求数列前N项和的方法

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求数列前n项和的几种方法

方法
解读
适合题型
分组求和法
把一个数列分成几个可以直接减法
适用于一个等差数列和一个等比数列（公比不等于 1）对应项相乘构成的数列求和
小结

解决数列求和问题，一般首先确定数列的通项公式，然后根椐其结构形式，采用相适应的求解方法，有时几种方法同时集中在一道题目中，要细致观察通项的特征，灵活运用求解方法。
数列求和的方法最常见的有以下三种：
方法一：分组法方法二：裂项相消法方法三：错位相减法
类型一：分组法求和

类型二：裂项相消法求和

常见的裂项公式有：
类型三：错位相减法求和

注意两个式子要对齐
错位相减法的适用题目及注意事项
适用范围
注意事项
(2)注意讨论公比q是否等于1 的情况
常见数列求和的常用方法
龙海一中
徐艺凤
求数列前N项和的三种常见方法
高考地位

数列是高中数学的重要内容，又是高中数学与高等数学的重要衔接点，其涉及的基础知识，数学思想与方法，在高等数学的学习中起着重要的作用，因而成为历年高考久考不衰的热点题型。此类问题除了利用等差数列和等比数列求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧。下面我们通过几个例子来谈谈数列求和的基本方法和技巧。

高考数学专题—数列求前n项和的5种常用方法总结

高考数学专题——数列（求S n ）求s n 的四种方法总结常考题型：共5种大题型（包含倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化法、并项求和法。

1、倒序相加法：实质为等差数列求和。

例1、【2019·全国2·文T18】已知{a n }是各项均为正数的等比数列,a 1=2,a 3=2a 2+16. (1)求{a n }的通项公式;(2)设b n =log 2a n .求数列{b n }的前n 项和.【解析】(1)设{a n }的公比为q,由题设得2q 2=4q+16,即q 2-2q-8=0,解得q=-2(舍去)或q=4. 因此{a n }的通项公式为a n =2×4n-1=22n-1.(2)由(1)得b n =(2n-1)log 22=2n-1,因此数列{b n }的前n 项和为1+3+…+2n-1=n 2. 2、错位相减法：实质为等差×等比求和。

错位相减法的万能公式及推导过程：公式：数列c n =(an +b )q n−1，(an +b )为等差数列，q n−1为等比数列。

前n 项和S n =(An +B )q n +C A =a q −1，B =b −Aq −1，C =−B S n =(a +b )+(2a +b )q +(3a +b )q 2+⋯[(n −1)a +b ]q n−2+(an +b )q n−1 ① qS n =(a +b )q +(2a +b )q 2+(3a +b )q 3+⋯[(n −1)a +b ]q n−1+(an +b )q n ② ②-①得：(q −1)s n =−(a +b )−a (q +q 2+⋯q n−1)+(an +b )q n=−(a +b )−a ⋅q(1−q n−1)1−q+(an +b )q n=(an +b −aq−1)q n −(b −aq−1)S n =(aq −1⋅n +b −a q −1q −1)⋅q n −b −aq −1q −1例2、【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设{}n a 是公比不为1的等比数列，1a 为2a ，3a 的等差中项．（1）求{}n a 的公比；（2）若11a =，求数列{}n na 的前n 项和．【解析】（1）设{}n a 的公比为q ，由题设得1232,a a a =+ 即21112a a q a q =+.所以220,q q +-= 解得1q =（舍去），2q =-. 故{}n a 的公比为2-.（2）设n S 为{}n na 的前n 项和.由（1）及题设可得，1(2)n n a -=-.所以112(2)(2)n n S n -=+⨯-++⨯-，21222(2)(1)(2)(2)n n n S n n --=-+⨯-++-⨯-+⨯-.可得2131(2)(2)(2)(2)n n n S n -=+-+-++--⨯-1(2)=(2).3n n n ---⨯-所以1(31)(2)99nn n S +-=-. 例3、【2020年高考全国III 卷理数】设数列{a n }满足a 1=3，134n n a a n +=-．（1）计算a 2，a 3，猜想{a n }的通项公式并加以证明；（2）求数列{2n a n }的前n 项和S n ．【解析】（1）235,7,a a == 猜想21,n a n =+ 由已知可得 1(23)3[(21)]n n a n a n +-+=-+， 1(21)3[(21)]n n a n a n --+=--，……2153(3)a a -=-.因为13a =，所以2 1.n a n =+（2）由（1）得2(21)2n n n a n =+，所以23325272(21)2n n S n =⨯+⨯+⨯+++⨯. ①从而23412325272(21)2n n S n +=⨯+⨯+⨯+++⨯.②-①② 得23132222222(21)2n n n S n +-=⨯+⨯+⨯++⨯-+⨯，所以1(21)2 2.n n S n +=-+例4、【2020届辽宁省大连市高三双基测试数学】已知数列{}n a 满足：n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公比为2的等比数列，2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为1的等差数列.（I ）求12,a a 的值；（Ⅱ）试求数列{}n a 的前n 项和n S .【解析】（Ⅰ）方法一：n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭构成公比为2的等比数列 21221a a ∴=⨯ 214a a ∴=又2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭构成公差为1的等差数列 2121122a a ∴-=,解得1228a a =⎧⎨=⎩方法二：n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭构成公比为2的等比数列,1112,n n a n a n+∴=1(1)2n n n a a n ++∴=.①又2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭构成公差为1的等差数列, 11122n nn na a ++∴-=② 由①②解得：2nn a n =⋅1228a a =⎧⎨=⎩ （Ⅱ）1122,1n n n a a n -=⋅= 2n n a n ∴=⋅123n n S a a a a =+++⋅⋅⋅+1231222322n n =⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅ 234121222322n n S n +∴=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅两式作差可得：23122222n n n S n +-=+++⋅⋅⋅+-⋅()1212212n n n n S +-=-⋅--1(1)22n n n S +=⋅---, 1(1)22n n S n +∴=-⋅+.例5、【2020届江西省吉安市高三上学期期末数学】数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =，121n n a S +-=．（I ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若3log n n b a =，数列2221n n b b +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：12nT <．【解析】（I ）当1n =时，由11a =，2121a a -=得23a =；当2n ≥时，121n n a S --=，两式相减得()1120n n n n a a S S +----=，即13n n a a +=(2)n ≥，又2133a a ==，故13n n a a +=恒成立，则数列{}n a 是公比为3的等比数列，可得13-=n n a ．（Ⅱ）由（I ）得313log log 31n n n b a n -===-，则22211111(21)(21)22121n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪⋅-⋅+-+⎝⎭，则111111123352121n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111221n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭． 1021n >+ 11112212n ⎛⎫∴-< ⎪+⎝⎭ 故12n T <例6、【2017·天津·理T18】已知{a n }为等差数列,前n 项和为S n (n ∈N *),{b n }是首项为2的等比数列,且公比大于0,b 2+b 3=12,b 3=a 4-2a 1,S 11=11b 4. (1)求{a n }和{b n }的通项公式;(2)求数列{a 2n b 2n-1}的前n 项和(n ∈N *).【解析】(1)设等差数列{a n }的公差为d,等比数列{b n }的公比为q.由已知b 2+b 3=12,得b 1(q+q 2)=12,而b 1=2,所以q 2+q-6=0.又因为q>0,解得q=2. 所以,b n =2n.由b 3=a 4-2a 1,可得3d-a 1=8.①由S 11=11b 4,可得a 1+5d=16,②联立①②,解得a 1=1,d=3,由此可得a n =3n-2.所以,数列{a n }的通项公式为a n =3n-2,数列{b n }的通项公式为b n =2n.(2)设数列{a 2n b 2n-1}的前n 项和为T n ,由a 2n =6n-2,b 2n-1=2×4n-1,有a 2n b 2n-1=(3n-1)×4n, 故T n =2×4+5×42+8×43+…+(3n-1)×4n,4T n =2×42+5×43+8×44+…+(3n-4)×4n+(3n-1)×4n+1,上述两式相减,得-3T n =2×4+3×42+3×43+…+3×4n-(3n-1)×4n+1=12×(1-4n )1-4-4-(3n-1)×4n+1=-(3n-2)×4n+1-8.得T n =3n -23×4n+1+83. 所以,数列{a 2n b 2n-1}的前n 项和为3n -23×4n+1+83. 例7、【2020·石家庄模拟】设数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n ＝3a n －1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)由2S n ＝3a n －1，① 得2S n －1＝3a n －1－1(n ≥2)，② ①－②，得2a n ＝3a n －3a n －1，所以a n a n －1＝3(n ≥2)，又2S 1＝3a 1－1，2S 2＝3a 2－1，所以a 1＝1，a 2＝3，a 2a 1＝3，所以{a n }是首项为1，公比为3的等比数列，所以a n ＝3n －1.(2)由(1)得，b n ＝n3n －1，所以T n ＝130＋231＋332＋…＋n3n －1，③13T n ＝131＋232＋…＋n －13n －1＋n 3n ，④ ③－④得，23T n ＝130＋131＋132＋…＋13n －1－n 3n ＝1－13n1－13－n 3n ＝32－2n ＋32×3n ，所以T n ＝94－6n ＋94×3n . 3、裂项相消法：实质为a n =b n (n+a )形式的求和。

