《角的概念的推广》ppt课件
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角的概念的推广 ppt课件
363 14． （1） 60 ；（2） 21 ；（3）
练习1:
(1).把 1485 化成k 360 0 360 , k Z
0 0 0 0
的形式是
0 0
A. 4 360 45
0
B. 4 360 315
0
0
0
C. 10 360 315
(4) 已知角α的终边与角-6900的终边关于y轴对 称，求α
角与角的终边的对称关系：
1.与 终边关于x轴对称，则 k 360 ，k Z
0
2. 与的终边关于y轴对称，则 (2k 1) 180 k Z
3. 与的终边关于原点对称，则 (2k 1) 180 k Z
【例２】
在 00～3600 间，找出与下列各角终边相同的 角，并判定它们是第几象限角．
150 （1） ；（2） 650 ；（3） 950 15' ．
【例3】写出与下列各角终边相同的角的集合 S ，
360 720 并把 S 中适合不等式 的元素
写出来：
0
0
4.与的终边在一条直线上，则 k 180 ，k Z
0
初中角的概念:
顶点
O
B
角的边
A
把公共端点的两条射线组成的图形叫做角.
角还可以看成平面内一条射线
绕着端点从一个位置旋转到另一个 位置所成的图形．
一.正角、负角、零角：
正角：一条射线绕着它的端点按逆时 针方向旋转形成的角；
负角：按顺时针方向旋转形成的角。
零角：射线没有作任何旋转。
B
-1200
AOB=1200 BOA=-1200
练习1:
(1).把 1485 化成k 360 0 360 , k Z
0 0 0 0
的形式是
0 0
A. 4 360 45
0
B. 4 360 315
0
0
0
C. 10 360 315
(4) 已知角α的终边与角-6900的终边关于y轴对 称，求α
角与角的终边的对称关系：
1.与 终边关于x轴对称，则 k 360 ，k Z
0
2. 与的终边关于y轴对称，则 (2k 1) 180 k Z
3. 与的终边关于原点对称，则 (2k 1) 180 k Z
【例２】
在 00～3600 间，找出与下列各角终边相同的 角，并判定它们是第几象限角．
150 （1） ；（2） 650 ；（3） 950 15' ．
【例3】写出与下列各角终边相同的角的集合 S ，
360 720 并把 S 中适合不等式 的元素
写出来：
0
0
4.与的终边在一条直线上，则 k 180 ，k Z
0
初中角的概念:
顶点
O
B
角的边
A
把公共端点的两条射线组成的图形叫做角.
角还可以看成平面内一条射线
绕着端点从一个位置旋转到另一个 位置所成的图形．
一.正角、负角、零角：
正角：一条射线绕着它的端点按逆时 针方向旋转形成的角；
负角：按顺时针方向旋转形成的角。
零角：射线没有作任何旋转。
B
-1200
AOB=1200 BOA=-1200
角的概念的推广及其度量课件(共28张PPT)
探索研究 角的概念推广之后，利用转角给出60°+90°与90°-
30°的几何意义. 利用转角，可以给出角的加减运算的一个几何意义，
例如，对于60°+90°来说，如图5-4（1）所示：
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
问题情境：相传，我们在初中已经学过平面内的角，在平面 内，角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形 （图5-1).当时，不考虑旋转方向，不论从射线OA旋转到OB， 还是从射线OB旋转到OA，它们的旋转量都是一样的，而且 旋转量不超过一个周角，在现实生活中， 有很多角的大小超过这个范围，例如，运 动员掷链球时旋转过的角．
在平面内，一条射线绕着它的端点旋转有两个相反 的转向：顺时针方向和逆时针方向，习惯上，如图5-2 所示，
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
值得注意的是，上述角的定义中，当射线绕其端点按 逆时针方向或按顺时针方向旋转时，旋转量可以是任意的. 因此，角的概念经过以上的推广以后，就包括正角、负角、 零角.也就是说，角的大小是任意的.由此，我们把角的概 念推广到了任意角．
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
30°的几何意义. 利用转角，可以给出角的加减运算的一个几何意义，
