离散数学北京邮电大学ppt课件
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北京邮电大学 计算机学院 离散数学 3.2-Growth of Functions
problems. Ignore implementation details such as loop counter
incrementation, etc. We can straight-line any loop.
2021/6/13
精选2021版课件
2
Orders of Growth (§3.2)
Discrete Mathematical Structures
Growth of Functions(函数增长)
Yang Juan
yangjuan@
College of Computer Science & Technology Beijing University of Posts & Telecommunications
Suppose database program A takes fA(n)=30n+8 microseconds to process any n records, while program B takes fB(n)=n2+1 microseconds to process the n records.
精选2021版课件
6
The Big-O Notation
Definition: Let f and g be functions from N or R
to R. Then g asymptotically dominates(渐进地支 配) f, denoted f is O(g) or 'f is big-O of g, iff
Value of function
fA(n)=30n+8 fB(n)=n2+1 Increasing n
incrementation, etc. We can straight-line any loop.
2021/6/13
精选2021版课件
2
Orders of Growth (§3.2)
Discrete Mathematical Structures
Growth of Functions(函数增长)
Yang Juan
yangjuan@
College of Computer Science & Technology Beijing University of Posts & Telecommunications
Suppose database program A takes fA(n)=30n+8 microseconds to process any n records, while program B takes fB(n)=n2+1 microseconds to process the n records.
精选2021版课件
6
The Big-O Notation
Definition: Let f and g be functions from N or R
to R. Then g asymptotically dominates(渐进地支 配) f, denoted f is O(g) or 'f is big-O of g, iff
Value of function
fA(n)=30n+8 fB(n)=n2+1 Increasing n
北京邮电大学计算机学院 离散数学 11.2-trees
5
Coin-Weighing Problem
Imagine you have 8 coins, one of which is a lighter counterfeit, and a free-beam balance.
No scale of weight markings is required for this problem!
2015-2-5
College of Computer Science & Technology, BUPT
4
Decision Trees
A decision tree represents a decision-making process.
Each possible “decision point” or situation is represented by a node. Each possible choice that could be made at that decision point is represented by an edge to a child node.
9
2015-2-5
General Balance Strategy
On each step, put n/3 of the n coins to be searched on each side of the scale.
If the scale tips to the left, then:
You can prove that this strategy always leads to a balanced 3-ary tree.
2015-2-5
《离散数学课件资料》PPT课件
（2）因为两个权对应的顶点所放左右位置不同。
（3）画出的最优树可能不同，最佳前缀码并不唯一，
但有一点是共同的，就是它们的权相等，即它们都应
该03是.02.2最021优树。
28
五、树的遍历
遍历：对一棵根树的每个顶点访问且仅访问一次称为遍
历一棵树。
对2元有序正则树的遍历方式： ① 中序遍历法：访问次序为：左子树、树根、右子树 ② 先序遍历法：访问次序为：树根、左子树、右子树 ③ 后序遍历法：访问次序为：左子树、右子树、树根
树枝：生成树TG的边。 弦：G中不在TG中的边。 生成树的余树(补)：TG的所有弦的集合的导出 子图。余树不一定是树,也不一定连通。
03.02.2021
7
二、生成树
a
a
a
d
e b
图G
d
e
e
cb
cb
c
生成树TG
生成树TG的补
无向连通图如果本身不是树，它的生成树是不唯一的， 但所有连通图都具有生成树。
（本书树根为第0层。）
03.02.2021
14
一、有向树
根树可看成是家族树： (1) 若从a到b可达，则称a是b的祖先， b是a的后代； (2) 若<a , b >是根树中的有向边，则称a是b的父亲，
b是a的儿子； (3) 若b、c同为a的儿子，则称b、c为兄弟。
根子树：根树T 中，任一不为树根的顶点v及其所有 后代导出的子图, 称为T 的以v为根的子树。
二元前缀码:若i (i=1,2,…,m)中只出现0与1两个符号， 则称B为二元前缀码。
03.02.2021
24
四、最佳前缀码
例：判断下列符号串集合是否是前缀码。 {1，11，101，0010} {1，01，001，000} {00，11，011，0100，0101} {0，10，110，1111}
离散数学北京邮电大学
– Analysis using order-ofgrowth notation.
