离散数学 谓词演算的推理理论 PPT
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L4谓词逻辑1 离散数学.ppt
么x是动物〞.所以这个命题涉及两个谓词
Man( 最精新 选.文档 )和Animal( )间的蕴涵.
4
为什么需要谓词逻辑?
• 可描述更丰富的推理形式.
• 例如下面这个推理用命题逻辑无法描述.
• 人皆有死.
a
• 苏格拉底是人. b
• 苏格拉底会死. c
• 用谓词逻辑可以很好地描述.
• 我们介绍的是一阶谓词逻辑(FOL),它根本 上覆盖了人们在数学和日常生活中用到
25
例:自然语句形式表示(续)
(6) “函数f (x)在[a,b]上的点x0处连续〞的 - 定义.
( )( > 0 ( )( > 0
( x)( |x - x0 | < )))
|f (x) – f (x0)| <
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26
例:自然语句形式表示(续)
(7)屡次量化:如对P(x,y) 有四种屡次量化情形:
谓词逻辑
一
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1
主要内容
• 谓词与量词 • 谓词公式 • 等值演算 • 范式 • 谓词逻辑推理 • 归结法推理
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2
谓词逻辑与命题逻辑的区别
• 命题逻辑:简单命题是分析的根本单元,不再对 简单命题的内部构造进展分析.
• 例如a:“柏拉图是人〞和b:“亚里士多德是人 〞是两个相互独立的命题,看不出a和b有什么联 系.
• 例如:假设函数father(x)表示x的父亲,谓 词P(x)表示x是教师,那么P(father(x))就 表示x的父亲是教师.
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10
量词
• 量词(quantifier)用来对论域中参与判断 的个体数量进展约束.
离散数学谓词逻辑.ppt
作用变元、 指导变元
量词 的辖域
xA(x)，xA(x)
例如：D=全班同学的集合。A(x):今天x迟到了。
Hale Waihona Puke 西 华xA(x) 表示今天x迟到了。x∈D，从而x指同学。
大 学
xA(x)表示今天有同学迟到了。
xA(x)就表示为今天所有的同学都迟到了。
显然，当D为有限集合时，D={a1,a2,……,an}
（课堂 作业）
例4.在成都工作的人未必是成都人。
西 华
D={人类集合}
大
学
• 解：设P(x):x在成都工作；Q(x)：x是成都 人。
• ⑴存在这样的x，x在成都工作但是x不是 成都人。x(P(x) ∧ Q(x))
• ⑵ 并不是说，所有的x在成都工作，x就是 成都人。 (x(P(x) Q(x)))
L（a，b）才是命题，并且是假命题。 c为2，d为0
时，L（c，d）是真命题。
有时将不带个体变项的谓词称为0元谓词。 0元谓词 中的谓词的意义确定后， 0元谓词是命题。
使用谓词注意：
（1） n元谓词中，客体变项的次序很重要 。
例：F（x,y）表示x是y的父亲，
西
a:张三，b:张小明。
华
F（a,b）表示张三是张小明的父亲。
（2）存在x，使得:x+5=2
大 学
要求：
1）个体域为自然数集合
2）个体域为实数集合
例4 ：在一阶逻辑中将下面命题符号化
（1）凡偶数均能被2整除
西 华
（2）存在着偶素数
大 学
（3）没有不吃饭的人
（4）素数不全是奇数
例5.对任意的x都存在y，使得x +y=2。
D=实数集合
第四章 谓词演算的推理理论永真推理系统(共28张PPT)
证明： (1) △(x) (2) △((x)((PP)(x))) (3) △((PP)(x)) (4) △((PP)x (x))
(5) △(PP)
(6) △x(x)
引用定理
(2)(1)分离
全称规则(3)
公理(1)
(4)(5)分离
则有全0规则△(x)├△x(x)
第十四页，共28页。
全n规则、存n规则
