组合数学PPT课件
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《组合数学第一讲》课件
概率的乘法公式
如果事件A和B是独立的，那么P(A∩B) = P(A) × P(B)。
贝叶斯公式
用于计算在已知其他相关概率的情况下，某一事件发生的概率。
概率的应用实例
赌博游戏
概率可以用于计算赌博游戏中各种结果的可能性 。
保险业
保险公司使用概率来计算各种风险的赔付概率和 保费。
天气预报
气象学家使用概率来预测天气的发生可能性，例 如降雨的概率。
在排列中，各个元素的位置是独立的，互不影响。
排列的传递性
如果a>b且b>c，则a>c。
排列的公式与定理
排列数的定义
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有排列的个数，记 为P(n,m)，计算公式为P(n,m)=n*(n-1)*(n-2)*...*(n-m+1)。
排列数的性质
P(n,m)=P(n,n-m)，P(n,m)=m!/[(n-m)!*m!]。
03
CATALOGUE
组合数学中的计数问题
计数原理
01 02
计数原理
在数学中，计数原理是一种基本原理，用于计算在特定条件下可能发生 的事件的数量。它通常用于组合数学中的计数问题，以确定不同排列和 组合的数量。
分类计数原理
分类计数原理是计数原理的一种，它涉及到将问题分解为几个独立的部 分，然后分别计算每个部分的可能性，最后将各部分的计数相加。
THANKS
感谢观看
《组合数学第一 讲》ppt课件
目录
• 组合数学简介 • 组合数学的基本概念 • 组合数学中的计数问题 • 组合数学中的排列问题 • 组合数学中的组合问题 • 组合数学中的概率问题
01
CATALOGUE
组合数学课件-第一章：排列与组合
积分性质
若G(x)是母函数，则它的不定积分∫G(x)dx （其中C为常数）也是母函数。
线性性质
若G1(x)和G2(x)是两个母函数，则它们的 线性组合k1*G1(x)+k2*G2(x)（k1和k2是 常数）也是母函数。
微分性质
若G(x)是母函数，则它的导数G'(x)也是母 函数。
乘积性质
若G1(x)和G2(x)是两个母函数，则它们的 乘积G1(x)*G2(x)也是母函数。
对称性
C(n,m) = C(n,n-m)，即从n个元素中取出m个元 素的组合数与从n个元素中取出n-m个元素的组 合数相等。
递推关系
C(n,m) = C(n-1,m-1) + C(n-1,m)，即当前组合 数等于前一个元素在组合中和不在组合中的两种 情况之和。
边界条件
C(n,0) = C(n,n) = 1，即从n个元素中取出0个或 n个元素的组合数均为1。
典型例题解析
例1
从10个数中任取4个数，求其中最大数为6的组合数。
解析
此问题等价于从6个数（1至6）中取4个数的组合数，即 C(6,4)。
例2
在所有的三位数中，各位数字之和等于10的三位数有 多少个？
解析
此问题可转化为从9个数字（1至9）中取3个数字的组合 数，即C(9,3)，然后考虑三个数字的全排列，即3!，因此 总共有C(9,3) × 3!个符合条件的三位数。
组合与排列的关系
组合数可以看作是从n个元素中取出m个元素进行排 列的种数除以m的阶乘，即C(n，m)=A(n，m)/m!。 因此，在计算组合数时也可以利用排列数和容斥原 理来进行计算。
THANKS
隔板法
将n个相同的元素分成r组的方法数可以用母函数表示为 C(n+r-1,r)，其中C表示组合数。
组合数学课件--第一章第三节组合意义的解释(共27张PPT)
21
：应用举例
码b与码a之间的汉明距离要大于或等于2r+1.
如果存在a与a的距离小于r,那么a与b的距离大于r。 解：先将1到999的整数都看作3位数,例如2就看作是002，这样从000到999。
试求从1到1000的整数中，0出现的次数。 求方程的非负整数的解的个数. 因此不合法的0的个数为 码b与码a之间的汉明距离要大于或等于2r+1. 9 *Stirling公式 35 C(m,0)+C(m,1)+C(m,2)+…+C(m,m)=2m
6
1.6.3 线性方程的整数解的个数问题:
x1+x2+…+xn=b,n和b都是非负整数;
求方程的非负整数的解的个数. 允许重复的组合模型是r个无标志的球放进n个有 区别的盒子的情况:
方程的非负整数的个数与b个无标志的球放进n个 有区别的盒子的情况一一对应.
