最新小学数学奥林匹克竞赛裂项法(一)(含答案)doc资料
小学奥数裂项公式汇总资料
裂项运算常用公式一、分数“裂差”型运算(1) 对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即b a ⨯1形式的，这里我们把较小的数写在前面，即 a ＜b ，那么有: )11(11b a a b b a --=⨯(2) 对于分母上为 3 个或 4 个连续自然数乘积形式的分数，即有：⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⨯+-+⨯=+⨯+⨯)2()1(1)1(121)2()1(1n n n n n n n⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⨯+⨯+-+⨯+⨯=+⨯+⨯+⨯)3()2()1(1)2()1(131)3()2()1(1n n n n n n n n n n二、分数“裂和”型运算常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1） a b b a b b a a b a b a 11+=⨯+⨯=⨯+（2）a bb ab a b b a a b a b a +=⨯+⨯=⨯+2222裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，“先裂再碎，掐头去尾”分数裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
裂和：抵消，或 凑整三、整数裂项基本公式(1))1()1(31)1(......433221+-=⨯-++⨯+⨯+⨯n n n n n(2) )1()1)(2(41)1()2(......543432321+--=⨯-⨯-++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯n n n n n n n (3) )1()1(31)2)(1(31)1(+--++=+n n n n n n n n n n n n +=+2)1((4) )2)(1()1(41)3)(2)(1(41)2)(1(++--+++=++n n n n n n n n n n n(5) !)!1(!n n n n -+=⨯裂项求和部分基本公式1.求和： 1)1(1......541431321211+=+++⨯+⨯+⨯+⨯=n n n n S n证：1111)111()5141()4131()3121()211(+=+-=+-++-+-+-+-=n n n n n S n2.求和：12)12)(12(1971751531311+=+-++⨯+⨯+⨯+⨯=n n n n S n证：12)1211(21)121121(21)7151(21)5131(21)311(21+=+-=+--++-+-+-=n n n n n S n3.求和：13)13)(23(11071741411+=+-++⨯+⨯+⨯=n n n n S n证：)131231(31)10171(31)7141(31)411(31+--++-+-+-=n n S n 13)1311(31+=+-=n n n4.求和：)2111211(31)2(1641531421311+-+-+=+++⨯+⨯+⨯+⨯=n n n n S n 证：)1111(21)6141(21)5131(21)4121(21)311(21+--++-+-+-+-=n n S n )2111211(31)211(21+-+--+=+-+n n n n5.求和：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=++++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=)2)(1(12121)2)(1(1543143213211n n n n n S n 证：因为])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=++n n n n n n n ， ])2)(1(121[21])2)(1(1)1(1[21)431321(21)321211(21++-=++-+++⨯-⨯+⨯-⨯=∴n n n n n n S n特殊数列求和公式2)1(321+=++n n n 212311321n n n n =++++-++-++++ ）（）（2127531n n =-++++）（6)12)(1(21222++=+++n n n n 3)14(3)12)(12(1253122222-⨯=-+=-++++n n n n n n ）（ ()()412121222333+=++=+++n n n n平方差公式 ))((22b a b a b a -+=-完全平方和（/差）公式 2222)(b ab a b a +±=±。
小学奥数之裂项
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如：（1）1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)（2）1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]（3）1/n(n+1)(n+2)=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)]（4）1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)（5）n·n!=(n+1)!-n!公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。
(关键是找数列的通项结构)1、分组法求数列的和：如an=2n+3n2、错位相减法求和：如an=n·2^n3、裂项法求和：如an=1/n(n+1)4、倒序相加法求和：如an=n5、求数列的最大、最小项的方法：①an+1-an=……如an=-2n2+29n-3②(an>0)如an=③an=f(n)研究函数f(n)的增减性如an=an^2+bn+c(a≠0)6、在等差数列中,有关Sn的最值问题——常用邻项变号法求解：(1)当a1>0,d<0时，满足{an}的项数m使得Sm取最大值.(2)当a1<0,d>0时，满足{an}的项数m使得Sm取最小值.在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。
对于较长的复杂算式，单单靠一般的运算顺序和计算方法是很难求出结果的。
如果算式中每一项的排列都是有规律的，那么我们就要利用这个规律进行巧算和简算。
而裂项法就是一种行之有效的巧算和简算方法。
通常的做法是：把算式中的每一项裂变成两项的差，而且是每个裂变的后项（或前项）恰好与上个裂变的前项（或后项）相互抵消，从而达到“以短制长”的目的。
下面我们以整数裂项为例，谈谈裂项法的运用，并为整数裂项法编制一个易用易记的口诀。
例1、计算1×2+2×3+3×4+4×5+……+98×99+99×100分析：这个算式实际上可以看作是：等差数列1、2、3、4、5……98、99、100，先将所有的相邻两项分别相乘，再求所有乘积的和。
(小学奥数)分数裂项
本講知識點屬於計算大板塊內容，其實分數裂項很大程度上是發現規律、利用公式的過程，可以分為觀察、改造、運用公式等過程。
很多時候裂項的方式不易找到，需要進行適當的變形，或者先進行一部分運算，使其變得更加簡單明瞭。
本講是整個奧數知識體系中的一個精華部分，列項與通項歸納是密不可分的，所以先找通項是裂項的前提，是能力的體現，對學生要求較高。
分數裂項一、“裂差”型運算將算式中的項進行拆分，使拆分後的項可前後抵消，這種拆項計算稱為裂項法.裂項分為分數裂項和整數裂項，常見的裂項方法是將數字分拆成兩個或多個數字單位的和或差。
遇到裂項的計算題時，要仔細的觀察每項的分子和分母，找出每項分子分母之間具有的相同的關係，找出共有部分，裂項的題目無需複雜的計算，一般都是中間部分消去的過程，這樣的話，找到相鄰兩項的相似部分，讓它們消去才是最根本的。
(1)對於分母可以寫作兩個因數乘積的分數，即1a b⨯形式的，這裏我們把較小的數寫在前面，即a b <，那麼有1111()a b b a a b=-⨯- 知識點撥教學目標分數裂項計算(2)對於分母上為3個或4個連續自然數乘積形式的分數，即：1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我們有：1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+裂差型裂項的三大關鍵特徵：（1）分子全部相同，最簡單形式為都是1的，複雜形式可為都是x(x 為任意自然數)的，但是只要將x 提取出來即可轉化為分子都是1的運算。
（2）分母上均為幾個自然數的乘積形式，並且滿足相鄰2個分母上的因數“首尾相接”（3）分母上幾個因數間的差是一個定值。
二、“裂和”型運算：常見的裂和型運算主要有以下兩種形式：（1）11a b a b a b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯ （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ 裂和型運算與裂差型運算的對比：裂差型運算的核心環節是“兩兩抵消達到簡化的目的”，裂和型運算的題目不僅有“兩兩抵消”型的，同時還有轉化為“分數湊整”型的，以達到簡化目的。
(2021年整理)小学六年级奥数裂项第一讲
(完整版)小学六年级奥数裂项第一讲编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（(完整版)小学六年级奥数裂项第一讲）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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小学六年级奥数裂项第一讲一、教学目标：1。
