2006年江西省高考试题(数学理)含祥解
2006年江苏省高考试题(数学)含详解汇总
2006年普通高等学校招生全国统一考试数 学（江苏卷）参考公式： 一组数据的方差])()()[(1222212x x x x x x n S n -++-+-=其中x 为这组数据的平均数一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，恰．有一项．．．是符合题目要求的。
（1）已知R a ∈，函数R x a x x f ∈-=|,|sin )(为奇函数，则a ＝（A ）0 （B ）1 （C ）－1 （D ）±1 （2）圆1)3()1(22=++-y x 的切线方程中有一个是（A ）x －y ＝0 （B ）x ＋y ＝0 （C ）x ＝0 （D ）y ＝0（3）某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x ，y ，10，11，9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则｜x －y ｜的值为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4（4）为了得到函数R x x y ∈+=),63sin(2π的图像，只需把函数R x x y ∈=,sin 2的图像上所有的点（A ）向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变） （B ）向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变）（C ）向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）（D ）向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）（5）10)31(xx -的展开式中含x 的正整数指数幂的项数是（A ）0 （B ）2 （C ）4 （D ）6（6）已知两点M （－2，0）、N （2，0），点P 为坐标平面内的动点，满足||||MN MP MN NP ⋅+⋅＝0，则动点P （x ，y ）的轨迹方程为（A ）x y 82= （B ）x y 82-= （C ）x y 42= （D ）x y 42-= （7）若A 、B 、C 为三个集合，C B B A ⋂=⋃，则一定有（A ）C A ⊆ （B ）A C ⊆ （C ）C A ≠ （D ）φ=A （8）设a 、b 、c 是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立．．．．的是 （A ）||||||c b c a b a -+-≤- （B ）aa a a 1122+≥+ （C ）21||≥-+-ba b a （D ）a a a a -+≤+-+213 （9）两相同的正四棱锥组成如图1为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD 某一个平面平行，且各顶点．．．的几何体体积的可能值有（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）无穷多个（10）右图中有一个信号源和五个接收器。
2006年高考数学试卷(重庆卷.理)含详解
2006年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题卷（理工农医类）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分。
在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合{}{}{}5,4,3,7,5,4,2,7,6,5,4,3,2,1===B A U ，则()()U UA B ⋃痧＝（ ）（A ）{}6,1 （B ）{}5,4 （C ）{}7,5,4,3,2 （D ）{7,6,3,2,1}（2）在等差数列{}n a 中，若4612a a +=，n S 是数列的{}n a 的前n 项和，则9S 的值为（ ） （A ）48 (B)54 (C)60 （D ）66（3）过坐标原点且与圆2254202x y x y +-++=相切的直线方程为（ ） （A ）x y x y 313=-=或 （B ）x y x y 313-==或（C ）x y x y 313-=-=或 （D ）x y x y 313==或（4）对于任意的直线l 与平面α，在平面α内必有直线m ，使m 与l （ ）（A ）平行 （B ）相交 （C ）垂直 （D ）互为异面直线（5）若nx x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-13的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为（ ）（A ）－540 （B ）－162 （C ）162 （D ）540（6）为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁－18岁的男生体重（kg ），得到频率分布直方图如下：根据上图可得这100名学生中体重在[)5.64,5.56的学生人数是（ ） （A ）20 （B ）30 （C ）40 （D ）50（7）与向量7117,,,2222a b ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的夹角相等，且模为1的向量是（ ）（A ）⎪⎭⎫ ⎝⎛-53,54（B ）⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-53,5453,54或（C ）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-31,322（D ）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-31,32231,322或 （8）将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有（ ）（A ）30种 （B ）90种 （C ）180种 （D ）270种（9）如图所示，单位圆中AB 的长为x ，()f x 表示弧 AB 与弦AB 所围成的弓形面积的2倍，则函数()y f x =的图像是（ ）（A 1 （B 1 （C ）2 （D ）2 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分。
2006年高考数学试卷(天津卷.理)含详解
绝密★启用前2006年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数 学（理工类）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第I 卷（本卷共10小题，每小题5分，共50分）参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么)()()(B P A P B A P +=+ 如果事件A 、B 相互独立，那么)()()(B P A P B A P ⋅=⋅如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率k n k k n n P P C k P --=)1()(一. 选择题：在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. i 是虚数单位，=+ii1（ ） A. i 2121+ B. i 2121+- C. i 2121- D. i 2121--2. 如果双曲线的两个焦点分别为)0,3(1-F 、)0,3(2F ，一条渐近线方程为x y 2=，那么它的两条准线间的距离是（ ） A. 36 B. 4 C. 2 D. 13. 设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≥+≤632x y y x xy ，则目标函数y x Z +=2的最小值为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 94. 设集合}20|{},30|{≤<=≤<=x x N x x M ，那么“M a ∈”是“N a ∈”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5. 将4个颜色互不相同的球全部放入编与为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（ ） A. 10种 B. 20种 C. 36种 D. 52种6. 设n m 、是两条不同的直线，βα、是两个不同的平面，考查下列命题，其中正确的命题是（ ）A. βαβα⊥⇒⊥⊂⊥n m n m ,,B. n m n m ⊥⇒⊥βαβα//,,//C. n m n m ⊥⇒⊥⊥βαβα//,,D. ββαβα⊥⇒⊥=⋂⊥n m n m ,,7. 已知数列}{n a 、}{n b 都是公差为1的等差数列，其首项分别为1a 、1b ，且511=+b a ，*11N b a ∈、，设n b n a c =（*N n ∈），则数列}{n c 的前10项和等于（ ）A. 55B. 70C. 85D. 1008. 已知函数x b x a x f cos sin )(-=（b a 、为常数，R x a ∈≠,0）在4π=x 处取得最小值，则函数)43(x f y -=π是（ ） A. 偶函数且它的图象关于点（0,π）对称B. 偶函数且它的图象关于点（0,23π）对称 C. 奇函数且它的图象关于点（0,23π）对称D. 奇函数且它的图象关于点（0,π）对称9. 函数)(x f 的定义域为开区间（b a ,），导函数)(x f '在（b a ,）内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间（b a ,）内有极小值点（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个10. 已知函数)(x f y =的图象与函数xa y =（0>a 且1≠a ）的图象关于直线x y =对称，记]1)2()()[()(-+=f x f x f x g 。
2006年高考数学试卷（湖北卷.理）含详解
2006年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工农医类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共4页。
全卷共150分。
考试用时120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共50分）注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题纸上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2. 每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。
3. 考试结束后，监考人员将本试题卷和答题卡一并收回。
一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分散。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知向量a =，b 是不平行于x 轴的单位向量，且a b =b = ( B )A ．（12） B ．（12 C ．（14） D ．（1,0）2.若互不相等的实数成等,,a b c 差数列，,,c a b 成等比数列，且310a b c ++=，则a = ( D )A ．4B ．2C ．－2D ．－4 3.若的内角满ABC ∆A 足2sin 23A =，则sin cos A A += ( A )A.3B ．3-．53 D ．53-4．设2()lg2x f x x +=-，则的定义域2()()2x f f x+为 ( B ) A ．(4,0)(0,4)- B ．(4,1)(1,4)-- C ．(2,1)(1,2)-- D ．(4,2)(2,4)--5．在的展开式24(x 中，x 的幂的指数是整数的项共有 ( C ) A ．3项 B ．4项 C ．5项 D ．6项6．关于直线与,m n 平面,αβ，有以下四个命题： ①若//,//m n αβ且//αβ，则//m n ； ②若,m n αβ⊥⊥且αβ⊥，则m n ⊥； ③若,//m n αβ⊥且//αβ，则m n ⊥； ④若//,m n αβ⊥且αβ⊥，则//m n ；其中真命题的序号是 ( D ) A ．①② B ．③④ C ．①④ D ．②③7．设过点的直(,)P x y 线分别与轴x 的正半轴和y 轴的正半轴交于,A B 两点，点与点关于Q P y 轴对称，O 为坐标原点，若2B P P A =且1OQ AB =，则点的轨迹P 方程是 ( D )A ．22331(0,0)2x y x y +=>> B ．22331(0,0)2x y x y -=>> C ．22331(0,0)2x y x y -=>> D ．22331(0,0)2x y x y +=>>8．有限集合中S 元素的个数记做()card S ，设都为有限,A B 集合，给出下列命题： ①A B =∅ 的充要条件是()()()card A B card A card B =+ ； ②A B ⊆的充要条件是()()card A card B ≤； ③A B Ú的充要条件是()()card A card B ≤； ④A B =的充要条件是()()card A card B =；其中真命题的序号是 ( B ) A ．③④ B ．①② C ．①④ D ．②③9．已知平面区域D 由以为(1,3),(5,2),(3,1)A B C 顶点的三角形内部＆边界组成。
2006年高考数学试卷(江西卷.理)含详解
2006年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
第Ⅰ卷1至2页。
第Ⅱ卷3至4页。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意事项：1.答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中“座位号、姓名、科类”与本人座位号、姓名、科类是否一致。
2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3．答第Ⅱ卷时，必须用0.5毫米墨水签字笔在答题卡上书写。
在试题卷上作答无效。
4．考试结束，监考人员将试题卷和答题卡一并收回。
参考公式：如果时间A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+ 如果时间A 、B 相互独立，那么()()()P A B P A P B =如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()()1n kk kn n P k C P P -=-球的表面积公式24S R π=，其中R 表示球的半径 球的体积公式343V R π=，其中R 表示球的半径第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知集合M ＝｛x|3x 0x 1≥（－）｝，N ＝｛y|y ＝3x 2＋1，x ∈R ｝，则M ⋂N ＝（ ） A ．∅ B. {x|x ≥1} C.｛x|x >1｝ D. {x| x ≥1或x <0}2、已知复数z 3i ）z ＝3i ，则z ＝（ ）A ．322 B. 344 C. 322 D.3443、若a >0，b >0，则不等式－b <1x<a 等价于（ ） A ．1b －<x <0或0<x <1a B.－1a <x <1b C.x <-1a 或x >1b D.x <1b －或x >1a4、设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 是抛物线上一点，若OA F A ∙ ＝－4则点A 的坐标是（ ）A ．（2，±） B. (1，±2) C.（1，2）D.(2，)5、对于R 上可导的任意函数f （x ），若满足（x －1）f x '（）≥0，则必有（ ） A ． f （0）＋f （2）<2f （1） B. f （0）＋f （2）≤2f （1） B ． f （0）＋f （2）≥2f （1） C. f （0）＋f （2）>2f （1）6、若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈（0，12〕成立，则a 的取值范围是（ ） A ．0 B. –2 C.-52D.-3 7、已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，若1O a B ＝200OA a OC＋，且A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点O ），则S 200＝（ ） A ．100 B. 101 C.200 D.201 8、在（x）2006的二项展开式中，含x 的奇次幂的项之和为S ，当x时，S 等于（ ） A.23008 B.-23008 C.23009 D.-230099、P 是双曲线22x y 1916－＝的右支上一点，M 、N 分别是圆（x ＋5）2＋y 2＝4和（x －5）2＋y 2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为（ ） A. 6 B.7 C.8 D.910、将7个人（含甲、乙）分成三个组，一组3人，另两组2 人，不同的分组数为a ，甲、乙分到同一组的概率为p ，则a 、p 的值分别为（ ） A ． a=105 p=521 B.a=105 p=421 C.a=210 p=521 D.a=210 p=42111、如图，在四面体ABCD 中，截面AEF 经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O ，且与BC ，DC 分别截于E 、F ，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A －BEFD 与三棱锥A －EFC 的表面积分别是S 1，S 2，则必有（ ）A. S 1<S 2B. S 1>S 2C. S 1=S 2D. S 1，S 2的大小关系不能确定 12、某地一年的气温Q （t ）（单位：ºc ）与时间t （月份）之间的关系如图（1）所示，已知该年的平均气温为10ºc ，令G （t ）表示时间段〔0,t 〕的平均气温，G （t ）与t 之间的函数关系用下列图象表示，则正确的应该是（ ）C理科数学第Ⅱ卷（非选择题 共90分）注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上书写作答无效。
