=++. ∴146a d +=. ∴5959()1969542 a a a S a +=,===. 2.一个等差数列共n 项,其和为90,这个数列的前10项的和为25,后10项的和为75,则项数 n 为 ( ) A.14 B.16 C.18 D.20 答案:C 解析:1257510()n a a +=+,∴110n a a +=. 又10902 n ?=,∴n=18.
3.在等差数列{n a }中12a ,=- 008,其前n 项的和为n S .若20072005220072005S S -=,则2008S 等于( ) A.-2 007 B.-2 008 C .2 007 D.2 008 答案:B 解析:∵2007()2005()1200712005 200720052222007200520072005a a a a S S d ++-=-==. ∴20082S = 008(2?- 20082007008)2?+? 2= -2 008. 4.设47()222f n =+++…312(n n ++∈N )*,则f(n)等于( ) A.2(81)7n - B.1 2(81)7n +- C.2 2(81)7n +- D.3 2(81)7n +- 答案:B 解析:1 3(1)2[12]2()(81)3712n n f n ++-==--. 5.数列{(1)n n -?}的前2 010项的和2010S 为 ( ) A.-2 010 B.-1 005 C.2 010 D.1 005 答案:D 解析:2010123S =-+-+4-5+…+2 008- 2 009+ 2 010=(2-1)+(4-3)+(6-5)+…+ (2 010- 2 009) = 1 005. 6.数列{n a }的前n 项和为n S ,若 1a =1,13(1)n n a S n +=≥,则6a 等于( ) A.434? B.4341?+ C.54 D.541+ 答案:A 解析:由13n n a S +=,得13(2)n n a S n -=≥,相减得113()3n n n n n a a S S a +--=-=, 则14(2)n n a a n +=≥,即2n ≥时n a ,为等比数列. 又1213a a =,=,则4462434a a =?=?,选A. 7.数列{n a }的前n 项和为n S ,若1(1)n a n n =,+则5S 等于 .
2019年高考数学高频考点专题43数列数列的求和4分组求和倒序相加法 文数(含解析)
专题43 数列 数列的求和4 （ 分组求和、倒序相加法） 【考点讲解】 一、具本目标：1.掌握等差、等比数列的求和方法； 2. 掌握等非差、等比数列求和的几种常见方法. 考纲解读：会用公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化法求解不同类型数列的和，非等差、等比数列的求和是高考的热点，特别是错位相减法和裂项相消法求和. 二、知识概述： 求数列前n 项和的基本方法 （1）直接用等差、等比数列的求和公式求和； 等差：； 等比： 公比是字母时需要讨论. (理)无穷递缩等比数列时，q a S -= 11 （2）掌握一些常见的数列的前n 项和公式： ； ； ； ； （3）倒序相加法求和：如果一个数列 {}n a ，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数， 那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法. （4）错位相减法求和：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么
这个数列的前n 项和即可用此法来求.q 倍错位相减法：若数列{}n c 的通项公式n n n c a b =?，其中{}n a 、 {}n b 中一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般可在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比，然后再将所得新和式与原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和．这种方法叫q 倍错位相减法． 温馨提示：1.两个特殊数列等差与等比的乘积或商的组合. 2.关注相减的项数及没有参与相减的项的保留. （5）分组求和：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，先分别求和，再合并.通项公式为a n ＝ 的数列，其中数列{b n }，{c n }是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和． 形如： n n b a +其中， （6）并项求和法 一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如类 型，可采用两项合并求解. 合并求和：如求 的和. （7）裂项相消法求和：把数列的通项拆成两项之差，正负相消剩下首尾若干项. 常见拆项： ； . 【真题分析】
高考文科数学练习题数列求和与综合应用
