相似三角形复习1(教育材料)
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相似三角形及其性质
一、课堂讲解
知识点1、三角对应相等,三边对应成比例的三角形叫相似三角形。 如△ABC 与△A /B /C /相似,记作: △ABC ∽△A /B /C / 。 相似三角形的比叫相似比
相似三角形的定义既是相似三角形的性质,也是三角形相似的判定方法。 注意:(1)相似比是有顺序的。
(2)对应性,两个三角形相似时,通常把对应顶点写在对应位置,这
样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边。
(3)顺序性:相似三角形的相似比是有顺序的,若△ABC ∽△A /B /C /,
相似比为k ,则△A /B /C /与△ABC 的相似比是1
k
知识点2、相似三角形与全等三角形的关系
(1)两个全等的三角形是相似比为1的相似三角形。
(2)两个等边三角形一定相似,两个等腰三角形不一定相似。
(3)二者的区别在于全等要对应边相等,而相似要求对应边成比例。
知识点3、平行线分线段成比例定理
1. 比例线段的有关概念: 在比例式
::中,、叫外项,、叫内项,、叫前项,a b c
d
a b c d a d b c a c ==() b 、d 叫后项,d 叫第四比例项,如果b=c ,那么b 叫做a 、d 的比例中项。
把线段AB 分成两条线段AC 和BC ,使AC 2
=AB ·BC ,叫做把线段AB 黄金分割,C 叫做线段AB 的黄金分割点。 2. 比例性质: ①基本性质:
a b c d ad bc =⇔= ②合比性质:±±a b c d a b b c d
d
=⇒=
③等比性质:
……≠……a b c d m n b d n a c m b d n a b
===+++⇒++++++=()0 3. 平行线分线段成比例定理
(1)平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.
已知l1∥l2∥l3,
A D l1
B E l2
C F l3
可得EF BC DE AB DF EF AC BC DF EF AB BC DF DE AC AB EF DE BC AB =
====或或或或等.
(2)推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例. A
D E
B C
由DE ∥BC 可得:
AC AE
AB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或.此推论较原定理应用更加广泛,条件是平行.
(3)推论的逆定理:如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.
此定理给出了一种证明两直线平行方法,即:利用比例式证平行线.
(4)定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例.
知识点4:相似三角形的性质
①相似三角形的对应角相等 ②相似三角形的对应边成比例
③相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比 ④相似三角形周长的比等于相似比
⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方
知识点5:相似三角形的周长和面积
(1)相似三角形的对应高相等,对应边的比相等。
(2)相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比等于相似比。 (3)相似三角形的周长比等于相似比; (4)相似三角形的面积比等于相似比的平方
三、课堂演练
考点一:平行线分线段成比例
1、如图,已知直线a ∥b ∥c ,直线m 、n 与a 、b 、c 分别交于点A 、C 、E 、B 、D 、F ,AC = 4,CE = 6,BD = 3,则BF =( )
A. 7 B. 7.5 C. 8 D. 8.5
2、如图,已知△ABC,AB=AC=1,∠A=36°,∠ABC的平分线BD交AC于点D,则AD
的长是
3、如图所示:△ABC中,DE∥BC,AD=5,BD=10,AE=3,则CE的值为()
A.9 B.6 C.3 D.4
E
C
D
B
A
4.如图,点F是□ABCD的边CD上一点,直线BF交AD的延长线于点E,则下列结论错.误.的是()
A.
ED DF
EA AB
=B.
DE EF
BC FB
=C.
BC BF
DE BE
=D.
BF BC
BE AE
=
5.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD平分∠ABC交AC于点D,若AC=2,则
AD的长是()
A.
51
2
B.
51
2
C51D51
a
b
c
A B
C D
E F
m n
G
E
D
C
F