例如，对于60°+90°来说，如图5-4（1）所示：
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
问题情境：相传，我们在初中已经学过平面内的角，在平面 内，角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形 （图5-1).当时，不考虑旋转方向，不论从射线OA旋转到OB， 还是从射线OB旋转到OA，它们的旋转量都是一样的，而且 旋转量不超过一个周角，在现实生活中， 有很多角的大小超过这个范围，例如，运 动员掷链球时旋转过的角．
在平面内，一条射线绕着它的端点旋转有两个相反 的转向：顺时针方向和逆时针方向，习惯上，如图5-2 所示，
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
值得注意的是，上述角的定义中，当射线绕其端点按 逆时针方向或按顺时针方向旋转时，旋转量可以是任意的. 因此，角的概念经过以上的推广以后，就包括正角、负角、 零角.也就是说，角的大小是任意的.由此，我们把角的概 念推广到了任意角．
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
《角概念的推广》课件
计算机视觉：用于图像识 别和跟踪
机器人技术：用于导航和 路径规划
机器学习：用于特征提取 和分类
Part Five
角的概念推广
角度的推广：极坐标系中的角度概念
极坐标系：以原点为中心，两个正交轴为极轴和极角轴 极角：从极轴正方向到直线与极轴的夹角 极角范围：0到360度 极角表示：用弧度或度数表示极角大小
添加标题
角的性质：对称性、周期性、可加 性等
角概念在现代科学中的应用和影响
几何学：角的概念是几何学的基础，用 于描述形状、位置和运动
计算机科学：角的概念在计算机科学中 用于描述图形、图像和动画
物理学：角的概念在物理学中用于描述 力、运动和能量
天文学：角的概念在天文学中用于描述 天体位置和运动
工程学：角的概念在工程学中用于设计、 制造和维护各种设备和系统
角概念的推广
PPT,a click to unlimited possibilities
汇报人：PPT
目录
01 添 加 目 录 项 标 题
02 角 的 基 本 概 念
03 角 的 分 类
04 角 的 应 用
05 角 的 概 念 推 广
06 角 的 概 念 在 数 学 中 的发展历程
Part One
辐角θ，满足 θ=arctan(b/a)， 可以推广到更广 泛的数学领域。
角度的泛化：在向量空间中的角度概念
添加标题
向量空间中的角度概念：将平 面几何中的角度概念推广到向 量空间中，使得向量之间的夹 角可以定义为两个向量的余弦 值。
添加标题
向量空间中的角度计算：通过 计算两个向量的余弦值，可以 得出两个向量之间的夹角。
古埃及：最早 使用角的概念， 用于测量土地
角的概念的推广yong(上课正式稿)精品PPT课件
1.如果 是第一象限角,那么 的取值
范围可以表示为怎样的不等式?
2.如果 是第一象限角,那么 是第几
2
象限角?
为更好满足学习和使用需求，课件在下载后 可以自由编辑，请根据实际情况进行调整
In order to better meet the needs of learning and using, the courseware is freely edited after downloading
并把 S中适合不等式 360720的元素
写出来：
（1） 6 0 ；（2） 21；（3）363 14．
三．终边相同角的表示方法： 所有与角 终边相同的角，连同角
在内可构成一个集合
S | k3 6 0 0 ,k Z
即任意与角 终边相同的角，都可 以表示成 与整数个周角的和．
练习1:
( 1 ) . 把 1 4 8 5 0 化 成 k3 6 0 00 0 3 6 0 0 ,k Z
能否把(2)题这些角用一个集合表示出来呢？ 是不是任意一个角都与0０到360０内的某一 角终边相同呢？
y
-3300 3900
300
x
o
300
=300+0x3600
3900=300+3600=300+1x3600
－3300=300－3600 =300－1x3600 300+2x3600 , 300－2x3600
角的顶点与坐标原点重合,角的始边
与x轴的正半轴重合，那角的终边在第
几象限，就说这个角是第几象限角．
y
注B ：当角的终边
落在坐标轴上时，
它不属于任何象限.
