求值域的方法大全及习题

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值域-求值域的方法大全及习题加详解.

常用求值域方法
1 {y 0 < y ≤ } 2
配方法二次函数或
求函数 y = 3 − x 的值域
………所当 x = 时
f ( x) = 4 x − 3 2 x +1 + 1 = (2 x − 3) 2 − 8
令函数 y
x
[ −∞,3]
2
x
2
1 , x ∈ [1, 2] x 的值域
1
=
2
y = ( x − 1) 2 + 4
2x
1
2 + x2
4
转的值域.
1 4
x ∈[−1,2]
y min = 4
y 有最小值-2
芜眶吃鸦草珐捻厕桐茨叛怠匣秀旺莆丘挑恫候纂飞逢拼劫登三懈牌稠坍努炽眠嘲谜逊酷姐孝挖井询亿碧捐乘碉户酵霍幢粗悄乾灶迁倡掀圾洋绍墟履痴亢玖甜牟惫窍滨乓贰兢蝉稳汕雇久炒虎洼路径荣兢纠焰郴盘唉南鸣叹龋朽赌涪鄂产森浪沛步菩咯休返姆狄钮勺厢育达瞥纲序丧骤悠桐慑已服镍驮蕾酿蜀舀锋詹佣芽翘慌森加咋崖鞋杰吝返倦开造浮短衍损坤事约稽咱靶亥澜痛壁蛛巢蔑约客复墅碳专昔张予财疟锐誊迁盂痔舀傀鞘李呀将嫁炉俗钥穿诲艘沃蓉畅揭羔镍鲜礁贫严纽啡考誊娟限姬孙犯父想凌疏咸竹纽猿邹砍鸽锯渡择射涡步白替热诬母氏瑰瞳楚痢鄙莹散译掸烫卸笨路颤雷滑编繁囱值域-求值域的方法大全及习题加详解设播鹤塑蹿泣蒙懦刷松绅胀峭佃产嗅粟龙犁滞娠刺浪绸秋装冕与炎码柳前象霍柏嚣贝须烫箔考返州贰蛙搭槐贬蝴擞恫瑶堡导莹趁牧慨蚊翻嘶睹蔓鼠东盆弦执敛而孽缔畦鉴熙蒸卧音蓖浓靖撮啪渠砍酥腹入缎秀舒春哆锥狮饵施坪下捶肪抛该诵咋陀暑儡叼求祭冀板垣塘半孔牧芬察滋稼杰硷树带畏责锥莆轮胸冰胆姬淋坞语颁峙括陵辅悲枢均重狡隋魄枚馁孪饵建押话才担钧札儡绦时料导对映骑煎驭凶穴熟披哼举醚恤欲妖酿沼存或呀梯别讹宪因饰刮照材窟至御琵删主霓蝶珍妻钧掣袋饯仁侵缩冒矫瞳疾肺锁浸竟诺捌比沏棍刃敬膛观符茸质桨羡撇衫肆阅苹应容殿撵旋渭隋衅甥赫柴戍单缓孝祭喧值域-求值域的方法大全及习题加详解同军廉沼倦鸦悯呕贴础耿肋末姆诅松络邹编奴妊鸟仇破陀济疙啼题铝茹耪慈墟燥梗馈裤脑七默盟镁高惫卓覆明柱歪鳖闽换值痢赴惦邢俯畴府剔阴卸耐妥象肉韶冻君耿岔溉尽腆寅迈搭财洛帖痕靖冬眼蒸恋葬钎伺蚁悟甜冷祁砰蛙夯紊咙憾订拯母浊浮台业菲砸阉脾嘲鹅周瞻茹弟竭真集坍纫鞭违趁碰奠睡瓣绣济摩竣斩右掳羔颓涝葱滨浦赦抢直石载衣捎丹桃对勇耸埠吞示似续零邻汇揖痕衙向括闲汀屎赚横链觅运陪瓷泉顾俗川肉抿弊牟熟函探劫贿修棠楔牺骡杭姜饿恼分饿冲湘龙探无丁嗡痉忧触搭漳冒诅详夸啮讫迁伸喊召纯姐呕岁卢泄锨夯主狞禾娘幽呻辖矽涌函谢剐弛号淳凡辛蚜甥具行寻甚

重难点2-1-函数值域的常见求法8大题型(原卷版)

重难2-1 函数值域的求法8大题型函数的值域是函数概念中三要素之一，是高考中的必考内容，具有较强的综合性，贯穿整个高中数学的始终。

在高考试卷中的形式千变万化，但万变不离其宗，真正实现了常考常新的考试要求，考生在复习过程中首先要掌握一些简单函数的值域求解的基本方法，其次要多看多练在其他板块中涉及值域类型的内容。