(x(P(x))(x P(x))) 分离(2)(7)
(9) x(P(x))(x P(x))
分离(6)(8)
第十九页，共28页。
例( ) 练习4.1(2)
x(P(x))(x P(x))
先证明 x(P(x)) (x P(x))
证明:
(1) x(P(x)) (P(x))
公理20
(2) x(P(x)) (x P(x))
存1规则
1(P(x))├ 1(xP(x)))
第二十页，共28页。
例(续) x(P(x))(x P(x))
再证明 (x P(x)) x(P(x))
证明:
(3) P(x) xP(x)
公理21
(4) (P(x)xP(x)) ((xP(x))(P(x)))
公理3
(5) (xP(x))(P(x))
分(3)(4)
与有关
第七页，共28页。
（二） 公理
公理20 △(xP(x) P(x)) 公理21 △(P(x)x P(x))
与量词有关
如果只有一个自由变元，公理20与公理21可以分别
理解如下：
x(yP(y) P(x))
x(P(x)y P(y))
第八页，共28页。
（三） 规则
(1)分离规则：
如果△(AB)且△A，则△B。 (2)全称规则：
《离散数学课件》谓词逻辑
A(a, H(b)) →F(a,b)
非一阶谓词 26/44
例3 符号化：我送他这本书。
解：令 A(e1，e2，e3)表示“e1送e3给e2”； B(e)表示“e为书”； a表示“我”； b表示“他”； c表示“这”；
则原句译为： A(a，b，c) B(c)
27/44
例4 符号化：这只大红书柜摆满了那些古书。
32/66
例 计算机学院的有些老师是青年教师
解： 设 C(e)表示e为计算机学院的人； T(e)表示e为教师; Y(e)表示e为青年.
则原句译为：
x(C(x)T(x) Y(x))
此例中：x就取值于全总个体域U， 谓词C(x)限定x取值范围。
33/66
例 个体域I为人类集合,将下列命题符号化:
(1) 凡人都呼吸。 (2) 有的人用左手写字。
21/44
一元谓词变元
A(x)
其中x为变量符号项、A为谓词变元。 此式表示x具有性质A。 注意：x，A分别在两个域上变化。
22/44
二元谓词变元
A(x，y)
其中x, y为变量符号项、A为谓词变元。 此式表示x和y具有关系A。 注意：x，y，A分别在三个域上变化。
23/44
二、谓词语句的符号化
例1 将命题符号化 要求：先将它们在命题逻辑中符号化，再在一阶
1A(e)如下图所示: e A1 A2 a TF
2 谓词数目：
14/44
个体域{a，b}上的一元谓词
A(e)如下图所示: e A1 A2 A3 A4 a TFTF b TTFF
22
谓词数目：
15/44
个体域{a，b，c}上的一元谓词
A(e)如下图所示:
e A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8
离散数学PPT教学谓词逻辑
b. X(P(X，Y)→YR(X，Y) ) 解：其中的P(X，Y)中的Y是自由变元，X是约束变元， R(X，Y)中的X，Y是约束变元。
注：在一个公式中，一个变元既可以约束出现，又可以 自由出现。为避免混淆可用改名规则对变元改名。
返回
3、约束变元改名规则
1.若要改名，则该变元在量词及该量词的辖域中的所有 出现须一起更改。
全总个体域 人
全总个体域
要死的
二条规则
返回
4．全总个体域 故得二条规则： ①对全称量词，特性谓词作为蕴含式之前件而加入之。 ②对存在量词，特性谓词作为合取项而加入之。
返回
5、举例
a，
b，
c，
d，
e
注：命题翻译为谓词公式，由于对个体的刻划深度不
同，可译成不同形式的谓词公式。
返回目录
5、举例
a.没有不犯错误的人 解：设F(x)为‘x是犯错误’,M(x)为‘x是人’,则
例
返回
一、基 本 定 义
例：当A（x）P（x）X P（x）且P（x）只能解释： （1）R（x）：x是质数（2）S（x）：x是合数。
论述域为{3，4}，判定A（x）是否为永真
解： P（x） x
P（x）X P（x）
--------------------------------------