掌握分数裂项的基本原理。
2．掌握裂差和裂和的联系与区别二、重点难点：裂项的技巧去分数运算三、教学内容：知识梳理1、常见的裂项一般是将一项拆分成两项或多项的和或差，使拆分后的项可前后抵消或凑整，这种题目看似结构复杂，但一般无需进行复杂的计算.一般裂项分为分数裂项和整数裂项，其中分数裂项是重要考点.2、分数裂项的技巧分数裂项实质是异分母分数加减法的逆运算，关键是找分母上的数和分子上的数的和差倍关系。
第一类：“裂差"型运算。
当分母是两数相乘的形式，分子表示为分母上两数的差（基本型)，则可以进行裂差.两项的裂差非常重要，一定要掌握。
第二类：“裂和”型运算。
小学思维数学：分数裂项-带答案解析
分数裂项计算本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。
很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。
本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。
分数裂项 一、“裂差”型运算将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。
遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b ⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++ 1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+ 裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”（3）分母上几个因数间的差是一个定值。
二、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1）11a b a b a b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯ （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ 裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，知识点拨教学目标同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
奥赛小学数学竞赛：分数裂项.教师版解题技巧培优易错难
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8=23
24
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【答案】23
36
【例7】计算：
1
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4
1
L
20
1
1
6
3
20
2
12
420
【考点】分数裂项
【难度】3星
【题型】计算
【要点词】小数报，初赛
【分析】原式
123L 20
1
1
1
1
L
1
2
6
12
20
提拿出来即可转变为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，而且知足相邻2个分母上的因数“首尾相接”
（3）分母上几个因数间的差是一个定值。
二、“裂和”型运算：
常有的裂和型运算主要有以下两种形式：
（1）a
b
ab1
1
（2）a2
b2
a2
b2
a
b
a
b
a b a b b
a
a b
a b a b b
的计算， 一般都是中间部分消去的过程，
这样的话， 找到相邻两项的相像部分，
让它们消去才是最根本的。
(1)关于分母能够写作两个因数乘积的分数，
裂项相消法求和附答案解析.docx
.裂项相消法利用列相消法求和，注意抵消后并不一定只剩下第一和最后一，也有可能前面剩两，后面剩两，再就是通公式列后，有需要整前面的系数，使列前后等式两保持相等。
（ 1 ）若是 {a n }等差数列，1 1 .( 11) ,1 1 .( 1 1 )a n a n 1 d a n a n 1a n a n 22d a n a n 2（ 2 ）111 n（n1） n n1（ 3 ）1k)1 ( 1n1)n(n k n k（ 4 ）1 1 (11)（2n 1（)2n 1） 2 2n 1 2n 1（ 5 ）n(n12)1[1(n1] 1)( n2n(n 1)1)(n2)（ 6 ）1n1nn n1（ 7 ）11n k n) n n k(k1. 已知数列的前n和，．（1 ）求数列的通公式；（2 ），求数列的前n和．[ 解析 ] (1)⋯⋯⋯⋯⋯①.,⋯⋯⋯⋯⋯②①②得 :即⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分在①中令, 有, 即，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分故2. 已知 {a n} 是公差 d 的等差数列，它的前n 和 S n， S4=2S 2 +8 ．（Ⅰ）求公差 d 的；（Ⅱ）若 a 1 =1 ， T n是数列 {} 的前 n 和，求使不等式T n≥所有的n ∈N* 恒成立的最大正整数m 的；[ 解析 ] （Ⅰ）数列{a n }的公差 d ，∵ S4 =2S 2 +8 ，即 4a 1 +6d=2(2a 1 +d) +8，化得：4d=8，解得 d=2 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分（Ⅱ）由 a 1=1 ， d=2 ，得 a n =2n-1，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分∴=．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分.∴ T n ===≥ ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分又∵ 不等式n所有的 n ∈ N* 恒成立，T ≥∴ ≥，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分化得： m 2 -5m-6≤0 ，解得： -1 ≤m ≤6 ．∴ m 的最大正整数 6 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分3.) 已知各均不相同的等差数列{a n } 的前四和S4 =14, 且 a 1 ,a3 ,a7成等比数列 . ( Ⅰ) 求数列 {a n } 的通公式 ;( Ⅱ)T n数列的前n和,求T2 012的.[ 答案 ] ( Ⅰ ) 公差 d, 由已知得(3 分)解得 d=1或d=0(舍去),∴a1=2. (5分)故 a n =n+1. (6分)( Ⅱ)==-,(8 分 ).∴T n= - + - + ⋯+ -= -=. (10 分 )∴T 2 012 =. (12分)4.) 已知数列 {a}是等差数列 ,- =8n+4, 数列 {|an |} 的前 n 和 S ,数列的前 nn n 和 T n .(1)求数列 {a n }的通公式 ;(2)求 : ≤T n <1.[ 答案 ] (1) 等差数列 {a n }的公差d,a n =a 1 +(n-1)d. (2分)∵- =8n+4,∴(a n+1 +a n )(a n+1 -a n )=d(2a 1 -d+2nd)=8n+4.当n=1,d(2a 1 +d)=12;当n=2,d(2a 1 +3d)=20.解方程得或(4 分)知 ,a n =2n或a n=-2n都足要求.∴a n =2n或a n=-2n. (6分)(2) 明 : 由 (1) 知 :a n =2n或a n=-2n.∴|a n |=2n..∴S n =n(n+1). (8分)∴ == -.∴T n=1- + - + ⋯+ -=1-. (10 分 )∴ ≤T n <1. (12分)5. 已知等差数列 {a n } 的公差2, 前 n 和 S n ,且 S1,S2 ,S4成等比数列 .( Ⅰ) 求数列 {a n } 的通公式 ;( Ⅱ) 令 b n =(-1)n-1,求数列 {b n }的前 n 和 T n .[ 答案 ] 看解析[ 解析 ] ( Ⅰ ) 因 S1 =a 1 ,S2=2a 1 +×2=2a1+2,S =4a1+×2=4a1+12,4由意得 (2a 1+2) 2 =a 1 (4a 1+12),解得 a 1 =1,所以 a n =2n-1.( Ⅱ)b n =(-1)n-1=(-1)n-1=(-1) n-1当 n 偶数 , T n =-=1-=.当 n 奇数 , T n =-.所以 T n =..+ ⋯ +-+ ⋯ -+++=1+=6.已知点的象上一点，等比数列的首，且前和( Ⅰ) 求数列和的通项公式；( Ⅱ) 若数列[ 解析 ] 解： (Ⅰ )因为的前项和为，问，所以的最小正整数，是多少？所以，，，又数列是等比数列，所以，所以，又公比，所以，因为，又所以数列所以所以，所以，所以构成一个首项为 1 ，公差为，当时，. （ 6 分），1 的等差数列，，，( Ⅱ) 由(Ⅰ ) 得，（10 分）由得，满足的最小正整数为 72.（ 12 分）7. 在数列，中，，，且成等差数列，成等比数列（） .（Ⅰ）求，，及，，，由此归纳出，的通项公式，并证明你的结论；（Ⅱ）证明：.[ 解析 ] （Ⅰ）由条件得，由此可得.猜测. （ 4分）用数学归纳法证明：①当时，由上可得结论成立.②假设当时，结论成立，即，那么当时，.所以当时，结论也成立.由①②，可知对一切正整数都成立. （ 7 分）（Ⅱ）因为.当时，由（Ⅰ）知.所以.综上所述，原不等式成立. (12分）8. 