相似三角形复习1(教育材料)

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相似三角形及其性质

一、课堂讲解

知识点1、三角对应相等,三边对应成比例的三角形叫相似三角形。 如△ABC 与△A /B /C /相似,记作: △ABC ∽△A /B /C / 。 相似三角形的比叫相似比

相似三角形的定义既是相似三角形的性质,也是三角形相似的判定方法。 注意:(1)相似比是有顺序的。

(2)对应性,两个三角形相似时,通常把对应顶点写在对应位置,这

样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边。

(3)顺序性:相似三角形的相似比是有顺序的,若△ABC ∽△A /B /C /,

相似比为k ,则△A /B /C /与△ABC 的相似比是1

k

知识点2、相似三角形与全等三角形的关系

(1)两个全等的三角形是相似比为1的相似三角形。

(2)两个等边三角形一定相似,两个等腰三角形不一定相似。

(3)二者的区别在于全等要对应边相等,而相似要求对应边成比例。

知识点3、平行线分线段成比例定理

1. 比例线段的有关概念: 在比例式

::中,、叫外项,、叫内项,、叫前项,a b c

d

a b c d a d b c a c ==() b 、d 叫后项,d 叫第四比例项,如果b=c ,那么b 叫做a 、d 的比例中项。

把线段AB 分成两条线段AC 和BC ,使AC 2

=AB ·BC ,叫做把线段AB 黄金分割,C 叫做线段AB 的黄金分割点。 2. 比例性质: ①基本性质:

a b c d ad bc =⇔= ②合比性质:±±a b c d a b b c d

d

=⇒=

③等比性质:

……≠……a b c d m n b d n a c m b d n a b

===+++⇒++++++=()0 3. 平行线分线段成比例定理

(1)平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.

已知l1∥l2∥l3,

A D l1

B E l2

C F l3

可得EF BC DE AB DF EF AC BC DF EF AB BC DF DE AC AB EF DE BC AB =

====或或或或等.

(2)推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例. A

D E

B C

由DE ∥BC 可得:

AC AE

AB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或.此推论较原定理应用更加广泛,条件是平行.

(3)推论的逆定理:如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.

此定理给出了一种证明两直线平行方法,即:利用比例式证平行线.

(4)定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例.

知识点4:相似三角形的性质

①相似三角形的对应角相等 ②相似三角形的对应边成比例

③相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比 ④相似三角形周长的比等于相似比

⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方

知识点5:相似三角形的周长和面积

(1)相似三角形的对应高相等,对应边的比相等。

(2)相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比等于相似比。 (3)相似三角形的周长比等于相似比; (4)相似三角形的面积比等于相似比的平方

三、课堂演练

考点一:平行线分线段成比例

1、如图,已知直线a ∥b ∥c ,直线m 、n 与a 、b 、c 分别交于点A 、C 、E 、B 、D 、F ,AC = 4,CE = 6,BD = 3,则BF =( )

A. 7 B. 7.5 C. 8 D. 8.5

2、如图,已知△ABC,AB=AC=1,∠A=36°,∠ABC的平分线BD交AC于点D,则AD

的长是

3、如图所示:△ABC中,DE∥BC,AD=5,BD=10,AE=3,则CE的值为()

A.9 B.6 C.3 D.4

E

C

D

B

A

4.如图,点F是□ABCD的边CD上一点,直线BF交AD的延长线于点E,则下列结论错.误.的是()

A.

ED DF

EA AB

=B.

DE EF

BC FB

=C.

BC BF

DE BE

=D.

BF BC

BE AE

=

5.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD平分∠ABC交AC于点D,若AC=2,则

AD的长是()

A.

51

2

B.

51

2

C51D51

a

b

c

A B

C D

E F

m n

G

E

D

C

F

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