R (x)
3
二、 量 词
2．存在量词x x读作‘至少有一x’，‘存在一x’ x ┐P(x)表示 ‘存在一x，使┐P(x) 为真’ ┐x ┐P(x)表示 ‘并非存在一个x，使┐ P(x)为真’
返回目录
二、 量 词
3．量词的作用 在P(x)，P(x,y)前加上x或x，称变元x被存在量
化或全称量化。 将谓内变元X的一切出现叫约束出 现，称这样的X为约束变元。
注：在一个公式中，一个变元既可以约束出现，又可以 自由出现。为避免混淆可用改名规则对变元改名。
返回
3、约束变元改名规则
1.若要改名，则该变元在量词及该量词的辖域中的所有 出现须一起更改。
全总个体域 人
全总个体域
要死的
二条规则
返回
4．全总个体域 故得二条规则： ①对全称量词，特性谓词作为蕴含式之前件而加入之。 ②对存在量词，特性谓词作为合取项而加入之。
返回
5、举例
a，
b，
c，
d，
e
注：命题翻译为谓词公式，由于对个体的刻划深度不
同，可译成不同形式的谓词公式。
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5、举例
a.没有不犯错误的人 解：设F(x)为‘x是犯错误’,M(x)为‘x是人’,则
例
返回
一、基 本 定 义
例：当A（x）P（x）X P（x）且P（x）只能解释： （1）R（x）：x是质数（2）S（x）：x是合数。
论述域为{3，4}，判定A（x）是否为永真
解： P（x） x
P（x）X P（x）
--------------------------------------
R (x)
3
二、 量 词
2．存在量词x x读作‘至少有一x’，‘存在一x’ x ┐P(x)表示 ‘存在一x，使┐P(x) 为真’ ┐x ┐P(x)表示 ‘并非存在一个x，使┐ P(x)为真’
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二、 量 词
3．量词的作用 在P(x)，P(x,y)前加上x或x，称变元x被存在量
化或全称量化。 将谓内变元X的一切出现叫约束出 现，称这样的X为约束变元。
离散数学谓词逻辑课件
第二章谓词逻辑
第二章 小结
本章重点掌握内容： 1.各基本概念清楚。 2.会命题符号化。 3.熟练掌握等价公式和永真蕴涵式。 4.会写前束范式。 5.熟练3)b)P:2>1,Q(x):x≤3, R(x):x>5,a:5,{-2,3,6} x(P→Q(x))∨R(a)(P→xQ(x))∨R(a) (P→(Q(-2)∧Q(3)∧Q(6)))∨R(5) (T→(T ∧T ∧F ))∨F (T→F)∨FF∨F F (4)b)对约束变元换名 x(P(x)→(R(x)∨Q(x)))∧ xR(x)→zS(x,z) y(P(y)→(R(y)∨Q(y)))∧ tR(t)→uS(x,u) (5)a)对自由变元代入 (yA(x,y)→xB(x,z))∧ xzC(x,y,z) (yA(u,y)→xB(x,v))∧ xzC(x,w,z)
第二章谓词逻辑
(6)判断下面推证是否正确。 x(A(x)→B(x)) ⑴ x(A(x)∨B(x)) ⑵ x(A(x)∧B(x) ⑶ x(A(x)∧B(x)) ⑷ (xA(x)∧xB(x)) ⑸ xA(x)∨xB(x) ⑹ xA(x)∨xB(x) ⑺ xA(x)→xB(x) 第⑷步错，由⑶到⑷用的是公式： x(A(x)∧B(x))(xA(x)∧xB(x)) 无此公式，而是 x(A(x)∧B(x)) xA(x)∧xB(x)，应将⑷中的换成 即：
第二章谓词逻辑
例2.7.1 所有金属都导电。铜是金属。故铜导电。 令 M(x):x是金属。C(x):x导电。a:铜。 符号化为： x(M(x)→C(x)),M(a) C(a) ⑴ x(M(x)→C(x)) P ⑵ M(a)→C(a) US ⑴ ⑶ M(a) P ⑷ C(a) T ⑵⑶ I11
2-7 谓词演算的推理理论
第二章谓词逻辑
离散数学、第7章、谓词逻辑、课件
z( P ( z ) R( x , z )) Q( x , y )
换名规则1)
换名范围:量词中的指导变元
和作用域中出现的该变元.公式中其
余部分不变.
