谓词演算的推理理论(牛连强)

2.5 谓词演算的推理理论1．推理定律谓词演算中也存在一些基本的等价与蕴含关系，参见表2-2。

我们以此作为推理的基础，即推理定律。

表2-2序号 等价或蕴含关系 含义E27 E28 ┐∀xA(x)⇔∃x┐A(x)┐∃xA(x)⇔∀x┐A(x) 量词否定等值式E29 E30∀x(A(x)∧B(x))⇔∀xA(x)∧∀xB(x)∃x(A(x)∨B(x))⇔∃xA(x)∨∃xB(x)量词分配等值式（量词分配律）E31 E32 E33 E34 E35 E36 E37 E38 E39 E40 E41 E42 E43∀x(A(x)∨B)⇔∀xA(x)∨B∀x(A(x)∧B)⇔∀xA(x)∧B∃x(A(x)∨B)⇔∃xA(x)∨B∃x(A(x)∧B)⇔∃xA(x)∧B∀x(B∨A(x))⇔ B∨∀xA(x)∀x(B∧A(x))⇔ B∧∀xA(x)∃x(B∨A(x))⇔ B∨∃xA(x)∃x(B∧A(x))⇔ B∧∃xA(x)∃x(A(x)→B(x))⇔∀xA(x)→∃xB(x)∀x(A(x)→B)⇔∃xA(x)→B∃xA(x)→B⇔∀x(A(x)→B)A→∀xB(x)⇔∀x(A→B(x))A→∃xB(x)⇔∃x(A→B(x))量词作用域的扩张与收缩I21 I22∀xA(x)∨∀xB(x)⇒∀x(A(x)∨B(x))∃x(A(x)∧B(x))⇒∃xA(x)∧∃xB(x)I23 ∃xA(x)→∀xB(x)⇒∀x(A(x)→B(x))表2-2中的I、E序号是接着表1-5和1-8排列的，表明它们都是谓词逻辑的推理定律。

E31~E34与E35~E38只是A和B的顺序不同。

2．量词的消除与产生规则谓词推理可以看作是对命题推理的扩充。

除了原来的P规则（前提引入）、T规则（命题等价和蕴含）及反证法、CP规则外，为什么还需引入新的推理规则呢？命题逻辑中只有一种命题，但谓词逻辑中有2种，即量词量化的命题和谓词填式命题。

如果仅由表2-2的推理定律就可推证，并不需要引入新的规则，但这种情况十分罕见，也失去了谓词逻辑本身的意义。

为此，要引入如下4个规则完成量词量化命题与谓词填式之间的转换，其中的A(x)表示任意的谓词。

(1) 全称指定（消去）规则US（Ubiquity Specification，或记为∀-）此规则也可记作UI （Universal Instantiation ），即全称（量词）实例化。

若()xA x ∀为1，则()A a 为1，即()()xA x A a ∀∴其中的a 为论域中的任意一个个体（arbitrary individual ），但不能与A 中的其他个体名重复。

例如，由前提(()())x P x Q y ∀→可实例化为()()P t Q y →，而不能是()()P y Q y →。

(2) 全称推广（产生）规则UG （Ubiquity Generalization ，或记为∀+）若()A a 为1，则()xA x ∀为1，即()()A a xA x ∴∀其中的a 必须是论域中的任意个体，即来自于全称指定规则，但x 不能与A 中的其他个体名重复。

在前例中，y 为自由变元，由()()P t Q y →可推广为(()())x P x Q y ∀→，但不能是(()())y P y Q y ∀→。

(3) 存在指定（消去）规则ES （Existence Specification ，或记为∃-） 此规则也可记作EI （Existence Instantiation ），即存在（量词）实例化。

若()xA x ∃为1，则()A s 为1，即()()xA x A s ∃∴其中的s 为论域中的某个特殊个体（some individual ），不能与A 中的其他个体名、前提或结论以及前期推理步骤中的自由个体名重复。

例如，考虑推理()xP x ∃，(()())()x P x Q y Q s ∃∧⇒的论证。

① ()xP x ∃ P ② ()P u∃-① ③ (()())x P x Q y ∃∧ P ④ ()()P v Q y ∧∃-②在步骤②中用u 做存在量词实例化，它必须与y 和s 都不相同。

在步骤④中用v 做存在量词实例化，它必须与u 、y 和s 都不相同。

(4) 存在推广（产生）规则EG （Existence Generalization ，或记为∃+） 若()A s 为1，则()xA x ∃为1，即()()A s xA x ∴∃其中的s 为论域中的某个个体，可以是特殊或任意的一个，但x 不能与A 中的其他个体名重复。

如此一来，谓词逻辑的一般推理方法是：[辨析] 引入全称（存在）指定规则的目的是消去全称（存在）量词，引入全称（存在）推广量词的目的是产生全称（存在）量词。

[辨析] 当量词之前有否定联结词时不能指定到个体词。

例如，()()xA x A s ∀⇒┐┐是错误的推理形式，s 不能肯定是泛指还是特指。

此时，必须使用量词否定等值式将否定联结词移到量词之后才能使用上述规则。

3．谓词演算自然推理示例 例2-12 三段论的形式证明。

(1) 苏格拉底三段论：人是要死的，苏格拉底是人。

所以，苏格拉底是要死的。

证明 记M (x )：x 是人，D (x )：x 是要死的，s ：苏格拉底，原论断表示为：(()()),()()∀→⇒x M x D x M s D s① M (s )P ② ∀x (M (x )→D (x )) P③ M (s )→D (s ) 全称指定②注：转换为谓词填式④ D (s )T ①③ I“全称指定”可直接写为“US ”或“∀-”。

