5.3 一阶逻辑的推理理论
合集下载
第五章 一阶逻辑等值演算与推理
本章说明
本章的主要内容 –一阶逻辑等值式与基本等值式 –置换规则、换名规则、代替规则 –前束范式
–一阶逻辑推理理论
本章与其他各章的关系 –本章先行基础是前四章
–本章是集合论各章的先行基础
本章主要内容
5.1 一阶逻辑等值式与置换规则
5.2 一阶逻辑前束范式 5.3 一阶逻辑的推理理论 主要内容 作 业
一阶逻辑中的一些基本而重要等值式
代换实例
消去量词等值式
量词否定等值式 量词辖域收缩与扩张等值式 量词分配等值式
代换实例---命题公式的推广
由于命题逻辑中的重言式的代换实例都是一阶逻辑中的永 真式，因而第二章的16组等值式模式给出的代换实例都是 一阶逻辑的等值式的模式。 例如：
x(A(x)∧B(x))x A(x)∧ x B(x)
谓词演算蕴含式 xA(x)∨xB(x) x(A(x)∨B(x))
x(A(x)∧B(x)) x A(x)∧ x B(x)
多个量词间的次序排列等值式。
多个量词同时出现时,其顺序是至关重要的.
(1) xyA( x, y) yxA( x, y ) (2) xyA( x, y ) yxA( x, y )
等值式的定义
定义5.1 设A，B是一阶逻辑中任意两个公式，若 AB是永真 式，则பைடு நூலகம்A与B是等值的。 记做AB，称 AB 是等值式。
例如：
x(F(x) G(x)) x(F(x) G(x))
说 明
判断公式A与B是否等值，等价于判断公式AB是否 为永真式。 谓词逻辑中关于联结词的等值式与命题逻辑中相关 等值式类似。
一阶逻辑中的置换规则与命题逻辑中的置换规则形式 上完全相同，只是在这里A，B是一阶逻辑公式。 换名规则：设A为一公式，将A中某量词辖域中某约束变项的 所有出现及相应的指导变元改成该量词辖域中未曾出现过的 某个体变项符号，公式的其余部分不变，设所得公式为A'， 则A'A。
第4章_一阶逻辑
Q(1,2) = 0
Q(3,0) = 1
7
一阶逻辑基本概念
EXAMPLE 3
设R(x, y, z) 表示语句“x+y=z.”，
则R(1, 2, 3) 和R(0, 0, 1) 的真值是多少?
R(1, 2, 3)= 1
R(0, 0, 1)= 0
8
一阶逻辑基本概念
当n>1时，通常P给出了xi(i=1,2,…,n)之间的关系。 例如， P(x,y,z) 表示 x 位于 y 与 z 之间，是一个三元 谓词。当x,y,z分别用赤道、南半球、北半球代入时， 得到命题：赤道位于南半球与北半球之间，其真值 为 1 。再如，将杭州、南京、北京代入，则得到： 杭州位于南京和北京之间，真值为0。 当n=0时（即0元谓词），该谓词对应一个命题。
18
一阶逻辑基本概念
EXAMPLE 8
设P(x) 表示语句“x2>10.”，个体域 为不大于4的所有正整数。则xP(x)的 真值是多少?
xP(x) =P(1)∨P(2)∨P(3)∨P(4) =1
19
一阶逻辑基本概念
EXAMPLE 9
在一阶逻辑中将下列命题符号化： (1) 所有的狮子都是凶猛的。
x(C(x)∨y(C(y)∧F(x, y))) 其中，C(x)表示“x有一台计算机”，F(x,y)表示“x和y 是朋友”，x和y的个体域为数计学院的所有学生集合。 解答：对于数计学院的任意一个学生x来说，x有一台 计算机，或者存在一个学生y，y有一台计算机而且x和 y是好朋友。换句话说，数计学院的所有学生要么有一 台计算机，要么有一个拥有一台计算机的朋友。
从苏格拉底三段论到一阶逻辑
苏格拉底苏格拉底三段论：人都是会死的， 苏格拉底是人，所以苏格拉底会死。
离散数学 第五章
5.1 一阶逻辑等值式与置换规则定义5.1设A，B是一阶逻辑中任意两个公式，若A B是永真式，则称A与B 是等值的。
记做A B，称A B是等值式。
谓词逻辑中关于联结词的等值式与命题逻辑中相关等值式类似。
下面主要讨论关于量词的等值式。
一、基本等值式第一组代换实例由于命题逻辑中的重言式的代换实例都是一阶逻辑中的永真式，因而第二章的16组等值式给出的代换实例都是一阶逻辑的等值式的模式。
例如：xF(x)┐┐xF(x)x y(F(x,y)→G(x,y))┐┐x y(F(x,y)→G(x,y))等都是(2.1)式的代换实例。