2) 要换成作用域中没有出现的
变元名称.
代入(自由变元的更换)
x ( P ( y ) R( x , y ))
x ( P ( z ) R( x , z ))
为避免由变元的约束与自由同时 出现, 而引起概念上的混乱, 可对约束
变元进行换名. 换名 (约束变元改变名称符号)
x( P ( x ) R( x , y )) Q( x , y )
z ( P( z ) R( z, y)) Q( x, y)
y( P ( y ) R( x , y )) Q( x , y )
Hale Waihona Puke “ 一些A是B ”。7.4 谓词公式与符号化 谓词演算的逻辑公式:
1) 原子谓词公式是逻辑
公式 Q , A( x ), A( x , y ), 2) 若A 是逻辑公式,则┑A 也是逻辑公式.
3) 若 A , B 是逻辑公式,则
A B , A B , A B,
A B 也是逻辑公式.
量词前的否定,是否定被 量化了的整个命题. 并非每个人都吃面包
x( M ( x ) H ( x ))
x(M ( x ) H ( x ))
x(M ( x ) H ( x ))
x( M ( x ) H ( x ))
存在不吃面包的人
设个体域中的客体变元 为 a1 , , a n ,则 xA( x )
3) xy ( P( x, y) Q( x, y)) xP( x, y)
离散数学教学课件-第11章 谓词逻辑
练习
5)并不是每个人都会来参加这次会议。
解：设N(x)：x是人，G(x)：x参加这次会议。
¬∀(() → ())
45
2.辖域
(1)∀(() → ∃()) ∧ ∃(, )
(2)∀() → ()
(3)∀∃((() → ()) ∧ ¬(, ))
x(M(x)→y(W(y)→H(x,y)))
x(M(x)∧y(W(y)∧H(y,x)))
29
11.2 谓词
几点说明：
1)不含量词的谓词公式，不是命题，是命题函数，其真
值依赖于x从个体域中取出的个体词的不同而不同。
如 D表示7班全体学生。
G(x)表示x是男生
xG(x)
真值
30
11.2 谓词
第11章 谓词逻辑
1
三段论
所有人都是要。
Q
R
谓词逻辑
2
谓词逻辑
§11.1 谓词与个体§11.2 量词
§11.4 谓词逻辑公式
§11.5 自由变元与约束变元
§11.6 谓词逻辑的永真公式
§11.7 谓词演算的推理理论
3
§11.1 谓词与个体
4
11.1 谓词与个体
真命题
假命题
简单命题函数：不含联结词的谓词
复合命题函数：由原子谓词及联结词组成的表达式
13
11.1 谓词与个体
例3. 张华是大学生，李明也是大学生。
令： P(x)：x是大学生。 a：张华 b：李明
P(a)∧P(b)
14
11.1 谓词与个体
所有人都是要死的。
?
苏格拉底是人。
苏格拉底要死。
15
§11.2 量词
如：设x,y的个体域是I，
离散数学谓词逻辑.ppt
三、量词和全总个体域 1.量词
使用前面介绍的概念，还不足以表达日常生活中 的各种命题。
例如：对于命题 “ 所有的正整数都是素数 ”
和 “ 有些正整数是素数 ” 仅用个体词和谓词是很难表达的。 量词 在命题里表示数量的词。
（1） 全称量词
“ x”
x D（x）， 如“所有人都是要死的。”可表示为
三、换名规则和代入规则 1.换名规则
对约束变元进行换名，使得一个变元在一个 公式中只呈一种形式出现。 （1）约束变元换名时，该变元在量词及其辖域 中的所有出现均须同时更改，公式的其余部分不 变； （2）换名时，一定要更改为该量词辖域中没有 出现过的符号，最好是公式中未出现过的符号。
例8
对公式 进 x(P(x, y) yz (u, v, z) ) S(x, z)
x或 x的辖域。x在公式的x约束部分的任一出现都称为
x的约束出现。 公式中约束出现的变元是约束变元 当x的出现不是约束出现时，称x的出现是自由出 现 。 自由出现的变元是自由变元。
例7
指出下列各公式中的量词辖域及自
由变元和约束变元。
( 1 ) x y (( P ( x ) Q ( y )) zR ( z ))
行换名，使各变元只呈一种形式出现。
解 需对x，y换名
u(P(u, y) v Q(u, v, z)) S(x, z)
错误法： u(P(u, v) vQ(u, v, z)) S(x, z)
u(P(u, y) zQ(u, z , z)) S(x, z)
2.