做全称指定时，必须指定到s ，才能建立与命题M (s )的联系。

此外，此证明结论就是谓词填式，不用再推广到量化形式。

(2)亚里士多德三段论：所有人都是必死的，希腊人都是人，所以希腊人都是必死的。

证明 记M (x )：x 是人，D (x )：x 是必死的，Greek (x )：x 是希腊人，原论断表示为：(()()),(()())(()())∀→∀→⇒∀→x M x D x x Greek x M x x Greek x D x① ∀x (Greek (x )→M (x )) P ② Greek (a )→M (a ) US ②注：转换为谓词填式③ ∀x (M (x )→D (x )) P ④ M (a )→D (a )US ③ 注：转换为谓词填式 ⑤ Greek (a )→D (a )T ②④ I注：命题逻辑推证 ⑥ ∀x (Greek (x )→D (x ))UG ⑤注：转换回量化形式注意理解证明过程中是如何利用谓词填式将命题“搭接”在一起的。

例2-13 证明(()(()()))(()())(()())x A x B x C x x A x D x x D x C x ∀→∧∧∃∧⇒∃∧。

证明 这里采用另一种记号。

① (()())x A x D x ∃∧ P ② ()()A c D c ∧∃-①注：转换到谓词填式③ (()(()()))x A x B x C x ∀→∧ P ④ ()(()())A c B c C c →∧ ∀-③ ⑤ ()A c T ② I注：转换到命题逻辑推证⑥ ()D c T ② I ⑦ ()()B c C c ∧ T ④⑤ I ⑧ ()C cT ⑦ I ⑨ ()()D c C c ∧T ⑥⑧ I ⑩ (()())x D x C x ∃∧∃+⑨注：转换回量化形式 观察下述的另一个证明过程，它用如下步骤代替例中的前4个步骤： ① (()(()()))x A x B x C x ∀→∧ P ② ()(()())A c B c C c →∧ ∀-① 注：转换到谓词填式③ (()())x A x D x ∃∧ P ④ ()()A c D c ∧∃-③此过程与前述证明过程相比仅是次序变化，但完全错误。

②中的c 来自于全称指定，是泛指的任意一个，而③只能指定到特殊的个体c' 而不能是c ，它违背了∃-规则的要求。

[辨析] 经验告诉我们，同时存在全称量词量化和存在量词量化时，通常应先进行存在指定（ES ），再进行全称指定（US ）。

反之不可。

例2-14 证明(()())()()x P x Q x xP x xQ x ∀∨⇒∀∨∃。

证明 结论为析取式，这里采用反证法。

① ┐(∀xP (x )∨∃xQ (x )) P （附加前提） ② ┐∀xP (x )∧┐∃xQ (x ) T ① E ③ ┐∀xP (x ) T ② I ④ ┐∃xQ (x ) T ② I ⑤ ∃x ┐P (x ) T ③ E ⑥ ∀x ┐Q (x ) T ④ E ⑦ ┐P (c ) ES ⑤ ⑧ ┐Q (c )US ⑥ ⑨ ∀x (P (x )∨Q (x )) P ⑩ P (c )∨Q (c )US ⑨ ⑪ Q (c )T ⑦⑩ I ⑫ Q (c )∧┐Q (c )（矛盾）T ⑧⑪ I例2-15 证明推断：所有学生要参加物理或化学考试，因此，若非都参加物理考试，一定有人参加化学考试。

论域为学生集合。

证明 记P (x )：x 参加物理考试，C (x )：x 参加化学考试，则符号化为：(()())()()┐∀∨⇒∀→∃x P x C x xP x xC x由于结论为条件式，这里采用CP 规则。

① ()xP x ∀┐ P （附加前提） ② ()x P x ∃┐ T ① E ③ ()P s ┐ES ② ④ (()())x P x C x ∀∨ P ⑤ ()()P s C s ∨ US ④ ⑥ ()C s T ③⑤ I ⑦ ()xC x ∃EG ⑥ ⑧ ()()xP x xC x ∀→∃┐CP例2-16 证明下述论断：所有有理数都是实数，所有无理数也是实数，虚数不是实数。

因此，虚数既不是有理数也不是无理数。

证明 记Q (x )：x 是有理数，N (x )：x 是无理数，R (x )：x 是实数，I (x )：x 是虚数，可符号化为：(()()),(()()),(()())(()(()()))┐┐┐∀→∀→∀→⇒∀→∧x Q x R x x N x R x x I x R x x I x Q x N x① (()())┐∀→x I x R x P ② ()()┐→I a R a US ① ③ (()())∀→x Q x R xP ④ ()()→Q a R a US ③ ⑤ ()()┐┐→R a Q a T ④ E ⑥ ()()┐→I a Q a T ②⑤ I ⑦ (()())∀→x N x R xP ⑧ ()()→N a R a US ⑦ ⑨ ()()┐┐→R a N a T ⑧ E ⑩ ()()┐→I a N aT ②⑨ I ⑪ ()(()())┐┐→∧I a Q a N aT ⑥⑩ I⑫ (()(()()))┐┐∀→∧x I x Q x N x UG ⑪注意结论中的条件式是被量词约束的，不能采用CP 规则论证。