数列求前N项和方法总结(方法大全

数列求前N项和方法总结(方法大全数列是一组按照一定规律排列的数。

在数列中，常常需要求出数列的前N项和，以便进一步分析和运用。

下面将对常见的数列的前N项和求解方法进行总结。

1.等差数列：等差数列是相邻两项之差相等的数列。

记数列首项为a，公差为d，第n项为an。

a.求前N项和公式：Sn = (a + an) * n / 2b.证明：首先将等差数列分为两部分：第一部分是首项a和末项an，共有n 项，它们的和为 (a + an) * n / 2；第二部分是每一项与对应的倒数项的和，它们的和恰好也是 (a + an) * n / 2、将两部分的和相加即得 Sn = (a + an) * n / 22.等比数列：等比数列是相邻两项之比相等的数列。

记数列首项为a，公比为r，第n项为an。

a.公比不为1的情况：求前N项和公式：Sn=a*(1-r^n)/(1-r)b.公比为1的情况：求前N项和公式：Sn=a*nc.证明：利用等比数列的性质，将等比数列的前N项和与它的下一项相乘，两者相减可得到Sn=a*(1-r^n)/(1-r)。

3.平方数列：平方数列是由平方数组成的数列，例如1,4,9,16,25,...。

a.求前N项和公式：Sn=n*(n+1)*(2n+1)/6b.证明：利用平方数的性质，可以得到平方数列的前N项和的通项公式为Sn=n*(n+1)*(2n+1)/64.立方数列：立方数列是由立方数组成的数列，例如1,8,27,64,125,...。

a.求前N项和公式：Sn=(n*(n+1)/2)^2b.证明：利用立方数的性质，可以得到立方数列的前N项和的通项公式为Sn=(n*(n+1)/2)^25.斐波那契数列：斐波那契数列是指从0和1开始，后一项等于前两项之和的数列，例如0,1,1,2,3,5,...。

