第五章一阶逻辑推理
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05 一阶逻辑等值演算与推理
例
4
(3) C = xyL(x, y) (L(2, 2) L(2, 3)) (L(3, 2) L(3, 3)) (10) (01) 1.
例
4
(4) D = yxL(x, y) y(L(2, y)L(3, y)) (L(2, 2)L(3, 2)) (L(2, 3)L(3, 3)) (10) (01) 0. 一般地：y x L (x, y) x y L (x, y) 在实变函数上的应用举例
提 前 讲
证 只要证明在某个解释下两边的式子不等值.
(1)取解释 I: 个体域为 ; A(x) 为 x 是奇数; B(x) 为 x 是 偶数. 则 x(A(x) A(x)) 为真, 而 xA(x) xB(x) 为假.
(2)取解释 I 同(1), 则 x(A(x) B(x)) 为假, 而 xA(x) xB(x) 为真.
/quantifier elimination
3. 量词辖域收缩与扩张等值式
设 A(x) 含 x 的自由出现, 而 B 不含 x 的自由出现, 则
(1)
x(A(x)B) xA(x) B
x(A(x)B) xA(x) B x(A(x)B) xA(x) B x(BA(x)) B xA(x) (5.3)
/quantifier distribution
例 2
例2 证明 对 无分配律, 而 对 无分配律. (1) x(A(x)B(x)) xA(x) xB(x);
(2) x(A(x)B(x)) xA(x) xB(x),
其中 A(x), B(x) 含自由变元 x.
2、一阶逻辑中的基本等值式
第一组 代换实例 命题逻辑中的重言式的代换实例都是一阶逻辑中的 永真式, 因而命题逻辑中的等值式†给出的代换实例 都是一阶逻辑的等值式.
第五章+一阶逻辑等值演算与推理3
15
第五章 一阶逻辑等值演算与推理
练习:在自然推理系统F中，构造下列推理的证明。
前提：∀x(F(x) ∨ G(x))， ⎤ ∃x G(x). 结论： ∃x F(x) . 证明：① ⎤ ∃x G(x) 前提引入 ② ∀x ⎤ G(x) ① 置换规则 ③ ⎤ G(a) ②UI ④ ∀x(F(x) ∨ G(x)) 前提引入 ⑤ F(a) ∨ G(a) ④UI ⑥ F(a) ③ ⑤析取三段论 ⑦ ∃x F(x) ⑥EG
3
第五章 一阶逻辑等值演算与推理
(2) 由基本等值式生成的推理定律。例如： ∀x F(x) => ⎤ ⎤ ∀x F(x) ⎤ ⎤ ∀x F(x) => ∀x F(x) ⎤ ∀x A(x) => ∃x ⎤ A(x)
∃x ⎤ A(x) => ⎤ ∀x A(x) ……
4
第五章 一阶逻辑等值演算与推理
(3) ∀x A(x)∨∀x B(x)=> ∀x (A(x)∨ B(x))① ③引入的顺序不可更改！
13
第五章 一阶逻辑等值演算与推理
练习：试指出下面证明中的错误。
证明： ① ∀x (A(x)→B(x))
前提引入
① UI ② A(y)→B(y) 前提引入 ③ ∃x A(x) ④ A(y) ③EI ⑤ B(y) ②④假言推理 ⑥ ∀xB(x) ⑤UG 对∃x A(x)消去量词时，要求用特定的个体常项取代 x，而不能用变项y取代x，所以③到④有错。
证明：只要说明∃x A(x)→∃x B(x)为1时， ∃ x(A(x)→B(x))不为0即可。 （1）若有x使得A(x)为0，则∃ x(A(x)→B(x))为 1。 （2）若所有的x都使得A(x)为1，由∃x A(x)→∃x B(x为1得∃x B(x)为1，即有一个c使得B(c)为 1。因此A(c)→B(c)为1， ∃ x(A(x)→B(x))为 1。
现代逻辑：谓词逻辑
第五章非形式的一阶谓词逻辑本章和下一章都属于现代谓词逻辑。
这一章主要介绍一阶谓词逻辑的基本概念、形式结构和语义，是一阶谓词演算的理论基础。
§1 从传统谓词逻辑到现代谓词逻辑传统谓词逻辑主要是研究性质命题及其推理(以三段论为核心)的逻辑。
在传统谓词逻辑中，所有的命题都是仅仅具有如下四种形式的命题：A——所有的S都是PE——所有的S都不是PI——有些S是PO——有些S不是P至于具有“这个S是P”和“这个S不是P”之形式的命题则被笼统地处理成相应的A命题和E命题。
无疑，对于可以分析成这种形式的命题来说，传统谓词逻辑中的方法很有实用性。
但这种分析方法同时也存在着很大的局限性和过于笼统化。
试看如下命题：(1)张三比李四年纪大。
(2)上海位于南京和杭州之间。
(3)有的提案得到了所有议员的欢迎。
它们和具有上述A、E、I、0四种形式的命题有着明显的区别，称为关系命题，即表达个体对象之间是否具有某种关系。
由这些命题构成的推理称为关系推理。
