统计学第六章 抽样估计
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第六章
抽样估计
一、参数与统计量
参数是指描述总体分布状况的数。
统计量是指由样本构造出来的数。 抽样估计，就是由统计量推断总体的过程。
例如，一个班的学生的平均年龄为21岁，
平均年龄即为班级总体的一个参数；在班级中 抽出20名学生，了解其年龄，并根据20名学生 的年龄计算平均数为21.5岁，则21.5即为由样 本构造出来的统计量。
4、抽样的组织形式
抽样的组织形式是纯随机抽样、分层抽样、 整群抽样或者多阶段抽样等方式，各种方式都 有对应的误差计算公式，不同情况下的抽样误 差相差也比较大。
四、样本量的估计
1、简单随机抽样条件下样本量的计算公 式 2、总体标准差的估算方法
案例：
已知某总体的标准差为100，欲在95％的 置信度水平下使抽样估计的误差范围小于5， 试求样本量。
3、多阶段抽样（Multi-stage Sampling）
多阶段抽样的误差计算取决于各阶段的 抽样方式，以最简单的二阶段抽样为例，如 果每一阶段的抽选都是简单随机抽样，一阶 单位的规模相同，则有下列公式：
本题解法：
2、总体标准差的估算方法
（1）根据以往的经验数值 对于一些连续进行的调查来说，使用过去 的经验数据进行估算是有可能的。
（2）通过试访问进行估计 通过试访问的方法，先获得少数一部分样 本的误差数据，然后根据这些数据去计算最终 所需要的样本量，然后再将所需要的样本量完 成。
（3）序贯抽样方法 所谓序贯抽样，是指依次抽取样本，每抽 取一次，进行一次误差计算，直至达到所需要 的精度。
案例：
假定欲估计喜欢某产品的居民比例在95% 置信度水平下，要求绝对误差小于5%，求样 本量。
本题解法：
但是，如果是相对误差，已知P
五、其他抽样组织形式
1、分层抽样（Stratified Sampling） 2、整群抽样（Cluster Sampling）
3、多阶段抽样（Multi-stage Sampling） 4、设计效应（deff）
二、有放回条件下的简单随机抽样 （Simple Random Sampling）
1、样本平均数的分布 2、分布特征 3、抽样推断 4、利用样本标准差推断总体标准差 5、无放回条件下的简单随机抽样误差
1、样本平均数的分布
从一个总体中抽出一部分单位，构成一个 样本，可计算出一个样本平均数。 以扑克牌的例子进行说明。
如果置信度改为99%， 则：当P=99%，t=2.58时，
本题的解题思路：
要估计
本题解的具体过程：
5、无放回条件下的简单随机抽样误差
样本平均数的标准差的推导过程：
因此可知，在无放回抽样调查中：
无放回条件下的简单随机抽样误差公式：
如果 例如，假定N=100万，n=1000，f=0.001，
1、样本平均数的分布
从一个总体中抽出一部分单位，构成一个 样本，可计算出一个样本平均数。
无数次抽选的结果，将会产生无数个样本 平均数，这些样本平均数具有自己的分布形式。
根据大数定理，当样本量超过30时，样本 平均数的分布为正态分布。
2、分布特征
在有放回条件下，简单随机抽样的误差计 算公式如下：
在做总体推断时，可以观察到这样一个现 象：每次抽出来的样本平均数都是不相同的， 但样本平均数呈现出一个钟型分布，样本平均 数在总体平均数的两端分布。
二、有放回条件下的简单随机抽样 （Simple Random Sampling）
1、样本平均数的分布 2、分布特征 3、抽样推断 4、利用样本标准差推断总体标准差 5、无放回条件下的简单随机抽样误差
1-f=0.999，
对于现实的调查活动，万分之五的误差很 难被判断出来，可以忽略不计。 因此，在大规模的抽样调查中，抽样比可 以忽略掉。
三、影响抽样误差的因素
根据抽样误差的计算公式，可以看出，影 响抽样误差的主要因素主要有下列四个方面：
1、目标总体的变异程度
2、样本容量
3、抽样方式
4、抽样的组织形式
