有交互作用的正交设计

•当出现混杂现象时，只要选择较大的正交表就可以避免了，譬 如选用 L16(215)，表头设计如下：
表头设计 A B A×B C
D
C×D
列号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
•在表上有多个空白列时，为避免可能存在的交互作用，可以首 先将因子放在各组的第一列（也称为基本列）。
共有11个，比因子个数还多。实际经验表明，多数交互作
用是不存在的或很小以至可以忽略不计，实际中主要考虑
部分二级交互作用，具体考察哪些二级交互作用还要依赖 专业知识来决定。
例2：
某厂一种零件镀锌前需要酸洗除锈。为提高效 率（缩短酸洗时间）采用正交试验寻求最佳酸洗 液配方。考虑交互作用A*B 、B*C、A*C。
A*C水平搭配表
C1
C2
A1
(Y1+Y3)/2=25
(Y2+Y4)/2=28.5
A2
(Y5+Y7)/2=24.5
(Y6+Y8)/2=22.5
从表中可知A2C2搭配最优
如何确定B*C、A*B最优搭配？
最优组合：A2B2C1
水平选取总结
交互作用正交试验最佳水平组合选择：
（1）对显著因素，最佳水平可通过比较各水平下的指 标数据均值或数据和得到；
2
3
4
5
6
7
B A×B C A × C B × C 空
因素
1
A 试验号
1
1（300）
2
1 （300）
3
1 （300）
4
1 （300）
5
2（200）
6
2（200）
7
2（200）
8
2（200）
Kj1
107
Kj2
94
Kj1（平均） 26.75
Kj2（平均） 23.50
2 B
1（12） 1（12） 2（4） 2（4） 1（12） 1（12） 2（4） 2（4）
因子A与B的交互作用示意图
B2
B2
B1 B1
B1
B2
A1
A2
a. 无交互作用
A1
A2
A1
A2
b. 有（正向）交互作用 c. 有（反向）交互作用
因子间的交互作用随着因子个数的增加而增加。如四个
因子A，B，C，D间的交互作用有以下几类： 二级交互作用有6个：AB，AC，AD，BC，BD，CD 三级交互作用有4个：ABC，ABD，ACD，BCD 四级交互作用1个：ABCD
1
60
1.2
20%
2
80
1.5
30%
每两个因素之间都有交互作用，必须考虑。试 验指标为产量，越高越好。试安排试验，并分析试 验结果，找出最好的方案。
L8(27)表头设计
1 A
2 B
3 A×B
4 C
5 A×C
6 B×C
7
产量
1
1
1
1
1
1
1
65
2
1
1
1
2
2
2
73
3
1
2
2
1
1
2
72
4
1
2
2
2
2
1
75
5
注意： 排因素主次顺序时，应该包括交互作用
⑤最优方案的确定
如果不考虑因素间的交互作用 ，最优方案：A1B1C2 交互作用A×B比因素A、B对试验指标的影响更大 考虑交互作用，最优方案： A1B2C2
说明：
表头设计中的“混杂”现象（一列安排多个因素 或交互作用）
高级交互作用 ，如A×B× C，一般不考虑 r水平两因素间的交互作用要占r－1列 ，当r＞2时，
（ 如：fA＝A的水平数－1） 交互作用自由度，如fA×B＝ fA × fB
避免混杂现象
• 混杂现象：在进行表头设计时，若一列上出现两个因 子，或两个交互作用，或一个因子与一个交 互作用时，称为混杂现象，简称“混杂”。
•表头设计的一个重要原则：表头设计时要尽量避免混杂 现象的出现。
这是因为，当混杂现象所在列显著时，很难识别是 哪个因子（或交互作用）是显著的。
119 82 29.75 20.50
3 A×B
4
5
C
A×C
1 1 2 2 2 2 1 1 99 102 24.75 25.50
1（70） 2（100） 1（70） 2（100） 1（70） 2（100） 1（70） 2（100）
99 102 24.75
25.50
1 2 1 2 2 1 2 1 95 106 23.75 26.50
表头设计 A B A×B C A×C D 列号 1 2 3 4 5 6 7
（2）由于因子均为二水平的，故仍选用二水平正交表，又因子
