2020年吉林省中考题试卷及答案(全)
吉林省2020年语文中考试卷及答案解析
2020年吉林省初中毕业生学业水平考试语文语文试题共8页，包括三道大题，共26道小题。
全卷满分120分。
考试时间为120分钟。
考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。
注意事项：1.答题前，请将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2.答题时，请按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试题上答题无效。
一、积累与运用（15分）请在答题卡相应的田字格中或横线上端正地书写正确答案或填写相应选项。
（第1—4题每句1分，第5题、第6题每小题1分，第7题2分）1.子在川上曰：“逝者如斯夫，。
”（《论语·子罕》）2.雪下了一夜。
早上出门，看到雪落枝头，到处玉树琼花，不禁脱口而出：“忽如一夜春风来，。
”（岑参《白雪歌送武判官归京》）3.刘禹锡在《陋室铭》中，写出居室主人交往人物博学儒雅的语句是：，。
4.晏殊在《浣溪沙》中，借助“花”和“燕等意象感叹美景易逝，时光流转的语句是，。
5.书法是我国传统文化和艺术修养的重要组成部分。
请欣赏明代书法家祝枝山的书法作品（局部），依据图片中方框内的句子回答问题。
（1）关于书法字体，判断正确的一项是（）A.篆书B.隶书C.楷书D.行书（2）将“受命之日寝不安席食不甘味”正确、工整、规范地抄写下来。
（3）若将此句含义用成语表达，正确的一项是（）A.寝食不安B.夜长梦多C.食不果腹D.废寝忘食（4）在我们学过的《出师表》中，与此句意思相近的一项是（）A.五月渡泸，深入不毛B.受命以来，夙夜忧叹C.苟全性命于乱世，不求闻达于诸侯D.咨诹善道，察纳雅言6.阅读语段，按要求完成题目。
容不得束缚，容不得羁绊，容不得闭塞。
是挣脱了、冲破了① 撞开了的那么一股劲②（刘成章《安塞腰鼓》）（1）给下列加点的字注音。
①束．缚________ ②羁．绊________（2）在语段横线处应填入标点符号，正确的一项是（）A.①逗号②句号B.①破折号②问号C.①省略号②省略号D.①顿号②叹号（3）下列句子与语段没有．．相同修辞的一项是（）A.街衢睡了而路灯醒着，泥土睡了而树根醒着，鸟雀睡了而翅膀醒着。
吉林省2020年中考数学试题(Word版,含答案与解析)
吉林省2020年中考数学试卷一、单选题（共6题；共12分）1.﹣6的相反数是（）A. ﹣6B. ﹣16C. 6 D. 16【答案】C【考点】相反数及有理数的相反数【解析】【解答】−6的相反数是：6，故选C.【分析】只有符号不同的两个数互为相反数，据此判断即可.2.国务院总理李克强2020年5月22日在作政府工作报告时说，去年我国农村贫困人口减少11090000，脱贫攻坚取得决定性成就．数据V用科学记数法表示为（）A. 11.09×106B. 1.109×107C. 1.109×108D. 0.1109×108【答案】B【考点】科学记数法—表示绝对值较大的数【解析】【解答】科学记数法：将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，这种记数的方法叫做科学记数法则11090000=1.109×107故答案为：B．【分析】根据科学记数法的定义即可得．3.如图，由5个完全相同的小正方体组合成一个立体图形，它的左视图为（）A. B. C. D.【答案】A【考点】简单组合体的三视图【解析】【解答】由左视图的定义得：这个立体图形的左视图由2行1列组成，其中，每行上只有1个小正方形，1列上有2个小正方形观察四个选项可知，只有选项A符合故答案为：A．【分析】根据左视图的定义即可得．4.下列运算正确的是（）A. a2⋅a3=a6B. (a2)3=a5C. (2a)2=2a2D. a3÷a2=a【答案】 D【考点】同底数幂的乘法，同底数幂的除法，积的乘方，幂的乘方【解析】【解答】A、a2⋅a3=a2+3=a5，此项不符合题意B、(a2)3=a2×3=a6，此项不符合题意C、(2a)2=4a2，此项不符合题意D、a3÷a2=a3−2=a，此项符合题意故答案为：D．【分析】根据同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方逐项判断即可．5.将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠α的大小为（）A. 85°B. 75°C. 65°D. 60°【答案】B【考点】三角形内角和定理，直角三角形的性质【解析】【解答】解：如图所示，由一副三角板的性质可知：∠ECD=60°，∠BCA=45°，∠D=90°，∴∠ACD=∠ECD－∠BCA=60°－45°=15°，∴∠α=180°－∠D－∠ACD=180°－90°－15°=75°，故答案为：B．【分析】先根据直角三角板的性质得出∠ACD的度数，再由三角形内角和定理即可得出结论．6.如图，四边形ABCD内接于⊙O．若∠B=108°，则∠D的大小为（）A. 54°B. 62°C. 72°D. 82°【答案】C【考点】圆内接四边形的性质【解析】【解答】因为，四边形ABCD内接于⊙O，∠B=108°所以，∠D=180°- ∠B=180°−108°=72°故答案为：C【分析】根据圆内接四边形的对角互补，可求得∠D的度数．二、填空题（共8题；共8分）7.分解因式：a2−ab=________．【答案】a（a﹣b）【考点】提公因式法因式分解【解析】【解答】解：a2−ab=a（a﹣b）．故答案为a（a﹣b）．【分析】直接提取公因式a即可分解因式.8.不等式3x+1>7的解集为________．【答案】x＞2【考点】解一元一次不等式【解析】【解答】解：3x+1>7，移项：3x>7−1，合并同类项：3x>6，系数化成1：x>2，所以不等式的解集为：x>2；故答案为：x>2．【分析】移项、合并同类项、系数化为1即可得出答案．9.一元二次方程x2+3x−1=0根的判别式的值为________．【答案】13【考点】一元二次方程根的判别式及应用【解析】【解答】解：∵a=1，b=3，c=-1，∴△=b2-4ac=9+4=13．所以一元二次方程x2+3x-1=0根的判别式的值为13．故答案为：13．【分析】根据一元二次方程根的判别式△=b2-4ac即可求出值．10.我国古代数学著作《算学启蒙》中有这样一个学问题，其大意是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马x天可以追上慢马，根据题意，可列方程为________．【答案】（240-150）x=150×12【考点】一元一次方程的实际应用-行程问题【解析】【解答】解：题中已设快马x天可以追上慢马，则根据题意得：（240-150）x=150×12．故答案为：（240-150）x=150×12．【分析】根据两马的速度之差×快马出发的时间=慢马的速度×慢马提前出发的时间，即可得出关于x的一元一次方程．11.如图，某单位要在河岸l上建一个水泵房引水到C处，他们的做法是：过点C作CD⊥l于点D，将水泵房建在了D处．这样做最节省水管长度，其数学道理是________．【答案】垂线段最短【考点】垂线段最短【解析】【解答】通过比较发现：直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短．故答案为：垂线段最短．【分析】直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短．12.如图，AB//CD//EF．若ACCE =12，BD=5，则DF=________．【答案】10【考点】平行线分线段成比例【解析】【解答】解：∵AB//CD//EF，∴ACCE =BDDF，又∵ACCE =12，BD=5，∴5DF =12，∴DF=10，故答案为：10．【分析】根据平行线分线段成比例得到ACCE =BDDF，由条件即可算出DF的值．13.如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点．若△ADE的面积为12．则四边形DBCE 的面积为________．【答案】32【考点】相似三角形的判定与性质，三角形的中位线定理【解析】【解答】∵点D，E分别是边AB，AC的中点∴DE//BC,DE=12 BC∴△ADE∼△ABC∴S△ADES△ABC =(DEBC)2=14，即S△ABC=4S△ADE又∵S△ADE=12∴S△ABC=4×12=2则四边形DBCE的面积为S△ABC−S△ADE=2−12=32故答案为：32．【分析】先根据三角形中位线定理得出DE//BC,DE=12BC，再根据相似三角形的判定与性质得出S△ADE S△ABC =(DEBC)2，从而可得△ABC的面积，由此即可得出答案．14.如图，在四边形ABCD中，AB=CB，AD=CD，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，筝形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．以点B为圆心，BO长为半径画弧，分别交AB，BC于点E，F，若∠ABD=∠ACD=30°，AD=1，则EF⌢的长为________（结果保留π）．【答案】π2【考点】等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形，弧长的计算【解析】【解答】由题意知：AB=CB，AD=CD，∴△ABC和△ADC是等腰三角形，AC⊥BD．∵∠ABD=∠ACD=30°，AD=1∴OD= 12，OA= √32∴OB= 32．∵∠ABD= 30°，r=32∴∠EBF= 60°，EF⌢= 60°360°×2πr=13π×32=π2．故答案为π2．【分析】根据题意，求出OB的长；根据弧长的公式，代入数据，即可求解．三、解答题（共12题；共109分）15.先化简，再求值：(a+1)2+a(1−a)−1，其中a=√7．【答案】解：原式= a2+2a+1+a−a2−1= 3a将a=√7代入原式= 3√7．【考点】利用整式的混合运算化简求值【解析】【分析】分别依据完全平方公式和单项式乘多项式法则计算，再合并同类项，然后将a=√7代入即可．16.“中国结”是我国特有的手工编织工艺品，也是一种传统吉祥装饰物，如图，现有三张正面印有“中国结”图案的不透明卡片A，B，C，卡片除正面图案不同外，其余均相同．将三张卡片正面向下洗匀，小吉同学从中随机抽取一张卡片，记下图案后正面向下放回，洗匀后再从中随机抽取一张卡片．请用画树状图或列表的方法，求小吉同学抽出的两张卡片中含有A卡片的概率．【答案】解：解法一：画树状图，根据题意，画树状图结果如下：由树状图可以看出，所有等可能出现的概率一共有9种，而两张卡片中含有A卡片的结果有5种，所以P（小吉抽到两张卡片中有A卡片）= 59．解法二：用列表法，根据题意，列表结果如下：结果为：（第一次抽取情况，第二次抽取情况）由表可以看出，所有等可能出现的概率一共有9种，而两张卡片中含有A卡片的结果有5种，所以P（小吉抽到两张卡片中有A卡片）= 59．【考点】列表法与树状图法【解析】【分析】分别使用树状图法或列表法将小吉同学抽取卡片的结果表示出来，第一次共有3种不同的抽取情况，第二次同样也有3种不同的抽取情况，所有等可能出现的结果有9种，找出含有A卡片的抽取结果，即可算出概率．17.甲、乙二人做某种机械零件，已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙做60个所用的时间相等．求乙每小时做零件的个数．【答案】解：设乙每小时做x个零件，则甲每小时做(x+6)个零件，由题意得：90 x+6=60x，解得：x=12，经检验：x=12是分式方程的解，且符合题意，∴分式方程的解为：x=12，答：乙每小时做12个零件．【考点】分式方程的实际应用【解析】【分析】设乙每小时做x个零件，甲每小时做(x+6)个零件，根据时间=总工作量÷工作效率，即可得出关于x的分式方程，解之并检验后即可得出答案．18.如图，在ΔABC中，AB>AC，点D在边AB上，且BD=CA，过点D作DE//AC并截取DE=AB，且点C，E在AB同侧，连接BE．求证：ΔDEB≅ΔABC．【答案】证明：∵DE//AC，∴∠A=∠EDB，在△ABC和△DEB中，{BD=CA∠EDB=∠ADE=AB，∴ΔDEB≅ΔABC（SAS）．【考点】平行线的性质，三角形全等的判定（SAS）【解析】【分析】根据SAS即可证得ΔDEB≅ΔABC．19.如图①、图②、图③都是3×3的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．A，B，C均为格点．在给定的网格中，按下列要求画图：（1）在图①中，画一条不与AB重合的线段MN，使MN与AB关于某条直线对称，且M，N为格点．（2）在图②中，画一条不与AC重合的线段PQ，使PQ与AC关于某条直线对称，且P，Q为格点．（3）在图③中，画一个ΔDEF，使ΔDEF与ΔABC关于某条直线对称，且D，E，F为格点．【答案】（1）解：如图①，3×3的正方形网格的对称轴l，描出点AB关于直线l的对称点MN，连接MN即为所求；（2）解：如图②，同理（1）可得，PQ即为所求；（3）解：如图③，同理（1）可得，ΔDEF即为所求．【考点】轴对称的性质，作图﹣轴对称【解析】【分析】（1）先画出一条3×3的正方形网格的对称轴，根据对称性即可在图①中，描出点AB的对称点MN，它们一定在格点上，再连接MN即可．（2）同（1）方法可解；（3）同（1）方法可解；20.如图，某班数学小组测量塔的高度，在与塔底部B相距35m的C处，用高1.5m的测角仪CD测得该塔顶端A的仰角∠EDA为36°．求塔AB的高度（结果精确到1m）．（参考数据：sin36°= 0.59，cos36°=0.81，tan36°=0.73）【答案】解：由题意可知DE=CB=35，BE=CD=1.5，∠EDA=36°，=tan36°，在直角△ADE中，tan∠EDA=AEDE∵tan36°=0.73，∴AE=0.73，即AE=25.55，35∴AB=AE+BE=25.55+1.5=27.05≈27，因此塔AB的高度为27m．【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，可求出AE的长，从而得到AB的高度．【解析】【分析】通过tan∠EDA=AEDE21.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A，B在函数y=k(x>0)的图象上（点B的横坐x标大于点A的横坐标），点A的坐示为(2,4)，过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BC⊥x轴于点C，连接OA，AB．（1）求k的值．（2）若D为OC中点，求四边形OABC的面积．【答案】（1）解：将点A的坐标为(2,4)代入y=kx(x>0)，可得k=xy=2×4=8，∴k的值为8；（2）解：∵k的值为8，∴函数y=kx 的解析式为y=8x，∵D为OC中点，OD=2，∴OC=4，∴点B的横坐标为4，将x=4代入y=8x，可得y=2，∴点B的坐标为(4,2)，∴S四边形OABC =SΔAOD+S四边形ABCD=12×2×4+12(2+4)×2=10．【考点】待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征【解析】【分析】（1）将点A的坐标为(2,4)代入y=kx(x>0)，可得结果；（2）利用反比例函数的解析式可得点B的坐标，利用三角形的面积公式和梯形的面积公式可得结果．22.2020年3月线上授课期间，小莹、小静和小新为了解所在学校九年级600名学生居家减压方式情况，对该校九年级部分学生居家减压方式进行抽样调查，将居家减压方式分为A（享受美食）、B（交流谈心）、C（室内体育活动）、D（听音乐）和E（其他方式）五类，要求每位被调查者选择一种自己最常用的减压方式．他们将收集的数据进行了整理，绘制的统计表分别为表1、表2和表3．表1：小莹抽取60名男生居家减压方式统计表（单位：人）表2：小静随机抽取10名学生居家减压方式统计表（单位：人）表3：小新随机抽取60名学生居家减压方式统计表（单位：人）根据以上材料，回答下列问题：（1）小莹、小静和小新三人中，哪一位同学抽样调查的数据能较好地反映出该校九年级学生居家减压方式情况，并简要说明其他两位同学抽样调查的不足之处．（2）根据三人中能较好地反映出该校九年级居家减压方式的调查结果，估计该校九年级600名学生中利用室内体育活动方式进行减压的人数．【答案】（1）解：小新抽样调查所得的数据能较好地反映出该校九年级学生居家减压方式情况.小莹抽取60名男生居家减压方式统计,没有随机抽样，而且只抽取男生，样本没有代表性；小静随机抽取10名学生居家减压方式统计，样本容量太小，也没有代表性；答：小新抽样调查所得的数据能较好地反映出该校九年级学生居家减压方式情况．小莹抽取60名男生居家减压方式统计,没有随机抽样，而且只抽取男生，样本没有代表性；小静随机抽取10名学生居家减压方式统计，样本容量太小，也没有代表性（2）解：估计该校九年级600名学生中利用室内体育活动方式进行减压的人数：=260（人）600× 2660答：估计该校九年级600名学生中利用室内体育活动方式进行减压的人数是260人．【考点】全面调查与抽样调查，用样本估计总体【解析】【分析】（1）根据抽样调查的要求，所抽样本必须具有代表性，要保证所有个体都有相同的机会被抽到，样本的容量要适当；（2）根据样本的情况估计总体情况，利用室内体育活动方式进行减压的人人数：600× 266023.某种机器工作前先将空油箱加满，然后停止加油立即开始工作，当停止工作时，油箱中油量为5L．在整个过程中，油箱里的油量y（单位：L）与时间x（单位：min）之间的关系如图所示．（1）机器每分钟加油量为________L，机器工作的过程中每分钟耗油量为________L．（2）求机器工作时y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．（3）直接写出油箱中油量为油箱容积的一半时x的值．【答案】（1）3；0.5（2）解：由函数图象得：当x=10min时，机器油箱加满，并开始工作；当x=60min时，机器停止工作则自变量x的取值范围为10≤x≤60，且机器工作时的函数图象经过点(10,30),(60,5)设机器工作时y关于x的函数解析式y=kx+b将点 (10,30),(60,5) 代入得： {10k +b =3060k +b =5解得 {k =−12b =35则机器工作时y 关于x 的函数解析式 y =−12x +35 ；（3）解：设机器加油过程中的y 关于x 的函数解析式 y =ax将点 (10,30) 代入得： 10a =30解得 a =3则机器加油过程中的y 关于x 的函数解析式 y =3x油箱中油量为油箱容积的一半时，有以下两种情况：①在机器加油过程中当 y =302=15 时， 3x =15 ，解得 x =5②在机器工作过程中当 y =302=15 时， −12x +35=15 ，解得 x =40 综上，油箱中油量为油箱容积的一半时x 的值为5或40．【考点】一次函数的实际应用【解析】【解答】解：（1）由函数图象得：机器每分钟加油量为 3010=3(L)机器工作的过程中每分钟耗油量为 30−560−10=0.5(L)故答案为：3，0.5；【分析】（1）根据 10min 加油量为 30L 即可得；根据 60min 时剩余油量为 5L 即可得；（2）根据函数图象，直接利用待定系数法即可得；（3）先求出机器加油过程中的y 关于 x 的函数解析式，再求出 y =15 时，两个函数对应的x 的值即可．24.能够完全重合的平行四边形纸片 ABCD 和 AEFG 按图①方式摆放，其中 AD =AG =5 ， AB =9 ．点D ，G 分别在边 AE ， AB 上， CD 与 FG 相交于点H ．（1）（探究）求证：四边形 AGHD 是菱形．（2）（操作一）固定图①中的平行四边形纸片 ABCD ，将平行四边形纸片 AEFG 绕着点 A 顺时针旋转一定的角度，使点F 与点C 重合，如图②，则这两张平行四边形纸片未重叠部分图形的周长和为________．（3）（操作二）四边形纸片AEFG绕着点A继续顺时针旋转一定的角度，使点E与点B重合，连接DG，CF，如图③若sin∠BAD=45，则四边形DCFG的面积为________．【答案】（1）解：∵四边形ABCD和AEFG都是平行四边形∴AE//GF,AB//DC，即AD//GH,AG//DH∴四边形AGHD是平行四边形又∵AD=AG=5∴平行四边形AGHD是菱形；（2）56（3）72【考点】三角形全等及其性质，等腰三角形的判定与性质，平行四边形的性质，菱形的判定，三角形全等的判定（AAS）【解析】【解答】解：操作一：如图，设AE与DF相交于点H，AB与FG相交于点M∵四边形ABCD和AEFG是两个完全重合的平行四边形∴AD=FE,∠D=∠E，DF=AB=9在△ADH和△FEH中，{∠D=∠E∠AHD=∠FHEAD=FE∴△ADH≅△FEH(AAS)∴AH=FH，△ADH和△FEH的周长相等同理可得：△ADH≅△FEH≅△FBM≅△AGM∴△ADH、△FEH、△FBM、△AGM的周长均相等又∵AD=5,DF=AB=9∴△ADH的周长为L△ADH=AD+DH+AH=AD+DH+FH=AD+DF=14则这两张平行四边形纸片未重叠部分图形的周长和为4L△ADH=4×14=56故答案为：56；操作二：如图，设AB与DG相交于点N∵四边形ABCD和AEFG是两个完全重合的平行四边形∴AD=AG=5,CD=FG=AB=9,∠BAD=∠BAG,CD//AB//FG ∴△ADG是等腰三角形，且AB平分∠DAG∴AB⊥DG，DN=NG=12DG∴CD⊥DG在Rt△ADN中，sin∠NAD=DNAD =45，即DN5=45解得DN=4∴DG=2DN=8又∵CD//FG,CD=FG∴四边形DCFG是平行四边形∵CD⊥DG，即∠CDG=90°∴平行四边形DCFG是矩形则四边形DCFG的面积为DG⋅CD=8×9=72故答案为：72．【分析】探究：先根据平行四边形的性质可得AD//GH,AG//DH，再根据平行四边形的判定可得四边形AGHD是平行四边形，然后根据菱形的判定即可得证；操作一：先根据菱形的性质得出AD=FE,∠D=∠E，再根据三角形全等的判定定理与性质可得AH=FH，然后根据全等三角形的性质、三角形的周长公式即可得；操作二：先根据平行四边形的性质、等腰三角形的判定可得△ADG是等腰三角形，且AB平分∠DAG，再根据等腰三角形的三线合一可得AB⊥DG，DN=NG=12DG，然后利用正弦三角函数可求出DN的长，从而可得DG的长，最后根据矩形的判定可得四边形DCFG是矩形，据此利用矩形的面积公式即可得．25.如图，△ABC是等边三角形，AB=4cm，动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速运动，过点P作PQ⊥AB，交折线AC−CB于点Q，以PQ为边作等边三角形PQD，使点A，D 在PQ异侧．设点P的运动时间为x(s)(0<x<2)，△PQD与△ABC重叠部分图形的面积为y (cm2)．（1）AP的长为________ cm（用含x的代数式表示）．（2）当点D落在边BC上时，求x的值．（3）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．【答案】（1）2x（2）解：如图，∵△ABC和△PQD都是等边三角形∴∠A=∠B=∠DPQ=60°,PQ=DP∵PQ⊥AB，即∠APQ=∠BPQ=90°∴∠AQP=90°−∠A=30°，∠BPD=∠BPQ−∠DPQ=30°在△APQ和△BDP中，{∠A=∠B∠AQP=∠BPD=30°PQ=DP∴△APQ≅△BDP(AAS)∴AQ=BP∵AB=4,AP=2x∴AQ=BP=AB−AP=4−2x∵在Rt△APQ中，∠AQP=30°∴AP=12AQ，即2x=12(4−2x)解得x=23；（3）解：∵△ABC是等边三角形∴AC=BC=AB=4当点Q与点C重合时，AP=12AQ=12×4=2则2x=2，解得x=1结合（2）的结论，分以下三种情况：①如图1，当0<x≤23时，重叠部分图形为△PQD由（2）可知，等边△PQD的边长为PQ=√3AP=2√3x 由等边三角形的性质得：PQ边上的高为√32PQ=3x则y=12⋅2√3x⋅3x=3√3x2②如图2，当23<x≤1时，重叠部分图形为四边形EFPQ∵∠B=60°,∠BPD=30°∴∠BFP=180°−∠B−∠BPD=90°则在Rt△BFP中，BF=12BP=12(4−2x)=2−x，PF=√3BF=√3(2−x)∴DF=PD−PF=2√3x−√3(2−x)=3√3x−2√3在Rt△DEF中，tanD=EFDF，即EF=tan60°⋅DF=√3DF 则y=S四边形EFPQ=S△PQD−S Rt△DEF=3√3x2−12DF⋅EF=3√3x2−√32(3√3x−2√3)2=−21√32x2+18√3x−6√3③如图3，当1<x<2时，重叠部分图形为△MPQ同②可知，BM=12BP=12(4−2x)=2−x，PM=√3BM=√3(2−x)在Rt△MPQ中，tan∠MPQ=MQPM，即MQ=tan60°⋅PM=√3PM则y=S△MNP=12PM⋅MQ=√32⋅[√3(2−x)]2=3√32(x−2)2综上，当0<x≤23时，y=3√3x2；当23<x≤1时，y=−21√32x2+18√3x−6√3；当1<x<2时，y=3√32(x−2)2．【考点】三角形的面积，三角形全等及其性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，三角形全等的判定（AAS）【解析】解：（1）由题意得：AP=2x(cm)故答案为：2x；【分析】（1）根据“路程=速度×时间”即可得；（2）如图（见解析），先根据等边三角形的性质可得∠A=∠B=∠DPQ=60°,PQ=DP，再根据垂直的定义可得∠AQP=∠BPD=30°，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得AQ=BP，最后在Rt△APQ中，利用直角三角形的性质列出等式求解即可得；（3）先求出点Q与点C重合时x的值，再分0<x≤23、23<x≤1和1<x<2三种情况，然后分别利用等边三角形的性质、正切三角函数、以及三角形的面积公式求解即可得．