例如：张三比李四年纪大，李四比王五的年纪大所以，张三此王五的年纪大。
直观上看，这个推理是有效的，并且其有效性正在于命题的内部结构。
类似这个推理的关系推理显然应该成为着重分析命题内在逻辑结构的谓词逻辑的研究对象。
但关系命题和关系推理都超出了传统谓词逻辑力所能及的范围。
传统谓词逻辑仅仅研究性质命题；而且仅仅研究三段论或是对性质命题的形式稍作变化的推理。
尽管传统谓词逻辑也属于谓词逻辑，但它对谓词的研究极其有限。
谓词有多种类型。
有一元、二元乃至多元谓词，有一阶、二阶乃至高阶谓词。
一元谓词是表示一个个体对象的性质的谓词，二元及二元以上的谓词则是表示两个或两个以上的个体对象之间的关系的谓词。
传统谓词逻辑所研究的性质命题是只包含一元谓词的命题，三段论也仅是关于一元谓词的逻辑理论。
对于包含二元及二元以上的谓词的关系命题及其相关的关系推理形式，传统谓词逻辑完全没有研究。
其根本原因在于传统谓词逻辑的理论体系根本无法表达这类命题和推理。
一阶逻辑基本概念
设D是非空个体名称集合，定义在Dn上取值于{0，1} 上的n元函数，称为n元命题函数或n元谓词。其中Dn表 示集合D的n次笛卡尔乘积。
例：令G(x，y)： “x高于y”，G(x，y)是一个二元谓词。 将x代以个体 “张三”，y代以个体 “李四”，则G(张 三，李四)就是命题： “张三高于李四”。
G(x，y)不是命题，而是一个命题函数即谓词。 将x，y代以任意确定的个体，由G(x，y)都能得到一个
如例 (1)和(4)的合取 (x)P(x) ∧ (x)R(x) x∈{老虎} x∈{人}
不便之处(续)
（3）若个体域的注明不清楚，将造成无法确定命题真值。 即对于同一个n元谓词，不同的个体域有可能带来不同的真 值。
例如 对于语句“(x)(x+6 = 5)”可表示为：“有一些x ，使得x+6 = 5”。该语句在下面两种个体域下有不同的真 值：
它的含义(是x：)(“U(对x)于→任P(意x)的) x, x是老虎，并且x 会它吃的人含”，义与是原：命“题对“于所任有意的的老x,虎如都果要x是吃老人虎”的，逻则辑x 含会义吃不人符”。，符合原命题的逻辑含义。
（2）令 S(x)：x登上过月球
U(x)：x是人
若则符符号号化化为的正(确x)(形U(式x)应→该是S(x))
全总个体域（universe）——由宇宙间一切事物组成 。
说明 本教材在论述或推理中，如果没有指明所采 用的个体域，都是使用的全总个体域。
谓词及相关概念
谓词（predicate）是用来刻画个体词性质及个体词之间相 互关系的词。
(1) 是无理数。 是个体常项，“是无理数”是谓词，记为F，命题符号 化为F() 。
(2) x是有理数。 x是个体变项，“是有理数”是谓词，记为G，命题符号 化为G(x)。
例：令G(x，y)： “x高于y”，G(x，y)是一个二元谓词。 将x代以个体 “张三”，y代以个体 “李四”，则G(张 三，李四)就是命题： “张三高于李四”。
G(x，y)不是命题，而是一个命题函数即谓词。 将x，y代以任意确定的个体，由G(x，y)都能得到一个
如例 (1)和(4)的合取 (x)P(x) ∧ (x)R(x) x∈{老虎} x∈{人}
不便之处(续)
（3）若个体域的注明不清楚，将造成无法确定命题真值。 即对于同一个n元谓词，不同的个体域有可能带来不同的真 值。
例如 对于语句“(x)(x+6 = 5)”可表示为：“有一些x ，使得x+6 = 5”。该语句在下面两种个体域下有不同的真 值：
它的含义(是x：)(“U(对x)于→任P(意x)的) x, x是老虎，并且x 会它吃的人含”，义与是原：命“题对“于所任有意的的老x,虎如都果要x是吃老人虎”的，逻则辑x 含会义吃不人符”。，符合原命题的逻辑含义。
（2）令 S(x)：x登上过月球
U(x)：x是人
若则符符号号化化为的正(确x)(形U(式x)应→该是S(x))
全总个体域（universe）——由宇宙间一切事物组成 。
说明 本教材在论述或推理中，如果没有指明所采 用的个体域，都是使用的全总个体域。
谓词及相关概念
谓词（predicate）是用来刻画个体词性质及个体词之间相 互关系的词。
(1) 是无理数。 是个体常项，“是无理数”是谓词，记为F，命题符号 化为F() 。
(2) x是有理数。 x是个体变项，“是有理数”是谓词，记为G，命题符号 化为G(x)。
第5章一阶逻辑等值演算与推理
二、基本规则 ．置换规则 设Φ()是含公式的公式，Φ()是用公式取代
Φ()中所有的之后的公式，若 ，则Φ() Φ(). 一阶逻辑中的置换规则与命题逻辑中的置
换规则形式上完全相同，只是在这里，是一阶 逻辑公式。
．换名规则 设为公式，将中某量词辖域中某约束变项 的所有出现及相应的指导变元改成该量词辖域 中未曾出现过的某个体变项符号，公式的其余 部分不变，设所得公式为'，则' .