与交互作用的自由度之和为 6，故所选正交表的行数应满 足：n≥6+1=7，但 L8(27)无法安排这四个因子与两个交互 作用，因为不管四个因子放在哪四列上，两个交互作用或
例 3.6 给出下列试验的表头设计：
（1）A、B、C、D 为二水平因子，且要考察交互作用 A×B、 A×C；
（2）A、B、C、D 为二水平因子，且要考察交互作用 A×B、 C×D。
解 （1）由于因子均为二水平的，故选用二水平正交表，又因子与 交互作用的自由度之和为：
fA+fB+fC+fD+fA×B+fA×C=1+1+1+1+1+1=6 故所选正交表的行数应满足：n≥6+1=7，所以选 L8(27)，表头 设计如下：
（2）对显著交互作用，先计算两因素水平所有水平搭 配下数据均值，再通过比较得出哪种水平组合为好；
（3）不显著的因素，其水平可任选，亦可按成本较低 原则选取。
➢水平数相同的有交互作用的正交设计
■ 例3 某产品的产量取决于3个因素A、B、C，每 个因素都有两个水平，具体数值如下表所示。
因素 水平
A
B
C
一个因子与一个交互作用总会共用一列，从而产生混杂，
譬如：
表头设计 A B A×B C
D
C×D
列号
12
3
4567
在正交表上出现这一现象的原因是正交表的构造引起的。
•对等水平的完全正交表来讲 Ln (q p ) ，如果 n q k ，则全部列 被分为 k 组，各组的列数分别为 q 0 , q1, , q k1 。
如：
- L8 (27 ) 的基本列是 1，2，4 列，
- L16 (215 ) 的基本列是 1，2，4，8 列。
•当“所考察的因子与交互作用自由度之和=n－1”时，表 的各列都被排满了，这便成了饱和设计，那么此时的处 理办法有：
• 进行重复试验后进行方差分析； • 如上改用较大的正交表，补充做一些试验； • 将平方和较小的列看作误差列； • 作为饱和设计进行分析。
2
1
2
1
2
1
70
6
2
1
2
2
1
2
74
7
2
2
1
1
2
2
60
8
2
2
1
2
1
1
71
K1
285
282
269
267
282
281
K2
275
278
291
293
278
279
k1
142.5 141.0 134.5 133.5 141.0 140.5
k2 极差
最优方案
137.5
5 A1
139.5
2 B1
145.5 146.5
11 13 2水平 C2
139.0 139.5
2
1
1水平 1水平
等水平、有交互作用的正交设计的分析步骤： ①选表
应将交互作用看成因素 按6因素2水平选表：L8（27）
②表头设计
交互作用应该占有相应的列——交互作用列 交互作用列是不能随意安排
③明确试验方案、进行试验、得到试验结果
④计算极差、确定因素主次
如 L8(27)的列被分成三个组：
第一组：第 1 列 第二组：第 2、3 两列 第三组：第 4、5、6、7 四列
•正交表上有交互作用的两列如果在不同组时，则其交互作用列 必在组别高的组中，当有交互作用的两列在同一组时，交互 作用必在低组别的组中。
譬如：
- 若 A 置于第 1 列，B 置于第 2 列，则 A×B 为第 3 列； - 若 A 置于第 1 列，B 置于第 4 列，则 A×B 为第 5 列； - 若 A 置于第 2 列，B 置于第 3 列，则 A×B 为第 1 列； - 若 A 置于第 4 列，B 置于第 7 列，则 A×B 为第 3 列。
不宜用直观分析法 即使不考虑交互作用，最好仍与有交互作用时一
样，按规定进行表头设计
正交表的选用原则
基本原则：要考察的因素及交互作用的自由度总和不 大于正交表的总自由度。
即： f总≥ fA＋ fB＋ fC＋…＋fA × B＋fB × C＋fA × C＋…
注： （1）正交表总自由度f总＝试验次数－1； （2）每因素自由度＝各因素水平数－1；Leabharlann 有交互作用的正交设计交互作用：
一个因子的水平好坏或好坏的程度受 另一因子水平制约的情况，称为因子A与B 的交互作用，记为A×B或AB。
例1：在大豆试验田内施用氮肥和磷肥，亩 产量如下表：
氮肥
磷肥
P1＝0
P2＝4
N1＝0
400
450
N2＝6
430