又如：F(x)→G(y)┐F(x)∨G(y)x(F(x)→G(y))→zH(z)┐x(F(x)→G(y))∨zH(z))等都是(2.1)式的代换实例。
第二组消去量词等值式设个体域为有限域D={a1,a2,…,a n}，则有(1)xA(x)A(a1)∧A(a2)∧…∧A(a n)(2)xA(x)A(a1)∨A(a2)∨…∨A(a n) (5.1)第三组量词否定等值式设A(x)是任意的含有自由出现个体变项x的公式，则(1)┐xA(x)x┐A(x)(2)┐xA(x)x┐A(x)(5.2)(5.2)式的直观解释是容易的。
对于(1)式，“并不是所有的x都有性质A”与“存在x没有性质A”是一回事。
对于(2)式，“不存在有性质A的x”与“所有x都没有性质A”是一回事。
第四组量词辖域收缩与扩张等值式设A(x)是任意的含自由出现个体变项x的公式，B中不含x的出现，则(1)x(A(x)∨B)xA(x)∨Bx(A(x)∧B)xA(x)∧Bx(A(x)→B)xA(x)→Bx(B→A(x))B→xA(x) (5.3)(2)x(A(x)∨B)xA(x)∨Bx(A(x)∧B)xA(x)∧Bx(A(x)→B)xA(x)→Bx(B→A(x))B→xA(x) (5.4)注意：这些等值式的条件。
第五组量词分配等值式设A(x)，B(x)是任意的含自由出现个体变项x的公式，则(1)x(A(x)∧B(x)）xA(x)∧xB(x)(2)x(A(x)∨B(x)）xA(x)∨xB(x) (5.5)二、基本规则1．置换规则设Φ(A)是含公式A的公式，Φ(B)是用公式B取代Φ(A)中所有的A之后的公式，若A B，则Φ(A)Φ(B).一阶逻辑中的置换规则与命题逻辑中的置换规则形式上完全相同，只是在这里A，B 是一阶逻辑公式。
离散数学结构 第5章 一阶逻辑等值演算与推理复习
第5章一阶逻辑等值演算与推理主要内容1. 等值式与基本的等值式①在有限个体域中消去量词等值式②量词否定等值式③量词辖域收缩与扩张等值式④量词分配等值式2. 基本规则①置换规则②换名规则③代替规则3. 前束范式4. 推理理论①推理的形式结构②推理正确③构造证明④新的推理规则全称量词消去规则，记为UI全称量词引入规则，记为UG存在量词消去规则，记为EI存在量词引入规则，记为EG学习要求1. 深刻理解重要的等值式，并能熟练地使用它们。
2. 熟练地使用置换规则、换名规则和代替规则。
3. 准确地求出给定公式的前束范式（形式可不唯一）。
4. 正确地使用UI、UG、EI、EG规则，特别地要注意它们之间的关系。
5. 对于给定的推理，正确地构造出它的证明。
5.1 一阶逻辑等值式与置换规则定义5.1设A，B是一阶逻辑中任意两个公式，若A B是永真式，则称A与B是等值的。
记做A B，称A B是等值式。
谓词逻辑中关于联结词的等值式与命题逻辑中相关等值式类似。
下面主要讨论关于量词的等值式。
一、基本等值式第一组代换实例由于命题逻辑中的重言式的代换实例都是一阶逻辑中的永真式，因而第二章的16组等值式给出的代换实例都是一阶逻辑的等值式的模式。
例如：xF(x)┐┐xF(x)x y(F(x,y)→G(x,y))┐┐x y(F(x,y)→G(x,y))等都是(2.1)式的代换实例。
又如：F(x)→G(y)┐F(x)∨G(y)x(F(x)→G(y))→zH(z)┐x(F(x)→G(y))∨zH(z))等都是(2.1)式的代换实例。
第二组消去量词等值式设个体域为有限域D={a1,a2,…,a n}，则有(1)xA(x)A(a1)∧A(a2)∧…∧A(a n)(2)xA(x)A(a1)∨A(a2)∨…∨A(a n) (5.1)第三组量词否定等值式设A(x)是任意的含有自由出现个体变项x的公式，则(1)┐xA(x)x┐A(x)(2)┐xA(x)x┐A(x) (5.2)(5.2)式的直观解释是容易的。
离散数学 第二章：一阶逻辑
(1) xF(x) yH(x, y);
(2) xF(x) G(x, y);
(3) xyR(x, y) L(y, z) xH(x, y).
2.闭式
定义6. 设A为任一公式,若A中无自由出现的个体变项,则称A是 封闭的合式公式,简记闭式.
例: xF(x) G(x),xyF(x) G(x, y) 闭式, 但 xF(x) G(x, y),zyL(x, y, z) 不是闭式.