26.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−12x2+bx+32与x轴正半轴交于点A，且点A的坐标为(3,0)，过点A作垂直于x轴的直线l．P是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m，过点P作PQ⊥l于点Q；M是直线l上的一点，其纵坐标为−m+32，以PQ，QM为边作矩形PQMN．（1）求b 的值．（2）当点Q 与点M 重合时，求m 的值．（3）当矩形 PQMN 是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求m 的值．（4）当抛物线在矩形 PQMN 内的部分所对应的函数值y 随x 的增大而减小时，直接写出m 的取值范围．【答案】 （1）解：将点 A(3,0) 代入 y =−12x 2+bx +32得 0=−12×32+3b +32 ，解得b=1,；（2）解：由（1）可得函数的解析式为 y =−12x 2+x +32 ，∴ P(m,−12m 2+m +32) ,∵ PQ ⊥l 于点Q ，∴ Q(3,−12m 2+m +32) ,∵M 是直线l 上的一点，其纵坐标为 −m +32 ，∴ M(3,−m +32) ，若点Q 与点M 重合，则−12m 2+m +32=−m +32， 解得 m 1=0,m 2=4 ；（3）解：由（2）可得 PQ =|3−m| ， MQ =|(−m +32)−(−12m 2+m +32)|=|12m 2−2m| ， 当矩形 PQMN 是正方形时， PQ =MQ即 |12m 2−2m|=|3−m| ，即 12m 2−2m =3−m 或 12m 2−2m =m −3 ，解 12m 2−2m =3−m 得 m 1=√7+1,m 2=−√7+1 ，解 12m 2−2m =m −3 得 m 3=3+√3,m 2=3−√3 ，又 y =−12x 2+x +32=−12(x −1)+2 ，∴抛物线的顶点为(1，2)，∵抛物线的顶点在该正方形内部，∴P 点在抛物线对称轴左侧，即 m <1 ，且M 点的纵坐标大于抛物线顶点的纵坐标，即 −m +32>2 ，解得m<−12，故m的值为−√7+1；（4）解：①如下图当m≤1时，若抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小，则M点的纵坐标应该小于P点纵坐标，且P点应该在x轴上侧，即−m+32<−12m2+m+32且−12m2+m+32>0，解−m+32<−12m2+m+32得0<m<4，解−12m2+m+32>0得−1<m<3，∴0<m≤1，②如下图当1<m<3时，若抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小，则M点的纵坐标应该小于P点纵坐标，即−m+32<−12m2+m+32，解得0<m<4，∴1<m<3；③当m=3时，P点和M点都在直线x=3上不构成矩形，不符合题意；④如下图当m>3时，若抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小，则M点的纵坐标应该大于P点纵坐标，即−m+32>−12m2+m+32，解得m<0或m>4，故m>4，综上所述0<m<3或m>4．【考点】正方形的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数y=ax^2+bx+c的性质【解析】【分析】（1）将A点坐标代入函数解析式即可求得b的值；（2）分别表示出P、Q、M的坐标，根据Q、M的横坐标相同，它们重合时纵坐标也相同，列出方程求解即可；（3）分别表示出PQ和MQ的长度，根据矩形PQMN是正方形时PQ=MQ，即可求得m的值，再根据顶点在正方形内部，排除不符合条件的m的值；（4）分m≤1，1<m<3，m=3，m>3四种情况讨论，结合图形分析即可．。
2020年吉林省长春市中考数学试题(解析版)
2020年吉林省长春市中考数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）如图，数轴上被墨水遮盖的数可能为（）A．﹣1B．﹣1.5C．﹣3D．﹣4.22．（3分）为了增加青少年的校外教育活动场所，长春市将建成面积约为79000平方米的新少年宫，预计2020年12月正式投入使用．79000这个数用科学记数法表示为（）A．79×103B．7.9×104C．0.79×105D．7.9×1053．（3分）下列图形是四棱柱的侧面展开图的是（）A．B．C．D．4．（3分）不等式x+2≥3的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．5．（3分）比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示，设塔顶中心点为点B，塔身中心线AB与垂直中心线AC的夹角为∠A，过点B向垂直中心线AC引垂线，垂足为点D．通过测量可得AB、BD、AD的长度，利用测量所得的数据计算∠A的三角函数值，进而可求∠A的大小．下列关系式正确的是（）A．sin A＝B．cos A＝C．tan A＝D．sin A＝6．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠BDC＝20°，则∠AOC的大小为（）A．40°B．140°C．160°D．170°7．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＞AC．按下列步骤作图：①分别以点B和点C为圆心，大于BC一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N；②作直线MN，与边AB相交于点D，连结CD．下列说法不一定正确的是（）A．∠BDN＝∠CDN B．∠ADC＝2∠BC．∠ACD＝∠DCB D．2∠B+∠ACD＝90°8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，2），AB⊥x轴于点B，点C是线段OB上的点，连结AC．点P在线段AC上，且AP＝2PC，函数y＝（x＞0）的图象经过点P．当点C在线段OB上运动时，k的取值范围是（）A．0＜k≤2B．≤k≤3C．≤k≤2D．≤k≤4二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．（3分）长春市净月潭国家森林公园门票的价格为成人票每张30元，儿童票每张15元．若购买m张成人票和n张儿童票，则共需花费元．10．（3分）分解因式：a2﹣4＝．11．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为．12．（3分）正五边形的一个外角的大小为度．13．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，以点C为圆心，线段CA的长为半径作，交CB的延长线于点D，则阴影部分的面积为（结果保留π）．14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（4，2）．若抛物线y＝﹣（x﹣h）2+k（h、k为常数）与线段AB交于C、D两点，且CD＝AB，则k的值为．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．（6分）先化简，再求值：（a﹣3）2+2（3a﹣1），其中a＝．16．（6分）现有三张不透明的卡片，其中两张卡片的正面图案为“神舟首飞”，第三张卡片的正面图案为“保卫和平”，卡片除正面图案不同外，其余均相同．将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的概率．（图案为“神舟首飞”的两张卡片分别记为A1、A2，图案为“保卫和平”的卡片记为B）17．（6分）图①、图②、图③均是3×3的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求以AB为边画△ABC．要求：（1）在图①中画一个钝角三角形，在图②中画一个直角三角形，在图③中画一个锐角三角形；（2）三个图中所画的三角形的面积均不相等；（3）点C在格点上．18．（7分）在国家精准扶贫的政策下，某村企生产的黑木耳获得了国家绿色食品标准认证，绿标的认证，使该村企的黑木耳在市场上更有竞争力，今年每斤黑木耳的售价比去年增加了20元．预计今年的销量是去年的3倍，年销售额为360万元．已知去年的年销售额为80万元，问该村企去年黑木耳的年销量为多少万斤？19．（7分）如图，在▱ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．（1）求证：OE＝OF．（2）若BE＝5，OF＝2，求tan∠OBE的值．20．（7分）空气质量按照空气质量指数大小分为六个级别，分别为：一级优、二级良、三级轻度污染、四级中度污染、五级重度污染、六级严重污染．级别越高，说明污染的情况越严重，对人体的健康危害也就越大．空气质量达到一级优或二级良的天气为达标天气，如图是长春市从2014年到2019年的空气质量级别天数的统计图表．2014﹣2019年长春市空气质量级别天数统计表优良轻度污染中度污染重度污染严重污染空气质量级别天数年份201430215732813620154319387191582016512375815502017652116216922018123202390102019126180381650根据上面的统计图表回答下列问题：（1）长春市从2014年到2019年空气质量为“达标”的天数最多的是年．（2）长春市从2014年到2019年空气质量为“重度污染”的天数的中位数为天，平均数为天．（3）长春市从2015年到2019年，和前一年相比，空气质量为“优”的天数增加最多的是年，这一年空气质量为“优”的天数的年增长率约为（精确到1%）．（空气质量为“优”的天数的增长率＝×100%）（4）你认为长春市从2014年到2019年哪一年的空气质量好？请说明理由．21．（8分）已知A、B两地之间有一条长240千米的公路．甲车从A地出发匀速开往B地，甲车出发两小时后，乙车从B地出发匀速开往A地，两车同时到达各自的目的地．两车行驶的路程之和y（千米）与甲车行驶的时间x（时）之间的函数关系如图所示．（1）甲车的速度为千米/时，a的值为．（2）求乙车出发后，y与x之间的函数关系式．（3）当甲、乙两车相距100千米时，求甲车行驶的时间．22．（9分）【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第121页的部分内容．1．把一张矩形纸片如图那样折一下，就可以裁出正方形纸片，为什么？【问题解决】如图①，已知矩形纸片ABCD（AB＞AD），将矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在边DC上，点A的对应点为A′，折痕为DE，点E在AB上．求证：四边形AEA′D是正方形．【规律探索】由【问题解决】可知，图①中的△A′DE为等腰三角形．现将图①中的点A′沿DC向右平移至点Q处（点Q在点C的左侧），如图②，折痕为PF，点F在DC 上，点P在AB上，那么△PQF还是等腰三角形吗？请说明理由．【结论应用】在图②中，当QC＝QP时，将矩形纸片继续折叠如图③，使点C与点P 重合，折痕为QG，点G在AB上．要使四边形PGQF为菱形，则＝．23．（10分）如图①，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3．点P从点A出发，沿折线AB﹣BC以每秒5个单位长度的速度向点C运动，同时点D从点C出发，沿CA以每秒2个单位长度的速度向点A运动，点P到达点C时，点P、D同时停止运动．当点P不与点A、C重合时，作点P关于直线AC的对称点Q，连结PQ交AC于点E，连结DP、DQ．设点P的运动时间为t秒．（1）当点P与点B重合时，求t的值．（2）用含t的代数式表示线段CE的长．（3）当△PDQ为锐角三角形时，求t的取值范围．（4）如图②，取PD的中点M，连结QM．当直线QM与△ABC的一条直角边平行时，直接写出t的值．24．（12分）在平面直角坐标系中，函数y＝x2﹣2ax﹣1（a为常数）的图象与y轴交于点A．（1）求点A的坐标．（2）当此函数图象经过点（1，2）时，求此函数的表达式，并写出函数值y随x的增大而增大时x的取值范围．（3）当x≤0时，若函数y＝x2﹣2ax﹣1（a为常数）的图象的最低点到直线y＝2a的距离为2，求a的值．（4）设a＜0，Rt△EFG三个顶点的坐标分别为E（﹣1，﹣1）、F（﹣1，a﹣1）、G（0，a﹣1）．当函数y＝x2﹣2ax﹣1（a为常数）的图象与△EFG的直角边有交点时，交点记为点P．过点P作y轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为P′（P′与P不重合），过点A作y轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为A′．若AA′＝2PP′，直接写出a的值．2020年吉林省长春市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）如图，数轴上被墨水遮盖的数可能为（）A．﹣1B．﹣1.5C．﹣3D．﹣4.2【分析】由数轴上数的特征可得该数的取值范围，再进行判断即可．【解答】解：由数轴上墨迹的位置可知，该数大于﹣4，且小于﹣2，因此备选项中，只有选项C符合题意，故选：C．2．（3分）为了增加青少年的校外教育活动场所，长春市将建成面积约为79000平方米的新少年宫，预计2020年12月正式投入使用．79000这个数用科学记数法表示为（）A．79×103B．7.9×104C．0.79×105D．7.9×105【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．【解答】解：79000这个数用科学记数法表示为：7.9×104．故选：B．3．（3分）下列图形是四棱柱的侧面展开图的是（）A．B．C．D．【分析】根据四棱柱的侧面展开图是矩形而且有4条棱进行解答即可．【解答】解：由四棱柱的特点可知：四棱柱的侧面展开图是矩形而且有4条棱．故选：A．4．（3分）不等式x+2≥3的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项可得．【解答】解：x≥3﹣2，x≥1，故选：D．5．（3分）比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示，设塔顶中心点为点B，塔身中心线AB与垂直中心线AC的夹角为∠A，过点B向垂直中心线AC引垂线，垂足为点D．通过测量可得AB、BD、AD的长度，利用测量所得的数据计算∠A的三角函数值，进而可求∠A的大小．下列关系式正确的是（）A．sin A＝B．cos A＝C．tan A＝D．sin A＝【分析】根据直角三角形的边角关系，即锐角三角函数逐个进行判断即可．【解答】解：在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，则sin A＝，cos A＝，tan A＝，因此选项A正确，选项B、C、D不正确；故选：A．6．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠BDC＝20°，则∠AOC的大小为（）A．40°B．140°C．160°D．170°【分析】先利用圆周角定理得到∠BOC＝40°，然后根据邻补角的定义计算出∠AOC的度数．【解答】解：∵∠BOC＝2∠BDC＝2×20°＝40°，∴∠AOC＝180°﹣40°＝140°．故选：B．7．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＞AC．按下列步骤作图：①分别以点B和点C为圆心，大于BC一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N；②作直线MN，与边AB相交于点D，连结CD．下列说法不一定正确的是（）A．∠BDN＝∠CDN B．∠ADC＝2∠BC．∠ACD＝∠DCB D．2∠B+∠ACD＝90°【分析】利用线段的垂直平分线的性质以及三角形内角和定理一一判断即可．【解答】解：由作图可知，MN垂直平分线段BC，∴DB＝DC，MN⊥BC，∴∠BDN＝∠CDN，∠DBC＝∠DCB，∴∠ADC＝∠B+∠DCB＝2∠B，∵∠A＝90°，∴∠ADC+∠ACD＝90°，∴2∠B+∠ACD＝90°，故选项A，B，D正确，故选：C．8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，2），AB⊥x轴于点B，点C是线段OB上的点，连结AC．点P在线段AC上，且AP＝2PC，函数y＝（x＞0）的图象经过点P．当点C在线段OB上运动时，k的取值范围是（）A．0＜k≤2B．≤k≤3C．≤k≤2D．≤k≤4【分析】设C（c，0）（0≤c≤3），过P作PD⊥x轴于点D，由△PCD∽△ACB，用c表示P点坐标，再求得k关于c的解析式，最后由不等式的性质求得k的取值范围．【解答】解：∵点A的坐标为（3，2），AB⊥x轴于点B，∴OB＝3，AB＝2，设C（c，0）（0≤c≤3），过P作PD⊥x轴于点D，则BC＝3﹣c，PD∥AB，OC＝c，∴△PCD∽△ACB，∴，∵AP＝2PC，∴，∴PD＝，CD＝1﹣c，∴OD＝OC+CD＝1+c，∴P（1+c，），把P（1+c，）代入函数y＝（x＞0）中，得k＝c，∵0≤c≤3∴，故选：C．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．（3分）长春市净月潭国家森林公园门票的价格为成人票每张30元，儿童票每张15元．若购买m张成人票和n张儿童票，则共需花费（30m+15n）元．【分析】根据单价×数量＝总价，用代数式表示结果即可．【解答】解：根据单价×数量＝总价得，共需花费（30m+15n）元，故答案为：（30m+15n）．10．（3分）分解因式：a2﹣4＝（a+2）（a﹣2）．【分析】有两项，都能写成完全平方数的形式，并且符号相反，可用平方差公式展开．【解答】解：a2﹣4＝（a+2）（a﹣2）．11．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为1．【分析】由于关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，可知其判别式为0，据此列出关于m的方程，解答即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，∴△＝0，∴（﹣2）2﹣4m＝0，∴m＝1，故答案为：1．12．（3分）正五边形的一个外角的大小为72度．【分析】根据多边形的外角和是360°，依此即可求解．【解答】解：正五边形的一个外角＝＝72°．故答案为：72．13．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，以点C为圆心，线段CA的长为半径作，交CB的延长线于点D，则阴影部分的面积为π﹣2（结果保留π）．【分析】利用勾股定理求出AC，证明∠C＝45°，根据S阴＝S扇形CAD﹣S△ACB计算即可．【解答】解：∵AB＝CB＝2，∠ABC＝90°，∴AC＝＝＝2，∴∠C＝∠BAC＝45°，∴S阴＝S扇形CAD﹣S△ACB＝﹣×2×2＝π﹣2，故答案为π﹣2．14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（4，2）．若抛物线y＝﹣（x﹣h）2+k（h、k为常数）与线段AB交于C、D两点，且CD＝AB，则k的值为．【分析】根据题意，可以得到点C的坐标和h的值，然后将点C的坐标代入抛物线的解析式，即可得到k的值，本题得以解决．【解答】解：∵点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（4，2），∴AB＝4，∵抛物线y＝﹣（x﹣h）2+k（h、k为常数）与线段AB交于C、D两点，且CD＝AB＝2，∴设点C的坐标为（c，2），则点D的坐标为（c+2，2），h＝＝c+1，∴抛物线2＝﹣[c﹣（c+1）]2+k，解得，k＝．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．（6分）先化简，再求值：（a﹣3）2+2（3a﹣1），其中a＝．【分析】根据整式的混合运算顺序进行化简，再代入值求解即可．【解答】解：原式＝a2﹣6a+9+6a﹣2＝a2+7．当a＝时，原式＝（）2+7＝9．16．（6分）现有三张不透明的卡片，其中两张卡片的正面图案为“神舟首飞”，第三张卡片的正面图案为“保卫和平”，卡片除正面图案不同外，其余均相同．将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的概率．（图案为“神舟首飞”的两张卡片分别记为A1、A2，图案为“保卫和平”的卡片记为B）【分析】根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．【解答】解：根据题意画图如下：共有9种等可能的情况数，其中两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的有1种，则两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的概率是．17．（6分）图①、图②、图③均是3×3的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求以AB为边画△ABC．要求：（1）在图①中画一个钝角三角形，在图②中画一个直角三角形，在图③中画一个锐角三角形；（2）三个图中所画的三角形的面积均不相等；（3）点C在格点上．【分析】根据网格画出符合条件的三个三角形即可．【解答】解：如图所示：即为符合条件的三角形．18．（7分）在国家精准扶贫的政策下，某村企生产的黑木耳获得了国家绿色食品标准认证，绿标的认证，使该村企的黑木耳在市场上更有竞争力，今年每斤黑木耳的售价比去年增加了20元．预计今年的销量是去年的3倍，年销售额为360万元．已知去年的年销售额为80万元，问该村企去年黑木耳的年销量为多少万斤？【分析】设该村企去年黑木耳的年销量为x万斤，则今年黑木耳的年销量为3x万斤，根据单价＝总价÷数量结合今年每斤黑木耳的售价比去年增加了20元，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．【解答】解：设该村企去年黑木耳的年销量为x万斤，则今年黑木耳的年销量为3x万斤，依题意，得：﹣＝20，解得：x＝2，经检验，x＝2是原方程的解，且符合题意．答：该村企去年黑木耳的年销量为2万斤．19．（7分）如图，在▱ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．（1）求证：OE＝OF．（2）若BE＝5，OF＝2，求tan∠OBE的值．【分析】（1）由平行四边形性质得OB＝OD，由AAS证得△OEB≌△OFD，即可得出结论；（2）由（1）得OE＝OF，则OE＝2，在Rt△OEB中，由三角函数定义即可得出结果．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，∵BE⊥AC，DF⊥AC，∴∠OEB＝∠OFD＝90°，在△OEB和△OFD中，，∴△OEB≌△OFD（AAS），∴OE＝OF；（2）解：由（1）得：OE＝OF，∵OF＝2，∴OE＝2，∵BE⊥AC，∴∠OEB＝90°，在Rt△OEB中，tan∠OBE＝＝．20．（7分）空气质量按照空气质量指数大小分为六个级别，分别为：一级优、二级良、三级轻度污染、四级中度污染、五级重度污染、六级严重污染．级别越高，说明污染的情况越严重，对人体的健康危害也就越大．空气质量达到一级优或二级良的天气为达标天气，如图是长春市从2014年到2019年的空气质量级别天数的统计图表．2014﹣2019年长春市空气质量级别天数统计表优良轻度污染中度污染重度污染严重污染空气质量级别天数年份201430215732813620154319387191582016512375815502017652116216922018123202390102019126180381650根据上面的统计图表回答下列问题：（1）长春市从2014年到2019年空气质量为“达标”的天数最多的是2018年．（2）长春市从2014年到2019年空气质量为“重度污染”的天数的中位数为7天，平均数为8天．（3）长春市从2015年到2019年，和前一年相比，空气质量为“优”的天数增加最多的是2018年，这一年空气质量为“优”的天数的年增长率约为89%（精确到1%）．（空气质量为“优”的天数的增长率＝×100%）（4）你认为长春市从2014年到2019年哪一年的空气质量好？请说明理由．【分析】（1）从折线统计图可得答案；（2）利用中位数、众数的意义分别计算即可；（3）分别计算从2015年到2019年，和前一年相比，空气质量为“优”的天数，进而利用增长率计算结果；（4）根据空气质量的等级天数进行判断即可．【解答】解：（1）从折线统计图中“达标”天数的折线的最高点，相应的年份为2018年，故答案为：2018；（2）将这6年的“重度污染”的天数从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为＝7，因此中位数是7天，这6年的“重度污染”的天数的平均数为＝8天，故答案为：7，8；（3）前一年相比，空气质量为“优”的天数增加量为：2015年，43﹣30＝13天；2016年，51﹣43＝8天；2017年，65﹣51＝14天；2018年，123﹣65＝58天；2019年，126﹣123＝3天，因此空气质量为“优”的天数增加最多的是2018年，增长率为≈89%，故答案为：2018，89%；（4）从统计表中数据可知，2018年空气质量好，2018年“达标天数”最多，重度污染、中度污染、严重污染的天数最少．