2006年高考数学试卷(安徽卷.理)含详解
D． 3
4
D．
7
2
D．
3
2
（13）、设常数
a
0
，
ax2
1 x
4
lim(a a2 an ) __________。
n
（14）、在 A ABCD 中， AB a, AD b, AN 3NC ，M 为 BC 的中点，则
2006（安徽卷） 理科数学
参考公式：
如果时间 A、B 互斥，那么 P( A B) P( A) P(B)
如果时间 A、B 相互独立，那么 P( AAB) P( A)AP(B)
如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P，那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的
概率 Pn k Cnk Pk 1 Pnk
球的表面积公式 S 4 R2 ，其中 R 表示球的半径 球的体积公式V 4 R3 ，其中 R 表示球的半径
3
第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。
（1）、复数
A． i
1 3i
C． 3 i
a
2
b
2
D． 4
a2
2
b2
，则
D． 3 i
D．
p
是
q
成立的
（5）、函数 y
x
，
2 A． y
x
，
2 C． y
（6）、将函数
x2 , x 0
x ， x 0
x ， x 0
y
2011年高考数学真题(江西.理)含详解
绝密★启用前2011年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
第I 卷1至2页。
第Ⅱ卷3 至4页，满分150分，考试时间120分钟. 考试结束后， 考试注意：1．答题前，考生在答题卡上务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考试要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考试本人的准考证号、姓名是否一致.2.第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，.第II 卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答，答案无效.3.考试结束后，监考员将试题卷、答题卡一并交回。
参考公式：样本数据（11,y x ），（22,y x ），...，（n n y x ,）的线性相关系数∑∑∑===----=ni in i ini iiy y x x y y x x r 12121)()())(( 其中nx x x x n+++= (21)ny y y y n+++= (21)锥体的体积公式13V Sh =其中S 为底面积，h 为高第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.（1） 若iiz 21+=,则复数-z = ( )A.i --2B. i +-2C. i -2D.i +2答案：C 解析： i i i i i i i z -=--=+=+=21222122 （2） 若集合}02|{},3121|{≤-=≤+≤-=xx x B x x A ,则B A ⋂= ( )A.}01|{<≤-x xB.}10|{≤<x xC.}20|{≤≤x xD.}10|{≤≤x x 答案：B 解析：{}{}{}10/,20/,11/≤<=⋂≤<=≤≤-=x x B A x x B x x A （3） 若)12(21log1)(+=x x f ,则)(x f 的定义域为 ( )A. (21-,0)B. (21-,0]C. (21-,∞+) D. (0,∞+)答案： A 解析：()⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈∴<+<∴>+0,211120,012log 21x x x（4） 若x x x x f ln 42)(2--=,则0)('>x f 的解集为 ( )A. (0,∞+)B. (-1,0)⋃(2,∞+)C. (2,∞+)D. (-1,0)答案：C 解析：()()()2,012,0,02,0422'2>∴>+-∴>>-->--=x x x x xx x x x x f （5） 已知数列}{n a 的前n 项和n S 满足:m n m n S S S +=+,且11=a ,那么=10a ( ) A. 1 B. 9 C. 10 D. 55答案：A 解析： 11,41,31,2104314321321212==∴=+==∴=+==∴=+=a a S S S a S S S a S a a S（6） 变量X 与Y 相对应的一组数据为(10,1),(11.3,2),(11.8,3),(12.5,4),(13,5);变量U 与V 相对应的一组数据为(10,5),(11.3,4），（11.8,3），（12.5,2），（13,1).1r 表示变量Y 与X 之间的线性相关系数,2r 表示变量V 与U 之间的线性相关系数,则 ( )A.012<<r rB. 120r r <<C.120r r <<D. 12r r =答案：C 解析： ()()()()∑∑∑===----=ni ini ini iiy y x x yyx x r 12121 第一组变量正相关，第二组变量负相关。
2009年江西高考数学理科卷带详解
2009年高考理科 数学卷（江西)一．选择题：本大题共12小题，每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.若复数()()211i z x x =-+-为纯虚数,则实数x 的值为 （ )A 。
-1 B.0 C.1 D 。
-1或1 【测量目标】复数的基本概念.【考查方式】由纯虚数概念直接进行求解. 【难易程度】容易 【参考答案】A【试题解析】由纯虚数概念得：210110x x x ⎧-=⇒=-⎨-≠⎩，故选A.2。
函数ln 1x y +=的定义域为 ( ）A.(4,1)--B.(4,1)-C.(1,1)- D 。
(]1,1- 【测量目标】函数的定义域。
【考查方式】由对数函数、根式性质分别求解,直接得出答案。
【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】由210340x x x +>⎧⎨--+>⎩141x x >-⎧⇒⎨-<<⎩，（步骤1） 11x ⇒-<<.故选C 。
（步骤2）3.已知全集U =AB 中有m 个元素，()()UU A B 中有n 个元素．若A B 非空,则A B的元素个数为 ( ) A.mn B.m +n C.n m - D.m n - 【测量目标】集合的含义，集合的基本运算。
【考查方式】利用交并补之间的基本关系，进行计算. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题解析】()()UUUA B A B ⎡⎤=⎣⎦，AB m n ∴=-，故选D4.若函数()π()1cos ,(0)2f x x x x=+，则()f x 的最大值为 ( )A 。
1 B.2 1 2 【测量目标】同角三角函数的基本关系，三角函数的值域。
【考查方式】对函数进行化简，进一步得到答案. 【难易程度】容易 【参考答案】B【试题解析】()()1cos cos f x x x x x =+=π2cos 3x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭π(0)2x.（步骤1) 当π3x =时，ππ()2cos 2cos0233f x ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭。
2006年高考数学试题(江西理)含答案
2006高等学校全国统一考试数学理试题（江西理）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合230{31}(1)x M x N y y x x R x ⎧⎫===+∈⎨⎬-⎩⎭，，≥，则 M N 等于（ ） Ａ．∅ Ｂ．{1}x x ≥ Ｃ．{1}x x > Ｄ．{10}x x x <或≥2．已知复数z满足3)3i z i =，则z 等于（ ）Ａ．322-Ｂ．344-Ｃ．322+Ｄ．344+3．若00a b >>，，则不等式1b a x-<<等价于（ ）Ａ．10x b-<<或10x a<< Ｂ．11x a b-<<Ｃ．1x a<-或1x b>Ｄ．1x b<-或1x a>4．设O 为坐标原点，F 为抛物经24y x =的焦点，A 为抛物线上一点，若4OA AF =-，则点A 的坐标为（ ）Ａ．(2±， Ｂ．(12)±， Ｃ．(12)，Ｄ．(2 5．对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足(1)()0x f x '-≥，则必有（ ） Ａ．(0)(2)2(1)f f f +< Ｂ．(0)(2)2(1)f f f +≤ Ｃ．(0)(2)2(1)f f f +≥Ｄ．(0)(2)2(1)f f f +>6．若不等式210x ax ++≥对一切102x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，成立，则a 的最小值为（ ）Ａ．0Ｂ．2-Ｃ．52- Ｄ．3-7．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若120O B aO A a O C =+，且A B C ，，三点共线（该直线不过点O ），则200S 等于（ ）Ａ．100 Ｂ．101 Ｃ．200 Ｄ．2018．在2006(x -的二项展开式中，含x 的奇次幂的项之和为S，当x =S 等于（ ）Ａ．30082Ｂ．30082-Ｃ．30092Ｄ．30092-9．P 为双曲线221916xy-=的右支上一点，M N ，分别是圆22(5)4x y ++=和22(5)1x y -+=上的点，则PM PN -的最大值为（ ）Ａ．6 Ｂ．7 Ｃ．8 Ｄ．910．将7个人（含甲、乙）分成三个组，一组3人，另两组各2人，不同的分组数为a ，甲、乙分在同一组概率为p ，则a p ，的值分别为（ ） Ａ．510521a p ==， Ｂ．410521a p ==，Ｃ．521021a p ==， Ｄ．421021a p ==， 11．如图，在四面体A B C D 中，截面AEF 经过四面 体的内切球（与四个面都相切的球）球心O ，且与 BC DC ，分别截于E F ，．如果截面将四面体分 为体积相等的两部分，设四棱锥A BEFD -与三棱锥A E F C -的表面积分别为12S S ，，则必有（ ）Ａ．12S S < Ｂ．12S S > Ｃ．12S S = Ｄ．1S ，2S 的大小关系不能确定12．某地一年内的气温()Q t之间的关系如图（1令()C t 表示时间段[0]t ，第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，请把答案填在答题卡上． 13．数列2141n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的前n 项和为n S ，则lim n n S →∞= ． 14．设3()log (6)f x x =+的反函数为1()f x -，若11[()6][()6]27fm fn --++= ，则()f m n += ．15．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，底面为直角三角形，1906ACB AC BC CC ∠====，，．P 是BC 上一动点，则1C P PA +的最小值为 ．16．已知圆2:(cos )M x θ+2(sin )1y θ+-=，填线:l y kx =，下面四个命题 A ．对任意实数k 和θ，直线l 和圆M 相切；B ．对任意实数k 和θ，直线l 和圆M 有公共点；C ．对任意实数θ，必存在实数k ，使得直线l 和圆M 相切；D ．对任意实数k ，必存在实数θ，使得直线l 和圆M 相切． 其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）．三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知函数32()f x x ax bx c =+++在23x =-与1x =时都取得极值．（1）求a b ，的值及函数()f x 的单调区间；（2）若对[12]x ∈-，，不等式2()f x c <恒成立，求c 的取值范围．ACP B1A1C 1B BE18．（本小题满分12分）某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：从装有9个白球、1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球可获得奖金10元；摸出两个红球可获得奖金50元，现有甲、乙两位顾客，规定：甲摸一次，乙摸两次，令ξ表示甲、乙两人摸球后获得的奖金总额．求（1）ξ的分布列；（2）ξ的数学期望．19．（本小题满分12分）如图，已知A B C△是边长为1的正三角形，MM N经过A B C△的中心G，设2M G Aααππ⎛⎫= ⎪33⎝⎭≤≤．（1）试将AGM AGN，△△的面积（分别记为1S与2S）表示为α（2）求221211yS S=+的最大值与最小值．20．（本小题满分12分）如图，在三棱锥A B C D-中，侧面ABD ACD，是全等的直角三角形，A D是公共的斜边，且1AD BD C D===，另一侧面ABC是正三角形．（1）求证：AD BC⊥；（2）求二面角B A C D--的大小；（3）在线段A C上是否存在一点E，使E D与面BC D成30 角？若存在，确定点E的位置；若不存在，说明理由．21．（本小题满分12分）如图，椭圆2222:1(0)x yQ a ba b+=>>的右焦点为(0)F c，，过点F的一动直线m绕点F转动，并且交椭圆于A B，两点，P为线段A B的中点．（1）求点P的轨迹H的方程；‘（2）若在Q的方程中，令221cos sin sin0a bθθθθπ⎛⎫=++=<⎪2⎝⎭，≤．确定θ的值，使原点距椭圆Q的右准线l最远．此时，设l与x轴交点为D，当直线m绕点F转动到什么位置时，三角形ABD的面积最大？22．（本小题满分14分）已知数列{}na满足：132a=，且113(2)21nnnnaa n na n*--=∈+-N，≥．（1）求数列{}na的通项公式；（2）证明：对一切正整数n，不等式122!na a a n<恒成立．ABCDB D2006高等学校全国统一考试数学理试题理（江西）参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
2023年高考全国甲卷理科数学试题真题(含答案详解)
2023年高考全国甲卷理科数学试题一、单选题34 ．．已知向量,,a b c 满足1,2a b c ===，且0a b c ++=，则cos ,a c b c 〈--〉=（ B ．25- C ．25 D ．45．设等比数列{}n a 的各项均为正数，前n 项和n S ，若11a =和5354S S =-，则4S =B ．658 C ．15 D ．40，则PBC的面积为（23 5PF=，则二、填空题．在ABC中∠三、解答题nS为数列}na的通项公式；ABC A B C中，111上两点0⋅=，求FM FN⎫⎪⎭的取值范围．α2023年高考全国甲卷理科数学试题答案详解一、单选题 1．设全集Z U =,集合{31,},{32,}M xx k k Z N x x k k Z ==+∈==+∈∣∣，∁U (M ∪N)=（ ） A ．{|3,}x x k k =∈Z B ．{31,}xx k k Z =-∈∣ C ．{32,}xx k k Z =-∈∣ D ．∅ 【答案】A【分析】根据整数集的分类，以及补集的运算即可解出．【详解】因为整数集{}{}{}|3,|31,|32,x x k k x x k k x x k k ==∈=+∈=+∈Z Z Z Z ，U Z = 所以，∁U (M ∪N )={x|x =3k,k ∈Z }．故选：A ．2．设()()R,i 1i 2,a a a ∈+-=，则=a （ ）A ．-1B ．0 ·C ．1D ．2【答案】C【分析】根据复数的代数运算以及复数相等即可解出．【详解】因为()()()22i 1i i i 21i 2a a a a a a a +-=-++=+-=。