．存在量词引入规则(简称规则或)
该式成立的条件是： （）是特定的个体常项。 （）取代的不能在()中出现过。
．存在量词消去规则(简记为规则或)
该式成立的条件是： （）是使为真的特定的个体常项。 （）不在()中出现。 （）若()中除自由出现的外，还有其它自由
出现的个体变项，此规则不能使用。
三、一阶逻辑自然推理系统 定义 自然推理系统定义如下：
()→() (换名规则) 原公式中，，都是既约束出现又有自
由出现的个体变项，只有仅自由出现。而在 最后得到的公式中，，，，，中再无既是约 束出现又有自由出现个体变项了。还可以如 下演算，也可以达到要求。
()→() ()→() (代替规则) ()→() (代替规则)
(2)(()→()) (()→()) (代替规则)
本例说明，全称量词“”对“∨”无分配律。 同样的，存在量词“”对“∧”无分配律。但 当()换成没有出现的时，则有
(()∨) ()∨ () (()∧) ()∧ ()
例 设个体域为＝{}，将下面各公式的量词消
去： () (()→()) () (()∨()) () () 解 () (()→())
(()→())∧(()→())∧(()→()) () (()∨())
一阶逻辑推理证明
一阶逻辑推理证明一阶逻辑是数理逻辑的一个分支，用于描述自然语言中的命题关系和推理过程。
在一阶逻辑中，我们可以使用命题逻辑符号和量词来表示命题和量化关系，并使用推理规则进行推理证明。
一阶逻辑推理证明的目标是通过一系列推理步骤，从已知的前提推导出结论。
这个过程需要严格的逻辑推理和推理规则，以确保推导的正确性和有效性。
在一阶逻辑推理证明中，我们首先需要确定已知的前提是什么，然后根据这些前提使用推理规则进行推导，最终得出结论。
推理规则可以包括逻辑联结词的推理规则和量词的推理规则。
逻辑联结词的推理规则包括合取（conjunction）、析取（disjunction）、条件（implication）、双条件（biconditional）的推理规则。
例如，对于合取的推理规则，我们可以使用合取引入和合取消除规则。
合取引入规则可以将两个命题P和Q推导出P∧Q，而合取消除规则可以从P∧Q推导出P和Q。
量词的推理规则包括全称量词（universal quantifier）和存在量词（existential quantifier）的推理规则。
全称量词的推理规则可以使用全称引入和全称消除规则，而存在量词的推理规则可以使用存在引入和存在消除规则。
在一阶逻辑推理证明中，我们还可以使用等价变换和否定引入等推理规则。
等价变换可以将一个命题变换为与之等价的形式，而否定引入可以将一个命题的否定引入到推导过程中。
一阶逻辑推理证明的过程需要严格的逻辑推理和论证，以确保推导的正确性和有效性。
在进行推导时，我们需要根据已知的前提和推理规则进行推导，同时需要注意推导过程中的每一步是否符合逻辑规则，并根据需要进行等价变换和否定引入等操作。
通过一阶逻辑推理证明，我们可以推导出新的结论，并对现实世界中的问题进行分析和解决。
一阶逻辑推理证明在数学、计算机科学、哲学等领域都有广泛的应用，可以帮助我们理解和解决复杂的问题。
一阶逻辑推理证明是通过一系列推理步骤，从已知的前提推导出结论的过程。
一阶逻辑推理理论
一阶逻辑推理实例
命题逻辑中的推理规则及在一阶逻辑中
的代换实例，在一阶逻辑推理中仍然使 用 量词消去和引入规则
例1: 证明苏格拉底三段论“凡人都是要死的。 苏格拉底是人.所以苏格拉底是要死的。” 命题符号化：F（x）：x是人（特性谓词）； G（x）：x是要死的； a：苏格拉底 前提：x（F(x)→G(x)），F(a) 结论：G(a) 证明： （1）x（F(x)→G(x)） 前提引入 （2）F(a)→G(a) UI(1) （3）F(a) 前提引入 （4）G(a) (2)(3)假言推理
xA(x) A(y)中， y应为任意的不在A(x)中约束 出现的个体变项。
全称量词引入规则（简称UG规则） A(y) xA(x) ③ 公式成立的条件是 1.y在A(y)中自由出现，且y取任何值时A均为真 2.取代y的x不在A(y)中约束出现。
例:设定义域为实数， 取F(x,y)为x>y，A(y)=xF(x,y)=x(x>y)， A对任意给定的y都是真的。 如下推理是否正确 : ①xF(x,y) 前提引入 ②xxF(x,x) ①UG xx(x>x)是假命题，推理出错。 出错的原因是违背了条件2：取代y的x不在A(y) 中约束出现 ②zxF(x,z) ①UG √
例: 在自然数集中，设F(x)为x是奇数，G(x)是x 是偶数，则xF(x)∧xG(x)是真命题. 以下推理 是否正确： (1) xF(x)∧xG(x) 前提引入 (2) xF(x) (1)化简规则 (3) xG(x) (1)化简规则 (4) F(a) (2)EI (5) G(b) (3)EI (6) F(a)∧G(b) (4)(5)合取规则 (7) x(F(x)∧G(x)) (6)EG
前提: x ( F(x) → G(x)) ，x ( F(x) ∧ H(x) ) 结论: x ( G(x) ∧ H(x) )
离散数学(第五章)
举例：
令 x的个体(gètǐ)域为正整数。 A(x)：x是奇数 B(x)：x是偶数
x (A(x) B(x)) 存在既是奇数又是偶数的正整数。
x A(x) x B(x) 存在为奇数的正整数且存在为偶数的正整数。
共五十六页
§2.3 一阶逻辑(luójí)等值式与置换规则
量词与联结词∧，∨的关系(guān xì)总结： 1)
共五十六页
§2.3 一阶逻辑(luójí)等值式与置换规则
例：设个体域是整数集，则下列命题(mìng tí)的真值为真的是 （）
A． y x(x·y=1)
B． x y (x·y≠0)
C． x y (x·y=y2)
D． y x(x·y=x2)
共五十六页
§2.3 一阶逻辑(luójí)等值式与置换规则
(A(a1)B(a1)) …. (A(an)B(an)) (A(a1)… A(an)) (B(a1)… B(an)) xA(x) x B(x)
共五十六页
§2.3 一阶逻辑等值式与置换(zhìhuàn)规 则 ∀x(A(x)∨B(x)) ⇔ ∀x A(x) ∨∀x B(x)？
举例(jǔ ： lì) 令 x的个体域为正整数。
(x)P(x) ❖ 可以看出命题(1)(2)意义完全相同，(3)(4)意义也完全相同
共五十六页