(1)所有的人都要死的. (2)有的人活百岁以上.
全称量词:一切,所有,任意. 用 表示.
1.量词
x：表示对个体域中的所有个
xF(x)体：表. 示个体域中的所有个体都具有性质F.
存在量词:存在着,有一个,至少有一个. 用 表示.
x：表示存在个体域里的个体.
xF ( x)：表示存在着个体域中的个体具有性质F.
（2）xR(x) G(x), 其中 G(x): x是整数.
3) 同2).
例3. 将下面命题符号化. (1)对所有的x ,均有 x2-1=(x+1)(x-1). (2)存在x,使得 x+5=2.
要求: 1)个体域为自然数集合. 2)个体域为实数集合.
解：1) 不用引入特性谓词.
（1）xF(x), 其中 F(x): x2-1=(x+1)(x-1). 真命题
（3） xF(x) yF(y) L(x, y),
其中 F(x): x是自然数, L(x,y): y是 x的先驱数.
§2.2 一阶逻辑合式公式及解释
一、合式公式
1.字母表 定义1.字母表如下: (1)个体常项: a,b,c,… (2)个体变项: x,y,z,… (3)函数符号: f,g,h,… (4)谓词符号: F,G,H,…
(2) xF(x) G(x, y);
(3) xyR(x, y) L(y, z) xH(x, y).
2.闭式
定义6. 设A为任一公式,若A中无自由出现的个体变项,则称A是 封闭的合式公式,简记闭式.
例: xF(x) G(x),xyF(x) G(x, y) 闭式, 但 xF(x) G(x, y),zyL(x, y, z) 不是闭式.
(1)所有的人都要死的. (2)有的人活百岁以上.
全称量词:一切,所有,任意. 用 表示.
1.量词
x：表示对个体域中的所有个
xF(x)体：表. 示个体域中的所有个体都具有性质F.
存在量词:存在着,有一个,至少有一个. 用 表示.
x：表示存在个体域里的个体.
xF ( x)：表示存在着个体域中的个体具有性质F.
（2）xR(x) G(x), 其中 G(x): x是整数.
3) 同2).
例3. 将下面命题符号化. (1)对所有的x ,均有 x2-1=(x+1)(x-1). (2)存在x,使得 x+5=2.
要求: 1)个体域为自然数集合. 2)个体域为实数集合.
解：1) 不用引入特性谓词.
（1）xF(x), 其中 F(x): x2-1=(x+1)(x-1). 真命题
（3） xF(x) yF(y) L(x, y),
其中 F(x): x是自然数, L(x,y): y是 x的先驱数.
§2.2 一阶逻辑合式公式及解释
一、合式公式
1.字母表 定义1.字母表如下: (1)个体常项: a,b,c,… (2)个体变项: x,y,z,… (3)函数符号: f,g,h,… (4)谓词符号: F,G,H,…
离散数学 第二章一阶逻辑PPT课件
注: 个体变项取值范围:个体域(论域) 有限的事物
无特殊说明
无限的事物
（宇宙间的一切事物称为全总个体域）
谓词常项:具体性质或关系的谓词
谓词 谓词变项:抽象或泛指的谓词
F,G,H,…
个体变项x具有性质F,记作F(x) 谓词符号化
个体变项x,y具有性质F,记作F(x,y)
注:下文中称这种个体变项和谓词的联合体F(x),F(x,y)为谓词.
谓词 用来刻画个体词的性质或个体词之间关系
的词。
例如: ① 2 是无理数.
②王宏是程序员.
③小李比小赵高2厘米.
个体词: 2 , 王宏,小李,小赵
谓词: …是无理数,
个体词性质
…是程序员, …比…高2厘米.
个体词之间关系
4
个体常项:具体和特定的个体词 a,b,c,… 个体词
个体变项:抽象或泛指的个体词 x,y,z,…
要求: 1)个体域为有理数集合. 2)个体域为实数集合. 3)个体域为全总个体域.
6
谓词中的其它概念:
1).元数:谓词中所包含的个体词数. 一元谓词:个体词性质的.
2).n元谓词 n元谓词:个体词之间关系的.
表示方法定义域:个体词变项的个体域.
P(x1,x2,…xn) 值域:{0,1}
注: n元谓词不是命题,真值无法确定.要使之成为命题,必须:
指定某一谓词常项代替P
用n个个体常项代替n个体变项
注: (1)0元谓词也不是命题.要使之成为命题,必须:指定某一
谓词常项代替L.
(2)命题逻辑中的简单命题,也可以用0元谓词表示.因而 命题可看成是谓词的特殊情况.
例1: 将下列命题用0元谓词符号化.
(1)2是素数且是偶数.