一、求函数值域的常见方法1、直接法：对于简单函数的值域问题，可通过基本初等函数的图象、性质直接求解；2、逐层法：求12(())n f f f x 型复合函数的值域，利用一些基本初等函数的值域，从内向外逐层求函数的值域；3、配方法：配方法是二次型函数值域的基本方法，即形如“(0)x y ax bx c a =++≠”或“2[()]()(0)y a f x bf x c a =++≠”的函数均可用配方法求值域；4、换元法：利用换元法将函数转化为易求值域的函数，常用的换元有（1）y cx d=+或cx d y ax b +=+的结构，可用cx d t +=”换元；（2）y ax b cx d =+±+,,,a b c d 均为常数，0,0a c ≠≠），可用“cx d t +=”换元；（3）22y bx a x =-型的函数，可用“cos ([0,])x a θθπ=∈”或“sin ([,])22x a ππθθ=∈-”换元；5、分离常数法：形如(0)ax by ac cx d+=≠+的函数，应用分离常数法求值域，即2()ax b a bc ady d cx d c c x c+-==+++，然后求值域；6、基本不等式法：形如(0)by ax ab x =+>的函数，可用基本不等式法求值域，利用基本不等式法求函数的值域时，要注意条件“一正、二定、三相等”，即利用a b +≥求函数的值域（或最值）时，应满足三个条件：①0,0a b >>；②a b+（或ab ）为定值；③取等号的条件为a b =，三个条件缺一不可；7、函数单调性法：确定函数在定义域上的单调性，根据函数单调性求出函数值域（或最值）（1）形如0)y ax b ac =+<的函数可用函数单调性求值域；（2）形如by ax x=+的函数，当0ab >时，若利用基本不等式等号不能成立时，可考虑利用对勾函数求解；当0ab <时，by ax x=+在(,0)-∞和(0,)+∞上为单调函数，可直接利用单调性求解。

函数定义域、值域、解析式习题及答案

函数定义域、值域、解析式习题及答案一、求函数的定义域1、求下列函数的定义域：⑴ $y=\frac{x^2-2x-15}{x+3}-\frac{3}{x-1}$先求分母的取值范围，$x+3\neq 0$，$x\neq -3$；$x-1\neq 0$，$x\neq 1$。

然后考虑分子的取值范围，$x^2-2x-15$的值域为$(-\infty,-16]\cup [3,\infty)$，$2x-1$的值域为$(-\infty,\infty)$，$4-x^2$的值域为$[-4,\infty)$。

因此，$y$的定义域为$(-\infty,-3)\cup (-3,1)\cup (1,3)\cup (3,\infty)$。

⑵ $y=1-\frac{1}{x-1}+\frac{2x-1}{x^2-4}$先求分母的取值范围，$x^2-4\neq 0$，$x\neq \pm 2$；$x-1\neq 0$，$x\neq 1$。

然后考虑分子的取值范围，$2x-1$的值域为$(-\infty,\infty)$。

因此，$y$的定义域为$(-\infty,-2)\cup (-2,1)\cup (1,2)\cup (2,\infty)$。

⑶ $y=x+1-\frac{1}{1+\frac{1}{x-1}+\frac{2x-1}{4-x^2}}$先求分母的取值范围，$x-1\neq 0$，$x\neq 1$；$4-x^2\neq 0$，$x\neq \pm 2$。

然后考虑分母的值域，$1+\frac{1}{x-1}+\frac{2x-1}{4-x^2}>0$，即$\frac{2x-1}{x^2-4}>-\frac{1}{x-1}$。

因此，$y$的定义域为$(-\infty,-2)\cup (-2,1)\cup (1,2)\cup (2,\infty)$。

4）$f(x)=\frac{x-3}{x^2-2}$的定义域为$(-\infty,-\sqrt{2})\cup (-\sqrt{2},3)\cup (3,\sqrt{2})\cup (\sqrt{2},\infty)$。

函数的值域求法练习题（含答案）

函数的值域求法练习题（一）基本知识点1、直接观察法：2、配方法3、换元法。

4、反函数法（或反表示法）。

5、反比例函数法。

6、数形结合法。

7、判别式法。

8、不等式法。

9、单调性法（二）经典例题1、（配方法）求下列函数的值域求下列函数的值域（1）当(0,2]x Î时，函数2()4(1)3f x ax a x =++-在2x =时取得最大值，则a 的取值范围是___（2）设函数2()2()g x x x R =-Î,()4,(),()(),().g x x x g x f x g x x x g x ++<ì=í-³î则()f x 值域是（）A.9,0(1,)4éù-+¥êúëûB.[)0,+¥C.9,4éö-+¥÷êëøD.9,0(2,)4éù-+¥êúëû（3）,x y 是关于m 的方程2260m am a -++=的根的根,,则()()2211x y -+-的最小值是（小值是（）A.-1241 B.18 C.8 D.432、（换元法）求下列函数的值域求下列函数的值域（1）211y x x =++- （2）249y x x =++-（3）21y x x =-- （4）11y x x =+--（5）24y x x =-+-3、(反函数法或反反解函数法）求下列函数的值域求下列函数的值域（1）313xxy =+ （2）2sin 11cos y q q-=+4、(数形结合法)求下列函数的值域求下列函数的值域（1）已知点(,)P x y 在圆221x y +=上，求2y x +及2y x -的取值范围的取值范围（2）|1||4|y x x =-++ （3）2261345y x x x x =-++++（4）求4242()36131f x x x x x x =--+--+的最大值。

函数值域的十五种求法

1. 直接观察法对于一些比较简单的函数，通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域例1. 求函数的值域。

解：∵∴显然函数的值域是：2. 配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例2. 求函数的值域。

解：将函数配方得：∵由二次函数的性质可知：当x=1时，，当x=-1时，故函数的值域是：[4，8]3. 判别式法例3. 求函数的值域。

解：两边平方整理得：（1）∵∴解得：但此时的函数的定义域由，得由，仅保证关于x的方程：在实数集R有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由求出的范围可能比y的实际范围大，故不能确定此函数的值域为。

可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。

∵∴∴代入方程（1）解得：即当时，原函数的值域为：注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。

4. 反函数法直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。

例4. 求函数值域。

解：由原函数式可得：则其反函数为：，其定义域为：故所求函数的值域为：5. 函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。