§2.3 一阶逻辑等值式与置换(zhìhuàn)规则
（2）量词否定(fǒudìng)转换律 ¬xP(x) x¬P(x) ¬xP(x) x¬P(x)
下面证明：¬xP(x) x¬P(x) 设个体域为： S={a1,a2,…an} ¬xP(x) ¬(P(a1) P(a2) … P(an))
上述二命题的否定为： (a)上海不是一个小城镇 ¬A(s) (b)有一些自然数不是偶数 ¬x(N(x)E(x))x¬(N(x)E(x)) x¬(¬N(x)E(x)) x (N(x) ¬E(x)) 结论：对于非量化命题的否定只需将动词否定，而对于 量化命题的否定不但对动词进行否定而且对量词同时 进行否定，其方法是： x的否定变为x ， x的否定变 为x 。
令 x的个体(gètǐ)域为正整数。 A(x)：x是奇数 B(x)：x是偶数
x (A(x) B(x)) 存在既是奇数又是偶数的正整数。
x A(x) x B(x) 存在为奇数的正整数且存在为偶数的正整数。
共五十六页
§2.3 一阶逻辑(luójí)等值式与置换规则
量词与联结词∧，∨的关系(guān xì)总结： 1)
共五十六页
§2.3 一阶逻辑(luójí)等值式与置换规则
例：设个体域是整数集，则下列命题(mìng tí)的真值为真的是 （）
A． y x(x·y=1)
B． x y (x·y≠0)
C． x y (x·y=y2)
D． y x(x·y=x2)
共五十六页
§2.3 一阶逻辑(luójí)等值式与置换规则
(A(a1)B(a1)) …. (A(an)B(an)) (A(a1)… A(an)) (B(a1)… B(an)) xA(x) x B(x)
共五十六页
§2.3 一阶逻辑等值式与置换(zhìhuàn)规 则 ∀x(A(x)∨B(x)) ⇔ ∀x A(x) ∨∀x B(x)？
举例(jǔ ： lì) 令 x的个体域为正整数。
(x)P(x) ❖ 可以看出命题(1)(2)意义完全相同，(3)(4)意义也完全相同
共五十六页
§2.3 一阶逻辑等值式与置换(zhìhuàn)规则
（2）量词否定(fǒudìng)转换律 ¬xP(x) x¬P(x) ¬xP(x) x¬P(x)
下面证明：¬xP(x) x¬P(x) 设个体域为： S={a1,a2,…an} ¬xP(x) ¬(P(a1) P(a2) … P(an))
上述二命题的否定为： (a)上海不是一个小城镇 ¬A(s) (b)有一些自然数不是偶数 ¬x(N(x)E(x))x¬(N(x)E(x)) x¬(¬N(x)E(x)) x (N(x) ¬E(x)) 结论：对于非量化命题的否定只需将动词否定，而对于 量化命题的否定不但对动词进行否定而且对量词同时 进行否定，其方法是： x的否定变为x ， x的否定变 为x 。
第五章 一阶逻辑等值演算与推理
本章说明
本章的主要内容 –一阶逻辑等值式与基本等值式 –置换规则、换名规则、代替规则 –前束范式
–一阶逻辑推理理论
本章与其他各章的关系 –本章先行基础是前四章
–本章是集合论各章的先行基础
本章主要内容
5.1 一阶逻辑等值式与置换规则
5.2 一阶逻辑前束范式 5.3 一阶逻辑的推理理论 主要内容 作 业
一阶逻辑中的一些基本而重要等值式
代换实例
消去量词等值式
量词否定等值式 量词辖域收缩与扩张等值式 量词分配等值式
代换实例---命题公式的推广
由于命题逻辑中的重言式的代换实例都是一阶逻辑中的永 真式，因而第二章的16组等值式模式给出的代换实例都是 一阶逻辑的等值式的模式。 例如：
x(A(x)∧B(x))x A(x)∧ x B(x)
谓词演算蕴含式 xA(x)∨xB(x) x(A(x)∨B(x))
x(A(x)∧B(x)) x A(x)∧ x B(x)
多个量词间的次序排列等值式。
多个量词同时出现时,其顺序是至关重要的.
(1) xyA( x, y) yxA( x, y ) (2) xyA( x, y ) yxA( x, y )
等值式的定义
定义5.1 设A，B是一阶逻辑中任意两个公式，若 AB是永真 式，则பைடு நூலகம்A与B是等值的。 记做AB，称 AB 是等值式。
例如：
x(F(x) G(x)) x(F(x) G(x))
说 明
判断公式A与B是否等值，等价于判断公式AB是否 为永真式。 谓词逻辑中关于联结词的等值式与命题逻辑中相关 等值式类似。
一阶逻辑中的置换规则与命题逻辑中的置换规则形式 上完全相同，只是在这里A，B是一阶逻辑公式。 换名规则：设A为一公式，将A中某量词辖域中某约束变项的 所有出现及相应的指导变元改成该量词辖域中未曾出现过的 某个体变项符号，公式的其余部分不变，设所得公式为A'， 则A'A。
第5章 基于一阶谓词的机器推理
定理 5-1 设G, H是两个谓词公式，GH的充分必要 条件是G H且H G。
5.1.3 永真式与推理规则
定义 5-10 设P为谓词公式，D为其个体域，对于D中 的任一解释I：
(1) 若P恒为真，则称P在D上永真（或有效）或是D上的 永真式。
(2) 若P恒为假，则称P在D上永假（或不可满足）或是D 上的永假式。
所以，谓词公式G在I下为真。
定义 5-8 设G, H是两个谓词公式，D是它们的公共个体
域，若对于D中的任一解释，G, H有相同的真值，则称公式
G, H在个体域D上逻辑等价。若G, H在所有个体域上等价，
则称G, H逻辑等价，记为G H。
定义 5-9 设G, H是两个谓词公式，D是它们的公共个 体域，若对于D中的任一解释，当G真时H也真，则称在个 体域D上公式G逻辑蕴涵公式H。若在所有个体域上G都逻 辑蕴涵H，则称G逻辑蕴涵H，或称H是G的逻辑结果，记 为G H。
下面约定用大写英文字母作为谓词符号，用小写字母f, g, h等表示函数符号，用小写字母x, y, z等作为个体变元符 号，用小写字母a, b, c等作为个体常元符号。
❖ 谓词逻辑中，符号 、∧、∨、→、←→依次表示（命题） 连接词“非”、“并且”、“或者”、“如果…则”、 “当且仅当”，称为否定词、合取词、析取词、蕴涵词、 等价词。它们也就是5个逻辑运算符。
试问：小王学过计算机吗？
解 令S(x)表示：x是大学生；M(x)表示：x学过计算机； a表示：小王。则上面的两个命题可用谓词公式表示为
(1) x(S(x)→M(x))
(2) S(a)
下面遵循有关推理规则进行符号变换和推理：
(1) x(S(x)→M(x)) [前提]
(2) S(a)→M(a) [(1), US]