C(n+b-1,b)
7
1.7 组合的解释
m[C(n,0)+C(n,1)+…+C(n,r)]≤2n
m
2n
C(n,0)C(n,1)...C(n,r)
***
23
1.9 司特林（Stirling公式）
n!~ 2n(n)n
e
2n (n)n
lim n
e 1 n!
***
24
1.9 例题
例：求小于10000的正整数中含有数字1的数的个数。
解：小于10000的正整数是1到9999，如果我们 把不到4位的数前面补零，
{1，2}，{1，3}， {2，3}，
如果允许重复，多了
{1，1}， {2，2}， {3，3}。
组合模型:
：应用举例
码b与码a之间的汉明距离要大于或等于2r+1.
如果存在a与a的距离小于r,那么a与b的距离大于r。 解：先将1到999的整数都看作3位数,例如2就看作是002，这样从000到999。
试求从1到1000的整数中，0出现的次数。 求方程的非负整数的解的个数. 因此不合法的0的个数为 码b与码a之间的汉明距离要大于或等于2r+1. 9 *Stirling公式 35 C(m,0)+C(m,1)+C(m,2)+…+C(m,m)=2m
6
1.6.3 线性方程的整数解的个数问题:
x1+x2+…+xn=b,n和b都是非负整数;
求方程的非负整数的解的个数. 允许重复的组合模型是r个无标志的球放进n个有 区别的盒子的情况:
方程的非负整数的个数与b个无标志的球放进n个 有区别的盒子的情况一一对应.
C(n+b-1,b)
7
1.7 组合的解释
m[C(n,0)+C(n,1)+…+C(n,r)]≤2n
m
2n
C(n,0)C(n,1)...C(n,r)
***
23
1.9 司特林（Stirling公式）
n!~ 2n(n)n
e
2n (n)n
lim n
e 1 n!
***
24
1.9 例题
例：求小于10000的正整数中含有数字1的数的个数。
解：小于10000的正整数是1到9999，如果我们 把不到4位的数前面补零，
{1，2}，{1，3}， {2，3}，
如果允许重复，多了
{1，1}， {2，2}， {3，3}。
组合模型:
组合与组合数公式课件PPT
返回
[易错防范] 1．运用组合数公式转化为关于 m 的一元二次方程后， 易忽略 0≤m≤5 的取值范围，导致错误．解这类题目时， 要将 Cmn 中 m，n 的范围与方程的解综合考虑，切忌盲目求 解． 2．应用组合数性质 Cnm＝Cpn可以得到 m＝p 或 m＋p＝n 两种可能．切忌只考虑到了两者相等的情况，而忽略了 m ＋p＝n 的情况，从而导致错误．
返回
[类题通法] 解答简单的组合问题的思考方法
(1)弄清要做的这件事是什么事； (2)选出的元素是否与顺序有关，也就是看看是不是组合问 题； (3)结合两计数原理利用组合数公式求出结果．
返回
[活学活用] 现有 10 名教师，其中男教师 6 名，女教师 4 名． (1)现要从中选 2 名教师去参加会议，有多少种不同的选法？ (2)选出 2 名男教师或 2 名女教师去外地学习的选法有多少 种？ (3)现要从中选出男、女教师各 2 名去参加会议，有多少种不 同的选法？
为( )
A．14
B．24
C．28
D．48
解析：从 6 人中任选 4 人的选法种数为 C46＝15，其中没有
女生的选法有 1 种，故至少有 1 名女生的选法种数为 15－1
＝14.
答案：A
返回
3．按 ABO 血型系统学说，每个人的血型为 A，B，O，AB 四 种之一，依血型遗传学，当且仅当父母中至少有一人的血型 是 AB 型时，子女一定不是 O 型，若某人的血型为 O 型， 则父母血型所有可能情况有________种． 解析：父母应为 A 或 B 或 O，共有 C13·C13＝9 种情况． 答案：9
返回
[化解疑难] 1．取出的m个元素不讲究顺序，也就是说元素没有 位置的要求，无序性是组合的本质． 2．只要两组合中的元素完全相同，则无论元素的顺 序如何，都是相同的组合.