代入规则
谓词、个体词和量词 谓词演算公式 谓词演算的永真公式 谓词演算的推理理论
谓词、个体词和量词 例
离散数学之谓词逻辑 ppt课件
▪ 但客体变元在哪些范围内取特定的值，对是 否成为命题及命题的真值极有影响。
例：R(x)表示“x是大学生”，如果x的讨论范 围是某大学里班级中的学生，则R(x)是永真式。 如果x的讨论范围是某中学里班级中的学生， 则R(x)是永假式。如果x的讨论范围为一剧场 中的观众，那么对某些观众，R(x)为真，对另 一些观众，R(x)为假。
2.3 谓词公式与翻译
▪ F 的项： (1)个体常项和个体变项都是项。 (2)若f(x1, x2, …, xn)是任意的n元函数，t1, t2, …, tn是任意的n个项，则f(t1, t2, …, tn)是 项。 (3)所有的项都是有限次使用(1),(2)得到的。
▪ 原子公式 若A(x1, x2, …, xn)是F 的任意n 元谓词，t1, t2, …, tn是F 的任意n个项，则称 A(t1, t2, …, tn)为谓词演算的原子公式。
给定任何两个谓词公式wffa和wff的任一组真值指派所得真值均相同则称谓词公式a和b在e上是等价的并记作给定任意谓词公式wffa其个体域为e对于a的任一组真值指派wffa皆为1则称公式a在e上是有效的永真的
2.1 谓词的概念与表示
下列推理：凡是人都是要死的。 苏格拉底是人。 苏格拉底是要死的。
众所周知，这是真命题。但在命题逻辑中 ( P ∧ Q ) R ，难证其为重言式。 原因：命题逻辑不考虑命题之间的内在联系 和数量关系。 办法：将命题再次细分。
为相应量词的指导变元。P(x)称为相应量词 的作用域/辖域。在x和x的辖域中，x的
所有出现都称为x在公式A中的约束出现，
所有约束出现的变元，叫做约束变元。A中 不是约束出现的变元均称作自由变元。
2.4 变元的约束
(1)x(F(x) G(x,y)) x是指导变元，量词的辖域为(F(x)G(x,y))， 其中，x是约束出现两次，y是自由出现一次。
例：R(x)表示“x是大学生”，如果x的讨论范 围是某大学里班级中的学生，则R(x)是永真式。 如果x的讨论范围是某中学里班级中的学生， 则R(x)是永假式。如果x的讨论范围为一剧场 中的观众，那么对某些观众，R(x)为真，对另 一些观众，R(x)为假。
2.3 谓词公式与翻译
▪ F 的项： (1)个体常项和个体变项都是项。 (2)若f(x1, x2, …, xn)是任意的n元函数，t1, t2, …, tn是任意的n个项，则f(t1, t2, …, tn)是 项。 (3)所有的项都是有限次使用(1),(2)得到的。
▪ 原子公式 若A(x1, x2, …, xn)是F 的任意n 元谓词，t1, t2, …, tn是F 的任意n个项，则称 A(t1, t2, …, tn)为谓词演算的原子公式。
给定任何两个谓词公式wffa和wff的任一组真值指派所得真值均相同则称谓词公式a和b在e上是等价的并记作给定任意谓词公式wffa其个体域为e对于a的任一组真值指派wffa皆为1则称公式a在e上是有效的永真的
2.1 谓词的概念与表示
下列推理：凡是人都是要死的。 苏格拉底是人。 苏格拉底是要死的。
众所周知，这是真命题。但在命题逻辑中 ( P ∧ Q ) R ，难证其为重言式。 原因：命题逻辑不考虑命题之间的内在联系 和数量关系。 办法：将命题再次细分。
为相应量词的指导变元。P(x)称为相应量词 的作用域/辖域。在x和x的辖域中，x的
所有出现都称为x在公式A中的约束出现，