专题限时集训(四) 数列求和与综合应用 [专题通关练] (建议用时：30分钟) 1．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和，若S n ＝126，则n ＝( ) A ．9 B ．8 C ．7 D ．6 D [因为a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，所以{a n }是首项和公比均为2的等比数列，所以S n ＝2 1－2 n 1－2 ＝126，解得n ＝ 6.] 2．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6＞S 7＞S 5，则满足S n S n ＋1＜0的正整数n 的值为( ) A ．10 B ．11 C ．12 D ．13 C [由S 6＞S 7＞S 5，得S 7＝S 6＋a 7＜S 6，S 7＝S 5＋a 6＋a 7＞S 5，所以a 7＜0，a 6＋a 7＞0，所以 S 13＝ 13a 1＋a 13 2 ＝13a 7＜0，S 12＝ 12 a 1＋a 12 2 ＝6(a 6＋a 7)＞0，所以S 12S 13＜0，即满足S n S n ＋ 1 ＜0的正整数n 的值为12，故选C.] 3．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列???? ?? 1a n 的前5 项和为( ) A.15 8或5 B.31 16或5 C. 3116 D.158 C [依题意知{a n }的公比q ≠1，否则9S 3＝27a 1≠S 6＝6a 1,9S 3＝S 6?9×1· 1－q 3 1－q ＝ 1·1－q 6 1－q ?q 3 ＝8?q ＝2，∴数列??????1a n 是首项为1a 1＝1，公比为12的等比数列，∴数列???? ??1a n 的 前5项和为S 5＝1×????? ?1－? ????1251－12 ＝31 16.] 4．已知函数f (n )＝? ???? n 2 当n 为奇数时， －n 2 当n 为偶数时，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋… ＋a 100＝( ) A ．0 B ．100 C ．－100 D ．10 200 B [由题意，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝12 －22 －22 ＋32 ＋32 －42 －42 ＋52 ＋…＋992 －1002 －100 2 ＋1012 ＝－(1＋2)＋(3＋2)－…－(99＋100)＋(101＋100)＝－(1＋2＋…＋99＋100)＋(2＋3
高考理科数学复习题解析 数列求和
高考数学复习 第四节 数列求和 [考纲传真] 1.掌握等差、等比数列的前n 项和公式.2.掌握特殊的非等差、等比数列的几种常见的求和方法． 1．公式法 (1)等差数列的前n 项和公式： S n ＝n a 1＋a n 2 ＝na 1＋n n －12 d ； (2)等比数列的前n 项和公式： 2．分组转化法 把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解． 3．裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和． 4．错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n 项和可用错位相减法求解． 5．倒序相加法 如果一个数列{a n }的前n 项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法求解． 6．并项求和法 一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解． 例如，S n ＝1002 －992 ＋982 －972 ＋…＋22 －12 ＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. [常用结论] 1．一些常见的数列前n 项和公式：
(1)1＋2＋3＋4＋…＋n ＝ n n ＋1 2 ； (2)1＋3＋5＋7＋…＋2n －1＝n 2 ； (3)2＋4＋6＋8＋…＋2n ＝n 2 ＋n . 2．常用的裂项公式 (1) 1n n ＋k ＝1k ? ?? ??1 n －1n ＋k ； (2)1 4n 2－1＝1 2n －1 2n ＋1＝12? ?? ??1 2n －1－12n ＋1； (3) 1 n ＋n ＋1 ＝n ＋1－n ； (4)log a ? ?? ??1＋1n ＝log a (n ＋1)－log a n . [基础自测] 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)如果数列{a n }为等比数列，且公比不等于1，则其前n 项和S n ＝a 1－a n ＋1 1－q .( ) (2)当n ≥2时， 1n 2－1＝12? ?? ??1 n －1－1n ＋1.( ) (3)求S n ＝a ＋2a 2 ＋3a 3 ＋…＋na n 之和时只要把上式等号两边同时乘以a 即可根据错位相减法求得．