a.求前N项和公式：Sn=F(n+2)-1其中F(n)是斐波那契数列的第n项。

b.证明：通过归纳法可以证明斐波那契数列的前N项和等于第N+2项减去1除了上述常见的数列，还有很多其他的数列以及求前N项和的方法。

例谈求数列前n项和的三种思路

思路探寻求数列的前n 项和问题比较常见，通常需先根据已有的递推关系式求得数列的通项公式，再观察数列的特点和规律，寻找适合的求和方法，比如：公式法、倒序相加法、错位相减法、分组求和法等来求得数列的前n 项和.若选用的方法恰当，就能起到事半功倍的效果.下面结合实例谈一谈求数列前n 项和的三种常用思路.一、借助公式公式法是求数列前n 项和的重要方法.运用公式法求数列的前n 项和，主要是根据等差数列的前n 项和公式S n =n (a 1+a n )2=na 1+n (n +1)2d 、等比数列的前n 项和公式S n =ìíîïïna 1，q =1,a 1(1-q n)1-q，q ≠1.在解题时，需仔细观察数列的特征，根据等差、等比数列的定义判断数列的类型，再选用相应的求和公式进行求和.例1.在等差数列{a n }中，S 10=100,S 100=10,求S 110.解：∵该数列为{a n }为等差数列，∴S 10,S 20-S 10,S 30-S 20,⋯，S 110-S 100也为等差数列，设其公差为d ，∴S 10+(S 20-S 10)+(S 30-S 20)+⋯+(S 100-S 90)=S 100,由等差数列的前n 项和公式S n =na 1+n (n +1)2d可得S 100=10S 10+10×92×d =10，又S 10=100,将其代入上式得d =-22，∴S 110-S 100=S 10+(11-1)d =100+10×(-22)=-120，∴S 110=S 100+(-120)=-110.由题意可知这个数列是等差数列，利用等差数列的性质以及等差数列的前n 项和公式S n =na 1+n (n +1)2d 求解，即可求出此数列的前n 项和.例2.已知log 3x =-1log 2x,求x +x 2+x 3+⋯+x n 的前n项和.解：由log 3x =-1log 2x 可得x =12，由等比数列的前n 项和公式S n =a 1(1-q n )1-q可得，x +x 2+x 3+⋯+x n=x (1-x n )1-x =12(1-12n )1-12=1-12n.观察该数列，可发现数列的后一项与前一项之比为x ，由等比数列的定义可知该数列为等比数列，利用等比数列的前n 项和公式S n =a 1(1-q n )1-q，即可求出此数列前n 项和.二、分组求和有些数列可被拆开或重组成几个等差、等比或者常见数列，此时可采用分组求和法，将各项重新组合，再分别运用等差、等比数列的前n 项和公式进行求和，最后综合所得结果，即可得出原数列的前n 项和.例3.求数列{}n (n +1)(2n +1)的前n 项和.解：设a k =k (k +1)(2k +1)=2k 3+3k 2+k ，可得S n =∑k =1nk (k +1)(2k +1)=∑k =1n(2k 3+3k 2+k )=2∑k =1nk 3+3∑k =1nk 2+∑k =1nk=2(13+23+⋯+n 3)+3(12+22+⋯+n 2)+(1+2+⋯+n )=n 2(n +1)22+n (n +1)(2n +1)2+n (n +1)2=n (n +1)2(n +2)2.仔细研究这个数列可发现，它由三个数列{}2n 3、{}3n 2、{}n 的和构成，于是将数列的每一项拆开，再重新组合S n =2∑k =1nk 3+3∑k =1nk 2+∑k =1nk ，最后分组求和，即可得n 黄增勇胡国生46思路探寻出数列前n 项和.对于一些常见的数列，同学们要熟记其和，如∑k =1nk =1+2+3+⋯+n =12n (n +1),∑k =1nk 2=12+22+32+⋯+n 2=13n (n +12)(n +1),∑k =1nk 3=13+23+33+⋯+n 3=éëêùûúæèçöø÷n (n +1)22，∑k =1n (2k -1)=1+2+3+⋯+(2n +1)=n 2.例4.求数列113,216,319，⋯，(n +13n )的前n 项和.解：S n =113+216+319+⋯+(n +13n )=(1+2+3+⋯+n )+(13+132+133+⋯+13n )=12n (n +1)+1-13n .该数列由两个数列{}n 、{}13n 构成，于是将其重新组合成等差数列{}n 和等比数列{}13n ，再分别运用等差、等比数列的前n 项和公式，求得每个数列的和，即可得到数列的前n 项和.三、裂项相消运用裂项相消法求和，关键有两步：第一步，裂项.即将数列的通项公式裂为两项之差的形式；第二步，消项.通过正负相消，消除绝对值相等，符号相反的项.在裂项的过程中，有的时候需要调整通项公式前面的系数，使拆得的两项的结构保持一致.常见的裂项方式有sin 1cos n cos(n +1)=tan(n +1)-tan n ，1n (n +1)=1n -1n +1，1(2n +1)(2n -1)=12(12n -1-12n +1)等.例5.在数列{}a n 中.a n =1n +1+1n +2+⋯+nn +1，若b n =2a n ∙a n +1，求数列{}b n 的前n 项和.解：因为a n =1n +1+1n +2+⋯+n n +1=n2，则b n =2a n ∙a n +1=2n 2∙n +12=8(1n -1n +1)所以S n =8éëêæèöø1-12+æèöø12-13+æèöø13-14+⋯+ùûúæèöø1n -1n +1=æèöø1-1n +1=8n n +1.根据题目中的已知条件可得数列{}b n 的通项公式为b n =8n ()n +1，于是将其裂项为8(1n -1n +1)，即可采用裂项相消法求得数列{}b n 的前n 项的和.例6.求和：S n =15+135+163+199.解：S n =15+145+1117+1221=11×5+15×9+19×13+113×17=14(1-15)+14(15-19)+14(19-113)+14(113-117)=14[(1-15)+(15-19)+(19-113)+(113-117)]=14(1-117)=417.仔细观察可发现，数列的通项公式为a n =1()4n -3(4n +1)=14æèöø14n -3-14n +1，通过裂项，便可将数列中的前后项转化为绝对值相等，符号相反的式子，这样采用裂项相消法，通过正负相消即可求得数列的和.通过对上述例题的分析，可以看出，上述三种思路各有特色，且其适用范围各不相同.同学们在求和时，只要善于发现数列中各项的规律，改变原数列的形式、结构，进行合理的裂项、分组，灵活运用等差、等比数列的前n 项和公式，那么求数列前n 项和问题就可以迎刃而解.本文系淮安市教育科学“十四五”规划课题《新高考背景下高中数学试题编制的研究》（课题编号2021GHKT215）研究成果.（作者单位：黄增勇，江苏省淮安市洪泽湖高级中学；胡国生，江苏省淮安市洪泽区教育体育局）47。