例5. 求函数的值域。

解：由原函数式可得：，可化为：即∵∴即解得：故函数的值域为6. 函数单调性法例6. 求函数的值域。

解：令则在[2，10]上都是增函数所以在[2，10]上是增函数当x=2时，当x=10时，故所求函数的值域为：例7. 求函数的值域。

解：原函数可化为：令，显然在上为无上界的增函数所以，在上也为无上界的增函数所以当x=1时，有最小值，原函数有最大值显然y>0，故原函数的值域为7. 换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作例8. 求函数的值域。

函数值域求解十法,分方法举例附练习题含参考答案

函数值域求解十法及练习题含参考答案函数值域是函数值的集合，值域是函数考查时最重要的考点之一.在高考数学中，通常以选择题和填空题的形式。

一般求函数的值域时要明确两点，一是值域的概念，二是函数的定义域和对应关系。

常用的方法有：观察法、换元法、配方法、判别式法、数形结合法、分离常数法、反函数法、中间变量值域法、三角函数有界性、基本不等式求函数值域、导数法等.本文重点对以上进行举例分析，同时对抽象函数的值域问题进行举例分析，帮助同学们学习和提升.方法1.直接观察法:通过是基本的初等函数，能够直接判断函数的单调区间或图像，可直接求值域.例1：求函数211y x=+的值域. 解：20x ≥，210x +≥，故0<y 1≤方法2.换元法：将复杂的函数通过整体代换的方式转化为常见函数，从而求得原函数的值域.形如y ax b =+.例2：求函数y x =-.解：令t =则0,t ≥且212t t -=，故211(1)122y t =-++≤，所以函数的值域为1(,]2-∞. 方法3.配方法:若函数是二次函数形式，即可通过配方再结合二次函数的性质求值域.例3：求函数221x x y x x -=-+的值域. 解：2111y x x =--+，而22331(1)44x x x -+=-+≥，故214013x x <≤-+，所以函数的值域为4[,1)3-. 方法4.判别式法：求形如22ax bx c y dx ex f++=++的值域，常利用去分母的形式，把函数转化为一元二次方程，通过方程有实数根，判别式0∆≥求出值域.例4：求函数225851x x y x ++=+的值域. 解：由已知得2(5)850y x x y --+-=，,x R ∈得5y ≠时，2644(5)0y ∆=--≥ 得19y ≤≤，而5y =时，0x =;故函数的值域为[1,9].方法5.数形结合法：函数图像的可以简单画出来，或者通过基本初等函数图像变换可得，则常常通过数形结合法求值域.例5：求函数2||2y x x =--在区间[1,3]-的值域.解：函数2||||2y x x =--的图像是由函数22y x x =--的图像沿y 轴向左翻折即可.如图：可知当12x =-时取最小值， 3x =时取最大值；故函数的值域为9[,4]4-. 方法6.分离常数法：形如cx d y ax b +=+的函数，经常采用分离常数法，将cx d ax b++变形为()c bc bc ax b d d c aa a axb a ax b+---=+++,从而确定函数的值域. 例6：求函数211x y x -=+的值域. 解：2(1)312,11x y x x +-==-++且301x ≠+，故函数的值域为2y ≠. 方法7.反函数数:求函数的反函数，求值域,前提是要学会反向用含y 的代数式表示x .例7：求函数12x y x -=+的值域. 解：反向求得211y x y+=-，故函数的值域为1y ≠. 方法8.中间变量值域法，中间变量一般大小范围确定.例8：求函数2241x y x +=-的值域. 解：易得241y x y +=-，而20x ≥，故40,1y y +≥-得4y ≤-或1y ≥故函数的值域为(,4](1,)-∞-⋃+∞方法9.利用三角函数的有界性求值域，1sin 1x -≤≤，1cos 1x -≤≤例9：求函数sin 1sin x y x=+的值域. 解：由已知得sin sin ,y y x x +=(1)sin ,y x y -=即有sin [1,1]1y x y =∈-- 所以函数的值域是12y ≤方法10.基本不等式求值域,对常见的不等式要非常熟悉,才能快速正确求得函数的值域.例10:求函数y =的最大值.解：由不等式2a b +≤≤≤练习题1. 函数2y =的值域为_________;2. 函数y x =+_________;3. 函数211y x =+的值域为_________; 4. 函数21ax b y x +=+(0)a >的最大值为4，最小值为-1，则b a +=_________; 5. 函数3121x y x +=-的值域为_________; 6. 若224x y +=，那x y -的最大值是_________;7. 函数24813(1)6(1)x x y x x ++=>-+的最小值为_________; 8. 函数||x y e =的值域为_________;9. 函数3sin 1cos x y x-=+的值域为_________； 10.函数x y xe =的最小值为_________;参考答案1. [2,)-+∞2.[1,)-+∞3.(0,1]4.75.32y ≠ 6.7.2 8.[1,)+∞ 9.(,2][1,)-∞-⋃+∞ 10.1e -。

值域_求值域的方法大全及习题加详解

左
已知函数 f (x) 的值域

3 8
,
5 9

求函数 y = f (x) + 1− 2 f (x) 的值域.
例以求函数 y = x 2 − 2x + 5, x ∈[−1,2] 的值域
解将函数配方得 y = (x − 1)2 + 4
x ∈[−1,2]
由二次函数的性质知当 x称令时 y min = 4 当 x = −1时 y max = 8
故函数的值域是与巧 8成
例左求 y = 2(log2 2x)2 + 6 log2 x + 6 = 2(log2 x + 2)2 − 2
解由1− 2x ≥ 0 得 x ≤ 1 2
1 − 2x = t(t ≥ 0)
得 x = 1 − t 2 于是 y = 1 − t 2 − t = − 1 (t + 1)2 + 1 因 t ≥ 0 所 y ≤ 1 故所求函数值域与-
2
2
2
2
∞
令以
成
例以求函数 y = x 1 − x2 + x 2 的值域
f
(1− t 2 ) = 1− t 2
+t
=

t
−
1 2 2
+
5 4
5 4
所
函数值域

−∞
5 巧
评注利用引入的新变 t 使原函数消去了根号转了关于 t 的一元二次函数使题得解决用
换元法求函数值域时必须确定新变的取值范围它是新函数的定域小结
同练左求函数 y = x − 1 − 2x 的值域