所以22210a a =⎧⎨-=⎩，解得：1a =． 故选：C.3．执行下面的程序框图，输出的B =（ ）A ．21B ．34C ．55D ．89【答案】B．已知向量,,a b c 满足1,2a b c ===，且0a b c ++=，则cos ,a c b c 〈--〉=（ B ．25- C ．25 D ．45【分析】作出图形,根据几何意义求解.【详解】因为0a b c ++=,所以a ⃗+即2222a b a b c ++⋅=,即1+1+2a 所以0a b ⋅=. 如图,设,,OA a OB b OC c ===,2,OAB 是等腰直角三角形22, 322=, 310ACD =, ,cos a c b c ACB 〈--〉=∠:D.．设等比数列{}n a 的各项均为正数，前1582q.+=.815．某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为（3π3π7π3π3π7π11，则PBC 的面积为（利用全等三角形的证明方法依次证得PDO PCO ≅和PDB PCA ≅，从而得到PA ，由此在PBC 中利用余弦定理与三角形面积公式即可得解；和1cos 3PCB ∠=，从而求得3PA PC ⋅=-，再利用空间向量的数量从而求得17PB =，由此在PBC 中利用余弦定理与三角形面积公，所以PDO PCO ≅，则∠，所以PDB PCA ≅，则PA 45PCA =︒。
2020年高考真题数学(理)(全国卷Ⅰ)含解析(广东安徽河北河南山西江西福建湖北湖南)
2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若z=1+i ，则|z 2–2z |=（ ） A. 0 B. 1 C.2D. 2【答案】D 【解析】 【分析】由题意首先求得22z z -的值，然后计算其模即可.【详解】由题意可得：()2212z i i =+=，则()222212z z i i -=-+=-.故2222z z -=-=. 故选：D.【点睛】本题主要考查复数的运算法则和复数的模的求解等知识，属于基础题. 2.设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =（ ） A. –4 B. –2C. 2D. 4【答案】B 【解析】 【分析】由题意首先求得集合A ,B ，然后结合交集的结果得到关于a 的方程，求解方程即可确定实数a 的值.【详解】求解二次不等式240x -≤可得：{}2|2A x x -=≤≤， 求解一次不等式20x a +≤可得：|2a B x x ⎧⎫=≤-⎨⎬⎩⎭. 由于{}|21A B x x ⋂=-≤≤，故：12a-=，解得：2a =-. 故选：B.【点睛】本题主要考查交集的运算，不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（ ）A.51- B.51- C.51+ D.51+ 【答案】D 【解析】 【分析】设,CD a PE b ==，利用212PO CD PE =⋅得到关于,a b 的方程，解方程即可得到答案. 【详解】如图，设,CD a PE b ==，则22224a PO PE OEb =-=-由题意212PO ab =，即22142a b ab -=，化简得24()210b b a a -⋅-=，解得154b a +=（负值舍去）. 故选：C.【点晴】本题主要考查正四棱锥的概念及其有关计算，考查学生的数学计算能力，是一道容易题.4.已知A 为抛物线C :y 2=2px （p >0）上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p =（ ） A. 2 B. 3C. 6D. 9【答案】C 【解析】 【分析】利用抛物线的定义建立方程即可得到答案.【详解】设抛物线的焦点为F ，由抛物线的定义知||122A p AF x =+=，即1292p=+，解得6p .故选：C.【点晴】本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径，考查学生转化与化归思想，是一道容易题.5.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：°C ）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(,)(1,2,,20)i i x y i =得到下面的散点图：由此散点图，在10°C 至40°C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是（ ） A. y a bx =+ B. 2y a bx =+ C. e x y a b =+ D. ln y a b x =+【答案】D 【解析】 【分析】根据散点图的分布可选择合适的函数模型.【详解】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近， 因此，最适合作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是ln y a b x =+. 故选：D.【点睛】本题考查函数模型的选择，主要观察散点图的分布，属于基础题.6.函数43()2f x x x =-的图像在点(1(1))f ，处的切线方程为（ ） A. 21y x =-- B. 21y x =-+ C. 23y x =- D. 21y x =+【答案】B 【解析】 【分析】求得函数()y f x =的导数()f x '，计算出()1f 和()1f '的值，可得出所求切线的点斜式方程，化简即可. 【详解】()432f x x x =-，()3246f x x x '∴=-，()11f ∴=-，()12f '=-，因此，所求切线的方程为()121y x +=--，即21y x =-+. 故选：B.【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题7.设函数()cos π()6f x x ω=+在[π,π]-的图像大致如下图，则f (x )的最小正周期为（ ）A. 10π9 B.7π6 C. 4π3D. 3π2【答案】C 【解析】 【分析】由图可得：函数图象过点4,09π⎛⎫-⎪⎝⎭，即可得到4cos 096ππω⎛⎫-⋅+= ⎪⎝⎭，结合4,09π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()f x 图象与x 轴负半轴的第一个交点即可得到4962πππω-⋅+=-，即可求得32ω=，再利用三角函数周期公式即可得解. 【详解】由图可得：函数图象过点4,09π⎛⎫-⎪⎝⎭， 将它代入函数()f x 可得：4cos 096ππω⎛⎫-⋅+= ⎪⎝⎭又4,09π⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()f x 图象与x 轴负半轴的第一个交点， 所以4962πππω-⋅+=-，解得：32ω=所以函数()f x 的最小正周期为224332T πππω=== 故选：C【点睛】本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题.8.25()()x x y xy ++的展开式中x 3y 3的系数为（ ）A. 5B. 10C. 15D. 20【答案】C 【解析】 【分析】求得5()x y +展开式的通项公式为515r rrr T C xy -+=（r N ∈且5r ≤），即可求得2y x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭与5()x y +展开式的乘积为65r rr C xy -或425r r r C x y -+形式，对r 分别赋值为3，1即可求得33x y 的系数，问题得解.【详解】5()x y +展开式的通项公式为515r r rr T C x y -+=（r N ∈且5r ≤）所以2y x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭与5()x y +展开式的乘积可表示为：56155r rrr rrr xT xC xy C xy --+==或22542155r r rr r r r T C x y xC y y y x x --++==在615rrr r xT C xy -+=中，令3r =，可得：33345xT C x y =，该项中33x y 的系数为10，在42152r r r r T C x x y y -++=中，令1r =，可得：521332T C y x xy =，该项中33x y 的系数为5所以33x y 的系数为10515+= 故选：C【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式的通项公式，还考查了赋值法、转化能力及分析能力，属于中档题.9.已知 π()0,α∈，且3cos28cos 5αα-=，则sin α=（ ） A .B.23 C.13【答案】A 【解析】 【分析】用二倍角的余弦公式，将已知方程转化为关于cos α的一元二次方程，求解得出cos α，再用同角间的三角函数关系，即可得出结论.【详解】3cos28cos 5αα-=，得26cos 8cos 80αα--=， 即23cos 4cos 40αα--=，解得2cos 3α=-或cos 2α=（舍去），又(0,),sin απα∈∴==故选：A.【点睛】本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题. 10.已知,,A B C 为球O球面上的三个点，⊙1O 为ABC 的外接圆，若⊙1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为（ ）A. 64πB. 48πC. 36πD. 32π【答案】A 【解析】 【分析】由已知可得等边ABC 的外接圆半径，进而求出其边长，得出1OO 的值，根据球截面性质，求出球的半径，即可得出结论.【详解】设圆1O 半径为r ，球的半径为R ，依题意， 得24,2r r ππ=∴=，由正弦定理可得2sin 6023AB r =︒=，123OO AB ∴==，根据圆截面性质1OO ⊥平面ABC ，222211111,4OO O A R OA OO O A OO r ∴⊥==+=+=， ∴球O 的表面积2464S R ππ==.故选：A【点睛】本题考查球的表面积，应用球的截面性质是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.11.已知⊙M ：222220x y x y +---=，直线l ：220x y ++=，P 为l 上的动点，过点P作⊙M 的切线,PA PB ，切点为,A B ，当||||PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为（ ） A. 210x y --=B. 210x y +-=C. 210x y -+=D.210x y ++=【答案】D 【解析】 【分析】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点,,,A P B M 共圆，且AB MP ⊥，根据22PAM PM AB S PA ⋅==△可知，当直线MP l ⊥时，PM AB ⋅最小，求出以MP 为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线AB 的方程． 【详解】圆的方程可化为()()22114x y -+-=，点M 到直线l 的距离为2d ==>，所以直线l 与圆相离．依圆的知识可知，四点,,,A P B M 四点共圆，且AB MP ⊥，所以12222PAM PM AB S PA AM PA ⋅==⨯⨯⨯=△，而PA =当直线MP l ⊥时，min MP =，min 1PA =，此时PM AB ⋅最小．∴()1:112MP y x -=-即1122y x =+，由1122220y x x y ⎧=+⎪⎨⎪++=⎩解得，10x y =-⎧⎨=⎩． 所以以MP 为直径的圆的方程为()()()1110x x y y -++-=，即2210x y y +--=，两圆的方程相减可得：210x y ++=，即为直线AB 的方程． 故选：D .【点睛】本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．12.若242log 42log a ba b +=+，则（ ）A. 2a b >B. 2a b <C. 2a b >D. 2a b <【答案】B 【解析】 【分析】设2()2log x f x x =+，利用作差法结合()f x 的单调性即可得到答案.【详解】设2()2log x f x x =+，则()f x 为增函数，因为22422log 42log 2log a b ba b b +=+=+所以()(2)f a f b -=2222log (2log 2)a b a b +-+=22222log (2log 2)b b b b +-+21log 102==-<， 所以()(2)f a f b <，所以2a b <.2()()f a f b -=22222log (2log )a b a b +-+=222222log (2log )b b b b +-+=22222log b b b --，当1b =时，2()()20f a f b -=>，此时2()()f a f b >，有2a b >当2b =时，2()()10f a f b -=-<，此时2()()f a f b <，有2a b <，所以C 、D 错误. 故选：B.【点晴】本题主要考查函数与方程的综合应用，涉及到构造函数，利用函数的单调性比较大小，是一道中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2009年江西高考数学理科卷带详解
2009年高考理科 数学卷（江西）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数()()211i z x x =-+-为纯虚数，则实数x 的值为 （ ） A.-1 B.0 C.1 D.-1或1 【测量目标】复数的基本概念.【考查方式】由纯虚数概念直接进行求解. 【难易程度】容易 【参考答案】A【试题解析】由纯虚数概念得：210110x x x ⎧-=⇒=-⎨-≠⎩，故选A.2.函数ln 1x y +=（ ）A.(4,1)--B.(4,1)-C.(1,1)-D.(]1,1- 【测量目标】函数的定义域.【考查方式】由对数函数、根式性质分别求解，直接得出答案. 【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】由210340x x x +>⎧⎨--+>⎩141x x >-⎧⇒⎨-<<⎩，(步骤1) 11x ⇒-<<.故选C.（步骤2）3.已知全集U =AB 中有m 个元素，()()UU A B 中有n 个元素．若A B 非空，则A B的元素个数为 ( ) A.mn B.m +n C.n m - D.m n - 【测量目标】集合的含义，集合的基本运算. 【考查方式】利用交并补之间的基本关系，进行计算. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题解析】()()UU UA B A B ⎡⎤=⎣⎦，A B m n ∴=-，故选D4.若函数()π()1cos ,(0)2f x x x x=+，则()f x 的最大值为 （ ）A.1B.2 1 2 【测量目标】同角三角函数的基本关系，三角函数的值域. 【考查方式】对函数进行化简，进一步得到答案. 【难易程度】容易 【参考答案】B【试题解析】()()1cos cos f x x x x x =+=+π2cos 3x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭π(0)2x.（步骤1） 当π3x =时，ππ()2cos 2cos 0233f x ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭. 故选B.（步骤2） 5.设函数2()()f x g x x =+，曲线()y g x =在点()1,(1)g 处的切线方程为21y x =+，则曲线()y f x =在点()1,(1)f 处切线的斜率为 （ ） A.4 B.0.25- C.2 D.0.5- 【测量目标】导数的几何意义.【考查方式】利用导数求解切线方程，进而求解切点处的斜率. 【难易程度】容易 【参考答案】A 【试题解析】()()2f x g x x ''=+，（步骤1） (1)2,(1)(1)214g f g ''∴==+⨯=，故选A.（步骤2）6.过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，若1260F PF ∠=，则椭圆的离心率为 ( )C.12D.13【测量目标】椭圆的简单几何性质.【考查方式】求出交点坐标，由角度关系确定离心率. 【难易程度】中等 【参考答案】B【试题解析】由题意知，2,b P c a ⎛⎫-± ⎪⎝⎭，又1260F PF ∠=，(步骤1)21222122tan PF c ac F PF b PF b a∴∠===2222231ac ea c e===--,（步骤2） 213e ∴=或23e =（舍去），33e ⇒=.（步骤3）第6题图7.()1nax by ++展开式中不含x 的项的系数绝对值的和为243，不含y 的项的系数绝对值的和为32，则a,b,n 的值可能为 （ ） A.a =2,b =1-,n =5 B.a =2-,b =1-,n =6 C.a =1-,b =2,n =6 D.a =1,b =2,n =5 【测量目标】二项式定理.【考查方式】利用展开式中的常数项求参数的值. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题解析】()()5512433,1322nnb a +==+==，（步骤1）1,2,5a b n ⇒===.（步骤2）8．数列{}n a 的通项222ππcossin 33n n n a n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，其前n 项和为n S ，则30S 为 （ ） A.470 B ．