它叫轴o线角. A
Ｏ
范围可以表示为怎样的不等式?
2.如果 是第一象限角,那么 是第几
2
象限角?
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并把 S中适合不等式 360720的元素
写出来：
（1） 6 0 ；（2） 21；（3）363 14．
三．终边相同角的表示方法： 所有与角 终边相同的角，连同角
在内可构成一个集合
S | k3 6 0 0 ,k Z
即任意与角 终边相同的角，都可 以表示成 与整数个周角的和．
练习1:
( 1 ) . 把 1 4 8 5 0 化 成 k3 6 0 00 0 3 6 0 0 ,k Z
能否把(2)题这些角用一个集合表示出来呢？ 是不是任意一个角都与0０到360０内的某一 角终边相同呢？
y
-3300 3900
300
x
o
300
=300+0x3600
3900=300+3600=300+1x3600
－3300=300－3600 =300－1x3600 300+2x3600 , 300－2x3600
角的顶点与坐标原点重合,角的始边
与x轴的正半轴重合，那角的终边在第
几象限，就说这个角是第几象限角．
y
注B ：当角的终边
落在坐标轴上时，
它不属于任何象限.
它叫轴o线角. A
Ｏ
角的概念的推广课件（PPT34页)
（1） 70° （2） 210 ° （3） -60°
70°
Y 第一象 限角哦！
210 °
Y
第三象 限角哦！
O
O
X
X
第四象
Y
限角哦！
-60°
X O
画出30，390，330角，观察它们的终边 有什么特点.
y -3300
3900 o
300 x
300
=300+0x3600
3900=300+3600 =300+1x3600
•
13、乍见翻疑梦，相悲各问年。。22.1.522.1.509:30:3509:30:35January 5, 2022
•
14、他乡生白发，旧国见青山。。2022年1月5日星期三上午9时30分35秒09:30:3522.1.5
•
15、比不了得就不比，得不到的就不要。。。2022年1月上午9时30分22.1.509:30January 5, 2022
•
10、雨中黄叶树，灯下白头人。。09:30:3509:30:3509:301/5/2022 9:30:35 AM
•
11、以我独沈久，愧君相见频。。22.1.509:30:3509:30Jan-225-Jan-22
•
12、故人江海别，几度隔山川。。09:30:3509:30:3509:30Wednesday, January 05, 2022
要注意，正角和负角是表示具有相反意义 的旋转量，它的正负规定纯属于习惯，就好象 与正数、负数的规定一样，零角无正负，就好 象数零无正负一样．
用旋转来描述角，需要注意三个要素（旋 转中心、旋转方向和旋转量） （1）旋转中心：作为角的顶点.
（2）旋转方向：旋转变换的方向分为逆时针 和顺时针两种，这是一对意义相反的量，
70°
Y 第一象 限角哦！
210 °
Y
第三象 限角哦！
O
O
X
X
第四象
Y
限角哦！
-60°
X O
画出30，390，330角，观察它们的终边 有什么特点.
y -3300
3900 o
300 x
300
=300+0x3600
3900=300+3600 =300+1x3600
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13、乍见翻疑梦，相悲各问年。。22.1.522.1.509:30:3509:30:35January 5, 2022
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14、他乡生白发，旧国见青山。。2022年1月5日星期三上午9时30分35秒09:30:3522.1.5
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15、比不了得就不比，得不到的就不要。。。2022年1月上午9时30分22.1.509:30January 5, 2022
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10、雨中黄叶树，灯下白头人。。09:30:3509:30:3509:301/5/2022 9:30:35 AM
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11、以我独沈久，愧君相见频。。22.1.509:30:3509:30Jan-225-Jan-22
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12、故人江海别，几度隔山川。。09:30:3509:30:3509:30Wednesday, January 05, 2022
要注意，正角和负角是表示具有相反意义 的旋转量，它的正负规定纯属于习惯，就好象 与正数、负数的规定一样，零角无正负，就好 象数零无正负一样．
用旋转来描述角，需要注意三个要素（旋 转中心、旋转方向和旋转量） （1）旋转中心：作为角的顶点.