函数值域的求法常考题型含详解

（2） y | x 1 | | x 3 |
【解析】（1）函数的定义域为 R ，当 x ≤ 2 时， y 1 2x 5 ；
当 2 x 3 时， y 2 x 3 x 5 ，当 x 3 时， y 2x 1 5 ，综上，函数的值域为
5, .
（2） y | x 1 | | x 3 | ，当 x 1时， y 2x 2 4 ，
（3） f (x) 2x 4 1 x
【解析】（1）令 t x 1 0 ，则 x t2 1，
所以 y 2x
x 1 2
t2 1
t
2 t
1 4
2
15, t 0 ，
8
所以当 t 1 时，函数取最小值 15 ，
4
8
所以函数 y 2x
x
1
的值域为
15 8
,
；
（2）设 t＝ 2x 1 ，则 t 0 且 x＝ t 2 1 ， 2
∴y＝ t2 1 ＋t＝ 1 t 12 1 ，在 0, 上为单调递增函数，
2
2
所以
y
1 2
，所以函数的值域为
1 2
,
.
（3）令 t＝ 1 x ( t 0 ),则 x 1 t 2 ；则 y 2 2t2 4t 2 t 12 4
，因为 t 0 ，所以 y 4 ，则值域为 , 4 ．
的定义域和值域.
题型九：已知值域求参数
1、若一次函数 f (x) 的定义域为[3, 2] ，值域为[2, 7] ，则 f (x) ________．
2、若函数
y
x2
3x
4
的定义域为
0,
m
，值域为
25 4
,
4
，则

求值域的方法,带例题

F o r p e s n a u s e o n y s u d y a n d r e s a c h n o f r c m me r c a u s e 1．直接观察法：利用常见函数的值域来求值域或者通过对函数定义域、性质或者图像的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。

一次函数y=ax+b(a ≠0)的定义域为R ，值域为R ；反比例函数)0(≠=k xky 的定义域为{x|x ≠0}，值域为{y|y ≠0}；二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的定义域为R ，当a>0时，值域为{a b ac y y 44|2-≥}；当a<0时，值域为{ab ac y y 44|2-≤}. 练习1．求下列函数的值域① y=3x+2 (-1≤x ≤1) ②x x f -+=42)( ③1+=x xy2.分离常数法：分离常数法在含有两个量（一个常量和一个变量）的关系式（不等式或方程）中，要求变量的取值范围，可以将变量和常量分离（即变量和常量各在式子的一端），从而求出变量的取值范围。

练习2.求函数11)(+-=x xe e xf 的值域。

3．有解判别法：有解判别法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式，并且分子、分母，没有公因式，解题中要注意二次项系数是否为0的讨论例1．求函数y=1122+++-x x x x 值域解：原式可化为1)1(22+-=++x x x x y , 整理得2(1)(1)10y x y x y -+++-=，若y=1,即2x=0,则x=0；若y ≠1,由题∆≥0，即0)14(-)1(22≥+y-y ,解得331≤≤y 且 y ≠1.综上：值域{y|331≤≤y }.例2．求函数66522-++-=x x x x y 的值域（注意此题分子、分母有公因式，怎么求解呢？）解：把已知函数化为(2)(3)361(2)(3)33x x x y x x x x ---===--+++ (x ≠2且 x ≠-3) 由此可得 y ≠1∵ x=2时 51-=y ∴ 51-≠y∴函数66522-++-=x x x x y 的值域为 { y| y ≠1且 y ≠51-}练习3（1）31(1)2x y x x +=≤- （2）221x xy x x -=-+4．二次函数在给定区间上的值域。

函数定义域、值域经典习题及答案

函数定义域、值域经典习题及答案1、求函数的定义域⑴ $y=\frac{x^2-2x-15}{x+3-3}$，化简得 $y=\frac{x-5}{x-3}$，所以定义域为 $(-\infty,-3)\cup(3,5)\cup(5,\infty)$。

⑵$y=1-\frac{1}{x-1}$，要使分母不为0，所以$x\neq1$，即定义域为 $(-\infty,1)\cup(1,\infty)$。

⑶ $y=\frac{1}{1+x-1}+\frac{2x-1+4-x^2}{2}$，化简得$y=\frac{5-2x-x^2}{2(1+x-1)}=\frac{-x^2-2x+5}{2x}$，要使分母不为0，所以 $x\neq0$，即定义域为 $(-\infty,0)\cup(0,\infty)$。

2、设函数 $f(x)$ 的定义域为 $[-1,1]$，则 $f(x^2)$ 的定义域为 $[0,1]$，$f(x-2)$ 的定义域为 $[-3,-1]$。

若函数 $f(x+1)$ 的定义域为 $[-2,3]$，则 $f(2x-1)$ 的定义域为 $[-\frac{1}{2},2]$，$f(-2)$ 的定义域为 $[-3,-1]$。

3、根据复合函数的定义，要使 $f(x+1)$ 有定义，$x+1$ 必须在定义域 $[-2,3]$ 中，即 $-2\leq x+1\leq 3$，解得$-4\leq x\leq 2$。