490 C ．495 D ．510【测量目标】数列的前n 项和.【考查方式】由通项公式化简求得结果. 【难易程度】中等 【参考答案】A【试题解析222ππcos sin 33n n n a n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭222π2π1cos 1cos 2π33cos 223n n n n n ⎛⎫+- ⎪=-= ⎪ ⎪⎝⎭， 2π32π3T ∴==,故数列{}n a 的最小正周期为3，（步骤1） 则2222223012453622S ⎛⎫⎛⎫++=-++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…2222829302⎛⎫+++ ⎪⎝⎭()()()221010211323153922k k k k k k ==⎡⎤-+-⎡⎤=-+=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦∑∑91011254702⨯⨯=-=.（步骤2）9.如图，正四面体ABCD 的顶点,,A B C 分别在两两垂直的三条射线,,Ox Oy Oz 上，则在下列命题中，错误的为 （ ）第9题图A.O ABC -是正三棱锥B.直线OB ∥平面ACDC.直线AD 与OB 所成的角是45D.二面角D OB A --为45 【测量目标】二面角，线面平行的判定. 【考查方式】由题设已知条件，求解. 【难易程度】中等 【参考答案】B【试题解析】将原图补为正方体B 选项错误，故选B.10.为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了3种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一张卡片，集齐3种卡片可获奖，现购买该种食品5袋，能获奖的概率为 （ ） A.3181 B.3381 C.4881 D.5081【测量目标】排列、组合的应用.【考查方式】根据题意，先计算没有获奖的概率，再计算获奖即可. 【难易程度】中等 【参考答案】D【试题解析】没有获奖的概率：5532331381P ⨯-==,(步骤1) ∴能获奖的概率为：150181P P =-=,故选D.（步骤2） 11.一个平面封闭区域内任意两点距离的最大值称为该区域的“直径”，封闭区域边界曲线的长度与区域直径之比称为区域的“周率”，下面四个平面区域（阴影部分）的周率从左到右依次记为1234,,,t t t t ，则下列关系中正确的为 （ ）A BC DA.1432t t t t >>>B.3124t t t t >>>C.4231t t t t >>>D.3421t t t t >>> 【测量目标】几何概型的新定义.【考查方式】计算出各个选项的面积即可得出答案. 【难易程度】中等【参考答案】C【试题解析】前三个区域的周率依次等于正方形、圆、正三角形的周长和最远距离，12322,π,3t t t ∴===，第四个区域的周率可以转化为一个正六边形的周长与它的一对平行边之间的距离之比，423t ∴=，则4231t t t t >>>，选C.12.设函数()2()0f x ax bx c a =++<的定义域为D ，若所有点()(),(),s f t s t D ∈构成一个正方形区域，则a 的值为 ( ) A.2- B.4- C.8- D.不能确定 【测量目标】函数定义域求参数范围.【考查方式】由韦达定理、正方形性质直接求解. 【难易程度】中等 【参考答案】B【试题解析】由题意知，函数)2()0f x ax bx c a =++<的两根分别为：214b b ac x -+-=和224b b acx ---=，因为区域为正方形，12max ()x x f x ∴-=，222444b ac ac b a a--=24a a a ⇒=-=-或0a =（舍去），故4a =-. 二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.请把答案填在答题卡上. 13．已知向量()()()3,1,1,3,,7k ===a b c ，若()-a c b ，则k =【测量目标】向量的坐标运算.【考查方式】向量平行，对应坐标成比例即可得出答案. 【难易程度】容易 【参考答案】5 【试题解析】()3,6k -=--a c ，3613k --⇒=， 315,5k k ⇒=⇒=.14．正三棱柱111ABC A B C -内接于半径为2的球，若,A B 两点的球面距离为π，则正三棱柱的体积为 ． 【测量目标】三棱锥的体积.【考查方式】利用它球面距离进行求解即可. 【难易程度】中等 【参考答案】8 【试题解析】,A B 两点的球面距离为π，故90,AOB ∠=又OAB △是等腰直角三角形，AB ∴=，则ABC △的外接圆半径为3，（步骤1）O 到平面ABC 的距离:d ==∴正三棱柱高3h =，又ABC △的面积S =，（步骤2） ∴正三棱柱111ABC A B C -的体积8V Sh ==.（步骤3）15()2k x +的解集为区间[],a b ,且2b a -=,则k = ．【测量目标】解含参的一元二次不等式. 【考查方式】画出图象，数形结合，求解. 【难易程度】中等【试题解析】由题意知，曲线y =x 轴上半周的半圆，（步骤1）()2k x +(如图)，此时有：3b =.又2b a -=，1a ⇒=.（步骤2）在1a =处，半圆与直线相交，y ∴=(，（步骤3）将点(代入直线中：k =（步骤4）第15题图 16．设直线系():cos 2sin 1M x y θθ+-=()02πθ,对于下列四个命题：A ．M 中所有直线均经过一个定点;B ．存在定点P 不在M 中的任一条直线上;C ．对于任意整数()3n n，存在正n 边形,其所有边均在M 中的直线上;D ．M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等.其中真命题的代号是 【测量目标】直线方程，点到直线的距离公式.【考查方式】利用点到直线的距离公式、n 边形内切性质直接进行计算. 【难易程度】中等 【参考答案】,,A B C 【试题解析】()cos 2sin 1x y θθ+-=，∴点()0,2P 到M 中每条直线的距离:221cos sin d θθ==+，即M 为圆22:(2)1C x y +-=的全体切线组成的集合,从而M 中所有直线上与经过一个定点（0,2）, A 正确；（步骤1） 又因(2,0)点不存在任何直线上,B 正确 ；（步骤2）对任意n ≥3,存在n 正边形使其内切圆为圆C ,故C 正确；（步骤3） M 中边能组成两个大小不同的正三角形ABC 和AEF ,故D 错.（步骤4）三.解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17．（1）设函数e ()xf x x=，求函数()f x 的单调区间；（2）若0k >，求不等式()()1()0f x k x f x '+->的解集． 【测量目标】利用导数求函数的单调区间，解决不等式问题.【考查方式】求函数导数，判断单调区间，分类讨论，来求解参数解集. 【难易程度】中等【试题解析】（1）22111()e e e x x xx f x x x x-'=-+=，由()0f x '=1x ⇒=.(步骤1) 当0x <时，()0f x '<；当01x <<时，()0f x '<；(步骤2) 当1x >时，()0f x '>.（步骤3）()f x ∴的单调增区间是[)1,+∞； 单调减间是()(],00,1-∞.（步骤4）（2）由()221()1()e x x kx kx f x k x f x x -+-'+-==()()211e 0xx kx x --+>， ()()110x kx ⇒--<.（步骤5）当01k <<时，解集为：11x x k ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；（步骤6） 当1k =时，解集为：∅；（步骤7） 当1k >时，解集为：11x x k ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭.（步骤8）18．某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案进行评审．假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是50%若某人获得两个“支持”，则给予10万元的创业资助；若只获得一个“支持”，则给予5万元的资助；若未获得“支持”，则不予资助，令ξ表示该公司的资助总额． (1) 写出ξ的分布列； (2) 求数学期望()E ξ．【测量目标】离散型随机变量的分布列及数学期望. 【考查方式】分布列及数学期望的求解. 【难易程度】中等 【试题解析】（1）ξ的所有取值为0,5,10,15,20,25,30.1(0)64P ξ==, 3(5)32P ξ==, 15(10)64P ξ==, 5(15)16P ξ==, 15(20)64P ξ==, 3(25)32P ξ==, 1(30)64P ξ==.(步骤1)ξ0 5 10 15 20 25 30P164 332 1564 516 1564 332 164（步骤2） （2）31551531()5101520253015326416643264E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. ∴数学期望()15E ξ=.（步骤3）19．△ABC 中，A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，sin sin tan cos cos A B C A B +=+,1sin()cos 2B AC -==.（1）求,A C ；（2）若33ABC S =+△,求,a c . 【测量目标】两角差的正弦，正弦定理.【考查方式】由题设等式，进行化简，进而求解答案. 【难易程度】中等 【试题解析】(1)sin sin tan cos cos A B C A B +=+，sin sin sin cos cos cos C A BC A B+⇒=+, sin cos sin cos cos sin cos sin C A C B C A C B ∴+=+sin cos cos sin cos sin sin cos C A C A C B C B ∴-=-，(步骤1)sin()sin()C A B C ⇒-=-,C A B C -=-或πC A -=－()B C -(不成立)，即2C =A +B ,π3C ⇒=,2π3A B ⇒+=①.（步骤2） 又1sin()cos 2B A C -==，则π6B A -=②或5π6B A -=（舍去）∴①②联立得：π5π412A B ==，.（步骤3）(2)162sin 3328ABC S ac B ac ===+△（步骤4） 由正弦定理得：sin sin a c A C =,23⇒=，解得，22,3a c ==（步骤5）20． 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥平面ABCD ，P A =AD =4，AB =2. 以AC 的中点O 为球心、AC 为直径的球面交PD 于点M ，交PC 于点N . （1）求证：平面ABM ⊥平面PCD ；（2）求直线CD 与平面ACM 所成的角的大小； （3）求点N 到平面ACM 的距离.第20题图【测量目标】面面垂直的判定，二面角，空间直角坐标系，空间向量的应用. 【考查方式】由球的性质、等面积法，空间向量运算求解. 【难易程度】较难【试题解析】方法一：（1）依题设知，AC 是所作球面的直径，则AM ⊥MC . 又P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥CD ，（步骤1）又CD ⊥AD ，∴CD ⊥平面P AD ，则CD ⊥AM ，∴AM ⊥平面PCD ，∴平面ABM ⊥平面PCD .(步骤2)（2）由（1）知，AM PD ⊥，又PA AD =，则M 是PD 的中点可得，22122,232AM PD MC MD CD ===+=,（步骤3） 则1262ACM S AM MC ==△设D 到平面ACM 的距离为h ，D ACM M DCA V V --=,又118323M DCA DCA V S PA -=⨯=△,182633h ⇒⨯=,263h ⇒=.（步骤4） 设所求角为θ，则6sin 3h CD θ==6arcsin 3θ∴=.（步骤5） （3）可求得PC =6.因为AN ⊥NC ，由PN PA PA PC =，得83PN =,（步骤6）59NC PC ∴=,故N 点到平面ACM 的距离等于P 点到平面ACM 距离的59.（步骤7） 又因为M 是PD 的中点，则P 、D 到平面ACM 的距离相等， 由（2）可知所求距离为5106927h =.(步骤8) 方法二：（1）同方法一；（2）如图所示，建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(2,0,0),(2,4,0)A B C ，(0,0,4)P ，(0,4,0),(0,2,2)D M ，（步骤3） 设平面ACM 的一个法向量(),,x y z =n ，由,AC AM ⊥⊥n n 可得：240220x y y z +=⎧⎨+=⎩，令1z =，则()2,1,1=-n .（步骤4）设所求角为α，则46sin 326CD CD α-===⨯n n，6arcsin 3α⇒=.∴所求角的大小为6arcsin3.（步骤5）第21题图（3）由条件可得，AN NC ⊥.在Rt PAC △中，2PA PN PC =,（步骤6）所以83PN =,则10539NC NC PC PN PC =-==，，（步骤7） 所以所求距离等于点P 到平面ACM 距离的59，设点P 到平面ACM 距离为h ，则263AP h ==n n ，（步骤8）∴所求距离为5106927h =.（步骤9）21已知如图，点()100,P x y 为双曲线22221(8x y b b b-=为正常数）上任一点,2F 为双曲线的右焦点,过1P 作右准线的垂线,垂足为A ,连接2F A 并延长交y 轴于2P . (1)求线段12P P 的中点P 的轨迹E 的方程;(2)设轨迹E 与x 轴交于B 、D 两点,在E 上任取一点()()111,0Q x y y ≠,直线,QB QD 分别交y 轴于,M N 两点.求证:以MN 为直径的圆过两定点.第21题图【测量目标】圆锥曲线的轨迹方程，双曲线的简单几何性质，圆锥曲线中的定点问题，间接证明.【考查方式】由直线方程求解轨迹方程，进而利用椭圆性质求解定点. 【难易程度】较难【试题解析】（1）由已知得()23,0F b ，08,3b A y ⎛⎫⎪⎝⎭，则直线2F A 的方程为：()033y y x b b=--，（步骤1） 令0x =得，09y y =，即()200,9P y ，（步骤2） 设(),P x y ，则00002952x x y y y y ⎧=⎪⎪⎨+⎪==⎪⎩，即0025x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩，代入22002218x y b b -=得，222241825x y b b -=，⇒22221225x y b b -=.P ∴的轨迹E 的方程为22221225x y b b -=.（步骤3） （2）在22221225x y b b-=中，令0y =得222x b =，则不妨设()),0,,0B D ，于是：直线QB 的方程为:)y x =，（步骤4）直线QD 的方程为: )y x =.（步骤5）则,0,M N ⎛⎛ ⎝⎝则以MN为直径的圆的方程为20x y y ⎛⎫⎛⎫++=⎝，（步骤6） 令0y =得，222122122b y x x b =-，而()11,Q x y 在22221225x y b b -=上， 则222112225x b y -=.（步骤7） 5x b ∴=±，即以MN 为直径的圆过定点()()5,0,5,0b b -.22．各项均为正数的数列{}n a ，12,,a a a b ==，且对满足m +n =p +q 的正整数m ,n ,p ,q 都有()()()()1111p q m nm n p q a a a a a a a a ++=++++.（1）当a =12,b =45时，求通项{}n a ； （2）证明：对任意a ，存在与a 有关的常数λ，使得对于每个正整数n ，都有1na λλ.【测量目标】数列的通项公式，间接证明.【考查目标】利用数列性质、等式关系求解通项，利用函数定义间接证明范围. 【难易程度】较难 【试题解析】（1）由()()()()1111p q m nm n p q a a a a a a a a ++=++++得，()()()()1211211111n n n n a a a a a a a a --++=++++，将1214,25a a ==代入化简得：11212n n n a a a --+=+.（步骤1） 11111131n n n n a a a a ----∴=++，故数列11n n a a ⎧⎫-⎨⎬+⎩⎭为等比数列. 1113n n n a a -∴=+，即3131n n n a -=+.（步骤2） （2）证明:由题设()()11m nm n a a a a +++的值仅与m n +有关，记为m n b +，则()()()()1111111n nn n n a a a a b a a a a +++==++++，（步骤3）函数()()()()011a xf x x a x +=>++，则在定义域上有:1,111()(),12,011a a f x g a a aa a ⎧>⎪+⎪⎪==⎨⎪⎪<<⎪+⎩， 故对1,()n n b g a *+∈N 恒成立. （步骤4）又()222()1nn n a b ga a =+，注意到10()2g a <，解上式得， na =，取λ=1na λλ.（步骤5）。
2024年高考全国甲卷数学(理)真题卷(含答案与解析).