( ) (4)推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得sin 2 1°＋sin 2 2°＋sin 2 3°＋…＋sin 2 88°＋sin 2 89°＝44.5.( ) [答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√ 2．(教材改编)数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝1 n n ＋1 ，则S 5等于( ) A ．1 B.56 C.16 D. 1 30 B [∵a n ＝ 1n n ＋1＝1n －1 n ＋1 ， ∴S 5＝a 1＋a 2＋…＋a 5＝1－12＋12－13＋…－16＝5 6.] 3．若S n ＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋(－1) n －1 ·n ，则S 50＝________. －25 [S 50＝(1－2)＋(3－4)＋…＋(49－50)＝－25.] 4．数列112，314，518，7116，…，(2n －1)＋1 2 n ，…的前n 项和S n 的值等于________．
2019届人教B版(文科数学) 数列求和 单元测试
31 数列求和 1．(2017·北京卷)已知等差数列{a n } 和等比数列{b n }满足a 1＝b 1 ＝1，a 2＋a 4＝10，b 2b 4＝a 5. (1)求{a n }的通项公式； (2)求和：b 1＋b 3＋b 5＋…＋b 2n －1. 解析：(1)设等差数列{a n }的公差为d . 因为a 2＋a 4＝10，所以2a 1＋4d ＝10， 解得d ＝2，所以a n ＝2n －1. (2)设等比数列{b n }的公比为q ， 因为b 2b 4＝a 5，所以b 1qb 1q 3＝9，解得q 2＝3， 所以b 2n －1＝b 1q 2n －2＝3n －1. 从而b 1＋b 3＋b 5＋…＋b 2n －1＝1＋3＋32＋…＋3n －1 ＝3n －12. 2．(2018·四川成都市高中毕业第一次诊断)已知数列{a n }满足a 1 ＝－2，a n ＋1＝2a n ＋4. (1)证明：数列{a n ＋4}是等比数列； (2)求数列{|a n |}的前n 项和S n . 解析：(1)证明：∵a 1＝－2，∴a 1＋4＝2. ∵a n ＋1＝2a n ＋4，∴a n ＋1＋4＝2a n ＋8＝2(a n ＋4)， ∴a n ＋1＋4a n ＋4 ＝2， ∴{a n ＋4}是以2为首项，2为公比的等比数列． (2)由(1)，可知a n ＋4＝2n ，∴a n ＝2n －4. 当n ＝1时，a 1＝－2<0，∴S 1＝|a 1|＝2； 当n ≥2时，a n ≥0. ∴S n ＝－a 1＋a 2＋…＋a n ＝2＋(22－4)＋…＋(2n －4)＝2＋22＋… ＋2n －4(n －1)＝2(1－2n )1－2 －4(n －1)＝2n ＋1－4n ＋2. 又当n ＝1时，上式也满足．
2020届高考数学一轮复习通用版讲义数列求和
第四节数列求和 一、基础知识批注——理解深一点 1．公式法 (1)等差数列{a n }的前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)d 2 . 推导方法：倒序相加法． (2)等比数列{a n }的前n 项和S n ＝????? na 1 ，q ＝1，a 1(1－q n )1－q ，q ≠1. 推导方法：乘公比，错位相减法． (3)一些常见的数列的前n 项和： ①1＋2＋3＋…＋n ＝ n (n ＋1) 2 ； ②2＋4＋6＋…＋2n ＝n (n ＋1)； ③1＋3＋5＋…＋2n －1＝n 2. 2．几种数列求和的常用方法 (1)分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． (2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n 项和． (3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n (4)倒序相加法：如果一个数列{a n }与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法求解． 二、基础小题强化——功底牢一点 (一)判一判(对的打“√”，错的打“×”) (1)如果数列{a n }为等比数列，且公比不等于1，则其前n 项和S n ＝a 1－a n ＋1 1－q .( ) (2)当n ≥2时， 1n 2 －1＝12? ???1 n －1－1n ＋1.( ) (3)求S n ＝a ＋2a 2＋3a 2＋…＋na n 之和时，只要把上式等号两边同时乘以a 即可根据错位相减法求得．( )
三种常用的数列求和方法-高考文科数学分类专题突破训练