[易错防范] 1．运用组合数公式转化为关于 m 的一元二次方程后， 易忽略 0≤m≤5 的取值范围，导致错误．解这类题目时， 要将 Cmn 中 m，n 的范围与方程的解综合考虑，切忌盲目求 解． 2．应用组合数性质 Cnm＝Cpn可以得到 m＝p 或 m＋p＝n 两种可能．切忌只考虑到了两者相等的情况，而忽略了 m ＋p＝n 的情况，从而导致错误．
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[类题通法] 解答简单的组合问题的思考方法
(1)弄清要做的这件事是什么事； (2)选出的元素是否与顺序有关，也就是看看是不是组合问 题； (3)结合两计数原理利用组合数公式求出结果．
返回
[活学活用] 现有 10 名教师，其中男教师 6 名，女教师 4 名． (1)现要从中选 2 名教师去参加会议，有多少种不同的选法？ (2)选出 2 名男教师或 2 名女教师去外地学习的选法有多少 种？ (3)现要从中选出男、女教师各 2 名去参加会议，有多少种不 同的选法？
为( )
A．14
B．24
C．28
D．48
解析：从 6 人中任选 4 人的选法种数为 C46＝15，其中没有
女生的选法有 1 种，故至少有 1 名女生的选法种数为 15－1
＝14.
答案：A
返回
3．按 ABO 血型系统学说，每个人的血型为 A，B，O，AB 四 种之一，依血型遗传学，当且仅当父母中至少有一人的血型 是 AB 型时，子女一定不是 O 型，若某人的血型为 O 型， 则父母血型所有可能情况有________种． 解析：父母应为 A 或 B 或 O，共有 C13·C13＝9 种情况． 答案：9
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[化解疑难] 1．取出的m个元素不讲究顺序，也就是说元素没有 位置的要求，无序性是组合的本质． 2．只要两组合中的元素完全相同，则无论元素的顺 序如何，都是相同的组合.
组合数学课件--第一章第二节 允许重复的组合与不相邻的组合
11
一、序数法
怎样建立a(3)a(2)a(1)p(1)p(2)p(3)p(4)
a(3) 确定4的位置,a(2)确定3的位置
a(1)确定2的位置,剩余的位置就是1的位置 例3:021, 3 2 1 4 例3: 201, 2 4 1 3
12
一、序数法
求n个不同的数的全排列，主要有以下两步：
1、求出0到n!-1之间各数对应的序列{an-1, an-2,…, a1} m=an-1(n-1)!+an-2(n-2)!+…a2 * 2!+a1*1! 2、由{an-1, an-2,…, a1}确定排列序列p1p2…pn an-1,确定n的位置， an-2确定n-1的位置， ……………………… a1确定2的位置， 剩下的是1的位置。
9
一、序数法
推论 从0到n!-1的n!个整数与序列{an-1, an-2,…, a1} 一一对应。这里 0a1 1,0 a2 2, …, 0 an-1 n-1 算法: int a[]={0}; int m,n;// 0=<m<=n!-1 int b=m； int index =1; do { a[index]=b%(index+1); b = b/(index+1); index++; } while(b);
14
一、序数法
2、对于0,1,2,…,n!-1共n!个数求序列a[i]
for( i = 0; i < fact; i++ ) { int b=i, index =1; do { a[index]=b%(index+1); b = b/(index+1); index++; } while(b);
一、序数法
怎样建立a(3)a(2)a(1)p(1)p(2)p(3)p(4)
a(3) 确定4的位置,a(2)确定3的位置
a(1)确定2的位置,剩余的位置就是1的位置 例3:021, 3 2 1 4 例3: 201, 2 4 1 3
12
一、序数法
求n个不同的数的全排列，主要有以下两步：
1、求出0到n!-1之间各数对应的序列{an-1, an-2,…, a1} m=an-1(n-1)!+an-2(n-2)!+…a2 * 2!+a1*1! 2、由{an-1, an-2,…, a1}确定排列序列p1p2…pn an-1,确定n的位置， an-2确定n-1的位置， ……………………… a1确定2的位置， 剩下的是1的位置。