在一副牌中抽五张牌所计算出的平均数应 该是在1和13之间，但是实际上抽到牌的平均 数为1和13的情况会非常少。
假如用一个分布去描述抽出牌的平均数， 可以得出如黑板上图所示的钟型分布图。
Leabharlann Baidu
抽样推断的核心就是要通过研究样本平均 数的性质来判断一次抽样将会给我们带来什么 样的结果。
一般认为，从一副牌中抽5张牌的总体平 均数是7，从实验结果看其样本平均数是在5到 9之间，假定这是一个真实情况。可以将其表 示为：
一般做序贯抽样时，会有一张图，如黑板 上图所示。 序贯抽样的方式操作比较简单，但不适用 于经济调查，一般运用于质量检验中。
（4）成数估计时，使用最大值判断 绝对误差与相对误差 有时候绝对误差很小，但相对误差会很大。
对于绝对误差： 当成数是P时，其标准差为 在成数估计的条件下，方差的最大值为 0.25，因此可以使用最大的方差作为推断最大 样本量的基础。
2、样本容量
对于一个确定的总体，减小抽样误差的主 要手段就是增加样本量。从公式中可以知道， 抽样误差与样本量的平方根成正比，欲使抽样 误差缩小一半，必须使样本量增加到原来的四 倍。
三、影响抽样误差的因素
1、目标总体的变异程度 2、样本容量 3、抽样方式 4、抽样的组织形式
这就说明了为什么在大城市进行调查和在 小城市进行调查，要获得同样的精度时，所需 的样本量相差无几。
第二个参数：
如果从一副扑克牌中抽出30张牌的平均数， 运用上述公式，可以精确的得出： n=30
案例：
某总体标准差为10，平均值为40，从中抽 出一个n=36的简单随机样本，试在95％的置信 度水平下，估计样本平均数的分布区间。
样本平均数的分布特征：
查标准正态分布表，可以获得下列概率度 与概率值的对应关系：
运用上表结果可得：
从此例子可以逆推： 某总体标准差为10，其一个36个单位组成 的样本的平均数为39，试在95％的置信度水平 下，估计总体平均数的置信区间。
从上面的例子中可得出如下结论：
在不同的置信度下，其对应的置信区间也 是不同的，置信度与置信区间是一个反比的关 系。
重要的置信度与概率度之间的关系：
抽样估计
一、参数与统计量
参数是指描述总体分布状况的数。
统计量是指由样本构造出来的数。 抽样估计，就是由统计量推断总体的过程。
例如，一个班的学生的平均年龄为21岁，
平均年龄即为班级总体的一个参数；在班级中 抽出20名学生，了解其年龄，并根据20名学生 的年龄计算平均数为21.5岁，则21.5即为由样 本构造出来的统计量。
4、抽样的组织形式
抽样的组织形式是纯随机抽样、分层抽样、 整群抽样或者多阶段抽样等方式，各种方式都 有对应的误差计算公式，不同情况下的抽样误 差相差也比较大。
四、样本量的估计
1、简单随机抽样条件下样本量的计算公 式 2、总体标准差的估算方法
案例：
已知某总体的标准差为100，欲在95％的 置信度水平下使抽样估计的误差范围小于5， 试求样本量。
3、多阶段抽样（Multi-stage Sampling）
多阶段抽样的误差计算取决于各阶段的 抽样方式，以最简单的二阶段抽样为例，如 果每一阶段的抽选都是简单随机抽样，一阶 单位的规模相同，则有下列公式：
本题解法：
2、总体标准差的估算方法
（1）根据以往的经验数值 对于一些连续进行的调查来说，使用过去 的经验数据进行估算是有可能的。
（2）通过试访问进行估计 通过试访问的方法，先获得少数一部分样 本的误差数据，然后根据这些数据去计算最终 所需要的样本量，然后再将所需要的样本量完 成。
（3）序贯抽样方法 所谓序贯抽样，是指依次抽取样本，每抽 取一次，进行一次误差计算，直至达到所需要 的精度。
案例：
假定欲估计喜欢某产品的居民比例在95% 置信度水平下，要求绝对误差小于5%，求样 本量。
本题解法：
但是，如果是相对误差，已知P
五、其他抽样组织形式
1、分层抽样（Stratified Sampling） 2、整群抽样（Cluster Sampling）
3、多阶段抽样（Multi-stage Sampling） 4、设计效应（deff）