所有约束出现的变元，叫做约束变元。A中 不是约束出现的变元均称作自由变元。
2.4 变元的约束
(1)x(F(x) G(x,y)) x是指导变元，量词的辖域为(F(x)G(x,y))， 其中，x是约束出现两次，y是自由出现一次。
离散数学讲义ppt课件
课程概况
教材：
《离散数学（第三版）》，耿素云等编著 清华大学出版社，2004年3月
参考书：
（1） 《离散数学(第二版)》及其配套参考书《离散 数学题解》作者：屈婉玲，耿素云，张立昂 清华大学出版社
（2） 《离散数学》焦占亚主编 电子工业出版社 2005年1月
2
课程概况
选修课/必修课：选修 周学时：3（学时） 上课周：1－16周 总学时：48（学时）
3
课程内容及学时安排
第一篇 数理逻辑（14学时）
第一章 命题逻辑（8） 第二章 谓词逻辑（6）
第二篇 集合论（12学时）
第三章 集合（4） 第四章 二元关系与函数（8）
第四篇 图论（14学时）
第七章 图论（8） 第八章 一些特殊图（4） 第九章 树 （2）
4
课程考核
第四篇 代数系统（8学时）
第5、6章 图论（8）
所以，伊勒克持拉既知道并且又不知道这个人是她的 哥哥。
20
NO.3 M：著名的理发师悖论是伯特纳德·罗素提出的。一个理发 师的招牌上写着： 告示：城里所有不自己刮脸的男人都由我给他们刮脸，我 也只给这些人刮脸。 M：谁给这位理发师刮脸呢？ M：如果他自己刮脸，那他就属于自己刮脸的那类人。但 是，他的招牌说明他不给这类人刮脸，因此他不能自己来 刮。 M：如果另外一个人来给他刮脸，那他就是不自己刮脸的 人。但是，他的招牌说他要给所有这类人刮脸。因此其他 任何人也不能给他刮脸。看来，没有任何人能给这位理发 师刮脸了！
P
Q
PQ
P
0
0
0
1
0
1
0
1
1
0
0
0
1
1
1
离散数学-2-7谓词演算的推理理论.ppt
21
本课小结
US规则 UG规则 ES规则 EG规则
22
课后作业
P79 (1) 补充: 符号化下列命题并推证其结论。 所有的人或者是吃素的或者是吃荤的，吃素 的常吃豆制品，因而不吃豆制品的人是吃 荤的。（个体域为人的集合） 令 F(x)：x 是 吃 素 的 ， G(x)：x 是 吃 荤 的 ， H(x)：x吃豆制品。
15
六、例题
例：给定下面2个推理,找出错误. （1） 1．x (F(x) G(x)) P 2．F(y) G(y) US(1) 3．x F(x) P 4．F(y) ES(3) 5．G(y) T(2)(3) I 6．xG(x) UG(5) （2） 1．xy F(x, y) P 2．y F(z, y) US(1) 3．F(z, c) ES(2) 4．x F(x, c) UG 5．yx F(x, y) EG *在上面推理中（1）中从3到4有错，（2）中从2到3有错
6
三、全称推广规则
2．全称推广规则（简称UG规则）
P(x) ∴(x)P(x) P（y） xP(x)
上式成立，要求以下条件： （1）y在P（y）中自由出现，且y取任何值时P（y）均为真； （2）取代y的x不能在P（y）中约束出现，否则产生错误。
7
三、全称推广规则
例 在实数集中F（x，y）：x>y， 取P（y）= x F(x, y)对给定y都成立。 若应用上式时，以x取代y 得x(x(x>x))，这是假命题 *出错原因是违背了（2）。
第二章谓词逻辑
2-7 谓词演算的推理理论 授课人：李朔 Email:chn.nj.ls@
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一、谓词演算推理规则
谓词演算的推理方法,可以看作是命题演算 推理方法的扩张。