求数列前N项和的七种方法(含例题和答案)

求数列前N 项和的七种方法1. 公式法等差数列前n 项和：特别的，当前n 项的个数为奇数时，211(21)k k S k a ++=+，即前n 项和为中间项乘以项数。

这个公式在很多时候可以简化运算。

等比数列前n 项和： q=1时，1n S na =()1111n n a q q S q-≠=-，，特别要注意对公比的讨论。

其他公式： 1、)1(211+==∑=n n k S nk n 2、)12)(1(6112++==∑=n n n k S nk n3、213)]1(21[+==∑=n n k S nk n[例1] 已知3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n x x x x 32的前n项和.[例2] 设S n ＝1+2+3+…+n，n ∈N *,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.2. 错位相减法这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列. [例3] 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①[例4] 求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n 前n 项的和.练习：求：S n=1+5x+9x 2+······+(4n -3)xn-13. 分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.[例5] 求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n aa a n ，…[例6] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.解：设kk k k k k a k ++=++=2332)12)(1(∴∑=++=nk n k k k S 1)12)(1(＝)32(231k k k n k ++∑=将其每一项拆开再重新组合得S n＝kk k nk nk nk ∑∑∑===++1213132（分组）＝)21()21(3)21(2222333n n n +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++＝2)1(2)12)(1(2)1(22++++++n n n n n n n（分组求和）＝2)2()1(2++n n n练习：求数列∙∙∙+∙∙∙),21(,,813,412,211n n 的前n 项和。

求数列前N项和的七种方法含例题和答案

求数列前N 项和的七种方法点拨:1.公式法等差数列前n 项和：n(a 1+a n ) y 亠 n(n +1) _, Si — — na q 十 d2 ' 2特别的，当前n 项的个数为奇数时，S 2k 岀=（2k +1）_a k 41，即前n 项和为中间项乘以项数。

这个公式在很多时候可以简化运算。

等比数列前n 项和： q=1 时，q H 1, s n = a1 " q），特别要注意对公比的讨论。

其他公式:用常用公式）1 1迂R _ 1丄 1一丄—2n21、S nn=Z k kd ：3、S n [例1]弓（卄）2、 n =送k 3 k=12 计+1)] 2 1S n=!： k =-n(n+1)(2n+1)6—1 2 3 已知 log 3 X = - 7，求 X + X + X +…+log 23 x n +…的前n 项和.解：由log 3—1 =log 3 X = —log s 2 = log 2 3 1 x =— 2 由等比数列求和公式得S n = X + X 2 +（利_ x(1 -x n) —1-x［例 2］设 S n = 1+2+3+ …+n , n € N *,求 f (n)= S n(n + 32)S n屮的最大值.解: 由等差数列求和公式得 1 1S n = — n(n +1) , S n* = -(n +1)(n + 2)2 2 （利用常用公式）f(n)= S n(n + 32)盼 2n 2 + 3 4n+64□ +34+^ (屛--)2+5O 50 •••当亦=2，即 n = 8 时，f(n)max\l n 50 2.错位相减法这种方法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列｛a n • b n ｝的前n 项和，其中｛ a n ｝、｛ b n ｝分别是等差数列和等比数列［例 3］求和：S n =1+3x+ 5x 2+7x 3 + ”””+(2n - 1)x n " 解：由题可知，｛（2 n- 1）x n 』｝的通项是等差数列｛2n — 1｝的通项与等比数列｛x n」｝的通项之积设 xS n =1x+3x 2+5x 3+7x 4 + …+(2门_〔以 ①一②得(1-x)S n =1+2X +2X 2+2x 3+2x 4 + …+2x n 」一(2 门_ 1)x n（错位相减）nJ1 — x n再利用等比数列的求和公式得：（1 -x ）S n =1+2x ・ -（2 n -1）x n1-x G (2n - 1)x n +—(2n + 1)x n +(1 +x)Sn =(1-x)2［例4］求数列贪…前n项的和.解：由题可知，｛2n2n ｝的通项是等差数列｛2n ｝的通项与等比数列｛右｝的通项之积设S =2+土十-6+ …+空以6--2小32n（错位相减）练习：求：S n =1+5x+9x 2+ ....... +(4n-3)x n "1解：Si=1+5x+9)(+ ........ +(4n-3)x n-1①两边同乘以X ，得23X S n =x+5 X +9x + ...... +(4 n-3)x①-②得,(1-x ) S=1+4(X+ X 2+X 3+当 x=1 时，S=1+5+9+ ......... + (4n-3)3.反序相加法求和再把它与原数列相加，就可以得到n 个（印+ a n ）•［例 5］求sin 21 +sin 22 + sin 23 + …+sin 288 +sin 289 的值20 20 2 0 2 0 2解：设 S =sin 1 +sin 2 +sin 3 + …+sin 88 +sin 89将①式右边反序得S =si n 289 +si n 2 88 +…+sin3 +sin2 +si n 1（反序）2 2又因为 sinx=cos(90 -x),sin x + cosx=1 ①（反序相加）2S=(sin 21 +cos 21)+(sin 2 2 + cos 22 ) + …+ (sin 289 +cos 289 ) = 89S= 44.5担=；2（设制错位）十243 十2642n+(^1)Sn2+&p.,2_2n 22=2S n =41-产 n +2-尹2n 2n + =2n-n nx ) - (4n-3) x当X 工1时，S= I4x(1-x n)1-x(4n-3)这是推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列（反序），4.分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开, 可分为几个组求和）将其每一项拆开再重新组合得（分组）=2(13 +23+…+n 3) +3(12 +22+ …+门2)+(1 + 2+…+n)2 2n 2(n +1)2 十 n(n +1)(2n +1)十 n(n + 1)（分组求和）n(n +1)2( n +2)等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可［例6］求数列的前n 项和：1+1, 1+4, ［ +7，…,n-2 ,-a a a 解: 1 1 1设 S n = (1 +1) +(- +4) +(p +7) + …”+(—+3n -2)a a a将其每一项拆开再重新组合得S n = (1 + 1a+…+1n」)+(1 +4 + 7+…+3n -2) a（分组）当a= 1时, S n=n+(3n—1)n(3n+ 1)n（分当a H 1时,-7 十(3n —1)n2a -a 1』+ (3n -1)n a —1［例7］求数列｛n （n+1）（2n+1）｝的前n 项和.解：设 a k =k(k +1)(2k +1) =2k 3+ 3k 2+kS n =2 k(k+1)(2k+1)=k 吕nZ (2k 3+3k 2+k)kTS nn2Z k3k 3 n+32：［例10］在数列｛a n ｝中，a n =n +1 n +1 乙+…，又b n =—2一，求数列｛b n ｝的前an r a n +n +11 1 1 1练习：求数列12，24,38^**（^2^）^*啲前n 项和。