21．（8分）已知A、B两地之间有一条长240千米的公路．甲车从A地出发匀速开往B地，甲车出发两小时后，乙车从B地出发匀速开往A地，两车同时到达各自的目的地．两车行驶的路程之和y（千米）与甲车行驶的时间x（时）之间的函数关系如图所示．（1）甲车的速度为40千米/时，a的值为480．（2）求乙车出发后，y与x之间的函数关系式．（3）当甲、乙两车相距100千米时，求甲车行驶的时间．【分析】（1）根据图象可知甲车行驶2行驶所走路程为80千米，据此即可求出甲车的速度；进而求出甲车行驶6小时所走的路程为240千米，根据两车同时到达各自的目的地可得a＝240×2＝480；（2）运用待定系数法解得即可；（3）分两车相遇前与相遇后两种情况列方程解答即可．【解答】解：（1）由题意可知，甲车的速度为：80÷2＝40（千米/时）；a＝40×6×2＝480，故答案为：40；480；（2）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，由图可知，函数图象经过（2，80），（6，480），∴，解得，∴y与x之间的函数关系式为y＝100x﹣120；（3）两车相遇前：80+100（x﹣2）＝240﹣100，解得x＝；两车相遇后：80+100（x﹣2）＝240+100，解得x＝，答：当甲、乙两车相距100千米时，甲车行驶的时间是小时或小时．22．（9分）【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第121页的部分内容．1．把一张矩形纸片如图那样折一下，就可以裁出正方形纸片，为什么？【问题解决】如图①，已知矩形纸片ABCD（AB＞AD），将矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在边DC上，点A的对应点为A′，折痕为DE，点E在AB上．求证：四边形AEA′D是正方形．【规律探索】由【问题解决】可知，图①中的△A′DE为等腰三角形．现将图①中的点A′沿DC向右平移至点Q处（点Q在点C的左侧），如图②，折痕为PF，点F在DC 上，点P在AB上，那么△PQF还是等腰三角形吗？请说明理由．【结论应用】在图②中，当QC＝QP时，将矩形纸片继续折叠如图③，使点C与点P 重合，折痕为QG，点G在AB上．要使四边形PGQF为菱形，则＝．【分析】（1）根据邻边相等的矩形是正方形证明即可．（2）证明∠QFP＝∠FPQ即可解决问题．（3）证明△PFQ，△PGA都是等边三角形，设QF＝m，求出AB，AD（用m表示）即可解决问题．【解答】（1）证明：如图①中，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ADA′＝90°，由翻折可知，∠DA′E＝∠A＝90°，∴∠A＝∠ADA′＝∠DA′E＝90°，∴四边形AEA′D是矩形，∵DA＝DA′，∴四边形AEA′D是正方形．（2）解：结论：△PQF是等腰三角形．理由：如图②中，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠QFP＝∠APF，由翻折可知，∠APF＝∠FPQ，∴∠QFP＝∠FPQ，∴QF＝QP，∴△PFQ是等腰三角形．（3）如图③中，∵四边形PGQF是菱形，∴PG＝GQ＝FQ＝PF，∵QF＝QP，∴△PFQ，△PGQ都是等边三角形，设QF＝m，∵∠FQP＝60°，∠PQD′＝90°，∴∠DQD′＝30°，∵∠D′＝90°，∴FD′＝DF＝FQ＝m，QD′＝D′F＝m，由翻折可知，AD＝QD′＝m，PQ＝CQ＝FQ＝m，∴AB＝CD＝DF+FQ+CQ＝m，∴＝＝．故答案为．23．（10分）如图①，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3．点P从点A出发，沿折线AB﹣BC以每秒5个单位长度的速度向点C运动，同时点D从点C出发，沿CA以每秒2个单位长度的速度向点A运动，点P到达点C时，点P、D同时停止运动．当点P不与点A、C重合时，作点P关于直线AC的对称点Q，连结PQ交AC于点E，连结DP、DQ．设点P的运动时间为t秒．（1）当点P与点B重合时，求t的值．（2）用含t的代数式表示线段CE的长．（3）当△PDQ为锐角三角形时，求t的取值范围．（4）如图②，取PD的中点M，连结QM．当直线QM与△ABC的一条直角边平行时，直接写出t的值．【分析】（1）根据AB＝4，构建方程求解即可．（2）分两种情形：当点P在线段AB上时，首先利用勾股定理求出AC，再求出AE即可解决问题．当点P在线段BC上时，在Rt△PCE中，求出EC即可．（3）求出两种特殊情形下△PDQ是等腰直角三角形时t的值，即可求解当△PDQ为锐角三角形时t的取值范围．（4）分两种情形：如图⑥中，当点P在线段AB上，QM∥AB时．如图⑦中，当点P 在线段BC上，QM∥BC时，分别求解即可．【解答】解：（1）当点P与B重合时，5t＝4，解得t＝．（2）在Rt△ABC中，∵∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，∴AC＝＝＝5，∴sin A＝，cos A＝，如图①中，当点P在线段AB上时，在Rt△APE中，AE＝AP•cos A＝4t，∴EC＝5﹣4t．如图③中，当点P在线段BC上时，在Rt△PEC中，PC＝7﹣5t，cos C＝，∴EC＝PC•cos C＝（7﹣5t）＝﹣3t．（3）当△PDQ是等腰直角三角形时，则PE＝DE，如图④中，当点P在线段AB上时，在Rt△APE中，PE＝P A•sin A＝3t，∵DE＝AC﹣AE﹣CD＝5﹣4t﹣2t＝5﹣6t，∵PE＝DE，∴3t＝5﹣6t，∴t＝．如图⑤中，当点P在线段BC上时，在Rt△PCE中，PE＝PC•sin C＝（7﹣5t）＝﹣4t，∵DE＝CD﹣CE＝2t﹣（7﹣5t）＝5t﹣，∴﹣4t＝5t﹣，解得t＝．∵△PDQ是锐角三角形，∴观察图象可知满足条件的t的值为0＜t＜或＜t＜．（4）如图⑥中，当点P在线段AB上，QM∥AB时，过点Q作QG⊥AB于G，延长QM交BC于N，过点D作DH⊥BC于H．∵PB∥MN∥DH，PM＝DM，∴BN＝NH，在Rt△PQG中，PQ＝2PE＝6t，∴QG＝PQ＝t，在Rt△DCH中，HC＝DC＝t，∵BC＝BH+CH＝t+t+t＝3，解得t＝．如图⑦中，当点P在线段BC上，QM∥BC时，过点D作DH⊥BC于H，过点P作PK⊥QM于K．∵QM∥BC，DM＝PM，∴DH＝2PK，在Rt△PQK中，PQ＝2PE＝（7﹣5t），∴PK＝PQ＝（7﹣5t），在Rt△DCH中，DH＝DC＝t，∵DH＝2PK，∴t＝2×（7﹣5t），解得t＝，综上所述，满足条件的t的值为或．24．（12分）在平面直角坐标系中，函数y＝x2﹣2ax﹣1（a为常数）的图象与y轴交于点A．（1）求点A的坐标．（2）当此函数图象经过点（1，2）时，求此函数的表达式，并写出函数值y随x的增大而增大时x的取值范围．（3）当x≤0时，若函数y＝x2﹣2ax﹣1（a为常数）的图象的最低点到直线y＝2a的距离为2，求a的值．（4）设a＜0，Rt△EFG三个顶点的坐标分别为E（﹣1，﹣1）、F（﹣1，a﹣1）、G（0，a﹣1）．当函数y＝x2﹣2ax﹣1（a为常数）的图象与△EFG的直角边有交点时，交点记为点P．过点P作y轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为P′（P′与P不重合），过点A作y轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为A′．若AA′＝2PP′，直接写出a的值．【分析】（1）当x＝0时，代入y＝x2﹣2ax﹣1，即可得出结果；（2）将点（1，2）代入y＝x2﹣2ax﹣1，得a＝﹣1，则函数的表达式为y＝x2+2x﹣1，由y＝x2+2x﹣1＝（x+1）2﹣2，得出抛物线的开口向上，对称轴为x＝﹣1，则当x＞﹣1时，y随x的增大而增大；（3）抛物线y＝x2﹣2ax﹣1＝（x﹣a）2﹣a2﹣1的对称轴为x＝a，顶点坐标为（a，﹣a2﹣1），当a＞0时，对称轴在y轴右侧，最低点就是A（0，﹣1），则2a﹣（﹣1）＝2，即可得出结果；当a＜0，对称轴在y轴左侧，顶点（a，﹣a2﹣1）就是最低点，则2a﹣（﹣a2﹣1）＝2，即可得出结果；（4）易证直角边为EF与FG，由抛物线的对称轴为x＝a，A（0，﹣1），则AA′＝﹣2a，当点P在EF边上时，PP′＝2（a+1），则﹣2a＝2×2（a+1），即可得出结果；当点P 在FG边上时，求出PP′＝2，则﹣2a＝4，即可得出结果．【解答】解：（1）当x＝0时，y＝x2﹣2ax﹣1＝﹣1，∴点A的坐标为：（0，﹣1）；（2）将点（1，2）代入y＝x2﹣2ax﹣1，得：2＝1﹣2a﹣1，解得：a＝﹣1，∴函数的表达式为：y＝x2+2x﹣1，∵y＝x2+2x﹣1＝（x+1）2﹣2，∴抛物线的开口向上，对称轴为x＝﹣1，如图1所示：∴当x＞﹣1时，y随x的增大而增大；（3）抛物线y＝x2﹣2ax﹣1＝（x﹣a）2﹣a2﹣1的对称轴为：x＝a，顶点坐标为：（a，﹣a2﹣1），当a＞0时，对称轴在y轴右侧，如图2所示：∵x≤0，∴最低点就是A（0，﹣1），∵图象的最低点到直线y＝2a的距离为2，∴2a﹣（﹣1）＝2，解得：a＝；当a＜0，对称轴在y轴左侧，顶点（a，﹣a2﹣1）就是最低点，如图3所示：∴2a﹣（﹣a2﹣1）＝2，整理得：（a+1）2＝2，解得：a1＝﹣1﹣，a2＝﹣1+（不合题意舍去）；综上所述，a的值为或﹣1﹣；（4）∵a＜0，Rt△EFG三个顶点的坐标分别为E（﹣1，﹣1）、F（﹣1，a﹣1）、G（0，a﹣1），∴直角边为EF与FG，∵抛物线y＝x2﹣2ax﹣1＝（x﹣a）2﹣a2﹣1的对称轴为：x＝a，A（0，﹣1），∴AA′＝﹣2a，当点P在EF边上时，如图4所示：则x p＝﹣1，∵EA＝OA＝1，∴点P在对称轴x＝a的左侧，∴PP′＝2（a+1），∵AA′＝2PP′，∴﹣2a＝2×2（a+1），解得：a＝﹣；当点P在FG边上时，如图5所示：则y p＝a﹣1，∴x2﹣2ax﹣1＝a﹣1，解得：x1＝a+，x2＝a﹣，∴PP′＝a+﹣（a﹣）＝2，∵AA′＝2PP′，∴﹣2a＝4，解得：a1＝﹣，a2＝0（不合题意舍去）；综上所述，a的值为﹣或﹣．第31页（共31页）。
2020年吉林省中考数学试卷及答案解析
2020年吉林省中考数学试卷一、单项选择题（每小题2分，共12分）1．（2分）﹣6的相反数是（ ）A ．6B ．﹣6C ．16D ．−162．（2分）国务院总理李克强2020年5月22日在作政府工作报告时说，去年我国农村贫困人口减少11090000，脱贫攻坚取得决定性成就．数据11090000用科学记数法表示为（） A ．11.09×106 B ．1.109×107 C ．1.109×108 D ．0.1109×1083．（2分）如图，由5个完全相同的小正方体组合成一个立体图形，它的左视图为（）A ．B ．C ．D ．4．（2分）下列运算正确的是（ ）A ．a 2•a 3＝a 6B ．（a 2）3＝a 5C ．（2a ）2＝2a 2D ．a 3÷a 2＝a5．（2分）将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠α的大小为（ ）A ．85°B ．75°C ．65°D ．60°6．（2分）如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，若∠B ＝108°，则∠D 的大小为（ ）A ．54°B ．62°C ．72°D ．82°二、填空题（每小题3分，共24分）7．（3分）分解因式：a 2﹣ab ＝ ．8．（3分）不等式3x +1＞7的解集为 ．9．（3分）一元二次方程x 2+3x ﹣1＝0根的判别式的值为 ．10．（3分）我国古代数学著作《算学启蒙》中有这样一个数学问题，其大意是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马x 天可以追上慢马，根据题意，可列方程为 ．11．（3分）如图，某单位要在河岸l 上建一个水泵房引水到C 处．他们的做法是：过点C作CD ⊥l 于点D ，将水泵房建在了D 处．这样做最节省水管长度，其数学道理是 ．12．（3分）如图，AB ∥CD ∥EF ．若AC CE =12，BD ＝5，则DF ＝ ．13．（3分）如图，在△ABC 中，D ，E 分别是边AB ，AC 的中点．若△ADE 的面积为12，则四边形DBCE 的面积为 ．14．（3分）如图，在四边形ABCD 中，AB ＝CB ，AD ＝CD ，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．筝形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ．以点B 为圆心，BÔ的长为半径画弧，分别交AB，BC于点E，F．若∠ABD＝∠ACD＝30°，AD＝1，则EF长为（结果保留π）．三、解答题（每小题5分，共20分）15．（5分）先化简，再求值：（a+1）2+a（1﹣a）﹣1，其中a=√7．16．（5分）“中国结”是我国特有的手工编织工艺品，也是一种传统吉祥装饰物．如图，现有三张正面印有“中国结”图案的不透明卡片A，B，C，卡片除正面图案不同外，其余均相同．将三张卡片正面向下洗匀，小吉同学从中随机抽取一张卡片，记下图案后正面向下放回，洗匀后再从中随机抽取一张卡片，请用画树状图或列表的方法，求小吉同学抽出的两张卡片中含有A卡片的概率．17．（5分）甲、乙二人做某种机械零件．已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙做60个所用的时间相等．求乙每小时做零件的个数．18．（5分）如图，在△ABC中，AB＞AC，点D在边AB上，且BD＝CA，过点D作DE∥AC，并截取DE＝AB，且点C，E在AB同侧，连接BE．求证：△DEB≌△ABC．四、解答题（每小题7分，共28分）19．（7分）图①、图②、图③都是3×3的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．A，B，C均为格点．在给定的网格中，按下列要求画图：（1）在图①中，画一条不与AB重合的线段MN，使MN与AB关于某条直线对称，且M，N为格点．（2）在图②中，画一条不与AC重合的线段PQ，使PQ与AC关于某条直线对称，且P，Q为格点．（3）在图③中，画一个△DEF，使△DEF与△ABC关于某条直线对称，且D，E，F为格点．20．（7分）如图，某班数学小组测量塔的高度，在与塔底部B相距35m的C处，用高1.5m 的测角仪CD测得该塔顶端A的仰角∠EDA为36°．求塔AB的高度（结果精确到1m）．（参考数据：sin36°＝0.59，cos36°＝0.81，tan36°＝0.73）21．（7分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A，B在函数y=kx（x＞0）的图象上（点B的横坐标大于点A的横坐标），点A的坐标为（2，4），过点A作AD⊥x 轴于点D，过点B作BC⊥x轴于点C，连接OA，AB．（1）求k的值．（2）若D为OC中点，求四边形OABC的面积．22．（7分）2020年3月线上授课期间，小莹、小静和小新为了解所在学校九年级600名学生居家减压方式情况，对该校九年级部分学生居家减压方式进行抽样调查．将居家减压方式分为A（享受美食）、B（交流谈心）、C（室内体育活动）、D（听音乐）和E（其他方式）五类，要求每位被调查者选择一种自己最常用的减压方式．他们将收集的数据进行了整理，绘制的统计表分别为表1、表2和表3．表1：小莹抽取60名男生居家减压方式统计表（单位：人）减压方式A B C D E人数463785表2：小静随机抽取10名学生居家减压方式统计表（单位：人）减压方式A B C D E人数21331表3：小新随机抽取60名学生居家减压方式统计表（单位：人）减压方式A B C D E人数65261310根据以上材料，回答下列问题：（1）小莹、小静和小新三人中，哪一位同学抽样调查的数据能较好地反映出该校九年级学生居家减压方式情况，并简要说明其他两位同学抽样调查的不足之处．（2）根据三人中能较好地反映出该校九年级居家减压方式的调查结果，估计该校九年级600名学生中利用室内体育活动方式进行减压的人数．五、解答题（每小题8分，共16分）23．（8分）某种机器工作前先将空油箱加满，然后停止加油立即开始工作．当停止工作时，油箱中油量为5L，在整个过程中，油箱里的油量y（单位：L）与时间x（单位：min）之间的关系如图所示．（1）机器每分钟加油量为L，机器工作的过程中每分钟耗油量为L．（2）求机器工作时y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．（3）直接写出油箱中油量为油箱容积的一半时x的值．24．（8分）能够完全重合的平行四边形纸片ABCD和AEFG按图①方式摆放，其中AD＝AG＝5，AB＝9．点D，G分别在边AE，AB上，CD与FG相交于点H．【探究】求证：四边形AGHD是菱形．【操作一】固定图①中的平行四边形纸片ABCD，将平行四边形纸片AEFG绕着点A顺时针旋转一定的角度，使点F与点C重合，如图②．则这两张平行四边形纸片未重叠部分图形的周长和为．【操作二】将图②中的平行四边形纸片AEFG绕着点A继续顺时针旋转一定的角度，使点E与点B重合，连接DG，CF，如图③，若sin∠BAD=45，则四边形DCFG的面积为．六、解答题（每小题10分，共20分）25．（10分）如图，△ABC是等边三角形，AB＝4cm，动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速运动，过点P作PQ⊥AB，交折线AC﹣CB于点Q，以PQ为边作等边三角形PQD，使点A，D在PQ异侧．设点P的运动时间为x（s）（0＜x＜2），△PQD 与△ABC重叠部分图形的面积为y（cm2）．（1）AP的长为cm（用含x的代数式表示）．（2）当点D落在边BC上时，求x的值．（3）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−12x2+bx+32与x轴正半轴交于点A，且点A的坐标为（3，0），过点A作垂直于x轴的直线l．P是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m，过点P作PQ⊥l于点Q，M是直线l上的一点，其纵坐标为﹣m+3 2．以PQ，QM为边作矩形PQMN．（1）求b的值．（2）当点Q与点M重合时，求m的值．（3）当矩形PQMN是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求m的值．（4）当抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围．参考答案与试题解析一、单项选择题（每小题2分，共12分）1．（2分）﹣6的相反数是（ ）A ．6B ．﹣6C ．16D ．−16【解答】解：﹣6的相反数是6，故选：A ．2．（2分）国务院总理李克强2020年5月22日在作政府工作报告时说，去年我国农村贫困人口减少11090000，脱贫攻坚取得决定性成就．数据11090000用科学记数法表示为（ ）A ．11.09×106B ．1.109×107C ．1.109×108D ．0.1109×108【解答】解：11090000＝1.109×107，故选：B ．3．（2分）如图，由5个完全相同的小正方体组合成一个立体图形，它的左视图为（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：从左边看第一层是一个小正方形，第二层也是一个小正方形，所以左视图是选项A ，故选：A ．4．（2分）下列运算正确的是（ ）A ．a 2•a 3＝a 6B ．（a 2）3＝a 5C ．（2a ）2＝2a 2D ．a 3÷a 2＝a【解答】解：A 、a 2•a 3＝a 5，原计算错误，故此选项不符合题意；B 、（a 2）3＝a 6，原计算错误，故此选项不符合题意；C 、（2a ）2＝4a 2，原计算错误，故此选项不符合题意；D 、a 3÷a 2＝a ，原计算正确，故此选项符合题意；故选：D ．5．（2分）将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠α的大小为（ ）A．85°B．75°C．65°D．60°【解答】解：如图所示，∵∠BCD＝60°，∠BCA＝45°，∴∠ACD＝∠BCD﹣∠BCA＝60°﹣45°＝15°，∠α＝180°﹣∠D﹣∠ACD＝180°﹣90°﹣15°＝75°，故选：B．6．（2分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠B＝108°，则∠D的大小为（）A．54°B．62°C．72°D．82°【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠B＝108°，∴∠D＝180°﹣∠B＝180°﹣108°＝72°，故选：C．二、填空题（每小题3分，共24分）7．（3分）分解因式：a2﹣ab＝a（a﹣b）．【解答】解：a2﹣ab＝a（a﹣b）．8．（3分）不等式3x+1＞7的解集为x＞2．【解答】解：3x+1＞7，移项得：3x＞7﹣1，合并同类项得：3x＞6，系数化为1得：x ＞2，故答案为：x ＞2．9．（3分）一元二次方程x 2+3x ﹣1＝0根的判别式的值为 13 ．【解答】解：∵a ＝1，b ＝3，c ＝﹣1，∴△＝b 2﹣4ac ＝9+4＝13．所以一元二次方程x 2+3x ﹣1＝0根的判别式的值为13．故答案为：13．10．（3分）我国古代数学著作《算学启蒙》中有这样一个数学问题，其大意是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马x 天可以追上慢马，根据题意，可列方程为 （240﹣150）x ＝150×12 ．【解答】解：设快马x 天可以追上慢马，依题意，得：（240﹣150）x ＝150×12．故答案为：（240﹣150）x ＝150×12．11．（3分）如图，某单位要在河岸l 上建一个水泵房引水到C 处．他们的做法是：过点C作CD ⊥l 于点D ，将水泵房建在了D 处．这样做最节省水管长度，其数学道理是 垂线段最短 ．【解答】解：过点C 作CD ⊥l 于点D ，将水泵房建在了D 处．这样做最节省水管长度，其数学道理是垂线段最短．故答案为：垂线段最短．12．（3分）如图，AB ∥CD ∥EF ．若AC CE =12，BD ＝5，则DF ＝ 10 ．【解答】解：∵AB ∥CD ∥EF ， ∴BD DF=AC CE=12，∴DF ＝2BD ＝2×5＝10． 故答案为10．13．（3分）如图，在△ABC 中，D ，E 分别是边AB ，AC 的中点．若△ADE 的面积为12，则四边形DBCE 的面积为32．【解答】解：∵D ，E 分别是△ABC 的边AB ，AC 的中点， ∴DE 是△ABC 的中位线， ∴DE ∥BC ，DE =12BC ， ∴△ADE ∽△ABC ， ∴S △ADE S △ABC=（DE BC）2＝（12）2=14，∵△ADE 的面积为12， ∴△ABC 的面积为2，∴四边形DBCE 的面积＝2−12=32， 故答案为：32．14．（3分）如图，在四边形ABCD 中，AB ＝CB ，AD ＝CD ，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．筝形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ．以点B 为圆心，BO 长为半径画弧，分别交AB ，BC 于点E ，F ．若∠ABD ＝∠ACD ＝30°，AD ＝1，则EF̂的长为12π （结果保留π）．【解答】解：在△ABD 与△CBD 中， {AB =CBAD =CD BD =BD， ∴△ABD ≌△CBD （SSS ），∴∠ABD ＝∠CBD ＝30°，∠ADB ＝∠CDB ，CD ＝AD ＝1， ∴∠ABC ＝60°，∵AD ＝CD ，∠ADB ＝∠CDB ， ∴BD ⊥AC ，且AO ＝CO ， ∴∠ACB ＝90°﹣30°＝60°， ∴∠BCD ＝∠ACB +∠ACD ＝90°， 在Rt △BCD 中，∵∠CBD ＝30°， ∴BD ＝2CD ＝2，在Rt △COD 中，∵∠ACD ＝30°， ∴OD =12CD =12，∴OB ＝BD ﹣OD ＝2−12=32， ∴EF̂的长为：60π⋅32180=12π，故答案为12π．三、解答题（每小题5分，共20分）15．（5分）先化简，再求值：（a +1）2+a （1﹣a ）﹣1，其中a =√7． 【解答】解：原式＝a 2+2a +1+a ﹣a 2﹣1 ＝3a ． 当a =√7时，原式＝3√7．16．（5分）“中国结”是我国特有的手工编织工艺品，也是一种传统吉祥装饰物．如图，现有三张正面印有“中国结”图案的不透明卡片A ，B ，C ，卡片除正面图案不同外，其余均相同．将三张卡片正面向下洗匀，小吉同学从中随机抽取一张卡片，记下图案后正面向下放回，洗匀后再从中随机抽取一张卡片，请用画树状图或列表的方法，求小吉同学抽出的两张卡片中含有A 卡片的概率．【解答】解：根据题意列表如下：A B C A AA BA CA B AB BB CB CACBCCC共有9种等可能的结果数，其中小吉同学抽出的两张卡片中含有A 卡片的有5种情况， ∴小吉同学抽出的两张卡片中含有A 卡片的概率为59．17．（5分）甲、乙二人做某种机械零件．已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙做60个所用的时间相等．求乙每小时做零件的个数． 