5.1.3 永真式与推理规则
定义 5-10 设P为谓词公式，D为其个体域，对于D中 的任一解释I：
(1) 若P恒为真，则称P在D上永真（或有效）或是D上的 永真式。
(2) 若P恒为假，则称P在D上永假（或不可满足）或是D 上的永假式。
所以，谓词公式G在I下为真。
定义 5-8 设G, H是两个谓词公式，D是它们的公共个体
域，若对于D中的任一解释，G, H有相同的真值，则称公式
G, H在个体域D上逻辑等价。若G, H在所有个体域上等价，
则称G, H逻辑等价，记为G H。
定义 5-9 设G, H是两个谓词公式，D是它们的公共个 体域，若对于D中的任一解释，当G真时H也真，则称在个 体域D上公式G逻辑蕴涵公式H。若在所有个体域上G都逻 辑蕴涵H，则称G逻辑蕴涵H，或称H是G的逻辑结果，记 为G H。
下面约定用大写英文字母作为谓词符号，用小写字母f, g, h等表示函数符号，用小写字母x, y, z等作为个体变元符 号，用小写字母a, b, c等作为个体常元符号。
❖ 谓词逻辑中，符号 、∧、∨、→、←→依次表示（命题） 连接词“非”、“并且”、“或者”、“如果…则”、 “当且仅当”，称为否定词、合取词、析取词、蕴涵词、 等价词。它们也就是5个逻辑运算符。
试问：小王学过计算机吗？
解 令S(x)表示：x是大学生；M(x)表示：x学过计算机； a表示：小王。则上面的两个命题可用谓词公式表示为
(1) x(S(x)→M(x))
(2) S(a)
下面遵循有关推理规则进行符号变换和推理：
(1) x(S(x)→M(x)) [前提]
(2) S(a)→M(a) [(1), US]
第五章 一阶逻辑推理理论
六、量词分配: 对∧, 对∨ 量词分配 设公式A(x),B(x)含自由出现的个体变项 ，则： 的个体变项x， 设公式 含自由出现的个体变项 x(A(x)∧B(x)) xA(x)∧xB(x) ∧ ∧ x(A(x)∨B(x)) xA(x)∨xB(x) ∨ ∨ 但是: 但是 对∨, 对∧不可分配 x(A(x)∨B(x)) ≠xA(x) ∨xB(x) (*) 1≠0 ∨ ≠ ∧xB(x) (**) 0≠1 x(A(x)∧B(x)) ≠xA(x) ∧ ∧ ≠ 要证谓词公式等值要穷尽所有解释, 要证谓词公式等值要穷尽所有解释 不等,只要 只要1个解释 不等 只要 个解释 个体变元的取值范围即个体域限制为自然数 自然数! 个体变元的取值范围即个体域限制为自然数 A(x)解释为 是奇数 解释为x是奇数 解释为x是偶数 解释为 是奇数,B(x)解释为 是偶数 则 解释为 是偶数,则 是所有自然数是奇数， 而xA(x)是所有自然数是奇数，是不对的！为0 是所有自然数是奇数 是不对的！ 是所有自然数是偶数， 是所有自然数是偶数 是不对的！ 而xB(x)是所有自然数是偶数，是不对的！为0 x(A(x)∨B(x))是“任何自然数是奇数或偶数”, ∨ 是 任何自然数是奇数或偶数” 为1
将下面公式化成等值的公式,使其不含有既是 等值的公式 例1 将下面公式化成等值的公式 使其不含有既是 约束出现又是自由出现的个体变项。 约束出现又是自由出现的个体变项。 自由出现的个体变项 →yG(x,y,z) xF(x,y,z)→ → 解：x在前件中是约束变元，在后件是自由变元, 在前件中是约束变元，在后件是自由变元 在前件中是约束变元 y在前件中是自由变元，在后件是约束变元， 在前件中是自由变元， 在前件中是自由变元 在后件是约束变元， 约束变元改名 改名： →sG(x,s,z) 约束变元改名： tF(t,y,z)→ → 自由变元改名 改名： →yG(t,y,z) 对自由变元改名： xF(x,s,z)→ → →yG(x,y,z)) x(F(x,y)→ → 在前件是自由， 解：y在前件是自由，在后件是约束，有歧义！ 在前件是自由 在后件是约束，有歧义！ →sG(x,s,z)) x(F(x,y)→ →
一阶逻辑的推理演算
1一阶逻辑的推理演算这一讲我们学习一阶逻辑的自然推理系统。
其功能是由若干前提12,,,n A A A 推导出一条结论B 。
这相当于证明下列蕴含式是永真的： 12n A A A B ∧∧∧→1. 一阶逻辑的代入定理 将永真命题公式中的各命题变元代换为任何一阶公式后，所得的一阶公式是永真的。
例如，()p q p q →∧→是永真命题公式。
进行一阶公式代入p=F (x )，q=G (x )后得如下永真一阶公式：(()())()()F x G x F x G x →∧→定理1.1（代入定理）任何永真命题公式在代入一阶公式后是永真一阶公式。
证明 略。
证毕2. 永真蕴含式和推理定律永真蕴含式：若A →B 是永真式，则记为A B ⇒，称为永真蕴含式。
将永真命题蕴含式中的变元视为取值为任何一阶公式的变元，则该永真命题蕴含式就变成一条推理定律。
根据代入定理，推理定律表示一批形式相似的永真蕴含式。
因此，推理定律是描述永真蕴含式的模式。
由任何永真蕴含式可以得到对应的推理定律。
例如，由永真蕴含式()p q p q →∧⇒可得一阶逻辑的假言推理定律()A B A B →∧⇒，其中变元A ，B 表示任何一阶公式。
这条推理定律的含义是，对于任何一阶公式A 和B ，若(A →B )为真并且A 为真，则B 为真。
因此，由前提(A →B )与A 可得结论B 。
这是我们思维中最常用的一条推理规则，称为假言推理规则或者分离规则。
因此，推理定律可以当作推理规则使用。
2再如，(())p q q p →∧⌝→是永真蕴含式，由此可得推理定律(())A B B A →∧⌝⇒，称为拒取式。
命题逻辑的自然推理系统P 中的所有9条推理定律都可以当作一阶逻辑推理定律来使用。
3. 量词消去与引入规则与命题逻辑的自然推理系统相比，这是一阶逻辑自然推理系统所特有的推理规则。
见课本第75页。
这是课程中的一个难点，我们可以借助于语义来理解其正确性。
1） 全称量词消去规则（简记为∀-）（1）第一个竖式得出的结论是一个句型。
5一阶逻辑等值演算与推理
(1)置换规则 置换规则 是含公式A的命题公式 是用公式B 设φ(A)是含公式 的命题公式, φ(B)是用公式 是含公式 的命题公式, 是用公式 置换了中所有A后得到的命题公式 后得到的命题公式, 置换了中所有 后得到的命题公式,若AB , 则φ(A) φ(B) . 注意:命题公式中的置换规则是本规则的特例. 注意:命题公式中的置换规则是本规则的特例.