• §3.5: Primes and Greatest Common Divisors • §3.6: Integers & Algorithms
– Alternate bases, algorithms for basic arithmetic
Algorithm Characteristics
Some important general features of algorithms: • Input. Information or data that comes in. • Output. Information or data that goes out. • Definiteness. Algorithm is precisely defined. • Correctness. Outputs correctly relate to inputs. • Finiteness. Won‟t take forever to describe or run. • Effectiveness. Individual steps are all do-able. • Generality. Works for many possible inputs. • Efficiency. Takes little time & memory to run.
– Example assignment statement: v := 3x+7 (If x is 2, changes v to 13.)
• In pseudocode (but not real code), the expression might be informally stated:
• §3.5: Primes and Greatest Common Divisors • §3.6: Integers & Algorithms
– Alternate bases, algorithms for basic arithmetic
Algorithm Characteristics
Some important general features of algorithms: • Input. Information or data that comes in. • Output. Information or data that goes out. • Definiteness. Algorithm is precisely defined. • Correctness. Outputs correctly relate to inputs. • Finiteness. Won‟t take forever to describe or run. • Effectiveness. Individual steps are all do-able. • Generality. Works for many possible inputs. • Efficiency. Takes little time & memory to run.
– Example assignment statement: v := 3x+7 (If x is 2, changes v to 13.)
• In pseudocode (but not real code), the expression might be informally stated:
离散数学的ppt课件
科学中的许多问题。
03
例如，利用图论中的最短路径算法和最小生成树算法
等，可以优化网络通信和数据存储等问题。
运筹学中的应用
01
运筹学是一门应用数学学科， 主要研究如何在有限资源下做 出最优决策，离散数学在运筹 学中有着广泛的应用。
02
利用离散数学中的线性规划、 整数规划和非线性规划等理论 ，可以解决运筹学中的许多问 题。
并集是将两个集合中的所有元素合 并在一起，形成一个新的集合。
详细描述
例如，{1, 2, 3}和{2, 3, 4}的并集是 {1, 2, 3, 4}。
总结词
补集是取一个集合中除了某个子集 以外的所有元素组成的集合。
详细描述
例如，对于集合{1, 2, 3}，{1, 2}的 补集是{3}。
集合的基数
总结词
）的数学分支。
离散数学的学科特点
03
离散数学主要研究对象的结构、性质和关系，强调推
理和证明的方法。
离散数学的应用领域
计算机科学
01
离散数学是计重要的工具和方法。
通信工程
02
离散数学在通信工程中广泛应用于编码理论、密码学、信道容
量估计等领域。
集合的基数是指集合中元素的数量。
详细描述
例如，集合{1, 2, 3}的基数是3，即它包含三个元素。
03 图论
图的基本概念
顶点
图中的点称为顶点或节点。
边
连接两个顶点的线段称为边。
无向图
边没有方向，即连接两个顶点的线段可以是双向 的。
有向图
边有方向，即连接两个顶点的线段只能是从一个顶 点指向另一个顶点。
研究模态算子（如necessity、possibility）的语义和语法。
演示课件北大离散数学07.ppt
r( R ) = RIA.
.精品课件.
31
定理23
定理23: 设 RAA 且 A, 则 s( R ) = RR-1;
证明: (1) R RR-1; (2) (RR-1)-1=RR-1 RR-1对称
s( R )RR-1; (3) Rs( R ) s( R )对称 Rs( R ) R-1s( R ) RR-1s( R )
s( R1R2) = s( R1 )s( R2 )
.精品课件.
