离散数学PPT讲稿

2020/8/6
离散数学
7
2、：R×R R×R，R为实数集。
(x,y)=<x+y,x-y>
解：⑴(单射性) 任取(x,y),(u,v), 假设(x,y)≠(u,v),若 (x,y)= (u,v),即<x+y,x-y>= <u+v,u-v>
则: x+y=u+v
得: x=u
x-y=u-v
y=v
从而(x，y)=(u，v),与假设矛盾.故是单射.
• 例如：设：N E，N 是自然数集合，E是 自然数中所有偶数的集合，(n) = 2n，n∈N。 则的逆映射-1为：
-1 ：E N，-1(m)=m/2，m∈E。
2020/8/6
离散数学
11
双射才有逆映射
• 定理3.2.1 设是A到B的映射，于是， 存在 逆映射当且仅当是双射。
• 证明：必要性：设-1存在， -1：BA。若不是满
• 设：N N，N 是自然数集，(n)= 2n，
n∈N。则是单射，但不是满射。 • 设：[0， ] [0， 1]，() = sin()，
∈[0, ]。则是 满射，但不是单射。
• 设：N E，N 是自然数集合，E是自 然数中的所有偶数的集合，(n)= 2n，n ∈ N。 则是单射且是满射，所以是双射。
知， • 是A到C的映射，称此映射为映射与
A R3 B
啊哈！R3才是一个 映射呢。
2020/8/6
离散数学3.1.2：若是A到B的映射，且对b∈B,
a∈A, 使得 (a)=b，则称是A到B上的映射，
简称满射。此时每个b∈B 必是A 中至少一个
元素a 的映象，且 (A)=B。糟糕！全被射中了。
• 定义3.1.3：设是A到B的映射，若对a,b∈A,
2020/8/6
离散数学
9
等势有限集合间的单射即满射
• 定理3.1.1 设A，B是两个有限集，且|A|=|B| .于
是， : AB是单射当且仅当是满射。
• 证明：(必要性)设是单射，则 |A|= |(A)| , 因
为|A|=|B| ,所以 |(A)|= |B| ,又因(A) B且B有 限，所以(A) = B，从而是满射。
a≠b,均有 (a)≠ (b)，则称为A到B的单射或入
射。此时| (A)|=|A|， B中每个元素最多是A中
一个元素的映象。
还好，只中了一箭。
• 定义3.1.4：设是A到B的映射，若既是满射
又是单射，则为A到B的双射或1––1映射。 哼！你能射我，我也能射你。
2020/8/6
离散数学
5
满射、单射和双射的例子
离散数学课件
2020/8/6
离散数学
1
§3.1 基本概念
定义3.1.1： 设A，B是两个集合，是A到B的二 元关系，若对A中每个元素a，有唯一的 b∈B， 使得<a,b>∈ ，则称为A到B的映射，记为：
: AB 或 A B
• 所谓从A到B的映射就是A中的每个人都向B中 的人射了一箭，并且都射中了B中的一个人。 既没有人偷懒不射，也没有人一箭双雕。
射，则y∈B ,使得y不是A中任何元素的映象，即y没 有象源。若不是单射，则 x1, x2∈A , x1≠x2且 (x1)= (x2)=y，则y的象源不唯一。不论哪种情况，都 说明的逆关系不是B到A的映射，此与假设矛盾。故 是双射。
• 充分性：设是双射，考虑的逆关系，易知，对于B
中的每个元素y，都对应着A中唯一的一个在下以y 为映象的元素x，因此， 的逆关系是B到A的映射。
离散数学
8
3、：N×NN，N是自然数集 (0∈N)，(<x,y>)=|x2-y2|
解: 取<1,1>,<2,2>∈ N×N
(<1,1>)=|12－12|=0
(<2,2>)=|22－22|=0 故不是单射.
又取2∈N, 因不存在自然数x,y∈N
满足: |x2－y2|=2
故不是满射.
∴ 既不是单射也不是满射.
⑵(满射性) 对任意<u,v>∈R×R,令: (x,y)=<x+y,x-y>= <u,v>,即:
x+y=u
解得: x=(u+v)/2
x-y=v
y=(u-v)/2
显然((u+v)/2, (u-v)/2)∈R×R,且满足 ((u+v)/2, (u-v)/2)= <u,v>,故是满射.总之, 是双射.
2020/8/6
2020/8/6
离散数学
12
双射的逆也是双射
• 显然，若是A到B的双射，则其逆映
射 – 1也是B到A的双射，并且对任意 的x∈A，均有：
– 1((x)) = x .
2020/8/6
离散数学
13
复合映射
• 定义3.2.2：设是A到B的映射， 是B到C的映
射，对任意x∈A, 定义( • )(x) = ((x))，易
2020/8/6
离散数学
6
判断下列映射是否单射，满射和双射。
1、设：N N，N 是自然数集，(n)= 2n， n∈N。 （是变换）
解： 取b=2n+1，b∈N，由的定义知： (n) ≠b，n,b∈N。∴ 不是满射。
任取i，j∈N，且i≠j。若(i)= (j)， 即2i=2j，则i=j，此与i≠j矛盾。∴ (i)≠(j)。 故是单射。综上所述： 是单射但不是满 射。
(充分性)设是满射，则(A) = B，于是， |A|=|B|=|(A)| , 即|A|=| (A)| 。又因A有限，所 以是单射。
2020/8/6
离散数学
10
§3.2 映射的运算
• 逆映射的概念
定义3.2.1 设：AB，定义关系RBA为： R={<y,x> | y∈B , x∈A,且(x)=y}；如果R是B 到A的映射，则称R为的逆映射。记为– 1。
为A的映象集。(全体被射中的人的集合。) 显 然， (A) B 。
• 变换：A到A的映射称为变换。(窝里斗)
2020/8/6
离散数学
3
下列关系是否构成映射？
ae bf cg
A R1 B
嗨！R1可不是映 射喔。有人偷懒 了。
ae
bf
c
g
ae bf cg
A R2 B
嗨！R2也不是映射 喔。有人一箭双雕。
• 这时，B中的人，有的可能身中数箭，有的可 能一箭未中。当然也可能刚好每人中了一箭。
2020/8/6
离散数学
2
几个概念
• 映象：若<a,b>∈ ，则称b为a的映象。 (被射
中的人)
• 象源：若<a,b>∈ ,则a为b的象源,记为 (a)=b。
(射箭的人)
• 映象集： (A)={b∈B|存在a∈A,使 (a)=b} 称