考查角度2三种常用的数列求和方法 分组转化法求和 已知等差数列{a n}满足a2=2,a1+a4=5. {a n}的通项公式; (2)若数列{b n}满足b1=3,b2=6,{b n-a n}为等比数列,求数列{b n}的前n T n. 利用已知条件求出等差数列{a n}的通项公式;(2)因为{b n n,所以数列{b n}的前n项和T n可以看成数列{b n-a n} {a n}的前n项和的总和. 设等差数列{a n}的公差为d, {a n}满足a2=2,a1+a4=5, ∴解得a1=d=1, ∴a n=1+(n-1)×1=n. (2)设等比数列{b n-a n}的公比为q,∵b1=3,b2=6, ∴b1-a1=3-1=2,b2-a2=6-2=4, ∴q=2. ∴b n-a n=2×2n-1=2n, ∴b n=n+2n, ∴数列{b n}的前n项和 T n=(1+2+3+…+n)+(2+22+…+2n)=+- -=+2n+1-2. 从求和数列的通项入手,将其转化为等差数列与等比 ,再利用等差数列与等比数列的求和公式进行分组求和. 错位相减法求和 已知{a n}的前n项和S n=4n-n2+4. {a n}的通项公式; (2)求数列-的前n项和T n. 由{a n}的前n项和求出数列{a n}的通项公式;(2)利用错 (当n=1时要单独考虑). 当n≥2时,a n=S n-S n-1=4n-n2-[4(n-1)-(n-1)2]=5-2n; 1时,a1=S1=7. ∴a n= - (2)令b n=-,
当n=1时,T1=b1=-=0; 当n≥2时,b n=-= - , ∴T n=0++++…+ -+ - , T n=+++…+ - +, 两式相减得T n=1+++…+ --= - - -=2-, ∴T n=4- - (n≥2 . 当n=1时,满足上式. 综上所述,T n=4- - . 用错位相减法求和时,应注意: ,特别是等比数列的公比为负数的情形; (2)在写出“S n”与“qS n”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n-qS n”的表达式; (3)在应用错位相减法求和时,若等比数列的公比未知,应分公比等于1和不等于1两种情况求解. 分类透析三a n=型的裂项相消法求和 已知数列{a n}为单调递增数列,S n为其前n项和,2S n=+n. (1)求{a n}的通项公式. (2)若b n=,T n为数列{b n}的前n项和,证明:T n<. 由递推公式2S n=+n求出{a n}的通项公式;(2)先用裂项相消法求和,再进行适当放缩证明. 当n=1时,2S1=2a1=+1,即(a1-1)2=0,解得a1=1. 又{a n}为单调递增数列,所以a n≥1. 由2S n=+n得2S n+1=+n+1, 所以2S n+1-2S n=-+1, 整理得2a n+1=-+1,所以=(a n+1-1)2. 所以a n=a n+1-1,即a n+1-a n=1, 所以{a n}是以1为首项,1为公差的等差数列,所以a n=n.
高三数学高考数列求和(裂项及错位)
考点十二 数列求和（裂项及错位） [真题1] (2009山东卷)等比数列{n a }的前n 项和为n S ，已知对任意的n N +∈，点(,)n n S 均在函数(0x y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数)的图像上. （1）求r 的值； （11）当b=2时，记1()4n n n b n N a + += ∈，求数列{}n b 的前n 项和n T . [命题探究] 创新是高考命题的要求,《考试大纲》提出命题要“创设比较新颖的问题情境”，同时，“在知识的交汇点处设计命题”是近年来高考命题的一种趋势。本题将数列的递推关系式以点在函数图像上的方式给出，体现了这种命题理念，也渗透了数列是定义在正整数集上的函数观念。第（2）问中对b 的赋值，旨在使问题变得简捷，也使设置的数列求和问题降低难度，达成“不求在细节上人为地设置障碍，而是在大方向上考查考生的数学能力”的命题指导思想。 [命题探源] 本题在设置等比数列的递推关系时，以点(,)n n S 在函数(0x y b r b =+>的图像上的方式给出，这种命题方式与2008年福建一道文科有相似之处：“已知｛a n ｝是正数组成的数列，a 1=1 1n a +）（n ∈N *）在函数y =x 2+1的图象上.(Ⅰ)求数列｛a n ｝的通项公式；(Ⅱ)若列数｛b n ｝满足b 1=1,b n +1=b n +2n a ，求证：b n ·b n +2＜b 2 n +1.”本题中增加了对参数r 的求解，因此，如何正确求出r 的值，成为本题的解题思考点，这恰好需要对递推 关系式{ 11,(1) ,(2) n n n S n a S S n -==-≥的正确理解（理角题目的条件：数列{n a }是等比数列，则11S a =满足数列递推式）。第（2）问求数列{}n b 的前n 项和n T ， 所用的方法是错位相减法，也是课本中推导等比数列前n 项和公式时所用的方法。高考复习历来提倡回归课本，理解教材，例题的求解方法、公式的推导方法，都需要我们在回归课本中积累知识，提炼方法，形成能力。 [知识链接] 数列求和的几种常见题型与求解方法 （1）裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有： ① 111(1)1n n n n =-++； ②1111()()n n k k n n k =-++； ③ )(1 )0(1 n k n k k k n n -+= >++ **④ 2 1 1 1 1 1 1 1 1(1)(1)1k k k k k k k k k - = < < = - ++--. （2）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前n 和公式的推导方法）. 