14
5.2一阶逻辑前束范式 一阶逻辑前束范式
《定义》一个公式,如果量词均非否定的放在全式 定义》一个公式, 的开头,它们的辖域延伸到整个公式的末尾, 的开头,它们的辖域延伸到整个公式的末尾,则 称此公式叫前束范式. 称此公式叫前束范式. 前束范式) xyz( Q(x,y)∨ R(z)) (前束范式 ∨ 前束范式 定理5.1 任何一个一阶逻辑公式均存在一个与它等 定理 值的前束范式. 值的前束范式. 利用量词否定等值式把深入到原子公式前 深入到原子公式前. ①利用量词否定等值式把 深入到原子公式前. 利用约束变元的换名规则. ②利用约束变元的换名规则. ③利用量词辖域的扩张收缩律把量词移到全式的最 前面. 前面.
19
5.3 一阶逻辑的推理理论
规则). (1)全称消去规则(UI规则). )全称消去规则( 规则 xA(x) A(y) ,xA(x) A(c) , 成立条件是: 成立条件是: 第一式中,取代x的y应为任意的不在 应为任意的不在A(x)中 第一式中,取代x的y应为任意的不在A(x)中 约束出现的个体变元. 约束出现的个体变元. 在第二式中, 为任意的不在 为任意的不在A(x)中出现过的 在第二式中,c为任意的不在 中出现过的 个体变元. 个体变元. 去取代A(x)中的自由出现的 时,一定 中的自由出现的x时 用y或c去取代 或 去取代 中的自由出现的 要在x自由出现的一切地方进行取代 自由出现的一切地方进行取代. 要在 自由出现的一切地方进行取代.
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5.2一阶逻辑前束范式 一阶逻辑前束范式
《定义》一个公式,如果量词均非否定的放在全式 定义》一个公式, 的开头,它们的辖域延伸到整个公式的末尾, 的开头,它们的辖域延伸到整个公式的末尾,则 称此公式叫前束范式. 称此公式叫前束范式. 前束范式) xyz( Q(x,y)∨ R(z)) (前束范式 ∨ 前束范式 定理5.1 任何一个一阶逻辑公式均存在一个与它等 定理 值的前束范式. 值的前束范式. 利用量词否定等值式把深入到原子公式前 深入到原子公式前. ①利用量词否定等值式把 深入到原子公式前. 利用约束变元的换名规则. ②利用约束变元的换名规则. ③利用量词辖域的扩张收缩律把量词移到全式的最 前面. 前面.
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5.3 一阶逻辑的推理理论
规则). (1)全称消去规则(UI规则). )全称消去规则( 规则 xA(x) A(y) ,xA(x) A(c) , 成立条件是: 成立条件是: 第一式中,取代x的y应为任意的不在 应为任意的不在A(x)中 第一式中,取代x的y应为任意的不在A(x)中 约束出现的个体变元. 约束出现的个体变元. 在第二式中, 为任意的不在 为任意的不在A(x)中出现过的 在第二式中,c为任意的不在 中出现过的 个体变元. 个体变元. 去取代A(x)中的自由出现的 时,一定 中的自由出现的x时 用y或c去取代 或 去取代 中的自由出现的 要在x自由出现的一切地方进行取代 自由出现的一切地方进行取代. 要在 自由出现的一切地方进行取代.
一阶逻辑等值演算与推理
例： (x)(y)(z)(Q( x, y) R(z)), (y)(x)(Q( x, y) R( y))
方法：利用换名规则及代替规则求前束范式
例:求下列公式的前束范式. １、(x)P( x) (x)Q( x)
解：原式 xP(x) xQ(x)
x(P(x) Q(x))
要求： 深刻理解并记住重要等值式，并能熟练地应用它们 熟练地使用置换规则、换名规则、代替规则 准确地求出给定公式的前束范式 正确地使用UI, UG, EG, EI规则，特别要注意它们之
间的关系 对给定的推理，正确地构造出它的证明
5.1 一阶逻辑等值式与置换规则
一、量词否定等值式
例：设P(x)：X今天去过操场 （1）不是所有人今天去过操场
根据上式亦有：
x(A(x) B(x)) x(A(x)) x(B(x))
x(A(x) B(x)) (xA(x) xB(x))
x(A(x) B(x)) xA(x) xB(x)
四、多个量词的使用
xyA(x,y) yxA(x,y) xyA(x,y) yxA(x,y)
即((x)A(x) (x)B(x)) (x)(A(x) B(x)) 故有：
(x（) A(x) B(x)） (x)A(x)（x）B(x)
(x)A(x) (x)B(x) (x)(A(x) B(x)) (x（) A(x) B(x)） (x)A(x)（x）B(x)
下列推理是否严密？
(1) (x)((y)(S( x, y) M( y) (z)(P(z) R( x, z)))) P
(2) (y)(S(b, y) M( y) (z)(P(z) R(b, z))) US(1)
(3) (z)P(z)
方法：利用换名规则及代替规则求前束范式
例:求下列公式的前束范式. １、(x)P( x) (x)Q( x)
解：原式 xP(x) xQ(x)
x(P(x) Q(x))
要求： 深刻理解并记住重要等值式，并能熟练地应用它们 熟练地使用置换规则、换名规则、代替规则 准确地求出给定公式的前束范式 正确地使用UI, UG, EG, EI规则，特别要注意它们之
间的关系 对给定的推理，正确地构造出它的证明
5.1 一阶逻辑等值式与置换规则
一、量词否定等值式
例：设P(x)：X今天去过操场 （1）不是所有人今天去过操场
根据上式亦有：
x(A(x) B(x)) x(A(x)) x(B(x))
x(A(x) B(x)) (xA(x) xB(x))
x(A(x) B(x)) xA(x) xB(x)
四、多个量词的使用
xyA(x,y) yxA(x,y) xyA(x,y) yxA(x,y)
即((x)A(x) (x)B(x)) (x)(A(x) B(x)) 故有：
(x（) A(x) B(x)） (x)A(x)（x）B(x)