9
一、序数法
推论 从0到n!-1的n!个整数与序列{an-1, an-2,…, a1} 一一对应。这里 0a1 1,0 a2 2, …, 0 an-1 n-1 算法: int a[]={0}; int m,n;// 0=<m<=n!-1 int b=m； int index =1; do { a[index]=b%(index+1); b = b/(index+1); index++; } while(b);
14
一、序数法
2、对于0,1,2,…,n!-1共n!个数求序列a[i]
for( i = 0; i < fact; i++ ) { int b=i, index =1; do { a[index]=b%(index+1); b = b/(index+1); index++; } while(b);
《组合与组合数公式》课件
进阶练习题
题目4
在7个不同元素中取出5个 元素有多少种不同的取法 ？
题目5
从8个人中选出3个人来组 成一个小组，其中某个人 必须被选中，有多少种不 同的选法？
题目6
从10个不同的元素中取出 4个元素的组合数是多少？
答案解析
题目1答案
$C_{5}^{3} = frac{5!}{3!2!} = 10$种不同的 选法。
组合数的性质在计算中的应用
利用组合数的性质简化计算
通过组合数的性质，可以将复杂的组合数计算转化为简单的计算，例如利用性质 公式和递推公式简化计算。
解决实际问题
组合数在现实生活中有着广泛的应用，例如在概率论、统计学、计算机科学等领 域中都有涉及。通过掌握组合数的性质，可以更好地解决实际问题。
03
组合数公式的推导
题目2答案
$C_{5}^{3} = frac{5!}{3!2!} = 10$种不同的组 合数。
题目3答案
$C_{4}^{2} = frac{4!}{2!2!} = 6$种不同的取法 。
题目4答案
$C_{7}^{5} = frac{7!}{5!2!} = 21$种不同的取法。
题目5答案
$C_{8}^{3} - C_{7}^{2} = 56 - 21 = 35$种不同 的选法。
组合数的性质
总结词
组合数具有一些重要的性质，包括组合数的 对称性、组合数的递推关系、组合数的性质 等。
详细描述
组合数具有对称性，即C(n, m) = C(n, nm)，这意味着从n个不同元素中取出m个元 素和从n个不同元素中取出n-m个元素的方 式数量是相等的。此外，组合数还具有递推 关系，即C(n, m) = C(n-1, m-1) + C(n-1,
排列组合ppt课件
排列组合基本公式 • 排列组合的应用 • 排列组合的扩展知识 • 练习题与答案解析
01
排列组合基本概念
排列的定义
排列的定义
从n个不同元素中取出m个元素（ m≤n），按照一定的顺序排成一列， 称为从n个不同元素中取出m个元素的 排列。
组合公式推导
根据乘法原理，组合数等 于从n个不同元素中取出m 个元素的排列数除以这m 个元素的全排列数。
组合公式证明
通过数学归纳法证明组合 公式。
排列组合公式的推导与证明
排列组合公式的推导
通过数学归纳法和乘法原理，逐步推导出排列和组合的公式。
排列组合公式的证明
通过数学归纳法和反证法，证明排列和组合公式的正确性。
机器学习
03
在机器学习中，排列组合用于描述样本空间和事件发生的可能
性，例如在朴素贝叶斯分类器中。
在统计学中的应用
概率分布
在统计学中，排列组合用于描述概率分布和随机事件的组合数量 ，例如在二项分布、多项分布等概率分布中。
统计推断
在统计推断中，排列组合用于计算样本数据的可能性和置信区间 ，例如在贝叶斯推断和参数估计中。
从n个不同元素中取出m个元素的所有组合方式。
排列组合在概率论中的应用
总结词
排列组合在概率论中有广泛的应用，它们是概率论中的基本概念之一。
详细描述
在概率论中，排列组合被广泛应用于各种概率模型和随机事件的计算中。例如，在计算随机事件的概率时，可以 使用排列组合来计算样本空间的大小和基本事件的数量。在计算条件概率时，可以使用排列组合来计算条件事件 的基本事件的数量。此外，在概率分布的计算中，排列组合也起着重要的作用。
3
组合的特性
组合无方向性，即顺序不影响组合的唯一性。
01
排列组合基本概念
排列的定义
排列的定义
从n个不同元素中取出m个元素（ m≤n），按照一定的顺序排成一列， 称为从n个不同元素中取出m个元素的 排列。
组合公式推导