已知数列的前项和是，且．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，，求使成立的最小.的正整数的．[ 解析 ]（1）当，，由，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分当，∴是以首，公比的等比数列．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分故⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分（2 ）由（ 1 ）知，⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分，故使成立的最小的正整数的.⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分.9.己知各均不相等的等差数列 {a n } 的前四和 S4=14 ，且 a 1， a 3， a 7成等比数列．（I）求数列 {a n } 的通公式；（ II ） T n数列的前n和，若T n≤¨ 恒成立，求数的最小．[ 解析 ] 122.解得（Ⅰ）公差 d. 由已知得⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯，所以3 分⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分（Ⅱ），⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分恒成立，即恒成立10.又∴的最小⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯已知数列前和，首，且，，成等差数列.12 分.（Ⅰ）求数列的通公式；（ II ）数列足，求：，[ 解析 ] （Ⅰ）成等差数列,∴，，当，,两式相减得：.所以数列是首，公比 2 的等比数列，.（6分）( Ⅱ)，（ 8 分），.（ 12 分）11. 等差数列 {a n } 各均正整数, a 1 =3,前n和S n,等比数列{b n}中, b1=1,且b 2 S2 =64, {} 是公比64 的等比数列 .( Ⅰ) 求 a n与 b n ;( Ⅱ) 明 : + + ⋯ + <.. [ 答案 ] ( Ⅰ ){a n } 的公差d, {b n }的公比q, d 正整数 ,a n =3+(n-1) d,b n =q n-1.依意有①由(6+d) q=64知q正有理数,又由q=知, d 6 的因子 1, 2, 3, 6之一,解①得d=2, q=8.故 a n =3+2(n-1) =2n+1, b n =8n-1.( Ⅱ) 明 :S n =3+5+⋯+(2n+1) =n(n+2) ,所以+ + ⋯+ =+++ ⋯+==<.12.等比数列{a n}的各均正数, 且 2a 1+3a 2 =1,=9a 2a 6.( Ⅰ) 求数列 {a n }的通公式 ;( Ⅱ) b n =log 3 a 1+log3a 2 +⋯+log 3 a n ,求数列的前n和.[ 答案 ] ( Ⅰ ) 数列 {a n} 的公比q.由=9a 2 a 6得=9 , 所以 q 2=.因条件可知q>0,故q=..由 2a 1 +3a 2 =1 得 2a 1 +3a 1 q=1,所以a1=.故数列 {a n } 的通公式 a n=.( Ⅱ) b n =log 3 a 1+log3a 2 +⋯+log 3 a n=-(1+2+⋯+n)=-,故=-=-2,+ + ⋯+ =-2++ ⋯ +=-.所以数列的前 n 和 -.13. 等差数列 {a n } 的各均正数,a 1=3, 其前 n 和 S n ,{b n } 等比数列 ,b 1 =1, 且b 2 S2 =16,b3 S3 =60.( Ⅰ) 求 a n和 b n ;( Ⅱ) 求+ + ⋯ +.[ 答案 ] ( Ⅰ ) {a n }的公差d, 且 d 正数 ,{b n }的公比q,a n =3+(n-1)d,b n=q n-1 ,依意有 b 2 S2 =q ·(6+d)=16,b 3 S3 =q 2·(9+3d)=60,(2分).解得 d=2,q=2.(4分)故 a n =3+2(n-1)=2n+1,b n =2n-1.(6分)( Ⅱ)S n =3+5+⋯+(2n+1)=n(n+2),(8分)所以+ + ⋯+=+++ ⋯+=(10 分 )== -.(12 分 )14. 数列 {a n } 的前 n 和 S n足 :S n =na n -2n(n-1).等比数列{b n}的前n和T n,公比a 1 ,且 T5 =T 3 +2b 5 .(1)求数列 {a n }的通公式 ;(2) 数列的前n和M n,求:≤M n<.[ 答案 ](1) ∵T5 =T 3+2b 5 ,∴b 4+b 5=2b 5,即 (a 1 -1)b 4 =0, 又 b 4≠0, ∴a1 =1.n ≥2,a n =S n -S n-1 =na n -(n-1)a n-1 -4(n-1),即(n-1)a n-(n-1)a n-1 =4(n-1).∵n-1 ≥1, ∴a n -a n-1 =4(n≥2),.∴数列{a n }是以 1 首 ,4 公差的等差数列,∴a n =4n-3. (6分)(2) 明 : ∵==·,(8 分 )∴M n =++ ⋯+==< ,(10 分 )又易知 M n增 ,故 M n≥M 1=.上所述 , ≤M n < . (12分)。
小学奥数分数裂项A基础版
分数裂项A知识点拨分数裂项一、“裂差”型运算将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。
遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即： 1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有：1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。
二、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1）11a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ 裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
六年级下册奥数讲义 - 分数裂项巧求和 全国通用(含答案)
六年级奥数讲义：分数裂项巧求和教学目标：理解和掌握分数裂项巧求和的解题思路和方法，正确解答较复杂的相关的求和问题。
教学重点：熟练掌握常用的分数裂项求和的方法。
教学难点：能够根据具体条件选用合适的方法解答相关问题。
【专题解析】细心观察、善于总结的同学，在学习中可能发现了这样一个有趣的现象：如果分数的分子是自然数1，分母是相邻两个自然数的乘积，那么这个分数可以写成两个分数差的形式。
写成的两个分数的分子是自然数1，分母分别是相邻的两个自然数。
（这种方法称为“裂项法” ） 如：211⨯＝11—21；321⨯＝21—31；431⨯＝31—41；541⨯＝41—51；…… 我们可以利用分数的这一性质，使看似复杂的题目简单化。
【精讲精练】例1．计算：211⨯+321⨯+431⨯+…+49481⨯+50491⨯ 分析与解：这道题如果按照常规方法先通分再求和，计算起来很繁杂，甚至难以做到。
但是如果巧妙地对算式变形，就可以使繁杂的计算简便。
211⨯+321⨯+431⨯+…+49481⨯+50491⨯ ＝（11—21）+（21—31）+（31—41）+…+（481—491）+（491—501） ＝11—21+21—31+31—41+…+481—491+491—501 （去掉括号） ＝11—501 （中间的数都是相同的分数一减一加的形式，结果为0） ＝5049 【举一反三训练1】计算：（1）211⨯+321⨯+431⨯+…+19181⨯+20191⨯（2）14×5 +15×6 +16×7 +…+ 139×40（3）11×2 +12×3 +13×4 +…+ 199×100例2．计算： 61+121+201+…+24501 分析与解：上面这道题中的每个分数的分子都是1，但分母并不是两个相邻自然数的乘积，该怎么办呢？仔细观察这些分数的分母就会发现：6＝2×3 , 12＝3×4 , 20＝4×5 ，…，2450＝49×50。
a小学数学奥赛1-2-2-2 整数裂项.教师版
整数裂项基本公式(1) 122334...(1)n n ⨯+⨯+⨯++-⨯1(1)(1)3n n n =-⨯⨯+(2) 1123234345...(2)(1)(2)(1)(1)4n n n n n n n ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++-⨯-⨯=--+【例 1】 1223344950⨯+⨯+⨯++⨯L =_________【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 这是整数的裂项。
裂项思想是：瞻前顾后，相互抵消。