一阶逻辑演算
T, ③辖域扩张
US, ④
US, ⑤
UG, ⑥
说明:1)不能对∃F()→∀G()消量词, 因为它不是前束范式
2)对此题不能用附加前提证明法
例5.11构造下述推理证明
前提: ∀(F()→G()), ∃F()
结论: ∃G()
证明: ①∃F()
P
②∀(F()→G())
P
③ F()
量词辖域扩张等价式
量词辖域扩张等价式
∃∀∀((P() ∨ Q())→R())
注：
1)∀、∃与∀z不能颠倒；
2)前束范式的各指导变元应是各不相同的；
3)原公式中自由出现的个体变元, 在前束范式中还是自由出现的；（可用来判定正确性）
4)在求前束范式时, 要保证它们约束和自由出现的身份与次数都不能改变, 并且不能混淆
例5.9用附加前提法构造下述推理证明
前提: ∀(F()→G())
结论: ∀F()→∀G()
证明:
① ∀F()
CP
② F()
US, ①
③ ∀(F()→G())
P
④ F()→G()
US, ③
⑤ G()
T, ②④假言推理
⑥ ∀G()
UG, ⑤
例5.10构造下述推理证明
消去量词等值式
设D={a1,a2,…,an}
xA(x)A(a1)A(a2)…A(an)
xA(x)A(a1)A(a2)…A(an)
第2组
量词否定等值式
设A(x)是含x自由出现的公式
xA(x) x A(x)
xA(x)x A(x)
量词辖域收缩与扩张等值式
设A(x)是含x自由出现的公式，B中不含x
定义5.2 前束范式:形如(Q11)(Q22)…(Qkk)B的一个合式公式, 被称为前束范式。其中
US, ④
US, ⑤
UG, ⑥
说明:1)不能对∃F()→∀G()消量词, 因为它不是前束范式
2)对此题不能用附加前提证明法
例5.11构造下述推理证明
前提: ∀(F()→G()), ∃F()
结论: ∃G()
证明: ①∃F()
P
②∀(F()→G())
P
③ F()
量词辖域扩张等价式
量词辖域扩张等价式
∃∀∀((P() ∨ Q())→R())
注：
1)∀、∃与∀z不能颠倒；
2)前束范式的各指导变元应是各不相同的；
3)原公式中自由出现的个体变元, 在前束范式中还是自由出现的；（可用来判定正确性）
4)在求前束范式时, 要保证它们约束和自由出现的身份与次数都不能改变, 并且不能混淆
例5.9用附加前提法构造下述推理证明
前提: ∀(F()→G())
结论: ∀F()→∀G()
证明:
① ∀F()
CP
② F()
US, ①
③ ∀(F()→G())
P
④ F()→G()
US, ③
⑤ G()
T, ②④假言推理
⑥ ∀G()
UG, ⑤
例5.10构造下述推理证明
消去量词等值式
设D={a1,a2,…,an}
xA(x)A(a1)A(a2)…A(an)
xA(x)A(a1)A(a2)…A(an)
第2组
量词否定等值式
设A(x)是含x自由出现的公式
xA(x) x A(x)
xA(x)x A(x)
量词辖域收缩与扩张等值式
设A(x)是含x自由出现的公式，B中不含x
定义5.2 前束范式:形如(Q11)(Q22)…(Qkk)B的一个合式公式, 被称为前束范式。其中
一阶逻辑推理
A(c) xA( x)
使用条件：
（1）c 是特定的个体常元； （2）取代 c 的 x 不能在 A(c) 中出现。 例2.5.2 下列推理过程是错误的： 前提 (1) x P( x, c) (2) xx P( x, x) (1)，EG
例2.5.7 证明：
xH ( x) x( H ( x) M ( x)) xM ( x)
二、推理定律
在一阶逻辑中，称永真蕴含式为推理定律。若一 个推理的形式结构正好是某条推理定律，则这个推 理显然是正确的。 有哪些推理定律呢？
第一组 命题逻辑推理定律的代换实例。 例如：xF ( x) yG( y) xF ( x)
化简律
xF ( x) xF ( x) yG( y ) 附加律
(3) C x x N x 1 x 100 (4) Ev x y ( y N x 2 y ) (5) Od x y ( y N x 2 y 1)