绝密★启用前2024年普通高等学校招生全国统一考试理科数学使用范围：陕西、宁夏、青海、内蒙古、四川注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上．2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号．3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 5．考试结束后，只将答题卡交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设5i z =+，则()i z z +=（ ）A 10iB. 2iC. 10D. 2-2. 集合{}}1,2,3,4,5,9,A B A ==，则()A A B ⋂=ð（ ）A. {}1,4,9B. {}3,4,9C. {}1,2,3D. {}2,3,53. 若实数,x y 满足约束条件43302202690x y x y x y --≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，则5z x y =-的最小值为（ ）A. 5B.12C. 2-D. 72-4. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若510S S =，51a =，则1a =（ ） A. 2-B.73C. 1D. 25. 已知双曲线的两个焦点分别为(0,4),(0,4)-，点(6,4)-在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ） A. 4B. 3C. 2D.6. 设函数()2e 2sin 1x xf x x+=+，则曲线()y f x =在()0,1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（ ） .A.16B.13C.12D.237. 函数()()2e esin xxf x x x -=-+-在区间[ 2.8,2.8]-的大致图像为（）A. B.C. D.8.已知cos cos sin ααα=-，则πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A. 1+B. 1-C.D. 19. 已知向量()()1,,,2a x x b x =+=r r，则（ ）A. “3x =-”是“a b ⊥r r”的必要条件 B. “3x =-”是“//a b r r”的必要条件 C. “0x =”是“a b ⊥r r ”充分条件D. “1x =-”是“//a b r r”的充分条件10. 设αβ、两个平面，m n 、是两条直线，且m αβ=I .下列四个命题： ①若//m n ，则//n α或//n β ②若m n ⊥，则,n n αβ⊥⊥③若//n α，且//n β，则//m n ④若n 与α和β所成的角相等，则m n ⊥其中所有真命题的编号是（ ） A. ①③B. ②④C. ①②③D. ①③④11. 在ABC V 中内角,,A B C 所对边分别,,a b c ，若π3B =，294b ac =，则sin sin A C +=（ ） A.32B.C.D.12. 已知b 是,a c 的等差中项，直线0ax by c ++=与圆22410x y y ++-=交于,A B 两点，则AB 的最小值为（ ）的是为A. 2B. 3C. 4D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 1013x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，各项系数的最大值是______． 14. 已知甲、乙两个圆台上、下底面的半径均为1r 和2r ，母线长分别为()212r r -和()213r r -，则两个圆台的体积之比=V V 甲乙______． 15. 已知1a >，8115log log 42a a -=-，则=a ______． 16. 有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中不放回地随机抽取3次，每次取1个球.记m 为前两次取出的球上数字的平均值，n 为取出的三个球上数字的平均值，则m 与n 差的绝对值不超过12的概率是______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题~第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17. 某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：优级品 合格品 不合格品总计 甲车间 26 24 0 50 乙车间 70 28 2 100 总计96522150（1）填写如下列联表：优级品非优级品甲车间 乙车间能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异？（2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率0.5p =，设p 为升级改造后抽取的n 件产品的优级品率.如果p p >+150件产品的数据，能否认12.247≈）附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ ()2P K k ≥0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.82818. 记n S 为数列{}n a 的前n 项和，且434n n S a =+． （1）求{}n a 的通项公式； （2）设1(1)n n n b na -=-，求数列{}n b 的前n 项和为n T ．19. 如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，四边形ABCD 与四边形ADEF 均为等腰梯形，//,//BC AD EF AD ，4,2AD AB BC EF ====，ED FB ==M 为AD 的中点．（1）证明：//BM 平面CDE ；（2）求二面角F BM E --的正弦值．20. 设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在C 上，且MF x ⊥轴．（1）求C 的方程；（2）过点()4,0P 的直线与C 交于,A B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q ，证明：AQ y ⊥轴．21 已知函数()()()1ln 1f x ax x x =-+-．（1）当2a =-时，求()f x 的极值；（2）当0x ≥时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分． [选修4-4：坐标系与参数方程]22. 在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为cos 1ρρθ=+. （1）写出C 的直角坐标方程； （2）设直线l ：x ty t a=⎧⎨=+⎩（t 为参数），若C 与l 相交于A B 、两点，若2AB =，求a 的值.[选修4-5：不等式选讲]23. 实数,a b 满足3a b +≥． （1）证明：2222a b a b +>+； （2）证明：22226a b b a -+-≥．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设5i z =+，则()i z z +=（ ）A. 10iB. 2iC. 10D. 2-【答案】A 【解析】【分析】结合共轭复数与复数的基本运算直接求解.【详解】由5i 5i,10z z z z =+⇒=-+=，则()i 10i z z +=. 故选：A2. 集合{}}1,2,3,4,5,9,A B A ==，则()A A B ⋂=ð（ ）A. {}1,4,9B. {}3,4,9C. {}1,2,3D. {}2,3,5.【答案】D 【解析】【分析】由集合B 的定义求出B ，结合交集与补集运算即可求解. 【详解】因为{}}1,2,3,4,5,9,A B A ==，所以{}1,4,9,16,25,81B =，则{}1,4,9A B =I ，(){}2,3,5A A B =I ð 故选：D3. 若实数,x y 满足约束条件43302202690x y x y x y --≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，则5z x y =-的最小值为（ ）A. 5B.12C. 2-D. 72-【答案】D 【解析】【分析】画出可行域后，利用z 的几何意义计算即可得.【详解】实数,x y 满足43302202690x y x y x y --≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，作出可行域如图：由5z x y =-可得1155y x z =-， 即z 的几何意义为1155y x z =-的截距的15-，则该直线截距取最大值时，z 有最小值， 此时直线1155y x z =-过点A ， 联立43302690x y x y --=⎧⎨+-=⎩，解得321x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，即3,12A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则min 375122z =-⨯=-. 故选：D.4. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若510S S =，51a =，则1a =（ ） A. 2- B.73C. 1D. 2【答案】B 【解析】【分析】由510S S =结合等差中项的性质可得80a =，即可计算出公差，即可得1a 的值. 【详解】由105678910850S S a a a a a a -=++++==，则80a =， 则等差数列{}n a 的公差85133a a d -==-，故151741433a a d ⎛⎫=-=-⨯-= ⎪⎝⎭. 故选：B.5. 已知双曲线的两个焦点分别为(0,4),(0,4)-，点(6,4)-在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ） A. 4 B. 3C. 2D.【答案】C 【解析】【分析】由焦点坐标可得焦距2c ，结合双曲线定义计算可得2a ，即可得离心率. 【详解】设()10,4F -、()20,4F 、()6,4-P ， 则1228F F c ==，110PF ==，26PF ==，则1221064a PF PF =-=-=，则28224c e a ===. 故选：C.6. 设函数()2e 2sin 1x xf x x+=+，则曲线()y f x =在()0,1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（ ） A.16B.13C.12D.23【答案】A 【解析】【分析】借助导数的几何意义计算可得其在点()0,1处的切线方程，即可得其与坐标轴交点坐标，即可得其面积.【详解】()()()()()222e 2cos 1e 2sin 21xx x x x xf x x ++-+⋅'=+，则()()()()()02e 2cos 010e 2sin 000310f ++-+⨯'==+，即该切线方程为13y x -=，即31y x =+， 令0x =，则1y =，令0y =，则13x =-， 故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积1111236S =⨯⨯-=. 故选：A.7. 函数()()2e esin xxf x x x -=-+-在区间[ 2.8,2.8]-的大致图像为（）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】利用函数的奇偶性可排除A 、C ，代入1x =可得()10f >，可排除D. 【详解】()()()()()22ee sin e e sin xx x x f x x x x x f x ---=-+--=-+-=，又函数定义域为[]2.8,2.8-，故该函数为偶函数，可排除A 、C ，又()11πe 11111e sin11e sin 10e e 622e 42e f ⎛⎫⎛⎫=-+->-+-=-->-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故可排除D.故选：B. 8. 已知cos cos sin ααα=-，则πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.1+B. 1-C.D. 1【答案】B 【解析】 【分析】先将cos cos sin αα-α弦化切求得tan α，再根据两角和的正切公式即可求解.【详解】因为cos cos sin ααα=-，所以11tan =-α，tan 1⇒α=-，所以tan 1tan 11tan 4α+π⎛⎫==-α+ ⎪-α⎝⎭， 故选：B .9. 已知向量()()1,,,2a x x b x =+=r r，则（ ）A. “3x =-”是“a b ⊥r r”的必要条件B. “3x =-”是“//a b r r”的必要条件C. “0x =”是“a b ⊥r r”的充分条件D. “1x =-”是“//a b r r”的充分条件【答案】C 【解析】【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.【详解】对A ，当a b ⊥r r 时，则0a b ⋅=r r，所以(1)20x x x ⋅++=，解得0x =或3-，即必要性不成立，故A 错误；对C ，当0x =时，()()1,0,0,2a b ==r r ，故0a b ⋅=r r，所以a b ⊥r r，即充分性成立，故C 正确；对B ，当//a b r r时，则22(1)x x +=，解得1x =，即必要性不成立，故B 错误；对D ，当1x =-+时，不满足22(1)x x +=，所以//a b r r不成立，即充分性不立，故D 错误. 故选：C.10. 设αβ、是两个平面，m n 、是两条直线，且m αβ=I .下列四个命题： ①若//m n ，则//n α或//n β ②若m n ⊥，则,n n αβ⊥⊥③若//n α，且//n β，则//m n④若n 与α和β所成的角相等，则m n ⊥其中所有真命题的编号是（ ） A. ①③ B. ②④C. ①②③D. ①③④【答案】A 【解析】【分析】根据线面平行的判定定理即可判断①；举反例即可判断②④；根据线面平行的性质即可判断③. 【详解】对①，当n ⊂α，因为//m n ，m β⊂，则//n β， 当n β⊂，因为//m n ，m α⊂，则//n α，当n 既不在α也不在β内，因为//m n ，,m m αβ⊂⊂，则//n α且//n β，故①正确； 对②，若m n ⊥，则n 与,αβ不一定垂直，故②错误；对③，过直线n 分别作两平面与,αβ分别相交于直线s 和直线t ，因为//n α，过直线n 的平面与平面α的交线为直线s ，则根据线面平行的性质定理知//n s ， 同理可得//n t ，则//s t ，因为s ⊄平面β，t ⊂平面β，则//s 平面β， 因为s ⊂平面α，m αβ=I ，则//s m ，又因为//n s ，则//m n ，故③正确；对④，若,m n αβ⋂=与α和β所成的角相等，如果//,//αβn n ，则//m n ，故④错误； 综上只有①③正确， 故选：A.11. 在ABC V 中内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，若π3B =，294b ac =，则sin sin A C +=（ ）A.32B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】利用正弦定理得1sin sin 3A C =，再利用余弦定理有22134a c ac +=，再利用正弦定理得到22sin sin A C +的值，最后代入计算即可.【详解】因为29,34B b ac π==，则由正弦定理得241sin sin sin 93A CB ==. 由余弦定理可得:22294b ac ac ac =+-=， 即:22134a c ac +=，根据正弦定理得221313sin sin sin sin 412A C A C +==， 所以2227(sin sin )sin sin 2sin sin 4A C A C A C +=++=，因为,A C 为三角形内角，则sin sin 0A C +>，则sin sin A C +=. 故选：C.12. 已知b 是,a c 的等差中项，直线0ax by c ++=与圆22410x y y ++-=交于,A B 两点，则AB 的最小值为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 【答案】C 【解析】【分析】结合等差数列性质将c 代换，求出直线恒过的定点，采用数形结合法即可求解. 【详解】因为,,a b c 成等差数列，所以2b a c =+，2c b a =-，代入直线方程0ax by c ++=得20ax by b a ++-=，即()()120a x b y -++=，令1020x y -=⎧⎨+=⎩得12x y =⎧⎨=-⎩，故直线恒过()1,2-，设()1,2P -，圆化为标准方程得：()22:25C x y ++=，设圆心为C ，画出直线与圆的图形，由图可知，当PC AB ⊥时，AB 最小，1,PC AC r ===，此时24AB AP ====.故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 1013x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，各项系数的最大值是______． 【答案】5 【解析】【分析】先设展开式中第1r +项系数最大，则根据通项公式有1091101010111101011C C 3311C C 33rrr r r rr r --+---⎧⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，进而求出r 即可求解.【详解】由题展开式通项公式为101101C 3rr r r T x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭，010r ≤≤且r ∈Z ，设展开式中第1r +项系数最大，则1091101010111101011C C 3311C C 33r rr r r rr r --+---⎧⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩， 294334r r ⎧≥⎪⎪⇒⎨⎪≤⎪⎩，即293344r ≤≤，又r ∈Z ，故8r =， 所以展开式中系数最大的项是第9项，且该项系数为28101C 53⎛⎫= ⎪⎝⎭. 故答案为：5.14. 已知甲、乙两个圆台上、下底面的半径均为1r 和2r ，母线长分别为()212r r -和()213r r -，则两个圆台的体积之比=V V 甲乙______．【解析】【分析】先根据已知条件和圆台结构特征分别求出两圆台的高，再根据圆台的体积公式直接代入计算即可得解.【详解】由题可得两个圆台高分别为)12h r r==-甲，)12h r r==-乙，所以V hV h====甲甲乙乙.15. 已知1a>，8115log log42aa-=-，则=a______．【答案】64【解析】【分析】将8log,log4aa利用换底公式转化成2log a来表示即可求解.【详解】由题28211315loglog log4log22aaa a-=-=-，整理得()2225log60log aa--=，2log1a⇒=-或2log6a=，又1a>，所以622log6log2a==，故6264a==故答案为：64.16. 有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中不放回地随机抽取3次，每次取1个球.记m 为前两次取出的球上数字的平均值，n为取出的三个球上数字的平均值，则m与n差的绝对值不超过12的概率是______．【答案】715【解析】【分析】根据排列可求基本事件的总数，设前两个球的号码为,a b，第三个球的号码为c，则的323a b c a b +-≤≤++，就c 的不同取值分类讨论后可求随机事件的概率.【详解】从6个不同的球中不放回地抽取3次，共有36A 120=种， 设前两个球的号码为,a b ，第三个球的号码为c ，则1322a b c a b +++-≤， 故2()3c a b -+≤，故32()3c a b -≤-+≤， 故323a b c a b +-≤≤++，若1c =，则5a b +≤，则(),a b 为：()()2,3,3,2，故有2种，若2c =，则17a b ≤+≤，则(),a b 为：()()()()()1,3,1,4,1,5,1,6,3,4，()()()()()3,1,4,1,5,1,6,1,4,3，故有10种，当3c =，则39a b ≤+≤，则(),a b 为：()()()()()()()()1,2,1,4,1,5,1,6,2,4,2,5,2,6,4,5， ()()()()()()()()2,1,4,1,5,1,6,1,4,2,5,2,6,2,5,4，故有16种，当4c =，则511a b ≤+≤，同理有16种， 当5c =，则713a b ≤+≤，同理有10种， 当6c =，则915a b ≤+≤，同理有2种， 共m 与n 的差的绝对值不超过12时不同的抽取方法总数为()22101656++=， 故所求概率为56712015=. 