5.3 一阶逻辑的推理理论

例5.12 在自然推理系统 F中，构造下面推理的证明： 不存在能表示成分数的无理数。有理数都能表示成分数。 因此，有理数都不是无理数。个体域为实数集合。 解： 设 F（x）：x为无理数，G（x）：x为有理数， G H（x）：x能表示成分数。 前提： ┐∃x（F（x）∧H（x）），∀x（G（x）→H（x）） ∧H（ ））， →H（ 结论： ∀x（G（x）→┐F（x）） →┐F（
7
全称量词引入规则（ UG规则，∀+） 全称量词引入规则（简称UG UG ， ） xA（ A（y）⇒∀xA（x） 公式成立的条件是： 1、在A（y）中y自由出现，且y取任何值时A均为真。 A y A 2、取代y的x不在A（y）中出现。 y x A
8
存在量词消去规则（ EI规则，∃-） 存在量词消去规则（简称EI EI ∃ ） xA（ ∃xA（x）⇒ A（c） 公式成立的条件是 1、c是使A为真的特定的个体常项 A 2、c不能已在A（x）中出现过 A 3、∃xA（x）中没有自由出现的个体变项 ∃xA（
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例 设个体域为实数集合，F(x，y)为x>y。 ， 指出在推理系统 F中，以① ∀x∃y F(x，y)（真命题）为前 ① ∃ ， （ ） 提，推出④ ∀x F(x，c)（假命题）的原因。 ④ ， （ ） ① ∀x∃y F（x，y） 前提引入 ∃ （ ， ） ② ∃y F（z，y） （ ， ） ① UI规则 ③ F（z，c） （ ， ） ② EI规则 ④ ∀x F（x，c） ③ UG规则 （ ， ） 解: 错误出在第③步， ③ 由于∃yF(z,y)有自由出现的z，不满足EI规则的条件3。 ∃ 所以对② ∃yF(z,y)不能使用EI规则。 ②
4
构造证明方法在自然推理系统F中进行。 F 定义（自然推理系统F） F 自然推理系统F由以下三个部分组成： F 1、字母表 2、公式 3、推理规则（15个） （1）前提引入规则 （2）结论引入规则 （3）置换规则
5
（4）假言推理规则（A→B）∧A⇒B （5）附加规则 A⇒（A∨B） （6）化简规则（A∧B）⇒A （7）拒取式规则（A→B）∧┐B⇒┐A （8）假言三段论规则（A→B）∧（B→C）⇒（A→C） （9）析取三段论规则（A∨B）∧┐B⇒A （10）构造性二难推理规则 （11）合取引入规则 （12）UI规则(universal instantiation)，∀∀ （13）UG规则(universal generalization)，∀+ ∀ （14）EI规则(existential instantiation)，∃∃ （15）EG规则(existential generalization)，∃+ ∃ 6
例5.11在自然推理系统F中，构造下面推理的证明。 5.11 前提：∀x（F（x）→G（x）），∃x（F（x）∧H（x）） →G（ ）），∃ ∧H（ ∀ 结论：∃x（G（x）∧H（x）） ∧H（ ∃ 证明： ∧H（ ① ∃x（F（x）∧H（x）） ∧H（ ② F（c）∧H（c） →G（ ③ ∀x（F（x）→G（x）） →G（ ④ F（c）→G（c） ⑤ F（c） ⑥ H（c） ⑦ G（c） ∧H（ ⑧ G（c）∧H（c） ∧H（ ⑨ ∃x（G（x）∧H（x）） 前提引入 EI规则 ①EI 前提引入 UI规则 ③UI ②化简 ②化简 ④⑤假言推理 ④⑤ ⑥⑦合取 ⑥⑦ EG规则 ⑧EG 14
第五章 一阶逻辑等值演算与推理 5.3 一阶逻辑的推理理论
1
一阶逻辑推理的形式结构 在一阶逻辑中，推理的形式结构仍为 （A1∧A2∧…∧Ak）→B ∧A 若该式是永真式，则称推理正确，称B是A1,A2, B A …,Ak的逻辑结论。 ,A 此时将该式记为（A1∧A2∧…∧Ak）⇒B。 （ ∧A 一阶逻辑推理采用构造证明法加以证明。
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定义6.3（真包含关系）设A，B为集合，如 定义6 真包含关系） A 果B⊆A且B≠A，则称B是A的真子集，记作B⊂A。 B B B A B 显然B⊂A⇔B⊆A∧B≠A A∧B≠ B B⊂A的符号化为： x(x∈B→x∈A)∧∃x(x∈A∧x∉ ∀x(x∈B→x∈A)∧∃x(x∈A∧x∉B)