根据乘法原理，组合数等 于从n个不同元素中取出m 个元素的排列数除以这m 个元素的全排列数。
组合公式证明
通过数学归纳法证明组合 公式。
排列组合公式的推导与证明
排列组合公式的推导
通过数学归纳法和乘法原理，逐步推导出排列和组合的公式。
排列组合公式的证明
通过数学归纳法和反证法，证明排列和组合公式的正确性。
机器学习
03
在机器学习中，排列组合用于描述样本空间和事件发生的可能
性，例如在朴素贝叶斯分类器中。
在统计学中的应用
概率分布
在统计学中，排列组合用于描述概率分布和随机事件的组合数量 ，例如在二项分布、多项分布等概率分布中。
统计推断
在统计推断中，排列组合用于计算样本数据的可能性和置信区间 ，例如在贝叶斯推断和参数估计中。
从n个不同元素中取出m个元素的所有组合方式。
排列组合在概率论中的应用
总结词
排列组合在概率论中有广泛的应用，它们是概率论中的基本概念之一。
详细描述
在概率论中，排列组合被广泛应用于各种概率模型和随机事件的计算中。例如，在计算随机事件的概率时，可以 使用排列组合来计算样本空间的大小和基本事件的数量。在计算条件概率时，可以使用排列组合来计算条件事件 的基本事件的数量。此外，在概率分布的计算中，排列组合也起着重要的作用。
3
组合的特性
组合无方向性，即顺序不影响组合的唯一性。
组合数学课件--第一章：排列与组合
1.3：排列与组合
1、排列的定义：设A={a1,a2,…,an}是n个不 同的元素的集合，任取A中r个元素按顺序排成一 列，称为从A中取r个的一个排列，r满足0≤r≤n。
(1) (2) (3) (…) (r)
从n个不同的球中取一个球放在第一个盒子中， 从余下的n-1个球中取一个球放在第二个盒子中， ………………………………… 从余下的n-(r-1)个球中取一个放在第r个盒子中。 根据乘法法则： 19 P(n,r)=n(n-1)…(n-r+1)=n!／(n-r)!
p2
2 a2
... pm
2 am
C (2a1 1,1) C (2a2 1,1) ... C (2am 1,1)
34
练习题
1.13、有n个不同的整数，从中取出两组来， 要求第1组的最小数大于另一组的最大数。 设取的第一组数有a个,第二组有b个,
要求第一组数中最小数大于第二组中最大的， 即只要取出一组m个数(设m=a+b),从大到小 取a个作为第一组,剩余的为第二组。 此时方案数为C(n,m)。 从m个数中取第一组数共有m-1中取法。 (m-1)C(n,m)
17
1.2 一一对应 1 2 5 任给一个序列B{b1,b2,b3,…,bn-2} 1、从A找到最小的不属于B的元素,设为a1,与b1连 接，从A中去掉a1，从B中去掉b1. 2、重复以上过程只到B为空，A中剩余两个 3、连接剩余的两个顶点。
*
18
树的顶点集合为12345
3 4
这棵树对应序列（2，3，2）
****
2
(4)哪些最优？
选用教材
组合数学
(第四版) 卢开澄 卢华明 著
清华大学出版社
组合数学ppt课件
组合数学
;.
1
• 排列与组合 • 鸽笼原理 • 容斥原理 • 特殊数列
组合数学
2
• 什么是排列？ • 什么是组合？ • 生成所有排列的方法 • 生成所有组合的方法 • 生成下一个排列的方法 • 生成下一个组合的方法
排列与组合（一）
3
• 多重集的排列数 • 多重集的组合数
排列与组合（二）
4
鸽笼原理的应用（一） • 367个人中，至少有两人在同一天生 • 一个分数为什么总能写成有限小数或无限循环小数 • n个数排成一排，总存在一段和能被n整除的子序列 • 从1到200中任选101个数，总存在两数使得一个数能被另一个数整除
6
鸽笼原理的应用（二） • 将两个碟子各平均划分为200个扇形并进行红蓝二着色，大碟子各着色一半，小碟子
任意着色。证明：总能使大小碟子对齐后颜色重合的数目至少是100。 • n2+1个数排成一排，则或者存在一个长度为n+1的非降序列，或者存在一个长度为n+1
的非升序列。
7
容斥原理 • 问题引入：在1到100中能被2或3整除的数有多少个？ • 容斥原理（一） • 容斥原理（二）
8
容斥原理的应用 • 从0到99999有多少数含有数字2、5和8 • 再论多重集的组合数 • 错位排列问题 • 相对禁止的排列问题
9
• Fibonacci数列 • Lucas数列 • Catalan数列 • 差分序列 • 第二类Stirling数列 • 第一类Stirling数列
特殊数列
10
;.