故答案为：715三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题~第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17. 某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：优级品 合格品 不合格品总计 甲车间262450乙车间 70 28 2 100 总计96522150（1）填写如下列联表：优级品非优级品甲车间 乙车间能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异？（2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率0.5p =，设p 为升级改造后抽取的n 件产品的优级品率.如果p p >+150件产品的数据，能否认12.247≈）附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ ()2P K k ≥0.050 0.010 0.001 k3.841 6.63510828【答案】（1）答案见详解（2）答案见详解 【解析】【分析】（1）根据题中数据完善列联表，计算2K ，并与临界值对比分析； （2）用频率估计概率可得0.64p =，根据题意计算p +. 【小问1详解】 根据题意可得列联表：.优级品非优级品甲车间 26 24 乙车间7030可得()2215026302470754.687550100965416K ⨯-⨯===⨯⨯⨯， 因为3.841 4.6875 6.635<<，所以有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异，没有99%的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异. 【小问2详解】由题意可知：生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品的频率为960.64150=， 用频率估计概率可得0.64p =，又因为升级改造前该工厂产品的优级品率0.5p =，则0.50.50.5 1.650.56812.247p +=+≈+⨯≈，可知p p >+ 所以可以认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了. 18. 记n S 为数列{}n a 的前n 项和，且434n n S a =+． （1）求{}n a 的通项公式； （2）设1(1)n n n b na -=-，求数列{}n b 的前n 项和为n T ．【答案】（1）14(3)n n a -=⋅-（2）(21)31nn T n =-⋅+ 【解析】【分析】（1）利用退位法可求{}n a 的通项公式． （2）利用错位相减法可求n T.【小问1详解】当1n =时，1114434S a a ==+，解得14a =．当2n ≥时，11434n n S a --=+，所以1144433n n n n n S S a a a ---==-即13n n a a -=-，而140a =≠，故0n a ≠，故13nn a a -=-， ∴数列{}n a 是以4为首项，3-为公比的等比数列， 所以()143n n a -=⋅-.【小问2详解】111(1)4(3)43n n n n b n n ---=-⋅⋅⋅-=⋅,所以123n n T b b b b =++++L 0211438312343n n -=⋅+⋅+⋅++⋅L 故1233438312343nn T n =⋅+⋅+⋅++⋅L 所以1212443434343n n n T n --=+⋅+⋅++⋅-⋅L()1313444313n nn --=+⋅-⋅-()14233143n n n -=+⋅⋅--⋅(24)32n n =-⋅-，(21)31n n T n ∴=-⋅+.19. 如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，四边形ABCD 与四边形ADEF 均为等腰梯形，//,//BC AD EF AD ，4,2AD AB BC EF ====，ED FB ==M 为AD 的中点．（1）证明：//BM 平面CDE ；（2）求二面角F BM E --的正弦值． 【答案】（1）证明见详解；（2【解析】【分析】（1）结合已知易证四边形BCDM 为平行四边形，可证//BM CD ，进而得证；（2）作BO AD ⊥交AD 于O ，连接OF ，易证,,OB OD OF 三垂直，采用建系法结合二面角夹角余弦公式即可求解. 【小问1详解】因为//,2,4,BC AD EF AD M ==为AD 的中点，所以//,BC MD BC MD =， 四边形BCDM 为平行四边形，所以//BM CD ，又因为BM ⊄平面CDE ，CD ⊂平面CDE ，所以//BM 平面CDE ；【小问2详解】如图所示，作BO AD ⊥交AD 于O ，连接OF ，因为四边形ABCD 为等腰梯形，//,4,BC AD AD =2AB BC ==，所以2CD =， 结合（1）BCDM 为平行四边形，可得2BM CD ==，又2AM =， 所以ABM V 为等边三角形，O 为AM中点，所以OB =，又因为四边形ADEF 为等腰梯形，M 为AD 中点，所以,//EF MD EF MD =， 四边形EFMD 为平行四边形，FM ED AF ==，所以AFM △为等腰三角形，ABM V 与AFM △底边上中点O 重合，OF AM ⊥，3OF ==，因为222OB OF BF +=，所以OB OF ⊥，所以,,OB OD OF 互相垂直，以OB 方向为x 轴，OD 方向为y 轴，OF 方向为z 轴，建立O xyz -空间直角坐标系，()0,0,3F，)()(),0,1,0,0,2,3BM E，()(),BM BF ==u u u u r u u u r，()2,3BE =u u u r ，设平面BFM 的法向量为()111,,m x y z =r，平面EMB 的法向量为()222,,n x y z =r，则00m BM m BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r r u u u r r，即1111030y z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，令1x =113,1y z ==，即)m =r ，则00n BM n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r r u u u r r，即222220230y y z ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩，令2x =，得223,1y z ==-，即)1n =-r，11cos ,13m n m n m n ⋅===⋅r r r r r r，则sin ,m n =r r ， 故二面角F BM E --20. 设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在C 上，且MF x ⊥轴．（1）求C 的方程；（2）过点()4,0P 的直线与C 交于,A B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q ，证明：AQ y ⊥轴．【答案】（1）22143x y +=（2）证明见解析 【解析】【分析】（1）设(),0F c ，根据M 的坐标及MF ⊥x 轴可求基本量，故可求椭圆方程.（2）设:(4)AB y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线方程和椭圆方程，用,A B 的坐标表示1Q y y -，结合韦达定理化简前者可得10Q y y -=，故可证AQ y ⊥轴.【小问1详解】设(),0F c ，由题设有1c =且232b a =，故2132a a -=，故2a =，故b =故椭圆方程为22143x y +=.【小问2详解】直线AB 的斜率必定存在，设:(4)AB y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，由223412(4)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩可得()2222343264120k x k x k +-+-=， 故()()422Δ102443464120k kk=-+->，故1122k -<<， 又22121222326412,3434k k x x x x k k -+==++， 而5,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故直线225:522y BN y x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭-，故22223325252Qy y y x x --==--， 所以()1222112225332525Q y x y y y y y x x ⨯-+-=+=--()()()12224253425k x x k x x -⨯-+-=-()222212122264123225825834342525k k x x x x k k k kx x -⨯-⨯+-++++==-- 2222212824160243234025k k k k k x --+++==-， 故1Q y y =，即AQ y ⊥轴.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，注意∆的判断； （3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.21. 已知函数()()()1ln 1f x ax x x =-+-． （1）当2a =-时，求()f x 的极值；（2）当0x ≥时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围． 【答案】（1）极小值为0，无极大值.（2）12a ≤- 【解析】【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的单调性和零点可求函数的极值. （2）求出函数的二阶导数，就12a ≤-、102a -<<、0a ≥分类讨论后可得参数的取值范围. 【小问1详解】当2a =-时，()(12)ln(1)f x x x x =++-， 故121()2ln(1)12ln(1)111x f x x x x x +'=++-=+-+++， 因为12ln(1),11y x y x=+=-++在()1,∞-+上为增函数， 故()f x '在()1,∞-+上为增函数，而(0)0f '=，故当10x -<<时，()0f x '<，当0x >时，()0f x '>， 故()f x 在0x =处取极小值且极小值为()00f =，无极大值. 【小问2详解】()()()()11ln 11ln 1,011a x axf x a x a x x x x +-=-+'+-=-+->++， 设()()()1ln 1,01a x s x a x x x+=-+->+，则()()()()()()222111211111a a x a aax a s x x x x x ++++-++=-=-=-+++'+， 当12a ≤-时，()0s x '>，故()s x 在()0,∞+上为增函数， 故()()00s x s >=，即()0f x '>，所以()f x 在[)0,∞+上为增函数，故()()00f x f ≥=. 当102a -<<时，当210a x a+<<-时，()0s x '<， 故()s x 在210,a a +⎛⎫-⎪⎝⎭上为减函数，故在210,a a +⎛⎫- ⎪⎝⎭上()()0s x s <，即在210,a a +⎛⎫-⎪⎝⎭上()0f x '<即()f x 为减函数， 故在210,a a +⎛⎫-⎪⎝⎭上()()00f x f <=，不合题意，舍. 当0a ≥，此时()0s x '<在()0,∞+上恒成立，同理可得()0,∞+上()()00f x f <=恒成立，不合题意，舍； 综上，12a ≤-. 【点睛】思路点睛：导数背景下不等式恒成立问题，往往需要利用导数判断函数单调性，有时还需要对导数进一步利用导数研究其符号特征，处理此类问题时注意利用范围端点的性质来确定如何分类.（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分． [选修4-4：坐标系与参数方程]22. 在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为cos 1ρρθ=+. （1）写出C 的直角坐标方程；（2）设直线l ：x ty t a=⎧⎨=+⎩（t 为参数），若C 与l 相交于A B 、两点，若2AB =，求a 的值.【答案】（1）221y x =+（2）34a = 【解析】【分析】（1）根据cos xρρθ⎧⎪=⎨=⎪⎩可得C 的直角方程.（2）将直线的新的参数方程代入C 的直角方程，法1：结合参数s 的几何意义可得关于a 的方程，从而可求参数a 的值；在法2：将直线的直角方程与曲线的直角方程联立，结合弦长公式可求a 的值. 【小问1详解】由cos 1ρρθ=+，将cos xρρθ⎧⎪=⎨=⎪⎩cos 1ρρθ=+，1x =+，两边平方后可得曲线的直角坐标方程为221y x =+.【小问2详解】对于直线l 的参数方程消去参数t ，得直线的普通方程为y x a =+. 法1：直线l 的斜率为1，故倾斜角为π4，故直线的参数方程可设为x y a s ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，s ∈R .将其代入221y x =+中得()221)210s a s a +-+-=设,A B 两点对应的参数分别为12,s s，则)()212121,21s s a s s a +=--=-，且()()22Δ818116160a a a =---=->，故1a <，12AB s s ∴=-=2==，解得34a =法2：联立221y x ay x =+⎧⎨=+⎩，得22(22)10x a x a +-+-=，()22Δ(22)41880a a a =---=-+>，解得1a <，设()()1122,,,A x y B x y ,2121222,1x x a x x a ∴+=-=-，则AB ==2=，解得34a =[选修4-5：不等式选讲]23. 实数,a b 满足3a b +≥． （1）证明：2222a b a b +>+； （2）证明：22226a b b a -+-≥． 【答案】（1）证明见解析.（2）证明见解析 【解析】【分析】（1）直接利用22222()a b a b +≥+即可证明. （2）根据绝对值不等式并结合（1）中结论即可证明. 【小问1详解】因为()()2222222022a b a ab b a b b a -+=--++=≥， 当a b =时等号成立，则22222()a b a b +≥+， 因为3a b +≥，所以22222()a b a b a b +≥+>+; 【小问2详解】222222222222()a b b a a b b a a b a b -+-≥-+-=+-+22222()()()()(1)326a b a b a b a b a b a b =+-+≥+-+=++-≥⨯=绝密★启用前2024年普通高等学校招生全国统一考试文科数学使用范围：陕西、宁夏、青海、内蒙古、四川注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上．2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号．3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 5．考试结束后，只将答题卡交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 集合{}1,2,3,4,5,9A =，{}1B x x A =+∈，则A B =I （ ）A. {}1,2,3,4B. {}1,2,3C. {}3,4D. {}1,2,92.设z =，则z z ⋅=（ ）A. -iB. 1C. -1D. 23. 若实数,x y 满足约束条件43302202690x y x y x y --≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，则5z x y =-的最小值为（ ）A. 5B.12C. 2-D. 72-4. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若91S =，37a a +=（ ） A. 2-B.73C. 1D.295. 甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（ ） A.14B.13C.12D.236. 已知双曲线的两个焦点分别为(0,4),(0,4)-，点(6,4)-在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）A. 4B. 3C. 2D.7. 曲线()631f x x x =+-在()0,1-处的切线与坐标轴围成的面积为（ ） A.16B.C.12D. 8. 函数()()2e esin xxf x x x -=-+-在区间[ 2.8,2.8]-大致图像为（）A. B.C. D.9.已知cos cos sin ααα=-，则πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A. 1+B. 1-C.D. 1原10题略10. 设αβ、是两个平面，m n 、是两条直线，且m αβ=I .下列四个命题： ①若//m n ，则//n α或//n β ②若m n ⊥，则,n n αβ⊥⊥③若//n α，且//n β，则//m n ④若n 与α和β所成角相等，则m n ⊥其中所有真命题的编号是（ ） A. ①③B. ②④C. ①②③D. ①③④11. 在ABC V 中内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，若π3B =，294b ac =，则sin sin A C +=（ ） A.32B.C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．原13题略的的12. 函数()sin f x x x =在[]0,π上的最大值是______． 13. 已知1a >，8115log log 42a a -=-，则=a ______． 14. 曲线33y x x =-与()21y x a =--+在()0,∞+上有两个不同的交点，则a 的取值范围为______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．15. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1233n n S a +=-. （1）求{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n S 的通项公式.16. 如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，四边形ABCD 与四边形ADEF 均为等腰梯形，//,//BC AD EF AD ，4,2AD AB BC EF ====，ED FB ==M 为AD 的中点.（1）证明：//BM 平面CDE ； （2）求点M 到ABF 的距离.17. 已知函数()()1ln 1f x a x x =--+． （1）求()f x 单调区间；（2）若2a ≤时，证明：当1x >时，()1e xf x -<恒成立．18. 设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在C 上，且MF x ⊥轴．（1）求C 方程；（2）过点()4,0P 的直线与C 交于,A B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q ，证明：AQ y ⊥轴．的的（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分．19. 在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为cos 1ρρθ=+. （1）写出C 直角坐标方程； （2）设直线l ：x ty t a =⎧⎨=+⎩（t 为参数），若C 与l 相交于A B 、两点，若2AB =，求a 的值.20. 实数,a b 满足3a b +≥． （1）证明：2222a b a b +>+； （2）证明：22226a b b a -+-≥．