（2）旋转方向：旋转变换的方向分为逆时针 和顺时针两种，这是一对意义相反的量，
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我们以前所学过的角都是大于0度，小于或等于360 度的角.
生活中很多实例不在0°～360°范围内. 像体操运动员转体720º，跳水运动员向内、向外转
体1 080º.
本节课我们进一步研究更广泛的角.
地球绕太阳旋转，角的范围如何来表示？
角
这就是这节课我们所要学习的内容——角
1.通过实例深刻理解推广后角的概念.(重点) 2.理解正角、负角和零角的定义及任意角、象限角
思考2：类比数系的扩充，思考角的概念是否 也可以推广?
提示：类比正负数可表示具有相反意义的量，对 于旋转方向不同的角，我们猜想：也可以用正负 来表示.
任意角定义：
逆时针
注意角的
顺时针
旋转方向和 旋转量.
正角：按逆时针方向旋转形成的角
任 负角：按顺时针方向旋转形成的角
意 角
零角：一条射线从起始位置OA 没有作任何旋转，终止位置OB与
角的终边可能落在哪些位置？
提示：如图，可以是坐标轴、
y
第一象限、第二象限、
第三象限、第四象限
o
x
象限角 1.角的顶点与原点重合; 2.角的始边重合于x轴的非负半轴; 则角的终边（除端点外）在第几象限，就是第 几象限角.
象限角的图形表示
终边
y 终边
ⅡⅠ
x Ⅰ Ⅱ
O ⅢⅣ
始边 Ⅲ Ⅳ
终边
§2 角的概念的推广
1.在初中角是如何定义的？ 定义1：有公共端点的两条射线组成的几何图形叫作 角. 顶点
边
边
定义2：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋 转到另一个位置所形成的图形叫作角.
B 终边
顶点
O
A 始边
2.角是如何度量的? 角的单位是度.规定:周角的 为1 1度的角.
360
3.我们学过哪些角?它们的大小是多少? 锐角:大于0度小于90度 直角：等于90度 钝角:大于90度小于180度 平角：等于180度 周角：等于360度
起始位置OA重合
记法：角 或 ,可简记为 .
说明：
1.角的正负由旋转方向决定. 2.角可以任意大小，其数值的大小由旋转次数 及终边位置决定.
这样，我们就把角的概念推广到了任意角.
探究点2 象限角
思考1：为了进一步研究角的需要，我们常在直角
坐标系内讨论角，并使角的顶点与原点重合,角的
始边与x轴的非负半轴重合，那么对一个任意角，
思考2：所有与30°角终边相同的角，连同30°角 在内，可构成一个集合S，你能用描述法表示集合S 吗？
提示：集合 S= β β=30o +k 360o,k Z
提醒：所有与30°角终边相同的角，连同30°角在 内，都是集合S的元素；反过来，集合S的任一元素 显然都与30°角终边相同.
终边相同的角的表示 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成 一个集合：
(4)k的两层含义： ①特殊性：每对k赋一个值可得一个具体角； ②一般性：表示了所有与终边α重合的角的集合.
(5)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一 定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差 360°的整数倍.
例1 判定下列各角是第几象限角： （1）-60°. （2）606°. （3） -950°12'.
4.在0°～360°范围内,找出与-990°15′角终边相 同的角,并判定它是第几象限角.
解 : 因为-990°15′= 89°45′-3×360°, 所以在0°～360°范围内, 与-990°15′角终边相同的
角是89°45′, 它是第一象限角.
5范围内,终边在x轴上的角 有两个0°,180°.
与270°角（如图）.因此，所有与90°角终边相同的角构成
集合S1=
90 k 360 ,k Z ;
而所有与270°角终边相同的角构成集合
S2= 270 k 360 ,k Z .
于是，终边在y轴上的角的集合
S=S1∪S2= 90 k 360 ,k∈Z ∪
{β| β=270°+k×360°,k∈Z} ={β| β=90°+k×180°,k∈Z}.