1
• 排列与组合 • 鸽笼原理 • 容斥原理 • 特殊数列
组合数学
2
• 什么是排列？ • 什么是组合？ • 生成所有排列的方法 • 生成所有组合的方法 • 生成下一个排列的方法 • 生成下一个组合的方法
排列与组合（一）
3
• 多重集的排列数 • 多重集的组合数
排列与组合（二）
4
鸽笼原理的应用（一） • 367个人中，至少有两人在同一天生 • 一个分数为什么总能写成有限小数或无限循环小数 • n个数排成一排，总存在一段和能被n整除的子序列 • 从1到200中任选101个数，总存在两数使得一个数能被另一个数整除
6
鸽笼原理的应用（二） • 将两个碟子各平均划分为200个扇形并进行红蓝二着色，大碟子各着色一半，小碟子
任意着色。证明：总能使大小碟子对齐后颜色重合的数目至少是100。 • n2+1个数排成一排，则或者存在一个长度为n+1的非降序列，或者存在一个长度为n+1
的非升序列。
7
容斥原理 • 问题引入：在1到100中能被2或3整除的数有多少个？ • 容斥原理（一） • 容斥原理（二）
8
容斥原理的应用 • 从0到99999有多少数含有数字2、5和8 • 再论多重集的组合数 • 错位排列问题 • 相对禁止的排列问题
9
• Fibonacci数列 • Lucas数列 • Catalan数列 • 差分序列 • 第二类Stirling数列 • 第一类Stirling数列
特殊数列
10
组合数学第4章[生成排列与组合]PPT教学课件
![组合数学第4章[生成排列与组合]PPT教学课件](https://img.taocdn.com/s3/m/3730f42819e8b8f67d1cb97c.png)
2020/12/10
14
§4.2 生成组合
生成组合
4.2.1 基2算法 若S是n个元素的集合，元素为{xn-1,...,x1,x0}， 则生成组合就是生成S的所有2n个子集。 任一子集可以描述成：
(an-1,...,a1,a0)=an-1...a1a0 其中，ai为1或0，表示xi在或不在子集中。
于是S的全部子集可以用0~2n-1的整数来描 述，只要生成这些整数，也就得到了所有组合。
其中，0表示空集，2n-1表示S本身。
全排列生 成算法
2020/12/10
6
3. 直接生成全排列的算法
全排列生 成算法
[定义]对排列中的每个元素k，赋予其一
个方向：k 或 k 。如果一个整数k的箭头 指向一个与其相邻但比它小的整数，则
称k是活动的。
例如，对于：263154
只有6、3、5是活动的。
2020/12/10
7
显然：
全排列生 成算法
a1+a2+...+an 度量了排列的无序程度。
2020/12/10
11
全排列生
[例]31524的逆序列是1,2,0,1,0。 成算法
[结论]对于逆序列，显然有0≤ak≤n-k。且 任何一个排列都可确定一个逆序列。
[定理]若b1,b2,...,bn是满足0≤bk≤n-k的整数 序列，则存在{1,2,...,n}的唯一的一个排 列，其逆序列为b1,b2,...,bn 。
21
2020/12/10
4
{1,2,3}的排列
全排列生
1 2 3 成算法 2 31 31 2 32 1 13 2 2 13
2020/12/10
5
组合数学Lecture 3PPT课件
• The ways to do either task 1 or 2 are AB, and |AB|=|A|+|B|
• The ways to do both task 1 and 2 can be represented as AB, and |AB|=|A|·|B|
4
Module #15 - Combinatorics
Exercises
• How many two-digit numbers have distinct and non-zero digits?
• How many odd numbers between 1000 and 9999 have distinct digits?
• How many integers between 0 and 10000 have exactly one digit equal to 5?
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Module #15 - Combinatorics
Addition and multiplication
principles
• Let m be the number of ways to do task 1 and n the number of ways to do task 2 (with each number independent of how the other task is done), and assume that no way to do task 1 simultaneously also accomplishes task 2.
• The addition principle: The task “do either task 1 or task 2, but not both” can be done in m+n ways.
• The ways to do both task 1 and 2 can be represented as AB, and |AB|=|A|·|B|
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Module #15 - Combinatorics
Exercises
• How many two-digit numbers have distinct and non-zero digits?
• How many odd numbers between 1000 and 9999 have distinct digits?