设S ＝1223344950⨯+⨯+⨯++⨯L 1×2×3＝1×2×3 2×3×3＝2×3×（4－1）＝2×3×4－1×2×3 3×4×3＝3×4×（5－2）＝3×4×5－2×3×4…… 49×50×3＝49×50×（51－48）=49×50×51－48×49×50 3S ＝1×2×3＋2×3×3＋3×4×3＋…＋49×50×3＝49×50×51 S ＝49×50×51÷3＝41650【答案】41650【巩固】 1223344556677889910⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=________ 【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 本题项数较少，可以直接将每一项乘积都计算出来再计算它们的和，但是对于项数较多的情况显然不能这样进行计算．对于项数较多的情况，可以进行如下变形：()()()()()()()()()12111111211333n n n n n n n n n n n n n n ++--++==++--+，所以原式1111112323412391011891033333⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-⨯⨯⨯++⨯⨯⨯-⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L1910113303=⨯⨯⨯= 另解：由于()21n n n n +=+，所以原式()()()222112299=++++++L()()222129129=+++++++L L 119101991062=⨯⨯⨯+⨯⨯330=采用此种方法也可以得到()()()112231123n n n n n ⨯+⨯++⨯+=++L 这一结论．【答案】330【例 2】 14477104952⨯+⨯+⨯++⨯L =_________【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 设S ＝14477104952⨯+⨯+⨯++⨯L1×4×9＝1×4×7＋1×4×24×7×9＝4×7×（10－1）＝4×7×10－1×4×7例题精讲知识点拨整数裂项7×10×9＝7×10×（13－4）＝7×10×13－4×7×10 …………. 49×52×9＝49×52×（55－46）＝49×52×55－46×49×52 9S ＝49×52×55＋1×4×2 S =（49×52×55＋1×4×2）÷9＝15572【答案】15572【例 3】 12323434591011⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯=L【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 ()()()()()()()()111212311244n n n n n n n n n n n ++=+++--++，所以，原式11111123423451234910111289101144444⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯++⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L191011124=⨯⨯⨯⨯2970= 从中还可以看出，()()()()()1123234345121234n n n n n n n ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++⨯+⨯+=+++L【答案】2970【例 4】 计算：135357171921⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯=L ． 【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 可以进行整数裂项． 357913573578⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=，5791135795798⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=，17192123151719211719218⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=，所以原式35791357171921231517192113588⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=⨯⨯+++L 1719212313571358⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=⨯⨯+171921231358⨯⨯⨯+⨯⨯=19503= 也可适用公式．原式()()()()()()323325255219219192=-⨯⨯++-⨯⨯+++-⨯⨯+L()()()22222232352519219=-⨯+-⨯++-⨯L ()()333351943519=+++-⨯+++L L()()3333135194135193=++++-⨯+++++L L而()()333333333333135191232024620++++=++++-++++L L L22221120218101144=⨯⨯-⨯⨯⨯19900=， 21351910100++++==L ，所以原式1990041003=-⨯+19503=．【答案】19503【巩固】 计算：101622162228707682768288⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯L L【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 可进行整数裂项：原式1016222841016221622283410162228=2424⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L L 707682886470768276828894707682882424⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1016222841016221622283410162228=24242424⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯-+-++L L7076828864707682768288947076828824242424⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯-+-768288944101622=2424⨯⨯⨯⨯⨯⨯-768288944101622=24⨯⨯⨯-⨯⨯⨯ =2147376【答案】2147376【巩固】 计算：123434565678979899100⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯++⨯⨯⨯=L 【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 一般的整数裂项各项之间都是连续的，本题中各项之间是断开的，为此可以将中间缺少的项补上，再进行计算．记原式为A ，再设23454567678996979899B =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯++⨯⨯⨯L ， 则123423453456979899100A B +=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯++⨯⨯⨯L197989910010119010098805=⨯⨯⨯⨯⨯=， 现在知道A 与B 的和了，如果能再求出A 与B 的差，那么A 、B 的值就都可以求出来了． 12342345345645675678979899100A B -=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯++⨯⨯⨯L4(123345567...979899)=⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯222242(21)4(41)6(61)98(981)⎡⎤=⨯⨯-+⨯-+⨯-++⨯-⎣⎦L33334(24698)4(24698)=⨯++++-⨯++++L L221148495041004942=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯48010200=所以，()1901009880480102002974510040A =+÷=．【答案】974510040【例 5】 2004200320032002200220012001200021⨯-⨯+⨯-⨯++⨯L 【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 原式20032200123212=⨯+⨯++⨯+⨯L()213520012003=⨯+++++L()21200310022=⨯+⨯÷2008008=其中也可以直接根据公式()2135721n n +++++-=L 得出2135200120031002+++++=L【答案】2008008【例 6】 11!22!33!20082008!⨯+⨯+⨯++⨯=L【考点】整数裂项 【难度】4星 【题型】计算 【解析】 观察发现22!221(31)213!2!⨯=⨯⨯=-⨯⨯=-，33!3321(41)3214!3!⨯=⨯⨯⨯=-⨯⨯⨯=-，…… 20082008!20082008200721(20091)20082007212009!2008!⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=-⨯⨯⨯⨯⨯=-L L ，可见，原式1!(2!1!)(3!2!)(2009!2008!)=+-+-++-L 2009!=【答案】2009!【例 7】 计算：1234569910023459899⨯+⨯+⨯++⨯=⨯+⨯++⨯L L【考点】整数裂项 【难度】5星 【题型】计算【解析】 设原式=BA122334989999100A B +=⨯+⨯+⨯++⨯+⨯L()()()11230122341239910010198991003=⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯++⨯⨯-⨯⨯⎡⎤⎣⎦L 1991001013333003=⨯⨯⨯=1232992501005000B A -=⨯+⨯++⨯=⨯=L3333005000338333330050003283B A +==- 【答案】33833283。