27
定理21(证明(3))
(3) t( R1R2) t( R1 )t( R2 ). 证明(3): 利用定理20,
t(R1R2)t(R1)t(R2). 反例: t(R1R2)t(R1)t(R2) . #
a
b
G(R1)= G(t(R1))
.精品课件.
18
关系的闭包
自反闭包r( R ) 对称闭包s( R ) 传递闭包t( R ) 闭包的性质, 求法, 相互关系
.精品课件.
19
什么是闭包
闭包(closure): 包含一些给定对象, 具有 指定性质的最小集合
“最小”: 任何包含同样对象, 具有同样 性质的集合, 都包含这个闭包化简
方法: 利用定理16, 定理18. 例6: 设 RAA, 化简R100的指数. 已知
(1) R7 = R15; (2) R3 = R5; (3) R1 = R3. 解: (1) R100=R7+118+5=R7+5=R12{R0,R1,…,R14}; (2) R100=R3+482+1=R3+1=R4{R0,R1,…,R4}; (3) R100=R1+492+1=R1+1=R2{R0,R1,R2}. #
.精品课件.
31
定理23
定理23: 设 RAA 且 A, 则 s( R ) = RR-1;
证明: (1) R RR-1; (2) (RR-1)-1=RR-1 RR-1对称
s( R )RR-1; (3) Rs( R ) s( R )对称 Rs( R ) R-1s( R ) RR-1s( R )
s( R1R2) = s( R1 )s( R2 )
.精品课件.
27
定理21(证明(3))
(3) t( R1R2) t( R1 )t( R2 ). 证明(3): 利用定理20,
t(R1R2)t(R1)t(R2). 反例: t(R1R2)t(R1)t(R2) . #
a
b
G(R1)= G(t(R1))
.精品课件.
18
关系的闭包
自反闭包r( R ) 对称闭包s( R ) 传递闭包t( R ) 闭包的性质, 求法, 相互关系
.精品课件.
19
什么是闭包
闭包(closure): 包含一些给定对象, 具有 指定性质的最小集合
“最小”: 任何包含同样对象, 具有同样 性质的集合, 都包含这个闭包化简
方法: 利用定理16, 定理18. 例6: 设 RAA, 化简R100的指数. 已知
(1) R7 = R15; (2) R3 = R5; (3) R1 = R3. 解: (1) R100=R7+118+5=R7+5=R12{R0,R1,…,R14}; (2) R100=R3+482+1=R3+1=R4{R0,R1,…,R4}; (3) R100=R1+492+1=R1+1=R2{R0,R1,R2}. #
《离散数学课件图论》PPT课件
，m3n6为真. 否则G中含圈，每个面至少由l（l3）条边围成
，又
l 1 2
l 2 l 2
在l=3达到最大值，由定理17.11可知m3n6.
定理17.13 设G为n（n3）阶m条边的极大平面图，则m=3n6. 证明：由定理17.4, 欧拉公式及定理17.7所证。
定理17.14 设G 为简单平面图，则 (G)5. 证明： 阶数 n6，结论为真。 当n7 时，用反证法。否则会 推出2m6n m3n，这与定理17.12矛盾.
如上面的例子。
18
精选PPT
平面图与对偶图之间的关系
定理17.17 设G*是连通平面图G的对偶图，n*, m*, r*和n, m, r分别为G*和G的顶点数、边数和面数，则 (1) n*= r (2) m*=m (3) r*=n (4) 设G*的顶点v*i位于G的面Ri中，则d(v*i)=deg(Ri) 证明： (1)、(2)平凡 (3) 应用欧拉公式 (4) 的证明中注意，桥只能在某个面的边界中，非桥边在两
20
精选PPT
自对偶图
定义：设G*是平面图G的对偶图，若G*G，则称G为自 对偶图. 概念： n阶轮图（ Wn ）、奇阶轮图、偶阶轮图 轮图都是自对偶图。 画出W6和W7的对偶图，并说明它们都是自对偶图。
21
精选PPT
第十七章 小结
❖ 主要内容 ▪ 平面图的基本概念 ▪ 欧拉公式 ▪ 平面图的判断 ▪ 平面图的对偶图
22
精选PPT
练习1
1. 设G是连通的简单的平面图，面数r<12，(G)3. (1) 证明G中存在次数4的面 (2) 举例说明当r=12时，(1) 中结论不真.