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在一阶逻辑中称永真的蕴涵式为推理定律。 1、 命题逻辑中的重言蕴涵式，在一阶逻辑中的 代换实例，都是一阶逻辑中的推理定律。 例如：∀xF(x)∧∀yG(y)⇒∀xF(x) ∀xF(x)∧∀yG(y)⇒ xF(x)（化简律） xF(x)⇒ xF(x)∨∀yG(y)（附加律） ∀xF(x)⇒∀xF(x)∨∀yG(y) 2、 命题逻辑中的每个等值式均可产生两条推理 定律。 例如：∀xF(x)⇒┐┐∀xF(x) ∀xF(x)⇒┐┐∀ ┐┐∀xF(x)⇒ ┐┐∀xF(x)⇒∀xF(x)
∀x（F（x）→G（x）） 前提引入 →G（ →G（ UI规则 F（c）→G（c） ①UI 前提引入 ∃x F（x） F（c） ③EI规则 EI 在②中取c = ½，则F（1/2）→G（1/2）为真。但在④ →G（ ② c F ④ 中， F（1/2）为假，这样从真的前提推出了假的中间结果 ① ∃x F（x） F（ 前提引入 EI规则 ② F（c） ①EI →G（ ③ ∀x（F（x）→G（x）） 前提引入 →G（ UI规则 ④ F（c）→G（c） ③UI ① ② ③ ④ 说明： 说明：在证明序列中应先引进带存在量词的前提，否则 可能会产生错误。 13
采用一阶逻辑构造证明法证明如下推理： 如果A⊆B并且B⊆C，则A⊆C。 证：设F(x)：x∈A，G(x)：x∈B，H(x)：x∈C F(x)： G(x)： H(x)： F(x) 前提：∀x(F(x)→G(x))，∀x(G(x)→H(x)) ∀x(F(x)→G(x))， 结论：∀x(F(x)→H(x)) ∀ 证明： ① ∀x(F(x)→G(x)) 前提引入 ①UI规则 ② F(y)→G(y) 前提引入 ③ ∀x(G(x)→H(x)) ③UI规则 ④ G(y)→H(y) ①③假言推理 ⑤ F(y)→H(y) ⑤UG规则 ⑥ ∀x(F(x)→H(x))
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存在量词引入规则（ EG规则 存在量词引入规则（简称EG规则） EG规则） xA（ A（c）⇒∃xA（x） (1) xA（ A（y）⇒∃xA（x） (2) 公式成立的条件是： 1、在（1）中，c是特定的个体常项 2、在（2）中，y是自由出现的个体变项 2、取代c或y的x不能已在A（c）或A（y）中出现过
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定义6.1（包含关系）设A，B为集合，如果B 定义6 包含关系） 中的每个元素都是A中的元素，则称B为A的子集。 这时也称B被A包含，或A包含B。记作B⊆A。 B A A B B B⊆A的符号化为：∀x(x∈B→x∈A) ∀x(x∈B→x∈ 定义6 相等关系） 定义 6.2 （ 相等关系 ） 设A，B为集合，如果 B⊆A且A⊆B，则称A与B相等，记作A=B。 A B A 显然A=B⇔A⊆B∧B⊆A B∧B⊆ A A=B的符号化为： x(x∈B→x∈A)∧∀x(x∈A→x∈ ∀x(x∈B→x∈A)∧∀x(x∈A→x∈B)
3
3、一些其它的推理定律
例如： xA（ xB（ ∨B（ （1）∀xA（x）∨∀xB（x）⇒∀x（A（x）∨B（x）） ））⇒ xA（ （2）∃x（A（x）∧ B（x））⇒ ∃xA（x）∧ ∃x B（x） →B（ ））⇒ xA（ （3）∀x（A（x）→B（x））⇒ ∀xA（x）→∀x B（x） →B（ ））⇒ xA（ （4）∃x（A（x）→B（x））⇒ ∃xA（x）→∃x B（x）
全称量词消去规则（ UI规则 全称量词消去规则（简称UI规则，∀-） UI规则， ） 这条规则含以下两种形式： xA（ ∀xA（x）⇒ A（y） （1） xA（ ∀xA（x）⇒ A（c） （2） 在推理过程中（1）、（2）两种形式可根据需要选用。 （ 两式成立的条件是 1 、 在（1 ） 式中，y为任意的不在A（x） 中出现的 （ y A 个体变项 2 、 在（2 ） 式中，c为任意的不在A（x） 中出现的 （ c A 个体常项 3、用y或c必须代替A（x）中所有的x c A x