探究点3 终边相同的角 思考1：在坐标轴上画出
30°,390°,-330°, 它 们有什么共同点和内在 联系？
y
-330° 390°
O
30° x
提示：终边相同，且
30°=30°+ 0×360°
390°=30°+360°=30°+1×360° -330°=30°-360°=30°-1×360°
390°,-330°两个角都可以表示成30°角与k个周角的 和,其中k为整数.
例3 写出与60°角终边相同的角的集合S,并把S中
适合不等式-360°≤ β ＜720° 的元素β 写出来.
解：S =｛β 丨 β=k×360°+60°,k∈Z｝. S 中适合-360°≤ β ＜720°的元素是:
60°-1×360° =-300°, 60°+0×360°=60°, 60°+1×360°=420°.
终边
提示：象限角只能反映角的终边所在象限，不能反 映角的大小.
思考2：如图所示的角α、 角β是第几象限角？怎样 判断一个角是第几象限角？
提示：角α是第一象限角，角β是第三象限角.判 断方法是将角的顶点与坐标原点重合，角的始边 与x轴的非负半轴重合，角的终边落在第几象限， 就说该角是第几象限角.
坐标轴上的角
S= _{_β__|_β__=_α__+_k_×__3_6_0_°__,_k_∈__Z_}_. 即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角 α与周角的整数倍的和.
注意: (1)k∈Z. (2)α是任意角.
(3)k×360°与α 之间是“+”号， 如k×360°30°,应看成k×360°+（-30°）.
与0°角终边相同的角构成的集合
S1={β| β=k×360°, k∈Z };
与180°角终边相同的角构成的集合
S2={β| β=180°+k×360°,k∈Z } ={β| β=180°+2k×180°,k∈Z }.
S=S1∪S2={β|β=k×180°, k∈Z }.
回顾本节课的收获
1.理解角的概念推广的必要性. 2.理解任意角和象限角的概念. 3.掌握所有与角α终边相同的角的表示方法.
的概念.（重点）
3.掌握所有与角α终边相同的角的表示方法.
（难点）
探究点1 任意角的概念 思考1：下面的角度如何表示？ （１）你的手表慢了５分钟，想将它校准， 分针应该旋转多少度？ 顺时针旋转30度 （２）假如你的手表快了2.5小时，想将它校 准，分针应该旋转多少度？ 逆时针旋转900度
注意：旋转方向和旋转量确定了校准手表的方式.
解:（1）因为-60°角的终边在第四象限， 所以它是第四象限角.
（2）因为606°=360°+246°,
所以606°与246°角的终边重合，而246°的终边在第
三象限，所以606°是第三象限角.
（3）因为-950°12' = （-2）×360°-230°12',
而-230°12'的终边在第二象限，所以-950°12 '是
第二象限角. 方法总结:判断一个角所在象限或不同角之间的终边 关系，只要把它们化为 β + k·360°,k∈Z，（0°≤ β ＜360°），然后只要考查β 的相关问题即可.
例2 在直角坐标系中，写出终边在y轴上的角的集
合（用0°～360°的角表示).
解: 在0°～360°范围内，终边在y轴上的角有两个，即90°
如果角的终边落在了坐标轴上，就认为这
个角不属于任何象限.
例如：角的终边落在x轴或y轴上. 按终边的位置分类
第一象限角
第二象限角 象限角 第三象限角
角
第四象限角
坐标轴上的角
想一想 1.锐角是第几象限的角？ 答：锐角是第一象限的角. 2.第一象限的角是否都是锐角？
答：第一象限的角并不都是锐角. 3.小于90°的角都是锐角吗？ 答：小于90°的角并不都是锐角，它也有可能是零角 或负角.
1.已知下列各角：①-120°；②-240°；③180°； ④495°，其中是第二象限角的是( D ) A.①② B.①③ C.②③ D.②④ 2.若β是第四象限角，则180°-β是第__三__象限角.