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 集合{}1,2,3,4,5,9A =，{}1B x x A =+∈，则A B =I （ ）A. {}1,2,3,4B. {}1,2,3C. {}3,4D. {}1,2,9【答案】A 【解析】【分析】根据集合B 的定义先算出具体含有的元素，然后根据交集的定义计算. 【详解】依题意得，对于集合B 中元素x ，满足11,2,3,4,5,9x +=， 则x 可能的取值为0,1,2,3,4,8，即{0,1,2,3,4,8}B =， 于是{1,2,3,4}A B ⋂=. 故选：A 2.设z =，则z z ⋅=（ ）A. -iB. 1C. -1D. 2【答案】D 【解析】的的【分析】先根据共轭复数的定义写出z ，然后根据复数的乘法计算.【详解】依题意得，z =，故22i 2zz =-=. 故选：D3. 若实数,x y 满足约束条件43302202690x y x y x y --≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，则5z x y =-的最小值为（ ）A. 5B.12C. 2-D. 72-【答案】D 【解析】【分析】画出可行域后，利用z 的几何意义计算即可得.【详解】实数,x y 满足43302202690x y x y x y --≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，作出可行域如图：由5z x y =-可得1155y x z =-， 即z 的几何意义为1155y x z =-的截距的15-，则该直线截距取最大值时，z 有最小值， 此时直线1155y x z =-过点A ， 联立43302690x y x y --=⎧⎨+-=⎩，解得321x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，即3,12A ⎛⎫⎪⎝⎭，则min 375122z =-⨯=-. 故选：D.4. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若91S =，37a a +=（ ） A. 2- B.73C. 1D.29【答案】D【解析】【分析】可以根据等差数列基本量，即将题目条件全转化成1a 和d 来处理，亦可用等差数列的性质进行处理，或者特殊值法处理.【详解】方法一：利用等差数列的基本量由91S =，根据等差数列的求和公式，911989193612S a d a d ⨯=+=⇔+=， 又371111222628(936)99a a a d a d a d a d +=+++=+=+=.故选：D方法二：利用等差数列的性质 根据等差数列的性质，1937a a a a +=+，由91S =，根据等差数列的求和公式，193799()9()122a a a a S ++===，故3729a a +=. 故选：D方法三：特殊值法不妨取等差数列公差0d =，则9111199S a a ==⇒=，则371229a a a +==. 故选：D5. 甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（ ） A.14B.13C.12D.23【答案】B 【解析】【分析】分类讨论甲乙的位置，得到符合条件的情况，然后根据古典概型计算公式进行求解. 【详解】当甲排在排尾，乙排第一位，丙有2种排法，丁就1种，共2种； 当甲排在排尾，乙排第二位或第三位，丙有1种排法，丁就1种，共2种；于是甲排在排尾共4种方法，同理乙排在排尾共4种方法，于是共8种排法符合题意； 基本事件总数显然是44A 24=，根据古典概型的计算公式，丙不在排头，甲或乙在排尾的概率为81243=. 故选：B6. 已知双曲线的两个焦点分别为(0,4),(0,4)-，点(6,4)-在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）的A. 4B. 3C. 2D.【答案】C【解析】 【分析】由焦点坐标可得焦距2c ，结合双曲线定义计算可得2a ，即可得离心率.【详解】设()10,4F -、()20,4F 、()6,4-P ，则1228F F c ==，110PF ==，26PF ==，则1221064a PF PF =-=-=，则28224c e a ===. 故选：C.7. 曲线()631f x x x =+-在()0,1-处的切线与坐标轴围成的面积为（ ）A. 16B.C. 12 D. 【答案】A【解析】【分析】先求出切线方程，再求出切线的截距，从而可求面积.【详解】()563f x x ='+，所以()03f '=，故切线方程为3(0)131y x x =--=-， 故切线的横截距为13，纵截距为1-，故切线与坐标轴围成的面积为1111236⨯⨯= 故选：A. 8. 函数()()2e e sin x x f x x x -=-+-在区间[ 2.8,2.8]-的大致图像为（ ）A. B.C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用函数的奇偶性可排除A 、C ，代入1x =可得()10f >，可排除D.【详解】()()()()()22e e sin e e sin x x x x f x x x x x f x ---=-+--=-+-=， 又函数定义域为[]2.8,2.8-，故该函数为偶函数，可排除A 、C ，又()11πe 11111e sin11e sin10e e 622e 42e f ⎛⎫⎛⎫=-+->-+-=-->-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故可排除D.故选：B.9.已知cos cos sin ααα=-，则πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A. 1+B. 1-C.D. 1【答案】B【解析】 【分析】先将cos cos sin αα-α弦化切求得tan α，再根据两角和的正切公式即可求解.【详解】因为cos cos sin ααα=-，所以11tan =-α，tan 1⇒α=-，所以tan 1tan 11tan 4α+π⎛⎫==-α+⎪-α⎝⎭， 故选：B .原10题略10. 设αβ、是两个平面，m n 、是两条直线，且m αβ=I .下列四个命题：①若//m n ，则//n α或//n β②若m n ⊥，则,n n αβ⊥⊥ ③若//n α，且//n β，则//m n④若n 与α和β所成的角相等，则m n ⊥其中所有真命题编号是（ ）A. ①③B. ②④C. ①②③D. ①③④ 【答案】A 的【解析】【分析】根据线面平行的判定定理即可判断①；举反例即可判断②④；根据线面平行的性质即可判断③.【详解】对①，当n ⊂α，因为//m n ，m β⊂，则//n β，当n β⊂，因为//m n ，m α⊂，则//n α，当n 既不在α也不在β内，因为//m n ，,m m αβ⊂⊂，则//n α且//n β，故①正确；对②，若m n ⊥，则n 与,αβ不一定垂直，故②错误；对③，过直线n 分别作两平面与,αβ分别相交于直线s 和直线t ，因为//n α，过直线n 的平面与平面α的交线为直线s ，则根据线面平行的性质定理知//n s ， 同理可得//n t ，则//s t ，因为s ⊄平面β，t ⊂平面β，则//s 平面β，因为s ⊂平面α，m αβ=I ，则//s m ，又因为//n s ，则//m n ，故③正确；对④，若,m n αβ⋂=与α和β所成的角相等，如果//,//αβn n ，则//m n ，故④错误；综上只有①③正确，故选：A.11. 在ABC V 中内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，若π3B =，294b ac =，则sin sin A C +=（ ）A. 32B.C.D. 【答案】C【解析】 【分析】利用正弦定理得1sin sin 3A C =，再利用余弦定理有22134a c ac +=，再利用正弦定理得到22sin sin A C +的值，最后代入计算即可.【详解】因为29,34B b ac π==，则由正弦定理得241sin sin sin 93A C B ==. 由余弦定理可得:22294b ac ac ac =+-=， 即:22134a c ac +=，根据正弦定理得221313sin sin sin sin 412A C A C +==， 所以2227(sin sin )sin sin 2sin sin 4A C A C A C +=++=， 因为,A C 为三角形内角，则sin sin 0A C +>，则sin sin A C +=. 故选：C. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．原13题略12. 函数()sin f x x x =在[]0,π上的最大值是______．【答案】2【解析】【分析】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可.【详解】()πsin 2sin 3f x x x x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，当[]0,πx ∈时，ππ2π,333x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 当ππ32x -=时，即5π6x =时，()max 2f x =. 故答案为：213. 已知1a >，8115log log 42a a -=-，则=a ______． 【答案】64【解析】【分析】将8log ,log 4a a 利用换底公式转化成2log a 来表示即可求解. 【详解】由题28211315log log log 4log 22a a a a -=-=-，整理得()2225log 60log a a --=， 2log 1a ⇒=-或2log 6a =，又1a >，所以622log 6log 2a ==，故6264a ==故答案为：64.14. 曲线33y x x =-与()21y x a =--+在()0,∞+上有两个不同的交点，则a 的取值范围为______． 【答案】()2,1-【解析】【分析】将函数转化为方程，令()2331x x x a -=--+，分离参数a ，构造新函数()3251,g x x x x =+-+结合导数求得()g x 单调区间，画出大致图形数形结合即可求解.【详解】令()2331x x x a -=--+，即3251a x x x =+-+，令()()32510,g x x x x x =+-+> 则()()()2325351g x x x x x =+-=+-'，令()()00g x x '=>得1x =， 当()0,1x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减，当()1,x ∞∈+时，()0g x '>，()g x 单调递增，()()01,12g g ==-，因为曲线33y x x =-与()21y x a =--+在()0,∞+上有两个不同的交点， 所以等价于y a =与()g x 有两个交点，所以()2,1a ∈-.故答案为：()2,1-三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．15. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1233n n S a +=-.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n S 的通项公式.。
2008年高考数学试卷(江西.理)含详解
准考证号 姓名（在此卷上答题无效）绝密★启用前2008年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷l 至2页，第Ⅱ卷3至4页，共150分．第Ⅰ卷考生注意：1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效．3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回．参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式P (A ＋B)＝P (A)＋P (B) S ＝4πR 2如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径P (A·B)＝P (A)·P (B) 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 V ＝34πR 3n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径P n (k )＝C kn P k (1一P )kn -一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在复平面内，复数sin 2cos2z i =+对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．定义集合运算：{}|,,A B z z xy x A y B *==∈∈．设{}{}1,2,0,2A B ==，则集合A B *的所有元素之和为A ．0B ．2C ．3D ．63．若函数()y f x =的值域是1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则函数()()1()F x f x f x =+的值域是A ．[21，3] B ．[2，310] C ．[25，310] D ．[3，310] 4．123lim1--+→x x x ＝A ．21 B ．0 C ．－21D ．不存在 5．在数列{}n a 中，1112,ln 1n n a a a n +⎛⎫==++⎪⎝⎭，则n a ＝ A ．2ln n + B ．()21ln n n +- C ．2ln n n + D ．1ln n n ++ 6．函数tan sin tan sin y x x x x =+--在区间(2π，23π)内的图象大致是A B C D7．已知12F F 、是椭圆的两个焦点．满足1MF ·2MF ＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是A ．(0，1)B ．(0，21] C ．(0，22) D ．[22，1)8．(1＋3x )6(1＋41x)10展开式中的常数项为A ．1B ．46C ．4245D ．42469．若12120,0a a b b <<<<，且12121a a b b +=+=，则下列代数式中值最大的是A ．1122a b a b +B ．1212a a b b +C ．1221a b a b +D ．2110．连结球面上两点的线段称为球的弦．半径为4的球的两条弦AB 、CD 的长度分别等于27、43，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题： ①弦AB 、CD 可能相交于点M ②弦AB 、CD 可能相交于点N ③MN 的最大值为5 ④MN 的最小值为l 其中真命题的个数为A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．电子钟一天显示的时间是从00∶00到23∶59，每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻显示的四个数字之和为23的概率为 A ．1801 B ．2881 C ．3601 D ．480112．已知函数()()()22241,f x mx m x g x mx =--+=，若对于任一实数x ，()f x 与()g x 的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是A ．(0，2)B ．(0，8)C ．(2，8)D ．(－∞，0)绝密★启用前2008年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学第Ⅱ卷注意事项：第Ⅱ卷2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效． 二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把答案填在答题卡上．13．直角坐标平面内三点()()()1,23,29,7A B C -、、，若E F 、为线段BC 的三等分点，则AE ·AF ＝ ．14．不等式132+-xx ≤21的解集为 ． 15．过抛物线()220x py p =>的焦点F 作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A 、B 两点(点A 在y 轴左侧)，则FBAF＝ ． 16．如图1，一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a 升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P ．如果将容器倒置，水面也恰好过点P (图2)．有下列四个命题：A ．正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半B ．将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点PC ．任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好 经过点PD ．若往容器内再注入a 升水，则容器恰好能装满其中真命题的代号是 ．(写出所有真命题的代号) ．三．解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）在△ABC 中．a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边长，a ＝23，tan 2B A +＋tan 2C ＝4，sin B sin C ＝cos 22A．求A 、B 及b 、c ．18．（本小题满分12分）因冰雪灾害，某柑桔基地果林严重受损，为此有关专家提出两种拯救果树的方案，每种方案都需分两年实施．若实施方案一，预计第一年可以使柑桔产量恢复到灾前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分别是0.3、0.3、0.4；第二年可以使柑桔产量为第一年产量的1.25倍、1.0倍的概率分别是0.5、0.5．若实施方案二，预计第一年可以使柑桔产量达到灾前的1.2倍、1.0倍、0.8倍的概率分别是0.2、0.3、0.5；第二年可以使柑桔产量为第一年产量的1.2倍、1.0倍的概率分别是0.4、0.6．实施每种方案第一年与第二年相互独立，令()1,2i i ξ=表示方案i 实施两年后柑桔产量达到灾前产量的倍数． （1）写出ξ1、ξ2的分布列；（2）实施哪种方案，两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大?（3）不管哪种方案，如果实施两年后柑桔产量达不到、恰好达到、超过灾前产量，预计利润分别为10万元、15万元、20万元．问实施哪种方案的平均利润更大? 19．（本小题满分12分）等差数列{}n a 各项均为正整数，13a =，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 中，11b =，且2264b S =，{}n b 是公比为64的等比数列．（1）求n a 与n b ； （2）证明：11S ＋21S ＋……＋n S 1＜43．20．（本小题满分12分）正三棱锥O ABC -的三条侧棱OA OB OC 、、两两垂直，且长度均为2．E F 、分别是AB AC 、的中点，H 是EF 的中点，过EF 的一个平面与侧棱OA OB OC 、、或其延长线分别相交于111A B C 、、，已知132OA =． （1）证明：11B C ⊥平面OAH ； （2）求二面角111O A B C --的大小．21．（本小题满分12分）设点()00,P x y 在直线(),01x m y m m =≠±<<上，过点P 作双曲线221x y -=的两条切线PA PB 、，切点为A B 、，定点M (m1，0)． （1）过点A 作直线0x y -=的垂线，垂足为N ，试求△AMN 的重心G 所在的曲线方程；（2）求证：A M B 、、三点共线． 22．（本小题满分14分） 已知函数()f x ＝x+11＋a+11＋8+ax ax，x ∈(0，＋∞)．（1）当8a =时，求()f x 的单调区间； （2）对任意正数a ，证明：()12f x <<．2008年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学参考答案一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
2006年高考数学试卷(浙江卷.理)含详解