设{a n }是等差数列，且公差为d,{b n }是等比数列，且公比为q,记S n =a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n n n n n n n n b a b a b a b a b a b a S ++++++=----1122332211... ① =n qS 1112233221...+-----++++++n n n n n n n n b a b a b a b a b a b a ② =-n S q )1(+11b a 11232)...(+---+++++n n n n n b a b b b b b d （3）分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和. （4）倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前n 和公式的推导方法）. 《规范解答》 广东省汕头市高三数学复习系列 等差数列、等比数列的性质及应用 新人教A 版 一．课题：等差数列、等比数列的性质及应用 二．教学目标：熟练掌握等差（比）数列的基本公式和一些重要性质，并能灵活运用性质解决有关的问题，培养对知识的转化和应用能力． 三．教学重点：等差（比）数列的性质的应用． 四．教学过程： （一）主要知识：
文科数学高考真题分类训练专题六 数列 第十七讲 递推数列与数列求和答案
高中复习系列资料
专题六数列 第十七讲 递推数列与数列求和 答案部分 1.解析（1）设等比数列{a n }的公比为q ，所以a 1≠0，q ≠0. 由245321440a a a a a a =??-+=?，得244112111 440a q a q a q a q a ?=?-+=?，解得11 2a q =??=?． 因此数列{}n a 为“M —数列”. （2）①因为 1 122 n n n S b b +=-，所以0n b ≠． 由1111,b S b ==，得2 122 11b =-，则22b =. 由 1122 n n n S b b +=-，得112() n n n n n b b S b b ++=-， 当2n ≥时，由1n n n b S S -=-，得()() 111122n n n n n n n n n b b b b b b b b b +-+-=---， 整理得112n n n b b b +-+=． 所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列. 因此，数列{b n }的通项公式为b n =n ( )* n ∈N . ②由①知，b k =k ，*k ∈N . 因为数列{c n }为“M –数列”，设公比为q ，所以c 1=1，q >0. 因为c k ≤b k ≤c k +1，所以1k k q k q -≤≤，其中k =1，2，3，…，m . 当k =1时，有q ≥1； 当k =2，3，…，m 时，有 ln ln ln 1 k k q k k ≤≤-．
设f （x ）= ln (1)x x x >，则2 1ln ()x f 'x x -=． 令()0f 'x =，得x =e.列表如下： x (1,e) e (e ，+∞) ()f 'x + 0 – f （x ） 极大值 因为 ln 2ln8ln 9ln 32663=<=，所以max ln 3()(3)3 f k f ==． 取3 3q =k =1，2，3，4，5时， ln ln k q k …，即k k q ≤， 经检验知1 k q k -≤也成立． 因此所求m 的最大值不小于5． 若m ≥6，分别取k =3，6，得3≤q 3，且q 5≤6，从而q 15≥243，且q 15≤216， 所以q 不存在.因此所求m 的最大值小于6. 综上，所求m 的最大值为5． 2.解析：对于B ，令2 104x λ-+ =，得12 λ=， 取112a =，所以211 ,,1022n a a == 重点增分专题六数列 [全国卷3年考情分析] 年份全国卷Ⅰ全国卷Ⅱ全国卷Ⅲ 2018数列的递推关系、等比数 列的判定及计算·T17 等差数列的通项公式、前n 项和公式及最值·T17 等比数列的通项公式、前n 项和公式·T17 2017等比数列的通项公式与前 n项和公式、等差数列的判 定·T17 等差、等比数列的通项公 式及前n项和公式·T17 数列的递推关系及通项公 式、裂项相消法求和·T17 2016数列的递推关系、数列的 通项公式及前n项和公 式·T17 等差数列的通项公式、数 列求和、新定义问题·T17 数列的递推关系及通项公 式·T17 (1)高考主要考查等差数列及等比数列的基本运算、两类数列求和方法(裂项相消法、错位相减法)，主要突出函数与方程思想的应用． (2)近三年高考考查数列都在17题，试题难度中等，19年高考可能以客观题考查，难度中等的题目较多，但有时也可能出现在第12题或16题位置上，难度偏大，复习时应引起关注． 