求数列前n项和8种的方法(史上最全)

求数列前n 项和8种的方法一.公式法（定义法）： 1.等差数列求和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d ++==+特别地，当前n 项的个数为奇数时，211(21)k k S k a ++=+，即前n 项和为中间项乘以项数。

这个公式在很多时候可以简化运算； 2.等比数列求和公式：（1）1q =时，1n S na =；（2）()1111nn a q q S q-≠=-，，特别要注意对公比的讨论；3.可转化为等差、等比数列的数列；4.常用公式:（1）1nk k ==∑12123(1)n n n ++++=+；（2）21nk k ==∑222216123(1)(21)n n n n ++++=++；（3）31nk k ==∑33332(1)2123[]n n n +++++=；（4）1(21)n k k =-=∑2n 1)-(2n ...531=++++.例1 已知3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由212log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=x x x由等比数列求和公式得 n n x x x x S +⋅⋅⋅+++=32＝xx x n--1)1(＝211)211(21--n ＝1－n 21例2 设123n s n =++++，*n N ∈,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.解：易知 )1(21+=n n S n ， )2)(1(211++=+n n S n∴ 1)32()(++=n nS n S n f ＝64342++n n n＝n n 64341++＝50)8(12+-nn 501≤∴ 当 88-n ，即n ＝8时，501)(max =n f .二.倒序相加法:如果一个数列{a n }，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法。

数列的前n项和方法总结

数列的前n项和方法总结
数列是数学中常见的一种数值序列，求解数列的前n项和在许多数学和实际问题中都具有重要意义。

下面是关于数列的前n项和的几种常见方法总结：
1. 等差数列的前n项和：
若数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差，那么数列的前n项和Sn = (n/2)(a1 + an)。

2. 等比数列的前n项和：
若数列的通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比（r ≠ 0），那么数列的前n项和Sn = a1 * (1-r^n)/(1-r)。

3. 斐波那契数列的前n项和：
斐波那契数列是一种特殊的数列，前两项为1，后续项为前两项之和。

若n 为正整数，那么斐波那契数列的前n项和为Sn = F(n+2) - 1，其中F(n)表示第n项斐波那契数。

4. 平方数列的前n项和：
平方数列是一种特殊的数列，每一项都是某个正整数的平方。

若数列的通项公式为an = n^2，那么数列的前n项和Sn = (n(n+1)(2n+1))/6。

5. 等差子数列的前n项和：
若一个数列是等差数列的子数列，其公差与等差数列相同，那么子数列的前n项和等于原等差数列的前n项和减去首项之前的和。

以上是几种常见数列的前n项和的求解方法。

在实际应用中，根据数列的特点和通项公式选择适当的方法来计算数列的前n项和会更加高效和方便。

求前n项和的几种方法

求前n 项和的几种方法求数列前N 项和的方法1. 公式法（1）等差数列前n 项和：特别的，当前n 项的个数为奇数时，211(21)k k S k a ++=+，即前n 项和为中间项乘以项数。

这个公（2q=11q S ≠，（31、=S n 3、=S n [例1][例2]设2. 这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{a n }、{b n }分别是等差数列和等比数列.[例3]求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①[例4]求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n 前n 项的和. 练习：求：S n =1+5x+9x 2+······+(4n -3)x n-1答案：当x=1时，S n =1+5+9+······+（4n-3）=2n 2-n当x ≠1时，S n =11-x [4x(1-x n )1-x +1-（4n-3）x n ]3. 倒序相加法求和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把[例5]求4. [例6]5. （1（3（5）)2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=n n n n n n n a n (6)n n n n n n n n S n n n n n n n n n a 2)1(11,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-⋅=⋅+-+=⋅++=-则 [例9]求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 的前n 项和.[例10]在数列{a n }中，11211++⋅⋅⋅++++=n n n n a n ，又12+⋅=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和.[例11]求证：1sin 1cos 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 12=+⋅⋅⋅++ 解：设89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S ∵ n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+（裂项） ∴ 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S （裂项求和）＝]}88tan 89[tan )2tan 3(tan )1tan 2(tan )0tan 1{(tan 1 -+-+-+-∴6. [[例7. [例练习：求5，55，555，…，的前n 项和。

求数列前N项和的七种方法(含例题和答案)

求数列前N项和的七种方法(含例题和答案)求数列前N 项和的七种方法点拨:核心提示：求数列的前n 项和要借助于通项公式，即先有通项公式，再在分析数列通项公式的基础上，或分解为基本数列求和，或转化为基本数列求和。