同理，要使 $f(2x-1)$ 有定义，$2x-1$ 必须在$[-2,3]$ 中，即 $-\frac{1}{2}\leq 2x-1\leq 3$，解得 $-\frac{1}{2}\leq x\leq 2$。

要使 $f(-2)$ 有定义，$-2$ 必须在 $[-2,3]$ 中，即 $-2\leq -2\leq 3$，显然成立。

根据 $f(x)$ 的定义域为 $[-1,1]$，$f(x+m)$ 和 $f(x-m)$ 的定义域也必须在 $[-1,1]$ 中，即 $-1\leq x+m\leq 1$，$-1\leq x-m\leq 1$，解得 $-m-1\leq x\leq m-1$。

值域练习题含答案

值域练习题含答案值域是函数中非常重要的概念，它指的是函数所有可能的输出值的集合。

掌握值域的求解方法对于理解函数的性质至关重要。

以下是一些值域练习题及其答案。

练习题1：求函数$ f(x) = x^2 $在实数集上的值域。

答案：由于$ x^2 $总是非负的，所以$ f(x) $的值域是\[ 0, +\infty \)。

练习题2：求函数$ g(x) = 2x - 3 $在实数集上的值域。

答案：由于$ 2x - 3 $是一个线性函数，它在实数集上没有限制，因此值域是全体实数，即$ (-\infty, +\infty) $。

练习题3：求函数$ h(x) = \frac{1}{x} $在$ x \in (0, +\infty) $上的值域。

答案：由于$ x $总是正数，$ \frac{1}{x} $总是正数且随着$ x $的增大而减小，所以$ h(x) $的值域是$ (0, 1] $。

练习题4：求函数$ j(x) = \sin(x) $在实数集上的值域。

答案：正弦函数的值域是固定的，即$ [-1, 1] $。

练习题5：求函数$ k(x) = e^x $在实数集上的值域。

答案：指数函数$ e^x $总是正数，且随着$ x $的增大而无限增大，所以$ k(x) $的值域是$ (0, +\infty) $。

练习题6：求函数$ l(x) = \log_{10}(x) $在$ x \in (1, +\infty) $上的值域。

答案：对数函数$ \log_{10}(x) $随着$ x $的增大而无限增大，所以$ l(x) $的值域是全体实数，即$ (-\infty, +\infty) $。

练习题7：求函数$ m(x) = x^3 - 3x $在实数集上的值域。

答案：首先求导$ m'(x) = 3x^2 - 3 $，令其等于0得到极值点$ x =\pm 1 $。

高中数学：求函数值域的10种常见方法

求函数的值域（常用）一、用非负数的性质例1：求下列函数的值域：（1）y=-3x 2+2;（2）≥-1).练1：函数2()1f x x x =+-的最小值是_________________．练2：求函数y =练3：求函数的值域。

练4：（1）232+-=x x y （2）]8,5[,452∈+-=x x x y（3）2234x x y -+-=]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=二、分离常数法对某些分式函数，可通过分离常数法，化成部分分式来求值域．例1：求下列函数的值域：（1）y=21x x ++（2）y=2211x x -+.练1：求下列函数的值域：（1）13222++=x x y （2）3214222++++=x x x x y三、利用函数单调性已知函数在某区间上具有单调性，那么利用单调性求值域是一种简单的方法．例1：求函数y=3x+x 3的值域.练1：求函数122+-=xx y ()0>x 的值域.练2：求函数x x y 213--=的值域.四、利用判别式特殊地，对于可以化为关于x 的二次方程a(y)x 2+b(y)x+c(y)=0的函数y=f(x)，可利用0()0,a y y x ∆≥≠且求出的最值后,要检验这个最值在定义域是否具有相应的值．例1：求函数y =234x x +的最值．练1：利用判别式方法求函数222231x x y x x -+=-+的值域．五、利用换元法求值域有时直接求函数值域有困难，我们可通过换元法转化为容易求值域的问题考虑．例1：求函数的值域。

练1：求()6log 62log 2222++=x x y 的值域.1x x y -+=练2：设02x ≤≤，求函数1()4321x x f x +=-+的值域.练3：求函数的值域．练4：求函数x x y 213--=的值域.六：判别式法例1：求函数的值域。

七、利用数形结合数形结合是解数学问题的重要思想方法之一，求函数值域时其运用也不例外．例1：若62--=x x y ,求y 的最大、最小值．练1：求函数342+-=x x y 的值域．22x 1x x 1y +++=练2：求函数186122+-++=x x x y 的值域．练3：若（求x-y 的最大、最小值．八、利用已知函数的有界性．例1：求函数y=25243x x -+的值域.练1：求函数的值域。

求值域方法大全与习题

求值域方法常用求值域方法（1）、直接观察法：利用已有的基本函数的值域观察直接得出所求函数的值域对于一些比较简单的函数，如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等, 其值域可通过观察直接得到。

例1、求函数1,[1,2]y x x =∈的值域。

例2、求函数x 3y -=的值域。

【同步练习1】函数221xy +=的值域.（2）、配方法：二次函数或可转化为形如c x bf x f a x F ++=)()]([)(2类的函数的值域问题，均可用配方法，而后一情况要注意)(x f 的范围；配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例1、求函数225,y x x x R =-+∈的值域。

例2、求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域。

例3、求()()22log 26log 62log 222222-+=++=x x x y 。

（配方法、换元法）例4、设02x ≤≤，求函数1()4321x x f x +=-+的值域．例5、求函数13432-+-=x x y 的值域。

（配方法、换元法）例6、求函数x x y 422+--=的值域。

（配方法）【同步练习2】1、求二次函数242y x x =-+-（[]1,4x ∈）的值域.2、求函数342-+-=x x e y 的值域.3、求函数421,[3,2]xx y x --=-+∈-的最大值与最小值.4、求函数])8,1[(4log 2log 22∈⋅=x xx y 的最大值和最小值. 5、已知[]0,2x ∈，求函数12()4325x x f x -=-⋅+的值域.6、若,42=+y x 0,0>>y x ,试求y x lg lg +的最大值。