小学奥数--分数裂项-精选练习例题-含答案解析(附知识点拨及考点)
本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。
很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。
，本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。
分数裂项一、“裂差”型运算 将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。
遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b ⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b =-⨯- 、(2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++ 1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+ 裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”（3）分母上几个因数间的差是一个定值。
$知识点拨教学目标分数裂项计算二、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1）11a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ 裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
六年级数学专题思维训练—裂项(含答案及解析)
六年级数学专题思维训练—裂项1、 1+31+61+101+151+211+ =2、=⨯+++⨯++⨯++⨯+2003200220032002 (4343323221212)2222222 15131475653431232222⨯+⋯⋯+⨯+⨯+⨯、计算：4、□内填入11以内的自然数，使得等式成立□□□1116041++=3136151764139001140091447365435++++++、计算：9096319631631316+⋯⋯++++⋯⋯++++++、计算：7、计算：11×2 ＋21×2×3 ＋31×2×3×4 ＋…＋81×2×3×…×9=÷⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++81831-56105-42913077-20631249-6358、计算：()()()()1111200119+++=。
号中，使这个等式成立然数，分别填入四个括、请找出四个不同的自1220072008342009201020062007200820082009201020072008200920102008201010⨯⨯⋯⋯⨯⨯⨯⋯⋯⨯⨯+⋯⋯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯+、计算565051521245464749505152454647505152464751524752111⨯⋯⋯⨯⨯⨯⨯⨯⋯⋯⨯⨯⨯⋯⋯+⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯+、计算⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯+⨯⨯⋯⋯+⨯⨯+⨯⨯⨯111091910981754374325115512、计算：=⎪⎭⎫⎝⎛⨯+⋯⋯++⨯+⋯⋯+⨯+⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯+⋯⋯+⨯⋯⋯+⨯+⨯120061-2007120052120061120082007-120071220061-2008120062120071113）（）（、计算：n n n n20120281.40151.20091.20081.20071.E D C B A参考答案及解析1、 1+31+61+101+151+211+ =【分析】原式=22+62＋122＋202……＋562=212⨯+322⨯＋432⨯＋……872⨯=(1-12 +12 －13 +13 －14 +…..+ 71－81)×2=(1－81)×2=47 2、=⨯+++⨯++⨯++⨯+2003200220032002 (4343323221212)2222222 【分析】原式= )2003200220022003(...)4334()3223()2112(++++++++）=20032002)2002200320022001(...)3432()2321(12++++++++ =220022...222个++++＋20032002= 40042003200215131475653431232222⨯+⋯⋯+⨯+⨯+⨯、计算：1577151-131513131-1217151311531131111513115135315331131=+⋯⋯+++++=⨯++⋯⋯+⨯++⨯+=⨯+⨯⋯⋯+⨯+⨯+⨯+⨯=）（【分析】原式 4.□内填入11以内的自然数，使得等式成立□□□1116041++=【分析】方法一：分数分拆，不满足条件时，分别取当，满足条件时，分别取当。
奥数专题——裂项法(一)(含答案)-
奥数专题一一裂项法(一)同学们知道：在计算分数加减法时，两个分母不同的分数相加减，要先通分化成同分母分数后再计算。
(一)阅读思考1 1 1例如，这里分母3、4是相邻的两个自然数，公分母正好是它们的乘积,3 4 12把这个例题推广到一般情况，就有一个很有用的等式：1 1 n 1 n—— ------ = ---------- — ----------n n 1 n(n 1) n(n 1)_ n 1 - n _ 1n(n 1) n(n 1)1 n(n 1)十 1 1 1 % --------- =—— ---------n(n 1) n n 1F 面利用这个等式，巧妙地计算一些分数求和的问题。
【典型例题】1 1 11985 1986 -1985 19861 1 1 1986 1987 -1986 1987 1 1 1 1987 1988 -1987 1988例1.计算:+1995 1996分析与解答:+ -------- : ------- + --------- : ------ + 1985 19861986 1987 1987 1988 1 1+ ------- ------ +——1996 199719971994 199511994 1995 1 11994 19951995 1996 1995 19961 _ 1 11996 1997 - 1996 一 1997上面12个式子的右面相加时， 很容易看出有许多项一加一减正好相互抵消变为 0,这一来问题解起来就十分方便了。
1 1 1 1 1… •—1985 19861986 1987 1987 19881995 19961996 19971+ ------1997 _ 1 1-19851986 11 _ ------ + -------1997 1997像这样在计算分数的加、减时，先将其中的一些分数做适当的拆分，使得其中一部分 分数可以相互抵消，从而使计算简化的方法，我们称为裂项法。
小学奥数-裂项求和(一)
分数裂项求和裂项求和就是是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项求和法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）。
裂项求和法的具体方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。
遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
例1裂项1 1 1 16 1 1 1 12 × 3= 2 -3 = 3 × 4= 3 -4 = 121 1 1 1 1 1 1 14 × 5= 4 -5 = 20 5 × 6= 5 -6 = 301 1 1 16 × 7= 6 -7 =42你发现了什么？对于分母可以写作两个连续自然数的乘积，分子都是1的这种1×形式的分数，即，这里我们把较小的数a写在前面，即a <1 1 1×b，那么有= -。
19 × 10 = -练1199 × 100 = -2 2 2 2练2 2 × 3 = - = （提示：分子不是1的，注意）3 3 3 34 ×5 = - =2练3 11 × 12 = - =（提示：分子空缺，自己填写）399 × 100 = - =例2深度讲解1 1 12 ×3 + 3 ×4 + …… +1 ×2 +1 198 × 99 + 99 ×1001 1 1 1 1 1 1 1= (1 - 2) + (2 - 3) + (3 - 4)+ …… +(98 - 99)1 1+ (99 - 100) [此处为基础训练中的裂项]1 1 1 1 1 1 1 1 1= 1 - 2 + 2 - 3 + 3 - 4+……+98 -99 + 99 -1100 [去括号，括号外面是加号，去括号不变号]1= 1 - 100 [一加一减正好抵消，两两消去，只剩头尾]99= 100 [头减尾，既得最后答案]11 ×2 +1 1× 4 + …… + + 32 × 3练41 18 × 9 + 9 ×1021 ×2 +2 2× 4 + …… + + 32 × 3练52 2 18 × 19 + 19 ×201 11× 13 + ……+ + 12 10 × 11 + 11 × 12 练6 1 99 × 1003 3 3 × 6 + …… + 35 ×36 35 + 5 练7 3 × 4 + 4 ×。