【解答】解：设乙每小时做x 个零件，甲每小时做（x +6）个零件， 根据题意得：90x+6=60x，解得：x ＝12，经检验，x ＝12是原方程的解，且符合题意， ∴x +6＝18．答：乙每小时做12个零件．18．（5分）如图，在△ABC 中，AB ＞AC ，点D 在边AB 上，且BD ＝CA ，过点D 作DE ∥AC ，并截取DE ＝AB ，且点C ，E 在AB 同侧，连接BE ．求证：△DEB ≌△ABC ．【解答】证明：∵DE ∥AC ， ∴∠EDB ＝∠A ． 在△DEB 与△ABC 中， {DE =AB∠EDB =∠A BD =CA， ∴△DEB ≌△ABC （SAS ）． 四、解答题（每小题7分，共28分）19．（7分）图①、图②、图③都是3×3的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．A ，B ，C 均为格点．在给定的网格中，按下列要求画图：（1）在图①中，画一条不与AB 重合的线段MN ，使MN 与AB 关于某条直线对称，且M ，N 为格点．（2）在图②中，画一条不与AC 重合的线段PQ ，使PQ 与AC 关于某条直线对称，且P ，Q 为格点．（3）在图③中，画一个△DEF ，使△DEF 与△ABC 关于某条直线对称，且D ，E ，F 为格点．【解答】解：（1）如图①，MN 即为所求；（2）如图②，PQ即为所求；（3）如图③，△DEF即为所求．20．（7分）如图，某班数学小组测量塔的高度，在与塔底部B相距35m的C处，用高1.5m 的测角仪CD测得该塔顶端A的仰角∠EDA为36°．求塔AB的高度（结果精确到1m）．（参考数据：sin36°＝0.59，cos36°＝0.81，tan36°＝0.73）【解答】解：设AB与DE交于点F，如图所示：由题意得：DF⊥AB，BE＝CD＝1.5m，DF＝BC＝35m，在Rt△ADF中，∠AFD＝90°，tan∠EDA=AF DF，∴AF＝DF×tan36°≈35×0.73＝25.55（m），∴AB＝AF+BF＝25.55+1.5≈27（m）；答：塔AB的高度约27m．21．（7分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A，B在函数y=kx（x＞0）的图象上（点B的横坐标大于点A的横坐标），点A的坐标为（2，4），过点A作AD⊥x 轴于点D，过点B作BC⊥x轴于点C，连接OA，AB．（1）求k的值．（2）若D为OC中点，求四边形OABC的面积．【解答】解：（1）将点A的坐标为（2，4）代入y=kx（x＞0），可得k＝xy＝2×4＝8，∴k的值为8；（2）∵k的值为8，∴函数y=kx的解析式为y=8x，∵D为OC中点，OD＝2，∴OC＝4，∴点B的横坐标为4，将x＝4代入y=8 x，可得y＝2，∴点B的坐标为（4，2），∴S四边形OABC＝S△AOD+S四边形ABCD=12×2×4+12(2+4)×2=10．22．（7分）2020年3月线上授课期间，小莹、小静和小新为了解所在学校九年级600名学生居家减压方式情况，对该校九年级部分学生居家减压方式进行抽样调查．将居家减压方式分为A（享受美食）、B（交流谈心）、C（室内体育活动）、D（听音乐）和E（其他方式）五类，要求每位被调查者选择一种自己最常用的减压方式．他们将收集的数据进行了整理，绘制的统计表分别为表1、表2和表3．表1：小莹抽取60名男生居家减压方式统计表（单位：人）减压方式A B C D E人数463785表2：小静随机抽取10名学生居家减压方式统计表（单位：人）减压方式A B C D E人数21331表3：小新随机抽取60名学生居家减压方式统计表（单位：人）减压方式A B C D E人数65261310根据以上材料，回答下列问题：（1）小莹、小静和小新三人中，哪一位同学抽样调查的数据能较好地反映出该校九年级学生居家减压方式情况，并简要说明其他两位同学抽样调查的不足之处．（2）根据三人中能较好地反映出该校九年级居家减压方式的调查结果，估计该校九年级600名学生中利用室内体育活动方式进行减压的人数．【解答】解：（1）小新同学抽样调查的数据能较好地反映出该校九年级学生居家减压方式情况，小莹同学调查的只是男生，不具有代表性，小静同学调查的人数偏少，具有片面性，对整体情况的反映容易造成偏差．（2）600×2660=260（人），答：该校九年级600名学生中利用室内体育活动方式进行减压的大约有260人．五、解答题（每小题8分，共16分）23．（8分）某种机器工作前先将空油箱加满，然后停止加油立即开始工作．当停止工作时，油箱中油量为5L，在整个过程中，油箱里的油量y（单位：L）与时间x（单位：min）之间的关系如图所示．（1）机器每分钟加油量为3L，机器工作的过程中每分钟耗油量为0.5L．（2）求机器工作时y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．（3）直接写出油箱中油量为油箱容积的一半时x的值．【解答】解：（1）由图象可得，机器每分钟加油量为：30÷10＝3（L），机器工作的过程中每分钟耗油量为：（30﹣5）÷（60﹣10）＝0.5（L），故答案为：3，0.5；（2）当10＜x≤60时，设y关于x的函数解析式为y＝ax+b，{10a +b =3060a +b =5， 解得，{a =−0.5b =35，即机器工作时y 关于x 的函数解析式为y ＝﹣0.5x +35（10＜x ≤60）； （3）当3x ＝30÷2时，得x ＝5， 当﹣0.5x +35＝30÷2时，得x ＝40，即油箱中油量为油箱容积的一半时x 的值是5或40．24．（8分）能够完全重合的平行四边形纸片ABCD 和AEFG 按图①方式摆放，其中AD ＝AG ＝5，AB ＝9．点D ，G 分别在边AE ，AB 上，CD 与FG 相交于点H ． 【探究】求证：四边形AGHD 是菱形．【操作一】固定图①中的平行四边形纸片ABCD ，将平行四边形纸片AEFG 绕着点A 顺时针旋转一定的角度，使点F 与点C 重合，如图②．则这两张平行四边形纸片未重叠部分图形的周长和为 56 ．【操作二】将图②中的平行四边形纸片AEFG 绕着点A 继续顺时针旋转一定的角度，使点E 与点B 重合，连接DG ，CF ，如图③，若sin ∠BAD =45，则四边形DCFG 的面积为 72 ．【解答】解：【探究】∵四边形ABCD 和AEFG 都是平行四边形， ∴AE ∥GF ，DC ∥AB ，∴四边形AGHD 是平行四边形， ∵AD ＝AG ，∴四边形AGHD 是菱形；【操作一】根据题意得，这两张平行四边形纸片未重叠部分图形的周长和为： ME +EF +MC +AD +DM +AM +AG +GN +AN +BN +BC +NF ＝（ME +AM +AG +EF +NF ）+（AD +BC +DM +MC +AN +BN ）＝2（AE +AG ）+2（AB +AD ）＝2×（9+5）+2×（9+5）＝56，故答案为：56；【操作二】由题意知，AD ＝AG ＝5，∠DAB ＝∠BAG ， 又AM ＝AM ，∴△AMD ≌△AMG （SAS ）， ∴DM ＝GM ，∠AMD ＝∠AMG ， ∵∠AMD +∠AMG ＝180°， ∴∠AMD ＝∠AMG ＝90°， ∵sin ∠BAD =45， ∴DM AD=45，∴DM =45AD ＝4， ∴DG ＝8，∵四边形ABCD 和四边形AEFG 是平行四边形， ∴DC ∥AB ∥GF ，DC ＝AB ＝GF ＝9， ∴四边形CDGF 是平行四边形， ∵∠AMD ＝90°，∴∠CDG ＝∠AMD ＝90°， ∴四边形CDGF 是矩形，∴S 矩形DCFG ＝DG •DC ＝8×9＝72，故答案为：72．六、解答题（每小题10分，共20分）25．（10分）如图，△ABC 是等边三角形，AB ＝4cm ，动点P 从点A 出发，以2cm /s 的速度沿AB 向点B 匀速运动，过点P 作PQ ⊥AB ，交折线AC ﹣CB 于点Q ，以PQ 为边作等边三角形PQD，使点A，D在PQ异侧．设点P的运动时间为x（s）（0＜x＜2），△PQD 与△ABC重叠部分图形的面积为y（cm2）．（1）AP的长为2x cm（用含x的代数式表示）．（2）当点D落在边BC上时，求x的值．（3）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．【解答】解：（1）∵动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速运动，∴AP的长为2xcm；故答案为：2x；（2）当点D落在BC上时，如图1，BP＝AB﹣AP＝4﹣2x，∵PQ⊥AB，∴∠QP A＝90°，∵△PQD等边三角形，△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠DPQ＝60°，∴∠BPD＝30°，∴∠PDB＝90°，∴PD⊥BC，∴△APQ≌△BDP（AAS），∴BD＝AP＝2x，∵BP＝2BD，解得x =23；（3）①如图2，当0＜x ≤23时，∵在Rt △APQ 中，AP ＝2x ，∠A ＝60°，∴PQ ＝AP •tan60°＝2√3x ，∵△PQD 等边三角形，∴S △PQD =12×2√3x •3x ＝3√3x 2cm 2，所以y ＝3√3x 2；②如图3，当点Q 运动到与点C 重合时，此时CP ⊥AB ，所以AP =12AB ，即2x ═2，解得x ＝1，所以当23＜x ≤1时，如图4，设PD 、QD 与BC 分别相交于点G 、H ，∴BP＝4﹣2x，AQ＝2AP＝4x，∴BG=12BP＝2﹣x∴PG=√3BG=√3（2﹣x），∴S△PBG=12×BG•PG=√32（2﹣x）2，∵AQ＝2AP＝4x，∴CQ＝AC﹣AQ＝4﹣4x，∴QH=√3CQ=√3（4﹣4x），∴S△QCH=12×CQ•QH=√32（4﹣4x）2，∵S△ABC=12×4×2√3=4√3，∴S四边形PGHQ＝S△ABC﹣S△PBG﹣S△QCH﹣S△APQ＝4√3−√32（2﹣x）2−√32（4﹣4x）2−12×2x×2√3x=−21√32x2+18√3x﹣6√3，所以y=−21√32x2+18√3x﹣6√3；③如图5，当1＜x＜2时，点Q运动到BC边上，设PD与BC相交于点G，此时PG＝BP•sin60°＝（4﹣2x）×√32=√3（2﹣x），∵PB＝4﹣2x，∴BQ＝2BP＝2（4﹣2x）＝4（2﹣x），∴BG=12BP＝2﹣x，∴QG＝BQ﹣BG＝3（2﹣x），∴重叠部分的面积为：S △PQG =12×PG •QG =12×√3（2﹣x ）•3（2﹣x ）=3√32（2﹣x ）2． 所以y =3√32（2﹣x ）2．综上所述：y 关于x 的函数解析式为：当0＜x ≤23时，y ＝3√3x 2；当23＜x ≤1时，y =−21√32x 2+18√3x ﹣6√3； 当1＜x ＜2时，y =3√32（2﹣x ）2．26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =−12x 2+bx +32与x 轴正半轴交于点A ，且点A 的坐标为（3，0），过点A 作垂直于x 轴的直线l ．P 是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m ，过点P 作PQ ⊥l 于点Q ，M 是直线l 上的一点，其纵坐标为﹣m +32．以PQ ，QM 为边作矩形PQMN ．（1）求b 的值．（2）当点Q 与点M 重合时，求m 的值．（3）当矩形PQMN 是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求m 的值．（4）当抛物线在矩形PQMN 内的部分所对应的函数值y 随x 的增大而减小时，直接写出m 的取值范围．【解答】解：（1）把点A （3，0）代入y =−12x 2+bx +32，得到0=−92+3b +32， 解得b ＝1．（2）∵抛物线的解析式为y =−12x 2+x +32，∴P （m ，−12m 2+m +32），∵M ，Q 重合，∴﹣m+32=−12m2+m+32，解得m＝0或4．（3）由题意PQ＝MQ，且抛物线的顶点在该正方形内部，∴3﹣m＝﹣m+32−（−12m2+m+32）且﹣m+32＞2，得m＜−12解得m＝1−√7或1+√7（不合题意舍弃），∴m＝1−√7．（4）当点P在直线l的左边，点M在点Q下方时，抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小，则有﹣m+32＜−12m2+m+32，∴m2﹣4m＜0，解得0＜m＜4，观察图象可知．当0＜m＜3时，抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小，如图4﹣1中，当3＜m＜4时，抛物线不在矩形PQMN内部，不符合题意，当m＞4时，点M在点Q的上方，也满足条件，如图4﹣2中，综上所述，满足条件的m的值为0＜m＜3或m＞4．。
2020吉林省中考数学试卷及答案解析
2020年吉林省中考数学试卷一、单项选择题（每小题2分，共12分）1．﹣6的相反数是（）A．6B．﹣6C．D．2．国务院总理李克强2020年5月22日在作政府工作报告时说，去年我国农村贫困人口减少11090000，脱贫攻坚取得决定性成就．数据11090000用科学记数法表示为（）A．11.09×106B．1.109×107C．1.109×108D．0.1109×108 3．如图，由5个完全相同的小正方体组合成一个立体图形，它的左视图为（）A．B．C．D．4．下列运算正确的是（）A．a2•a3＝a6B．（a2）3＝a5C．（2a）2＝2a2D．a3÷a2＝a5．将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠α的大小为（）A．85°B．75°C．65°D．60°6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠B＝108°，则∠D的大小为（）A．54°B．62°C．72°D．82°二、填空题（每小题3分，共24分）7．分解因式：a2﹣ab＝．8．不等式3x+1＞7的解集为．9．一元二次方程x2+3x﹣1＝0根的判别式的值为．10．我国古代数学著作《算学启蒙》中有这样一个数学问题，其大意是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马x 天可以追上慢马，根据题意，可列方程为．11．如图，某单位要在河岸l上建一个水泵房引水到C处．他们的做法是：过点C作CD⊥l于点D，将水泵房建在了D处．这样做最节省水管长度，其数学道理是．12．如图，AB∥CD∥EF．若＝，BD＝5，则DF＝．13．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点．若△ADE的面积为，则四边形DBCE的面积为．14．如图，在四边形ABCD中，AB＝CB，AD＝CD，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．筝形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．以点B为圆心，BO长为半径画弧，分别交AB，BC于点E，F．若∠ABD＝∠ACD＝30°，AD＝1，则的长为（结果保留π）．三、解答题（每小题5分，共20分）15．（5分）先化简，再求值：（a+1）2+a（1﹣a）﹣1，其中a＝．16．（5分）“中国结”是我国特有的手工编织工艺品，也是一种传统吉祥装饰物．如图，现有三张正面印有“中国结”图案的不透明卡片A，B，C，卡片除正面图案不同外，其余均相同．将三张卡片正面向下洗匀，小吉同学从中随机抽取一张卡片，记下图案后正面向下放回，洗匀后再从中随机抽取一张卡片，请用画树状图或列表的方法，求小吉同学抽出的两张卡片中含有A卡片的概率．17．（5分）甲、乙二人做某种机械零件．已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙做60个所用的时间相等．求乙每小时做零件的个数．18．（5分）如图，在△ABC中，AB＞AC，点D在边AB上，且BD＝CA，过点D作DE∥AC，并截取DE＝AB，且点C，E在AB同侧，连接BE．求证：△DEB≌△ABC．四、解答题（每小题7分，共28分）19．（7分）图①、图②、图③都是3×3的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．A，B，C均为格点．在给定的网格中，按下列要求画图：（1）在图①中，画一条不与AB重合的线段MN，使MN与AB关于某条直线对称，且M，N为格点．（2）在图②中，画一条不与AC重合的线段PQ，使PQ与AC关于某条直线对称，且P，Q为格点．（3）在图③中，画一个△DEF，使△DEF与△ABC关于某条直线对称，且D，E，F为格点．20．（7分）如图，某班数学小组测量塔的高度，在与塔底部B相距35m的C处，用高1.5m的测角仪CD测得该塔顶端A的仰角∠EDA为36°．求塔AB的高度（结果精确到1m）．（参考数据：sin36°＝0.59，cos36°＝0.81，tan36°＝0.73）21．（7分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A，B在函数y＝（x＞0）的图象上（点B的横坐标大于点A的横坐标），点A的坐标为（2，4），过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BC⊥x轴于点C，连接OA，AB．（1）求k的值．（2）若D为OC中点，求四边形OABC的面积．22．（7分）2020年3月线上授课期间，小莹、小静和小新为了解所在学校九年级600名学生居家减压方式情况，对该校九年级部分学生居家减压方式进行抽样调查．将居家减压方式分为A（享受美食）、B（交流谈心）、C（室内体育活动）、D（听音乐）和E（其他方式）五类，要求每位被调查者选择一种自己最常用的减压方式．他们将收集的数据进行了整理，绘制的统计表分别为表1、表2和表3．表1：小莹抽取60名男生居家减压方式统计表（单位：人）减压方式A B C D E人数463785表2：小静随机抽取10名学生居家减压方式统计表（单位：人）减压方式A B C D E人数21331表3：小新随机抽取60名学生居家减压方式统计表（单位：人）减压方式A B C D E人数65261310根据以上材料，回答下列问题：（1）小莹、小静和小新三人中，哪一位同学抽样调查的数据能较好地反映出该校九年级学生居家减压方式情况，并简要说明其他两位同学抽样调查的不足之处．（2）根据三人中能较好地反映出该校九年级居家减压方式的调查结果，估计该校九年级600名学生中利用室内体育活动方式进行减压的人数．五、解答题（每小题8分，共16分）23．（8分）某种机器工作前先将空油箱加满，然后停止加油立即开始工作．当停止工作时，油箱中油量为5L，在整个过程中，油箱里的油量y（单位：L）与时间x（单位：min）之间的关系如图所示．（1）机器每分钟加油量为L，机器工作的过程中每分钟耗油量为L．（2）求机器工作时y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．（3）直接写出油箱中油量为油箱容积的一半时x的值．24．（8分）能够完全重合的平行四边形纸片ABCD和AEFG按图①方式摆放，其中AD＝AG＝5，AB＝9．点D，G分别在边AE，AB上，CD与FG相交于点H．【探究】求证：四边形AGHD是菱形．【操作一】固定图①中的平行四边形纸片ABCD，将平行四边形纸片AEFG绕着点A顺时针旋转一定的角度，使点F与点C重合，如图②．则这两张平行四边形纸片未重叠部分图形的周长和为．【操作二】将图②中的平行四边形纸片AEFG绕着点A继续顺时针旋转一定的角度，使点E与点B重合，连接DG，CF，如图③，若sin∠BAD＝，则四边形DCFG的面积为．六、解答题（每小题10分，共20分）25．（10分）如图，△ABC是等边三角形，AB＝4cm，动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速运动，过点P作PQ⊥AB，交折线AC﹣CB于点Q，以PQ为边作等边三角形PQD，使点A，D在PQ异侧．设点P的运动时间为x（s）（0＜x＜2），△PQD 与△ABC重叠部分图形的面积为y（cm2）．（1）AP的长为cm（用含x的代数式表示）．（2）当点D落在边BC上时，求x的值．（3）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+与x轴正半轴交于点A，且点A的坐标为（3，0），过点A作垂直于x轴的直线l．P是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m，过点P作PQ⊥l于点Q，M是直线l上的一点，其纵坐标为﹣m+．以PQ，QM为边作矩形PQMN．（1）求b的值．（2）当点Q与点M重合时，求m的值．（3）当矩形PQMN是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求m的值．（4）当抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围．2020年吉林省中考数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（每小题2分，共12分）1．﹣6的相反数是（）A．6B．﹣6C．D．【解答】解：﹣6的相反数是6，故选：A．2．国务院总理李克强2020年5月22日在作政府工作报告时说，去年我国农村贫困人口减少11090000，脱贫攻坚取得决定性成就．数据11090000用科学记数法表示为（）A．11.09×106B．1.109×107C．1.109×108D．0.1109×108【解答】解：11090000＝1.109×107，故选：B．3．如图，由5个完全相同的小正方体组合成一个立体图形，它的左视图为（）A．B．C．D．【解答】解：从左边看第一层是一个小正方形，第二层也是一个小正方形，所以左视图是选项A，故选：A．4．下列运算正确的是（）A．a2•a3＝a6B．（a2）3＝a5C．（2a）2＝2a2D．a3÷a2＝a【解答】解：A、a2•a3＝a5，原计算错误，故此选项不符合题意；B、（a2）3＝a6，原计算错误，故此选项不符合题意；C、（2a）2＝4a2，原计算错误，故此选项不符合题意；D、a3÷a2＝a，原计算正确，故此选项符合题意；故选：D．5．将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠α的大小为（）A．85°B．75°C．65°D．60°【解答】解：如图所示，∵∠BCD＝60°，∠BCA＝45°，∴∠ACD＝∠BCD﹣∠BCA＝60°﹣45°＝15°，∠α＝180°﹣∠D﹣∠ACD＝180°﹣90°﹣15°＝75°，故选：B．6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠B＝108°，则∠D的大小为（）A．54°B．62°C．72°D．82°【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠B＝108°，∴∠D＝180°﹣∠B＝180°﹣108°＝72°，故选：C．二、填空题（每小题3分，共24分）7．分解因式：a2﹣ab＝a（a﹣b）．【解答】解：a2﹣ab＝a（a﹣b）．8．不等式3x+1＞7的解集为x＞2．【解答】解：3x+1＞7，移项得：3x＞7﹣1，合并同类项得：3x＞6，系数化为1得：x＞2，故答案为：x＞2．9．一元二次方程x2+3x﹣1＝0根的判别式的值为13．【解答】解：∵a＝1，b＝3，c＝﹣1，∴△＝b2﹣4ac＝9+4＝13．所以一元二次方程x2+3x﹣1＝0根的判别式的值为13．故答案为：13．10．我国古代数学著作《算学启蒙》中有这样一个数学问题，其大意是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马x 天可以追上慢马，根据题意，可列方程为（240﹣150）x＝150×12．【解答】解：设快马x天可以追上慢马，依题意，得：（240﹣150）x＝150×12．故答案为：（240﹣150）x＝150×12．11．如图，某单位要在河岸l上建一个水泵房引水到C处．他们的做法是：过点C作CD⊥l于点D，将水泵房建在了D处．这样做最节省水管长度，其数学道理是垂线段最短．【解答】解：过点C作CD⊥l于点D，将水泵房建在了D处．这样做最节省水管长度，其数学道理是垂线段最短．故答案为：垂线段最短．12．如图，AB∥CD∥EF．若＝，BD＝5，则DF＝10．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴＝＝，∴DF＝2BD＝2×5＝10．故答案为10．13．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点．若△ADE的面积为，则四边形DBCE的面积为．【解答】解：∵D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE＝BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝（）2＝（）2＝，∵△ADE的面积为，∴△ABC的面积为2，∴四边形DBCE的面积＝2﹣＝，故答案为：．14．如图，在四边形ABCD中，AB＝CB，AD＝CD，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．筝形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．以点B为圆心，BO长为半径画弧，分别交AB，BC于点E，F．若∠ABD＝∠ACD＝30°，AD＝1，则的长为（结果保留π）．