(x)A(x) (x)B(x) (x)(A(x) B(x)) (x（) A(x) B(x)） (x)A(x)（x）B(x)
下列推理是否严密？
(1) (x)((y)(S( x, y) M( y) (z)(P(z) R( x, z)))) P
(2) (y)(S(b, y) M( y) (z)(P(z) R(b, z))) US(1)
(3) (z)P(z)
05第五章一阶逻辑等值演算与推理
xA( x) 成立条件： （1） 所有的y,A( y)为真 （2） x不能在A( y)中约束出现，
3 存在量词引入规则（EG） A(c)
xA( x) 成立条件： （1）c为特定的个体常项 （2）x不能在A(c)中出现
4 存在量词消去规则（EI） xA( x) A(c)
成立条件： (1) c是使A为真特定的个体常项 (2) c不在A( x)中出现， （3）A( x)中除自由出现的x外，无其他自由出现的 个体变项
xy(F ( x) G( y) L( x, y))
5.2 一阶逻辑前束范式
定义（前束范式） 设A为一个一阶逻辑公式，若具有如下形式
Q1 x1Q2 x2 L Qk xk B 则称A为前束范式，其中Qi (1 i k)为或， B为不含量词的公式
定理（前束范式存在定理） 一阶逻辑中的任何公式都存在与之等值的前束范式
例 将下面公式化成与之等值的公式，使其 没有既是约束出现的又是自由出现的个体变项 (1) xF ( x, y, z) yG( x, y, z) (2) x(F ( x, y) yG( x, y, z)
例 设个体域D {a, b, c}，将下面公式的量词消去： (1) x(F ( x) G( x)) (2) x(F ( x) yG( y)) (3) xyF ( x, y)
5.3 一阶逻辑的推理理论
推理定律
第一组 命题逻辑推理定律的代换实例
第二组 由基本等值式生成的推理定律
第三组 重要推理定律 (1) xA( x) xB( x) x( A( x) B( x)) (2) x( A( x) B( x)) xA( x) xB( x) (3) x( A( x) B( x)) xA( x) xB( x) (4) x( A( x) B( x)) xA( x) xB( x) (5) x( A( x) B( x)) xA( x) xB( x)
3 存在量词引入规则（EG） A(c)
xA( x) 成立条件： （1）c为特定的个体常项 （2）x不能在A(c)中出现
4 存在量词消去规则（EI） xA( x) A(c)
成立条件： (1) c是使A为真特定的个体常项 (2) c不在A( x)中出现， （3）A( x)中除自由出现的x外，无其他自由出现的 个体变项
xy(F ( x) G( y) L( x, y))
5.2 一阶逻辑前束范式
定义（前束范式） 设A为一个一阶逻辑公式，若具有如下形式
Q1 x1Q2 x2 L Qk xk B 则称A为前束范式，其中Qi (1 i k)为或， B为不含量词的公式
定理（前束范式存在定理） 一阶逻辑中的任何公式都存在与之等值的前束范式
例 将下面公式化成与之等值的公式，使其 没有既是约束出现的又是自由出现的个体变项 (1) xF ( x, y, z) yG( x, y, z) (2) x(F ( x, y) yG( x, y, z)
例 设个体域D {a, b, c}，将下面公式的量词消去： (1) x(F ( x) G( x)) (2) x(F ( x) yG( y)) (3) xyF ( x, y)
5.3 一阶逻辑的推理理论
推理定律
第一组 命题逻辑推理定律的代换实例
第二组 由基本等值式生成的推理定律
第三组 重要推理定律 (1) xA( x) xB( x) x( A( x) B( x)) (2) x( A( x) B( x)) xA( x) xB( x) (3) x( A( x) B( x)) xA( x) xB( x) (4) x( A( x) B( x)) xA( x) xB( x) (5) x( A( x) B( x)) xA( x) xB( x)
第五章_一阶逻辑等值演算与推理
形式系统中构造证明的证明方法
推理定律
推理定律的定义 在一阶逻辑中称永真式的蕴涵式为推理 定律。 若一个推理的形式结构是推理定律，则 这个推理是正确的。
3大组推理定律
第一大组推理定律
命题逻辑推理定律的代换实例
化简律； 附加律。
第二大组推理定律
由基本等值式生成的推理定律
上一节给出的两组等值式中的每个等值式可生 成两个推理定律。
成立条件: (1) x, y是个体变项符号，c是个体常项符号; (2) 在A中, x不在 y和 y的辖域内自由出现。
4条消去量词和引入量词 的推理规则 (2)
全称量词引入规则 ( +)
成立条件: (1) x为个体变项符号, 且不在推理前提中的任 何公式中自由出现。
4条消去量词和引入量词 的推理规则 (3)
（练习）
换名规则 代替规则
例5.2. 证明
基本思路（等值演算） (1) 证明等价式是否为永真式; (2) 取任一解释证明即可。
例5.2（续）
量词一般无分配律
但当B(x)换成没有x出现的B时，则有
量词辖域收缩与扩张等值式
例5.3 设个体域为D＝{a,b,c}， 将下面各公式的量词消去
5.1. 一阶逻辑等值式 与置换规则
定义5.1（一阶逻辑等值式的概念） 设A，B是一阶逻辑中任意两个公式，若 A B是永真式，则称A与B是等值的。 记做A B，称A B是等值式。
基本等值式
来自于代换实例 来自于量词处理
第一组基本等值式
由于命题逻辑中的重言式的代换实例都是一阶 逻辑中的永真式，因而第二章的16组等值式给 出的代换实例都是一阶逻辑的等值式的模式。
换名规则
推理定律
推理定律的定义 在一阶逻辑中称永真式的蕴涵式为推理 定律。 若一个推理的形式结构是推理定律，则 这个推理是正确的。
3大组推理定律
第一大组推理定律
命题逻辑推理定律的代换实例
化简律； 附加律。
第二大组推理定律
由基本等值式生成的推理定律
上一节给出的两组等值式中的每个等值式可生 成两个推理定律。