解 设G的阶数、边数、面数分别为n, m, r.
北大离散数学ppt课件
2020/6/2
《集合论与图论》第5讲
35
特殊关系(续)
设A为任意集合, 则可以定义P(A)上的: 包含关系:
A = { <x,y> | xA yA xy } 真包含关系:
A = { <x,y> | xA yA xy }
2020/6/2
第5讲 二元关系的基本概念 北京大学
内容提要 1. 有序对与卡氏积 2. 二元关系 3. 二元关系的基本运算
2020/6/2
《集合论与图论》第5讲
1
有序对与卡氏积
有序对(有序二元组) 有序三元组, 有序n元组 卡氏积 卡氏积性质
2020/6/2
《集合论与图论》第5讲
2
有序对(ordered pair)
D
A
A
C
BC
B
A(BC) = (AB)(AC) ACBDABCD
2020/6/2
《集合论与图论》第5讲
16
例题1(证明(2))
(2) 若A, 则ABAC BC. 证明: () 若 B=, 则 BC.
设 B, 由A, 设xA. y, yB<x,y>AB
<x,y>AC xAyC yC. BC
2020/6/2
2020/6/2
《集合论与图论》第5讲
14
例题1
例题1: 设A,B,C,D是任意集合, (1) AB= A= B= (2) 若A, 则 ABAC BC. (3) AC BD ABCD,
并且当(A=B=)(AB)时, ABCD ACBD.
2020/6/2
《集合论与图论》第5讲
15
卡氏积图示
2m2
2020/6/2
离散数学 第十讲
2006419北京邮电大学电子工程学院32例51自动售货机模型集合上关于某一运算不封闭的实例冰淇淋可口可乐二角五分硬币可口可乐桔子水一角硬币二角五分硬币一角硬币定义51对于集合a一个从an到b的映射称为集合a上的一个n元运算
4.5 等价关系和偏序关系
4.5.1 等价关系 定义4.19 设R为非空集合A上的关系，若R是自反的， 对称的和传递的，则称R为A上的等价关系，即：xRy， 记为x ~y。
{a,b}
{a}
{b}
Φ
（1）若B={{a}, ∅}，则 （2）若B={{a},{b}}，则B
{a}是B的最大元， ∅是 没有最大元和最小元，因为
B的最小元。
{a}和{b}是不可比较的。
2006-4-19
北京邮电大学电子工程学院
24
定义4.27 设<A, ≤>为偏序集，在A的一个子集中，若 每两个元素都是有关系的，则称这个子集为链； 在A 的一个子集B中，若每两个元素都是无关的，则称这 个子集为反链。
⎥
⎢0 0 1 0⎥
⎢
⎥
⎢⎣0 0 0 1⎥⎦
3
6
偏序关系：自反性、反对称性、传递性
2006-4-19
北京邮电大学电子工程学院
15
为了更清楚地描述集合中元素的层次关系，这里先 介绍“盖住”的概念：
定义4.24 在偏序集<A, ≤>中，若x,y∈A，x≤y，x≠y且 没有其它元素z满足x≤z， z≤y，则称元素y盖住元素x， 记为：
综上所述，A上的等价关系R与A上的一个划分1-1对 应。
事实上，例4.22和4.23告诉我们如何利用已知
的等价关系确定划分；至于如何根据已知的划分确
定等价关系，见P97例4.15 。
4.5 等价关系和偏序关系
4.5.1 等价关系 定义4.19 设R为非空集合A上的关系，若R是自反的， 对称的和传递的，则称R为A上的等价关系，即：xRy， 记为x ~y。
{a,b}
{a}
{b}
Φ
（1）若B={{a}, ∅}，则 （2）若B={{a},{b}}，则B
{a}是B的最大元， ∅是 没有最大元和最小元，因为
B的最小元。
{a}和{b}是不可比较的。
2006-4-19
北京邮电大学电子工程学院
24
定义4.27 设<A, ≤>为偏序集，在A的一个子集中，若 每两个元素都是有关系的，则称这个子集为链； 在A 的一个子集B中，若每两个元素都是无关的，则称这 个子集为反链。
⎥
⎢0 0 1 0⎥
⎢
⎥
⎢⎣0 0 0 1⎥⎦
3
6
偏序关系：自反性、反对称性、传递性
2006-4-19
北京邮电大学电子工程学院
15
为了更清楚地描述集合中元素的层次关系，这里先 介绍“盖住”的概念：
定义4.24 在偏序集<A, ≤>中，若x,y∈A，x≤y，x≠y且 没有其它元素z满足x≤z， z≤y，则称元素y盖住元素x， 记为：
综上所述，A上的等价关系R与A上的一个划分1-1对 应。
事实上，例4.22和4.23告诉我们如何利用已知
的等价关系确定划分；至于如何根据已知的划分确
定等价关系，见P97例4.15 。
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- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
person whose job was to execute
algorithms!
.
Executing the Max algorithm
• Let {ai}=7,12,3,15,8. Find its maximum…
• Set v = a1 = 7. • Look at next element: a2 = 12. • Is a2>v? Yes, so change v to 12. • Look at next element: a2 = 3. • Is 3>12? No, leave v alone…. • Is 15>12? Yes, v=15…