【解答】解：在△ABD与△CBD中，，∴△ABD≌△CBD（SSS），∴∠ABD＝∠CBD＝30°，∠ADB＝∠CDB，CD＝AD＝1，∴∠ABC＝60°，∵AD＝CD，∠ADB＝∠CDB，∴BD⊥AC，且AO＝CO，∴∠ACB＝90°﹣30°＝60°，∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°，在Rt△BCD中，∵∠CBD＝30°，∴BD＝2CD＝2，在Rt△COD中，∵∠ACD＝30°，∴OD＝CD＝，∴OB＝BD﹣OD＝2﹣＝，∴的长为：＝，故答案为．三、解答题（每小题5分，共20分）15．（5分）先化简，再求值：（a+1）2+a（1﹣a）﹣1，其中a＝．【解答】解：原式＝a2+2a+1+a﹣a2﹣1＝﹣a．当a＝时，原式＝﹣．16．（5分）“中国结”是我国特有的手工编织工艺品，也是一种传统吉祥装饰物．如图，现有三张正面印有“中国结”图案的不透明卡片A，B，C，卡片除正面图案不同外，其余均相同．将三张卡片正面向下洗匀，小吉同学从中随机抽取一张卡片，记下图案后正面向下放回，洗匀后再从中随机抽取一张卡片，请用画树状图或列表的方法，求小吉同学抽出的两张卡片中含有A卡片的概率．【解答】解：根据题意列表如下：A B CA AA BA CAB AB BB CBC AC BC CC共有9种等可能的结果数，其中小吉同学抽出的两张卡片中含有A卡片的有1种情况，∴小吉同学抽出的两张卡片中含有A卡片的概率为．17．（5分）甲、乙二人做某种机械零件．已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙做60个所用的时间相等．求乙每小时做零件的个数．【解答】解：设乙每小时做x个零件，甲每小时做（x+6）个零件，根据题意得：＝，解得：x＝12，经检验，x＝12是原方程的解，且符合题意，∴x+6＝18．答：乙每小时做12个零件．18．（5分）如图，在△ABC中，AB＞AC，点D在边AB上，且BD＝CA，过点D作DE∥AC，并截取DE＝AB，且点C，E在AB同侧，连接BE．求证：△DEB≌△ABC．【解答】证明：∵DE∥AC，∴∠EDB＝∠A．在△DEB与△ABC中，，∴△DEB≌△ABC（SAS）．四、解答题（每小题7分，共28分）19．（7分）图①、图②、图③都是3×3的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．A，B，C均为格点．在给定的网格中，按下列要求画图：（1）在图①中，画一条不与AB重合的线段MN，使MN与AB关于某条直线对称，且M，N为格点．（2）在图②中，画一条不与AC重合的线段PQ，使PQ与AC关于某条直线对称，且P，Q为格点．（3）在图③中，画一个△DEF，使△DEF与△ABC关于某条直线对称，且D，E，F为格点．【解答】解：（1）如图①，MN即为所求；（2）如图②，PQ即为所求；（3）如图③，△DEF即为所求．20．（7分）如图，某班数学小组测量塔的高度，在与塔底部B相距35m的C处，用高1.5m的测角仪CD测得该塔顶端A的仰角∠EDA为36°．求塔AB的高度（结果精确到1m）．（参考数据：sin36°＝0.59，cos36°＝0.81，tan36°＝0.73）【解答】解：设AB与DE交于点F，如图所示：由题意得：DF⊥AB，BE＝CD＝1.5m，DF＝BC＝35m，在Rt△ADF中，∠AFD＝90°，tan∠EDA＝，∴AF＝DF×tan36°≈35×0.73＝25.55（m），∴AB＝AF+BF＝25.55+1.5≈27（m）；答：塔AB的高度约27m．21．（7分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A，B在函数y＝（x＞0）的图象上（点B的横坐标大于点A的横坐标），点A的坐标为（2，4），过点A作AD⊥x 轴于点D，过点B作BC⊥x轴于点C，连接OA，AB．（1）求k的值．（2）若D为OC中点，求四边形OABC的面积．【解答】解：（1）将点A的坐标为（2，4）代入y＝（x＞0），可得k＝xy＝2×4＝8，∴k的值为8；（2）∵k的值为8，∴函数y＝的解析式为y＝，∵D为OC中点，OD＝2，∴OC＝4，∴点B的横坐标为4，将x＝4代入y＝，可得y＝2，∴点B的坐标为（4，2），∴S四边形OABC＝S△AOD+S四边形ABCD＝＝10．22．（7分）2020年3月线上授课期间，小莹、小静和小新为了解所在学校九年级600名学生居家减压方式情况，对该校九年级部分学生居家减压方式进行抽样调查．将居家减压方式分为A（享受美食）、B（交流谈心）、C（室内体育活动）、D（听音乐）和E（其他方式）五类，要求每位被调查者选择一种自己最常用的减压方式．他们将收集的数据进行了整理，绘制的统计表分别为表1、表2和表3．表1：小莹抽取60名男生居家减压方式统计表（单位：人）减压方式A B C D E人数463785表2：小静随机抽取10名学生居家减压方式统计表（单位：人）减压方式A B C D E人数21331表3：小新随机抽取60名学生居家减压方式统计表（单位：人）减压方式A B C D E人数65261310根据以上材料，回答下列问题：（1）小莹、小静和小新三人中，哪一位同学抽样调查的数据能较好地反映出该校九年级学生居家减压方式情况，并简要说明其他两位同学抽样调查的不足之处．（2）根据三人中能较好地反映出该校九年级居家减压方式的调查结果，估计该校九年级600名学生中利用室内体育活动方式进行减压的人数．【解答】解：（1）小新同学抽样调查的数据能较好地反映出该校九年级学生居家减压方式情况，小莹同学调查的只是男生，不具有代表性，小静同学调查的人数偏少，具有片面性，对整体情况的反映容易造成偏差．（2）600×＝260（人），答：该校九年级600名学生中利用室内体育活动方式进行减压的大约有260人．五、解答题（每小题8分，共16分）23．（8分）某种机器工作前先将空油箱加满，然后停止加油立即开始工作．当停止工作时，油箱中油量为5L，在整个过程中，油箱里的油量y（单位：L）与时间x（单位：min）之间的关系如图所示．（1）机器每分钟加油量为3L，机器工作的过程中每分钟耗油量为0.5L．（2）求机器工作时y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．（3）直接写出油箱中油量为油箱容积的一半时x的值．【解答】解：（1）由图象可得，机器每分钟加油量为：30÷10＝3（L），机器工作的过程中每分钟耗油量为：（30﹣5）÷（60﹣10）＝0.5（L），故答案为：3，0.5；（2）当0≤x≤10时，设y关于x的函数解析式为y＝kx，10k＝30，得k＝3，即当0≤x≤10时，y关于x的函数解析式为y＝3x，当10＜x≤60时，设y关于x的函数解析式为y＝ax+b，，解得，，即当10＜x≤60时，y关于x的函数解析式为y＝﹣0.5x+35，由上可得，y关于x的函数解析式为y＝；（3）当3x＝30÷2时，得x＝5，当﹣0.5x+35＝30÷2时，得x＝40，即油箱中油量为油箱容积的一半时x的值是5或40．24．（8分）能够完全重合的平行四边形纸片ABCD和AEFG按图①方式摆放，其中AD＝AG＝5，AB＝9．点D，G分别在边AE，AB上，CD与FG相交于点H．【探究】求证：四边形AGHD是菱形．【操作一】固定图①中的平行四边形纸片ABCD，将平行四边形纸片AEFG绕着点A顺时针旋转一定的角度，使点F与点C重合，如图②．则这两张平行四边形纸片未重叠部分图形的周长和为56．【操作二】将图②中的平行四边形纸片AEFG绕着点A继续顺时针旋转一定的角度，使点E与点B重合，连接DG，CF，如图③，若sin∠BAD＝，则四边形DCFG的面积为120．【解答】解：【探究】∵四边形ABCD和AEFG都是平行四边形，∴AE∥GF，DC∥AB，∴四边形AGHD是平行四边形，∵AD＝AG，∴四边形AGHD是菱形；【操作一】根据题意得，这两张平行四边形纸片未重叠部分图形的周长和为：ME+EF+MC+AD+DM+AM+AG+GN+AN+BN+BC+NF＝（ME+AM+AG+EF+NF）+（AD+BC+DM+MC+AN+BN）＝2（AE+AG）+2（AB+AD）＝2×（9+5）+2×（9+5）＝56，故答案为：56；【操作二】由题意知，AD＝AG＝5，∠DAB＝∠BAG，又AM＝AM，∴△AMD≌△AMG（SAS），∴DM＝GM，∠AMD＝∠AMG，∵∠AMD+∠AMG＝180°，∴∠AMD＝∠AMG＝90°，∵sin∠BAD＝，∴，∴DM＝AD＝，∴DG＝，∵四边形ABCD和四边形AEFG是平行四边形，∴DC∥AB∥GF，DC＝AB＝GF＝9，∴四边形CDGF是平行四边形，∵∠AMD＝90°，∴∠CDG＝∠AMD＝90°，∴四边形CDGF是矩形，∴，故答案为：120．六、解答题（每小题10分，共20分）25．（10分）如图，△ABC是等边三角形，AB＝4cm，动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速运动，过点P作PQ⊥AB，交折线AC﹣CB于点Q，以PQ为边作等边三角形PQD，使点A，D在PQ异侧．设点P的运动时间为x（s）（0＜x＜2），△PQD 与△ABC重叠部分图形的面积为y（cm2）．（1）AP的长为2x cm（用含x的代数式表示）．（2）当点D落在边BC上时，求x的值．（3）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．【解答】解：（1）∵动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速运动，∴AP的长为2xcm；故答案为：2x；（2）当点D落在BC上时，如图1，BP＝AB﹣AP＝4﹣2x，∵PQ⊥AB，∴∠QP A＝90°，∵△PQD等边三角形，△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠DPQ＝60°，∴∠BPD＝30°，∴∠PDB＝90°，∴PD⊥BC，∴△APQ≌△BDP（AAS），∴BD＝AP＝2x，∵BP＝2BD，∴4﹣2x＝4x，解得x＝；（3）①如图2，当0＜x≤时，∵在Rt△APQ中，AP＝2x，∠A＝60°，∴PQ＝AP•tan60°＝2x，∵△PQD等边三角形，∴S△PQD＝2x•3x＝3x2cm2，所以y＝3x2；②如图3，当点Q运动到与点C重合时，此时CP⊥AB，所以AP＝AB，即2x═2，解得x＝1，所以当＜x≤1时，如图4，设PD、QD与BC分别相交于点G、H，∵AP＝2x，∴BP＝4﹣2x，AQ＝2AP＝4x，∴BG＝BP＝2﹣x∴PG＝BG＝（2﹣x），∴S△PBG＝BG•PG＝（2﹣x）2，∵AQ＝2AP＝4x，∴CQ＝AC﹣AQ＝4﹣4x，∴QH＝CQ＝（4﹣4x），∴S△QCH＝CQ•QH＝（4﹣4x）2，∵S△ABC＝4×2＝4，∴S四边形PGHQ＝S△ABC﹣S△PBG﹣S△QCH＝4﹣（2﹣x）2﹣（4﹣4x）2＝﹣x2+18x﹣6，所以y＝﹣x2+18x﹣6；③如图5，当1＜x＜2时，点Q运动到BC边上，设PD与BC相交于点G，此时PG＝BP•sin60°＝（4﹣2x）×＝（2﹣x），∵PB＝4﹣2x，∴BQ＝2BP＝2（4﹣2x）＝4（2﹣x），∴BG＝BP＝2﹣x，∴QG＝BQ﹣BG＝3（2﹣x），∴重叠部分的面积为：S△PQG＝PG•QG＝（2﹣x）•3（2﹣x）＝（2﹣x）2．所以y＝（2﹣x）2．综上所述：y关于x的函数解析式为：当0＜x≤时，y＝3x2；当＜x≤1时，y＝﹣x2+18x﹣6；当1＜x＜2时，y＝（2﹣x）2．26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+与x轴正半轴交于点A，且点A的坐标为（3，0），过点A作垂直于x轴的直线l．P是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m，过点P作PQ⊥l于点Q，M是直线l上的一点，其纵坐标为﹣m+．以PQ，QM为边作矩形PQMN．（1）求b的值．（2）当点Q与点M重合时，求m的值．（3）当矩形PQMN是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求m的值．（4）当抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围．【解答】解：（1）把点A（3，0）代入y＝﹣x2+bx+，得到0＝﹣+3b+，解得b＝1．（2）∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+，∴P（m，﹣m2+m+），∵M，Q重合，∴﹣m+＝﹣m2+m+，解得m＝0或4．（3）由题意PQ＝MQ，且抛物线的顶点在该正方形内部∴3﹣m＝﹣m+﹣（﹣m2+m+），解得m＝1﹣或1+（不合题意舍弃），∴m＝1﹣．（4）当点P在直线l的左边，点M在点Q是下方下方时，抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小，则有﹣m+＜﹣m2+m+，∴m2﹣4m＜0，解得0＜m＜4，观察图象可知．当0＜m＜3时，抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小，如图4﹣1中，当m＞4时，点M在点Q的上方，也满足条件，如图4﹣2中，综上所述，满足条件的m的值为0＜m＜3或m＞4．。
2020年吉林省中考数学试卷及其答案
2020年吉林省中考数学试卷一、单项选择题（每小题2分，共12分）1．（2分）﹣6的相反数是（）A．﹣6B．﹣C．D．62．（2分）国务院总理李克强2020年5月22日在作政府工作报告时说，去年我国农村贫困人口减少11090000，脱贫攻坚取得决定性成就．数据11090000用科学记数法表示为（）A．11.09×106B．1.109×107C．1.109×108D．0.1109×1083．（2分）如图，由5个完全相同的小正方体组合成一个立体图形，它的左视图为（）A．B．C．D．4．（2分）下列运算正确的是（）A．a2•a3＝a6B．（a2）3＝a5C．（2a）2＝2a2D．a3÷a2＝a5．（2分）将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠α的大小为（）A．85°B．75°C．65°D．60°6．（2分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠B＝108°，则∠D的大小为（）A．54°B．62°C．72°D．82°二、填空题（每小题3分，共24分）7．（3分）分解因式：a2﹣ab＝．8．（3分）不等式3x+1＞7的解集为．9．（3分）一元二次方程x2+3x﹣1＝0根的判别式的值为．10．（3分）我国古代数学著作《算学启蒙》中有这样一个数学问题，其大意是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马x天可以追上慢马，根据题意，可列方程为．11．（3分）如图，某单位要在河岸l上建一个水泵房引水到C处．他们的做法是：过点C作CD⊥l 于点D，将水泵房建在了D处．这样做最节省水管长度，其数学道理是．12．（3分）如图，AB∥CD∥EF．若＝，BD＝5，则DF＝．13．（3分）如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点．若△ADE的面积为，则四边形DBCE 的面积为．14．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB＝CB，AD＝CD，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．筝形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．以点B为圆心，BO长为半径画弧，分别交AB，BC于点E，F．若∠ABD＝∠ACD＝30°，AD＝1，则的长为（结果保留π）．三、解答题（每小题5分，共20分）15．（5分）先化简，再求值：（a+1）2+a（1﹣a）﹣1，其中a＝．16．（5分）“中国结”是我国特有的手工编织工艺品，也是一种传统吉祥装饰物．如图，现有三张正面印有“中国结”图案的不透明卡片A，B，C，卡片除正面图案不同外，其余均相同．将三张卡片正面向下洗匀，小吉同学从中随机抽取一张卡片，记下图案后正面向下放回，洗匀后再从中随机抽取一张卡片，请用画树状图或列表的方法，求小吉同学抽出的两张卡片中含有A卡片的概率．17．（5分）甲、乙二人做某种机械零件．已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙做60个所用的时间相等．求乙每小时做零件的个数．18．（5分）如图，在△ABC中，AB＞AC，点D在边AB上，且BD＝CA，过点D作DE∥AC，并截取DE ＝AB，且点C，E在AB同侧，连接BE．求证：△DEB≌△ABC．四、解答题（每小题7分，共28分）19．（7分）图①、图②、图③都是3×3的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．A，B，C均为格点．在给定的网格中，按下列要求画图：（1）在图①中，画一条不与AB重合的线段MN，使MN与AB关于某条直线对称，且M，N为格点．（2）在图②中，画一条不与AC重合的线段PQ，使PQ与AC关于某条直线对称，且P，Q为格点．（3）在图③中，画一个△DEF，使△DEF与△ABC关于某条直线对称，且D，E，F为格点．20．（7分）如图，某班数学小组测量塔的高度，在与塔底部B相距35m的C处，用高1.5m的测角仪CD测得该塔顶端A的仰角∠EDA为36°．求塔AB的高度（结果精确到1m）．（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）21．（7分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A，B在函数y＝（x＞0）的图象上（点B的横坐标大于点A的横坐标），点A的坐标为（2，4），过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BC ⊥x轴于点C，连接OA，AB．（1）求k的值．（2）若D为OC中点，求四边形OABC的面积．22．（7分）2020年3月线上授课期间，小莹、小静和小新为了解所在学校九年级600名学生居家减压方式情况，对该校九年级部分学生居家减压方式进行抽样调查．将居家减压方式分为A（享受美食）、B（交流谈心）、C（室内体育活动）、D（听音乐）和E（其他方式）五类，要求每位被调查者选择一种自己最常用的减压方式．他们将收集的数据进行了整理，绘制的统计表分别为表1、表2和表3．表1：小莹抽取60名男生居家减压方式统计表（单位：人）减压方式A B C D E人数463785表2：小静随机抽取10名学生居家减压方式统计表（单位：人）减压方式A B C D E人数21331表3：小新随机抽取60名学生居家减压方式统计表（单位：人）减压方式A B C D E人数65261310根据以上材料，回答下列问题：（1）小莹、小静和小新三人中，哪一位同学抽样调查的数据能较好地反映出该校九年级学生居家减压方式情况，并简要说明其他两位同学抽样调查的不足之处．（2）根据三人中能较好地反映出该校九年级居家减压方式的调查结果，估计该校九年级600名学生中利用室内体育活动方式进行减压的人数．五、解答题（每小题8分，共16分）23．（8分）某种机器工作前先将空油箱加满，然后停止加油立即开始工作．当停止工作时，油箱中油量为5L，在整个过程中，油箱里的油量y（单位：L）与时间x（单位：min）之间的关系如图所示．（1）机器每分钟加油量为L，机器工作的过程中每分钟耗油量为L．（2）求机器工作时y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．（3）直接写出油箱中油量为油箱容积的一半时x的值．24．（8分）能够完全重合的平行四边形纸片ABCD和AEFG按图①方式摆放，其中AD＝AG＝5，AB＝9．点D，G分别在边AE，AB上，CD与FG相交于点H．【探究】求证：四边形AGHD是菱形．【操作一】固定图①中的平行四边形纸片ABCD，将平行四边形纸片AEFG绕着点A顺时针旋转一定的角度，使点F与点C重合，如图②．则这两张平行四边形纸片未重叠部分图形的周长和为．【操作二】将图②中的平行四边形纸片AEFG绕着点A继续顺时针旋转一定的角度，使点E与点B 重合，连接DG，CF，如图③，若sin∠BAD＝，则四边形DCFG的面积为．六、解答题（每小题10分，共20分）25．（10分）如图，△ABC是等边三角形，AB＝4cm，动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速运动，过点P作PQ⊥AB，交折线AC﹣CB于点Q，以PQ为边作等边三角形PQD，使点A，D 在PQ异侧．设点P的运动时间为x（s）（0＜x＜2），△PQD与△ABC重叠部分图形的面积为y（cm2）．（1）AP的长为cm（用含x的代数式表示）．（2）当点D落在边BC上时，求x的值．（3）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+与x轴正半轴交于点A，且点A的坐标为（3，0），过点A作垂直于x轴的直线l．P是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m，过点P作PQ⊥l于点Q，M是直线l上的一点，其纵坐标为﹣m+．以PQ，QM为边作矩形PQMN．（1）求b的值．（2）当点Q与点M重合时，求m的值．（3）当矩形PQMN是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求m的值．（4）当抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围．2020年吉林省中考数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（每小题2分，共12分）1．（2分）﹣6的相反数是（）A．﹣6B．﹣C．D．6【解答】解：根据概念，与﹣6只有符号不同的数是6．即﹣6的相反数是6．故选：D．2．（2分）国务院总理李克强2020年5月22日在作政府工作报告时说，去年我国农村贫困人口减少11090000，脱贫攻坚取得决定性成就．数据11090000用科学记数法表示为（）A．11.09×106B．1.109×107C．1.109×108D．0.1109×108【解答】解：11090000＝1.109×107，故选：B．3．（2分）如图，由5个完全相同的小正方体组合成一个立体图形，它的左视图为（）A．B．C．D．【解答】解：从左边看第一层是一个小正方形，第二层也是一个小正方形，所以左视图是选项A，故选：A．4．（2分）下列运算正确的是（）A．a2•a3＝a6B．（a2）3＝a5C．（2a）2＝2a2D．a3÷a2＝a【解答】解：A、a2•a3＝a5，原计算错误，故此选项不符合题意；B、（a2）3＝a6，原计算错误，故此选项不符合题意；C、（2a）2＝4a2，原计算错误，故此选项不符合题意；D、a3÷a2＝a，原计算正确，故此选项符合题意；故选：D．5．（2分）将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠α的大小为（）A．85°B．75°C．65°D．60°【解答】解：如图所示，∠α＝∠E+∠ACB＝30°+45°＝75°，故选：B．6．（2分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠B＝108°，则∠D的大小为（）A．54°B．62°C．72°D．82°【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠B＝108°，∴∠D＝180°﹣∠B＝180°﹣108°＝72°，故选：C．二、填空题（每小题3分，共24分）7．（3分）分解因式：a2﹣ab＝a（a﹣b）．【解答】解：a2﹣ab＝a（a﹣b）．8．（3分）不等式3x+1＞7的解集为x＞2．【解答】解：3x+1＞7，移项得：3x＞7﹣1，合并同类项得：3x＞6，系数化为1得：x＞2，故答案为：x＞2．9．（3分）一元二次方程x2+3x﹣1＝0根的判别式的值为13．【解答】解：∵a＝1，b＝3，c＝﹣1，∴Δ＝b2﹣4ac＝9+4＝13．所以一元二次方程x2+3x﹣1＝0根的判别式的值为13．故答案为：13．10．（3分）我国古代数学著作《算学启蒙》中有这样一个数学问题，其大意是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马x天可以追上慢马，根据题意，可列方程为（240﹣150）x＝150×12．【解答】解：设快马x天可以追上慢马，依题意，得：（240﹣150）x＝150×12．故答案为：（240﹣150）x＝150×12．11．（3分）如图，某单位要在河岸l上建一个水泵房引水到C处．他们的做法是：过点C作CD⊥l 于点D，将水泵房建在了D处．这样做最节省水管长度，其数学道理是垂线段最短．【解答】解：过点C作CD⊥l于点D，将水泵房建在了D处．这样做最节省水管长度，其数学道理是垂线段最短．故答案为：垂线段最短．12．（3分）如图，AB∥CD∥EF．若＝，BD＝5，则DF＝10．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴＝＝，∴DF＝2BD＝2×5＝10．故答案为10．13．（3分）如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点．若△ADE的面积为，则四边形DBCE的面积为．【解答】解：∵D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE＝BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝（）2＝（）2＝，∵△ADE的面积为，∴△ABC的面积为2，∴四边形DBCE的面积＝2﹣＝，故答案为：．14．