当遇到具体问题时，要注意观察数列的特点和规律，找到适合的方法解题。

1. 公式法等差数列前n 项和： 11()(1)22n n n a a n n S na d ++==+ 特别的，当前n 项的个数为奇数时，211(21)k k S k a ++=+，即前n 项和为中间项乘以项数。

这个公式在很多时候可以简化运算。

等比数列前n 项和： q=1时，1n S na =()1111n n a q q S q-≠=-，，特别要注意对公比的讨论。

求前n项和公式的方法

求前n项和公式的方法关于前n项和公式的方法有很多种，这里将介绍几种常见的方法。

一、等差数列求和公式（适用于等差数列）等差数列是一种数列，其中每一项与前一项之间的差值都是恒定的。

对于一个等差数列，我们可以使用等差数列求和公式来求解前n项和。

假设等差数列的首项为a，公差为d，那么前n项和为：Sn=(n/2)*(2a+(n-1)d)二、等比数列求和公式（适用于等比数列）等比数列是一种数列，其中每一项与前一项之间的比值都是恒定的。

对于一个等比数列，我们可以使用等比数列求和公式来求解前n项和。

假设等比数列的首项为a，公比为r（r≠1），那么前n项和为：Sn=a*(1-r^n)/(1-r)三、幂级数求和公式（适用于幂级数）幂级数是一种数列，其中每一项都是以相同的方式进行幂次计算的。

对于一个幂级数，我们可以使用幂级数求和公式来求解前n项和。

假设幂级数的首项为a，公比为r（r≠1），那么前n项和为：Sn=(a*(1-r^n))/(1-r)四、调和级数求和公式（适用于调和级数）调和级数是一种数列，其中每一项是倒数的和。

对于一个调和级数，我们可以使用调和级数求和公式来求解前n项和。

前n项和为：Sn=1/1+1/2+1/3+...+1/n五、斐波那契数列求和公式（适用于斐波那契数列）斐波那契数列是一种数列，其中每一项等于前两项之和。

对于一个斐波那契数列，我们可以使用斐波那契数列求和公式来求解前n项和。

假设斐波那契数列的首项为a，次项为b，那么前n项和为：Sn=b*(1-(1/r)^n)/(1-1/r)这里介绍的是常见的前n项和公式的方法，每种方法适用于特定的数列类型。

在实际应用中，我们可以根据数列的特性选择适合的方法来求解前n项和，以便更高效地计算结果。

以上就是关于前n项和公式的方法的介绍，希望能对您有所帮助。

数列的前n项和求解方法

数列的前n 项和求解方法知识梳理一、数列求和基本方法1．拆项求和法：将一个数列拆成若干个简单数列（如等差数列、等比数列、常数数列等等），然后求和. 2．并项求和法：将数列的相邻的两项（或若干项）并成一项（或一组）得到一个新的且更容易求和的数列. 3．裂项求和法：将数列的每一项拆（裂开）成两项之差，使得正负项能互相抵消，剩下首尾若干项. 4．错位求和法：将一个数列的每一项都作相同的变换，然后将得到的新数列错动一个位置与原数列的各项相减，这是仿照推导等比数列前n 项和公式的方法.5．反序求和法：将一个数列的倒数第k 项（k =1，2，3，…，n ）变为顺数第k 项，然后将得到的新数列与原数列进行变换（相加、相减等），这是仿照推导等差数列前n 项和公式的方法. 二．常用结论（1）1nk k ==∑ 1+2+3+...+n = 2)1(+n n （2）1(21)nk k =-=∑1+3+5+...+(2n-1) =2n（3）31nk k ==∑2333)1(2121⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+++n n n （4）21nk k ==∑)12)(1(613212222++=++++n n n n（5）111)1(1+-=+n n n n)211(21)2(1+-=+n n n n （6）)()11(11q p q p p q pq <--= 典例讲解类型一：用公式法、错位相减、倒序相加法求数列的和例1. 求和：.练习1. 求和.例2. 数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()211,1,1,2,2n n a S n a n n n ==--=鬃? （Ⅰ）写出n S 与1n S -的递推关系式()2n ³，并求n S 关于n 的表达式；（Ⅱ）设()1n n n n b S x x R n+=?，求数列{}n b 的前n 项和n T 。

3521ln ln ln ln n n S x x x x -=++++222sin 1sin 2sin 89S =︒+︒++︒类型二：裂项相消、分组转化求和、并项求和等方法例2. 已知数列}{n a 的通项公式)12)(12()2(2+-=n n n a n ，求它的前n 项和.练习3. 已知数列}{n a 的通项公式,)]1([122++=n n n a n 求它的前n 项和.例4. 已知数列}{n a 的各项为正数，其前n 项和2)21(+=n n n a S S 满足，（I ）求)2(1≥-n a a n n 与之间的关系式，并求}{n a 的通项公式；（II ）求证.211121<+++nS S S当堂检测1. 求2.求数列，，，…，的前n 项的和.3. 求和.4. 求和.99999.0999.099.09.0个n ++++121222-+131322-+141422-+1)1n (1)1n (22-+++n S 11111232482n n ⎛⎫+++⋅⋅⋅++ ⎪⎝⎭22222111(0)n n x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++⋅⋅⋅++≠ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭5. 等比数列中，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且中的任何两个数不在下表的同一列.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若数列满足：=，求数列的前项和.6. 已知数列{n a }的通项公式是n n n a n 则前,6512++=项和为 7. 已知{n a }的前n 项和||||||,1410212a a a n n S n ++++-= 则的值为基础巩固1. 求和：;1)2(3)1(21⋅++-⋅+-⋅+⋅=n n n n S n2. 已知数列.}{,)109()1(n n nn S n a n a 项和的前求⨯+= 3. 求和nn n n n n C n C C C C W )13(10743210++++++=4. 若;}{,,3,2,1,11n n k k k S n a k u u a 项和的前求数列 =+=+5. 设函数),2)(1(,1:}{,332)(11≥==+=-n b f b b b x x x f n n n 作数列求和：.)1(11433221+-⋅-+-+-=n n n n b b b b b b b b W6. 设正项等比数列{}n a 的首项211=a ，前n 项和为n S ，且0)12(21020103010=++-S S S 。