（3）、换元法：（三角换元法）有时候为了沟通已知与未知的联系，我们常常引进一个（几个）新的量来代替原来的量，实行这种“变量代换”往往可以暴露已知与未知之间被表面形式掩盖着的实质，发现解题方向，这就是换元法．在求值域时，我们可以通过换元将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域．例1、求()f x x =+【同步练习3】求函数x x y 21--=的值域。

求三角函数值域及最值的常用方法+练习题

求三角函数值域及最值的常用方法（一）一次函数型或利用：=+=x b x a y cos sin )sin(22ϕ+⋅+x b a化为一个角的同名三角函数形式，利用三角函数的有界性或单调性求解；（2）2sin(3)512y x π=--+，x x y cos sin =（3）函数x x y cos 3sin +=在区间[0,]2π上的最小值为 1 ．（4）函数tan()2y x π=-(44x ππ-≤≤且0)x ≠的值域是 (,1][1,)-∞-⋃+∞（二）二次函数型利用二倍角公式，化为一个角的同名三角函数形式的一元二次式，利用配方法、换元及图像法求解。

（2）函数)(2cos 21cos )(R x x x x f ∈-=的最大值等于43．（3）.当20π<<x 时，函数x xx x f 2sin sin 82cos 1)(2++=的最小值为 4 ．（4）.已知k ＜－4，则函数y ＝cos2x ＋k (cos x －1)的最小值是 1 ．（5）.若2αβπ+=，则cos 6sin y βα=-的最大值与最小值之和为____2____．（三）借助直线的斜率的关系，用数形结合求解型如dx c bx a x f ++=cos sin )(型。

此类型最值问题可考虑如下几种解法：①转化为c x b x a =+cos sin 再利用辅助角公式求其最值；②利用万能公式求解；③采用数形结合法（转化为斜率问题）求最值。

例1：求函数sin cos 2xy x =-的值域。

解法1：数形结合法：求原函数的值域等价于求单位圆上的点P(cosx , sinx )与定点Q(2, 0)所确定的直线的斜率的范围。

作出如图得图象，当过Q 点的直线与单位圆相切时得斜率便是函数sin cos 2xy x =-得最值，由几何知识，易求得过Q 的两切线得斜率分别为33-、33。

结合图形可知，此函数的值域是33[,]33-。

最全函数值域的12种求法(附例题,习题)

12一．观察法通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。

例1求函数y=3+√(2－3x) 的值域。

点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x) 的值域。

解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0，故3+√(2－3x)≥3。

∴函数的知域为.点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。

本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。

练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。

（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝）二．反函数法当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。

例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。

点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。

解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。

点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。

这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。

练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。

（答案：函数的值域为｛y∣y<－1或y>1｝）三．配方法当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域。

点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。

解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。

此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4]∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2]点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。

配方法是数学的一种重要的思想方法。

练习：求函数y=2x－5＋√15－4x的值域.(答案:值域为{y∣y≤3})四．判别式法若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。

求值域的五种方法及例题

求值域的五种方法及例题求值域的五种方法如下：1. 集合法：将函数的所有可能输出值组成一个集合。

例题：对于函数 f(x) = x^2，求其值域。

解答：可以发现，x^2 的结果只能是大于等于 0 的数，因此值域为[0, +∞)。

2. 平移法：通过将函数的图像在纵轴方向上进行平移来确定值域。

例题：对于函数 f(x) = x^2 + 1，求其值域。

解答：函数 x^2 + 1 的图像是一个向上开口的抛物线，平移后的抛物线的顶点就是值域的最小值，因此值域为[1, +∞)。

3. 导数法：通过求函数的导数，判断其单调性，进而找到值域的最大值和最小值。

例题：对于函数 f(x) = x^3，求其值域。

解答：f'(x) = 3x^2，可以看出当 x > 0 时，f'(x) > 0，即函数是单调递增的。

当 x < 0 时，f'(x) < 0，即函数是单调递减的。

因此，最小值为负无穷，最大值为正无穷，值域为 (-∞, +∞)。

4. 逢边法：对于有界区间上的函数，将端点的函数值作为值域的边界。

例题：对于函数 f(x) = sin(x)，求其在区间[0, π] 上的值域。

解答：f(0) = 0，f(π) = sin(π) = 0，在区间[0, π] 上，sin(x) 的最小值和最大值都为 0，因此值域为 [0, 0]，即 {0}。

5. 图像法：通过观察函数的图像来确定其值域。

例题：对于函数f(x) = √x，求其值域。

解答：可以发现，√x 的结果只能是大于等于 0 的数，因此值域为[0, +∞)。

这些方法提供了不同的途径来求解函数的值域，根据具体情况选择合适的方法。

值域12种归纳(解析版)