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB＝CB，AD＝CD，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．筝形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．以点B为圆心，BO长为半径画弧，分别交AB，BC于点E，F．若∠ABD＝∠ACD＝30°，AD＝1，则的长为（结果保留π）．【解答】解：在△ABD与△CBD中，，∴△ABD≌△CBD（SSS），∴∠ABD＝∠CBD＝30°，∠ADB＝∠CDB，CD＝AD＝1，∴∠ABC＝60°，∵AD＝CD，∠ADB＝∠CDB，∴BD⊥AC，且AO＝CO，∴∠ACB＝90°﹣30°＝60°，∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°，在Rt△BCD中，∵∠CBD＝30°，∴BD＝2CD＝2，在Rt△COD中，∵∠ACD＝30°，∴OD＝CD＝，∴OB＝BD﹣OD＝2﹣＝，∴的长为：＝，故答案为．三、解答题（每小题5分，共20分）15．（5分）先化简，再求值：（a+1）2+a（1﹣a）﹣1，其中a＝．【解答】解：原式＝a2+2a+1+a﹣a2﹣1＝3a．当a＝时，原式＝3．16．（5分）“中国结”是我国特有的手工编织工艺品，也是一种传统吉祥装饰物．如图，现有三张正面印有“中国结”图案的不透明卡片A，B，C，卡片除正面图案不同外，其余均相同．将三张卡片正面向下洗匀，小吉同学从中随机抽取一张卡片，记下图案后正面向下放回，洗匀后再从中随机抽取一张卡片，请用画树状图或列表的方法，求小吉同学抽出的两张卡片中含有A卡片的概率．【解答】解：根据题意列表如下：A B CA AA BA CAB AB BB CBC AC BC CC共有9种等可能的结果数，其中小吉同学抽出的两张卡片中含有A卡片的有5种情况，∴小吉同学抽出的两张卡片中含有A卡片的概率为．17．（5分）甲、乙二人做某种机械零件．已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙做60个所用的时间相等．求乙每小时做零件的个数．【解答】解：设乙每小时做x个零件，甲每小时做（x+6）个零件，根据题意得：＝，解得：x＝12，经检验，x＝12是原方程的解，且符合题意，答：乙每小时做12个零件．18．（5分）如图，在△ABC中，AB＞AC，点D在边AB上，且BD＝CA，过点D作DE∥AC，并截取DE ＝AB，且点C，E在AB同侧，连接BE．求证：△DEB≌△ABC．【解答】证明：∵DE∥AC，∴∠EDB＝∠A．在△DEB与△ABC中，，∴△DEB≌△ABC（SAS）．四、解答题（每小题7分，共28分）19．（7分）图①、图②、图③都是3×3的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．A，B，C均为格点．在给定的网格中，按下列要求画图：（1）在图①中，画一条不与AB重合的线段MN，使MN与AB关于某条直线对称，且M，N为格点．（2）在图②中，画一条不与AC重合的线段PQ，使PQ与AC关于某条直线对称，且P，Q为格点．（3）在图③中，画一个△DEF，使△DEF与△ABC关于某条直线对称，且D，E，F为格点．【解答】解：（1）如图①，MN即为所求；（2）如图②，PQ即为所求；（3）如图③，△DEF即为所求．（答案不唯一）．20．（7分）如图，某班数学小组测量塔的高度，在与塔底部B相距35m的C处，用高1.5m的测角仪CD测得该塔顶端A的仰角∠EDA为36°．求塔AB的高度（结果精确到1m）．（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）【解答】解：设AB与DE交于点F，如图所示：由题意得：DF⊥AB，BF＝CD＝1.5m，DF＝BC＝35m，在Rt△ADF中，∠AFD＝90°，tan∠EDA＝，∴AF＝DF×tan36°≈35×0.73＝25.55（m），∴AB＝AF+BF＝25.55+1.5≈27（m）；答：塔AB的高度约27m．21．（7分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A，B在函数y＝（x＞0）的图象上（点B的横坐标大于点A的横坐标），点A的坐标为（2，4），过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BC⊥x轴于点C，连接OA，AB．（1）求k的值．（2）若D为OC中点，求四边形OABC的面积．【解答】解：（1）将点A的坐标为（2，4）代入y＝（x＞0），可得k＝xy＝2×4＝8，∴k的值为8；（2）∵k的值为8，∴函数y＝的解析式为y＝，∵D为OC中点，OD＝2，∴OC＝4，∴点B的横坐标为4，将x＝4代入y＝，可得y＝2，∴点B的坐标为（4，2），∴S四边形OABC ＝S△AOD+S四边形ABCD＝＝10．22．（7分）2020年3月线上授课期间，小莹、小静和小新为了解所在学校九年级600名学生居家减压方式情况，对该校九年级部分学生居家减压方式进行抽样调查．将居家减压方式分为A（享受美食）、B（交流谈心）、C（室内体育活动）、D（听音乐）和E（其他方式）五类，要求每位被调查者选择一种自己最常用的减压方式．他们将收集的数据进行了整理，绘制的统计表分别为表1、表2和表3．表1：小莹抽取60名男生居家减压方式统计表（单位：人）减压方式A B C D E人数463785表2：小静随机抽取10名学生居家减压方式统计表（单位：人）减压方式A B C D E人数21331表3：小新随机抽取60名学生居家减压方式统计表（单位：人）减压方式A B C D E人数65261310根据以上材料，回答下列问题：（1）小莹、小静和小新三人中，哪一位同学抽样调查的数据能较好地反映出该校九年级学生居家减压方式情况，并简要说明其他两位同学抽样调查的不足之处．（2）根据三人中能较好地反映出该校九年级居家减压方式的调查结果，估计该校九年级600名学生中利用室内体育活动方式进行减压的人数．【解答】解：（1）小新同学抽样调查的数据能较好地反映出该校九年级学生居家减压方式情况，小莹同学调查的只是男生，不具有代表性，小静同学调查的人数偏少，具有片面性，对整体情况的反映容易造成偏差．（2）600×＝260（人），答：该校九年级600名学生中利用室内体育活动方式进行减压的大约有260人．五、解答题（每小题8分，共16分）23．（8分）某种机器工作前先将空油箱加满，然后停止加油立即开始工作．当停止工作时，油箱中油量为5L，在整个过程中，油箱里的油量y（单位：L）与时间x（单位：min）之间的关系如图所示．（1）机器每分钟加油量为3L，机器工作的过程中每分钟耗油量为0.5L．（2）求机器工作时y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．（3）直接写出油箱中油量为油箱容积的一半时x的值．【解答】解：（1）由图象可得，机器每分钟加油量为：30÷10＝3（L），机器工作的过程中每分钟耗油量为：（30﹣5）÷（60﹣10）＝0.5（L），故答案为：3，0.5；（2）当10＜x≤60时，设y关于x的函数解析式为y＝ax+b，，解得，，即机器工作时y关于x的函数解析式为y＝﹣0.5x+35（10＜x≤60）；（3）当3x＝30÷2时，得x＝5，当﹣0.5x+35＝30÷2时，得x＝40，即油箱中油量为油箱容积的一半时x的值是5或40．24．（8分）能够完全重合的平行四边形纸片ABCD和AEFG按图①方式摆放，其中AD＝AG＝5，AB＝9．点D，G分别在边AE，AB上，CD与FG相交于点H．【探究】求证：四边形AGHD是菱形．【操作一】固定图①中的平行四边形纸片ABCD，将平行四边形纸片AEFG绕着点A顺时针旋转一定的角度，使点F与点C重合，如图②．则这两张平行四边形纸片未重叠部分图形的周长和为56．【操作二】将图②中的平行四边形纸片AEFG绕着点A继续顺时针旋转一定的角度，使点E与点B 重合，连接DG，CF，如图③，若sin∠BAD＝，则四边形DCFG的面积为72．【解答】解：【探究】∵四边形ABCD和AEFG都是平行四边形，∴AE∥GF，DC∥AB，∴四边形AGHD是平行四边形，∵AD＝AG，∴四边形AGHD是菱形；【操作一】根据题意得，这两张平行四边形纸片未重叠部分图形的周长和为：ME+EF+MC+AD+DM+AM+AG+GN+AN+BN+BC+NF＝（ME+AM+AG+EF+NF+GN）+（AD+BC+DM+MC+AN+BN）＝2（AE+AG）+2（AB+AD）＝2×（9+5）+2×（9+5）＝56，故答案为：56；【操作二】由题意知，AD＝AG＝5，∠DAB＝∠BAG，又AM＝AM，∴△AMD≌△AMG（SAS），∴DM＝GM，∠AMD＝∠AMG，∵∠AMD+∠AMG＝180°，∴∠AMD＝∠AMG＝90°，∵sin∠BAD＝，∴，∴DM＝AD＝4，∴DG＝8，∵四边形ABCD和四边形AEFG是平行四边形，∴DC∥AB∥GF，DC＝AB＝GF＝9，∴四边形CDGF是平行四边形，∵∠AMD＝90°，∴∠CDG＝∠AMD＝90°，∴四边形CDGF是矩形，∴S＝DG•DC＝8×9＝72，矩形DCFG故答案为：72．六、解答题（每小题10分，共20分）25．（10分）如图，△ABC是等边三角形，AB＝4cm，动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速运动，过点P作PQ⊥AB，交折线AC﹣CB于点Q，以PQ为边作等边三角形PQD，使点A，D 在PQ异侧．设点P的运动时间为x（s）（0＜x＜2），△PQD与△ABC重叠部分图形的面积为y（cm2）．（1）AP的长为2x cm（用含x的代数式表示）．（2）当点D落在边BC上时，求x的值．（3）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．【解答】解：（1）∵动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速运动，∴AP的长为2xcm；故答案为：2x；（2）当点D落在BC上时，如图1，BP＝AB﹣AP＝4﹣2x，∵PQ⊥AB，∴∠QPA＝90°，∵△PQD等边三角形，△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠DPQ＝60°，PQ＝PD，∴∠BPD＝30°，∴∠PDB＝90°，∴PD⊥BC，∴△APQ≌△BDP（AAS），∴BD＝AP＝2x，∵BP＝2BD，∴4﹣2x＝4x，解得x＝；（3）①如图2，当0＜x≤时，∵在Rt△APQ中，AP＝2x，∠A＝60°，∴PQ＝AP•tan60°＝2x，∵△PQD等边三角形，＝2x•3x＝3x2cm2，∴S△PQD所以y＝3x2；②如图3，当点Q与点C重合时，此时CP⊥AB，所以AP＝AB，即2x＝2，解得x＝1，所以当＜x≤1时，如图4，设PD、QD与BC分别相交于点G、H，∵AP＝2x，∴BP＝4﹣2x，AQ＝2AP＝4x，∴BG＝BP＝2﹣x∴PG＝BG＝（2﹣x），∴S△PBG＝BG•PG＝（2﹣x）2，∵AQ＝2AP＝4x，∴CQ＝AC﹣AQ＝4﹣4x，∴QH＝CQ＝（4﹣4x），∴S△QCH＝CQ•QH＝（4﹣4x）2，∵S△ABC＝4×2＝4，∴S四边形PGHQ ＝S△ABC﹣S△PBG﹣S△QCH﹣S△APQ＝4﹣（2﹣x）2﹣（4﹣4x）2﹣×2x×2x ＝﹣x2+18x﹣6，所以y＝﹣x2+18x﹣6；③如图5，当1＜x＜2时，点Q运动在BC边上，设PD与BC相交于点G，此时PG＝BP•sin60°＝（4﹣2x）×＝（2﹣x），∵PB＝4﹣2x，∴BQ＝2BP＝2（4﹣2x）＝4（2﹣x），∴BG＝BP＝2﹣x，∴QG＝BQ﹣BG＝3（2﹣x），∴重叠部分的面积为：S＝PG•QG＝（2﹣x）•3（2﹣x）＝（2﹣x）2．△PQG所以y＝（2﹣x）2．综上所述：y关于x的函数解析式为：当0＜x≤时，y＝3x2；当＜x≤1时，y＝﹣x2+18x﹣6；当1＜x＜2时，y＝（2﹣x）2．26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+与x轴正半轴交于点A，且点A的坐标为（3，0），过点A作垂直于x轴的直线l．P是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m，过点P作PQ⊥l于点Q，M是直线l上的一点，其纵坐标为﹣m+．以PQ，QM为边作矩形PQMN．（1）求b的值．（2）当点Q与点M重合时，求m的值．（3）当矩形PQMN是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求m的值．（4）当抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围．【解答】解：（1）把点A（3，0）代入y＝﹣x2+bx+，得到0＝﹣+3b+，解得b＝1．（2）∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+，∴P（m，﹣m2+m+），∵M，Q重合，∴﹣m+＝﹣m2+m+，解得m＝0或4．（3）y＝﹣x2+x+＝﹣（x﹣1）2+2，∴抛物线的顶点坐标为（1，2），由题意PQ＝MQ，且抛物线的顶点在该正方形内部，∴3﹣m＝﹣m+﹣（﹣m2+m+）且﹣m+＞2，得m＜﹣解得m＝1﹣或1+（不合题意舍弃），∴m＝1﹣．（4）当点P在直线l的左边，点M在点Q下方时，抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y 随x的增大而减小，则有﹣m+＜﹣m2+m+，∴m2﹣4m＜0，解得0＜m＜4，观察图象可知．当0＜m＜3时，抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小，如图4﹣1中，当3＜m＜4时，抛物线不在矩形PQMN内部，不符合题意，当m＞4时，点M在点Q的上方，也满足条件，如图4﹣2中，综上所述，满足条件的m的值为0＜m＜3或m＞4．。
2020年吉林省长春市中考数学试卷(含解析)印刷版
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23．（10 分）如图①，在△ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3．点 P 从点 A 出发，沿折线 AB﹣BC 以每秒 5 个单位长度的速度向点 C 运动，同时点 D 从点 C 出发，沿 CA 以每秒 2 个单位长度的速度向 点 A 运动，点 P 到达点 C 时，点 P、D 同时停止运动．当点 P 不与点 A、C 重合时，作点 P 关于直线 AC 的对称点 Q，连结 PQ 交 AC 于点 E，连结 DP、DQ．设点 P 的运动时间为 t 秒． （1）当点 P 与点 B 重合时，求 t 的值． （2）用含 t 的代数式表示线段 CE 的长． （3）当△PDQ 为等腰直角三角形时，求 t 的取值范围．
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C．
D． 【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项可得． 【解答】解：x≥3﹣2， x≥1， 故选：D． 5．（3 分）比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示，设塔项中心点为点 B，塔身中心线 AB 与垂 直中心线 AC 的夹角为∠A，过点 B 向垂直中心线 AC 引垂线，垂足为点 D．通过测量可得 AB、BD、 AD 的长度，利用测量所得的数据计算∠A 的三角函数值，进而可求∠A 的大小．下列关系式正确的是 （）
（1）甲车的速度为
千米/时，a 的值为
．
（2）求乙车出发后，y 与 x 之间的函数关系式．
（3）当甲、乙两车相距 100 千米时，求甲车行驶的时间．
5
22．（9 分）【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第 121 页的部分内容． 1．把一张矩形纸片如图那样折一下，就可以裁出正方形纸片，为什么？
年．
（2）长春市从 2014 年到 2019 年空气质量为“重度污染”的天数的中位数为
天，平均数为
吉林省2020年中考语文真题试卷(含答案)
吉林省2020年中考语文真题试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四五六七八九十总分评分一、选择题1．下列语句属于肖像描写的一项是（）A．千株老柏，带雨半空青冉冉；万节修篁，含烟一壑色苍苍。
门外奇花布锦，桥边瑶草喷香。
石崖突兀青苔润，悬壁高张翠藓长。
（吴承恩《西游记》）B．武松见大虫扑来，只一闪，闪在大虫背后。
那大虫背后看人最难，便把前爪搭在地下，把腰胯一掀，掀将起来。
武松只一闪，闪在一边。
（施耐庵《水浒传》C．阔大的鼻子，又短又方，真是狮子的相貌！嘴倒长得颇秀气，但下唇有比上唇前突的倾向。
（罗曼·罗兰《名人传》）D．卫葑说：“事情还是好办的。
不当亡国奴是人同此心，要不当亡国奴就得把敌人打出去，这是心同此理。
”（宗璞《南渡记》）二、句子默写2．请在答题卡相应的田字格中或横线上端正地书写正确答案或填写相应选项。
（1）子在川上曰：“逝者如斯夫，。
”（《论语·子罕》）（2）雪下了一夜。
早上出门，看到雪落枝头，到处玉树琼花，不禁脱口而出：“忽如一夜春风来，。
”（岑参《白雪歌送武判官归京》）（3）刘禹锡在《陋室铭》中，写出居室主人交往人物博学儒雅的语句是：，。
（4）晏殊在《浣溪沙》中，借助“花”和“燕等意象感叹美景易逝，时光流转的语句是，。
三、基础知识综合3．书法是我国传统文化和艺术修养的重要组成部分。
请欣赏明代书法家祝枝山的书法作品（局部），依据图片中方框内的句子回答问题（1）关于书法字体，判断正确的一项是（）A．篆书B．隶书C．楷书D．行书（2）将“受命之日寝不安席食不甘味”正确、工整、规范地抄写下来。
（3）若将此句含义用成语表达，正确的一项是（）A．寝食不安B．夜长梦多C．食不果腹D．废寝忘食（4）在我们学过的《出师表》中，与此句意思相近的一项是（）A．五月渡泸，深入不毛B．受命以来，夙夜忧叹C．苟全性命于乱世，不求闻达于诸侯D．咨诹善道，察纳雅言4．阅读语段，按要求完成题目。
2020年吉林省中考数学试卷(有详细解析)
2020年吉林省中考数学试卷班级：___________姓名：___________得分：___________一、选择题（本大题共6小题，共18.0分）1.−6的相反数是()A. 6B. −6C. 16D. −162.国务院总理李克强2020年5月22日在作政府工作报告时说，去年我国农村贫困人口减少11090000，脱贫攻坚取得决定性成就．数据11090000用科学记数法表示为()A. 11.09×106B. 1.109×107C. 1.109×108D. 0.1109×1083.如图，由5个完全相同的小正方体组合成一个立体图形，它的左视图为()A. B. C. D.4.下列运算正确的是()A. a2⋅a3=a6B. (a2)3=a5C. (2a)2=2a2D. a3÷a2=a5.将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠α的大小为()A. 85°B. 75°C. 65°D. 60°6.如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠B=108°，则∠D的大小为()A. 54°B. 62°C. 72°D. 82°二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）7.分解因式：a2−ab=______．8.不等式3x+1>7的解集为______．9.一元二次方程x2+3x−1=0根的判别式的值为______．10.我国古代数学著作《算学启蒙》中有这样一个数学问题，其大意是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马x天可以追上慢马，根据题意，可列方程为______．11.如图，某单位要在河岸l上建一个水泵房引水到C处．他们的做法是：过点C作CD⊥l于点D，将水泵房建在了D处．这样做最节省水管长度，其数学道理是______．12.如图，AB//CD//EF.若ACCE =12，BD=5，则DF=______．13.如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点．若△ADE的面积为12，则四边形DBCE的面积为______．14.如图，在四边形ABCD中，AB=CB，AD=CD，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”.筝形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.以点B为圆心，BO长为半径画弧，分别交AB，BC于点E，F.若∠ABD=∠ACD=30°，AD=1，则EF⏜的长为______(结果保留π)．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）15.先化简，再求值：(a+1)2+a(1−a)−1，其中a=√7．四、解答题（本大题共11小题，共102.0分）16.“中国结”是我国特有的手工编织工艺品，也是一种传统吉祥装饰物．如图，现有三张正面印有“中国结”图案的不透明卡片A，B，C，卡片除正面图案不同外，其余均相同．将三张卡片正面向下洗匀，小吉同学从中随机抽取一张卡片，记下图案后正面向下放回，洗匀后再从中随机抽取一张卡片，请用画树状图或列表的方法，求小吉同学抽出的两张卡片中含有A卡片的概率．17.甲、乙二人做某种机械零件．已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙做60个所用的时间相等．求乙每小时做零件的个数．18.如图，在△ABC中，AB>AC，点D在边AB上，且BD=CA，过点D作DE//AC，并截取DE=AB，且点C，E在AB同侧，连接BE.求证：△DEB≌△ABC．19.图①、图②、图③都是3×3的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．A，B，C均为格点．在给定的网格中，按下列要求画图：(1)在图①中，画一条不与AB重合的线段MN，使MN与AB关于某条直线对称，且M，N为格点．(2)在图②中，画一条不与AC重合的线段PQ，使PQ与AC关于某条直线对称，且P，Q为格点．(3)在图③中，画一个△DEF，使△DEF与△ABC关于某条直线对称，且D，E，F为格点．20.如图，某班数学小组测量塔的高度，在与塔底部B相距35m的C处，用高1.5m的测角仪CD测得该塔顶端A的仰角∠EDA为36°.求塔AB的高度(结果精确到1m)．(参考数据：sin36°=0.59，cos36°=0.81，tan36°=0.73)21.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A，B(x>0)的图象上(点B的横坐标大于点A在函数y=kx的横坐标)，点A的坐标为(2,4)，过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BC⊥x轴于点C，连接OA，AB．(1)求k的值．(2)若D为OC中点，求四边形OABC的面积．22.2020年3月线上授课期间，小莹、小静和小新为了解所在学校九年级600名学生居家减压方式情况，对该校九年级部分学生居家减压方式进行抽样调查．将居家减压方式分为A(享受美食)、B(交流谈心)、C(室内体育活动)、D(听音乐)和E(其他方式)五类，要求每位被调查者选择一种自己最常用的减压方式．他们将收集的数据进行了整理，绘制的统计表分别为表1、表2和表3．表1：小莹抽取60名男生居家减压方式统计表(单位：人)表2：小静随机抽取10名学生居家减压方式统计表(单位：人)表3：小新随机抽取60名学生居家减压方式统计表(单位：人)根据以上材料，回答下列问题：(1)小莹、小静和小新三人中，哪一位同学抽样调查的数据能较好地反映出该校九年级学生居家减压方式情况，并简要说明其他两位同学抽样调查的不足之处．(2)根据三人中能较好地反映出该校九年级居家减压方式的调查结果，估计该校九年级600名学生中利用室内体育活动方式进行减压的人数．23.某种机器工作前先将空油箱加满，然后停止加油立即开始工作．当停止工作时，油箱中油量为5L，在整个过程中，油箱里的油量y(单位：L)与时间x(单位：min)之间的关系如图所示．(1)机器每分钟加油量为______L，机器工作的过程中每分钟耗油量为______L.(2)求机器工作时y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．(3)直接写出油箱中油量为油箱容积的一半时x的值．24.能够完全重合的平行四边形纸片ABCD和AEFG按图①方式摆放，其中AD=AG=5，AB=9.点D，G分别在边AE，AB上，CD与FG相交于点H．【探究】求证：四边形AGHD是菱形．【操作一】固定图①中的平行四边形纸片ABCD，将平行四边形纸片AEFG绕着点A顺时针旋转一定的角度，使点F与点C重合，如图②.则这两张平行四边形纸片未重叠部分图形的周长和为______．【操作二】将图②中的平行四边形纸片AEFG绕着点A继续顺时针旋转一定的角度，使点E与点B重合，连接DG，CF，如图③，若sin∠BAD=4，则四边形DCFG3的面积为______．25.如图，△ABC是等边三角形，AB=4cm，动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速运动，过点P作PQ⊥AB，交折线AC−CB于点Q，以PQ为边作等边三角形PQD，使点A，D在PQ异侧．设点P的运动时间为x(s)(0<x<2)，△PQD 与△ABC重叠部分图形的面积为y(cm2).