2006数学浙江卷（理科）一、选择题：（1）设集合{|1A x =-≤x ≤2}，B={x |0≤x ≤4}，则A ∩B=（ ）(A)［0，2］ (B)［1，2］ (C)［0，4］ (D)［1，4］ （2）已知11mni i=-+，其中m n ，是实数，i 是虚数单位，则m ni +=（ ） (A)i 21+ (B) i 21- (C) i +2 (D) i -2 （3）已知01a <<，log log 0a a m n <<，则（ ）(A)1＜n ＜m (B) 1＜m ＜n (C)m ＜n ＜1 (D) n ＜m ＜1（4）在平面直角坐标系中，不等式组20202x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，表示的平面区域的面积是（ ）(A)24 (B)4 (C) 22 (D)2（5）若双曲线122=-y m x 上的点到左准线的距离是到左焦点距离的31，则=m （ ） (A)21 (B)23 (C)81 (D)89 （6）函数R x x x y ∈+=,sin 2sin 212的值域是（ ）(A)［12-,23］ (B)［32-,21］ (C)［2122,2122++-］ (D)［2122,2122---］ （7）“0>>b a ”是“222b a ab +<”的（ ）(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 （8）若多项式21021001910(1)(1)(1)x xa a x a x a x +=+++++++ ，则9a =（ ）(A)9 (B)10 (C )－9 (D )－10（9）如图，O 是半径为l 的球心，点A 、B 、C 在球面上，OA 、OB 、OC 两两垂直，E 、F 分别是大圆弧AB 与 AC 的中点，则点E 、F 在该球面上的球面距离是（ ）(A)4π (B)3π (C)2π(D)42π（10）函数{}{}3,2,13,2,1:→f 满足()()()x f x f f =，则这样的函数个数共有（ ） (A)1个 (B)4个 (C)8个 (D)10个 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
江西省宜春市八校2023届高三第一次联考数学(理)试题(含解析)
江西省宜春市八校2023届高三第一次联考数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A．25B．24C．55．若π13πtan sin123α⎛⎫-=⎪⎝⎭，则πtan4α⎛⎫-=⎪⎝⎭（）A．39-B．35-C．396．2022年男足世界杯于2022年11月21日至2022年12月17排甲､乙等5名志愿者去A，B，C三个足球场服务，要求每个足球场都有人去，每人A ．62B ．20239．已知函数()f x 满足()()1ln f x x f x x'+1⎛⎫1⎛⎫二、填空题14．已知函数()3sin 4cos f x x x =+，且对任意实数x 都有()(2)(R)f x f x αα=-∈sin 2α的值为__________．15．已知一组数据x ，x ，x ，…，x 的平均数为x ，方差为2s .若31x +，3x +(1)若BE ＝B 1E ，证明：CC 1⊥(2)若112BE B E =，求二面角19．已知椭圆C :(22221x y a b+=(1)求椭圆C 的方程；参考答案：326x y --的几何意义是曲线上的点到直线3260x y --=的距离的两倍，双曲线的渐近线3y x =与3所以曲线在第一、三象限上的点到在12F PF △中，由余弦定理得4c 可得()22422cos3c m n mn mn =-+-即得2222544487916c a a a =+⨯=279c =，所以，(PC PB PA PB OA ⋅=-⋅=- ()1OP OA OB OA OB =⋅+-⋅-，因为()22OA OB OPOA OB +-=+因为四边形ABCD 是菱形，所以BD AC ⊥，11BC B C ==因为1AA BD ⊥，1AA ，AC ⊂则131,,33E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以51,3AE ⎛= ⎝ 易知平面11ACC A 的一个法向量为则100AC m AE m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即3305333y z x y ⎧+=⎪⎨++⎪⎩21．(1)(23)3n n a =-+，1,2,3,n =(2)证明见解析【分析】（1）由题意可得13n a +-=比为23-的等比数列，由等比数列的通项公式即可求出。
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2006年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
第Ⅰ卷1至2页。
第Ⅱ卷3至4页。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意事项：1.答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中“座位号、姓名、科类”与本人座位号、姓名、科类是否一致。
2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3．答第Ⅱ卷时，必须用0.5毫米墨水签字笔在答题卡上书写。
在试题卷上作答无效。
4．考试结束，监考人员将试题卷和答题卡一并收回。
参考公式：如果时间A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+ 如果时间A 、B 相互独立，那么()()()P A B P A P B =如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()()1n kk k n n P k C P P -=-球的表面积公式24S R π=，其中R 表示球的半径 球的体积公式343V R π=，其中R 表示球的半径第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知集合M ＝｛x|3x0x 1≥（－）｝，N ＝｛y|y ＝3x 2＋1，x ∈R ｝，则M ⋂N ＝（ ） A ．∅ B. {x|x ≥1} C.｛x|x >1｝ D. {x| x ≥1或x <0}2、已知复数z 3i ）z ＝3i ，则z ＝（ ）A ．32 B. 34 C. 32 D.34 3、若a >0，b >0，则不等式－b <1x<a 等价于（ ） A ．1b －<x <0或0<x <1a B.－1a <x <1b C.x <-1a 或x >1b D.x <1b －或x >1a4、设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 是抛物线上一点，若OA F A ∙ ＝－4则点A 的坐标是（ ）A ．（2，±B. (1，±2)C.（1，2）D.(2，5、对于R 上可导的任意函数f （x ），若满足（x －1）f x '（）≥0，则必有（ ） A ． f （0）＋f （2）<2f （1） B. f （0）＋f （2）≤2f （1） B ． f （0）＋f （2）≥2f （1） C. f （0）＋f （2）>2f （1）6、若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈（0，12〕成立，则a 的取值范围是（ ） A ．0 B. –2 C.-52D.-3 7、已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，若1O a B ＝200OA a OC＋，且A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点O ），则S 200＝（ ） A ．100 B. 101 C.200 D.2018、在（x2006的二项展开式中，含x 的奇次幂的项之和为S ，当xS 等于（ ）A.23008B.-23008C.23009D.-230099、P 是双曲线22x y 1916－＝的右支上一点，M 、N 分别是圆（x ＋5）2＋y 2＝4和（x －5）2＋y 2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为（ ） A. 6 B.7 C.8 D.910、将7个人（含甲、乙）分成三个组，一组3人，另两组2 人，不同的分组数为a ，甲、乙分到同一组的概率为p ，则a 、p 的值分别为（ ） A ． a=105 p=521 B.a=105 p=421 C.a=210 p=521 D.a=210 p=42111、如图，在四面体ABCD 中，截面AEF 经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O ，且与BC ，DC 分别截于E 、F ，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A －BEFD 与三棱锥A －EFC 的表面积分别是S 1，S 2，则必有（ ）A. S 1<S 2B. S 1>S 2C. S 1=S 2D. S 1，S 2的大小关系不能确定 12、某地一年的气温Q （t ）（单位：ºc ）与时间t （月份）之间的关系如图（1）所示，已知该年的平均气温为10ºc ，令G （t ）表示时间段〔0,t 〕的平均气温，G （t ）与t 之间的函数关系用下列图象表示，则正确的应该是（ ）C理科数学第Ⅱ卷（非选择题 共90分）注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上书写作答无效。
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填写在答题卡的相应位置。
13、数列｛214n 1－｝的前n 项和为Sn ，则n lim →∞S n ＝______________14、设f （x ）＝log 3（x ＋6）的反函数为f －1（x ），若〔f －1（m ）＋6〕〔f －1（n ）＋6〕＝27则f （m ＋n ）＝___________________15、如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面为直角三角形，∠ACB ＝90︒，AC ＝6，BC ＝CC 1P 是BC 1上一动点，则CP ＋PA 1的最小值是___________16、已知圆M ：（x ＋cos θ）2＋（y －sin θ）2＝1， 直线l ：y ＝kx ，下面四个命题： （A ） 对任意实数k 与θ，直线l 和圆M 相切；（B ） 对任意实数k 与θ，直线l 和圆M 有公共点；（C ） 对任意实数θ，必存在实数k ，使得直线l 与和圆M 相切 （D ）对任意实数k ，必存在实数θ，使得直线l 与 和圆M 相切其中真命题的代号是______________（写出所有真命题的代号）三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17、（本小题满分12分）CC 1B 1A已知函数f （x ）＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝－23与x ＝1时都取得极值 （1） 求a 、b 的值与函数f （x ）的单调区间 （2） 若对x ∈〔－1，2〕，不等式f （x ）<c 2恒成立，求c 的取值范围。
18、（本小题满分12分）某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：从装有9个白球，1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球可获得奖金10元；摸出2个红球可获得奖金50元，现有甲，乙两位顾客，规定：甲摸一次，乙摸两次，令ξ表示甲，乙摸球后获得的奖金总额。
求：（1）ξ的分布列 （2）ξ的的数学期望19、（本小题满分12分）如图，已知△ABC 是边长为1的正三角形，M 、N 分别是边AB 、AC 上的点，线段MN 经过△ABC 的中心G ， 设∠MGA ＝α（233ππα≤≤） （1） 试将△AGM 、△AGN 的面积（分别记为S 1与S 2） 表示为α的函数A C（2） 求y ＝221211S S ＋的最大值与最小值 20、（本小题满分12分）如图，在三棱锥A －BCD 中，侧面ABD 、ACD 是全等的直角三角形，AD 是公共的斜边，且ADBD ＝CD ＝1，另一个侧面是正三角形（1） 求证：AD ⊥BC（2） 求二面角B －AC －D 的大小（3） 在直线AC 上是否存在一点E ，使ED 与面BCD 成30︒角？若存在，确定E 的位置；若不存在，说明理由。
21、（本大题满分12分）如图，椭圆Q ：2222x y 1a b＋＝（a >b >0）的右焦点F （c ，0），过点F 的一动直线m 绕点F 转动，并且交椭圆于A 、B 两点，P 是线段AB 的中点（1） 求点P 的轨迹H 的方程（2） 在Q 的方程中，令a 2＝1＋cos θ＋sin θ，b 2＝sin θ（0<θ≤2π ），确定θ的值，使原点距椭圆的右准线l 最远，此时，设l 与x 轴交点为D ，当直线m 绕点F 转动到什么位置时，三角形ABD的面积最大？22、（本大题满分14分）已知数列｛a n｝满足：a1＝32，且a n＝n1n13nan2n N2a n1*≥∈－－（，）＋－（1）求数列｛a n｝的通项公式；（2）证明：对于一切正整数n，不等式a1∙a2∙……a n<2∙n！2006年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
第Ⅰ卷1至2页。
第Ⅱ卷3至4页。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意事项：1.答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中“座位号、姓名、科类”与本人座位号、姓名、科类是否一致。
2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3．答第Ⅱ卷时，必须用0.5毫米墨水签字笔在答题卡上书写。
在试题卷上作答无效。
4．考试结束，监考人员将试题卷和答题卡一并收回。
参考公式：如果时间A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+ 如果时间A 、B 相互独立，那么()()()P A B P A P B =如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()()1n kk k n n P k C P P -=-球的表面积公式24S R π=，其中R 表示球的半径 球的体积公式343V R π=，其中R 表示球的半径第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知集合M ＝｛x|3x 0x 1≥（－）｝，N ＝｛y|y ＝3x 2＋1，x ∈R ｝，则M ⋂N ＝（ C ） A ．∅ B. {x|x ≥1} C.｛x|x >1｝ D. {x| x ≥1或x <0}解：M ＝｛x|x >1或x ≤0｝，N ＝｛y|y ≥1｝故选C 2、已知复数z3i ）z ＝3i ，则z ＝（ D ） A．32B. 34C. 32D.34解：z D3、若a >0，b >0，则不等式－b <1x<a 等价于（ D ） A ．1b －<x <0或0<x <1a B.－1a <x <1b C.x <-1a 或x >1b D.x <1b －或x >1a解： 11bxb 001x xb a 11ax x a 00x x 1x 0x x bx 1011bx x x 1ax 01b a x x 0a ⎧⎧⎪⎪⎪⎪⇔⇔⎨⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎧⎪⎧⎪⇔⇔⇒⎨⎨⎩⎪⎪⎩＋＋－－－或－（＋）－或（－）或故选D4、设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 是抛物线上一点，若OA F A ∙＝－4则点A 的坐标是（B ）A ．（2，± B. (1，±2) C.（1，2）D.(2，解：F （1，0）设A （20y 4，y 0）则O A ＝（ 20y 4，y 0），F A ＝（1－20y 4，－y 0），由O A∙ F A＝－4⇒y 0＝±2，故选B 5、对于R 上可导的任意函数f （x ），若满足（x －1）f x '（）≥0，则必有（ C ）C ． f （0）＋f （2）<2f （1） B. f （0）＋f （2）≤2f （1） C. f （0）＋f （2）≥2f （1） D. f （0）＋f （2）>2f （1）解：依题意，当x ≥1时，f '（x ）≥0，函数f （x ）在（1，＋∞）上是增函数；当x <1时，f '（x ）≤0，f （x ）在（－∞，1）上是减函数，故f （x ）当x ＝1时取得最小值，即有 f （0）≥f （1），f （2）≥f （1），故选C 6、若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈（0，12）成立，则a 的取值范围是（ C ） A ．0 B. –2 C.-52D.-3 解：设f （x ）＝x 2＋ax ＋1，则对称轴为x ＝a 2－ 若a 2－≥12，即a ≤－1时，则f （x ）在〔0，12〕上是减函数，应有f （12）≥0⇒－52≤x ≤－1 若a 2－≤0，即a ≥0时，则f （x ）在〔0，12〕上是增函数，应有f （0）＝1>0恒成立，故a ≥0若0≤a 2－≤12，即－1≤a ≤0，则应有f （a 2－）＝222a a a 110424≥－＋＝－恒成立，故－1≤a ≤0 综上，有－52≤a 故选C 7、已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，若1O a B ＝200OA a OC＋，且A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点O ），则S 200＝（ A ） A ．100 B. 101 C.200 D.201解：依题意，a 1＋a 200＝1，故选A8、在（x 2006的二项展开式中，含x 的奇次幂的项之和为S ，当x S 等于（B ）A.23008B.-23008C.23009D.-23009解：设（x2006＝a 0x 2006＋a 1x 2005＋…＋a 2005x ＋a 2006则当xa 02006＋a 12005＋…＋a 2005a 2006＝0 （1） 当xa 02006－a 12005＋…－a 2005a 2006＝23009 （2） （1）－（2）有a 12005＋…＋a 200523009÷2＝－23008 故选B9、P 是双曲线22x y 1916－＝的右支上一点，M 、N 分别是圆（x ＋5）2＋y 2＝4和（x －5）2＋y 2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为（ D ） A. 6 B.7 C.8 D.9解：设双曲线的两个焦点分别是F 1（－5，0）与F 2（5，0），则这两点正好是两圆的圆心，当且仅当点P 与M 、F 1三点共线以及P 与N 、F 2三点共线时所求的值最大，此时 |PM|－|PN|＝（|PF 1|－2）－（|PF 2|－1）＝10－1＝9故选B10、将7个人（含甲、乙）分成三个组，一组3人，另两组2 人，不同的分组数为a ，甲、乙分到同一组的概率为p ，则a 、p 的值分别为（ A ） B ． a=105 p=521 B.a=105 p=421 C.a=210 p=521 D.a=210 p=421解：a ＝322742C C C2！＝105甲、乙分在同一组的方法种数有（1） 若甲、乙分在3人组，有122542C C C 2！＝15种（2） 若甲、乙分在2人组，有35C ＝10种，故共有25种，所以P ＝25510521＝ 故选A11、如图，在四面体ABCD 中，截面AEF 经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O ，且与BC ，DC 分别截于E 、F ，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A －BEFD 与三棱锥A －EFC 的表面积分别是S 1，S 2，则必有（ ）A. S 1<S 2B. S 1>S 2C. S 1=S 2D. S 1，S 2的大小关系不能确定 解：连OA 、OB 、OC 、OD则V A －BEFD ＝V O －ABD ＋V O －ABE ＋V O －BEFD V A －EFC ＝V O －ADC ＋V O －AEC ＋V O －EFC 又V A －BEFD ＝V A －EFC 而每个三棱锥的高都是原四面体C的内切球的半径，故S ABD ＋S ABE ＋S BEFD ＝S ADC ＋SAEC ＋S EFC 又面AEF 公共，故选C 12、某地一年的气温Q （t ）（单位：ºc ）与时间t （月份）之间的关系如图（1）所示，已知该年的平均气温为10ºc ，令G （t ）表示时间段〔0,t 〕的平均气温，G （t ）与t 之间的函数关系用下列图象表示，则正确的应该是（ A ）解：结合平均数的定义用排除法求解理科数学第Ⅱ卷（非选择题 共90分）注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上书写作答无效。