成立条件: (1) x, y是个体变项符号，c是个体常项符号; (2) 在A中, x不在 y和 y的辖域内自由出现。
4条消去量词和引入量词 的推理规则 (2)
全称量词引入规则 ( +)
成立条件: (1) x为个体变项符号, 且不在推理前提中的任 何公式中自由出现。
4条消去量词和引入量词 的推理规则 (3)
（练习）
换名规则 代替规则
例5.2. 证明
基本思路（等值演算） (1) 证明等价式是否为永真式; (2) 取任一解释证明即可。
例5.2（续）
量词一般无分配律
但当B(x)换成没有x出现的B时，则有
量词辖域收缩与扩张等值式
例5.3 设个体域为D＝{a,b,c}， 将下面各公式的量词消去
5.1. 一阶逻辑等值式 与置换规则
定义5.1（一阶逻辑等值式的概念） 设A，B是一阶逻辑中任意两个公式，若 A B是永真式，则称A与B是等值的。 记做A B，称A B是等值式。
基本等值式
来自于代换实例 来自于量词处理
第一组基本等值式
由于命题逻辑中的重言式的代换实例都是一阶 逻辑中的永真式，因而第二章的16组等值式给 出的代换实例都是一阶逻辑的等值式的模式。
换名规则
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例5.7求下面公式的前束泛式,填出每一步
的依据 (1) xF(x)xG(x) (3) xF(x)xG(x)
例5.8 求下面公式的前束泛式 (1)xF(x,y)yG(x,y) (2)( x1 F(x1 ,x2 )x2 G(x2 ))x1
H(x1 ,x2 ,x3)
3.代替规则
设A为一个公式，将A中某自由出现的个 体变项的所有出现用A中未曾出现的某个 体变项符号代替，公式A中其余部分不变， 设所得公式为A'，则A A'。
例5.1 将下面公式化成与之等值的公式，
使其没有既是約束出现又是自由出现的个 体变项。 （1）xF(x、y、z)yG(x、y、z) （2）x(F(x、y)yG(x、y、z))
（8）假言三段论规则
（9）析取三段论规则 （10）构造性二难推理规则 （11）合取引入规则 （12）UI规则 （13）UG规则 （14）EG规则 （15）EI规则
例题
任何自然数都是整数，存在着自然数。所
以存在着整数。个体域为实数集合R。
人有了知识，就会具备各种分析能力， 明辨是非的能力。 所以我们要勤恳读书，广泛阅读， 古人说“书中自有黄金屋。 ”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识， 培养逻辑思维能力； 通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平， 培养文学情趣； 通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。 有许多书籍还能培养我们的道德情操， 给我们巨大的精神力量， 鼓舞我们前进。
重要的等值式
消去量词等值式 量词否定等值式 量词辖域收缩与扩张等值式 量词分配等值式
1.置换规则
设（A）是含公式A的公式， （B）是 用公式B取代（A）中所有的A之后的公 式，若AB，则（A） （B）
2.换名规则
设A为一个公式，将A中某量词辖域中某
約束变项的所有出现及相应的指导变元， 改成该量词辖域中未曾出现的某个体变项 符号，公式中其余部分不变，设所得公式 为A'，则A A’。
例5.5证明下列各等值式。 （1）x(M(x)F(x))x(Mx)F(x)) （2）x(F(x)G(x))x(F(x)G(x)) （3）xy(F(x)G(y)H(x、
y))xy(F(x)G(y)H(x、y) （4）xy(F(x)G(y)L(x、 y))xy(F(x)G(y)L(x、y))
例5.2 证明 （1）x(A(x)B(x)) ≠ xA(x)xB(x) （2） x(A(x)B(x)) ≠ xA(x)xB(x)
例5.3
设个体域为D={a,b,c}，将下面公 式的量词消去 (1)x(F(x)G(x)) (2)x(F(x)yG(y)) (3)xyF(x、y)
设D为个体域
D中所有的x都有性质F D中有的x有性质F 对D中所有的x而言，如果x有性质F，x就
有性质G D中有的x有性质F的同时有性质G 对于D中所有的x、y而言，如果x有性质F， y有性质G，则x与y就有关系H
对于D中所有的x而言，如果x有性质F，
就存在y有性质G，使得x与y就有关系H 存在着D中x有性质F，并且对D中所有的y 而言，如果y有性质G，则x与y就有关系H
人都生活在地球上 有的人长着黑头发 并不是所有的实数都能表示成分数 没有能表示成分数的无理数
将下列命题符号化
任意的偶数x与y都有公约数 存在奇数x与y没有公约数 说所有的火车比所有的汽车都快是不对的 说有的火车比所有的汽车都快是正确的
引例——苏格拉底三段论
所有人的都是会死的 苏格拉底是人 所以苏格拉底是会死的
5.3 一阶逻辑的推理理论
定义5.3 自然推理系统F定义如下： 1字母表 同一阶语言P的字母表 2合式公式 同P的合式公式 3推理规则 （1）前提引入规则 （2）结论引入规则 （3）置换规则 （4）假言推理规则 （5）附加规则 （6）化简规则
（7）拒取式规则
一阶逻辑的前束范式
定义5.2 设A为一阶逻辑公式，若A具有如
下行式：Q1 x1 Q2 x2 …Qk xk B，则称A 为前束范式，其中Qi（ 1 ik) 为或 ， B为不含量词的公式。
定理5.1
一阶逻辑中任何公式都存在与之等值的前
束范式。
例5.6求下面公式的前束泛式 （1）xF(x)xG(x) （2）xF(x)xG(x)ຫໍສະໝຸດ 第五章 一阶逻辑等值演算与推理
§5.1 一阶逻辑等值式与置换规则 §5.2 一阶逻辑前束范式 §5.3 一阶逻辑的推理理论
引例
没有不犯错误的人。 所有的人都犯错误。 不存在不犯错误的人。 命题符号化。
定义5.1
设A、B是一阶逻辑中任意两个公式，若 AB是永真式，则称A与B等值。记为 AB。