3、归纳定义法
归纳定义法通常包括以下三个步骤： （1）基本步：S0 非空且 S0 中的任意元素均是 A 的元素； （2）归纳步：给出一组规则，从 A 的元素出发， 依据这些规则所得到的仍是 A 的元素； （3）极小化：若 S 的任意元素均是 A 的元素，并 且 S 满足 (1) 和 (2)，则 S 与A 含有相同的元素。
约定： 用 A(x) 表示 x 是 A 中的自由变元，那么 A(y) 表示用 y 去取代 A(x) 中 x 的所有自由出现所得到 的结果。例如： 对于 A( x) xP( x) Q( x) R( x, y ) 则 A( y ) xP( x) Q( y ) R.5 1. 2.(1) 3.(3) 4.(3)
第二篇 集合论
使用条件：
（1）c 是特定的个体常元； （2）取代 c 的 x 不能在 A(c) 中出现。 例2.5.2 下列推理过程是错误的： 前提 (1) x P( x, c) (2) xx P( x, x) (1)，EG
例2.5.7 证明：
xH ( x) x( H ( x) M ( x)) xM ( x)
二、推理定律
在一阶逻辑中，称永真蕴含式为推理定律。若一 个推理的形式结构正好是某条推理定律，则这个推 理显然是正确的。 有哪些推理定律呢？
第一组 命题逻辑推理定律的代换实例。 例如：xF ( x) yG( y) xF ( x)
化简律
xF ( x) xF ( x) yG( y ) 附加律
(3) C x x N x 1 x 100 (4) Ev x y ( y N x 2 y ) (5) Od x y ( y N x 2 y 1)
3、归纳定义法
归纳定义法通常包括以下三个步骤： （1）基本步：S0 非空且 S0 中的任意元素均是 A 的元素； （2）归纳步：给出一组规则，从 A 的元素出发， 依据这些规则所得到的仍是 A 的元素； （3）极小化：若 S 的任意元素均是 A 的元素，并 且 S 满足 (1) 和 (2)，则 S 与A 含有相同的元素。
约定： 用 A(x) 表示 x 是 A 中的自由变元，那么 A(y) 表示用 y 去取代 A(x) 中 x 的所有自由出现所得到 的结果。例如： 对于 A( x) xP( x) Q( x) R( x, y ) 则 A( y ) xP( x) Q( y ) R.5 1. 2.(1) 3.(3) 4.(3)
第二篇 集合论
一阶逻辑ppt课件
；.
28
➢使用特性谓词M（x），所给命题就可以符号化为: 1. x（M（x）→F（x）） 2. x（M（x）∧G（x））
注意：特性谓词在不同量词下的不同用法
；.
29
使用量词时的注意点 ➢在不同的个体域中，命题符号化的形式可能不一样 ➢如果事先没有给出个体域，都应以全总个体域为个体域 ➢在引入特性谓词后，使用全称量词与存在量词符号化的形式是不同的 ➢个体域和谓词的含义确定之后，n元谓词要转化为命题至少需要n个量词
解 ：本题未指定个体域，因而取个体域为全总个体域。
；.
35
1. 凡偶数均能被2整除
F（x）：x 是偶数 G（x）：x 能被2整除 x（F（x）→G（x）） 2. 存在着偶素数。 F（x）：x 是偶数 H（x）：x 是素数 x（F（x）∧H（x））
；.
36
3.没有不犯错误的人 M（x）：x 是人
➢ 存在量词：对应日常语言中的“存在着”，“有一个”，“至少有一个”等 词，用符号“”表示
➢ x表示存在个体域里的个体， xF（x）表示至少存在个体域里的一个个体具有性质F
；.
25
带量词命题的符号化 例如： 1.所有的人要死的 2.有的人活百岁以上
由于量词与个体域之间有紧密的联系，在考虑命题符号化问题时，必须先明确个体 域 假设个体域D是人类的集合
一阶逻辑
离散数学
；.
1
Байду номын сангаас
内容回顾
命题逻辑的特点和局限性: 命题是命题演算的基本单位 不再对简单命题进行分解 无法研究命题的内部结构及命题之间内在的联系 在推理方面存在的局限性
例如，无法判断著名的“苏格拉底三段论”的正确性 课P37
；.