(1)AP的长为______cm(用含x的代数式表示)．(2)当点D落在边BC上时，求x的值．(3)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．26.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−12x2+bx+32与x轴正半轴交于点A，且点A的坐标为(3,0)，过点A作垂直于x轴的直线l.P是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m，过点P作PQ⊥l于点Q，M是直线l上的一点，其纵坐标为−m+32.以PQ，QM为边作矩形PQMN．(1)求b的值．(2)当点Q与点M重合时，求m的值．(3)当矩形PQMN是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求m的值．(4)当抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围．答案和解析1.A解：−6的相反数是6，2.B解：11090000=1.109×107，3.A解：从左边看第一层是一个小正方形，第二层也是一个小正方形，所以左视图是选项A，4.D解：A、a2⋅a3=a5，原计算错误，故此选项不符合题意；B、(a2)3=a6，原计算错误，故此选项不符合题意；C、(2a)2=4a2，原计算错误，故此选项不符合题意；D、a3÷a2=a，原计算正确，故此选项符合题意；5.B解：如图所示，∵∠BCD=60°，∠BCA=45°，∴∠ACD=∠BCD−∠BCA=60°−45°=15°，∠α=180°−∠D−∠ACD=180°−90°−15°=75°，解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠B=108°，∴∠D=180°−∠B=180°−108°=72°，7.a(a−b)解：a2−ab=a(a−b)．8.x>2解：3x+1>7，移项得：3x>7−1，合并同类项得：3x>6，系数化为1得：x>2，9.13解：∵a=1，b=3，c=−1，∴△=b2−4ac=9+4=13．所以一元二次方程x2+3x−1=0根的判别式的值为13．10.(240−150)x=150×12解：设快马x天可以追上慢马，依题意，得：(240−150)x=150×12．11.垂线段最短解：过点C作CD⊥l于点D，将水泵房建在了D处．这样做最节省水管长度，其数学道理是垂线段最短．解：∵AB//CD//EF，∴BDDF =ACCE=12，∴DF=2BD=2×5=10．13.32解：∵D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE//BC，DE=12BC，∴△ADE∽△ABC，∴S△ADES△ABC =(DEBC)2=(12)2=14，∵△ADE的面积为12，∴△ABC的面积为2，∴四边形DBCE的面积=2−12=32，14.12π解：在△ABD与△CBD中，{AB=CB AD=CD BD=BD，∴△ABD≌△CBD(SSS)，∴∠ABD=∠CBD=30°，∠ADB=∠CDB，CD=AD=1，∴∠ABC=60°，∵AD=CD，∠ADB=∠CDB，∴BD⊥AC，且AO=CO，∴∠ACB=90°−30°=60°，∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°，在Rt△BCD中，∵∠CBD=30°，∴BD=2CD=2，在Rt△COD中，∵∠ACD=30°，∴OD=12CD=12，∴OB=BD−OD=2−12=32，∴EF⏜的长为：60π⋅3 2180=12π，15.解：原式=a2+2a+1+a−a2−1=−a．当a=√7时，原式=−√7．16.解：根据题意列表如下：共有9种等可能的结果数，其中小吉同学抽出的两张卡片中含有A卡片的有1种情况，∴小吉同学抽出的两张卡片中含有A卡片的概率为19．17.解：设乙每小时做x个零件，甲每小时做(x+6)个零件，根据题意得：90x+6=60x，解得：x=12，经检验，x=12是原方程的解，且符合题意，∴x+6=18．答：乙每小时做12个零件．18.证明：∵DE//AC，∴∠EDB=∠A．在△DEB与△ABC中，{DE=AB∠EDB=∠A BD=CA，∴△DEB≌△ABC(SAS)．19.解：(1)如图①，MN即为所求；(2)如图②，PQ即为所求；(3)如图③，△DEF即为所求．20.解：设AB与DE交于点F，如图所示：由题意得：DF⊥AB，BE=CD=1.5m，DF=BC= 35m，在Rt△ADF中，∠AFD=90°，tan∠EDA=AFDF，∴AF=DF×tan36°≈35×0.73=25.55(m)，∴AB=AF+BF=25.55+1.5≈27(m)；答：塔AB的高度约27m．21.解：(1)将点A的坐标为(2,4)代入y=kx(x>0)，可得k=xy=2×4=8，∴k的值为8；(2)∵k的值为8，∴函数y=kx 的解析式为y=8x，∵D为OC中点，OD=2，∴OC=4，∴点B的横坐标为4，将x=4代入y=8x，可得y=2，∴点B 的坐标为(4,2)，∴S 四边形OABC =S △AOD +S 四边形ABCD =12×2×4+12(2+4)×2=10．22. 解：(1)小新同学抽样调查的数据能较好地反映出该校九年级学生居家减压方式情况，小莹同学调查的只是男生，不具有代表性，小静同学调查的人数偏少，具有片面性，对整体情况的反映容易造成偏差．(2)600×2660=260(人)，答：该校九年级600名学生中利用室内体育活动方式进行减压的大约有260人．23. 3 0.5解：(1)由图象可得，机器每分钟加油量为：30÷10=3(L)，机器工作的过程中每分钟耗油量为：(30−5)÷(60−10)=0.5(L)，故答案为：3，0.5；(2)当0≤x ≤10时，设y 关于x 的函数解析式为y =kx ，10k =30，得k =3，即当0≤x ≤10时，y 关于x 的函数解析式为y =3x ，当10<x ≤60时，设y 关于x 的函数解析式为y =ax +b ，{10a +b =3060a +b =5， 解得，{a =−0.5b =35， 即当10<x ≤60时，y 关于x 的函数解析式为y =−0.5x +35，由上可得，y 关于x 的函数解析式为y ={3x (0≤x ≤10)−0.5x +35(10<x ≤60)； (3)当3x =30÷2时，得x =5，当−0.5x +35=30÷2时，得x =40，即油箱中油量为油箱容积的一半时x 的值是5或40．24. 56 120解：【探究】∵四边形ABCD和AEFG都是平行四边形，∴AE//GF，DC//AB，∴四边形AGHD是平行四边形，∵AD=AG，∴四边形AGHD是菱形；【操作一】根据题意得，这两张平行四边形纸片未重叠部分图形的周长和为：ME+EF+MC+AD+DM+AM+AG+GN+AN+BN+BC+NF=(ME+AM+ AG+EF+NF)+(AD+BC+DM+MC+AN+BN)=2(AE+AG)+2(AB+AD)= 2×(9+5)+2×(9+5)=56，故答案为：56；【操作二】由题意知，AD=AG=5，∠DAB=∠BAG，又AM=AM，∴△AMD≌△AMG(SAS)，∴DM=GM，∠AMD=∠AMG，∵∠AMD+∠AMG=180°，∴∠AMD=∠AMG=90°，∵sin∠BAD=43，∴DMAD =43，∴DM=43AD=203，∴DG=403，∵四边形ABCD和四边形AEFG是平行四边形，∴DC//AB//GF，DC=AB=GF=9，∴四边形CDGF是平行四边形，∵∠AMD=90°，∴∠CDG=∠AMD=90°，∴四边形CDGF是矩形，∴S矩形DCFG =DG⋅DC=403×9=120，故答案为：120．25.2x解：(1)∵动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速运动，∴AP的长为2xcm；故答案为：2x；(2)当点D落在BC上时，如图1，BP=AB−AP=4−2x，∵PQ⊥AB，∴∠QPA=90°，∵△PQD等边三角形，△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠DPQ=60°，∴∠BPD=30°，∴∠PDB=90°，∴PD⊥BC，∴△APQ≌△BDP(AAS)，∴BD=AP=2x，∵BP=2BD，∴4−2x=4x，解得x=2；3(3)①如图2，当0<x≤2时，3∵在Rt△APQ中，AP=2x，∠A=60°，∴PQ=AP⋅tan60°=2√3x，∵△PQD等边三角形，∴S△PQD=12×2√3x⋅3x=3√3x2cm2，所以y=3√3x2；②如图3，当点Q运动到与点C重合时，此时CP⊥AB，所以AP=12AB，即2x═2，解得x=1，所以当23<x≤1时，如图4，设PD、QD与BC分别相交于点G、H，∵AP=2x，∴BP=4−2x，AQ=2AP=4x，∴BG=12BP=2−x∴PG=√3BG=√3(2−x)，∴S△PBG=12×BG⋅PG=√32(2−x)2，∵AQ=2AP=4x，∴CQ=AC−AQ=4−4x，∴QH=√3CQ=√3(4−4x)，∴S△QCH=12×CQ⋅QH=√32(4−4x)2，∵S△ABC=12×4×2√3=4√3，∴S四边形PGHQ=S△ABC−S△PBG−S△QCH=4√3−√32(2−x)2−√32(4−4x)2=−17√32x2+18√3x−6√3，所以y=−17√32x2+18√3x−6√3；③如图5，当1<x<2时，点Q运动到BC边上，设PD与BC相交于点G，此时PG=BP⋅sin60°=(4−2x)×√32=√3(2−x)，∵PB=4−2x，∴BQ=2BP=2(4−2x)=4(2−x)，∴BG=12BP=2−x，∴QG=BQ−BG=3(2−x)，∴重叠部分的面积为：S△PQG=12×PG⋅QG=12×√3(2−x)⋅3(2−x)=3√32(2−x)2．所以y=3√32(2−x)2．综上所述：y关于x的函数解析式为：当0<x≤23时，y=3√3x2；当23<x≤1时，y=−17√32x2+18√3x−6√3；当1<x<2时，y=3√32(2−x)2．26.解：(1)把点A(3,0)代入y=−12x2+bx+32，得到0=−92+3b+32，解得b=1．(2)∵抛物线的解析式为y=−12x2+x+32，∴P(m,−12m2+m+32)，∵M，Q重合，∴−m+32=−12m2+m+32，解得m=0或4．(3)由题意PQ=MQ，且抛物线的顶点在该正方形内部∴3−m=−m+32−(−12m2+m+32)，解得m=1−√7或1+√3(不合题意舍弃)，∴m=1−√7．(4)当点P在直线l的左边，点M在点Q是下方下方时，抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小，则有−m+32<−12m2+m+32，∴m2−4m<0，解得0<m<4，观察图象可知．当0<m<3时，抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x 的增大而减小，如图4−1中，当m>4时，点M在点Q的上方，也满足条件，如图4−2中，综上所述，满足条件的m的值为0<m<3或m>4．第21页，共21页。
2020年吉林省吉林市中考英语试卷及答案
2020年吉林省吉林市中考英语试卷及答案英语试题共8页，包括五道大题全卷满分120分，考题时间为120分钟其中听力部分满分20分，考题时间为20分钟。
考题结束后，将本试题和答题卡一并交回。
注意事项：1. 答题前，请将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2. 答题时，请按照考题要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试题上答题无效。
一、听力（共20分）Ⅰ. 情景反应根据你所听到的句子，选择恰当的应答语。
（5分）1. A. You’re welcome. B. I’m fi ne. C. Goodbye.2. A. Good luck. B. Good idea. C. Good night.3. A. Well done B. It’s bad C. Thank you.4. A. It’s right.B It’s rainy. C. I’m OK.5. A. Yes, you do. B. Here you are. C. Sure, I’d love toⅡ. 对话问答根据你所听到的对话及问题，选择正确答案。
（5分）6. A. At5: 00. B. At6: 00. C. At7: 007.7. A. To the bookstore. B. To the park. C. To the cinema.8. A. On Tuesday. B. On Wednesday. C. On Thursday.9. A. A doctor. B. A teacher. C. A farmer.10. A. She is playing tennis. B. She is playing soccer. C. She is playing volleyball. Ⅲ. 图片理解看图听描述，选择与你所听到的描述内容相符合的选项，下列图中有一幅图片与描述内容无关。
（5分）A. B. C. D.E. F.11 12 13 14 15Ⅳ. 短文理解根据你所听到的短文内容，判断下列各句正（T）、误（F）（5分）（）16. Bob has a pet bird named Dudu.（）17. Dudu is only I year old.（）18. Dudu has a pair of small eyes.（）19. When Dudu is tired, she likes to stand on bob’s shoulder.（）20. Dudu likes drinking juice.二、基础知识（共15分）Ⅴ. 句意填词根据所给句子，填入一个适当的单词，使句意完整。
2020年吉林省长春市中考数学试卷及答案解析
2020年吉林省长春市中考数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）如图，数轴上被墨水遮盖的数可能为（）A．﹣1B．﹣1.5C．﹣3D．﹣4.22．（3分）为了增加青少年的校外教育活动场所，长春市将建成面积约为79000平方米的新少年宫，预计2020年12月正式投入使用．79000这个数用科学记数法表示为（）A．79×103B．7.9×104C．0.79×105D．7.9×1053．（3分）下列图形是四棱柱的侧面展开图的是（）A．B．C．D．4．（3分）不等式x+2≥3的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．5．（3分）比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示，设塔项中心点为点B，塔身中心线AB与垂直中心线AC的夹角为∠A，过点B向垂直中心线AC引垂线，垂足为点D．通过测量可得AB、BD、AD的长度，利用测量所得的数据计算∠A的三角函数值，进而可求∠A的大小．下列关系式正确的是（）A．sin A＝B．cos A＝C．tan A＝D．sin A＝6．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠BDC＝20°，则∠AOC的大小为（）A．40°B．140°C．160°D．170°7．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＞AC．按下列步骤作图：①分别以点B和点C为圆心，大于BC一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N；②作直线MN，与边AB相交于点D，连结CD．下列说法不一定正确的是（）A．∠BDN＝∠CDN B．∠ADC＝2∠BC．∠ACD＝∠DCB D．2∠B+∠ACD＝90°8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，2），AB⊥x轴于点B，点C是线段OB上的点，连结AC．点P在线段AC上，且AP＝2PC，函数y＝（x＞0）的图象经过点P．当点C在线段OB上运动时，k的取值范围是（）A．0＜k≤2B．≤k≤3C．≤k≤2D．≤k≤4二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．（3分）长春市净月潭国家森林公园门票的价格为成人票每张30元，儿童票每张15元．若购买m张成人票和n张儿童票，则共需花费元．10．（3分）分解因式：a2﹣4＝．11．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为．12．（3分）正五边形的一个外角的大小为度．13．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，以点C为圆心，线段CA的长为半径作，交CB的延长线于点D，则阴影部分的面积为（结果保留π）．14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（4，2）．若抛物线y＝﹣（x﹣h）2+k（h、k为常数）与线段AB交于C、D两点，且CD＝AB，则k的值为．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．（6分）先化简，再求值：（a﹣3）2+2（3a﹣1），其中a＝．16．（6分）现有三张不透明的卡片，其中两张卡片的正面图案为“神舟首飞”，第三张卡片的正面图案为“保卫和平”，卡片除正面图案不同外，其余均相同．将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的概率．（图案为“神舟首飞”的两张卡片分别记为A1、A2，图案为“保卫和平”的卡片记为B）17．（6分）图①、图②、图③均是3×3的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求以AB为边画△ABC．要求：（1）在图①中画一个钝角三角形，在图②中画一个直角三角形，在图③中画一个锐角三角形；（2）三个图中所画的三角形的面积均不相等；（3）点C在格点上．18．（7分）在国家精准扶贫的政策下，某村企生产的黑木耳获得了国家绿色食品标准认证，绿标的认证，使该村企的黑木耳在市场上更有竞争力，今年每斤黑木耳的售价比去年增加了20元．预计今年的销量是去年的3倍，年销售额为360万元．已知去年的年销售额为80万元，问该村企去年黑木耳的年销量为多少万斤？19．（7分）如图，在▱ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．（1）求证：OE＝OF．（2）若BE＝5，OF＝2，求tan∠OBE的值．20．（7分）空气质量按照空气质量指数大小分为六个级别，分别为：一级优、二级良、三级轻度污染、四级中度污染、五级重度污染、六级严重污染．级别越高，说明污染的情况越严重，对人体的健康危害也就越大．空气质量达到一级优或二级良的天气为达标天气，如图是长春市从2014年到2019年的空气质量级别天数的统计图表．2014﹣2019年长春市空气质量级别天数统计表优良轻度污染中度污染重度污染严重污染空气质量级别天数年份201430215732813620154319387191582016512375815502017652116216922018123202390102019126180381650根据上面的统计图表回答下列问题：（1）长春市从2014年到2019年空气质量为“达标”的天数最多的是年．（2）长春市从2014年到2019年空气质量为“重度污染”的天数的中位数为天，平均数为天．（3）长春市从2015年到2019年，和前一年相比，空气质量为“优”的天数增加最多的是年，这一年空气质量为“优”的天数的年增长率约为（精确到1%）．（空气质量为“优”的天数的增长率＝×100%）（4）你认为长春市从2014年到2019年哪一年的空气质量好？请说明理由．21．（8分）已知A、B两地之间有一条长240千米的公路．甲车从A地出发匀速开往B地，甲车出发两小时后，乙车从B地出发匀速开往A地，两车同时到达各自的目的地．两车行驶的路程之和y（千米）与甲车行驶的时间x（时）之间的函数关系如图所示．（1）甲车的速度为千米/时，a的值为．（2）求乙车出发后，y与x之间的函数关系式．（3）当甲、乙两车相距100千米时，求甲车行驶的时间．22．（9分）【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第121页的部分内容．1．把一张矩形纸片如图那样折一下，就可以裁出正方形纸片，为什么？【问题解决】如图①，已知矩形纸片ABCD（AB＞AD），将矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在边DC上，点A的对应点为A′，折痕为DE，点E在AB上．求证：四边形AEA′D是正方形．【规律探索】由【问题解决】可知，图①中的△A′DE为等腰三角形．现将图①中的点A′沿DC向右平移至点Q处（点Q在点C的左侧），如图②，折痕为PF，点F在DC 上，点P在AB上，那么△PQF还是等腰三角形吗？请说明理由．【结论应用】在图②中，当QC＝QP时，将矩形纸片继续折叠如图③，使点C与点P 重合，折痕为QG，点G在AB上．要使四边形PGQF为菱形，则＝．23．（10分）如图①，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3．点P从点A出发，沿折线AB﹣BC以每秒5个单位长度的速度向点C运动，同时点D从点C出发，沿CA以每秒2个单位长度的速度向点A运动，点P到达点C时，点P、D同时停止运动．当点P不与点A、C重合时，作点P关于直线AC的对称点Q，连结PQ交AC于点E，连结DP、DQ．设点P的运动时间为t秒．（1）当点P与点B重合时，求t的值．（2）用含t的代数式表示线段CE的长．（3）当△PDQ为锐角三角形时，求t的取值范围．（4）如图②，取PD的中点M，连结QM．当直线QM与△ABC的一条直角边平行时，直接写出t的值．24．（12分）在平面直角坐标系中，函数y＝x2﹣2ax﹣1（a为常数）的图象与y轴交于点A．（1）求点A的坐标．（2）当此函数图象经过点（1，2）时，求此函数的表达式，并写出函数值y随x的增大而增大时x的取值范围．（3）当x≤0时，若函数y＝x2﹣2ax﹣1（a为常数）的图象的最低点到直线y＝2a的距离为2，求a的值．（4）设a＜0，Rt△EFG三个顶点的坐标分别为E（﹣1，﹣1）、F（﹣1，a﹣1）、G（0，a﹣1）．当函数y＝x2﹣2ax﹣1（a为常数）的图象与△EFG的直角边有交点时，交点记为点P．过点P作y轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为P′（P′与P不重合），过点A作y轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为A′．若AA′＝2PP′，直接写出a的值．2020年吉林省长春市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）如图，数轴上被墨水遮盖的数可能为（）A．﹣1B．﹣1.5C．﹣3D．﹣4.2【解答】解：由数轴上墨迹的位置可知，该数大于﹣4，且小于﹣2，因此备选项中，只有选项C符合题意，故选：C．2．（3分）为了增加青少年的校外教育活动场所，长春市将建成面积约为79000平方米的新少年宫，预计2020年12月正式投入使用．79000这个数用科学记数法表示为（）A．79×103B．7.9×104C．0.79×105D．7.9×105【解答】解：79000这个数用科学记数法表示为：7.9×104．故选：B．3．（3分）下列图形是四棱柱的侧面展开图的是（）A．B．C．D．【解答】解：由四棱柱的特点可知：四棱柱的侧面展开图是矩形．故选：A．4．（3分）不等式x+2≥3的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【解答】解：x≥3﹣2，x≥1，故选：D．5．（3分）比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示，设塔项中心点为点B，塔身中心线AB与垂直中心线AC的夹角为∠A，过点B向垂直中心线AC引垂线，垂足为点D．通过测量可得AB、BD、AD的长度，利用测量所得的数据计算∠A的三角函数值，进而可求∠A的大小．下列关系式正确的是（）A．sin A＝B．cos A＝C．tan A＝D．sin A＝【解答】解：在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，则sin A＝，cos A＝，tan A＝，因此选项A正确，选项B、C、D不正确；故选：A．6．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠BDC＝20°，则∠AOC的大小为（）A．40°B．140°C．160°D．170°【解答】解：∵∠BOC＝2∠BDC＝2×20°＝40°，∴∠AOC＝180°﹣40°＝140°．故选：B．7．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＞AC．按下列步骤作图：①分别以点B和点C为圆心，大于BC一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N；②作直线MN，与边AB相交于点D，连结CD．下列说法不一定正确的是（）A．∠BDN＝∠CDN B．∠ADC＝2∠BC．∠ACD＝∠DCB D．2∠B+∠ACD＝90°【解答】解：由作图可知，MN垂直平分线段BC，∴DB＝DC，MN⊥BC，∴∠BDN＝∠CDN，∠DBC＝∠DCB，∴∠ADC＝∠B+∠DCB＝2∠B，∵∠A＝90°，∴∠ADC+∠ACD＝90°，∴2∠B+∠ACD＝90°，故选项A，B，D正确，故选：C．