小学数学奥林匹克竞赛裂项法(含答案)
裂项法（一）同学们知道：在计算分数加减法时，两个分母不同的分数相加减，要先通分化成同分母分数后再计算。
（一）阅读思考例如1314112-=，这里分母3、4是相邻的两个自然数，公分母正好是它们的乘积，把这个例题推广到一般情况，就有一个很有用的等式：111111 1111n nnn nnn n n nn n n n-+=++-+ =+-+=+()()()()即11111 n n n n-+=+()或11111 n n n n ()+=-+下面利用这个等式，巧妙地计算一些分数求和的问题。
【典型例题】例1. 计算：119851986119861987119871988119941995⨯+⨯+⨯++⨯……+⨯+⨯+1 199519961 1996199711997分析与解答：1 1985198611985119861 1986198711986119871 1987198811987119881 199419951199411995⨯=-⨯=-⨯=-⨯=-……11995199611995119961199619971199611997⨯=-⨯=- 上面12个式子的右面相加时，很容易看出有许多项一加一减正好相互抵消变为0，这一来问题解起来就十分方便了。
11985198611986198711987198811995199611996199711997⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+… =-+-+-++-+-+=119851198611986119871198711988119951199611996119971199711985…… 像这样在计算分数的加、减时，先将其中的一些分数做适当的拆分，使得其中一部分分数可以相互抵消，从而使计算简化的方法，我们称为裂项法。
例2. 计算：1111211231123100+++++++++++…… 公式的变式11221+++=⨯-…n n n ()当n 分别取1，2，3，……，100时，就有112121122231123234112342451121002100101=⨯+=⨯++=⨯+++=⨯+++=⨯ (1)11121123112100212223234299100210010121121231341991001100101211212131314199110011001101211101++++++++++=⨯+⨯+⨯++⨯+⨯=⨯⨯+⨯+⨯++⨯+⨯=⨯-+-+-++-+-=⨯-……………()()() =⨯==2100101200101199101例3. 设符号（ ）、< >代表不同的自然数，问算式1611=+<>()中这两个符号所代表的数的数的积是多少？分析与解：减法是加法的逆运算，1611=+<>()就变成1611-=<>()，与前面提到的等式11111n n n n -+=+()相联系，便可找到一组解，即1617142=+ 另外一种方法设n x y 、、都是自然数，且x y ≠，当111n x y=+时，利用上面的变加为减的想法，得算式x n nx y-=1。
奥数专题——裂项法(一)(含答案)-
奥数专题——裂项法(一)同学们知道:在计算分数加减法时,两个分母不同得分数相加减,要先通分化成同分母分数后再计算。
(一)阅读思考例如,这里分母3、4就是相邻得两个自然数,公分母正好就是它们得乘积,把这个例题推广到一般情况,就有一个很有用得等式:即或下面利用这个等式,巧妙地计算一些分数求与得问题。
【典型例题】例1、 计算:119851986119861987119871988119941995⨯+⨯+⨯++⨯……分析与解答:1198519861198511986119861987119861198711987198811987119881199419951199411995⨯=-⨯=-⨯=-⨯=-……上面1２个式子得右面相加时,很容易瞧出有许多项一加一减正好相互抵消变为0,这一来问题解起来就十分方便了。
11985198611986198711987198811995199611996199711997⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+… =-+-+-++-+-+=119851198611986119871198711988119951199611996119971199711985……像这样在计算分数得加、减时,先将其中得一些分数做适当得拆分，使得其中一部分分数可以相互抵消,从而使计算简化得方法,我们称为裂项法。
例2、 计算：公式得变式当分别取１，2，3，……,1０0时,就有112121122231123234112342451121002100101=⨯+=⨯++=⨯+++=⨯+++=⨯ (1111211231)12100212223234299100210010121121231341991001100101211212131314199110011001101211101++++++++++=⨯+⨯+⨯++⨯+⨯=⨯⨯+⨯+⨯++⨯+⨯=⨯-+-+-++-+-=⨯-……………()()()例3、 设符号( )、＜ >代表不同得自然数，问算式中这两个符号所代表得数得数得积就是多少？分析与解：减法就是加法得逆运算，就变成，与前面提到得等式相联系，便可找到一组解,即另外一种方法设都就是自然数,且,当时，利用上面得变加为减得想法，得算式。
小学奥数教程：整数裂项_全国通用(含答案)
整数裂项基本公式 (1) 122334...(1)n n ⨯+⨯+⨯++-⨯1(1)(1)3n n n =-⨯⨯+ (2) 1123234345...(2)(1)(2)(1)(1)4n n n n n n n ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++-⨯-⨯=--+【例 1】 1223344950⨯+⨯+⨯++⨯=_________【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 这是整数的裂项。
裂项思想是：瞻前顾后，相互抵消。
设S ＝1223344950⨯+⨯+⨯++⨯1×2×3＝1×2×32×3×3＝2×3×（4－1）＝2×3×4－1×2×33×4×3＝3×4×（5－2）＝3×4×5－2×3×4……49×50×3＝49×50×（51－48）=49×50×51－48×49×503S ＝1×2×3＋2×3×3＋3×4×3＋…＋49×50×3＝49×50×51S ＝49×50×51÷3＝41650【答案】41650【巩固】 1223344556677889910⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=________【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 本题项数较少，可以直接将每一项乘积都计算出来再计算它们的和，但是对于项数较多的情况显然不能这样进行计算．对于项数较多的情况，可以进行如下变形：()()()()()()()()()12111111211333n n n n n n n n n n n n n n ++--++==++--+， 所以原式1111112323412391011891033333⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-⨯⨯⨯++⨯⨯⨯-⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1910113303=⨯⨯⨯= 另解：由于()21n n n n +=+，所以原式()()()222112299=++++++()()222129129=+++++++119101991062=⨯⨯⨯+⨯⨯330= 采用此种方法也可以得到()()()112231123n n n n n ⨯+⨯++⨯+=++这一结论． 【答案】330【例 2】 14477104952⨯+⨯+⨯++⨯=_________【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 设S ＝14477104952⨯+⨯+⨯++⨯1×4×9＝1×4×7＋1×4×24×7×9＝4×7×（10－1）＝4×7×10－1×4×77×10×9＝7×10×（13－4）＝7×10×13－4×7×10 例题精讲 知识点拨整数裂项………….49×52×9＝49×52×（55－46）＝49×52×55－46×49×529S ＝49×52×55＋1×4×2S =（49×52×55＋1×4×2）÷9＝15572【答案】15572【例 3】 12323434591011⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯=【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 ()()()()()()()()111212311244n n n n n n n n n n n ++=+++--++，所以， 原式11111123423451234910111289101144444⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯++⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭191011124=⨯⨯⨯⨯2970= 从中还可以看出，()()()()()1123234345121234n n n n n n n ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++⨯+⨯+=+++ 【答案】2970【例 4】 计算：135357171921⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯= ．【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 可以进行整数裂项．357913573578⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=， 5791135795798⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=， 17192123151719211719218⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=， 所以原式35791357171921231517192113588⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=⨯⨯+++1719212313571358⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=⨯⨯+171921231358⨯⨯⨯+⨯⨯=19503= 也可适用公式．原式()()()()()()323325255219219192=-⨯⨯++-⨯⨯+++-⨯⨯+()()()22222232352519219=-⨯+-⨯++-⨯ ()()333351943519=+++-⨯+++()()3333135194135193=++++-⨯+++++而()()333333333333135191232024620++++=++++-++++ 22221120218101144=⨯⨯-⨯⨯⨯19900=， 21351910100++++==，所以原式1990041003=-⨯+19503=．【答案】19503【巩固】 计算：101622162228707682768288⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 可进行整数裂项：原式1016222841016221622283410162228=2424⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 707682886470768276828894707682882424⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1016222841016221622283410162228=24242424⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯-+-++ 7076828864707682768288947076828824242424⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯-+- 768288944101622=2424⨯⨯⨯⨯⨯⨯- 768288944101622=24⨯⨯⨯-⨯⨯⨯ =2147376【答案】2147376【巩固】 计算：123434565678979899100⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯++⨯⨯⨯=【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 一般的整数裂项各项之间都是连续的，本题中各项之间是断开的，为此可以将中间缺少的项补上，再进行计算．记原式为A ，再设23454567678996979899B =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯++⨯⨯⨯，则123423453456979899100A B +=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯++⨯⨯⨯197989910010119010098805=⨯⨯⨯⨯⨯=， 现在知道A 与B 的和了，如果能再求出A 与B 的差，那么A 、B 的值就都可以求出来了．12342345345645675678979899100A B -=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯++⨯⨯⨯4(123345567...979899)=⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯222242(21)4(41)6(61)98(981)⎡⎤=⨯⨯-+⨯-+⨯-++⨯-⎣⎦33334(24698)4(24698)=⨯++++-⨯++++221148495041004942=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯48010200= 所以，()1901009880480102002974510040A =+÷=．【答案】974510040【例 5】 2004200320032002200220012001200021⨯-⨯+⨯-⨯++⨯【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 原式20032200123212=⨯+⨯++⨯+⨯()213520012003=⨯+++++()21200310022=⨯+⨯÷2008008=其中也可以直接根据公式()2135721n n +++++-=得出2135200120031002+++++=【答案】2008008【例 6】 11!22!33!20082008!⨯+⨯+⨯++⨯=【考点】整数裂项 【难度】4星 【题型】计算【解析】 观察发现22!221(31)213!2!⨯=⨯⨯=-⨯⨯=-，33!3321(41)3214!3!⨯=⨯⨯⨯=-⨯⨯⨯=-，……20082008!20082008200721(20091)20082007212009!2008!⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=-⨯⨯⨯⨯⨯=-， 可见，原式1!(2!1!)(3!2!)(2009!2008!)=+-+-++- 2009!=【答案】2009!【例 7】 计算：1234569910023459899⨯+⨯+⨯++⨯=⨯+⨯++⨯ 【考点】整数裂项 【难度】5星 【题型】计算【解析】 设原式=B A122334989999100A B +=⨯+⨯+⨯++⨯+⨯ ()()()11230122341239910010198991003=⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯++⨯⨯-⨯⨯⎡⎤⎣⎦ 1991001013333003=⨯⨯⨯= 1232992501005000B A -=⨯+⨯++⨯=⨯=3333005000338333330050003283B A +==- 【答案】33833283。
新课标小学数学奥林匹克辅导及练习裂项法(一)(含答案)
新课标小学数学奥林匹克辅导及练习裂项法（一）(含答案)同学们知道：在计算分数加减法时，两个分母不同的分数相加减，要先通分化成同分母分数后再计算.（一）阅读思考例如，这里分母3、4是相邻的两个自然数，公分母正好是它们的乘积，把这个例题推广到一般情况，就有一个很有用的等式：1314112 -=111111 1111n nnn nnn n n nn n n n-+=++-+ =+-+=+()()()()即11111 n n n n-+=+()或11111 n n n n ()+=-+下面利用这个等式，巧妙地计算一些分数求和的问题.【典型例题】例 1. 计算：1 19851986119861987119871988119941995⨯+⨯+⨯++⨯……+⨯+⨯+1 199519961 1996199711997分析与解答：1198519861198511986119861987119861198711987198811987119881199419951199411995⨯=-⨯=-⨯=-⨯=-……11995199611995119961199619971199611997⨯=-⨯=-上面12个式子的右面相加时，很容易看出有许多项一加一减正好相互抵消变为0，这一来问题解起来就十分方便了.11985198611986198711987198811995199611996199711997⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+…=-+-+-++-+-+=119851198611986119871198711988119951199611996119971199711985……像这样在计算分数的加、减时，先将其中的一些分数做适当的拆分，使得其中一部分分数可以相互抵消，从而使计算简化的方法，我们称为裂项法.例2. 计算：1111211231123100+++++++++++…… 公式的变式11221+++=⨯-…n n n ()当分别取1，2，3，……，100时，就有n112121122231123234112342451121002100101=⨯+=⨯++=⨯+++=⨯+++=⨯ (1111211231)12100212223234299100210010121121231341991001100101211212131314199110011001101211101++++++++++=⨯+⨯+⨯++⨯+⨯=⨯⨯+⨯+⨯++⨯+⨯=⨯-+-+-++-+-=⨯-……………()()()=⨯==2100101200101199101例3. 设符号（ ）、< >代表不同的自然数，问算式中这两个符号所代表的数的数的积是多少？