– Some basic linear algebra.
.
§3.1: Algorithms
• The foundation of computer programming. • Most generally, an algorithm just means a
definite procedure for performing some sort of task. • A computer program is simply a description of an algorithm, in a language precise enough for a computer to understand, requiring only operations that the computer already knows how to do. • We say that a program implements (or “is an implementation of”) its. algorithm.
language!
.
Algorithm Example (English)
• Task: Given a sequence {ai}=a1,…,an, aiN, say what its largest element is.
• One algorithm for doing this, in English:
are no more elements in the sequence, & return v.
.
Executing an Algorithm
• When you start up a piece of software, we say the program or its algorithm are being run or executed by the computer.
.
Algorithm Characteristics
Some important general features of algorithms: • Input. Information or data that comes in. • Output. Information or data that goes out. • Definiteness. Algorithm is precisely defined. • Correctness. Outputs correctly relate to
• §3.3: Complexity of algorithms
– Analysis using order-ofgrowth notation.
• §3.4: The Integers & Division
– Some basic number theory.
• §3.5: Primes and Greatest Common Divisors
• §3.6: Integers & Algorithms
– Alternate bases, algorithms for basic arithmetic
• §3.7: Applications of Number theory
– Public-Key Cryptography
• §3.8: Matrices
Algorithms
Rosen 6th ed., §3.1
Abu al-Khowarizmi (ca. 780-850)
.
Chapter 3: More Fundamentals
• §3.1: Algorithms
– Formal procedures
• §3.2: Growth of Functions
– Assembly languages, for low-level coding.
• In this class we will use an informal, Pascal-like “pseudo-code” language.
• You should know at least 1 real
• Given a description of an algorithm, you can also execute it by hand, by working through all of its steps with pencil & paper.
• BeforSet the value of a temporary variable v (largest element seen so far) to a1’s value.
– Look at the next element ai in the sequence.
– If ai>v, then re-assign v to the number ai. – Repeat then previous 2 steps until there
Programming Languages
• Some common programming languages:
– Newer: Java, C, C++, C#, Visual Basic, JavaScript, Perl, Tcl, Pascal, many others…
– Older: Fortran, Cobol, Lisp, Basic