考点一等差、等比数列的基本运算保分考点练后讲评 [大稳定——常规角度考双基] 1.[等差数列的基本运算](2018·全国卷Ⅰ)记S n为等差数列{a n}的前n项和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝() A．－12B．－10 C．10 D．12 解析：选B设等差数列{a n}的公差为d，由3S3＝S2＋S4，得3(3a1＋3d)＝2a1＋d＋4a1＋6d，即3a1＋2d＝0.将a1＝2代入上式，解得d＝－3，故a5＝a1＋(5－1)d＝2＋4×(－3)＝－10. 2.[等比数列的基本运算]已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝1，S10 S5 ＝ 33 32 ，则数 列{a n}的公比q为() A．4 B．2 C.1 2 D. 3 4 数列求和的基本方法和技巧 一、总论：数列求和7种方法： 利用等差、等比数列求和公式 错位相减法求和 反序相加法求和 分组相加法求和 裂项消去法求和 分段求和法（合并法求和） 利用数列通项法求和 二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减法， 三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。 数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧. 一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式：?????≠--=--==) 1(11)1()1(111 q q q a a q q a q na S n n n 3、 )1(211+==∑=n n k S n k n 4、)12)(1(611 2 ++==∑=n n n k S n k n 5、 21 3)]1(21[+== ∑=n n k S n k n [例1] 已知3 log 1log 23-= x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由2 1 2log log 3log 1log 3323=?-=?-= x x x 由等比数列求和公式得 n n x x x x S +???+++=32 （利用常用公式） ＝x x x n --1)1(＝ 2 11)211(21--n ＝1－n 21 资料来源QQ 群697373867 关注微信公众号：高中“数学教研室”回复任意内容获取资料 [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1 )32()(++= n n S n S n f 的最大值. 解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(2 1 ++=n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++= n n S n S n f ＝64 342++n n n ＝ n n 64341+ +＝ 50 )8(12+- n n 50 1≤ ∴ 当 8 8- n ，即n ＝8时，501)(max =n f 二、错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列. [例3] 求和：1 32)12(7531--+???++++=n n x n x x x S ………………………① 解：由题可知，{1 )12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1 -n x }的通项之积 设n n x n x x x x xS )12(7531432-+???++++=………………………. ② （设制错位） ①－②得 n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+???+++++=-- （错位相减） 再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x x x S x )12(1121)1(1 ----? +=-- ∴ 2 1)1() 1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ [例4] 求数列 ??????,2 2,,26,24,2232n n 前n 项的和. 解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 2 1 }的通项之积 重点增分专题六 数 列 [全国卷3年考情分析] (1)高考主要考查等差数列及等比数列的基本运算、两类数列求和方法(裂项相消法、错位相减法)，主要突出函数与方程思想的应用． (2)近三年高考考查数列都在17题，试题难度中等，19年高考可能以客观题考查，难度中等的题目较多，但有时也可能出现在第12题或16题位置上，难度偏大，复习时应引起关注． 考点一 等差、等比数列的基本运算 保分考点 练后讲评 [大稳定——常规角度考双基] 1.