第五章_一阶逻辑等值演算与推理
形式系统中构造证明的证明方法
推理定律
推理定律的定义 在一阶逻辑中称永真式的蕴涵式为推理 定律。 若一个推理的形式结构是推理定律，则 这个推理是正确的。
3大组推理定律
第一大组推理定律
命题逻辑推理定律的代换实例
化简律； 附加律。
第二大组推理定律
由基本等值式生成的推理定律
上一节给出的两组等值式中的每个等值式可生 成两个推理定律。
成立条件: (1) x, y是个体变项符号，c是个体常项符号; (2) 在A中, x不在 y和 y的辖域内自由出现。
4条消去量词和引入量词 的推理规则 (2)
全称量词引入规则 ( +)
成立条件: (1) x为个体变项符号, 且不在推理前提中的任 何公式中自由出现。
4条消去量词和引入量词 的推理规则 (3)
（练习）
换名规则 代替规则
例5.2. 证明
基本思路（等值演算） (1) 证明等价式是否为永真式; (2) 取任一解释证明即可。
例5.2（续）
量词一般无分配律
但当B(x)换成没有x出现的B时，则有
量词辖域收缩与扩张等值式
例5.3 设个体域为D＝{a,b,c}， 将下面各公式的量词消去
5.1. 一阶逻辑等值式 与置换规则
定义5.1（一阶逻辑等值式的概念） 设A，B是一阶逻辑中任意两个公式，若 A B是永真式，则称A与B是等值的。 记做A B，称A B是等值式。
基本等值式
来自于代换实例 来自于量词处理
第一组基本等值式
由于命题逻辑中的重言式的代换实例都是一阶 逻辑中的永真式，因而第二章的16组等值式给 出的代换实例都是一阶逻辑的等值式的模式。
换名规则
推理定律
推理定律的定义 在一阶逻辑中称永真式的蕴涵式为推理 定律。 若一个推理的形式结构是推理定律，则 这个推理是正确的。
3大组推理定律
第一大组推理定律
命题逻辑推理定律的代换实例
化简律； 附加律。
第二大组推理定律
由基本等值式生成的推理定律
上一节给出的两组等值式中的每个等值式可生 成两个推理定律。
成立条件: (1) x, y是个体变项符号，c是个体常项符号; (2) 在A中, x不在 y和 y的辖域内自由出现。
4条消去量词和引入量词 的推理规则 (2)
全称量词引入规则 ( +)
成立条件: (1) x为个体变项符号, 且不在推理前提中的任 何公式中自由出现。
4条消去量词和引入量词 的推理规则 (3)
（练习）
换名规则 代替规则
例5.2. 证明
基本思路（等值演算） (1) 证明等价式是否为永真式; (2) 取任一解释证明即可。
例5.2（续）
量词一般无分配律
但当B(x)换成没有x出现的B时，则有
量词辖域收缩与扩张等值式
例5.3 设个体域为D＝{a,b,c}， 将下面各公式的量词消去
5.1. 一阶逻辑等值式 与置换规则
定义5.1（一阶逻辑等值式的概念） 设A，B是一阶逻辑中任意两个公式，若 A B是永真式，则称A与B是等值的。 记做A B，称A B是等值式。
基本等值式
来自于代换实例 来自于量词处理
第一组基本等值式
由于命题逻辑中的重言式的代换实例都是一阶 逻辑中的永真式，因而第二章的16组等值式给 出的代换实例都是一阶逻辑的等值式的模式。
换名规则
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
例5.12 在自然推理系统 F中，构造下面推理的证明： 不存在能表示成分数的无理数。有理数都能表示成分数。 因此，有理数都不是无理数。个体域为实数集合。 解： 设 F（x）：x为无理数，G（x）：x为有理数， G H（x）：x能表示成分数。 前提： ┐∃x（F（x）∧H（x）），∀x（G（x）→H（x）） ∧H（ ））， →H（ 结论： ∀x（G（x）→┐F（x）） →┐F（
7
全称量词引入规则（ UG规则，∀+） 全称量词引入规则（简称UG UG ， ） xA（ A（y）⇒∀xA（x） 公式成立的条件是： 1、在A（y）中y自由出现，且y取任何值时A均为真。 A y A 2、取代y的x不在A（y）中出现。 y x A
8
存在量词消去规则（ EI规则，∃-） 存在量词消去规则（简称EI EI ∃ ） xA（ ∃xA（x）⇒ A（c） 公式成立的条件是 1、c是使A为真的特定的个体常项 A 2、c不能已在A（x）中出现过 A 3、∃xA（x）中没有自由出现的个体变项 ∃xA（
9