3.与600°角终边相同的角可表示为( B ) A.k·360°＋220°(k∈Z) B.k·360°＋240°(k∈Z) C.k·360°＋60°(k∈Z) D.k·360°＋260°(k∈Z)
生活中很多实例不在0°～360°范围内. 像体操运动员转体720º，跳水运动员向内、向外转
体1 080º.
本节课我们进一步研究更广泛的角.
地球绕太阳旋转，角的范围如何来表示？
角
这就是这节课我们所要学习的内容——角
1.通过实例深刻理解推广后角的概念.(重点) 2.理解正角、负角和零角的定义及任意角、象限角
思考2：类比数系的扩充，思考角的概念是否 也可以推广?
提示：类比正负数可表示具有相反意义的量，对 于旋转方向不同的角，我们猜想：也可以用正负 来表示.
任意角定义：
逆时针
注意角的
顺时针
旋转方向和 旋转量.
正角：按逆时针方向旋转形成的角
任 负角：按顺时针方向旋转形成的角
意 角
零角：一条射线从起始位置OA 没有作任何旋转，终止位置OB与
角的终边可能落在哪些位置？
提示：如图，可以是坐标轴、
y
第一象限、第二象限、
第三象限、第四象限
o
x
象限角 1.角的顶点与原点重合; 2.角的始边重合于x轴的非负半轴; 则角的终边（除端点外）在第几象限，就是第 几象限角.
象限角的图形表示
终边
y 终边
ⅡⅠ
x Ⅰ Ⅱ
O ⅢⅣ
始边 Ⅲ Ⅳ
终边
§2 角的概念的推广
1.在初中角是如何定义的？ 定义1：有公共端点的两条射线组成的几何图形叫作 角. 顶点
边
边
定义2：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋 转到另一个位置所形成的图形叫作角.
B 终边
顶点
O
A 始边
2.角是如何度量的? 角的单位是度.规定:周角的 为1 1度的角.
360
3.我们学过哪些角?它们的大小是多少? 锐角:大于0度小于90度 直角：等于90度 钝角:大于90度小于180度 平角：等于180度 周角：等于360度
起始位置OA重合
记法：角 或 ,可简记为 .
说明：
1.角的正负由旋转方向决定. 2.角可以任意大小，其数值的大小由旋转次数 及终边位置决定.
这样，我们就把角的概念推广到了任意角.
探究点2 象限角
思考1：为了进一步研究角的需要，我们常在直角
坐标系内讨论角，并使角的顶点与原点重合,角的
始边与x轴的非负半轴重合，那么对一个任意角，
思考2：所有与30°角终边相同的角，连同30°角 在内，可构成一个集合S，你能用描述法表示集合S 吗？
提示：集合 S= β β=30o +k 360o,k Z
提醒：所有与30°角终边相同的角，连同30°角在 内，都是集合S的元素；反过来，集合S的任一元素 显然都与30°角终边相同.
终边相同的角的表示 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成 一个集合：
(4)k的两层含义： ①特殊性：每对k赋一个值可得一个具体角； ②一般性：表示了所有与终边α重合的角的集合.
(5)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一 定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差 360°的整数倍.
例1 判定下列各角是第几象限角： （1）-60°. （2）606°. （3） -950°12'.
4.在0°～360°范围内,找出与-990°15′角终边相 同的角,并判定它是第几象限角.
解 : 因为-990°15′= 89°45′-3×360°, 所以在0°～360°范围内, 与-990°15′角终边相同的
角是89°45′, 它是第一象限角.
5范围内,终边在x轴上的角 有两个0°,180°.
与270°角（如图）.因此，所有与90°角终边相同的角构成
集合S1=
90 k 360 ,k Z ;
而所有与270°角终边相同的角构成集合
S2= 270 k 360 ,k Z .
于是，终边在y轴上的角的集合
S=S1∪S2= 90 k 360 ,k∈Z ∪
{β| β=270°+k×360°,k∈Z} ={β| β=90°+k×180°,k∈Z}.