8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，2），AB⊥x轴于点B，点C是线段OB上的点，连结AC．点P在线段AC上，且AP＝2PC，函数y＝（x＞0）的图象经过点P．当点C在线段OB上运动时，k的取值范围是（）A．0＜k≤2B．≤k≤3C．≤k≤2D．≤k≤4【解答】解：∵点A的坐标为（3，2），AB⊥x轴于点B，∴OB＝3，AB＝2，设C（c，0）（0≤c≤3），过P作PD⊥x轴于点D，则BC＝3﹣c，PD∥AB，OC＝c，∴△PCD∽△ACB，∴，∵AP＝2PC，∴，∴PD＝，CD＝1﹣c，∴OD＝OC+CD＝1+c，∴P（1+c，），把P（1+c，）代入函数y＝（x＞0）中，得k＝c，∵0≤c≤3∴，故选：C．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．（3分）长春市净月潭国家森林公园门票的价格为成人票每张30元，儿童票每张15元．若购买m张成人票和n张儿童票，则共需花费（30m+15n）元．【解答】解：根据单价×数量＝总价得，（30m+15n）元，故答案为：（30m+15n）．10．（3分）分解因式：a2﹣4＝（a+2）（a﹣2）．【解答】解：a2﹣4＝（a+2）（a﹣2）．11．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为1．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，∴△＝0，∴（﹣2）2﹣4m＝0，∴m＝1，故答案为：1．12．（3分）正五边形的一个外角的大小为72度．【解答】解：正五边形的一个外角＝＝72°．故答案为：72．13．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，以点C为圆心，线段CA的长为半径作，交CB的延长线于点D，则阴影部分的面积为π﹣2（结果保留π）．【解答】解：∵AB＝CB＝2，∠ABC＝90°，∴AC＝＝＝2，∴∠C＝∠BAC＝45°，∴S阴＝S扇形CAD﹣S△ACB＝﹣×2×2＝π﹣2，故答案为π﹣2．14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（4，2）．若抛物线y＝﹣（x﹣h）2+k（h、k为常数）与线段AB交于C、D两点，且CD＝AB，则k的值为．【解答】解：∵点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（4，2），∴AB＝4，∵抛物线y＝﹣（x﹣h）2+k（h、k为常数）与线段AB交于C、D两点，且CD＝AB ＝2，∴设点C的坐标为（c，2），则点D的坐标为（c+2，2），h＝＝c+1，∴抛物线2＝﹣[c﹣（c+1）]2+k，解得，k＝．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．（6分）先化简，再求值：（a﹣3）2+2（3a﹣1），其中a＝．【解答】解：原式＝a2﹣6a+9+6a﹣2＝a2+7．当a＝时，原式＝（）2+7＝9．16．（6分）现有三张不透明的卡片，其中两张卡片的正面图案为“神舟首飞”，第三张卡片的正面图案为“保卫和平”，卡片除正面图案不同外，其余均相同．将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的概率．（图案为“神舟首飞”的两张卡片分别记为A1、A2，图案为“保卫和平”的卡片记为B）【解答】解：根据题意画图如下：共有9种等可能的情况数，其中两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的有1种，则两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的概率是．17．（6分）图①、图②、图③均是3×3的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求以AB为边画△ABC．要求：（1）在图①中画一个钝角三角形，在图②中画一个直角三角形，在图③中画一个锐角三角形；（2）三个图中所画的三角形的面积均不相等；（3）点C在格点上．【解答】解：如图所示：即为符合条件的三角形．18．（7分）在国家精准扶贫的政策下，某村企生产的黑木耳获得了国家绿色食品标准认证，绿标的认证，使该村企的黑木耳在市场上更有竞争力，今年每斤黑木耳的售价比去年增加了20元．预计今年的销量是去年的3倍，年销售额为360万元．已知去年的年销售额为80万元，问该村企去年黑木耳的年销量为多少万斤？【解答】解：设该村企去年黑木耳的年销量为x万斤，则今年黑木耳的年销量为3x万斤，依题意，得：﹣＝20，解得：x＝2，经检验，x＝2是原方程的解，且符合题意．答：该村企去年黑木耳的年销量为2万斤．19．（7分）如图，在▱ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．（1）求证：OE＝OF．（2）若BE＝5，OF＝2，求tan∠OBE的值．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，∵BE⊥AC，DF⊥AC，∴∠OEB＝∠OFD＝90°，在△OEB和△OFD中，，∴△OEB≌△OFD（AAS），∴OE＝OF；（2）解：由（1）得：OE＝OF，∵OF＝2，∴OE＝2，∵BE⊥AC，∴∠OEB＝90°，在Rt△OEB中，tan∠OBE ＝＝．20．（7分）空气质量按照空气质量指数大小分为六个级别，分别为：一级优、二级良、三级轻度污染、四级中度污染、五级重度污染、六级严重污染．级别越高，说明污染的情况越严重，对人体的健康危害也就越大．空气质量达到一级优或二级良的天气为达标天气，如图是长春市从2014年到2019年的空气质量级别天数的统计图表．2014﹣2019年长春市空气质量级别天数统计表优良轻度污染中度污染重度污染严重污染空气质量级别天数年份201430215732813620154319387191582016512375815502017652116216922018123202390102019126180381650根据上面的统计图表回答下列问题：（1）长春市从2014年到2019年空气质量为“达标”的天数最多的是2018年．（2）长春市从2014年到2019年空气质量为“重度污染”的天数的中位数为7天，平均数为8天．（3）长春市从2015年到2019年，和前一年相比，空气质量为“优”的天数增加最多的是2018年，这一年空气质量为“优”的天数的年增长率约为89%（精确到1%）．（空气质量为“优”的天数的增长率＝×100%）（4）你认为长春市从2014年到2019年哪一年的空气质量好？请说明理由．【解答】解：（1）从折线统计图中“达标”天数的折线的最高点，相应的年份为2018年，故答案为：2018；（2）将这6年的“重度污染”的天数从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为＝7，因此中位数是7天，这6年的“重度污染”的天数的平均数为＝8天，故答案为：7，8；（3）前一年相比，空气质量为“优”的天数增加量为：2015年，43﹣30＝13天；2016年，51﹣43＝8天；2017年，65﹣51＝14天；2018年，123﹣65＝58天；2019年，126﹣123＝3天，因此空气质量为“优”的天数增加最多的是2018年，增长率为≈89%，故答案为：2018，89%；（4）从统计表中数据可知，2018年空气质量好，2018年“达标天数”最多，重度污染、中度污染、严重污染的天数最少．21．（8分）已知A、B两地之间有一条长240千米的公路．甲车从A地出发匀速开往B地，甲车出发两小时后，乙车从B地出发匀速开往A地，两车同时到达各自的目的地．两车行驶的路程之和y（千米）与甲车行驶的时间x（时）之间的函数关系如图所示．（1）甲车的速度为40千米/时，a的值为480．（2）求乙车出发后，y与x之间的函数关系式．（3）当甲、乙两车相距100千米时，求甲车行驶的时间．【解答】解：（1）由题意可知，甲车的速度为：80÷2＝40（千米/时）；a＝40×6×2＝480，故答案为：40；480；（2）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，由图可知，函数图象经过（2，80），（6，480），∴，解得，∴y与x之间的函数关系式为y＝100x﹣120；（3）两车相遇前：80+100（x﹣2）＝240﹣100，解得x＝；两车相遇后：80+100（x﹣2）＝240+100，解得x＝，答：当甲、乙两车相距100千米时，甲车行驶的时间是小时或小时．22．（9分）【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第121页的部分内容．1．把一张矩形纸片如图那样折一下，就可以裁出正方形纸片，为什么？【问题解决】如图①，已知矩形纸片ABCD（AB＞AD），将矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在边DC上，点A的对应点为A′，折痕为DE，点E在AB上．求证：四边形AEA′D是正方形．【规律探索】由【问题解决】可知，图①中的△A′DE为等腰三角形．现将图①中的点A′沿DC向右平移至点Q处（点Q在点C的左侧），如图②，折痕为PF，点F在DC 上，点P在AB上，那么△PQF还是等腰三角形吗？请说明理由．【结论应用】在图②中，当QC＝QP时，将矩形纸片继续折叠如图③，使点C与点P 重合，折痕为QG，点G在AB上．要使四边形PGQF为菱形，则＝．【解答】（1）证明：如图①中，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ADA′＝90°，由翻折可知，∠DA′E＝∠A＝90°，∴∠A＝∠ADA′＝∠DA′E＝90°，∴四边形AEA′D是矩形，∵DA＝DA′，∴四边形AEA′D是正方形．（2）解：结论：△PQF是等腰三角形．理由：如图②中，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠QFP＝∠APF，由翻折可知，∠APF＝∠FPQ，∴∠QFP＝∠FPQ，∴QF＝QP，∴△PFQ是等腰三角形．（3）如图③中，∵四边形PGQF是菱形，∴PG＝GQ＝FQ＝PF，∵QF＝QP，∴△PFQ，△PGA都是等边三角形，设QF＝m，∵∠FQP＝60°，∠PQD′＝90°，∴∠DQD′＝30°，∵∠D′＝90°，∴FD′＝DF＝FQ＝m，QD′＝D′F＝m，由翻折可知，AD＝QD′＝m，PQ＝CQ＝FQ＝m，∴AB＝CD＝DF+FQ+CQ＝m，∴＝＝．故答案为．23．（10分）如图①，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3．点P从点A出发，沿折线AB﹣BC以每秒5个单位长度的速度向点C运动，同时点D从点C出发，沿CA以每秒2个单位长度的速度向点A运动，点P到达点C时，点P、D同时停止运动．当点P不与点A、C重合时，作点P关于直线AC的对称点Q，连结PQ交AC于点E，连结DP、DQ．设点P的运动时间为t秒．（1）当点P与点B重合时，求t的值．（2）用含t的代数式表示线段CE的长．（3）当△PDQ为锐角三角形时，求t的取值范围．（4）如图②，取PD的中点M，连结QM．当直线QM与△ABC的一条直角边平行时，直接写出t的值．【解答】解：（1）当点P与B重合时，5t＝4，解得t＝．（2）在Rt△ABC中，∵∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，∴AC＝＝＝5，∴sin A＝，cos A＝，如图①中，当点P在线段AB上时，在Rt△APE中，AE＝AP•cos A＝4t，∴EC＝5﹣4t．如图③中，当点P在线段BC上时，在Rt△PEC中，PC＝7﹣5t，cos C＝，∴EC＝PC•cos C＝（7﹣5t）＝﹣3t．（3）当△PDQ是等腰直角三角形时，则PE＝DE，如图④中，当点P在线段AB上时，在Rt△APE中，PE＝P A•sin A＝3t，∵DE＝AC﹣AE﹣CD﹣5﹣4t﹣2t＝5﹣6t，∵PE＝DE，∴3t＝5﹣6t，∴t＝．如图⑤中，当点P在线段BC上时，在Rt△PCE中，PE＝PC•sin C＝（7﹣5t）＝﹣4t，∵DE＝CD﹣CE＝2t﹣（7﹣5t）＝5t﹣，∴﹣4t＝5t﹣，解得t＝．观察图象可知满足条件的t的值为0＜t＜或＜t＜．（4）如图⑥中，当点P在线段AB上，QM∥AB时，过点Q作QG⊥AB于G，延长QN交BC于N，过点D作DH⊥BC于H．∵PB∥MN∥DH，PM＝DM，∴BN＝NH，在RtPQG中，PQ＝2PE＝6t，∴QG＝PQ＝t，在Rt△DCH中，HC＝DC＝t，∵BC＝BH+CH＝t+t+t＝3，解得t＝．如图⑦中，当点P在线段BC上，QM∥BC时，点点D作DH⊥BC于H，过点P作PK⊥QM于K．∵QM∥BC，DM＝PM，∴DH＝2PK，在Rt△PQK中，PQ＝2PE＝（7﹣5t），∴PK＝PQ＝（7﹣5t），在Rt△DCH中，DH＝DC＝t，∵DH＝2PK，∴t＝2×（7﹣5t），解得t＝，综上所述，满足条件的t的值为或．24．（12分）在平面直角坐标系中，函数y＝x2﹣2ax﹣1（a为常数）的图象与y轴交于点A．（1）求点A的坐标．（2）当此函数图象经过点（1，2）时，求此函数的表达式，并写出函数值y随x的增大而增大时x的取值范围．（3）当x≤0时，若函数y＝x2﹣2ax﹣1（a为常数）的图象的最低点到直线y＝2a的距离为2，求a的值．（4）设a＜0，Rt△EFG三个顶点的坐标分别为E（﹣1，﹣1）、F（﹣1，a﹣1）、G（0，a﹣1）．当函数y＝x2﹣2ax﹣1（a为常数）的图象与△EFG的直角边有交点时，交点记为点P．过点P作y轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为P′（P′与P不重合），过点A作y轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为A′．若AA′＝2PP′，直接写出a的值．【解答】解：（1）当x＝0时，y＝x2﹣2ax﹣1＝﹣1，∴点A的坐标为：（0，﹣1）；（2）将点（1，2）代入y＝x2﹣2ax﹣1，得：2＝1﹣2a﹣1，解得：a＝﹣1，∴函数的表达式为：y＝x2+2x﹣1，∵y＝x2+2x﹣1＝（x+1）2﹣2，∴抛物线的开口向上，对称轴为x＝﹣1，如图1所示：∴当x＞﹣1时，y随x的增大而增大；（3）抛物线y＝x2﹣2ax﹣1＝（x﹣a）2﹣a2﹣1的对称轴为：x＝a，顶点坐标为：（a，﹣a2﹣1），当a＞0时，对称轴在y轴右侧，如图2所示：∵x≤0，∴最低点就是A（0，﹣1），∵图象的最低点到直线y＝2a的距离为2，∴2a﹣（﹣1）＝2，解得：a＝；当a＜0，对称轴在y轴左侧，顶点（a，﹣a2﹣1）就是最低点，如图3所示：∴2a﹣（﹣a2﹣1）＝2，整理得：（a+1）2＝2，解得：a1＝﹣1﹣，a2＝﹣1+（不合题意舍去）；综上所述，a的值为或﹣1﹣；（4）∵a＜0，Rt△EFG三个顶点的坐标分别为E（﹣1，﹣1）、F（﹣1，a﹣1）、G（0，a﹣1），∴直角边为EF与FG，∵抛物线y＝x2﹣2ax﹣1＝（x﹣a）2﹣a2﹣1的对称轴为：x＝a，A（0，﹣1），∴AA′＝﹣2a，当点P在EF边上时，如图4所示：则x p＝﹣1，∵EA＝OA＝1，∴点P在对称轴x＝a的左侧，∴PP′＝2（a+1），∵AA′＝2PP′，∴﹣2a＝2×2（a+1），解得：a＝﹣；当点P在FG边上时，如图5所示：则y p＝a﹣1，∴x2﹣2ax﹣1＝a﹣1，解得：x1＝a+，x2＝a﹣，∴PP′＝a+﹣（a﹣）＝2，∵AA′＝2PP′，∴﹣2a＝4，解得：a1＝﹣，a2＝0（不合题意舍去）；综上所述，a的值为﹣或﹣．。
2020年吉林省数学中考试卷答案
2020年吉林省中考数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（每小题2分，共12分）1．【解答】解：﹣6的相反数是6，故选：A．2．【解答】解：11090000＝1.109×107，故选：B．3．【解答】解：从左边看第一层是一个小正方形，第二层也是一个小正方形，所以左视图是选项A，故选：A．4．【解答】解：A、a2•a3＝a5，原计算错误，故此选项不符合题意；B、（a2）3＝a6，原计算错误，故此选项不符合题意；C、（2a）2＝4a2，原计算错误，故此选项不符合题意；D、a3÷a2＝a，原计算正确，故此选项符合题意；故选：D．5．【解答】解：如图所示，∵∠BCD＝60°，∠BCA＝45°，∴∠ACD＝∠BCD﹣∠BCA＝60°﹣45°＝15°，∠α＝180°﹣∠D﹣∠ACD＝180°﹣90°﹣15°＝75°，故选：B．6．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠B＝108°，∴∠D＝180°﹣∠B＝180°﹣108°＝72°，故选：C．二、填空题（每小题3分，共24分）7．【解答】解：a2﹣ab＝a（a﹣b）．8．【解答】解：3x+1＞7，移项得：3x＞7﹣1，合并同类项得：3x＞6，系数化为1得：x＞2，故答案为：x＞2．9．【解答】解：∵a＝1，b＝3，c＝﹣1，∴△＝b2﹣4ac＝9+4＝13．所以一元二次方程x2+3x﹣1＝0根的判别式的值为13．故答案为：13．10．【解答】解：设快马x天可以追上慢马，依题意，得：（240﹣150）x＝150×12．故答案为：（240﹣150）x＝150×12．11．【解答】解：过点C作CD⊥l于点D，将水泵房建在了D处．这样做最节省水管长度，其数学道理是垂线段最短．故答案为：垂线段最短．12．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴＝＝，∴DF＝2BD＝2×5＝10．故答案为10．13．【解答】解：∵D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE＝BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝（）2＝（）2＝，∵△ADE的面积为，∴△ABC的面积为2，∴四边形DBCE的面积＝2﹣＝，故答案为：．14．【解答】解：在△ABD与△CBD中，，∴△ABD≌△CBD（SSS），∴∠ABD＝∠CBD＝30°，∠ADB＝∠CDB，CD＝AD＝1，∴∠ABC＝60°，∵AD＝CD，∠ADB＝∠CDB，∴BD⊥AC，且AO＝CO，∴∠ACB＝90°﹣30°＝60°，∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°，在Rt△BCD中，∵∠CBD＝30°，∴BD＝2CD＝2，在Rt△COD中，∵∠ACD＝30°，∴OD＝CD＝，∴OB＝BD﹣OD＝2﹣＝，∴的长为：＝，故答案为．三、解答题（每小题5分，共20分）15．【解答】解：原式＝a2+2a+1+a﹣a2﹣1＝3a．当a＝时，原式＝3．16．【解答】解：根据题意列表如下：共有9种等可能的结果数，其中小吉同学抽出的两张卡片中含有A卡片的有5种情况，∴小吉同学抽出的两张卡片中含有A卡片的概率为．17．【解答】解：设乙每小时做x个零件，甲每小时做（x+6）个零件，根据题意得：＝，解得：x＝12，经检验，x＝12是原方程的解，且符合题意，答：乙每小时做12个零件．18．【解答】证明：∵DE∥AC，∴∠EDB＝∠A．在△DEB与△ABC中，，∴△DEB≌△ABC（SAS）．四、解答题（每小题7分，共28分）19．【解答】解：（1）如图①，MN即为所求；（2）如图②，PQ即为所求；（3）如图③，△DEF即为所求．（答案不唯一）．20．【解答】解：设AB与DE交于点F，如图所示：由题意得：DF⊥AB，BF＝CD＝1.5m，DF＝BC＝35m，在Rt△ADF中，∠AFD＝90°，tan∠EDA＝，∴AF＝DF×tan36°≈35×0.73＝25.55（m），∴AB＝AF+BF＝25.55+1.5≈27（m）；答：塔AB的高度约27m．21．【解答】解：（1）将点A的坐标为（2，4）代入y＝（x＞0），可得k＝xy＝2×4＝8，∴k的值为8；（2）∵k的值为8，∴函数y＝的解析式为y＝，∵D为OC中点，OD＝2，∴OC＝4，∴点B的横坐标为4，将x＝4代入y＝，可得y＝2，∴点B的坐标为（4，2），∴S四边形OABC＝S△AOD+S四边形ABCD＝＝10．22．【解答】解：（1）小新同学抽样调查的数据能较好地反映出该校九年级学生居家减压方式情况，小莹同学调查的只是男生，不具有代表性，小静同学调查的人数偏少，具有片面性，对整体情况的反映容易造成偏差．（2）600×＝260（人），答：该校九年级600名学生中利用室内体育活动方式进行减压的大约有260人．五、解答题（每小题8分，共16分）23．【解答】解：（1）由图象可得，机器每分钟加油量为：30÷10＝3（L），机器工作的过程中每分钟耗油量为：（30﹣5）÷（60﹣10）＝0.5（L），故答案为：3，0.5；（2）当10＜x≤60时，设y关于x的函数解析式为y＝ax+b，，解得，，即机器工作时y关于x的函数解析式为y＝﹣0.5x+35（10＜x≤60）；（3）当3x＝30÷2时，得x＝5，当﹣0.5x+35＝30÷2时，得x＝40，即油箱中油量为油箱容积的一半时x的值是5或40．24．【解答】解：【探究】∵四边形ABCD和AEFG都是平行四边形，∴AE∥GF，DC∥AB，∴四边形AGHD是平行四边形，∵AD＝AG，∴四边形AGHD是菱形；【操作一】根据题意得，这两张平行四边形纸片未重叠部分图形的周长和为：ME+EF+MC+AD+DM+AM+AG+GN+AN+BN+BC+NF＝（ME+AM+AG+EF+NF+GN）+（AD+BC+DM+MC+AN+BN）＝2（AE+AG）+2（AB+AD）＝2×（9+5）+2×（9+5）＝56，故答案为：56；【操作二】由题意知，AD＝AG＝5，∠DAB＝∠BAG，又AM＝AM，∴△AMD≌△AMG（SAS），∴DM＝GM，∠AMD＝∠AMG，∵∠AMD+∠AMG＝180°，∴∠AMD＝∠AMG＝90°，∵sin∠BAD＝，∴，∴DM＝AD＝4，∴DG＝8，∵四边形ABCD和四边形AEFG是平行四边形，∴DC∥AB∥GF，DC＝AB＝GF＝9，∴四边形CDGF是平行四边形，∵∠AMD＝90°，∴∠CDG＝∠AMD＝90°，∴四边形CDGF是矩形，∴S矩形DCFG＝DG•DC＝8×9＝72，故答案为：72．六、解答题（每小题10分，共20分）25．【解答】解：（1）∵动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速运动，∴AP的长为2xcm；故答案为：2x；（2）当点D落在BC上时，如图1，BP＝AB﹣AP＝4﹣2x，∵PQ⊥AB，∴∠QP A＝90°，∵△PQD等边三角形，△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠DPQ＝60°，PQ＝PD，∴∠BPD＝30°，∴∠PDB＝90°，∴PD⊥BC，∴△APQ≌△BDP（AAS），∴BD＝AP＝2x，∵BP＝2BD，∴4﹣2x＝4x，解得x＝；（3）①如图2，当0＜x≤时，∵在Rt△APQ中，AP＝2x，∠A＝60°，∴PQ＝AP•tan60°＝2x，∵△PQD等边三角形，∴S△PQD＝2x•3x＝3x2cm2，所以y＝3x2；②如图3，当点Q与点C重合时，此时CP⊥AB，所以AP＝AB，即2x═2，解得x＝1，所以当＜x≤1时，如图4，设PD、QD与BC分别相交于点G、H，∵AP＝2x，∴BP＝4﹣2x，AQ＝2AP＝4x，∴BG＝BP＝2﹣x∴PG＝BG＝（2﹣x），∴S△PBG＝BG•PG＝（2﹣x）2，∵AQ＝2AP＝4x，∴CQ＝AC﹣AQ＝4﹣4x，∴QH＝CQ＝（4﹣4x），∴S△QCH＝CQ•QH＝（4﹣4x）2，∵S△ABC＝4×2＝4，∴S四边形PGHQ＝S△ABC﹣S△PBG﹣S△QCH﹣S△APQ＝4﹣（2﹣x）2﹣（4﹣4x）2﹣×2x×2x＝﹣x2+18x﹣6，所以y＝﹣x2+18x﹣6；③如图5，当1＜x＜2时，点Q运动在BC边上，设PD与BC相交于点G，此时PG＝BP•sin60°＝（4﹣2x）×＝（2﹣x），∵PB＝4﹣2x，∴BQ＝2BP＝2（4﹣2x）＝4（2﹣x），∴BG＝BP＝2﹣x，∴QG＝BQ﹣BG＝3（2﹣x），∴重叠部分的面积为：S△PQG＝PG•QG＝（2﹣x）•3（2﹣x）＝（2﹣x）2．所以y＝（2﹣x）2．综上所述：y关于x的函数解析式为：当0＜x≤时，y＝3x2；当＜x≤1时，y＝﹣x2+18x﹣6；当1＜x＜2时，y＝（2﹣x）2．26．【解答】解：（1）把点A（3，0）代入y＝﹣x2+bx+，得到0＝﹣+3b+，解得b＝1．（2）∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+，∴P（m，﹣m2+m+），∵M，Q重合，∴﹣m+＝﹣m2+m+，解得m＝0或4．（3）y＝﹣x2+x+＝﹣（x﹣1）2+2，∴抛物线的顶点坐标为（1，2），由题意PQ＝MQ，且抛物线的顶点在该正方形内部，∴3﹣m＝﹣m+﹣（﹣m2+m+）且﹣m+＞2，得m＜﹣解得m＝1﹣或1+（不合题意舍弃），∴m＝1﹣．（4）当点P在直线l的左边，点M在点Q下方时，抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小，则有﹣m+＜﹣m2+m+，∴m2﹣4m＜0，解得0＜m＜4，观察图象可知．当0＜m＜3时，抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小，如图4﹣1中，当3＜m＜4时，抛物线不在矩形PQMN内部，不符合题意，当m＞4时，点M在点Q的上方，也满足条件，如图4﹣2中，综上所述，满足条件的m的值为0＜m＜3或m＞4．第11 页共11 页。