例 设个体域为实数集合，F(x，y)为x>y。 ， 指出在推理系统 F中，以① ∀x∃y F(x，y)（真命题）为前 ① ∃ ， （ ） 提，推出④ ∀x F(x，c)（假命题）的原因。 ④ ， （ ） ① ∀x∃y F（x，y） 前提引入 ∃ （ ， ） ② ∃y F（z，y） （ ， ） ① UI规则 ③ F（z，c） （ ， ） ② EI规则 ④ ∀x F（x，c） ③ UG规则 （ ， ） 解: 错误出在第③步， ③ 由于∃yF(z,y)有自由出现的z，不满足EI规则的条件3。 ∃ 所以对② ∃yF(z,y)不能使用EI规则。 ②
4
构造证明方法在自然推理系统F中进行。 F 定义（自然推理系统F） F 自然推理系统F由以下三个部分组成： F 1、字母表 2、公式 3、推理规则（15个） （1）前提引入规则 （2）结论引入规则 （3）置换规则
5
（4）假言推理规则（A→B）∧A⇒B （5）附加规则 A⇒（A∨B） （6）化简规则（A∧B）⇒A （7）拒取式规则（A→B）∧┐B⇒┐A （8）假言三段论规则（A→B）∧（B→C）⇒（A→C） （9）析取三段论规则（A∨B）∧┐B⇒A （10）构造性二难推理规则 （11）合取引入规则 （12）UI规则(universal instantiation)，∀∀ （13）UG规则(universal generalization)，∀+ ∀ （14）EI规则(existential instantiation)，∃∃ （15）EG规则(existential generalization)，∃+ ∃ 6
例5.11在自然推理系统F中，构造下面推理的证明。 5.11 前提：∀x（F（x）→G（x）），∃x（F（x）∧H（x）） →G（ ）），∃ ∧H（ ∀ 结论：∃x（G（x）∧H（x）） ∧H（ ∃ 证明： ∧H（ ① ∃x（F（x）∧H（x）） ∧H（ ② F（c）∧H（c） →G（ ③ ∀x（F（x）→G（x）） →G（ ④ F（c）→G（c） ⑤ F（c） ⑥ H（c） ⑦ G（c） ∧H（ ⑧ G（c）∧H（c） ∧H（ ⑨ ∃x（G（x）∧H（x）） 前提引入 EI规则 ①EI 前提引入 UI规则 ③UI ②化简 ②化简 ④⑤假言推理 ④⑤ ⑥⑦合取 ⑥⑦ EG规则 ⑧EG 14
第五章 一阶逻辑等值演算与推理 5.3 一阶逻辑的推理理论
1
一阶逻辑推理的形式结构 在一阶逻辑中，推理的形式结构仍为 （A1∧A2∧…∧Ak）→B ∧A 若该式是永真式，则称推理正确，称B是A1,A2, B A …,Ak的逻辑结论。 ,A 此时将该式记为（A1∧A2∧…∧Ak）⇒B。 （ ∧A 一阶逻辑推理采用构造证明法加以证明。
22
定义6.3（真包含关系）设A，B为集合，如 定义6 真包含关系） A 果B⊆A且B≠A，则称B是A的真子集，记作B⊂A。 B B B A B 显然B⊂A⇔B⊆A∧B≠A A∧B≠ B B⊂A的符号化为： x(x∈B→x∈A)∧∃x(x∈A∧x∉ ∀x(x∈B→x∈A)∧∃x(x∈A∧x∉B)
23
2
在一阶逻辑中称永真的蕴涵式为推理定律。 1、 命题逻辑中的重言蕴涵式，在一阶逻辑中的 代换实例，都是一阶逻辑中的推理定律。 例如：∀xF(x)∧∀yG(y)⇒∀xF(x) ∀xF(x)∧∀yG(y)⇒ xF(x)（化简律） xF(x)⇒ xF(x)∨∀yG(y)（附加律） ∀xF(x)⇒∀xF(x)∨∀yG(y) 2、 命题逻辑中的每个等值式均可产生两条推理 定律。 例如：∀xF(x)⇒┐┐∀xF(x) ∀xF(x)⇒┐┐∀ ┐┐∀xF(x)⇒ ┐┐∀xF(x)⇒∀xF(x)
∀x（F（x）→G（x）） 前提引入 →G（ →G（ UI规则 F（c）→G（c） ①UI 前提引入 ∃x F（x） F（c） ③EI规则 EI 在②中取c = ½，则F（1/2）→G（1/2）为真。但在④ →G（ ② c F ④ 中， F（1/2）为假，这样从真的前提推出了假的中间结果 ① ∃x F（x） F（ 前提引入 EI规则 ② F（c） ①EI →G（ ③ ∀x（F（x）→G（x）） 前提引入 →G（ UI规则 ④ F（c）→G（c） ③UI ① ② ③ ④ 说明： 说明：在证明序列中应先引进带存在量词的前提，否则 可能会产生错误。 13
采用一阶逻辑构造证明法证明如下推理： 如果A⊆B并且B⊆C，则A⊆C。 证：设F(x)：x∈A，G(x)：x∈B，H(x)：x∈C F(x)： G(x)： H(x)： F(x) 前提：∀x(F(x)→G(x))，∀x(G(x)→H(x)) ∀x(F(x)→G(x))， 结论：∀x(F(x)→H(x)) ∀ 证明： ① ∀x(F(x)→G(x)) 前提引入 ①UI规则 ② F(y)→G(y) 前提引入 ③ ∀x(G(x)→H(x)) ③UI规则 ④ G(y)→H(y) ①③假言推理 ⑤ F(y)→H(y) ⑤UG规则 ⑥ ∀x(F(x)→H(x))