二、有放回条件下的简单随机抽样 （Simple Random Sampling）
1、样本平均数的分布 2、分布特征 3、抽样推断 4、利用样本标准差推断总体标准差 5、无放回条件下的简单随机抽样误差
1、样本平均数的分布
从一个总体中抽出一部分单位，构成一个 样本，可计算出一个样本平均数。 以扑克牌的例子进行说明。
如果置信度改为99%， 则：当P=99%，t=2.58时，
本题的解题思路：
要估计
本题解的具体过程：
5、无放回条件下的简单随机抽样误差
样本平均数的标准差的推导过程：
因此可知，在无放回抽样调查中：
无放回条件下的简单随机抽样误差公式：
如果 例如，假定N=100万，n=1000，f=0.001，
1、样本平均数的分布
从一个总体中抽出一部分单位，构成一个 样本，可计算出一个样本平均数。
无数次抽选的结果，将会产生无数个样本 平均数，这些样本平均数具有自己的分布形式。
根据大数定理，当样本量超过30时，样本 平均数的分布为正态分布。
2、分布特征
在有放回条件下，简单随机抽样的误差计 算公式如下：
在做总体推断时，可以观察到这样一个现 象：每次抽出来的样本平均数都是不相同的， 但样本平均数呈现出一个钟型分布，样本平均 数在总体平均数的两端分布。
二、有放回条件下的简单随机抽样 （Simple Random Sampling）
1、样本平均数的分布 2、分布特征 3、抽样推断 4、利用样本标准差推断总体标准差 5、无放回条件下的简单随机抽样误差
1-f=0.999，
对于现实的调查活动，万分之五的误差很 难被判断出来，可以忽略不计。 因此，在大规模的抽样调查中，抽样比可 以忽略掉。
三、影响抽样误差的因素
根据抽样误差的计算公式，可以看出，影 响抽样误差的主要因素主要有下列四个方面：
1、目标总体的变异程度
2、样本容量
3、抽样方式
4、抽样的组织形式
在一副牌中抽五张牌所计算出的平均数应 该是在1和13之间，但是实际上抽到牌的平均 数为1和13的情况会非常少。
假如用一个分布去描述抽出牌的平均数， 可以得出如黑板上图所示的钟型分布图。
Leabharlann Baidu
抽样推断的核心就是要通过研究样本平均 数的性质来判断一次抽样将会给我们带来什么 样的结果。
一般认为，从一副牌中抽5张牌的总体平 均数是7，从实验结果看其样本平均数是在5到 9之间，假定这是一个真实情况。可以将其表 示为：
一般做序贯抽样时，会有一张图，如黑板 上图所示。 序贯抽样的方式操作比较简单，但不适用 于经济调查，一般运用于质量检验中。
（4）成数估计时，使用最大值判断 绝对误差与相对误差 有时候绝对误差很小，但相对误差会很大。
对于绝对误差： 当成数是P时，其标准差为 在成数估计的条件下，方差的最大值为 0.25，因此可以使用最大的方差作为推断最大 样本量的基础。
2、样本容量
对于一个确定的总体，减小抽样误差的主 要手段就是增加样本量。从公式中可以知道， 抽样误差与样本量的平方根成正比，欲使抽样 误差缩小一半，必须使样本量增加到原来的四 倍。
三、影响抽样误差的因素
1、目标总体的变异程度 2、样本容量 3、抽样方式 4、抽样的组织形式
这就说明了为什么在大城市进行调查和在 小城市进行调查，要获得同样的精度时，所需 的样本量相差无几。
第二个参数：
如果从一副扑克牌中抽出30张牌的平均数， 运用上述公式，可以精确的得出： n=30
案例：
某总体标准差为10，平均值为40，从中抽 出一个n=36的简单随机样本，试在95％的置信 度水平下，估计样本平均数的分布区间。
样本平均数的分布特征：
查标准正态分布表，可以获得下列概率度 与概率值的对应关系：
运用上表结果可得：
从此例子可以逆推： 某总体标准差为10，其一个36个单位组成 的样本的平均数为39，试在95％的置信度水平 下，估计总体平均数的置信区间。
从上面的例子中可得出如下结论：
在不同的置信度下，其对应的置信区间也 是不同的，置信度与置信区间是一个反比的关 系。
重要的置信度与概率度之间的关系：