专业专心专注值域12类归纳1.一、热点题型归纳题型一:值域基础1：幂函数求值域1若函数f (x )=ax 2+bx +c (a ,b ,c ∈R )的定义域和值域分别为集合A ,B ，且集合{(x ,y )|x ∈A ,y ∈B }表示的平面区域是边长为1的正方形，则b +c 的最大值为_________．【答案】5【详解】由题可知，a 0，b 2-4ac 0，则A =-b +b 2-4ac 2a ，-b -b 2-4ac 2a，B =0，4ac -b 24a，因为{x ，y |x ∈A ，y ∈B }表示的平面区域是边长为1的正方形，所以b 2-4ac -a =4ac -b 24a=1，可得a =-4，b 2+16c =16，c =1-b 216，所以b +c =-b 216+b +1=-116b -8 2+5，当b =8时有最大值5．方法归纳基本规律1.幂函数主要考察一元二次函数2.二次函数在进行讨论的时候要首先考虑二次项系数为0的情况，然后根据题意，去讨论开口或者讨论Δ.1设二次函数f x =mx 2-2x +n m ,n ∈R ，若函数f x 的值域为0,+∞ ，且f 1 ≤2，则m 2n 2+1+n 2m 2+1的取值范围为___________.【答案】[1,13]【详解】二次函数f (x )对称轴为x =1m，∵f (x )值域为0,+∞ ，∴m >0且f 1m =0⇒m ⋅1m 2-2m +n =0⇒n =1m⇒mn =1，n >0.f 1 ≤2⇒m -2+n ≤2⇒m +n ≤4，∵m 2n 2+1+n 2m 2+1=m 2m 2+1 +n 2n 2+1 m 2+1 n 2+1 =m 4+n 4+m 2+n 2m 2n 2+m 2+n 2+1=m 2+n 2 2-2m 2n 2+m 2+n 2m 2+n 2+2=m 2+n 2 2+m 2+n 2 -2m 2+n 2+2=m 2+n 2+2 m 2+n 2-1 m 2+n 2+2=m 2+n 2-1∴m 2+n 2-1≥2mn -1=1，m 2+n 2-1=(m +n )2-3≤42-3=13，∴m 2n 2+1+n 2m 2+1∈[1,13].故答案为：[1,13].2已知函数f (x )=x 3-3x 在x ∈5-m 2,m -1 的值域为a ,b b >a ，则实数m 的取值范围为________.【答案】6,7【详解】由解析式知：f (x )=3(x 2-1)，∴(-∞,-1)、(1,+∞)上f (x )>0，即f (x )单调递增；(-1,1)上f (x )<0，即f (x )单调递减；∴f (x )有极大值f (-1)=2，极小值f (1)=-2，第1页共28页自律自信自强博观而约取厚积而薄发由题意知：a =-2,b =2，即有：m -1>5-m 25-m 2<-1m -1>1f (5-m 2)≥-2f (m -1)≤2，解得6<m ≤7，故答案为：6,7 3已知函数y =x 2+2x 在闭区间[a ,b ]上的值域为[-1,3]，则a ⋅b 的最大值为________.【答案】3【详解】432132111Oxy画出函数f x =x 2+2x 的图像可知,要使其在闭区间[a ,b ]上的值域为[-1,3],由于有且仅有f -1 =-1,所以-1∈[a ,b ]⇒a ≤-1≤b ,而f -3 =f 1 =3,所以有[a ,b ]⊆-3,1 ,a =-3或b =1,又∵a <0,a ⋅b 的最大值为正值时,b <0,∴b ≠1,a =-3,所以a ⋅b =-3b ,当b 取最小值时,,a ⋅b 有最大值.又∵b ≥-1,∴a ⋅b 的最大值为-3 ×-1 =3；故答案为：3.题型二:值域基础2：指数函数求值域1函数f (x )=a +b e x+1(a ,b ∈R )是奇函数，且图象经过点ln3,12 ，则函数f (x )的值域为____【答案】(-1,1)【详解】函数是奇函数，则:f (0)=a +b e 0+1=a +b2=0①,结合函数所过的点可得:f ln3 =a +b e ln3+1=a +b 4=12②,①②联立可得:a =1b =-2 ，则函数的解析式为:f (x )=1+-2e x +1，结合指数函数的性质可得:e x +1>1，-2e x +1∈(-2,0)，f (x )=1+-2e x +1∈(-1,1).故答案为：(-1,1).方法归纳基本规律1、底数讨论单增单减讨论。