10
存在量词引入规则（ EG规则 存在量词引入规则（简称EG规则） EG规则） xA（ A（c）⇒∃xA（x） (1) xA（ A（y）⇒∃xA（x） (2) 公式成立的条件是： 1、在（1）中，c是特定的个体常项 2、在（2）中，y是自由出现的个体变项 2、取代c或y的x不能已在A（c）或A（y）中出现过
20
定义6.1（包含关系）设A，B为集合，如果B 定义6 包含关系） 中的每个元素都是A中的元素，则称B为A的子集。 这时也称B被A包含，或A包含B。记作B⊆A。 B A A B B B⊆A的符号化为：∀x(x∈B→x∈A) ∀x(x∈B→x∈ 定义6 相等关系） 定义 6.2 （ 相等关系 ） 设A，B为集合，如果 B⊆A且A⊆B，则称A与B相等，记作A=B。 A B A 显然A=B⇔A⊆B∧B⊆A B∧B⊆ A A=B的符号化为： x(x∈B→x∈A)∧∀x(x∈A→x∈ ∀x(x∈B→x∈A)∧∀x(x∈A→x∈B)
3
3、一些其它的推理定律
例如： xA（ xB（ ∨B（ （1）∀xA（x）∨∀xB（x）⇒∀x（A（x）∨B（x）） ））⇒ xA（ （2）∃x（A（x）∧ B（x））⇒ ∃xA（x）∧ ∃x B（x） →B（ ））⇒ xA（ （3）∀x（A（x）→B（x））⇒ ∀xA（x）→∀x B（x） →B（ ））⇒ xA（ （4）∃x（A（x）→B（x））⇒ ∃xA（x）→∃x B（x）
全称量词消去规则（ UI规则 全称量词消去规则（简称UI规则，∀-） UI规则， ） 这条规则含以下两种形式： xA（ ∀xA（x）⇒ A（y） （1） xA（ ∀xA（x）⇒ A（c） （2） 在推理过程中（1）、（2）两种形式可根据需要选用。 （ 两式成立的条件是 1 、 在（1 ） 式中，y为任意的不在A（x） 中出现的 （ y A 个体变项 2 、 在（2 ） 式中，c为任意的不在A（x） 中出现的 （ c A 个体常项 3、用y或c必须代替A（x）中所有的x c A x
21
定义6.3（真包含关系）设A，B为集合，如 定义6 真包含关系） A 果B⊆A且B≠A，则称B是A的真子集，记作B⊂A。 B B B A B 显然B⊂A⇔B⊆A∧B≠A A∧B≠ B B⊂A的符号化为： x(x∈B→x∈ ∀x(x∈B→x∈A)∧ x(x∈B→x∈A)∧∀x(x∈A→x∈ ┐(∀x(x∈B→x∈A)∧∀x(x∈A→x∈B))
24
思考题 采用一阶逻辑构造证明法证明如下推理： (1)如果A=B并且B=C，则A=C (2)如果A⊂B并且B⊂C，则A⊂C
25
15
前提：┐∃x（F（x）∧H（x）），∀x（G（x）→H（x）） ┐ ∧H（ ）），∀ →H（ 结论：∀x（G（x）→┐F（x）） →┐F（ ∀ 证明： ∧H（ 前提引入 ① ┐∃x（F（x）∧H（x）） ┐F（ ∨┐H（ ② ∀x（┐F（x）∨┐H（x）） ①置换 →┐F（ ③ ∀x（H（x）→┐F（x）） ②置换 →┐F（ UI规则 ④ H（y）→┐F（y） ③UI →H（ 前提引入 ⑤ ∀x（G（x）→H（x）） →H（ UI规则 ⑥ G（y）→H（y） ⑤UI →┐F（ ④⑥假言三段论规 ⑦ G（y）→┐F（y） ④⑥ →┐F（ UG规则 ⑧ ∀x（G（x）→┐F（x）） ⑦UG 16
17
例 证明苏格拉底三段论：“凡人要死。苏格拉底 是人。所以苏格拉底要死。” 解：设F（x）：x是人；G（x）：x是要死的； F G a ：苏格拉底 前提：∀x（F（x）→G（x）），F（a） →G（ ））， ∀ 结论：G（a） G 证明： →G（ ① ∀x（F（x）→G（x）） 前提引入 →G（ UI规则 ② F（a）→G（a） ①UI 前提引入 ③ F （a ） ②③假言推理 ④ G （a ） ②③
说明： 说明： ∧H（ ））不能采用EI EI规则 （1）┐∃x（F（x）∧H（x）） EI （2） 如果结论中量词是全称量词∀，则在证明过程中应使 ∀ 用UI UI规则第一式：∀xA（x）⇒ A（y） UI ∀xA（ 如果结论中量词是全称量词∃，则在证明过程中应使 ∃ 用UI UI规则第二式：∀xA（x）⇒ A（c） UI ∀xA（