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定义6.3（真包含关系）设A，B为集合，如 定义6 真包含关系） A 果B⊆A且B≠A，则称B是A的真子集，记作B⊂A。 B B B A B 显然B⊂A⇔B⊆A∧B≠A A∧B≠ B B⊂A的符号化为： x(x∈B→x∈ ∀x(x∈B→x∈A)∧ x(x∈B→x∈A)∧∀x(x∈A→x∈ ┐(∀x(x∈B→x∈A)∧∀x(x∈A→x∈B))
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思考题 采用一阶逻辑构造证明法证明如下推理： (1)如果A=B并且B=C，则A=C (2)如果A⊂B并且B⊂C，则A⊂C
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前提：┐∃x（F（x）∧H（x）），∀x（G（x）→H（x）） ┐ ∧H（ ）），∀ →H（ 结论：∀x（G（x）→┐F（x）） →┐F（ ∀ 证明： ∧H（ 前提引入 ① ┐∃x（F（x）∧H（x）） ┐F（ ∨┐H（ ② ∀x（┐F（x）∨┐H（x）） ①置换 →┐F（ ③ ∀x（H（x）→┐F（x）） ②置换 →┐F（ UI规则 ④ H（y）→┐F（y） ③UI →H（ 前提引入 ⑤ ∀x（G（x）→H（x）） →H（ UI规则 ⑥ G（y）→H（y） ⑤UI →┐F（ ④⑥假言三段论规 ⑦ G（y）→┐F（y） ④⑥ →┐F（ UG规则 ⑧ ∀x（G（x）→┐F（x）） ⑦UG 16
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例 证明苏格拉底三段论：“凡人要死。苏格拉底 是人。所以苏格拉底要死。” 解：设F（x）：x是人；G（x）：x是要死的； F G a ：苏格拉底 前提：∀x（F（x）→G（x）），F（a） →G（ ））， ∀ 结论：G（a） G 证明： →G（ ① ∀x（F（x）→G（x）） 前提引入 →G（ UI规则 ② F（a）→G（a） ①UI 前提引入 ③ F （a ） ②③假言推理 ④ G （a ） ②③
说明： 说明： ∧H（ ））不能采用EI EI规则 （1）┐∃x（F（x）∧H（x）） EI （2） 如果结论中量词是全称量词∀，则在证明过程中应使 ∀ 用UI UI规则第一式：∀xA（x）⇒ A（y） UI ∀xA（ 如果结论中量词是全称量词∃，则在证明过程中应使 ∃ 用UI UI规则第二式：∀xA（x）⇒ A（c） UI ∀xA（
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例：张三和李四是兄弟。李四和王五是兄弟。所 以张三和王五也是兄弟。 解:设 F(x,y):x和y是兄弟， a:张三，b:李四，c:王五 前提：F(a,b)，F(b,c) 结论：F(a,c) 传递规则： ∀x∀y∀z(F(x,y)∧F(y,z)→F(x,z))
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思考题
采用一阶逻辑构造证明法证明如下推理： 采用一阶逻辑构造证明法证明如下推理： 如果A 并且B 如果A⊆B并且B⊆C，则A⊆C。 集合的关系及其符号化
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例5.10 在自然推理系统F中，构造下面推理的证明： 任何自然数都是整数。存在着自然数。所以存在着整数。 个体域为实数集合R。 R 解： 设F（x）：x为自然数，G（x）：x为整数 F ， 前提：∀x（F（x）→G（x）），∃x F（x） →G（ ））， ∀ 结论：∃x G（x） ∃ 注意：一阶逻辑 证明： 推理的证明需要首先 前提引入 消去量词再进行构造 ① ∃x F（x） 证明，最后再根据结 EI规则 论引入相应的量词！ ② F（c） ①EI →G（ ③ ∀x（F（x）→G（x）） 前提引入 其它与命题逻辑一 →G（ UI规则 样！！ ④ F（c）→G（c） ③UI ②④假言推理 ⑤ G（c） ②④ EG规则 ⑥ ∃x G（x） ⑤EG 12