• How many integers between 0 and 10000 have exactly one digit equal to 5?
2
Module #15 - Combinatorics
Addition and multiplication
principles
• Let m be the number of ways to do task 1 and n the number of ways to do task 2 (with each number independent of how the other task is done), and assume that no way to do task 1 simultaneously also accomplishes task 2.
• The addition principle: The task “do either task 1 or task 2, but not both” can be done in m+n ways.
高中组合问题ppt课件
统计学中的组合问题
概率论中的组合问题
在概率论中，组合问题涉及到随机事件的排列和组合。例如，在概率计算中，事件的排列数和组合数 对于计算概率至关重要。
统计学中的组合问题
在统计学中，组合问题常常出现在样本设计和数据分析中。例如，在分层抽样中，需要计算每一层中 应抽取的样本数，这涉及到组合计数的问题。
物理学中的组合问题
组合数学的应用领域
总结词
组合数学在多个领域都有广泛的应用。
详细描述
组合数学在计算机科学、统计学、运筹学、信息理论等领域都有重要的应用。 例如，在计算机科学中，组合数学可用于设计和分析算法，解决诸如搜索、排 序和数据结构等问题。
学习组合数学的意义
总结词
学习组合数学有助于培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
组合恒等式问题
总结词
组合恒等式问题是组合问题中的一类重要问题，主要研究组 合数之间的相互关系和性质。
详细描述
组合恒等式问题涉及到组合数的基本性质和恒等式，如二项 式定理、组合恒等式等，以及这些性质和恒等式的应用。
组合计数问题
总结词
组合计数问题是组合问题中的一类常 见问题，主要研究从n个不同元素中 取出m个元素的不同的取法。
组合数公式
C(n, m) = n! / [m!(n-m)!]
组合问题与排列问题的区别
排列问题考虑取出元素的顺序，而组合问题不考虑取出元素的顺序 。
组合问题的分类
简单组合问题
有序组合问题
从n个不同元素中取出m个元素，不考虑其 他限制条件。
在取出元素后，需要考虑元素的顺序，如 从4个字母中取出2个字母组成一个单词， 需要考虑单词的拼写顺序。
05
组合问题的求解技巧
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解：设S是符合条件数的集合，S1、S2分别是符合条件的
奇数、偶数集合，显然，S1∩S2=Φ ，根据加法法则有
|S | |S 1 | |S 2 | 5 4 9
例3、小于20可被2或3整除的自然 数有多少个？
.
10
§1.1 加法§1法.1 乘则法和法乘则 法法则
1.1.2 乘法法则
乘法法则
相互独立的事件 A、B 分别有 k 和 l 种方法产生，则选取A以后 再选取B 的方法数为 k×l 种。
解：设S是所有这些奖品的集合，Si是第i类奖品的集合
(i=1,2,3)，显然，Si∩Sj=Φ (i≠j) ，根据加法法则有
3
U |S | S i |S 1| |S 2| |S 3|3429
i 1
.
9
§1.1 加§法1.1法加法则法和则乘例2法、3法则
1.1.1 加法法则
例题
例2、大于0小于10的奇偶数 有多少个？
m
m
S Si Si
i1
i1
。
.
11
§1.1 乘法法则例4
§1.1 加法法则和乘法法则
1.1.2 乘法法则
例题
例4、从A 地到B地有二条不同的道 路，从B地到C地有四条不同的道路， 而从C地到D地有三条不同的道路。 求从A地经B、C两地到达D地的道路 数。
解：设S是所求的道路数集合，S1、S2、S3分别是从A到 B、从B到C、从C到D的道路集合，根据乘法法则有
集合论定义
若|A|=k，|B|=l ，且A∩B=Φ ， 则|A∪B| = k+l 。
m
U 设S是有限集合，若 Si S, S Si，且 i j
m
im1
U 时， Si ISj ，则有 S Si Si 。
i1
i1
.