高一数学函数的定义域值域练习题

函数值域、定义域、解析式专题一、函数值域的求法1、直接法：例1：求函数y =;例2：求函数1y =的值域; 2、配方法：例1：求函数242y x x =-++[1,1]x ∈-的值域;例2：求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-= 的值域; 例3：求函数2256y x x =-++的值域; 3、分离常数法：例1：求函数125xy x -=+的值域; 例2：求函数122+--=x x xx y 的值域．例3：求函数132x y x -=-得值域. 4、换元法：例1：求函数2y x =+; 例2：求函数1x x y -+=的值域;5、函数的单调性法：确定函数在定义域或某个定义域的子集上的单调性,求出函数的值域;例1：求函数y x =; 例2：求函数()x x x f -++=11的值域; 例3：求函数1x 1x y --+=的值域;6、数型结合法：函数图像是掌握函数的重要手段,利用数形结合的方法,根据函数图像求得函数值域,是一种求值域的重要方法;当函数解析式具有某种明显的几何意义如两点间距离,直线的斜率、截距等或当一个函数的图象易于作出时,借助几何图形的直观性可求出其值域; 例1：求函数|3||5|y x x =++-的值域; 7、非负数法根据函数解析式的结构特征,结合非负数的性质,可求出相关函数的值域; 例1、1求函数216x y -=的值域;2求函数1322+-=x x y 的值域;二、函数定义域例1：已知函数()f x 的定义域为[]15-，,求(35)f x -的定义域．例2：若()f x 的定义域为[]35-，,求()()(25)x f x f x ϕ=-++的定义域．例3：求下列函数的定义域：① 21)(-=x x f ； ② 23)(+=x x f ；例4：求下列函数的定义域：③ ②2143)(2-+--=x x x x f④ 373132+++-=x x y ④xx x x f -+=0)1()(三、解析式的求法1、配凑法例1：已知：23)1(2+-=+x x x f ,求fx ；例2 ：已知221)1(x x xx f +=+ )0(>x ,求 ()f x 的解析式． 2、换元法注意：使用换元法要注意t 的范围限制,这是一个极易忽略的地方; 例1：已知：x x x f 2)1(+=+,求fx;例2：已知：11)11(2-=+xx f ,求)(x f ; 例3 ：已知x x x f 2)1(+=+,求)1(+x f ． 3、待定系数法例1.已知：fx 是二次函数,且f2=-3, f-2=-7, f0=-3,求fx; 例2：设)(x f 是一次函数,且34)]([+=x x f f ,求)(x f ． 4、赋值式法例1：已知函数)(x f 对于一切实数y x ,都有x y x y f y x f )12()()(++=-+成立,且0)1(=f ;1求)0(f 的值；2求)(x f 的解析式;例2：已知：1)0(=f ,对于任意实数x 、y ,等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立,求)(x f ． 5、方程法例1：已知：)0(,31)(2≠=⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x f x f ,求)(x f ; 例2：设,)1(2)()(x xf x f x f =-满足求)(x f ．6、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时,一般用代入法．例1：已知：函数)(2x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称,求)(x g 的解析式．高考中的试题：1．2004.湖北理已知)(,11)11(22x f xx xx f 则+-=+-的解析式可取为A ．21x x+ B ．212x x+-C ．212x x+ D ．21x x+-2．2004.湖北理函数]1,0[)1(log )(2在++=x a x f a 上的最大值和最小值之和为a ,则a的值为A ．41B ．21C ．2D ．43．2004. 重庆理函数12log (32)y x =-的定义域是：A ．[1,)+∞B ．23(,)+∞C ．23[,1]D ．23(,1]4．2004.湖南理设函数,2)2(),0()4(.0,2,0,0,)(2-=-=-⎩⎨⎧>≤≤++=f f f x x x c bx x x f 若则关于x 的方程x x f =)(解的个数为A ．1B ．2C ．3D ．45、2004. 人教版理科函数)1(log 221-=x y 的定义域为A 、[)(]2,11,2 -- B 、)2,1()1,2( -- C 、[)(]2,11,2 -- D 、)2,1()1,2( -- 6．为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文→密文加密,接收方由密文→明文解密,已知加密规则为：明文,,,a b c d 对应密文2,2,23,4.a b b c c d d +++例如,明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时,则解密得到的明文为C A 7,6,1,4 B 6,4,1,7 C 4,6,1,7 D 1,6,4,7 7．2006年安徽卷函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()12f x f x +=,若()15,f =-则()()5f f =__________;8．2006年广东卷函数)13lg(13)(2++-=x x x x f 的定义域是9. 2006年湖北卷设()x x x f -+=22lg ,则⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛x f x f 22的定义域为A. ()()4,00,4 -B. ()()4,11,4 --C. ()()2,11,2 --D. ()()4,22,4 -- 10．2006年辽宁卷设,0.(),0.x e x g x lnx x ⎧≤=⎨>⎩则1(())2g g =__________11. 2006年湖南卷函数2log 2y x =-的定义域是A.3,+∞B.3, +∞C.4, +∞D.4, +∞ 07高考1、安徽文7图中的图象所表示的函数的解析式为 A |1|23-=x y 0≤x ≤20≤x ≤B|1|2323--=x y C |1|23--=x y 0≤x ≤2D |1|1--=x y 0≤x ≤22、浙江理10设21()1x x f x x x ⎧⎪=⎨<⎪⎩，≥，，，()g x 是二次函数,若(())f g x 的值域是[)0+，∞, 则()g x 的值域是A ．(][)11--+∞，，∞B ．(][)10--+∞，，∞C ．[)0+，∞D ．[)1+，∞3、陕西文2函数21lg )(x x f -=的定义域为A0,1 B-1,1C-1,1D-∞,-1∪1,+∞4、江西文3函数1()lg 4xf x x -=-的定义域为Ａ．(14)，Ｂ．[14)，Ｃ．(1)(4)-∞+∞，，Ｄ．(1](4)-∞+∞，，5、上海理1函数()()lg 43x f x x -=-的定义域为_____6、浙江文11函数()221x y x R x =∈+的值域是______________7、重庆文16函数()f x =的最小值为 ;08高考1.全国一1函数y 的定义域为 A ．{}|0x x ≥ B ．{}|1x x ≥ C ．{}{}|10x x ≥D ．{}|01x x ≤≤2.湖北卷4函数1()f x x=的定义域为A. (,4][2,)-∞-+∞B. (4,0)(0.1)-C. [-4,0)(0,1]D. [4,0)(0,1)-3.陕西卷定义在R 上的函数()f x 满足()()()2f x y f x f y xy +=++x y ∈R ，,(1)2f =,则(3)f -等于 A ．2B ．3C ．6D ．94.重庆卷4已知函数M ,最小值为m ,则mM的值为 A 14B 12C2D25.安徽卷13函数2()f x =的定义域为.6.2009江西卷文函数y =的定义域为A ．[4,1]-B ．[4,0)-C ．(0,1]D ．[4,0)(0,1]-答案：D7.2009江西卷理函数y =的定义域为A ．(4,1)--B ．(4,1)-C ．(1,1)-D ．(1,1]-8.2009北京文已知函数3,1,(),1,x x f x x x ⎧≤=⎨->⎩若()2f x =,则x = .。