1611=+<>() 分析与解：减法是加法的逆运算，就变成，与前面提到的等式相联系，便可找到一组解，即1611=+<>()1611-=<>()11111n n n n -+=+()1617142=+ 另外一种方法设都是自然数，且，当时，利用上面的变加为减的想法，得算式. 这里是个单位分数，所以一定大于零，假定，则，代入上式得，即. 又因为是自然数，所以一定能整除，即是的约数，有个就有个，这一来我们便得到一个比更广泛的等式，即当，，是的约数时，一定有，即y t n 2t n 2n t n y 11111n n n n -+=+()x n t =+y n t n =+2t n 2111n x y=+11n n t t n n t -+=+()上面指出当，，是的约数时，一定有，这里，36共有1，2，3，4，6，9，12，18，36九个约数.当时，，t =1x =7y =42当时，，t =2x =8y =24当时，，t=3x=9y=18当时，，t=4x=10y=15当时，，t=6x=12y=10当时，，t=9x=15y=10当时，，t=12x=18y=9当时，，t=18x=24y=8当时，，t=36x=42y=7故（）和< >所代表的两数和分别为49，32，27，25.【模拟试题】（答题时间：20分钟）二.尝试体验：1. 计算：1 1212313419899199100⨯+⨯+⨯++⨯+⨯…2. 计算：1 31611011512112813614515516617819111051120 +++++++++++++3. 已知是互不相等的自然数，当时，求.【试题答案】1. 计算：11212313419899199100⨯+⨯+⨯++⨯+⨯… =-+-+-++-+-=-=1121213131419819919911001110099100… 2. 计算：131611011512112813614515516617819111051120+++++++++++++=+++++++++++++=⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=⨯-=-=262122202302422562722902110213221562182221022402123134145156167178189191011011111121121311314114151151621211611878()()3. 已知是互不相等的自然数，当时，求.的值为：75，81，96，121，147，200，361.因为18的约数有1，2，3，6，9，18，共6个，所以有118111811136136=+⨯+=+()118121812154127542781118131813172124722496=+⨯+=++==+⨯+=++=()()118161816112612121126147=+⨯+=++=() 11819181911801202018020011811818118119134219342361=+⨯+=++==+⨯+=++=()() 1182318231451303045751182918291991222299121=+⨯+=++==+⨯+=++=()()还有别的解法.。
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裂项法（一）
同学们知道：在计算分数加减法时，两个分母不同的分数相加减，要先通分化成同分 母分数后再计算。
（一）阅读思考
11 1
例如
，这里分母 3、 4 是相邻的两个自然数，公分母正好是它们的乘积，
3 4 12
把这个例题推广到一般情况，就有一个很有用的等式：
11
n1
n
n n 1 n(n 1) n(n 1)
n1n
1
n(n 1) n(n 1)
11
1
即
n n 1 n( n 1)
1
11
或
n(n 1) n n 1
下面利用这个等式，巧妙地计算一些分数求和的问题。
【典型例题】
1
例 1. 计算：
1
1
……
1
1985 1986 1986 1987 1987 1988
1994 1995
1
1
1
1995 1996 1996 1997 1997
1 1997
上面 12 个式子的右面相加时， 很容易看出有许多项一加一减正好相互抵消变为 一来问题解起来就十分方便了。
0，这
1
1
1
…
1
1
1985 1986 1986 1987 1987 1988
1995 1996 1996 1997
1
1997
1 1985
1 1997
1 1986
1 1997
1 1986
2(1
1
11
1
1
1
1
1
2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 10 11
1
1
11 12 12 13
11
2(
)
2 16
1 1
8
7
1 13 14
1 14 15
1) 15 16
8
3. 已知 x、 y 是互不相等的自然数，当
1
1
1
时，求
x
y。
18 x y
x y 的值为： 75，81， 96， 121， 147， 200， 361。
当 t 18 时， x 24 ， y 8
当 t 36 时， x 42 ， y 7
故（
）和 < >所代表的两数和分别为 49， 32，27， 25。
【模拟试题】 （答题时间： 20 分钟）
二 .尝试体验： 1. 计算：
1
1
1…
1
1
12 2 3 34
98 99 99 100
11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 更广泛 的等式 ，即 当 x n ห้องสมุดไป่ตู้ ，
n n 1 n(n 1)
y
n2
n ， t 是 n2 的约数时，一定有 1
1
1
，即
t
n xy
11
t
n n t n(n t )
上面指出当 x n t ， y
n2
n ， t 是 n2 的约数时，一定有
1
1
1
，这里
t
nxy
n 6 ,n 2 36 ， 36 共有 1， 2， 3， 4， 6， 9， 12，18， 36 九个约数。
1
11
11
因为 18 的约数有 1， 2，3， 6， 9，18，共 6 个，所以有
18 18 (1 1) 36 36
立身以立学为先，立学以读书为本
1
12
18 18 (1 2)
54 27 81
1
13
18 18 (1 3)
2. 计算：
3 6 10 15 21 28 36 45 55 66 78 91 105 120
3. 已知 x、 y 是互不相等的自然数，当
1
1
1
时，求
x
y。
18 x y
立身以立学为先，立学以读书为本
【试题答案】
1. 计算：
1
1
1…
1
1
12 2 3 34
98 99 99 100
1 1
1
1
1
1
…
1
1
1
分析与解答：
立身以立学为先，立学以读书为本
1
1
1
19851986 1985 1986
1
1
1
19861987 1986 1987
1
1
1
1987 1988 1987 1988 ……
1
1
1
1994 1995 1994 1995
1 1995 1996
1 1996 1997
1 1995
1 1996
1 1996
立身以立学为先，立学以读书为本
当 n 分别取 1， 2， 3，……， 100 时，就有
12
1 12
1
2
12 2 3
1
2
12 3 34
1
2
12 34 4 5
1
2
1 2 … 100 100 101
11
1
…
1
112 123
1 2 … 100
2
2
2
2
2
…
12 2 3 34
99 100 100 101
1
1
1
nxy
xn 1
得算式
。
nx y
1
这里 是个单位分数，所以
x n 一定大于零，假定
xn
t
0 ，则 x
n t，
y
t
代入上式得
n( n t)
1 ，即 y y
2
n n。 t
又因为 y 是自然数， 所以 t 一定能整除 n2 ，即 t 是 n2 的约数， 有 n 个 t 就有 n 个 y ，
11
这一来我们便 得到一 个比
1
2 2334
98 99 99 100
1 1
100
99
100
11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2. 计算：
3 6 10 15 21 28 36 45 55 66 78 91 105 120
22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
6 12 20 30 42 56 72 90 110 132 156 182 210 240
1
1
2(
…
)
12 2 3 34
99 100 100 101
2 (1 1 1 1 1 1 … 1 1
1
1 )
2 2334
99 100 100 101
1
2 (1
)
101
100 2
101 200 101
99 1
101
例 3. 设符号（
）、<
11
> 代表不同的自然数，问算式
6()
符号所代表的数的数的积是多少？
1
中这两个
立身以立学为先，立学以读书为本
11
分析与解： 减法是加法的逆运算，
6 ()
1
11
就变成
6( )
1
，与
11
1
前面提到的等式
相联系，便可找到一组解，即
n n 1 n(n 1)
11 1 6 7 42
另外一种方法
设 n、 x、 y 都是自然数，且 x
y ，当 1
1
1
时，利用上面的变加为减的想法，
当 t 1 时， x 7 ， y 42
立身以立学为先，立学以读书为本
当 t 2 时， x 8 ， y 24
当 t 3 时， x 9 ， y 18
当 t 4 时， x 10 ， y 15
当 t 6 时， x 12 ， y 10
当 t 9 时， x 15 ， y 10
当 t 12 时， x 18 ， y 9
1 1985
1 1987
1 1987
1 1988
……
1
1
1995 1996
1 1996
像这样在计算分数的加、减时，先将其中的一些分数做适当的拆分，使得其中一部分 分数可以相互抵消，从而使计算简化的方法，我们称为裂项法。
1
例 2. 计算：
1
1 12
1 123
…
12
1 3…
100
公式的变式
1
2
1 2 … n n (n 1)