[等差数列的基本运算](2018·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3＝S 2 ＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( ) A ．－12 B ．－10 C ．10 D ．12 解析：选B 设等差数列{a n }的公差为d ，由3S 3＝S 2＋S 4，得3(3a 1＋3d )＝2a 1＋d ＋4a 1 ＋6d ，即3a 1＋2d ＝0.将a 1＝2代入上式，解得d ＝－3，故a 5＝a 1＋(5－1)d ＝2＋4×(－3)＝－10. 2.[等比数列的基本运算]已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 10S 5＝33 32，则数 列{a n }的公比q 为( ) A ．4 B ．2 C.12 D.34 解析：选C 因为S 10S 5＝3332≠2，所以q ≠1.所以S 10S 5＝a 1(1－q 10)1－q a 1(1－q 5)1－q ＝1＋q 5 ，所以1＋q 5＝3332 ，所以q ＝1 2 . 3.[等差与等比数列的综合运算]已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }的前n 项和为T n ，a 1＝－1，b 1＝1，a 2＋b 2＝3. (1)若a 3＋b 3＝7，求{b n }的通项公式； (2)若T 3＝13，求S n . 解：(1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ， 则a n ＝－1＋(n －1)d ，b n ＝q n － 1. 由a 2＋b 2＝3，得d ＋q ＝4， ① 由a 3＋b 3＝7，得2d ＋q 2＝8， ② 联立①②，解得q ＝2或q ＝0(舍去)， 因此{b n }的通项公式为b n ＝2n － 1. (2)∵T 3＝1＋q ＋q 2，∴1＋q ＋q 2＝13， 解得q ＝3或q ＝－4， 由a 2＋b 2＝3，得d ＝4－q ，∴d ＝1或d ＝8. 由S n ＝na 1＋1 2n (n －1)d ， 得S n ＝12n 2－3 2 n 或S n ＝4n 2－5n . [解题方略] 等差(比)数列基本运算的解题思路 (1)设基本量：首项a 1和公差d (公比q )． (2)列、解方程(组)：把条件转化为关于a 1和d (或q )的方程(组)，然后求解，注意整体计算，以减少运算量． [小创新——变换角度考迁移] 1.[与平面向量交汇]设数列{a n }满足a 2＋a 4＝10，点P n (n ，a n )对任意的n ∈N *，都有向量P n P n ＋1――→ ＝(1,2)，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________. 解析：∵P n (n ，a n )，∴P n ＋1(n ＋1，a n ＋1)， ∴P n P n ＋1――→ ＝(1，a n ＋1－a n )＝(1,2)， ∴a n ＋1－a n ＝2， ∴数列{a n }是公差d 为2的等差数列． 又由a 2＋a 4＝2a 1＋4d ＝2a 1＋4×2＝10，解得a 1＝1， 专题考案(2)数列板块 第3课 数列的求和 (时间：90分钟 满分：100分) 题型示例 已知y =f (x )是一次函数，且f (2),f (5),f (4)成等比数列，f (8)=15,求S n =f (1)+f (2)+…+f (n )(n ∈N x)的表达式. 分析 要求和，关键要先求出f (n ). 解 由y =f (x )是一次函数可设f (x )=ax +b ,则f (2)=2a +b ,f (5)=5a +b ,f (4)=4a +b , ∵f (2),f (5),f (4)成等比数列，∴(5a +b )2=(2a +b )(4a +b ). ∴17a 2+4ab =0,又∵a ≠0. ∴a =- 17 4b ① 又∵f(8)=15,∴8a +b =15 ② 联立方程①、②解得a =4,b =-17,∴f (x )=4x -17. ∴f (1),f (2),…,f (n )可看作是首项为-13,公差为4的等差数列. 由等差数列前n 项和公式可求得S n =-13n +2)1(-n n ×4=2n 2-15n . 点评 此题渗透了函数思想，解题时要注意知识的横向与纵向之间的联系. 一、选择题(9×3′＝27′) 1．数列{a n }是等差数列的一个充要条件是 ( ) A.S n =an +b B.S n =an 2+bn +c C.S n =an 2+bn (a ≠0) D.S n =an 2+bn 2．设m =1×2+2×3+3×4+…+(n -1)·n ，则m 等于 ( ) A.3)1(2-n n B.21n (n +4) C.21n (n +5) D.2 1n (n +7) 3．若S n =1-2+3-4+…+(-1)n -1·n ，则S 17+S 33＋Ｓ50等于 ( ) A.1 B.-1 C.0 D.2 4．阅读下列文字，然后回答问题：对于任意实数x ,符号［x ］表示x 的整数部分，即［x ］是不超过x 的最大整数.