探究点3 终边相同的角 思考1：在坐标轴上画出
30°,390°,-330°, 它 们有什么共同点和内在 联系？
y
-330° 390°
O
30° x
提示：终边相同，且
30°=30°+ 0×360°
390°=30°+360°=30°+1×360° -330°=30°-360°=30°-1×360°
390°,-330°两个角都可以表示成30°角与k个周角的 和,其中k为整数.
例3 写出与60°角终边相同的角的集合S,并把S中
适合不等式-360°≤ β ＜720° 的元素β 写出来.
解：S =｛β 丨 β=k×360°+60°,k∈Z｝. S 中适合-360°≤ β ＜720°的元素是:
60°-1×360° =-300°, 60°+0×360°=60°, 60°+1×360°=420°.
终边
提示：象限角只能反映角的终边所在象限，不能反 映角的大小.
思考2：如图所示的角α、 角β是第几象限角？怎样 判断一个角是第几象限角？
提示：角α是第一象限角，角β是第三象限角.判 断方法是将角的顶点与坐标原点重合，角的始边 与x轴的非负半轴重合，角的终边落在第几象限， 就说该角是第几象限角.
坐标轴上的角
S= _{_β__|_β__=_α__+_k_×__3_6_0_°__,_k_∈__Z_}_. 即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角 α与周角的整数倍的和.
注意: (1)k∈Z. (2)α是任意角.
(3)k×360°与α 之间是“+”号， 如k×360°30°,应看成k×360°+（-30°）.
与0°角终边相同的角构成的集合
S1={β| β=k×360°, k∈Z };
与180°角终边相同的角构成的集合
S2={β| β=180°+k×360°,k∈Z } ={β| β=180°+2k×180°,k∈Z }.
S=S1∪S2={β|β=k×180°, k∈Z }.
回顾本节课的收获
1.理解角的概念推广的必要性. 2.理解任意角和象限角的概念. 3.掌握所有与角α终边相同的角的表示方法.
的概念.（重点）
3.掌握所有与角α终边相同的角的表示方法.
（难点）
探究点1 任意角的概念 思考1：下面的角度如何表示？ （１）你的手表慢了５分钟，想将它校准， 分针应该旋转多少度？ 顺时针旋转30度 （２）假如你的手表快了2.5小时，想将它校 准，分针应该旋转多少度？ 逆时针旋转900度
注意：旋转方向和旋转量确定了校准手表的方式.
解:（1）因为-60°角的终边在第四象限， 所以它是第四象限角.
（2）因为606°=360°+246°,
所以606°与246°角的终边重合，而246°的终边在第
三象限，所以606°是第三象限角.
（3）因为-950°12' = （-2）×360°-230°12',
而-230°12'的终边在第二象限，所以-950°12 '是
第二象限角. 方法总结:判断一个角所在象限或不同角之间的终边 关系，只要把它们化为 β + k·360°,k∈Z，（0°≤ β ＜360°），然后只要考查β 的相关问题即可.
例2 在直角坐标系中，写出终边在y轴上的角的集
合（用0°～360°的角表示).
解: 在0°～360°范围内，终边在y轴上的角有两个，即90°
如果角的终边落在了坐标轴上，就认为这
个角不属于任何象限.
例如：角的终边落在x轴或y轴上. 按终边的位置分类
第一象限角
第二象限角 象限角 第三象限角
角
第四象限角
坐标轴上的角
想一想 1.锐角是第几象限的角？ 答：锐角是第一象限的角. 2.第一象限的角是否都是锐角？
答：第一象限的角并不都是锐角. 3.小于90°的角都是锐角吗？ 答：小于90°的角并不都是锐角，它也有可能是零角 或负角.
1.已知下列各角：①-120°；②-240°；③180°； ④495°，其中是第二象限角的是( D ) A.①② B.①③ C.②③ D.②④ 2.若β是第四象限角，则180°-β是第__三__象限角.
3.与600°角终边相同的角可表示为( B ) A.k·360°＋220°(k∈Z) B.k·360°＋240°(k∈Z) C.k·360°＋60°(k∈Z) D.k·360°＋260°(k∈Z)