8
§1.1 加法§1法.1 加则法和法则乘例法1 法则
1.1.1 加法法则
例题
例1、有一所学校给一名物理竞赛优胜 者发奖，奖品有三类，第一类是三种 不同版本的法汉词典；第二类是四种 不同类型的物理参考书；第三类是二 种不同的奖杯。这位优胜者只能挑选 一样奖品。那么，这位优胜者挑选奖 品的方法有多少种？
2.1 鸽笼原理 2.2 鸽笼原理的推广 2.3 Ramsey定理 本章小结
习题
第3章 容斥原理
3.1 容斥原理
3.23.4 有限制排列
3.5* 一般有限制排列
3.6* 广义容斥原理
本章小结
习题
第4章 母函数
4.1 母函数的基本概念
4.2 母函数的基本运算
4.3 在排列组合中的应用
相关课程 《数学分析》《高等代数》《离散数学》
使用教材
书名：组合数学（第三版） 作者：孙淑玲 出版社：中国科学技术大学出版社
.
2
目录（1）
目录
引言
第1章 排列与组合
1.1 加法法则和乘法法则
1.2 排列
1.3 组合
1.4 二项式定理
1.5 组合恒等式及其含义
1.6 模型转换
本章小结
习题
第2章 鸽笼原理
注：加*的章节一般性了解
.
4
引言
发展历史
• 古老 • 年轻
涵盖内容
学习目的
学习方法
• 存在性问题 • 计数和枚举 • 优化问题 • 构造性问题
• • 科学的组织 练习 • • 科学的推理 思考总结
• 笔记
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5
组合数学研究的中心问题是按照一定的规 则来安排有限多个对象
• 如果人们想把有限多个对象按照它们所应满足的条 件来进行安排，当符合要求的安排并非显然存在或显 然不存在时，首要的问题就是要证明或者否定它的存 在。这就是存在性问题。如果所要求的安排存在，则 可能有多种不同的安排，这又经常给人们提出这样的 问题：有多少种可能的安排方案？如何对安排的方案 进行分类？这就是计数问题。如果一个组合问题有解 ，则往往需要给出求其某一特定解的算法，这就是所 谓的构造性问题。如果算法很多，就需要在一定的条 件下找出一个或者几个最优或近乎最优的安排方案， 这就是优化问题。
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6
第1章 排列与组合
本章重点介绍以下的基本计数方法：
• 加法法则和乘法法则 • 排列 • 组合 • 二项式定理的应用 • 组合恒等式
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7
§1.1 加§1法.1 加法法则法则和乘法法则
1.1.1 加法法则
加法法则
相互独立的事件 A、B 分别有 k 和 l 种方法产生，则产生 A 或 B 的方 法数为 k+l 种。
4.4 整数的拆分
4.5 Ferrers图
.
3
目录（2）
4.6* 在组合恒等式中的应用 本章小结 习题
第5章 递推关系
5.1 递推关系的建立 5.2 常系数线性齐次递推关系 5.3 常系数线性非齐次递推关系 5.4 迭代法与归纳法 5.5 母函数在递推关系中的应用 5.6* 典型的递推关系 本章小结 习题
组合数学课件
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1
课程简介
本课程针对计算机科学中的一个重要学科——组合数学， 组合数学是数学的一个分支，它研究事物在结定模式下的配 置，研究这种配置的存在性，所有可能配置的计数和分类以 及配置的各种性质。组合数学在计算机科学中有着极其广泛 的应用。
组合学问题求解方法层出不穷、干变万化，应以理解为 基础，善于总结各种技巧，掌握科学的组织和推理方法。
| S | | S 1 | | S 2 | | S 3 | 2 4 3 2 4
.
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§1.1 乘法法则例5
§1.1 加法法则和乘法法则
1.1.2 乘法法则 例5、由数字1,2,3,4,5可以构成多少个
所有数字互不相同的四位偶数？ 例题
解：所求的是四位偶数，故个位只能选2或4，有两种选 择方法；又由于要求四位数字互不相同，故个位选中后， 十位只有四种选择方法；同理，百位、千位分别有三种、 两种选择方法，根据乘法法则，四位数互不相同的偶数 个数为
集合论定义
若|A|=k，|B|=l ，A×B={(a,b)|a∈A， b∈B}，则|A×B| = k×l 。
m
设 Si(i1,2,...,m )是有限集合，且 S S i
i1
{ ( a 1 , a 2 , . . . , a m ) |a i S i , i 1 , 2 , . . . , m } ，则有
第6章 Pólya定理
6.1 群的概念 6.2 置换群 6.3 循环、奇循环与偶循环
6.4 Burnside引理 6.5 Pólya定理 6.6 Pólya定理的应用 6.7 母函数形式的Pólya定理 6.8* 图的计数 6.9* Pólya定理的若干推广 本章小结 习题
********************** 课程总结