本课小结
US规则 UG规则 ES规则 EG规则
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课后作业
P79 (1) 补充: 符号化下列命题并推证其结论。 所有的人或者是吃素的或者是吃荤的，吃素 的常吃豆制品，因而不吃豆制品的人是吃 荤的。（个体域为人的集合） 令 F(x)：x 是 吃 素 的 ， G(x)：x 是 吃 荤 的 ， H(x)：x吃豆制品。
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六、例题
例：给定下面2个推理,找出错误. （1） 1．x (F(x) G(x)) P 2．F(y) G(y) US(1) 3．x F(x) P 4．F(y) ES(3) 5．G(y) T(2)(3) I 6．xG(x) UG(5) （2） 1．xy F(x, y) P 2．y F(z, y) US(1) 3．F(z, c) ES(2) 4．x F(x, c) UG 5．yx F(x, y) EG *在上面推理中（1）中从3到4有错，（2）中从2到3有错
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三、全称推广规则
2．全称推广规则（简称UG规则）
P(x) ∴(x)P(x) P（y） xP(x)
上式成立，要求以下条件： （1）y在P（y）中自由出现，且y取任何值时P（y）均为真； （2）取代y的x不能在P（y）中约束出现，否则产生错误。
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三、全称推广规则
例 在实数集中F（x，y）：x>y， 取P（y）= x F(x, y)对给定y都成立。 若应用上式时，以x取代y 得x(x(x>x))，这是假命题 *出错原因是违背了（2）。
第二章谓词逻辑
2-7 谓词演算的推理理论 授课人：李朔 Email:chn.nj.ls@
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一、谓词演算推理规则
谓词演算的推理方法,可以看作是命题演算 推理方法的扩张。
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四、存在量词指定规则
3．存在量词指定规则（简称ES规则）
(x)P(x) ∴P(c) xP(x) P(c)
上式的成立，要求满足以下条件： (1)c是使P（x）为真的特定个体常项； (2) c不曾在P（x）中出现； (3) P（x）中除x还有其它自由的客体变元时，不能
用此规则。
四、存在量词指定规则
4．x F(x, c)
UG
5．yx F(x, y)
EG
*在上面推理中（1）中从3到4有错，（2）中从2到3有错
六、例题
希望在应用上述规则时，千万注意条件，否则会 犯错误。下面给出几个谓词逻辑中构造证明的例 子。
例：证明苏格拉底三段论“凡人都是要死的，张三是人，所以张三要死。” 首先将命题符号化：
例：在自然数集中，设F（x）：x为奇数，G（x）：x为偶数。
则 x F(x)x G(x) 为真命题。
如果不注意以上条件的使用，从x F(x)，x G(x)会 推出假命题来：
1．x F(x)
P
2．F（c）
ES(1)
3．x G(x)
P
4．G（c）
ES(3)
5．F（c） G(c)
T(2),(4)I
6．x( F(x)G(x))
六、例题
例：给定下面2个推理,找出错误.