求数列前n项和的方法

求数列前n项和的方法首先，最常见的方法是利用数学公式求解。

对于一些简单的数列，可以通过数学公式直接求出前n项和。

比如等差数列an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数，那么前n项和Sn=n/2(a1+an)。

同理，对于等比数列也有相应的求和公式。

这种方法适用于数列规律简单，能够找到通项公式的情况。

其次，如果数列的规律不太明显，无法找到通项公式，可以尝试利用递推关系求解。

递推关系是指数列中每一项与前面的一项或几项之间存在某种确定的关系，通过递推关系可以逐项求和。

比如斐波那契数列就是一个典型的例子，它的递推关系为Fn=Fn-1+Fn-2，初始条件为F1=1，F2=1。

通过递推关系可以依次求得数列的每一项，再将它们相加即可得到前n项和。

这种方法适用于数列规律较为复杂，无法直接找到通项公式的情况。

另外，还可以利用数学工具来求解数列前n项和，比如利用数学软件进行计算。

在现代社会，有许多强大的数学软件可以帮助我们解决复杂的数学问题，包括求解数列前n项和。

通过输入数列的前几项，数学软件可以自动推导出数列的通项公式，并计算前n项和。

这种方法适用于数列规律十分复杂，难以手工计算的情况。

最后，还可以利用数值逼近方法来求解数列前n项和。

数值逼近是一种通过不断逼近数值来求解问题的方法，它适用于各种类型的数列。

通过不断增加项数，计算数列前n项和的近似值，直到满足精度要求为止。

这种方法适用于数列规律非常复杂，无法找到通项公式，也无法通过递推关系求解的情况。

综上所述，求解数列前n项和的方法有很多种，我们可以根据具体情况选择合适的方法。

在实际问题中，通过灵活运用这些方法，我们可以更好地解决数列求和的问题，为实际应用提供更多可能性。

希望本文介绍的方法能对大家有所启发，也希望大家能在数学学习和实际应用中取得更好的成绩。

(完整版)数列前n项和的求法

数列前n项和的求法一.用倒序相加法求数列的前n项和如果一个数列{a n}，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。

我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同一类知识的工具，例如：等差数列前n项和公式的推导，用的就是“倒序相加法”。

例题1：设等差数列{a n}，公差为d，求证：{a n}的前n项和S n=n(a1+a n)/2解：S n=a1+a2+a3+...+a n ①倒序得：S n=a n+a n-1+a n-2+…+a1②①+②得：2S n=(a1+a n)+(a2+a n-1)+(a3+a n-2)+…+(a n+a1)又∵a1+a n=a2+a n-1=a3+a n-2=…=a n+a1∴2S n=n(a2+a n) S n=n(a1+a n)/2点拨：由推导过程可看出，倒序相加法得以应用的原因是借助a1+a n=a2+a n-1=a3+a n-2=…=a n+a1即与首末项等距的两项之和等于首末两项之和的这一等差数列的重要性质来实现的。

二.用公式法求数列的前n项和对等差数列、等比数列，求前n项和S n可直接用等差、等比数列的前n项和公式进行求解。

运用公式求解的注意事项：首先要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。

例题2：求数列的前n项和S n解：点拨：这道题只要经过简单整理，就可以很明显的看出：这个数列可以分解成两个数列，一个等差数列，一个等比数列，再分别运用公式求和，最后把两个数列的和再求和。

三.用裂项相消法求数列的前n项和裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项，使得前后项相抵消，留下有限项，从而求出数列的前n项和。

例题3：求数列(n∈N*)的和解：点拨：此题先通过求数列的通项找到可以裂项的规律，再把数列的每一项拆开之后，中间部分的项相互抵消，再把剩下的项整理成最后的结果即可。

求数列的前n项和常用方法

数列求和的常用方法1. 公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式，特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与 1的关系，必要时需分类讨论1 2 3 ||| n u^n" 1)，12 22 川 n 2 二丄n(n 1)(2n 1)，13 23 33 n 3 珂 2 6练一练：等比数列｛a n ｝的前n 项和s 匸2"—1,则a ；十…+ a ； = __________ ； 2. 分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和11 1例2、求数列的前n 项和：1 1, 4,-y • 7,…,• 一• 3n -2，…a a a n练一练：求和：S n 1 ・3-5 7 -||( ■ (-1)n (2n -1) 3. 倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和(这也是等差数列前n 和公式的推导方法).2 ' 2 ' 2 ' 2 ' 2 “ 例 3、求 sin 1 sin 2 sin 3飞in 88 sin 89 的值 2 x练一练：已知f (x) 2 ,1 +x11 1 则 f(1) f(2) f(3) f(4) f(；) f (：) f (；)=23 4 4. 错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成, 法(这也是等比数列前 n 和公式的推导方法). 例 4、求和：S n =1 3x 5x 2 7x 3 (2n -1)x n° 例5、求数列2, $, 2,…；2^，…前n 项的和. 2 2 2 2n练一练：设｛a n ｝为等比数列，T n =na 1 • (n -1底• III - 2a n - a n ，已知X =1 , T^4，①求数列｛a n ｝的首项和公比；②求数列｛T n ｝的通项公式.；5. 裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：① 11 J :②一1 n(n 1) n n 11 1 1 ③丄:::一^ =1 k2 k 2 -1 2 'k -1 k 11111k 1 (k 1)k k 2(k -1)k k -1 1 1r 1 1[ ；(n 1)! n! (n 1)! 例 1、已知 log 3 x =；—，求 x x 2 x 3 log 2 3 • • • x n •…的前n 项和..；③常用公式: n(n 1),2 —2].那么常选用错位相减九)； n(n k) 1 [一 n(n 1)(n 2)2 n(n 1) (n 1)(n 2) n 1 1⑥ 2(.n~?—,n)：—2:: 1：：2=2(韦一.百).V n1 , ,例6、求数列------ ， ---- ，…,——，■■的前n项和.1 +V2 +V3 €n+%'n+11 2 n 2例7、在数列｛a n｝中，a n ，又b n ，求数列｛b n｝的前n项的和.n +1 n +1 n 十1 a n a n出(1)求和:1 1---- + ---- +||| +---------------- =1 4 4 7 (3n _2) (3n 1)1｛a n｝中，a n ： ----------------- ，且Sn=9，贝y n=J n Z n +16■通项转换法：先对通项进行变形，发现其内在特征，再运用分组求和法求和。