函数［x ］叫做“取整函数”，也叫高斯函数.它具有以下性质：x -1<［x ］≤x <［x +1］.请回答:［log 21］+［log 22］+［log 23］+…+［log 21024］的值是( ) A.1024 B.8202 C.8204 D.9216 5．设{a n }为等比数列,{b n }为等差数列，且b 1=0,c n =a n +b n ,若数列{c n }是1,1,2,…,则{c n }的前10项和为 ( ) A.978 B.557 C.467 D.979 6．1002-992+982-972+…+22-12的值是 ( ) A.5000 B.5050 C.10100 D.20200 7．若等比数列{a n }的前n 项和S n =2n +r ,则r 的值是 ( ) A.2 B.1 C.0 D.-1 8．已知S =1+ΛΛ++++22213121n ，那么S 的范围是 ( ) A.(1,23) B.(2 3,2) C.(2,5) D.(5,+∞) 2010-2019高考数学文科真题分类训练 专题六数列 第十七讲 递推数列与数列求和 2019年 1.（2019江苏20）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M －数列”. （1）已知等比数列{a n }* ()n ∈N 满足：245324,440a a a a a a =-+=，求证：数列{a n }为“M －数列”； （2）已知数列{b n }* ()n ∈N 满足：11 122 1, n n n b S b b +==- ，其中S n 为数列{b n }的前n 项和． ①求数列{b n }的通项公式； ②设m 为正整数，若存在“M －数列”{c n }* ()n ∈N ，对任意正整数k ，当k ≤m 时，都有 1k k k c b c +剟成立，求m 的最大值． 2.（2019浙江10）设a ，b ∈R ，数列{a n }中a n =a ，a n +1=a n 2+b ，n *∈N ,则 A ．当b =1 2 时，a 10＞10 B ．当b =14 时，a 10＞10 C ．当b =-2时，a 10＞10 D ．当b =-4时，a 10＞10 3.（2019浙江20）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34a =，43a S =，数列{}n b 满 足：对每个12,,,n n n n n n n S b S b S b * ++∈+++N 成等比数列. （1）求数列{},{}n n a b 的通项公式； （2 ）记,n c n *= ∈N 证明：12+.n c c c n *++<∈N L 2010-2018年 一、选择题 1．（2013大纲）已知数列{}n a 满足124 30,3 n n a a a ++==- ，则{}n a 的前10项和等于 A ．10 6(13 )--- B ．101 (13)9 - C ．103(13)-- D ．103(13)-+ 2．（2012新课标）数列{}n a 满足1(1)21n n n a a n ++-=-，则{}n a 的前60项和为 A ．3690 B ．3660 C ．1845 D ．1830 3．（2011安徽）若数列{}n a 的通项公式是(1)(32)n a n =-?-,则1210a a a ++???+= A ．15 B ．12 C ．－12 D ．－15 二、填空题 4．（2015新课标1）数列{}n a 中112,2,n n n a a a S +==为{}n a 的前n 项和，若126n S =，则 n = ． 5．（2015安徽）已知数列}{n a 中，11=a ，2 1 1+ =-n n a a (2n ≥)，则数列}{n a 的前9项和等于______． 6．（2015江苏）数列}{n a 满足11=a ，且11+=-+n a a n n （*N n ∈），则数列}1 { n a 前10项的和为 ． 7．（2014新课标2）数列{}n a 满足11 1n n a a += -，2a =2，则1a =_________． 8．（2013新课标1）若数列{n a }的前n 项和为n S ＝ 21 33 n a +，则数列{n a }的通项公式是n a =______． 9．（2013湖南）设n S 为数列{} n a 的前n 项和，1(1),,2 n n n n S a n N * =--∈则 （1）3a =_____； （2）12100S S S ++???+=___________． 10．（2012新课标）数列}{n a 满足12)1(1-=-++n a a n n n ，则}{n a 的前60项和为 ． 11．（2012福建）数列{}n a 的通项公式cos 12 n n a n π =+，前n 项和为n S ，则2012S =___． 12．（2011浙江）若数列2(4)()3n n n ? ?+???? 中的最大项是第k 项，则k =____________． 三、解答题数列-高考文科数学通用讲义
高中数学 数列求和常见的7种方法
数列-高考文科数学通用讲义
高考数学数列的求和测试
2010-2019高考数学文科真题分类训练---第十七讲 递推数列与数列求和