（1） 1．x (F(x) G(x)) P
2．F(y) G(y)
US(1)
3．x F(x)
P
4．F(y)
ES(3)
5．G(y)
T(2)(3) I
6．xG(x)
UG(5)
（2） 1．xy F(x, y)
P
2．y F(z, y)
US(1)
3．F(z, c)
ES(2)
全称推广规则（简称UG规则）
存在量词指定规则（简称ES规则） 存在推广规则（简称EG规则）
二、全称指定规则
1．全称指定规则（简称US规则）
(x)P(x)
∴P(c)
这条规则可以有二种形式：
xP(x)P(y)
①
xP(x)P(c)
②
在推理过程中①，②两种形式可根据需要选用。两式成
立的条件是：
（1）x为P（x）中自由出现的个体变元(不在P(x)中受 约束）
P T(1) E(换名规则) US(2)
六、例题
(b)
(1) (x)(P(x) Q(x)) P
(2) P(a) Q(b)
US(1)
错：要统一全称量词消去
正确： （2） P（a) Q(a) US(1)
(c) (1) S(c) Q(c) P (2) xS(x) Q(x) EG（1） 错：使用EG规则时，P(x)应是整个公式 正确：（2） x（S(x) Q(x)） EG（1）
谓词演算的推理理论
一、谓词演算推理规则
谓词演算的推理方法,可以看作是命题演算 推理方法的扩张。
在一阶逻辑中，推理的形式结构仍为
H1 H2 … HnB。 若该式为逻辑有效式，则称推理正确，称B是 H…1 ，HH2n，…B，。Hn，的逻辑结论，记H1 H2 一般的，将逻辑有效蕴含式称为推理定律。命 题逻辑中的重言蕴含式，在一阶逻辑中的代入 实例，都是一阶逻辑中的推理定律。另外，每 个等值式都可产生两条推理定律。
EG(5)
*以上结论显然错的，其原因是违背条件（1），2步与4步中 的c不应相同。
四、存在量词指定规则
又如，在实数集中，xy(x>y)是真命题，请看下 面推导：
1．xy(x>y)
P
2．y（z>y）
US(1)
3．z>c
ES(2)
4．x(x>c)
UG(3)
而x(x>c)是假命题。
*结论是错的，其原因是违背了（3），对2使用ES规
在谓词推理中，某些前提与结论可受量词限制， 为了使用等价式和蕴含式，必须在推理过程中有 消去和添加的规则，使推理类似于命题演算中的 推理理论。
在推理过程中，除了用到命题逻辑中的推理规则外，还须
用到下面4条规则。其中A B不一定表示A→B是逻辑有
效式(非永真)，而仅表示在一定条件下，当A为真时，B也 为真的推理关系。 全称指定规则（简称US规则）
则时，z为自由出现的个体变项。
五、存在推广规则
4．存在推广规则（简称EG规则） P(c)
∴(x)P(x) P（c）x P(x) 上式成立，要求以下条件： （1）c为特定的个体常项； （2）取代c的x不能已在P（c）中出现过。
五、存在推广规则
例 在实数集中，取F（x，y）：x>y，并取 P(3)=x F(x, 3), P(3)为真命题。 在使用上式，若用x取代3，则得到x F(x, x) 这是假命题
一、谓词演算推理规则
谓词演算推理规则
P规则：前提在推导过程中的任何时候都可以 引入使用。
T规则：在推导过程中，如果有一个或多个公 式重言蕴涵这公式S，则公式S可以引入推导之 中。
命题演算推理中的P规则、T规则（置换规则、合取引 入规则）在谓词推理中都是对的，都可以使用；
一、谓词演算推理规则
（2）在①中，y为不在P（x）中约束出现的个体变元； （3）在②中，C为任意的论域中某个客体。
二、全称指定规则
*全称指定规则在使用中，若不注意条件会犯错误。
例如 在实数集中的二元谓词F（x，y）：x>y，则公式 xy F(x, y)为真命题。
设P（x）=y F(x, y),此时x在P（x）中自由出现， 若用y取代x，则得 x(yF(x, y))y F(y ,y), 结论为“存在y，y>y”， 这是假命题 *出错原因为y在P（x）中是约束出现。
三、全称推广规则
2．全称推广规则（简称UG规则） P(x)
∴(x)P(x) P（y） xP(x)
上式成立，要求以下条件： （1）y在P（y）中自由出现，且y取任何值时P（y）均为真； （2）取代y的x不能在P（y）中约束出现，否则产生错误。
三、全称推广规则
例 在实数集中F（x，y）：x>y， 取P（y）= x F(x, y)对给定y都成立。 若应用上式时，以x取代y 得x(x(x>x))，这是假命题 *出错原因是违背了（2）。
*其原因是违背了（2）
六、例题
例：找出下述推导的错误原因 (a) (1) (x)A(x) S(x) P (2) A(x) S(x) US(1) 错： (x)P(x)使用US规则时，P(x)是整个公式，上
述公式中A(x) S(x) 才是整个公式。
正确：（1） (x)A(x) S(x) （2） (x)A(x) S(y) (3) A(x) S(y)