求数列前n项和的几种方法

(2)解：由 an＝an－2＋2，n＝3,4,5，…，得 a2k＋1＝a2k－1＋2，a1＝0 及 a2k＋2＝a2k＋2，a2＝3， ∴a1，a3，a5，…，a2k－1 构成首项为 0，公差为 2 的等差数列， a2，a4，a6，…，a2k 构成首项为 3，公差为 2 的等差数列． ∴a2k－1＝2(k－1)＝(2k－1)－1，a2k＝3＋2(k－1)＝2k＋1，k＝1,2,3，…. ∴an＝n＋(－1)n，n＝1,2,3，…
解：记 Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an 1＋nan，－＋则 aSn＝a2＋2a3＋…＋(n－2)an 1＋(n－1)an＋nan 1. ＋两式相减，得(1－a)Sn＝(a＋a2＋a3＋…＋an)－nan 1. nn＋1 若 a＝1，则 Sn＝1＋2＋…＋n＝； 2 ＋ a1－an nan 1 若 a≠1，则 Sn＝－ . 1－a2 1－a
六、分段求和法求和【例 7】已知数列{an}前 n 项和为 Sn，且 an＋Sn＝1(n∈N*)． (1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{bn}满足 bn＝3＋log4an，设 Tn＝|b1|＋|b2|＋…＋|bn|，求 Tn.
解：(1)由 an＋Sn＝1，得 an＋1＋Sn＋1＝1.两式相减得 an＋1－an＋Sn＋1－Sn＝0， 1 ∴2an＋1＝an，即 an＋1＝ an. 2 又当 n＝1 时，a1＋S1＝1， 1 ∴a1＝ . 2 1 1 ∴数列{an}是首项为，公比为的等比数列， 2 2 1 1 － 1 － ∴an＝a1qn 1＝ ×( )n 1＝( )n. 2 2 2
n11－n 4 综上可知：T ＝ n －11n＋60 4
n 2
n≤6 . n≥7
如果一个数列是由各自具有不同特点的两段构成，则可考虑利用分段求和法求和．

数列的前n项和求法

数列的前n 项和一、公式法1、通项公式：（1）、等差数列的通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a m ＋(n －m)d ；（2）、等比数列的通项公式：11-=n n q a a ＝m n m n q a a -=；2、a n 与Sn 的有关系：a n ＝⎩⎨⎧≥-=-)2(,)1(,11n S S n S n n3、前n 项和：（1）、等差数列前n 项和：Sn ＝2)(1n a a n +＝na 1＋d n n 2)1(- （2）、等比数列前n 项和：Sn ＝⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--=)1(11)1()1(,111q q q a a q q a q na n n例1：已知n S ＝1＋2＋3＋4＋……＋n ，（n ∈N ＋），求1)32(++n nS n S 的最大值。

【解析】： )1(21+=n n S n ，1)32(++n n S n S ＝64342++n n n＝34641++nn ≤501变式练习1：在等比数列{n a }中，2a －1a ＝2，且22a 为31a 和3a 的等差中项，求数列{n a }的通项公式及前n 项和。

【解析】：设该数列的公比为q ，由已知，可得a 1q －a 1＝2,4a 1q ＝3a 1＋a 1q 2，所以，a 1(q －1)＝2，q 2－4q ＋3＝0，解得q ＝3或q ＝1.由于a 1(q －1)＝2，因此q ＝1不合题意，应舍去．故公比q ＝3，首项a 1＝1.所以，数列的前n 项和S n ＝312n -.变式练习2：已知{n a }是公差不为零的等差数列，1a ＝1，且1a ，3a ，9a 成等比数列。

（1）求数列{n a }的通项公式；（2）求数列{n a2}的前n 项和n S 。

【解析】：n a ＝n n S ＝221-+n二、分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和。

例2：求数列的前n 项和：121，241，381，……(n ＋n 21) 【解析】： n n n n S 2112)1(-++=变式练习1：求数列0.9，0.99，0.999，0.9999，0.99999……的前n 项和Sn 。

求数列前n项和的七种方法

求数列前n项和的七种方法
求数列前n项和的七种方法如下：
1. 公式法：对于等差数列和等比数列，可以直接使用公式计算前n项和。

2. 倒序相加法：将数列倒序排列，然后与原数列相加，得到一个常数列，其和即为数列前n项和。

3. 错位相减法：对于一个等差数列和一个等比数列，将等差数列的每一项乘以等比数列的公比，得到一个新的等比数列，再使用错位相减法求和。

4. 裂项相消法：将数列中的每一项都拆分成两个部分，使得在求和时相邻的两项可以相互抵消。

5. 分组求和法：将数列分成若干组，每组内部求和，再将各组的和相加。

6. 累乘法：对于一个等差数列，将相邻两项相乘，得到一个新的等差数列，再使用累乘法求和。

7. 数学归纳法：对于一些特殊的数列，可以使用数学归纳法证明其前n项和的公式。

以上是求数列前n项和的七种方法，可以根据具体情况选择合适的方法进行计算。